Построение оптимальных траекторий управляемых процессов в экономических задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Моисеев Александр Николаевич

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Специальность 01.01.09 -дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2004

Диссертация выполнена на кафедре математической теории интеллектуальных систем Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор Черемных Юрий Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Токарев Вячеслав Васильевич доктор физ.-мат. наук, профессор Дудов Сергей Иванович

Ведущая организация: Вычислительный центр имени А. А. Дородницына РАН

Защита состоится ■^»Й^ГА^ф 200У г. в^часов-^Минут на заседании

диссертационного совета К.212?243.02 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, IX корпус СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета К.212.243.02 при СГУ им. Н.Г. Чернышевского кандидат физ.-мат. наук, доцент

В. В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Инвестиции традиционно считаются движущей силой большинства экономических процессов. Обычно проводится различие между реальными инвестициями и финансовыми. Реальные инвестиции представляют собой вложение капитала в какой-либо тип материально осязаемых активов, таких, как земля, оборудование, заводы, технологии и инновации. Финансовые инвестиции связаны с покупкой ценных бумаг таких, например, как акции, облигации, фьючерсы, опционы. Как правило, при математическом моделировании существенного различия между этими двумя видами инвестиций нет.

В экономиках развитых стран большое распространение получили опционы и сделки с чертами опционов (опционы дают возможность одной из сторон отказаться от покупки/продажи какого либо актива в будущем при изменении цены на этот актив в неблагоприятную сторону без каких-либо дополнительных платежей). Так как опционы позволяют страховать финансовые риски, то существует большая потребность в точном математическом моделировании поведения инвестора в различного рода опционных контрактах и разработке методов и алгоритмов вычисления необходимых для оперирования на рынке стратегий.

В связи с этим, в литературе широкое распространение получила математическая теория хеджирования (страхования риска) опционов, ключевыми моделями которой являются модель Блэка-Шоулса и модель Кокса-Росса-Рубинштейна, в которых определяется рациональная цена опциона и оптимальная хеджирующая стратегия, а также теория Марковитца выбора инвестиционного портфеля и алгоритмы квадратичного динамического программирования построения эффективного множества.

Исследование эффективности экономического роста страны или крупной фирмы посредством агрегированных моделей производства также связано с построением оптимальных стратегий, в частности при решении задач о выборе направления и пропорций реальных инвестиций. Эти модели могут быть использованы как для описания всей экономики в целом, так и отдельного крупного предприятия, т.к. с их помощью решаются проблемы оптимального и сбалансированного экономического роста при наличии инвестиций не только в физический капитал, но и в человеческий капитал, сектор НИОКР, покупку технологий на мировом рынке.

Таким образом, и задача оптимального инвестирования в агрегированных моделях производства и задача выбора инвестиционного портфеля агентом на

, '¿ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА

!

финансовом рынке связаны с выбором целей для инвестиций и оптимального в том или ином смысле распределения имеющихся финансовых или материальных средств среди доступных активов. Применяемые для решения этих задач математические методы и алгоритмы оптимизации управляемых процессов, качественные исследования оптимальных траекторий, а также реализация всех расчетов в виде программных комплексов дают субъекту экономической деятельности необходимые инструменты анализа эффективности функционирования экономических систем и точные рекомендации при принятии решений в каждый период времени.

На основании вышеизложенного тема представленной диссертации является актуальной.

Цель и задачи работы

Целью настоящей диссертации является разработка математических методов и алгоритмов управления инвестициями в моделях, учитывающих реально существующие инвестиционные возможности на финансовых рынках (при хеджировании опционов американского типа и выборе портфеля ценных бумаг) и в экономике в целом (при определении сбалансированного или оптимального экономического роста в моделях с эндогенной формой НТП).

Исходя из этой цели, в работе поставлены следующие задачи.

- Определение рациональной цены, оптимальной инвестиционной стратегии продавца опциона американского типа при среднеквадратичном критерии хеджирования; оценка вычислительной сложности используемых алгоритмов при различных критериях исполнения опциона; разработка метода снижения риска неисполнения опциона, основанного на формировании портфеля опционов.

- Модификация многофакторной эконометрической модели определения доходности акции путем включения в нее элементов авторегрессии с последующей разработкой алгоритма вычисления ковариационной матрицы доход-ностей ценных бумаг в рамках новой модели.

- Построение обобщенной трехсекторной модели экономического роста с эндогенной формой НТП, в которой наращивание человеческого капитала и технологических разработок выделено в два независимых сектора, описываемых системой дифференциальных уравнений специального вида, и качественного исследования экономически содержательных решений этой системы.

- Определение условий существования стационарных траекторий специального вида (режима сбалансированного эндогенного роста) в широком классе

динамических моделей экономического роста с мультипликативно--степенными производственными функциями, а также разработка метода построения таких траекторий.

- Эмпирическое приложение построенной трехсекторной модели и разработанных для нее методов в целях выявления возможности более эффективного экономического развития страны и выработки рекомендаций по его достижению.

- Моделирование экспорта технологических разработок и прямых инвестиций в НИОКР и определение в рамках этой модели оптимального управления, максимизирующего целевой функционал; исследование оптимальных траекторий на устойчивость в зависимости от начальных значений и вида входящих в исходную систему функций; оценка влияния на темп экономического роста объемов экспорта технологий.

Методы исследования

В работе используются методы матричной алгебры, математического программирования, теории дифференциальных уравнений, теории вариационного исчисления и оптимального управления, математической статистики.

Научная новизна

Научную новизну составляют следующие результаты работы.

1. На основе построенного алгоритма минимизации в дискретном времени интегрального квадратичного функционала, измеряющего риск по опциону, разработан метод определения рациональной стоимости опциона американского типа и минимизирующей риск неисполнения опциона стратегии продавца. Проанализирована вычислительная сложность входящего в метод алгоритма. Определено преобразование, позволяющее использовать известные методы оптимизации инвестиционного портфеля ценных бумаг для составления портфеля опционов.

2. Предложен новый метод расчета ковариационной матрицы случайных величин доходностей ценных бумаг, базирующийся на авторегрессионно-факторной модели описания изменчивости доходностей во времени. Метод позволяет существенно снизить сложность вычисления коэффициентов корреляции доходностей в случае большого числа рассматриваемых ценных бумаг при составлении инвестиционного портфеля.

3. Предложена трехсекторная модель экономического роста в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений нового вида, для качественного исследования решений которой применяется новый математический аппарат сведения исходной системы к матричному уравнению.

4. Найдены условия существования стационарного решения специального вида в системе дифференциальных уравнений трехсекторной модели. Определены условия единственности этого решения и построен алгоритм его аналитического или численного определения в зависимости от начальных значений и выбора управлений.

5. Методами математической статистики произведена оценка параметров трехсекторной модели на основе данных для США за 1980-1997 гг. Численно найдена одна из возможных траекторий сбалансированного роста и значения постоянных управлений на этой траектории. Сконструирован ряд экономических индексов таких, как индекс человеческого капитала, индекс запаса используемых знаний, объем загруженного в НИОКР капитала, и получены их эмпирические оценки.

6. Найдены оптимальные значения постоянных управлений и траектория развития экономики, описываемой предложенной в диссертации модификацией модели Рамсея, учитывающей продажу технологий и прямые инвестиции в НИОКР. Оптимальное решение исследовано на устойчивость в зависимости от начальных значений и при вариации динамики трудового ресурса и экспорта технологий.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа имеет как теоретическое, так и практическое значение. Разработанные в диссертации математические методы, алгоритмы и подходы расширяют сферу применения математических теорий, которые исторически имели объектом своего приложения в основном физические задачи и задачи управления техникой, в экономическую область, т.е. в область организации и оптимизации взаимодействия людей.

Практическое значение имеют осуществленное в работе эмпирическое приложение трехсекторной модели экономического роста, количественно определенная степень влияния инновационной деятельности на темп роста экономики, а также разработанный в диссертации метод хеджирования опционов американского типа.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе для преподавания математических методов в экономике, операторами фондовых

рынков для снижения инвестиционных рисков, научными организациями и органами государственного управления для анализа и прогнозирования основных тенденций экономического развития, а также руководителями предприятий для управления инвестиционными потоками в целях повышения эффективности функционирования производства.

Апробация работы и публикации

Результаты диссертации неоднократно докладывались на специальных семинарах кафедры математической теории интеллектуальных систем механико-математического факультета и кафедры математических методов анализа экономики экономического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского, на 6-ом Международном конгрессе по математическому моделированию (Н.Новгород, сентябрь 2004г.), на Международной научной конференции "Финансовая экономика: концепции, структуры, менеджмент" (Москва, апрель 2000 г.), на Научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-99".

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Текст диссертации изложен на 139 страницах, включая графики, рисунки, таблицы. Список литературы содержит 74 наименования.

Основные положения диссертации

Методы хеджирования опционов американского типа

В первой главе диссертации, состоящей из трех параграфов, исследованы проблемы, возникающие на фондовых рынках и связанные с минимизацией неисполнения обязательств по опциону. Разработаны алгоритмы и методы расчета параметров опционов и параметров, необходимых для выбора оптимального портфеля ценных бумаг.

Определение. Опцион американского типа — это договор между покупателем и продавцом, дающий право покупателю опциона приобрести у продавца опциона некоторый актив по оговоренной в договоре стоимости в течение оп-

ределенного времени. В качестве актива, на который выпускается опцион, обычно выступают акции. Требование покупателя опциона продать ему акции по оговоренной в договоре стоимости называется исполнением опциона.

Основной особенностью опциона является то, что покупатель опциона не обязан предъявлять его к исполнению. В частности, он предъявляет его к исполнению только в случае, если рыночная стоимость акций, на которые выпущен опцион, больше указанной в договоре, в противном случае акции выгоднее купить на рынке. Таким образом, опцион позволяет страховать риск неблагоприятного изменения стоимости соответствующих акций в будущем.

Пусть время дискретно: (~\,...,Т - периоды времени, Т - период истечения времени действия опциона, / = 0 - нулевой период времени, в который выпускается и продается опцион. Покупатель опциона может исполнить его в любой период времени до периода Т включительно. Пусть - рыночная цена акции в период времени /, на которую выпускается опцион. Динамика цены описывается некоторой стохастической моделью (например, - независимые случайные величины, принимающие на каждом шаге конечное число значений с заданными вероятностями и

- сумма, которую должен уплатить продавец опциона покупателю, в случае предъявления опциона к исполнению в период времени то есть, при исполнении опциона в период времени если то продавец

опциона должен купить акции по цене на рынке и продать их покупателю опциона по цене К или просто выплатить сумму 81 - К.

Если покупатель опциона страхует свой финансовый риск, то продавец выступает в роли страховщика и основными его задачами являются расчет цены опциона и задача хеджирования. Хеджирование опциона - это поиск такой инвестиционной стратегии на финансовом рынке, что исходя из некоторого начального капитала, эта стратегия приведет к минимальному (в частности нулевому) риску неисполнения опциона. Этот начальный капитал называется рациональной ценой опциона (платой за риск, который несет продавец).

Продавец опциона получает от покупателя сумму, равную цене опциона с и являющуюся его начальным капиталом Х0 и использует эту сумму для покупки акций, на которые выпущен опцион. Капитал продавца опциона в период времени определяется соотношением:

где Д^ = - 5М, У = (У^-^Ут) - стратегия продавца опциона, представляющая собой количество акций, которыми он владеет, в периоды времени 1,...,Т (т.е. в период времени 0 продавец опциона покупает у1 акций по цене и владеет ими в период времени 1, затем, когда в конце периода 1 становится известна цена 5,, продавец опциона покупает уг - у1 акций по ц е н% с тем, что бы владеть уг акциями в период времени 2 и т. д.). Задача продавца опциона - определить вектор (Х„,у,,...,ут), т.е. начальный капитал (который и является ценой опциона) и динамическую стратегию покупки и продажи акций с целью быть готовым исполнить опцион в любой период времени /, т.е. добиться равенства //, и X, при каждом Г, или неравенства Х,>Нп или близости этих

двух величин, исходя из некоторой меры.

В диссертации предлагается использовать среднеквадратичный критерий (меру риска) для расчета опциона американского типа. Таким образом, решается следующая задача: необходимо найти инвестиционную стратегию и стоимость опциона такие, что

где р! - вероятность того, что опцион будет исполнен в период времени Оптимальное хеджирование понимается здесь как возможность с наибольшей точн остью (в среднеквадратичном смысле) воспроизвести Н, для всех /.

В теореме 11 для меры риска "среднеквадратичное отклонение" (2) найдены аналитические выражения, позволяющие рассчитать цену опциона американского типа и хеджирующую (минимизирующую риск) инвестиционную стратегию. Имеет место

Терема 1 .Пусть £{5,2}<оо и £{Д5,2|5М,...,50}>0, 1 = 0,...Т.

Тогда оптимальная стратегия в задаче (1)-(2) определяется из следующих соотношений: у^а,- р,Х1Л, где а, и р, - константы, определяемыерекур-сивно для каждого I:

(2)

Р,-

Е1>г-| ■ ¿И' ГСО - Р, • -Л}

гго'^-^к-п^о-^-^ж......

1 Нумерация теорем в автореферате отличается от нумерации в диссертации

9

Представленный метод хеджирования опционов, основанный на среднеквадратичном критерии, является спецификацией принципа оптимальности Беллмана для решения задачи (1)-(2), оптимизирующей объем вычислений в сравнении с методами, основанными на других критериях и динамических стратегиях соответственно. В работе исследованы преимущества данного метода с хеджированием с вероятностью единица, а также осуществлена компьютерная реализация алгоритма построения хеджирующей стратегии, задаваемого выражениями теоремы 1.

Рассматриваемая мера риска невыполнения обязательств - среднеквадратичное отклонение позволяет использовать дополнительный способ уменьшения риска, основанный на составлении портфеля опционов. В литературе в качестве активов при составлении портфеля рассматриваются в основном акции и облигации. Это связано с достаточно хорошо разработанной теорией выбора эффективного портфеля именно для таких ценных бумаг.

В диссертации, во-первых, предложена схема преобразования характеристик опционов, позволяющая применить известные методы выбора инвестиционного портфеля ценных бумаг для составления портфеля опционов в целях дополнительного хеджирования риска по опционам. Во-вторых, разработан более эффективный метод расчета ковариационной матрицы случайных величин доходностей ценных бумаг, которая необходима для дальнейшего применения алгоритмов выбора оптимального портфеля.

Метод расчета ковариаций основан на специальной модели формирования доходности, в которой для каждой ценной бумаги случайная величина доходности за период / линейным образом зависит от р предыдущих значений за периоды значений случайных величин внешних

факторов /•"„,...,в периоде / (обозначение г, т.е. можно запи-

сать (для ценной бумаги,

+ с,/,^ + ■ • • + с,= а, + ¿,/1, + —+Ь„Рш+еы,

где - белый шум с дисперсией - параметры.

Доходностью ценной бумаги в периоде / называется величина г",— —

где 5М - стоимость ценной бумаги в период времени /-1,5, - стоимость ценной бумаги в период времени /. Из уравнения (3) следует, что доходности по любым двум ценным бумагам коррелированны только через линейную зависимость от одного и того же набора из к факторов .....т.е. ковариации

Со\(г,,г^ (гг, г/ - доходности в периоде I двух различных ценных бумаги), которые необходимо вычислить для дальнейшего применения теории Марковитца выбора оптимального портфеля, некоторым образом выражаются через Для процессов подчиненных уравнению (3), в диссертации

доказана

С одной стороны, благодаря соотношениям (4) и (5), которые дают аналитические выражения для ковариационной матрицы доходностей рассматриваемых ценных бумаг, сохраняется важнейшее свойство факторных моделей - линейный по числу ценных бумаг объем вычислений при расчете коэффициентов корреляции случайных величин доходностей, а не квадратичный, как при их прямой статистической оценке. С другой стороны, авторегрессионные зависимости (временные ряды с "памятью") считаются достаточно статистически качественным способом моделирования реальной динамики стоимостей ценных

бумаг на рынке. Поэтому, разработанный в диссертации метод расчета ковариационной матрицы случайных величин доходностей ценных бумаг, основанный на предложенной в работе факторно-авторегрессионной зависимости (3), дают оператору фондового рынка достаточно эффективное средство расчета параметров ценных бумаг при принятии инвестиционных решений.

Траектории экономического роста в многосекторных моделях с мультипликативно-степенными функциями

Во второй главе, содержащей четыре параграфа, исследуются вопросы развития экономики в целом, с учетом возможности управления распределением имеющихся производственных ресурсов. Важнейшими проблемами здесь являются не столько поиск траекторий оптимального макроэкономического роста, сколько требование стационарности и сбалансированности этих траекторий.

В диссертации используется один из наиболее распространенных в современной литературе способов описания экономической системы в целом — производственные функции, связывающие выпуск конечной продукции и используемые для производства этой продукции факторы-ресурсы. В моделях последних десятилетий (в работах Узавы- Лукаса, Ромера, Бакси и др.) учитываются не только физический капитал (основные фонды) и трудовой ресурс в качестве производственных факторов, но также человеческий капитал (квалифицированный трудовой ресурс) и «знания» (технологии), производимые сектором НИОКР. Тем не менее, одновременного учета человеческого капитала и продукции сектора НИОКР в рамках единой модели фактически осуществлено не было. Для одновременного учета аккумулирования человеческого капитала и научно-технологического прогресса (НТП) в виде увеличения числа технологических разработок в рамках одной модели в диссертации построена наиболее общая модель из всех представленных в литературе моделей экономического роста с эндогенной формой НТП.

Построенная модель представляет собой описание экономики в целом (например, национальной экономики или экономики большой фирмы) системой нелинейных дифференциальных уравнений, в левых частях которых переменные, обозначающие конечные продукты, а в правой - производственные функции, выражающие зависимость выпускаемого соответствующим сектором продукта от факторов производства: квалифицированного <р и неквалифицирован-

ного L человеческого труда, физического капитала К, индекса знаний ф и индекса НТП у/.

Производственный сектор:

где ц/(<) - индекс НТП, представляющий собой рост эффективности использования физического капитала X(t) и трудового ресурса L{t) в производстве за счет использования новых технологий и роста квалификации рабочей силы, формирование которого описывается уравнением (9), K(t) - физический капитал, - доля физического капитала, используемого в секторе НИОКР, !(/) - неквалифицированная рабочая сила, предполагается экзогенно заданной, - заданная константа, - степенные параметры, 0<аг,<1, 0<ог2<1, 0<аЦ?0(i)< 1, А>0 - параметр масштаба.

Сектор НИОКР:

где - параметр масштаба, - степенные параметры,

доля квалифицированной рабочей силы, используемой в секторе НИОКР, уровень (запас) используемых в экономике знаний, включая все востребованные запатентованные технологии и актуальные научно-технологические публикации, ф{{) - прирост знаний, #>(/) - человеческий капитал, представляющий собой общее число квалифицированных рабочих (например, число занятых в экономике людей с образованием выше среднего), умноженное на качество (квалификацию) среднего рабочего (например, среднее число лет обучения людей с образованием выше среднего),

- темп выбытия знаний. Наличие темпа выбытия знаний означает, что в производстве, НИОКР и образовании используются не все полученные в результате исследований знания, а только актуальные, востребованные.

Сектор образования:

где - параметры, - доля человеческого капитала, используемо-

го в секторе образования, ^(f) - прирост человеческого капитала, осуществ-

ляемый как за счет прироста числа квалифицированных рабочих, так и за счет прироста квалификации, - темп выбытия человеческого капитала (за счет

ухода на пенсию, болезни, смерти), ОйЩ'ИХ, 0<>г]2<\,

Изменение итогового индекса НТП, участвующего в увеличении эффективности производства, описывается следующим уравнением:

где - прирост индекса НТП, В, Д, ¡В2 - параметры, 8Г - темп снижения

индекса НТП (в силу устаревания технологий в производстве относительно общемирового технологического уровня, что приводит к снижению эффективности производства из-за неконкурентноспособности выпускаемого продукта),

Предлагаемая функция (9) зависимости прироста индекса от нового человеческого капитала и новых знаний учитыва-

ет тот факт, что новые знания, полученные в НИОКР, приводят к немедленному росту эффективности производства, но могут быть использованы в производственном секторе лишь, будучи обеспеченными новым человеческим капиталом. То есть, увеличение технологической вооруженности производства происходит благодаря новым технологиям, обеспеченным специалистами, способными использовать эти технологии.

Увеличение физического капитала происходит за счет инвестиций, которые равны сбережениям:

где $к - норма сбережения, 6К - темп выбытия капитала, 0<5Х(*)<1, <^>0. Конечный продукт делится между потреблением и инвестициями:

где

Уравнения (6)-(11) полностью описывают экономическую систему в замкнутом виде. Если рассматривать эту схему как "черный ящик", то на ее вход поступает только один производственный ресурс - неквалифицированный труд а на выходе - совокупное потребление которое, в случае если рас-

сматривается национальная экономика, включает частное и правительственное потребление. В частности предполагается, что чистый экспорт равен нулю.

При экзогенно заданных параметрах SK(i), й°бр(/), и на-

чальных значениях, эта система обыкновенных дифференциальных уравнений (6)-(11) представляет собой задачу Коши и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Таким образом, в предложенной модели (6)-(11), которая является наиболее полной и общей из всех двух- и трехсекторных моделей теории экономического роста, имеется возможность определить траекторию развития экономической системы классическими методами дифференциальных уравнений.

Если рассматривать функции a£tD(t), a^^t), как управ-

ления, которые можно варьировать в пределах от 0 до 1, а также при различных начальных значениях ^(0), С(0) задача (6)-(11) имеет разные ре-

шения. В связи с чем возникает необходимость выбора наиболее предпочтительной в каком-либо смысле траектории-решения. В качестве критерия выбора обычно выступает целевая функция максимизации интегрированного среднедушевого потребления, вида

где коэффициент дисконтирования, отражающий степень предпоч-

тения текущего потребления будущему, Т - конечный период времени с возможно заданными некоторыми терминальными значениями фазовых переменных К(Т), Ф(Т)! С(Т'). Таким образом, задача (6)-(12) представляет собой задачу оптимального управления.

Ключевой проблемой при исследовании качественных свойств решений систем (6)-(11) в современных агрегированных общеэкономических моделях является проблема существования траектории сбалансированного роста.

Пусть темпы прироста основных (фазо-

вых) переменных модели (6)-(11). Положительность всех этих величин и величины означает экономический рост.

Траектория (режим) сбалансированного роста (TCP) - это такое решение исходной системы дифференциальных уравнений (6)-(11), при котором величины управлений являются постоянными, т.е. не меняются со временем, а темпы прироста GGv, GK, G^, Gr также постоянны и положительны.

Эндогенность роста означает, что темп прироста конечного продукта Gy не ограничен экзогенно задаваемыми в модели величинами. В частности, под эн-догенностью экономического роста подразумевается такая зависимость Gr от и, что Gr> О при и = 0.

В предложенной в диссертации трехсекторной модели (6)-(11) найдены необходимые и достаточные для существования и эндогенности TCP условия на степенные параметры

тогда имеем следующие соотношения между степенными параметрами и ограничениями на них, при которых возможен режим сбалансированного роста:

Тко^аллЪ,Пусть й(АМ>0, от, >0, 7,>0, %<1, Тг >0,

Тогда существует и единственная траекториясбалансированногороста в модели, описываемойуравнениями (6) - (11), и на этой траектории выполнены соотношения:

(13)

G : Wi-rth+ri+th-1 С к № *

(14)

Сбалансированный (экспоненциальный) рост с показателями (13)-(14) не является эндогенным: темп прироста фазовых величин пропорционален п • темпу роста трудового ресурса, который задан экзогенно. Возможность эндогенного роста, тем не менее, сохраняется, если требовать det M = 0:

Теарема4. Пустьвьтолненоодноизнижеследующихпятиусловий:

Тогда существует траектория сбалансированного эндогенного роста в модели (6) - (11). При этом соотношения между темпами прироста фазовых переменных на траектории сбалансированного эндогенного роста следующие:

Gv =Gy =-

Gr + агп 1-ff, '

G. =

_ Гг

1~Г,

'I,

■jh

п,

G, =

при выполнении условия ,

выполнении условия 2, 3 или 4,

при выполнении условия,

при (

(l-*)(l -aJ-rA

Если не выполнено ни одно из пяти условий на параметры, указанные в теореме 4, то в системе (6) - (11) не существует траектории эндогенного сбалансированного роста. Если же, кроме того, не выполнено условие теоремы 3, то в модели (6) - (11) не существует траектории сбалансированного роста.

Доказательство теорем 3 и 4 основано на сведении исходной системы дифференциальных уравнений (6)-(11) к системе линейных алгебраических уравнений (15), что позволяет установить важнейшее для экономической теории качественное свойство системы - существование траектории сбалансированного роста - методами матричной алгебры:

Ограничения, налагаемые на степенные параметры, сужают класс моделей, которые имеет смысл исследовать при качественном анализе экономической динамики. Таким образом, теоремы 3 и 4 позволяют выявлять наличие сбалансированного и эндогенного сбалансированного роста простой проверкой соотношений между параметрами в широком классе моделей экономического роста, в то время как ранее это делалось в каждом конкретном случае отдельно. Например, основные уравнения модели Узавы- Лукаса получаются из уравнений представленной трехсекторной модели при ^=0, Т]2=1, У1 = У2~Уз = ®' т.е., когда выполнено пятое условие теоремы 4, и, следовательно, в модели Узавы-Лукаса существует эндогенная TCP, что и было показано в работах этих авторов.

Последний параграф главы 2 посвящен исследованию качественных свойств TCP в тех случаях, когда согласно теоремам 3 и 4 TCP существует. Изучен вопрос единственности TCP и построен алгоритм ее аналитического или численного определения в зависимости от начальных значений и экзогенного выбора некоторых управлений. В частности установлено, что при выполнении условий 1 и 2 теоремы 4 TCP определяется однозначно при заданных начальных значениях, причем во втором случае существует соотношение между начальными значениями, а в первом темпы прироста фазовых величин

зависят от начальных значений. Вычисление траектории сбалансированного роста для экономики США

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, осуществлено эмпирическое приложение предложенной в главе 2 трехсекторной модели, включая численное определение множества допустимых управлений и траекторий эндогенного сбалансированного роста. В западной литературе исследование подобных моделей ограничено исключительно теоретическими результатами. Это связано с отсутствием достаточного количества статистических данных, необходимых для оценки рассматриваемых в моделях величин. Поэтому в диссертации в качестве объекта приложения выбрана экономика США, статистические данные по которой значительны по объему и наиболее доступны. В частности, оценен ряд экономических индексов, таких как индекс человеческого капитала <p(t индекс объема знаний объем загруженного в НИОКР капитала

Оценка параметров производственной функции сектора образования (уравнение (8)) показала, что Щ «О, 772 е'» так что в качестве априорных значений этих параметров были приняты значения 0 и 1, т.е. речь идет о выборе условия 5 на параметры в теореме 4:

Кроме того, т.к. основной целью исследования является определение условий достижения эндогенного сбалансированного роста, то экзогенно растущую величину L трудового ресурса было принято не рассматривать, т.е. аг~ 0.

Тогда основные уравнения модели (6)-(9) преобразуются к следующему виду.

Щ+0к-Щ = А.хк-г((){(\-аГУЩУ (16)

Пусть Сг —X - независимая переменная, тогда найденные в теореме 4 соотношения между темпами прироста Сг, Ст^., И при известных начальных значениях ^(0), ^(0), ^(0), задают класс возможных траекторий сбалансированного роста. Если их подставить в уравнения (16)-(19) вместе с оцененными методами математической статистики по данным за 1980-1997гг. для США параметрами бк, А, В> У, В, (Хх, Д, рг, у{, уг, то уравнения (16)-(19) принимают следующий вид:

\0,2

4,938 ■ х + 0,0642 = 17033• sK • 729726 -(l -a*iD) ' • (l 0078201262272)'0\ 729716 • (3,95 • дг + 0,064222) =

= 9,366 • 1010 • (^(О))08* • (4 • * + 6ф)°"1 • (105563857)0'71 • (* + 0,0114)°'71, 4-х + 5ф= 0,3446• (^(0)) °'3*• (а*&°"•

•(105563857)''3 -(af'°fm • (10078201262272)°' х+0,0114 = 0,425-af,

ч0.079

(20) (21)

(22)

(23)

где управления и свободная переменная

неизвестные величины. При этом, согласно теоремы 4, имеем следующие соотношения между темпами прироста фазовых переменных на TCP:

В силу отсутствия в открытых базах данных США статистических оценок объема знаний в стране в денежном выражении неизвестное значение ^(0) определяется из этой же системы уравнений (20)-(23) при найденных других неизвестных (а именно: значение берется эмпирическое, затем из уравнения (23) определяется х, затем из уравнения (21) определяется ^(0)).

Так как траектория сбалансированного роста в данном случае не единственна, существует возможность выбора этой траектории в рамках следующих, определенных в работе ограничений на управления:

(24)

сп ою- г,с6р <\• (25)

0,443<sk <0,983; 0<<0,981;

0,081 <а* <0,973 ; 0,027<»7 <0,919; а^6" + а™" <\;

Это допустимые управления, полученные из общих ограничений на управления, указанные при описании модели (6)-(11), и системы (20)-(23), при которых решение системы (16)-(19) является TCP. Выбирая управления в рамках (24)-(26), можно сравнивать различные TCP на базе какого-либо критерия эффективности роста или вводить дополнительные ограничения, связанные с реальными экономическими особенностями.

В качестве примера в работе выбран конкретный набор управлений таким образом, чтобы два из них были близки к реальным значениям, тогда два других однозначно определяются из (26):

<zfD=0,0678, d«*D =0,0978, sK =0,4492, а* = 0,1, (27)

Тогда

G,= 3,1%, G^ =12,4%, G^ = 12,3%, GK = Gr =15,4%,

Искомая (экспоненциальная) траектория роста полностью определена при заданных начальных значениях:

я(0) = 10,078 трлн. долл., ^ (0) = 729716 шт., Г(0) = 4,901 трлн. долл.,

р(0)=105,564 млн. чел.-лет, ^(0)=2,138 трлн. долл.,

где за нулевой период времени принят 1980-й год.

Исходя из допустимых управлений (24)-(26), минимальный темп прироста Gr (нулевой) достигается при ¿"^=0,0268. Если же значения управлений выбрать согласно (27), то темп прироста экономики составит 15%. Это говорит о наличии достаточного потенциала для увеличения темпа прироста ВВП США, однако для этого необходимо примерно в 3 раза увеличить инвестиции в физический капитал и в 3,5 раза число исследователей в секторе НИОКР.

Как оказалось, наиболее жесткое ограничение накладывается на норму сбережения sK, которая не может быть меньше 0,44, т.е. на инвестиции в физический капитал должно идти не менее 44%-ов ВВП (соответственно, потребление составляет не более 56%), иначе невозможен сбалансированный рост в рассмотренном случае, определяемом, во-первых, реальными данными (и соответствующими оценками параметров), и, во-вторых, априорным выбором значений параметров

Оптимальное инвестирование в инновации

Если в главах 2 и 3 речь шла о распределении производственных ресурсов по секторам, одним из которых является сектор НИОКР, то в четвертой главе, содержащей три параграфа, исследуются возможности оптимизации развития экономической системы с помощью управления финансовым инвестиционным потоком в сектор НИОКР и использования возможности торговли продукцией этого сектора.

В четвертой главе моделируется возможность прямых инвестиций в инновации параллельно с распределением материальных ресурсов в сектор НИОКР. Модель описывается такой же системой дифференциальных уравнений, что и трехсекторная модель (6)-(11), но без сектора образования. Для исследования экономически содержательных свойств решений системы используется метод, разработанный для трехсекторной модели. Основным результатом анализа этой модели явилась эквивалентность инвестиций в научные исследования инвестициям в физический капитал, т.е. отношение норм инвестиций в НИОКР s^ и в

капитал на TCP оказалось пропорционально отношению начальных значений ^(о) И К (о): —' • -у, где J - стоимость технологий в единицах конечного продукта.

Далее рассматривается возможность не только использовать конечный продукт сектора НИОКР для увеличения эффективности факторов в производственном секторе, но и торговать им как внутри страны, так и на международном рынке. Основной отличительной особенностью продукта сектора НИОКР является то, что продажа единицы знаний (патента, технологии, лицензии), не приводит, вообще говоря, к уменьшению объема знаний у продавца.

В диссертации предлагается модифицировать известную в литературе модель Рамсея путем учета дополнительного прироста конечного продукта за счет продажи технологий. Модель описывается с помощью одной производственной функции, двух дифференциальных связей, моделирующих приращение физического капитала и технологий и интегрального целевого функционала, максими-зируюшего совокупное потребление Сем. вьгоажения i28W31')'>:

Y{t) = A -K{t)a • L(t)f + Л(/) • y{t), (28)

где - доля продаваемых технологических разработок к году

y/{t) - индекс НТП, интерпретируемый здесь как количество технологий. Приросты физического капитала и числа технологий описываются уравнениями:

(29)

(30)

где - физический капитал, - темп выбытия физического капитала счи-

тается постоянным, - темп выбытия технологий считается постоянным, -инвестиции в физический капитал, /р(') - инвестиции в сектор НИОКР.

Выпуск в экономике делится между потреблением и сбережением: = + Сбережения направляются в инвестиции, которые делятся

между инвестициями в основные фонды и в сектор НИОКР: = Под оптимальным развитием экономики в этой модели по-

нимается достижение максимальной дисконтированной полезности совокупного потребления на бесконечном промежутке времени:

функция полезности совокупного потребления,

где

- параметры.

Представленная в диссертации модификация модели Рамсея отличается от самой модели Рамсея учетом возможности продажи технологий (слагаемое В-у/{{) в уравнении (28)), и прямых инвестиций в сектор НИОКР (30).

Задача определения фазовой траектории ?(<), и траектории

управления: нормы инвестиций в капитал и в сектор НИОКР

удовлетворяющих (28)-

(31) - это задача оптимального управления. В теореме 5 дается аналитическое решение этой задачи при определенных условиях:

Тогда оптимальное решение задачи (28)-(31) является траекторией сбалансированного эндогенного роста, при этом темпы прироста фазовых переменных равны:

Оптимальные управления s^ и sK определяются из выражений

Если начальные значения не удовлетворяют условиям

(32), то решение, вообще говоря, будет другим. Тем не менее, на определенную в теореме 5 траекторию можно ориентироваться как на магистраль, используя так называемую "переходную динамику", т.е. оптимальный процесс, который приводит величины к определенным в теореме 5 соотноше-

ниям после чего управления выбирают-

ся постоянными, согласно выражениям (34) теоремы 5, а развитие экономической системы осуществляется по оптимальной TCP (33). В диссертации определен процесс наибыстрейшего достижения требуемых соотношений (32).

В работе также исследовано влияние на определенное в теореме 5 оптимальное решение различных предположений относительно динамики и

£('). Установлено, что траектории оптимального решения (28)-(31) при различных экономически содержательных вариациях хотя и перестают быть сбалансированными, тем не менее оказываются в некоторой окрестности определенной в теореме 5 TCP, либо асимптотически приближаются к ней.

Найденная зависимость темпа роста экономики от величины В - доли продаваемых технологий, позволяет оценить значимость торговли технологиями для экономики страны или крупной фирмы. Пусть, например, 5 = 0,02, т.е. продается 2% производимых внутри страны технологий,

тогда темп прироста экономики увеличивается

на 0,4% только за счет торговли технологиями.

(34)

Основные результаты и выводы

Разработанные в работе алгоритмы и методы решения экстремальных задач, постановка которых определена экономическим содержанием, качественное и количественное исследование этих решений позволяют находить опти-

малыше или рациональные в том или ином смысле динамические стратегии инвестиций на фондовом рынке и в экономике в целом. В качестве основных выводов работы можно отметить следующие:

1. Компьютерная реализация предложенного метода расчета инвестиционной стратегии продавца опциона американского типа показала большую эффективность данного метода в сравнении с другими методами хеджирования опционов как с точки зрения вычислительной сложности используемого алгоритма, так и с точки зрения области применения.

2. Новый метод расчета ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг на основе авторегрессионно-факторной модели динамики стоимостей акций существенно снижает объем вычислений при оценке значений ковариаций, сохраняя при этом значительную статистическую близость модельных значений доходности реальным данным.

3. Установлены соотношения между параметрами, при которых предложенная в работе трехсекторная модель может находиться в режиме сбалансированного роста, т.е. система дифференциальных уравнений допускает стационарную траекторию специального вида. Так как многие известные в литературе модели являются частным случаем построенной в настоящей работе, то проверка существования в них траекторий сбалансированного эндогенного роста (TCP) сводится к проверке того, чтобы их параметры удовлетворяли условиям доказанных в настоящей работе теорем.

4. Для случаев, удовлетворяющих условиям теорем 3 и 4, в работе определены условия единственности TCP, найдены допустимые управления и количественные связи между начальными значениями, темпами прироста фазовых переменных и управлениями в целях применения разработанного метода определения TCP к реальной экономической системе.

5. Осуществленное в работе эмпирическое приложение представленной трехсекторной модели к реальной экономике США доказывает возможность практического применения таких моделей для управления распределением имеющихся ресурсов в секторы производственный, образовательный и НИОКР в целях повышения эффективности производства в целом и выявило потенциальную возможность увеличения темпа прироста основных макроэкономических показателей в среднем в 1,5-5 раз на TCP при определенном изменении значений переменных управления.

6. Исследовано влияние прямых инвестиций в НИОКР и отдачи от экспорта технологий на темпы экономического роста путем описания экономики системой дифференциальных уравнений и анализа решений соответствующей задачи

оптимального управления при различных экономически содержательных вариациях входящих в систему функций. Установлена устойчивость найденной оптимальной траектории сбалансированного роста, что дает возможность количественно оценить степень влияния на темп экономического роста уровня развития рынка технологий.

Список работ по теме диссертации

1. Моисеев А.Н. Использование авторегрессии в факторных моделях при выборе инвестиционного портфеля. Материалы научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-98". - М.: ТЕИС, 1998, с.116-123

2. Моисеев А.Н. Математические модели расчета цены опциона американского типа. Интеллектуальные системы. М. 1999. Т.4, вып. 1-2, с. 153-168

3. Моисеев А.Н. Хеджирование опционов американского типа на неполных рынках. Материалы научной конференции студентов и аспирантов "Ломоно-сов-99", М.: ТЕИС, 1999, с.107-115.

4. Моисеев А.Н. Асимметричность информации и среднеквадратичный критерий хеджирования опционов. Финансовая математика / под ред. Ю.М. Оси-пова, М.В. Грачевой, P.M. Нижегородцева, ЕС. Зотовой. - М.: ТЕИС, 2001, с. 165-173.

5. Моисеев А.Н. Двухсекторная модель НТП с закупкой технологий. Моделирование экономических процессов: сборник научных работ молодых ученых / под ред. М.В. Грачевой. - М.: экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2002, с. 188-200.

6. Моисеев А.Н. Оптимальные и сбалансированные траектории в моделях экономического роста с эндогенной формой НТП. Актуальные вопросы экономико-математического моделирования: сборник научных работ кафедры ММАЭ / под общей редакцией М.В. Грачёвой. — М.: экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2004, стр. 178-190.

7. Moiseev A.N. Steady Endogenous Growth With Human Capital and R&D inputs. VI International Congress on Mathematical Modeling. Book of Abstracts -University ofNizhny Novgorod, 2004, p. 425.

Подписано в печать 05.11.2004 Формат 60x88 1/16. Объем 1.75 усл.п.л.

Тираж 100 экз. Заказ № 175 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. 102

»254 ê 1

Введение

Глава 1. Методы хеджирования опционов американского типа

1.1 Хеджирование опционов американского типа на неполных рынках

1.2 Минимизация риска неисполнения обязательств по опционам

1.3 Использование авторегрессионно-факторной динамики доходности при зд выборе инвестиционного портфеля

Глава 2. Траектории экономического роста в многосекторных производственных моделях с мультипликативно-степенными функциями

2.1 Задачи оптимального управления макроэкономическим развитием

2.2 Система дифференциальных уравнений модели экономического роста с производственным, научно-исследовательским и образовательным секто- 49 рами

2.3 Условия существования стационарных траекторий сбалансированного 55 эндогенного роста в системе уравнений трехсекторной модели

2.4 Алгоритм вычисления и свойства траектории сбалансированного роста в ^ трехсекторной модели

Глава 3. Вычисление траектории сбалансированного роста для экономики США

3.1 Оценка параметров трехсекторной модели экономического роста

3.2 Реальные значения экзогенных и определяемых в рамках трехсекторной д^ модели величин для экономики США за 1980-1997 гг.

3.3 Траектория сбалансированного роста экономики США

Глава 4. Оптимальное инвестирование в инновации

4.1 Прямые инвестиции в НИОКР

4.2 Оптимизация экономического роста с учетом возможности прямых инвестиций в технологии и экспорта технологических разработок

4.3 Влияние убывающего или отрицательного темпа прироста трудового ресурса на устойчивость траекторий экономического развития

Инвестиции традиционно считаются движущей силой большинства экономических процессов. Обычно проводится различие между реальными инвестициями и финансовыми. Реальные инвестиции представляют собой вложение капитала в какой-либо тип материально осязаемых активов, таких, как земля, оборудование, заводы, технологии и инновации. Финансовые инвестиции связаны с покупкой ценных бумаг таких, например, как акции, облигации, фьючерсы, опционы. В современной экономике большая часть инвестиций представлена финансовыми инвестициями.

Наибольшую сложность при математических расчетах на фондовых (финансовых) рынках имеют опционы или сделки с чертами опционов (опционы, по определению, представляют собой контракты или ценные бумаги, дающие возможность одной из сторон отказаться от покупки/продажи какого либо актива при изменении цены на этот актив в неблагоприятную сторону без каких-либо дополнительных платежей). Так как опционы позволяют страховать финансовые риски, то существует большая потребность в точном математическом моделировании поведения инвестора в различного рода опционных кон- 1 трактах, и разработке методов и. алгоритмов вычисления необходимых для оперирования на рынке величин и стратегий (таких как стоимость ценных бумаг, величин рисков, доходности, инвестиционных стратегий и т.д.).

В связи с. этим, в современной экономико-математической литературе широкое распространение получила теория хеджирования (страхования риска) опционов, ключевыми моделями которой являются модель Блэка-Шоулса и модель Кокса-Росса-Рубинштейна, а также теория Марковитца выбора инвестиционного портфеля и его алгоритм квадратичного динамического программирования построения эффективного множества. Теория хеджирования опционов представляет собой специальную адаптацию к экономическим потребностям теории стохастических дифференциальных уравнений и теории вероятностей. В настоящей диссертации рассматривается несколько отличный от стандартного подход к хеджированию опционов, основанный на минимизации среднеквадратичного функционала (меры риска) и построении соответствующего расчетного (хеджирующего) алгоритма, обосновываются преимущества данного метода по сравнению со стандартными методами хеджирования с вероятностью единица. В работе построен и запрограммирован пошаговый динамический алгоритм минимизации рисков по опционам американского (дающего возможность исполнить контракт в любой момент времени в течение срока действия опциона) типа, что позволяет инвестору быстро определить, на сколько переоценены или недооценены те или иные опционы, а участникам договора с чертами опциона (т.е. такого, в котором, например, оговорены отложенные на некоторое время инвестиции) определить точную величину возмещения одной из сторон за принятие дополнительного риска.

Модели экономического роста (агрегированные модели производства) также играют важную роль в экономических исследованиях, в частности при решении задач о выборе направления и пропорций реальных инвестиций. Эти модели могут быть использованы как для описания всей экономики в целом, так и отдельного крупного промышленного предприятия, включая крупные производства, банки, страховые компании, научно-исследовательские центры и т. д., т.к. в них рассматриваются во взаимодействии наиболее важные экономические процессы: производства, инвестирования и потребления.

Основой успешных инвестиций является не только правильное размещение ресурсов среди имеющихся возможностей, но и определение, и расширение числа доступных возможностей. Расширением таких возможностей являются различные схемы учета НТП (научно-технического прогресса) в моделях экономического роста, которые позволяют находить дополнительные ниши для инвестиций. Задачи, связанные с выбором целей для инвестиций и оптимального в определенном смысле распределения средств среди доступных инвестиционных возможностей, в целом одинаковы как для одного субъекта народнохозяйственной деятельности (домохозяйства), так и для экономики крупного общественного образования (государства, крупной фирмы) в целом.

Существует два основных подхода к моделированию производственно-экономических систем - с помощью производственных функций и дифференциальных уравнений (как правило, это непрерывные по времени модели), и с помощью матричных уравнений, с использованием теории неотрицательных матриц. Первый подход развивался от широко известной модели Солоу экономического роста, наиболее распространен в современной западной литературе и развивает методы математической теории оптимального управления в приложении к экономической теории. Второй подход обязан своим происхождением модели межотраслевого баланса Леонтьева и динамической модели Неймана.

В настоящей диссертации рассматриваются проблемы оптимального и сбалансированного экономического роста при наличии инвестиций не только в физический капитал, но и в ряд таких производственных ресурсов как человеческий капитал, сектор НИОКР (научные исследования и опытно-конструкторские разработки), покупка технологий на мировом рынке, в рамках первого подхода. Как показала мировая практика, объем вложений в основные фонды (станки, здания и т.д.) является не единственным определяющим фактором экономического роста. Для развития экономики не менее важны вложения в новые технологии (инновации), а также в образование (в человеческий капитал).

Таким образом, и задача инвестирования в агрегированных производственных моделях и задача выбора инвестиционного портфеля агентом на финансовом рынке связаны с выбором целей для инвестиций и оптимального в том или ином смысле распределения имеющихся финансовых или материальных средств среди доступных активов. Разработанные в настоящей работе математические методы и алгоритмы оптимизации управляемых инвестиционных процессов, произведенные качественные исследования оптимальных траекторий, а также реализация всех расчетов в виде программных комплексов, дают субъекту экономической деятельности необходимые инструменты анализа эффективности функционирования экономических систем и точные рекомендации при принятии решений в каждый период времени.

Целью настоящей диссертации является разработка математических методов и алгоритмов управления инвестициями, в моделях, учитывающих реально существующие инвестиционные возможности на финансовых рынках (при хеджировании опционов американского типа и выборе портфеля ценных бумаг) и в экономике в целом (при определении сбалансированного или оптимального экономического роста в моделях с эндогенной формой НТП).

Исходя из этой цели, в работе поставлены следующие задачи:

- Определения рациональной цены, оптимальной инвестиционной стратегии продавца опциона американского типа при среднеквадратичном критерии хеджирования и вычислительной сложности используемых расчетных схем хеджирования опционов при различных критериях исполнения опциона, разработки метода снижения риска неисполнения опциона, основанного на формировании портфеля опционов

- Модификации факторной модели определения доходности акции путем включения в нее элементов авторегрессии с последующей разработкой алгоритма вычисления ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг в рамках новой модели

- Построения наиболее общей трехсекторной модели экономического роста с эндогенной формой НТП, в которой производство человеческого капитала и технологических разработок выделено в два независимых сектора, описываемых системой дифференциальных уравнений специального вида, и качественного исследования экономически содержательных решений этой системы

- Определения условий существования и разработки метода вычисления стационарных траекторий специального вида (режима сбалансированного эндогенного роста) в широком классе динамических моделей экономического роста с мультипликативно-степенными производственными функциями

- Практического применения построенной трехсекторной модели и разработанных для нее методов для реальной экономики какой-либо страны, с целью выявления возможности более эффективного экономического развития и определения количественных рекомендаций по его достижению

- Моделирования экспорта технологических разработок и прямых инвестиций в НИОКР, с последующим решением задачи оптимального управления и исследованием этого решения на устойчивость, в зависимости от вида входящих в исходную систему функций, соотношений между объемами инвестиций в физический капитал, инвестиций в сектор НИОКР и потреблением, а также оценки возможных преимуществ от продажи технологий.

Научную новизну составляют следующие результаты работы:

1. На основе построенного алгоритма минимизации интегрального среднеквадратичного функционала с дискретным временем и усреднением по вероятности, измеряющего риск по опциону, разработан новый метод определения рациональной стоимости и оптимальной инвестиционной стратегии продавца опциона американского (т.е. с возможностью его предъявления к исполнению в любой момент времени до указанной даты) типа. Проанализирована вычислительная сложность алгоритма, определено преобразование, позволяющее использовать методы оптимизации инвестиционного портфеля ценных бумаг для составления портфеля опционов.

2. Предложен новый метод расчета ковариационной матрицы случайных величин до-ходностей ценных бумаг, базирующийся на авторегрессионно-факторной стохастической модели описания изменчивости доходностей во времени. Метод позволяет существенно снизить сложность вычисления коэффициентов корреляции доходностей в случае большого числа рассматриваемых ценных бумаг при составлении инвестиционного портфеля.

3. Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений нового вида, структура которой обусловлена экономическим содержанием, для качественного исследования решений которой применяется новый математический аппарат сведения исходной системы к матричному уравнению. Найдены условия существования и единственности стационарного решения специального вида в этой системе без прямого ее решения.

4. Разработан общий метод определения стационарных сбалансированных и эндогенных (с темпом прироста фазовых величин, зависящих от параметров самой модели, но не ограниченных экзогенно заданными величинами, таких как темп прироста трудового ресурса) траекторий роста и соответствующих управлений в многосекторных производственных моделях с мультипликативно-степенными функциями. В частности, построен алгоритм вычисления стационарной сбалансированной траектории в системе дифференциальных уравнений трехсекторной модели экономического роста, при заданных эмпирических оценках параметров системы.

5. Методами математической статистики произведена оценка параметров трехсек-торной модели на основе данных для США за 1980-1997 гг. и, таким образом, построена конечная модель, описывающая реальную экономику США. Количественно найдена одна из возможных траекторий сбалансированного роста и значения постоянных управлений на этой траектории. Сконструирован ряд экономических индексов, таких как индекс человеческого капитала, индекс запаса используемых знаний, объем загруженного в НИОКР капитала и получены их эмпирические оценки.

6. Найдены оптимальные значения управлений и траектория развития экономики, описываемой предложенной в диссертации модификацией модели Рамсея, учитывающей продажу технологии технологий и прямые инвестиции в НИОКР. Произведен вариационный анализ решения и исследование устойчивости решения в зависимости от начальных значений, динамики трудового ресурса и политики экспорта технологий.

Диссертация имеет как теоретическое так и практическое значение. Разработанные в диссертации математические методы^ алгоритмы и подходы расширяют сферу применения математических теорий, которые исторически имели объектом своего приложения в основном физические задачи и задачи управления техникой, в экономическую область.

Результаты, полученные при качественном анализе построенных в работе трехсек-торной модели экономического роста, которая обобщает все наиболее популярные в современной экономико-математической литературе многосекторные модели, учитывающие научно-технический прогресс, и моделей, учитывающих прямые инвестиции в инновации, могут быть полезны для более полного понимания структуры экономических систем, эффективности их функционирования и степени влияния различных факторов на уровень развития экономики.

Несомненное практическое значение имеют предложенный в диссертации метод хеджирования опционов американского типа, позволяющий использовать для расчетов произвольные стохастические модели динамики котировок акций, а также полная эмпирическая апробация трехсекторной модели экономического роста на реальных данных, что для моделей такого класса было сделано впервые.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе для преподавания математических методов в экономике, операторами фондовых рынков для снижения инвестиционных рисков, научными организациями и органами государственного управления для анализа и прогнозирования основных тенденций экономического развития, а также руководителями предприятий для управления инвестиционными потоками с целью повышения эффективности функционирования производства.

Поставленная цель определила следующую логику и структуру работы. В первой главе проводится анализ и сравнение методов расчета опционов и на основе среднеквадратичного критерия строится метод хеджирования опциона американского типа. Под хеджированием понимается одна из технологий снижения риска, связанная с динамической инвестиционной стратегией. Определяются рациональная цена опциона, инвестиционная стратегия эмитента, методы снижения риска в опционных сделках. Так как одним из методов снижения риска является диверсификация, то далее представлена модификация факторной модели оценки доходностей ценных бумаг при выборе инвестиционного, портфеля методом Марковича. В главе выведены расчетные формулы для ожидаемых доходностей и ковариаций между доходностями различных ценных бумаг, необходимых для определения оптимального инвестиционного портфеля инвестора.

Во второй главе рассматриваются основные методы учета научно-технического прогресса в агрегированных народнохозяйственных моделях, исследуются схемы влияния инновационной деятельности на экономический рост. Построена новая агрегированная модель экономического роста с производственным, образовательным и НИОКР секторами, найдены условия существования траекторий сбалансированного роста в этой модели, исследованы свойства этих траекторий и определен алгоритм их практического расчета.

Третья глава представляет собой практическое применение построенной в предыдущей главе трехсекторной модели для анализа экономики США. Эмпирически оценивается множество параметров модели на основе реальных экономических показателей, численные значения которых взяты из различных баз данных США. Благодаря теоретическим результатам предыдущей главы, найдена траектория сбалансированного роста экономики и необходимые для поддержания такого роста значения управлений.

В четвертой главе произведен анализ возможностей государственного регулирования экономики путем прямого инвестирования в различные секторы. Построена модификация двухсекторной модели экономического роста, с НТП в эндогенной форме, учитывающая возможность покупки технологий на мировом рынке. Исследованы свойства этой модели относительно существования режима сбалансированного и эндогенного роста. Модифицирована модель Рамсея путем учета возможности продажи технологий на мировом рынке, найдены оптимальные объемы инвестиций в сектор НИОКР и физический капитал, проведено качественное исследование оптимальной траектории развития экономики в зависимости от различных условий.

В заключении даны основные выводы и результаты, полученные в диссертации. Работа объемом 139 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографии. Список литературы содержит 74 наименования.

Заключение

Разработанные в работе алгоритмы и методы решения экстремальных задач, постановка которых определена экономическим содержанием, качественное и количественное исследование этих решений позволяют находить оптимальные или рациональные в том или ином смысле динамические стратегии инвестиций или распределения материальных ресурсов на фондовом рынке и в экономике в целом. В качестве основных выводов работы можно отметить следующие:

1. Компьютерная реализация предложенного метода расчета инвестиционной стратегии эмитента опциона американского типа, показала большую эффективность данного метода в сравнении с другими методами хеджирования опционов, как с точки зрения вычислительной сложности используемого алгоритма, так и с точки зрения области применения.

2. Новый метод расчета ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг на основе авторегрессионно-факторной модели динамики стоимостей акций существенно снижает объем вычислений при оценке значений ковариаций, сохраняя при этом значительную статистическую близость модельных значений доходности реальным данным.

3. Установлены соотношения между параметрами, при которых предложенная в работе трехсекторная модель может находиться в режиме сбалансированного роста, т.е. система дифференциальных уравнений допускает квазистационарную траекторию специального вида. Так как многие известные в литературе модели являются частным случаем построенной в настоящей работе, то проверка существования в них траекторий сбалансированного эндогенного роста (TCP) сводится к проверке того, чтобы параметры в них удовлетворяли условиям доказанных в настоящей работе теорем.

4. Для случаев, удовлетворяющих условиям теорем, в работе исследованы вопросы единственности TCP, определены множества допустимых управлений и количественные связи между начальными значениями, темпами прироста фазовых переменных и управлениями, с целью применения разработанного метода определения TCP к реальной экономической системе.

5. Осуществленное в работе эмпирическое приложение представленной трехсектор-ной модели к реальной экономике США доказывает возможность практического применения таких моделей для управления распределением имеющихся ресурсов в промышленный, образовательный и НИОКР сектора с целью повышения эффективности производства в целом и выявило потенциальную возможность увеличения темпа прироста основных макроэкономических показателей в среднем в 1,5-5 раз на TCP при определенном изменении значений переменных управления.

6. Исследовано влияние прямых инвестиций в НИОКР и отдачи от экспорта технологий на темпы экономического роста, путем описания экономики системой дифференциальных уравнений и анализа решений соответствующей задачи оптимального управления при различных экономически содержательных вариациях входящих в систему функций. Установлена устойчивость найденной оптимальной траектории сбалансированного роста, что дает возможность количественно оценить степень влияния на темп экономического роста уровня развития рынка технологий.

1. Arnold L.G. (1998) "Growth, Welfare, and Trade in an 1.tegrated Model of Human Capital Accumulation and R&D", Journal of Macroeconomics, vol. 20, no. 1, pp. 81-105.

2. Barro R.J., Sala-i-Martin X. (1995). Economic Growth. McGraw-Hill, Inc.

3. Benjamin King F. (1966). "Market and Industry Factors in Stock Price Behavior", Journal of Business, vol. 39, no. 1 (January), pp. 139-170.

4. Black F., Scholes M. (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political Economy, vol. 81, no. 3, pp. 637-657.

5. Blackburn K., Hung Y.T.Y. and Pozzolo A.F. (2000) "Research, Development and Human Capital Accumulation", Journal of Macroeconomics, vol. 22, no. 2, pp. 189-206.

6. Bucci A. (2001) "On Scale Effects, Market Power and Growth when Human and Technological Capital are Complements ", International Review of Economics and Business, vol. 48, no. 1, pp. 21-47.

7. Cox J. C., Ross R. A., Rubinstein M. (1979). "Option pricing: a simplified approach", Journal of Financial Economics, vol. 7, no. 3, pp. 229-263.

8. Eicher T.S. (1996) "Interaction between Endogenous Human Capital and Technological Change", Review of Economic Studies, vol. 63, no. 1, pp. 127-44.

9. Follmer H., Schweizer M. (1991). "Hedging of contingent claims under incomplete information", Applied Stochastic Analysis (Stochastic Monographs, v.5) / Ed.' M.H.A. Davis and R.J. Elliott, London: Gordon and Breach, pp. 389-414.

10. Grossman, G.M. and Helpman E. (1991). "Innovation and growth in the global economy", Cambridge, MA, MIT Press.

11. Harrod R.F. (1956). Towards a Dynamic Economics", London: Macmillan.

12. Howitt, Peter (1999). "Steady Endogenous Growth with Population and R&D Inputs Growing", vol. 107, no. 4.

13. Jones, C.I and J.C. Williams (2000) "Too Much of a Good Thing? The Economics of Investment in R&D", Journal of Economic Growth, 5(1), pp. 65-85.

14. Lucas Robert. E. (1988) "On the Mechanics of Economis Development", Journal of Monetary Economics, vol. 22, no. 1 (Jully), pp. 3-42.

15. Malthus T. (1986). An Essay on The Principle of Population. London. W. Pickering.

16. Markowitz Harry M. (1952). "Portfolio Selection", Journal of Finance, vol. 7, no. 1 (March), pp. 77-91.

17. Markowitz Harry M. (1956). "The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints", Naval Research Logistic Quarterly, vol 3 (March-June), nos. 1-2, pp. 111-133.

18. Merton R.C. (1990). "Theory of Rational Option Pricing", Continuous-Time Finance, Cambridge, pp. 255-308.

19. Moiseev A.N. (2004). Steady Endogenous Growth With Human Capital and R&D inputs. VI International Congress on Mathematical Modeling. Book of Abstracts University of Niz-hny Novgorod, p. 425.

20. Mulligan Casey B., Xavier Sala-i-Martin (1995). Measuring Aggregate Human Capital. NBER Working Paper No. W5016.

21. Mulligan Casey B., Xavier Sala-i-Martin (1997). "A Labor-Income-Based Measure of the Value of Human Capital: An Application to the States of the United States". Japan and the World Economy, vol 9, no. 2 (May), pp. 159-191.

22. Mulligan Casey B., Xavier Sala-i-Martin (1993). "Transitional Dinamics in Two-Sector Models of Endogenous Growth," Quarterly Journal of Economics, vol. 108, no. 3 (August), pp. 737-773.

23. Nadiri M. Ishaq, Prucha R. Ingmar (1993). Estimation of the depreciation rate of physical and R&D capital in the U.S. total manufacturing sector, NBER working paper #4591.

24. Ramsey F. P. (1928). "A mathematical theory of saving", Economic Journal, vol. 38, pp. 543-559.

25. Rebelo, Sergio (1991). "Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth," Journal of Political Economy, 99, 3 (June), 500-521.

26. Redding S. (1996) "The Low-Skill, Low-Quality Trap: Strategic Complementarities between Human Capital and R&D", The Economic Journal, 106, pp. 458-470.

27. Romer Paul. M. (1986). "Increasing returns and long-run grouth," Journal of Political Economy, vol. 94, no. 5.

28. Romer Paul. M. (1990). "Endogenous technical change," Journal of Political Economy, vol. 98, no. 5, pp. S71-S102.

29. Romer, David (1996). Advanced Macroeconomics. University of California, Berkeley, The McGraw-Hill Companies, Inc.

30. Rubinstein M. (1985). "Alternative Paths to Portfolio Insurance", Financial Analysts Journal, vol. .41 (July/August), pp. 42-52.

31. Schweizer M. (1995). "Variance-optimal hedging in discrete time", Mathematics of Operation Research, vol. 20, no. 1, pp. 1-32.

32. Sharp William F. (1984). "Factor Models, CAPMs, and the ABT sic.", Journal of Portfolio Management, vol. 11, no. 1, pp. 21-25.

33. Solow R.M. (1957). "Technical change and the aggregate production function", Revue of

34. Economics and Statistics, vol. 39, pp. 312-320.

35. Solow R.M. (1962). "Technical Progress, Capital Formation and Economic Growth", Amer. Econ. Rev. Proc. vol. 52 (May).

36. Spence, Michael (1976). "Product Selection, Fixed Costs, and Monopolistic Competition," Review of Economic Studies, vol. 43, no. 2 (June), pp. 217-235.

37. Stokey Nancy. (1988), "Learning by Doing and the Introduction of New Goods", Journal of Political Economy, 96(4), pp.701-17.

38. Swan T. W. (1956). "Economic growth and capital accumulation", Economic Record, vol. 32, pp. 336-361.

39. Taylor S. (1986). Modelling Financial Time Series, New York, Willey & Sons.

40. Uzawa, Hirofumi (1965). "Optimal Technical Change in an Aggregative Model of Economic Growth," International Economic Review, vol. 6 (January), pp. 18-31.

41. Uzawa, Hirofumi (1968), "Time Preference, the Consumption Function, and Optimum Asset Holdings," in J.N. Wolfe, ed., Value, Capital, and Growth, Chicago, Aldine.

42. Young, A. (1993). "Invention and Bounded Learning by Doing," Journal of Political Economy, 101(3), pp. 443-72.

43. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин C.B. (1979). Оптимальное управление. М.: Наука.

44. Афанасьев Г.А. (1997). "Сравнение стохастических моделей динамики стоимостей акций на примере расчета опционов", Обозрение прикладной и промышленной математики, том 4, вып.4.

45. Боровков А. А. (1984). Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука.

46. Васильев Ф.П. (1988). Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука.

47. Галеев Э.М. (1996). Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению. М. Издательство механико-математического факультета МГУ.

48. Голиченко О.Г. (1999). Экономическое развитие в условиях несовершенной конкуренции. Подходы к многоуровневому моделированию. М.: Наука.

49. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. (1994) Математическое описание элементов экономики. М.: Издательская фирма «Физико-математическая литература» ВО «Наука».

50. Кича И.В., Токарев В.В. (2000). "Переход от среднеотраслевых показателей к макроэкономическим", Экономика и математические методы, том 36, вып. 3.

51. Клейнер Г.Б. (1986). Производственные функции: Тории, методы, применение, М.: Финансы и статистика.

52. Кротов В.Ф., Лагоша Б.А., Лобанов С.М., Данилина Н.И., Сергеев С.И. (1990). Основы теории оптимального управления. М.: Высшая школа.

53. Лотов A.B. (1984). Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука.

54. Мельников A.B. (2001). "О финансовой и актуарной математике", Обозрение прикладной и промышленной математики, том 8, вып.1.

55. Моисеев А.Н. (1998). Использование авторегрессии в факторных моделях при выборе инвестиционного портфеля. Материалы научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-98". -М.: ТЕИС, с.116-123.

56. Моисеев А.Н. (1999а). Математические модели расчета цены опциона американского типа. Интеллектуальные системы, том 4, вып. 1-2, с.153-168.

57. Моисеев А.Н. (19996). Хеджирование опционов американского типа на неполных рынках. Материалы научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-99", М.: ТЕИС, с.107-115.

58. Моисеев А.Н. (2001). Асимметричность информации и среднеквадратичный критерий хеджирования опционов. Финансовая математика / под ред. Ю.М. Осипова, М.В. Грачевой, P.M. Ниэюегородцева, Е.С. Зотовой. М.: экономический факультет МГУ, ТЕ' ИС, с. 165-173.

59. Моисеев А.Н. (2002). Двухсекторная модель НТП с закупкой технологий. Моделирование экономических процессов: сборник научных работ молодых ученых / под ред. М.В. Грачевой. -М.: экономический факультет МГУ, ТЕИС, стр. 188-200.

60. Молодцов Д.А. (1998). "Стратегический подход к управлению портфелем", Банковские технологии, №7(39).

61. Молодцов Д.А. (1999). "Управление портфелем при манипулировании финансовыми потоками", Аудит и финансовый анализ, №2.

62. Молодцов Д.А. (2000). "Многопортфельное управление", Банковские технологии, №12(63).

63. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. (1996). Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат.

64. Себер Дж. (1983). Линейный регрессионный анализ. М.

65. Селезнева T.B. Тутубалин В.Н. Угер Е.Г. (1997). "Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляции", Обозрение прикладной и промышленной математики, том 4, вып. 1.

66. Смирнова А.К. (2001). Анализ агрегированных динамических моделей, М.: Макс Пресс.

67. Токарев В.В. (1999). "Гарантирующее решение конечношаговой задачи управления запасами", Автоматика и телемеханика, №8.

68. Токарев В.В. (2002). "Оптимальные и допустимые программы управления кредитом", Автоматика и телемеханика, №1.

69. Черемных Ю.Н. (1971). Вопросы качественного исследования решений динамических моделей экономики, М.: МГУ.

70. Черемных Ю.Н. (1975). Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей экономики (Вопросы магистральной теории), М.:МГУ.

71. Черемных Ю.Н. (1982). Анализ поведения траекторий динамики народнохозяйственных моделей. М.: Наука.

72. Шарп У.Ф. Александер Г.Дж. Бэйли Д.В. (1997). Инвестиции. М.: Инфра-М.

73. Шведов A.C. (1998). "Лекции о математических методах, используемых при работе с опционами", Экономический журнал высшей школы экономики, том 2, №3, стр. 385409.

74. Ширяев А.Н. (1998). Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис.