Особые стратифицированные многообразия для инволютивных управляемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

1 Задача J1. Ф. Зеликиной.

1.1 Теорема о структуре оптимального синтеза.

1.2 Метод дифференциальных форм

1.3 Эквивалентность условий оптимальности.

2 Обобщение.

2.1 Инвариантная форма условий оптимальности.

2.2 Метод дифференциальных форм для общей задачи.

2.3 Теорема о неоптимальных переключениях.

2.4 Теорема о структуре оптимального синтеза.

3 Доказательство теоремы.

3.1 Выбор системы координат.

3.2 Построение синтеза.

3.3 Универсальность особых многообразий.

3.4 Доказательство оптимальности синтеза.

3.5 Эквивалентность условий оптимальности.

4 Пример.

Задача построения оптимального синтеза является одной из основных в теории оптимального управления. В простейшем случае синтез для управляемой системы вида х = j(x,u), ueU,x eRn можно определить как управление и = и{х), построенное по принципу обратной связи, и совокупность решений автономной системы дифференциальных уравнений x = f(x,u(x)). (1)

Однако, для многих задач часто оказывается, что правая часть системы (1) может не быть не только липшицевой, но даже и просто непрерывной по фазовой переменной х. Как следствие, классическое определение решения системы дифференциальных уравнений здесь не применимо. Естественным способом преодолеть эту проблему является использование какого-либо определения решения для системы с разрывной правой частью. Для примера рассмотрим два таких определения.

Определение 1 Абсолютно непрерывная функция x(t) называется решением системы дифференциальных уравнений (1) на интервале t £ (to,ti), если соотношение x(t)=f(x(t),u(x(t))) выполнено для почти всех t Е (to,

Определение 2 [54] Абсолютно непрерывная функция x(t) называется решением системы дифференциальных уравнений (1) на интервале t Е (to,ti), если она удовлетворяет дифференциальному включению x{t) Е F(x(t)) почти всюду на интервале (to,ti). F(x) - многозначная функция, которая в точках непрерывности функции и(х) совпадает с f(x,u(x)), а в точках её разрыва является наименьшим выпуклым множеством, содержащим все предельные значения функции f(x\u(x*)), при х* —} х и х* не принадлежит множеству точек разрыва функции и(х).

Выбор того или иного определения решения обычно зависит от специфики решаемой задачи, хотя в общем случае можно воспользоваться Определением 1, как наиболее универсальным. В данной работе используется Определение 2, поскольку оно является наиболее удобным для рассматриваемого класса задач.

Следует заметить, что часто независимо от выбранного определения возникает другая сложность, связанная с неединственностью решения автономной системы (1). Другими словами, только лишь функции управления, построенной по принципу обратной связи, не достаточно для полного определения синтеза - требуется дополнительно выделить единственную траекторию для каждого начального значения.

Таким образом, синтез - это пара, состоящая из управления, построенного по принципу обратной связи, и некоторого подмножества траекторий системы дифференциальных уравнений (1), обладающих свойством правосторонней единственности. Иногда синтез определяется сразу в виде множества пар управление-траектория, построенных для каждого начального значения из исследуемой области в фазовом пространстве и не обязательно связанных между собой через систему вида (1) (см. [23], [25]).

В настоящее время наиболее удобным средством построения оптимального управления является Принцип максимума Понтрягина. В первоначальной формулировке, предложенной Понтрягиным, от правой части управляемой системы вида х = f(t,x,u) требуется непрерывная дифференцируемость по фазовым переменным х. Результатом применения принципа максимума является система дифференциальных уравнения для поиска сопряжённых переменных, удовлетворяющих условию минимума гамильтониана. Но, поскольку Л. С. Понтрягиным был сформулирован в первую очередь именно "принцип", который может быть применён и к задачам, не удовлетворяющим условиям классической формулировки, то существуют различные варианты принципа максимума либо ослабляющие требования к правой части системы, либо усиливающие утверждение.

К первым можно отнести принцип максимума из "негладкого анализа" [3], [4], где от правой части требуется только липшицевость по переменным х, а сопряжённая система заменяется сопряжённым дифференциальным включением. Другим примером является принцип максимума для дифференциального включения, когда динамика управляемой системы записывается в виде х G F(t, х).

Последующие работы в данной области велись в основном по трём направлениям: поиск наиболее сильной формы сопряжённого включения ([3], [11], [21], [36], [47], [50], [52]); обобщение на случай задач с фазовыми ограничениями ([3], [30], [33], [41], [42], [51]) и методы аппроксимации дифференциального включения последовательностью гладких управляемых систем ([1], [31], [32], [47]).

В случае, когда Принципа максимума не позволяет выделить единственного кандидата на оптимальное решение, что особенно характерно для задач, являющихся линейными по управлению, требуются условия оптимальности высших порядков.

Для скалярного управления такие условия были получены Келли и впоследствии обобщены в работах Коппа и Мойера [17].

Случай многомерного управления исследовался в работах Гоха [12], Болонкина [37] и Вапнярского [38]. В последствии в работах Габасова и Кирилловой [39] был предложен общий подход для получения подобных условий оптимальности посредством использования пакетов вариаций исходной траектории.

В более полном виде условия высших порядков были найдены Кренером [18] с использованием техники бесконечномерных алгебр Ли векторных полей на многообразиях.

В последствии данное направление активно развивалось в связи с исследованием задачи локальной управляемости на малом интервале времени (small-time locally controllable systems). Связующим звеном теории локальной управляемости с необходимыми условиями оптимальности является необходимость исследования множества допустимых вариаций. Ряд исследований по данной тематике был проведён в работах [13]-[15], а затем в работах Аграчёва и Гамкрелид-зе [28] было построено хронологическое исчисление. В последствии полученный формализм, а также свойства алгебр Ли, возникающих при использовании данного метода, были применены для получения новых необходимых условий оптимальности ([2], [16], [24], [27]).

Пары смыкающихся друг с другом необходимых и достаточных условий оптимальности высших порядков построены в работах Милютина, Левитина, Осмоловского, Дмитрука [19], [6]. Метод, основанный на исследовании сопряжённых точек, получил развитие в работах [7]-[10]. Отличие от классической теории состоит в том, что вместо второй вариации функционала рассматривается функция, являющаяся максимумом значений некоторого семейства квадратичных форм на конусе. Данный подход позволяет исследовать задачи с вырождающимися условиями Лежандра и применим в случае наличия терминальных ограничений.

Несмотря на та кое большое разнообразие различных условий оптимальности высокого порядка, все эти результаты направлены на более строгую проверку траекторий, предварительно найденных каким-либо образом. Другими словами, они дополняют метод поиска оптимальных траекторий (например, принцип максимума Понтрягина) в тех случаях, когда он не даёт однозначного ответа.

В то же время, собственно задаче поиска оптимальных траекторий посвящено достаточно мало работ. Недостаток подобных средств особенно остро ощущается при решении задач большой размерности. Это связано с тем, что применение принципа максимума Понтрягина для поиска траекторий, подозрительных на оптимальность, требует решения системы дифференциальных уравнений размерности в два раза больше исходной. Основной трудностью в этом случае является исследование структуры поля траекторий систем большой размерности.

Именно поэтому большинство работ посвящено решению задач с двумя или тремя фазовыми переменными [34], [37], в то время, как точное решения в многомерном случае получено лишь в исключительных ситуациях [43], [48]. При этом найденное управление часто является релейным, то есть принимающим только крайние значения. Для большинства же практических задач большую ценность имеют именно особые режимы. Так, например, для экономической задачи оптимального распределения ресурсов случай, когда все инвестиции направляются в каждый момент времени только в одну отрасль (релейное управление) имеет меньшую практическую ценность, чем частичное их перераспределение между несколькими отраслями (особое управление). Схожие ситуации можно встретить также в задачах изучаемых в робототехнике или космонавтике.

Условия оптимальности особых траекторий для аффинных по управлению задач, полученные в работах Зеликина [26],[44]-[46], позволяют найти траектории, удовлетворяющие одновременно как Принципу максимума Понтрягина, так и условиям высшего порядка. Кроме того, эти условия позволяют описать множества, содержащие особые траектории, посредством системы конечных уравнений. Данный подход, основанный на сведении аффинной по управлению задачи оптимального управления к задаче минимизации криволинейного интеграла от дифференциальной формы, послужил основой для обобщения результатов, полученных Л. Ф. Зеликиной. В работе [43] была рассмотрена система следующего вида: х1 — ulQ(x),i = 1, .,n.

2)

Посредством принципа максимума был построен оптимальный синтез для задачи быстродействия с данной управляемой системой и показано, что структура синтеза содержит стратифицированное многообразие, состоящее из особых траекторий разного типа. Было также показано, что при движении вдоль оптимальных траекторий по особому многообразию, они переходят со стратов большей размерности на страты меньшей до тех пор, пока не достигнут одномерного страта, называемого главной магистралью. При этом участок, лежащий на главной магистрали увеличивается с удалением цели.

Доказательства в работе Зеликиной основывались на Принципе максимума Понтрягина. В связи с этим, они потребовали значительных усилий и существенно опирались на специфический вид управляемой системы (2).

В данной работе результаты Л. Ф. Зеликиной обобщаются на произвольную аффинную по управлению инволютивную систему.

Рассмотрим произвольную аффинную по управлению управляемую систему где х G R"; Л(х) - векторное поле в R"; В(х) - матрица размерности п х т; и G U, U С Мт - многогранник. Рассмотрим f(x, U) - образ многогранника U в касательном пространстве к каждой точке х. Пусть ег-,г = 1, .,р - вершины U и (pi(x) = f(x, а).

Определение 3 Система (3) называется инволютивной, если распределение плоскостей Lin\ipir,., ipik} является инволютивным для произвольного набора ii,индексов от 1 до р.

Исследование опирается на метод дифференциальных форм. Перейдём к изложению содержания работы.

Во введении даётся обзор последних достижений в теории оптимального управления, связанных с задачами построения оптимального синтеза и поиска условий оптимальности особых траекторий. х = f(x, и) = А(х) + В(х)и,

3)

Первая глава диссертации носит технический характер и посвящена исследованию следующей задачи оптимального управления.

Т—>inf х = uQ(x) (4) х(0 ) = a,x{T) = beWi.M1 п где х € R™, и € U = {w G | £ иг = 1, иг > 0}, Q(x) - скалярная функция, г=1 dQ(x) принимающая вместе со всеми своими частными производными g v' положительные значения в R"; W\.„n - некоторое, одномерное многообразие в Rre, определяемое ниже при формулировке Теоремы 1.

Основным результатом является следующая ниже теорема, устанавливающая эквивалентность необходимых и достаточных условий оптимальности для задачи (4), полученных в работе Зеликиной, условиям оптимальности, опирающимся на метод дифференциальных форм.

В пунктах 1.1-1.2, которые носят обзорный характер, для полноты изложения приводятся результаты, полученные Л. Ф. Зеликиной [43] и состоящие в том, что при некоторых дополнительных условиях на функцию Q(x), оптимальный синтез для задачи (4) содержит стратифицированное многообразие, состоящее из особых траекторий. Кроме того, особое многообразие является универсальным в следующем смысле.

Определение 4 Рассмотрим автономную управляемую систему х = f{x,u).

Множество V нулевой меры в пространстве X называется универсальным множеством для некоторого синтеза, если V^o £ V, существует такое Т0 > 0, что Vi G (0, Т0) существует такая окрестность Uf(xo) точки Хо в пространстве X, что для всех точек х € 17{(хо) траектория синтеза, выходящая из точки х, в момент времени t окажется на V.

Теорема 1 [43] Пусть функция Q(x) в задаче (4) такова, что

1) множество WL„n = {х е Жп =

2) для любого набора I = {ii, .,ik}, к = 2,., п на множестве функции Д^ ^ , s е I неравны нулю и имеют одинаковые знаки, равные (-1)*"1.

ТЬгда множества ik = {хе dQ dQ dQ, max -Kj} dxh "' dxik 10 dxl являются особыми универсальными [n-k-\-\)-мерными многообразиями. Оптимальный синтез имеет следующий вид: множества W^- в числе пересекаются по одномерному многообразию Wi.n, разбивая пространство R" на области

При этом

1, j = г dQ dQ > max —} dxl ¥i dxl' если x 6 Wi] . . 0,j i {h,.,ik}, u3[x) = ^ Aj , если X e wh„.ik.

С { ' I • • • 'A- }

H-'fc

Здесь A- определитель, aAjl ik - алгебраическое дополнение к j-тому элементу последней строки матрицы д ( 9Q 8Q\ д ( dQ dQ\ \

VdajU дх1ъ )

Л■ • —

Эх д (М. - дQ ^

I Vai'i Эхг2 j д дх1к dQ dQ dx'i УдхЪ-1 дхгк 1 д дхгк dQ dQ N Var'fc-l dx'kj 1

5)

В пункте 1.3 приводится обзор метода дифференциальных форм Зеликина М. И. [26], на который опирается дальнейшее изложение. Этот метод позволяет свести произвольную аффинную по управлению задачу с множеством допустимых управлений, являющимся многогранником, к задаче минимизации интеграла от дифференциальной формы вида

Г со —->- inf / ч

6) х G К(х), где со - дифференциальная 1-форма; К(х) - конус с вершиной в точке х. Для задач данного вида получены необходимые и достаточные условия оптимальности особых траекторий.

Предположим, что К(х) - многогранный конус с образующими ipi(x),., tpm(x).

Определение 5 Пусть I = {ii,., ik\ и Lf{x) - конус, натянутый на векторы р^(х), .,cpik(x). Тогда Ш Lr(x) = v = £ > 0}iei

Определение 6 Траектория x(t) называется (строго) Li-особой на интервале (t0,ti), если x(t) G Ri Lj(x(t)),\/t G {to,h).

Определение 7 Функция Q(x, у) достигает локального минимума по х в точках х(у) равномерно по у &Y, если Зе > 0 : Q(x,y) > Q(x(y),y),\/y G Y, \x — x(y) I < £.

Определение 8 Дифференциальная 1-форма со называется положительно определённой на конусе К(х), если для любого ненулевого вектора v G К(х) выполнено co{v) > 0

Обозначим через u>i ограничение дифференциальной формы и на грань L(x) конуса К(х).

Теорема 2 [26] Предположим, что распределение плоскостей, порождаемое гранью L(x), интегрируемо. Тогда необходимым условием оптимальности L-особой на участке {to,t\) траектории x(t) является равенство duji{x(f)) = 0 nput G (to,ti).

Теорема 3 [26] Предположим, что распределение плоскостей, порождаемое гранью L(x) конуса К{х), интегрируемо, форма col вполне интегрируема и положительно определена на L(x), тогда L-особая траектория x(t) является сильным локальным минимумом в задаче (6), если ограничение интегрирующего множителя для ojl на пересечение интегральной поверхности формы coi и слоя Л>х(о), соответствующего распределению, порождённому гранью L(x), достигает локального максимума в точках x(t) равномерно по t € [О,Г].

В завершение главы формулируется и доказывается теорема, устанавливающая эквивалентность условий существования и оптимальности синтеза, полученных JI. Ф. Зеликиной для задачи (4), достаточным условиям оптимальности особых траекторий, сформулированным в Теореме 3.

Теорема 4 Пусть и - дифференциальная 1-форма, построенная для задачи (4) по методу дифференциальных форм. Конус К(х) является первым ортан-том пространства Rn. Тогда достаточное условие оптимальности, сформулированное в Теореме 3, для произвольного особого участка траекторий синтеза, построенного в Теореме 1 эквивалентно тому, что для любого набора I = {ii,.,ik}, к = 2,., п на множестве {х <Е М" = . = > max 0} функции Д|b.ifc,s е I не равны нулю и имеют одинаковые знаки, равные (—1)к~г. Здесь A- алгебраические дополнения к j-тому элементу последней строки соответствующей матрицы -А^.^, определяемой соотношением (5).

Вторая глава диссертации посвящена исследованию задачи быстродействия с произвольной инволютивной системой, для которой множество U является симплексом полной размерности в пространстве Rn. Такая система может быть приведена к следующему виду

Т —Hnf п

X>Vi(z) (7) г=1 ж(0) = а, х(Т) = b £ W^.n. Здесь X е R™, и е и = {и е Rn | £ и1 = > 0};ipi(x),i = 1 ,.,п г=1 линейно независимые, С2-гладкие векторные поля в R™. Предполагается, что распределения, порождаемые всеми возможными наборами векторов из множества {<£>1 (х), .,ipn(x)} интегрируемы (то есть система инволютивна) в некоторой связной окрестности О многообразия которое будет определено ниже при формулировке Теоремы 6

В пункте 2.1 найдена новая инвариантная форма записи условий Теоремы 1, пригодная для произвольной задачи с инволютивной управляемой системой. То есть вместо матриц -Л- (Ш. - М-' дхг1 V&E'I дхг2 , А п—гк а дх1к а ( 8Q dQ ' дхП \дхгЪ-1 дхгк, Э dQ \

VSa;1! дхг2 ) dQ dQ \ Vaz'*-1 дхгк) 1 из Теоремы 1 следует рассматривать матрицы

А• • — дх

-duj{eik iM^-i»^} V

Следующий пункт посвящен изложению метода перехода от аффинной по управлению задачи к задаче минимизации интеграла от дифференциальной формы вида (6). Данный метод подробно описан в работах Зеликина М. И. и здесь приводится для полноты изложения.

Затем формулируется и доказывается следующая теорема о неоптимальности переключений вдоль особых траекторий.

Теорема 5 Пусть грань L\{x) конуса К{х) порождается набором векторов tpi(x), .,ipk(x), а грань Ь2(х) - набором ipm(x), <pm+i (re),., <ps{x), где s > к (одна грань не поглощает другую). Предположим, что в точке xq выполнены неравенства du{<fi(x), 4>j{x)} < О, при ifi(x) € Li(x) \ L2(x), iPj{x) £ Ь2{х) \Li(x). Пусть траектория x(t), x(to) = xo в точке Xq переключается с Ь2-особого режима на Ly-особый. Тогда траектория x{t) не оптимальна.

Необходимые условия оптимальности, сформулированные в Теоремах 2 и 5, позволяют описать многообразия, содержащие особые траектории, в терминах дифференциальной формы to. В завершение главы формулируется следующее обобщение Теоремы 1 для задачи (7).

Рассмотрим некоторое открытое связное множество О С R".

Теорема 6 (О структуре оптимального синтеза) Предположим, что при х 6 О управляемая система в задаче (7) инволютивна и пусть построенная для неё дифференциальная 1 -форма uj вполне интегрируема, положительно определена на конусе К(х), порождённом векторами (fi(x),., (рп(х)> и такова, что

1) множество О f| Wi„n ф 0 в R";

2) для любого набора I = {«i, .,ik},k = 2,., п на множествах О f| функции Ash ik > 0,s € I.

Тогда в некоторой окрестности 0\ С О множества W\„n выполнено

1) множества W^.^ являются гладкими особыми универсальными (п — k + 1)-мерными многообразиями;

2) оптимальный синтез в окрестности 0\ многообразия W\.n имеет следующий вид: множества Wij в числе С* пересекаются по одномерному многообразию Wi„.n, разбивая окрестность 0\ на области Wi

При этом

Здесь А 11- Лк - определитель, а А- алгебраическое дополнение к s-тому элементу последней строки матрицы если х £ Wi] если х € W{ d$TdoJ{Vi 1,¥>»Л ••• aJfc^Mi.Vta} N a

8)

Доказательству данной теоремы посвящена третья глава диссертации. В пункте 3.1 производится замена координат, приводящая управляемую систему к виду которая позволяет упростить дальнейшие рассуждения и выкладки.

Лемма 1 В окрестности О существует такая замена переменных для задачи (7), что в новых координатах конус, натянутый на векторы ipi(х), .,</?„(х) переходит в первый ортапт

В следующем пункте строится синтез для задачи (7). Вначале демонстрируется, что множества И^.^., содержащие особые траектории, являются гладкими многообразиями размерности (п — k + 1).

Обозначим через Vj — V^.^,/ = {ii,.,^} множество, выделяемое соотношениями du>{<pi,<pj} = 0,i,j е 1.

Лемма 2 Рассмотрим произвольный набор индексов I — {«i,., и}. Множества являются гладкими (п — k + 1)-мерными многообразиями без особенностей, локально разрешимыми относительно любого набора, состоящего из (к — 1)-й переменной из хч, .,хч

Затем определяется управление, удерживающее особые траектории на этих многообразиях и определённое единственным образом.

Хг = UlQi(x), г = 1,., п

•)

Vi = vh„ik = {х Idu{(pi(x),(fij(x)} = 0;г, j € 1} в области х |du>{(pi(x), <pj{x)} < 0; г G I,j 1}

Лемма 3 Управление вдоль Lj-особого участка оптимальной траектории, I = {ii, .,ik}, однозначно определено и имеет вид: у.лк = о, если 1 i ,, д» . и1 и = лГ^' если i ^ I.

При этом для любой точки многообразия V/ траектория, отвечающая управлению (9), существует и единственна. Таким образом, для любой точки Хо Е Vi управление (9) осуществляет движение по V}.

В завершение синтез дополняется неособыми траекториями, лежащими вне особого многообразия, стратами которого являются множества И^.^.

Лемма 4 Для системы (7) в каждой точке окрестности О многообразия

Wi.n определено управление и(х), имееющее следующий вид. Множества Wij в числе пересекаются по одномерному многообразию W\n, разбивая окрестность О на области Wi0, где cLu{(pio, <pj} < 0 для некоторого фиксированного го и всех j ф го- В этой части окрестности

На многообразиях W^.^ управление имеет вид (3.4). Полное описание синтеза имеет следующий вид iiJ'(:с) = < Ф \ ^ если х € И^; 1 1 ,j = i , 0, j i {ii-.г*}, uJ{x) = <\ , если X € \Уп.лк- (luj

При этом, траектория системы, попадая на многообразие И^.^, под действием управления (9) может перейти только на один из стратов меньшей размерности, лежащий в замыкании W^.^.

Траектории построенного синтеза ведут себя следующим образом. Некоторая окрестность особого многообразия Wi,,n разбивается на п областей многообразиями W^, пересекающимися по W\.-n, где i,j - различные пары индексов.

Из точек, лежащих в этих областях, выходят неособые траектории, которые попадают на особое многообразие. Далее траектории движутся по нему, переходя со стратов большей размерности на страты меньшей, до тех пор, пока не достигнут одномерного многообразия по которому и осуществляется дальнейшее движение до конечной точки.

В пункте 3.3 показано, что страты особого многообразия притягивают к себе окрестные траектории и являются универсальными множествами.

Лемма 5 Для произвольной точки Xq £ W^.^, существуют такие величина а > 0 и окрестность U(x0) точки х0, что при движении по траекториям системы (7) под действием управления (9) на множествах, выделяемых соотношениями du}{(pi,<pj} < 0,г,;' € {гь .г*,} в окрестности U(xо) выполняется неравенство kj{ipi,<pj} > а.

При этом ftduj{(pi,ipj} = -jj^ckd{(pi, ifij} , если х е Wi,i,j G I ftdco{cpu rl} = , если x С: Wh.js, ie J = {ji, .,js},j еД J,ji < •■• < jr <j< Jr+1 < •■• < h-Случаи r = 0 или r = s не исключены и имеют вид j < ji < . < js и ji < . < js < j соответственно.

Лемма 6 Для синтеза (10) многообразия Wiv.,,ik являются универсальными.

В следующем пункте доказывается оптимальность построенного синтеза. Обозначим через ХХо такой наибольший параллелепипед с вершиной в точке хо и гранями, параллельными координатным плоскостям, что он целиком лежит внутри окрестности О и для всех х G ХХо выполнено хг < хг0, г = 1,., п.

Лемма 7 Для любого х G Ххо, траектория задачи (7), выходящая из х под действием синтеза (10), приходит в точку Xq.

Лемма 8 Синтез (10) является оптимальным для задачи (7) в окрестности Ог= U Хх. xeWi.n р)о

В последнем пункте главы формулируется и доказывается теорема, аналогичная доказанной автором в первой главе, но справедливая для задачи вида

С7)■

Теорема 7 Пусть из - дифференциальная 1-форма, построенная для задачи (7) по методу дифференциальных форм. Тогда достаточное условие оптимальности, сформулированное в Теореме 3, для особых участков траекторий синтеза, построенного в Теореме 6 эквивалентно тому, для любого набора I = {ii, .,ik}, k = 2,., п на множествах О f| W\г.лк функции Ash ik > 0, s G I. Здесь Д^.^ ~ алгебраические дополнения к s-тому элементу последней строки соответствующей матрицы А^,„гк, определяемой соотношением (8).

В четвёртой главе приводится пример использования результатов диссертации для решения конкретной задачи оптимального управления.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. проф. М. И. Зеликину, а так же JI. Ф. Зеликиной за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Aseev S. M. "Smooth approximation of differential inclusions and time-optimal problem", 1989, CRM-1610, Montreal

2. Bianchini, R. M., and G. Stefani "Local controllability about a reference trajectory", 1986, in Analysis and Optimization of Systems, A. Bensoussan and J. L. Lions eds., Springer-Verlag

3. Clarke, F. H. "The maximun Principle under minimal hypotheses", 1976, SIAM J. Control Optim., 14, pp. 1078-1091

4. Clarke, F. H. "Optimization and Nonsmooth Analisis", 1983, Wiley Inter-science, New York

5. Clarke, F. H., Yu. S. Ledyaev, A. I. Subbotin and E. D. Sontag, "Asymptotic controllability implies feedback stabilization", IEEE Trans. Autom. Control, 1997, 42, pp. 1394-1407

6. A. V. Dmitruk, "Second order necessary and sufficient conditions of a Pontrya-gin minimum for singular regimes", 1992, Lecture Notes in Control and Inf. Sciences, v. 180, p. 334-343

7. A. V. Dmitruk, A. A. Milutin "New Legendre type conditions for optimal control problems, linear in the control", 1997, Proc. of the European Control Conference, Brussels

8. A. V. Dmitruk "The Euler-Jacobi equation in the calculus of variations", 1976, Math. Notes of the Acad Sci. USSR, v. 20, pp. 1032-1038

9. А. V. Dmitruk " Jacobi type conditions for the problem of Bolza with inequalities", 1984, ibid., v. 35, pp. 427-435

10. A. V. Dmitruk "A condition of Jacobi type for a quadratic form to be nonegative on a finite-faced cone", 1982, Mathematics of the USSR, Izvestija, v. 18, N 3, pp. 525-535

11. Frankowska H. "The maximum principle for an optimal solution to a differential inclusion with endpoint constraints", 1987, SIAM J. Control and Optim. 25, pp. 145-157

12. Goh, B. S. "The second variation for the Bolza problem", 1966, SIAM J. Control, 4, pp. 309-325

13. Hermes, H. "On local and global controllability", 1974, SIAM J. Control, 12, pp. 252-261

14. Hermes, H. "Lie algebras of vector fields an local approximation of attainable sets", 1978, SIAM J. Control Optim., 16, pp. 715-727

15. Hermes, H. "Control systems which generate decomposable Lie algebras", 1982, J. Diff. Equations, 44, pp. 166-187

16. Lamnabhi-Lagarrigue, F. "Singular optimal control problems: on the order of the singular arc", 1987, Systems and Control Letters, 9, pp. 173-182

17. Kelley, H. J., R. E. Kopp and H. G. Moyer "Singular extremals" 1967, in Topics in Optimization, G. Lietman ed., Academic Press

18. Krener, A. J. "The higher order maximum principle and its application to the singular extremals", 1977, SIAM J. Control Optim. 15, pp. 256-293

19. E. S. Levitin, A. A. Milutin, N. P. Osmolovskii "Conditions of higher-order for a local minimum in extremal problems with constraints", 1978, Russian Math. Surveys, v. 33,. N 6, pp. 97-168

20. Loewen P. D. Rocafellar R. T. "Optimal control of unbounded differential inclusions", 1994, SIAM J. Control and Optim. 32, pp. 442-470

21. Mordukhovich B. S. "Discrete approximations and refined Euler-Lagrange conditions for nonconvex differential inclusions", 1995, SIAM J. Control and Optim. 33, N 3, pp. 997-915

22. Piccoli, B. and H. J. Sussmann "Regular synthesis and sufficient conditions for optimality", SIAM J. Control and Optim., 39, N 2, pp. 359-410

23. Piccoli, B. "Regular time-optimal syntheses for smooth planar systems", Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1996, 95 pp. 59-79

24. Stefani, G. "A sufficient condition for extremality", 1988, in Proceedings INRIA Conf. Antibes, Springer-Verlag Lect. Notes Inf. Sci., pp. 270-281

25. H. J. Sussmann "Synthesis, presynthesis, sufficient conditions for optimality and subanalitic sets", In Nonlenear Controllability and Optimal Control, H. J. Sussmann ed., Marcel Dekker, New York, 1990, pp, 1-19

26. Zelikin M. I. "On the singular arcs", Problems of Control and Information Theory, 14(2), PP. 75-88, (1985)

27. Аграчв А. А., Гамкрелидзе P. В. "Условия оптимальности второго порядка для задач быстродействия", 1976, Мат. Сборник, 100(142)

28. Аграчв А. А., Гамкрелидзе Р. В. "Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление", 1977, Мат. Сборник, 107(149)

29. Аграчв А. А., Гамкрелидзе Р. В. "Индекс Морса и индекс Маслова для гладких управляемых систем", 1986, ДАН СССР, 287

30. Арутюнов А. В. "Возмущение экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности", 1989, Итоги науки и техники. Сер. Матем. Анализ, т. 27, Москва. ВИНИТИ, с. 147-235

31. Арутюнов А. В., Асеев С. М., Благодатских В. И. "Необходимые условия оптимальности первого порядка в задаче оптимальеного управления дифференциальным включением с фазовым ограничением", 1993, Мат. Сборник т. 184, N б, с. 3-32

32. Асеев С. М. "Гладкие аппроксимации дифференциальных включений и задача быстродействия", 1991, Тр. МИАН, т. 200, с. 27-34

33. Афанасьев А. П., Дикусар В. В., Милютин А. А, Чуканов С. А. "Необходимое условие в оптимальном управлении", 1990, Москва, Наука

34. Байтман М. М. "Синтез оптимальных траекторий на плоскости", 1971, Рига, Зинатне

35. Болтянский В. Г. "Математические методы оптимального управления", 1969, Москва, Наука

36. Благодатских В. И. "Принцип максимума для дифференциальных включений", 1984, Тр. МИАН, т. 166, с. 23-43

37. Болонкин А. А. "Специальные экстремали в задачах оптимального управления", 1969, Изв. АН СССР, ОТН, Техническая кибернетика, N 2

38. Вапнярский И. Б. "Теорема существования оптимального управления в задаче Больца, некоторые её приложения и необходимые условия оптимальности скользящих и особых режимов", 1967, ЖВМ и МФ, т. 7, N 2, с. 259=283

39. Габасов Р., Кириллова Ф. М. "Особые оптимальные управления", 1973, Москва, Наука

40. Габасов Р., Кириллова Ф. М. "Современное состояние теории оптимальных процессов", 1972, Автоматика и телемеханика, N 9

41. Дубовицкий Ф. Я., Милютин А. А. "Задачи на экстремум при наличии ограничений", 1965, ЖВМ и МФ т. 5, N 3, с. 395-453

42. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. "Теория экстремальных задач", 1974, Москва, Наука

43. Зеликина J1. Ф. "Многомерный синтез и теоремы о магистрали в задачах оптимального управления", 1977, Вероятностные проблемы управления в экономике, с. 33-114

44. Зеликин М. И. "К теории задач, линейных по управлению", 1984, ДАН СССР, т.277, N 4, с. 782-785

45. Зеликин М. И. "Минимизация интегралов от дифференциальных форм", 1984, ДАН СССР, т.278, N 5, с. 1057-1059

46. Зеликин М. И. "Синтез оптимальных траекторий на пространствах представлений групп Ли", 1987, Мат. сборник, т.132(174), N 4, с. 541-555

47. Мордухович Б. Ш. "Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления", 1988, Москва, Наука

48. Мороз А. И. "Синтез оптимального по времени управления для линейных систем третьего порядка", Автоматика и телемеханика, 1969, N 5, 7, 9

49. Никайдо X. "Выпуклые структуры и математическая экономика", Москва, Мир, 1972

50. Половинкин Е. С., Смирнов Г. В. "Об одном подходе к дифференцированию многозначных отображений и необходимые условия оптимальности решений дифференциальных включений", 1986, Дифф. Уравн., т. 22, с. 944-954

51. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе В. Г., Мищенко Е. Ф., "Математическая теория оптимальных процессов", 1961, Москва, Физматгиз

52. Смирнов Г. В. "Дискретные аппроксимации и оптимальные решения дифференциальных включений", 1991, Кибернетика, с. 76-79

53. Филиппов А. Ф. "Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью", Математический сборник, 1960, т. 5, с. 99-127

54. Филиппов А. Ф. "Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью", Москва, Наука, 1985Публикации автора по теме диссертации.

55. Зеликина Л. Ф., Зеликин М. И., Хлюстов К. В. "Особые стратифицированные многообразия для инволютивных управляемых систем", Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 9 с. 1161-1167.

56. Хлюстов К. В. "Особые стратифицированные многообразия для инволютивных управляемых систем", Тезисы докладов Воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения-XII" ". Воронеж, 2001. стр. 166-167.

57. Хлюстов К. В. "Особые стратифицированные многообразия для инволютивных управляемых систем", Депонировано в ВИНИТИ РАН 16.12.2002, N 2179-В2002., 33 С.