Тяжелые хвосты, экстремумы и кластеры линейных стохастических рекуррентных последовательностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

ш

На правах рукописи УДК 519.21

Голдаева Анна Алексеевна

ТЯЖЕЛЫЕ ХВОСТЫ, ЭКСТРЕМУМЫ И КЛАСТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г и Г .АР 2014

О1

Москва 2013

005546083

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель кандидат физико-математических паук,

доцент Лебедев Алексей Викторович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Маркович Наталья Михайловна, главный научный сотрудник Института проблем управления имени В. А. Трапезникова РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Пергаменщиков Сергей Маркович, профессор механико-математического факультета Томского государственного университета

Ведущая организация Центральный экономико-математический

институт РАН

Защита диссертации состоится 11 апреля 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, этаж 8).

Автореферат разослан 7 марта 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последние десятилетия прикладная теория вероятностей и статистика нередко сталкиваются с тем, что нормальное распределение не является хорошей моделью для описания многих явлений в природе, технике и экономике. Как показал опыт, такие явления все чаще требуют рассмотрения так называемых «тяжелых хвостов», которые делают более вероятными большие значения некоторых величин, по сравнению с гауссовской моделью. Более того, структура зависимостей случайных величин не характерна для гауссовских моделей. Например, для экстремальных событий, таких как превышения высокого уровня, характерна кластерность. Т. е. они имеют тенденцию происходить не по одному, а группами — кластерами1.

Простейшей моделью, в которой наблюдаются эти эффекты, является линейное стохастическое реккурентное уравнение

Yn = ЛПУП_! + £„, n > 1, У0>0, (1)

где (Ап,Вп), n > 1, - независимые одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.

Явление кластеризации также возникает и хорошо изучено в ARCH-процессах и ARMA-процессах со степенными хвостами инноваций, имеющих широкое применение в финансовой математике и эконометрике1.

В диссертации рассматриваются случаи, когда А„ могут принимать значения, большие и меньшие единицы. Случай An < 1 п.н. рассматривался Лебедевым2,3, в этом случае наличие тяжелых хвостов и кластеров зависит от распределения Вп.

В общем случае уравнение (1) может описывать динамику некоторой системы, подверженной случайным возмущениям. Если бы коэффициенты^ были постоянны и равны А, то система была бы устойчивой при 0 < А < 1 и неустойчивой при А > 1. Однако в нашем случае система «осциллирует» между этими двумя состояниями, проходя через периоды устойчивости и неустойчивости случайным образом.

В финансовой математике уравнение (1) может описывать динамику некоторого денежного фонда1, куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Bn), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами Л„), причем учитываются как доходы, так и расходы.

1Embrechts Р., Klüppelberg С., Mikosh Т. Modelling Extremal Eventa for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 2003.

2Ле.бе,дев A.B. Максимумы рекуррентных случайных последовательностей. //Весгн. Моск. ун-та, Ма-тем. Механ., 2001, №1, с. 10-14.

^Лебедев A.B. Максимумы рекуррентных случайных последовательностей. Случай тяжелых хвостов.// Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ., 2001, №3, с. 63-66.

Модель (1) использовалась в работах, связанных с наследственностью растений4, в теории управления5, а также при анализе радиоактивного распада6.

Поведение экстремумов представляет очевидный интерес в области экономики. Например, экстремальные потери могут характеризовать начало банкротства7 или кризис на валютном рынке8.

Теория экстремальных событий имеет широкое применение в страховании1, она играет важную роль в ценообразовании договоров перестрахования, особенно в области контрактов отдельных событий.

Рассмотрим ряд работ в исторической перспективе. Верваат9 исследовал сходимость по распределению процесса, заданного уравнением (1). Кестен10 рассмотрел предельное распределение процесса Уп. заданного матричным уравнением (1). Де Хаан и др. посвятили свою работу11 изучению предельного распределения (1) и экстремального индекса. Результаты, полученные де Хааном и др., были обобщены Перфектом12 для случая марковских процессов, а Туркманом и Амаралом Туркманом13 были выведены экстремальные свойства для билинейных процессов первого порядка. Пергаменщиков и Ширяев14 занимались статистической оценкой параметров последовательности, удовлетворяющей (1). Теорией экстремальных значений в управлении рисками занималась Клюппельберг15. Также Клюппельберг с Пергаменщиковым16 изучали стационарные процессы авторегрессии порядка q > 1 со случайными коэффициентами, которые сводятся к решению пекторпо-матричного разностного уравнения вида (1). Они доказали существование экстремаль-

4 Cavalli-Sforza L., Feldman М. W. Models for cultural inheritance, I. Group mean and within group variation. 11 Theor .Population Biol., 1973, v. 4, №1, p. 42-55.

5Kalman R.E. Control of randomly varying linear dynamical systems. // Proc. Symp. Appl. Math., 1962, v. 13, p. 287-298.

r>Paulson A.S., Uppulury V.R.R. Limit laws of a sequence determined by a random difference equation governing a one-compartment system. // Math. Biosti., 1972, v. 13, p. 325-333.

7McCulloch J.H. Interest, rate risk and capital adecuacy for tradional bank and financial intermediaries, in: S.J. Maisel, ed., Bisk and Capital Adequacy in Commerica! Banks, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1981.

8Flood R.P., Garber P.M. Collapsing exchange-rate regimes: some linear examples. // Internet. Economics, 1984, v. 17, p. 1-13.

9 Vervaat W. On a stochastic difference equation and a representation of non-negative infinitely divisible random variables. // Adv. Appl. Probab., 1979, v. 11, p. 750-783.

laKesten H. Random difference equations and renewal theory for products of random matrixes// Acta Math., 1973, v. 131, p. 207-248.

nHaan L. de, Resnick S., Rootzin H., Vries G. dp. Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes. // Stoch. Proc. Appl., 1989, v. 32, p. 213-224.

12Perjekt R. Extremal behavior of stationary Markov chains with applications. // Ann. Appl. Probab.,1994, v. 4, p. 529-548.

13 Turkman K.F., Amaral Turkman M.A. Extremes of bilinear time series models. // Time Ser. Anal., 1997, v. 18, p. 305-319.

14Пергаменщиков C.M., Ширяев A.H. О последовательном оценивании параметра стохастического разностного уравнения со случайными коэффициентами. // Теор. вер. и ее прим., 1992, т. 37, №3, с. 482-501.

15KKppelberg С. Risk Management and Extreme Value Theory// Extreme Values in Finance, Telecommunication and the Environment. Boca Raton: Clapman and Hall/CR.C, 2004, p. 101-168.

16Kliippelberg C., PergamenrMchikov S. The tail of the stationary distribution of a random coefficient AR(g) model. // Ann. Appl. Probab., 2004, v. 14, №2, p. 971-1005.

ного индекса17, но явных формул, позволяющих конструктивно вычислить его, найдено не было. В настоящей диссертации получены результаты для важных частных случаев при более простых условиях. В работе Скотто и Туркмана18 рассмотрено двумерное уравнение (1) и изучены экстремальные свойства некоторой подпоследовательности процесса, задаваемого этим уравнением, результаты применимы в классе билинейных и АЕСН-процессов. Ми-кош и др.19 исследовали дробные моменты стационарного решения (1). Ими выведены рекуррентные формулы для дробных моментов, рассмотрен частный случай, когда Вп имеют распределение Эрланга. Получены различные приближения для дробных моментов. Лаурини и Таун20 занимались изучением экстремального индекса СА11СН(1,1)-процессов. Ими было получено аналитическое выражение для экстремального индекса и новые результаты для предельного распределения размера кластеров экстремумов. Непосредственно предшествующей работам автора является работа Новицкой и Яцало21, где найдены хвостовые индексы для логнормального и логлапласовского случаев, найден явный вид экстремального индекса в случае логлапласовского распределения и доказаны свойства индексов в случае логнормального распределения.

В теории случайных процессов часто бывает удобнее рассматривать процессы с непрерывным временем, чем с дискретным. В диссертации использован новый подход, связанный с рассмотрением рекуррентной последовательности как последовательности наблюдений процесса, описываемого некоторым стохастическим дифференциальным уравнением, через случайные промежутки времени. Белкина и др.22 рассмотрели проблему использования финансовых инструментов в целях уменьшения рисков страхования. При этом возникает сходное уравнение.

Изучением кластеров экстремальных значений временных рядов занималась Маркович23. Она показала, что предельное распределение размера кластера и расстояния между кластерами для стационарных последовательностей при определенных условиях перемешивания является геометрическим. Показано применение полученных результатов в телекоммуникациях, сейсмо-

17Klüppelberg С., Pergamenchtchikov S. Extremal behaviour of models with multivariate random recurrence representation // Stochastic Processes and their Applications, 2007, № 117, p. 432-456.

1sSraíín M.G., Turkman K.F. On the extremal behavior of sub-sampled solutions of stochastic difference equations. // Portugaliae Math., 2002, v. 59, №3, p. 267-282.

19Mikosch Т., Snmorodnitsky G., Tafakori L. Fractional moments of solutions to stochastic reccurence equation, Preprint, March 13, 2012, http://legacy.orie.cornell.edu/gennady/techreports/FractionalMoments.pdf

2aLaurini F., Таит J.A. The extremal index for GARCH(1,1) processes. // Extremes, 2012, №15, p. 511-529.

Новицкая О. С., Яцало E.B. Экстремальное поведение рекуррентных случайных последовательностей. // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ., 2008, №5, с. 6-10.

22Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Куркина А.О. О проблеме оптимального управления инвестициями в динамических моделях страхования. I.Различные инвестиционные стратегии и вероятность разорения. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009, т. 16, №6, с. 961-981.

23Markovich N.M. Modeling clusters of extreme values. // Extremes, 2013, http://link.springer.eom/art.icle/10.1007%2Fsl0687-013-0176-3.

логии и климатологии. Также Маркович24 исследовала качество транспортировки пакетов для мультимедийных услуг в оверлейных сетях, где превышение уровня и (пропускная способность канала) процессом Я{ (скорости передачи пакетов) является одной из причин потерь пакетов при передаче их по Интернету. Способ выбора пробных пакетов, с помощью которых производятся исследования эффективности работы Интернета, следуя пуассонов-скому потоку, т. е. с экспоненциальными временными промежутками между запуском пробных пакетов, описан в статье Бачелли и др.25 Статья Робинсона и Тауна26 посвящена выбору масштаба для измерений и его влиянию на экстремальный индекс.

С учетом всего вышеизложенного, исследования, проведенные в диссертации, представляются весьма актуальными.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование экстремального и хвостового индексов и распределений размеров кластеров превышения высокого уровня решений линейных стохастических рекуррентных уравнений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Введен новый класс распределений, называемых броуновскими смесями, и изучены их свойства. Найдены различные границы экстремального индекса для случая броуновских смесей. Получены точные результаты в случае троичного и обобщенного лапласовского распределений.

2. Предложен новый подход к линейным стохастическим рекуррентным последовательностям, связанный с рассмотрением процесса, удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению, наблюдаемого через случайные промежутки времени.

3. Доказана теорема о непрерывной зависимости хвостового и экстремального индексов, а также распределений размеров кластеров от распределений коэффициентов.

4. Рассмотрено обобщение хвостового и экстремального индексов на многомерный случай с приложениями к векторно-матричным стохастическим уравнениям.

24Markovich N.M. Quality assessment of the packet transport, of peer-to-peer video traffic in high-speed networks. // Perform. Evaluation, 20X3, v. 70, №1, p. 28-44.

2sBaccelli F., Machiraju S., Vcitch D., Bolot J. The role of TASTA in network measurment. // Networking, IEEE/ACM TVansact.ions on, 2009, v. 17, №4, p. 1340 - 1353.

26Robinson M.E., Town J.A. Extremal analysis of processes sampled at different frequencies. // Statist. Soc., 2000, v. 62, №1, p. 117-135.

Методы исследования. В диссертации применяются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, а также методы математического анализа, дифференциальных уравнений, линейной алгебры и вычислительные методы.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут использоваться при исследовании случайных последовательностей, а в приложении — для изучения различных явлений в экономике, технике, природе. Теоремы из глав 2 и 3 могут применяться для оценки экстремального индекса случайных последовательностей в тех случаях, когда в явном виде его найти затруднительно.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

• Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН, проф. А. Н. Ширяева (Москва, 2012-2013).

• Семинаре «Непараметрическая статистика и временные ряды» под руководством проф. Ю. Н. Тюрина, проф. В. Н. Тутубалина и доц. М. В. Болдина в МГУ (Москва, 2010).

• Семинаре «Статистика экстремальных событий» под руководством проф. Н. М. Маркович в Институте проблем управления РАН (Москва, 2013).

• Семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» под руководством к.ф.-м.н. В. И. Аркина и д. ф.-м. н. Э. Л. Пресмана в Центральном экономико-математическом институте РАН (Москва, 2013).

• Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в МГУ (Москва, 2010, 2012).

• XX Всероссийской Школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 2013).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 9 печатных работах автора, из них 3 — в журналах из перечня ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, насчитывающего 54 наименования. Объем диссертации составляет 94 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий исторический обзор по тематике работы, обоснована актуальность и сформулированы цели исследования, описана структура и взаимосвязь различных глав, а также изложены основные результаты.

Глава 1 диссертации посвящена основным свойствам индексов.

Стационарные процессы вида (1) при некоторых дополнительных условиях обладают двумя важными свойствами.11 Во-первых, их стационарное распределение имеет степенной хвост, т.е. существуют постоянные с, к > О, такие, что > х) ~ сх~к при х оо, а во-вторых, максимум Мп = тах{У1,..., У„} при п —> оо растет асимптотически, как максимум [вп] независимых случайных величин с тем же распределением, где в е (0,1) является экстремальным индексом процесса Уп. Средний размер кластера при этом оказывается равным 1/0 > 1.

Определение 1.1.1.27 Стационарная случайная последовательностьУп с маргинальной функцией распределения в(х) имеет экстремальный индекс 9, если для любогот > 0 существует такая последовательностьип(т), что:

1) пб(ип(т)) —> т при п —> оо;

2) Р{Мп < ип{т)) ехр{-вт), п оо.

В параграфе 1 главы 1 изложены предшествующие результаты и доказаны соотношения между индексами в случае, когда имеются процессы типа (1) Уп иУ„с коэффициентами Ап и Ап, связанными соотношениями типа равенств или неравенств по распределению. Одним из фундаментальных результатов, на который опирается автор, является следующая теорема, доказанная в работе де Хаана и др.11

Теорема А. Пусть процесс Уп, п > 1, удовлетворяет уравнению (1) и пусть

1) существует такое число к > 0, что ЕЛ* = 1, ЕЛ*1п+Л1 < оо, О < ЕВ? < оо;

2) распределение В\/{1 — А\) невырожденное, а распределение 1п А\ при условии, что А\ ^ 0, не региетчатое.

Тогда

1. Уравнение Ух = Л1У00 + В\, где Уоо и {А\,В\) независимы, имеет, единственное решение У^ = Х]^ В^ ПЙ А%.

2. Если в (1) положить Уо = У^, то процесс {Уп} стационарный.

3. При любом начальном условии процесса {1^} выполнено Уп -4 У^, тг —» оо.

4■ Существует постоянная с > 0, такая, что Р(У^о > х) ~ сх~к, х оо.

2гЛидбеттер М., Лтдгрт Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

5. Процесс Yn имеет экстремальный индекс в, вычисляемый по формуле в = £0 p(Voc 1 < у-г)ку-к-г dy_

Причем для всех х > 0 имеем Ншп_>00Р(п-1/'кМп <х)= ехр{—свх~к).

Далее, если, Nn — нормализованный по времени точечный процесс превышений уровня ип — хгГх!к, х > 0, и N — сложный пуассоновский процесс с интенсивностью свх~к и распределением кратности точек, заданном вероятностями 7г^ = — Оь+i)/д, k >1, где

Ok = р > у-1} = k-lj куdy,

в частности - в, то Nn А N, п —> оо.

Замечание 1.1.2. Поведение процесса (1) в достаточно общем случае определяется только величинами Ап. Другими словами, если два процесса вида (1) заданы парами случайных величин (Ап, Вп) и (Ап,Вп), п> 1, соответственно, причем эти пары удовлетворяют условиям 1, 2 теоремы А, то оба процесса имеют одинаковые индексы хвоста к и одинаковые экстремальные индексы в, а также одинаковые и 7Гk, к > 1.

В диссертации вводится новый класс распределений, называемых броуновскими смесями, и доказываются их свойства.

Определение 1.2.1. Будем говорить, что случайная величина Z имеет распределение ВМ(а, cr, F&) и называть это распределение броуновской смесью, если Z = где w/"'"7' = at + aWt, Wt — стандартное броуновское движение, случайная величина А с функцией распределения F& неотрицательна и не зависит от .

Определение 1.2.2. Будем говорить, что случайная величина А имеет распределение GBM(a, и, F&) и называть это распределение геометрической броуновской смесью, еслиАпА имеет распределение ВМ(a, a, F&).

В параграфе 3 главы 1 приведены примеры распределений, принадлежащих классу броуновских смесей (асимметричного лапласовского, обобщенных гиперболических и др.).

В параграфе 4 главы 1 вводится новый подход, связанный с рассмотрением процесса (1) как процесса, удовлетворяющего некоторому стохастическому дифференциальному уравнению, наблюдаемого через случайные моменты времени. Основным результатом главы 1 является следующая теорема.

Теорема 1.4.1. Пусть А ~ GBM(a,cr, F&), где случайная величина А > 0 и < оо, а < 0, а > 0. Рассмотрим процесс (Xt)t>o, удо-

влетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению

dXt = {c+{a + a2l2)-Xt)dt + aXtdWu XQ = х > 0, (2) где W — стандартное броуновское движение, с > 0, а + сг2/2 < 0, а > 0;

Дп = Д независимы в совокупности и не зависят от процесса У/; Тп =

Тогда последовательность Уп удовлетворяет всем условиям теоремы, А с Ап = А, п > 1, и индекс к = —

Замечание 1.4.1. Если есть процесс Уп, удовлетворяющий (1) и условиям теоремы А, с Ап ~ С?ВМ(а,ст, то можно построить процесс Уп с теми же Д,, представляющий собой последовательность наблюдений процесса (2) через случайные промежутки времени Д„ = Д, и имеющий те же к, в, и тг*, *= 1,2,...

Глава 2 посвящена нахождению границ экстремального индекса процесса, заданного уравнением (1), в случае броуновских смесей в качестве распределений = 1пЛх. Чтобы найти равномерную границу экстремального индекса, автор применила подход, который использовала Клюппельберг15. Для стохастического дифференциального уравнения (2) введена масштабная функция и мера скорости, с помощью которых оценивается максимум процесса с непрерывным временем, удовлетворяющего уравнению (2). Основным результатами второй главы являются следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. В предположениях теоремы 1.4-1 имеет место следующая оценка: в < ц • где /х = ЕД1.

Теорема 2.2.1. Если Д = /хДо, где ЕДо — 1, то в зависит только от №

Теорема 2.3.1. Пусть 2\ ~ ВМ(а,а, ^д). Тогда имеет место неравенство

в < в < 0,

где в = 1 - Еект1п^+г->°\ 0 = 1- Т8ир = зир<е[0;+оо)

И^ = аЩ

+ аЬ, — стандартное броуновское движение, а < 0, а > 0.

Теорема 2.5.1. Пусть ~ ВМ(а,сг,Р&). Тогда верно следующее неравенство

где ц - ЕД.

Глава 3 посвящена вопросу непрерывности зависимости хвостового и экстремального индексов, а также распределений размеров кластеров от распределений коэффициентов Ап и получению точных результатов в некоторых случаях.

В параграфе 1 главы 3 вводится новый вид сходимости случайных величин, основанный на сходимости их преобразований Меллина-Стилтьеса на отрезке. Пусть даны с. в. А и последовательность с. в. А^т\ т > 1. Пусть на [0; К], К > 0, определены и конечны = ЕЛ® и фт(з) = т > М. Будем говорить, что последовательность случайных величин А сходится к случайной величине А в смысле *, и обозначать эту сходимость

ЛИ А, если 1рт(в) т —► сю, в £ [0; К].

Лемма 3.1.1. Пусть существует к £ (0, К) такое, что ф(к) = 1. Тогда если А^ А А, т оо, 5 6 [0, К], то уравнение = 1 при достаточно больших т имеет единственное решение кт 6 (0, К) и кт —к, т оо.

Доказана основная теорема о непрерывности для хвостового и экстремального индексов, а также распределения размеров кластеров тг*, к = 1,2,...

Теорема 3.1.1. Пусть последовательности независимых одинаково распределенных пар случайных величин (А^^Вп"^), п > 1, удовлетворяют условиям теоремы А при каждом т > 1. Пусть существует последовательность независмых одинаково распределенных случайных величин {Л„} такая, что АА Л1; т —> оо, и существует к 6 К > 0, такая,

что ф(к) = 1, где ф(к) = ЕЛ*. Тогда если

Л+ОО / °° .

= / р Е1 {п1и1т) > И = к -1 КшУ-*"-1*

и

то

где

вк

/+оо / ОО \

= Р (£1 > у-1} = к - 1 ^ ку^-1 ¿2/,

9вк и 7г[т) ->■ 7Гк, т оо,

0М

1т; _ "К , -

^ > пк — п , К, ГП 1.

Параграф 2 главы 3 посвящен примеру применения теоремы о непрерывности. Рассматривается случай, когда 2\ имеет троичное распределение, формально не удовлетворяющее условиям теоремы А из работы де Хаана и др.11

В параграфе 3 главы 3 рассмотрен случай обобщенного лапласовского распределения, для него найдены хвостовой и экстремальный индексы, а также посчитано распределение размеров кластеров.

Величина ^ имеет обобщенное лапласовское распределение, если ее плотность равна

{(Г-^*, о! -./»>0.0<г<1. (3)

Теорема 3.3.1. Пусть величина имеет распределение с плотно-

стью (3). Тогда при г > ^^

к = г(а + /3)-а, 0 =

к2

г/3(а + ¡3)'

Для "граничного" случая а = 0, /? > 0 распределение размеров кластеров оказывается в точности геометрическим с параметром г.

Глава 4 посвящена обобщению хвостового и экстремального индекса на многомерные рекуррентные последовательности со степенными хвостами маргинальных распределений. Рассматриваются линейные комбинации компонент векторов, и задача сводится к одномерной, при этом индексы превращаются в функции от коэффициентов. Подобный подход в отношении хвостового индекса был применен в работе Кестена10, а в отношении экстремального индекса — в работе Клюппельберг и Пергаменщикова16.

Рассмотрим последовательности неотрицательных случайных величин У^1', Уп2\... ,Уп \ п > 1, I > 1, имеющие стационарные распределения с индексами хвостов «х,..., /с; соответственно, т.е.

Р(У„(*> > х) ~ сйаГк\ х -> оо,

где с— некоторые постоянные, г = 1,..., I. Пусть ^ — экстремальные индексы для последовательностей Уп\ г= 1,.. -, I, соответственно. Рассмотрим последовательность

Обозначим к(г) и в(г) — ее хвостовой и экстремальный индексы соответственно.

Теорема 4.1.1. Пусть < к,-, г = 2,..., I. Тогда к{г) = «4 и в(г) = в\.

Предположим, что последовательности У„^, ..., Уп^ независимы, имеют одинаковые хвостовые индексы кх = ... = = к и экстремальные индексы 01, ..., Рассмотрим последовательности У*(г) = тах^Ур',... и

ВД = гхУ„(1) + ... + ..., д > 0.

Теорема 4.2.1. Экстремальные индексы последовательностей У*(г) и Уп{2) совпадают и равны

= с(1)¿у

сСЧгГ + ... + 01 + ■ • ■ + + ... + ^

Полученные результаты используются для определения хпостового и экстремального индексов стохастических последовательностей, заданных векторно-матричным обобщением уравнения (1).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту А. В. Лебедеву за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку при работе над диссертацией.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Голдаева A.A. Использование процессов с непрерывным временем в исследовании стохастических рекуррентных последовательностей. // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ., 2010, №6, с. 13-18.

2. Голдаева A.A. Равномерная оценка экстремального индекса стохастических рекуррентных последовательностей. // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ., 2012, № 2, с. 51-55.

3. Голдаева A.A. Экстремальные индексы и кластеры в линейных стохастических рекуррентных последовательностях. // Теор. вер. и ее прим., 2013, т. 58, №4, с. 793-802.

4. Голдаева A.A. Границы, пределы и точные результаты для экстремальных индексов линейных стохастических рекуррентных последовательностей. // Деп. в ВИНИТИ РАН 28.11.2013, № 334-В2013, 24 с.

5. Голдаева A.A. Исследование индексов рекуррентных случайных последовательностей с помощью процессов с непрерывным временем. // Современные проблемы математики и механики, 2011, т. 7, № 1, с. 22-28.

6. Голдаева A.A. Индексы многомерных рекуррентных стохастических последовательностей. // Современные проблемы математики и механики, 2013, т. 8, №3, с. 42-51.

7. Голдаева A.A. Континуальный подход к исследованию стохастических рекуррентных последовательностей. // XVII Международная научная конференция молодых ученых «Ломоносов-2010», секция «Математика», 2010, http://lomonoRov-msu.ru/archive/Lomonosov_2010/14-l.rar (45_982_14430.pdf).

8. Голдаева A.A. Индексы некоторых стохастических рекуррентных последовательностей. // XIX Международная научная конференция молодых ученых «Ломоносов-2012», секция «Математика», 2012, http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/1797/14430_561e.pdf

9. Голдаева A.A. Тяжелые хвосты, экстремумы и кластеры стохастических рекуррентных последовательностей. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2013, т. 20, №3. http://www.tvp.ru/conferen/vsppml4/novio010.pdf.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж/ОС? экз. Заказ № /5"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

04201456576

На правах рукописи УДК 519.21

Голдаева Анна Алексеевна

ТЯЖЕЛЫЕ ХВОСТЫ, ЭКСТРЕМУМЫ И КЛАСТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физ.-мат. наук, доцент Лебедев Алексей Викторович

Москва 2013

Содержание

Стр.

Введение 3

Глава 1. Основные свойства индексов 15

1.1. Основная теорема и свойства сравнения индексов..........15

1.2. Броуновские смеси............................21

1.3. Примеры.................................23

1.4. Использование процессов с непрерывным временем.........30

Глава 2. Границы экстремального индекса для броуновских смесей 35

2.1. Первая равномерная верхняя граница.................35

2.2. Однородность экстремального индекса................38

2.3. Границы экстремального индекса, зависящие от распределения . . 39

2.4. Случай логнормального распределения................40

2.5. Вторая равномерная верхняя граница.................44

Глава 3. Теорема о непрерывности и точные результаты 45

3.1. Теорема о непрерывности........................45

3.2. Случай троичного распределения ...................49

3.3. Случай обобщенного лапласовского распределения .........60

Глава 4. Индексы некоторых многомерных последовательностей 74

4.1. Случай последовательностей с различными хвостовыми индексами 74

4.2. Случай независимых последовательностей с равными хвостовыми индексами ................................77

4.3. Экстремальный индекс при переходе к собственному базису .... 82

4.4. Наблюдения многомерного процесса с непрерывным временем . . 85

Список литературы 89

Введение

В последние десятилетия прикладная теория вероятностей и статистика нередко сталкиваются с тем, что нормальное распределение не является хорошей моделью для описания многих явлений в природе, технике и экономике. Как показал опыт, такие явления все чаще требуют рассмотрения так называемых «тяжелых хвостов», которые делают более вероятными большие значения некоторых величин, по сравнению с гауссовской моделью. Более того, структура зависимостей случайных величин не характерна для гауссовских моделей. Например, для экстремальных событий, таких как превышения высокого уровня, характерна кластерность. Т.е. они имеют тенденцию происходить не по одному, а группами — кластерами [17, гл.8]. В своей книге [6] Мандельброт в этой связи вспоминает две библейские истории: историю Ноя — всемирный потоп — и историю Иосифа, предсказавшего семь урожайных, а затем семь неурожайных лет подряд. В первой истории важно указание на то, что возможны такие наводнения, которые кажутся невероятными с общепринятой точки зрения, а во второй — что дождливые и засушливые годы имеют тенденцию образовывать группы. Мандельброт даже предложил для подобных явлений особые термины: эффект Ноя и эффект Иосифа.

Простейшей моделью, в которой наблюдаются эти эффекты, является линейное стохастическое реккурентное уравнение

Уп = АпУп-1 + ВП1 п> 1, У0>0, (1)

где (Ап, Вп), п > 1, — независимые одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.

Стационарные процессы вида (1) подробно изучались в [23]. При некоторых дополнительных условиях такие процессы обладают двумя важными свойствами. Во-первых, их стационарное распределение имеет степенной

хвост, т.е. существуют постоянные с, к > 0, такие, что Р(Уп > х) ~ сх~к при х —оо, а во-вторых, максимум Мп = тах{У!,... ,Уп} при п —оо растет асимптотически, как максимум [Оп] независимых случайных величин с тем же распределением, где О Е (0,1) называется экстремальным индексом процесса Уп. Средний размер кластера при этом оказывается равным 1/6 > 1.

Явление кластеризации также возникает и хорошо изучено в А11СН-процессах и АГША-процессах со степенными хвостами инноваций, имеющих широкое применение в финансовой математике и эконометрике [17, гл.8].

В диссертации рассматриваются случаи, когда Ап могут принимать значения, большие и меньшие единицы. Случай Ап < 1 п.п. рассматривался Лебедевым в [3,4], в этом случае наличие тяжелых хвостов и кластеров зависит от распределения Вп.

В литературе также рассматривался более общий случай, когда Ап и Вп могут принимать отрицательные значения. Кроме того, рассматривалось многомерное векторно-матричное обобщение уравнения (1), которому в данной диссертации посвящена глава 4.

Заметим, что уравнение (1) применимо во многих областях экономики, техники, страхования, а также для описания некоторых природных явлений.

В общем случае уравнение (1) может описывать динамику некоторой системы, подверженной случайным возмущениям. Если бы коэффициенты Ап были постоянны и равны А, то система была бы устойчивой при 0 < А < 1 и неустойчивой при А > 1. Однако в нашем случае система "осциллирует" между этими двумя состояниями, проходя через периоды устойчивости и неустойчивости случайным образом.

В финансовой математике уравнение (1) может описывать динамику некоторого денежного фонда [17, гл.8], куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Вп), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами Ап), причем учитываются как доходы, так и расходы. Однако стацио-

парное распределение возможно лишь тогда, когда фонд является в среднем убыточным, т.е. при Eln/l^ < 0. Это возможно в случае, когда не ставится цель увеличения прибыли, например, для благотворительного фонда.

Модель (1) использовалась в работах, связанных с наследственностью растений [14], в теории управления [25], а также при анализе радиоактивного распада [37].

Поведение экстремумов представляет очевидный интерес в области экономики. Например, экстремальные потери могут характеризовать начало банкротства [35] или кризис на валютном рынке [19].

Теория экстремальных событий имеет широкое применение в страховании [17, §8.7], она играет важную роль в ценообразовании договоров перестрахования, особенно в области контрактов отдельных событий.

Примером является CatXL-перестрахование (Catastrophe Excess-of-Loss Cover per Event), которому в теории финансовых опционов соответствует бычий спред, причем основным является соотношение потерь рынка.

Пример использования уравнения (1) в моделях страхования рисков можно найти в работах [15] и [21].

При моделировании протоколов TCP в телекоммуникационных сетях [16], [22], [32] рассматривается модель, похожая на (1). В этой модели размер окна либо увеличивается на единицу при успешном прохождении пакетов, либо уменьшается вдвое при наличии потерь, а в модели (1) умножение и сложение происходят одновременно.

Рассмотрим ряд работ в исторической перспективе.

Классическими работами в этой области являются [26] и [43].

Верваат в работе [43] исследовал сходимость по распределению процесса, заданного уравнением (1). Он показал, что в наиболее важном случае эта сходимость оказывается эквивалентной сходимости п.н. случайного ряда

AiA2 ■ ■ • Ak-\Bk и существованию решения уравнения

Y = AY+B, (2)

где У и (А, В) независимы. Также Верваат изучал существование и сходимость моментов процесса, заданного уравнением (1). Он получил центральную предельную теорему для решения уравнения (2) с заменой А на А1^а при а —> оо и нашел некоторые достаточные условия для того, чтобы решение (2) было безгранично делимым.

Кестен в своей работе [26] рассмотрел предельное распределение процесса Yn, заданного матричным уравнением (1). В одномерном случае он показал, что если Elog^l < 0, то существует единственное стационарное решение (1), которое представляется в виде

¿-1

Yt = Bt+ Ai+i---AtBi, tez.

i=—00

Де Хаан и др. посвятили свою работу [23] изучению предельного распределения (1) и экстремального индекса. Так же они рассмотрели следующий частный случай. Пусть задан ARCH-процесс первого порядка

Хп = en^J1 + \Xl_l) те > 1, 7, Л > О,

где еп, п > 1, независимы и одинаково распределены. Тогда последовательность Yn = удовлетворяет (1) с Ап — Ле^, Вп = те > 1. В классической модели £п имеют стандартное нормальное распределение, поэтому величины Ап имеют гамма-распределение с параметрами В работе [23] получе-

ны численные значения хвостового индекса к и экстремального индекса 6 для этого случая, в зависимости от Л.

Результаты, полученные де Хааном и др., были обобщены Перфектом в

[38] для случая марковских процессов, а Туркманом и Амаралом Туркманом в [42] были выведены экстремальные свойства для билинейных процессов первого порядка.

В модели GARCH(1,1) [11, гл.2, §3] имеем следующие формулы:

Хп = ап£п, о\ = а0 + aiX^ +

где «о > 0, > 0. Нетрудно заметить, что Уп — сг^ удовлетворяет урав-

нению (1) с Ап — ais^ + /3i и Вп = ао-

В [18] Энгл и Рассел предложили модель ACD (Autoregressive Conditional Duration Model), родственную моделям ARCH, для промежутков между скачками обменных курсов валют, где условным распределением для промежутка Ak является экспоненциальное распределение со средним

Фк = (х о + aiAk^i + Мк-\

с Ао = 0, фо = 0, ао > 0, а\ > 0 и > 0. Нетрудно заметить, что Д^ = фк£к, где имеет стандартное показательное распределение и тогда

Фк = Oi0 + + Мк-i = «о + (oii^fc-i +

Таким образом, последовательность фк удовлетворяет уравнению (1) с Ап —

«lffc-i + Pi и Вп = а0-

Пергамснщиков и Ширяев [9] рассматривали последовательность, удовлетворяющую (1) с независимыми одинаково распределенными Ап и независимыми одинаково распределенными Вп. Они построили последовательные оценки (по наблюдениям Х\,Х2,..-) для неизвестного параметра Л = E^i и изучили свойства этих оценок в предположении, что параметр о2 = DAi известен, ЕВ\ — 0, D£?i = 1.

Теорией экстремальных значений в управлении рисками занималась

Клюппельберг. В работе [27] изучалось поведение процесса с непрерывным временем, заданного следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

где IV — стандартное броуновское движение. Далее нас будет интересовать частный случай этого уравнения, возникающий также в обобщенной модели Кокса-Ингерсолла-Росса, когда /л(х) = с — <1 ■ х, а = ах, т.е.

Для процесса, заданного уравнением (3) в [27] найдено решение в явном виде, стационарная плотность, а также продолжен метод нахождения асимптотических распределений максимумов подобных процессов на отрезке [0, ¿] при £ —>• оо.

Также Клюппельберг с Пергаменщиковым [28,29] изучали стационарные процессы авторегрессии порядка д > 1 со случайными коэффициентами вида

где а.{п = щ + (7г7]1П. а г Е М, <7г > 0. При этом предполагается, что векторная последовательность коэффициентов г]п = (771 п,..., г]чп) и последовательность помех £п независимы и обе являются последовательностями независимых одинаково распределенных случайных элементов с Е(] — Ег)ц = 0 и = 1 = 1, г = 1,..., Если положить Уп = (уп,..., уп-ч ц)тто получим, что процесс Уп можно рассматривать как решение векторно-матричного разностного уравнения вида (1) с

¿Хг = 11{Хг)(И + а{Хг)с1УУи I > 0, Х0 = ж,

с1Х1 = (с-(1- Хг) (И + аХгШи Х0 = х,

(3)

Уп = ахпУп-! + • ■ ■ + адпуп-д + п Е М,

и

т

где — единичная матрица порядка <7—1.

В [28] предполагалось выполнение следующих условий:

^о) собственные значения матрицы ЕЛх (8) А\ по модулю меньше 1,

случайные величины щг, 1 < г < 5, п е Н, независимы, одинаково распределены и имеют симметричную непрерывную положительную функцию плотности ф(-), невозрастающую на и имеющую моменты любого порядка,

(Я2) Для некоторого т £ N выполнено Е(ац — а\)21ГП = <т2тЕт/2™ 6 (1, оо), в частности <71 > О,

(£>3) случайные величины независимы, одинаково распределены и Е|^1|т < оо для всех т > 2,

(1)4) для любой числовой последовательности с/с такой, что 0 < Ск <-

оо, случайная величина г = имеет симметричную плотность, невоз-

растающую на М+,

При этих условиях было показано, что стационарное распределение таких процессов имеет степенной хвост и получена формула степени этого хвоста. В работе [29] изучался экстремальный индекс для многомерных последовательностей вида (1), в предположении выполнения следующих условий:

(Л1) последовательности Ап и Вп обе независимы и одинаково распределены, являются независимыми друг от друга и удовлетворяют условию

Е|^1|2 < оо, ЕВ\ < оо и Е|£1|2<оо,

(А2) марковская цепь Уп, определенная векторно-матричным уравнением (1), является апериодической и неприводимой по отношению к некоторой нетривиальной мере в М",

(Аз) собственные значения матрицы Е/Ц <8> А\ по модулю меньше 1. (Здесь символ (8) обозначает матричное произведение, | - | — евклидову норму в К." и |А|2 = №ААТ — соответствующую матричную норму.)

В [29] было доказано существование экстремального индекса, но явной формулы, позволяющей конструктивно вычислить его в конкретных случаях, найдено не было.

В настоящей диссертации получены результаты для важных частных случаев при более простых условиях.

Скотто [40] исследовал экстремальные свойства процесса

со j—l

хк = X) (П Лк-°) Вк~* к е ^

¿=1 3=1

где (Аь, В^кеъ — периодическая последовательность независимых случайных пар со значениями в I2. В частности, изучалось предельное распределение максимума этого процесса и соответствующий экстремальный индекс. В работе [41] рассмотрено двумерное уравнение (1) и изучены экстремальные свойства некоторой подпоследовательности процесса, задаваемого этим уравнением, результаты применимы в классе билинейных и АЯСН-процессов.

Микош и др. [36| исследовали дробные моменты стационарного решения (1). Ими выведены рекуррентные формулы для дробных моментов, рассмотрен частный случай, когда Вп имеют распределение Эрланга. Получены различные приближения для дробных моментов.

Лаурини и Таун [31] занимались изучением экстремального индекса САЯСН(1,1)-процессов. Ими было получено аналитическое выражение для экстремального индекса и новые результаты для предельного распределения размера кластеров экстремумов.

Непосредственно предшествующей работам автора является работа Новицкой и Яцало [7], где найдены хвостовые индексы для логнормального и логлапласовского случаев, найден явный вид экстремального индекса в случае логлапласовского распределения и доказаны свойства индексов в случае логнормального распределения.

В теории случайных процессов часто бывает удобнее рассматривать процессы с непрерывным временем, чем с дискретным. В диссертации использован новый подход, связанный с рассмотрением рекуррентной последовательности как последовательности наблюдений процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (3) через случайные промежутки времени.

В работе [1] Белкина и др. рассмотрели проблему использования финансовых инструментов в целях уменьшения рисков страхования. Работа посвящена исследованию оптимальной стратегии инвестиций с использованием двух видов активов - рискового и безрискового - в модели Крамера-Лундберга при наличии бюджетного ограничения, т.е. в ситуации, когда заем средств не допускается. При этом особое внимание уделяется случаю, когда отдельные страховые требования имеют экспоненциальное распределение. Заметим, что изменение капитала описывается следующим уравнением

с1Хг = + 0)<И + аХ1(Ш1 + агШ[,

где \¥1 и \¥[ — два независимых броуновских движения.

При <тг —0 это уравнение сводится к дифференциальному уравнению (3). Изучением кластеров экстремальных значений временных рядов занималась Маркович. В работе [33] она показала, что предельное распределение размера кластера и расстояния между кластерами для стационарных последовательностей при определенных условиях перемешивания является геометрическим. Показано применение полученных результатов в телекоммуникациях, сейсмологии и климатологии. В работе [34] Маркович исследовала качество транспортировки пакетов для мультимедийных услуг в оверлейных сетях, где превышение уровня и (пропускная способность канала) процессом (скорости передачи пакетов) является одной из причин потерь пакетов при передаче их по Интернету. Способ выбора пробных пакетов, с помощью ко-

торых производятся исследования эффективности работы Интернета, следуя пуассоновскому потоку, т.е. с экспоненциальными временными промежутками между запуском пробных пакетов, описан в статье [12]. Статья [39] посвящена выбору масштаба для измерений и его влиянию на экстремальный индекс.

С учетом всего вышеизложенного, исследования, проведенные в диссертации, представляются весьма актуальными.

Глава 1 диссертации посвящена основным свойствам индексов.

В параграфе 1 главы 1 изложены определения индексов, предшествующие результаты и доказаны соотношения между индексами в случае, когда имеются процессы типа (1) Уп и Уп с коэффициентами Лп и Лп, связанными соотношениями типа равенств или неравенств по распределению.

В параграфе 2 главы 1 вводится новый класс распределений, называемых броуновскими смесями, и доказываются их свойства.

В параграфе 3 главы 1 приведены примеры распределений, принадлежащих классу броуновских смесей.

В параграфе 4 главы 1 приводится стохастическое дифференциальное уравнение (3) и вводится новый подход, связанный с рассмотрением про