Оптимизация и инвестирование в стохастических моделях финансовой математики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

1 Введение

2 Хеджирование в полных рынках

2.1 Модель Блэка и Шоулса.

2.2 Вспомогательные результаты

2.3 Дуальные характеризации в модели Блэка и Шоулса.

2.4 Структура оптимального хеджа в модели Блэка и Шоулса.

2.5 Хеджирование в полных моделях финансовых рынков

3 Хеджирование в неполных рынках

3.1 Модель со случайными волатильностью и процентной ставкой.

3.2 Вспомогательные результаты

3.3 Дуальные характеризации в модели со случайными волатильностью и процентной ставкой.

3.4 Структура минимального хеджа для модели со случайными волатильностью и процентной ставкой

3.5 Хеджирование в неполных рынках

4 Хеджирование в финансовых моделях с ограничениями

4.1 Модель с разными процентными ставками и платой за лизинг акции

4.2 Вспомогательные результаты.

4.3 Дуальные характеризации в модели с разными процентными ставками и платой за лизинг акции.

4.4 Структура оптимального хеджа в модели с разными процентными ставками и платой за лизинг акции

4.5 Хеджирование в финансовых моделях с ограничениями.

5 Введение

6 Хеджирование в полных рынках

6.1 Оптимальный хедж в модели Блэка-Шоулса как огибающая Снелла. Дуальная мартингальная мера.

6.2 Оптимальные хеджирующие стратегии для Американских опционов Азиатского типа.

7 Хеджирование в неполных рынках

7.1 Модель с разными ставками привлечения и размещения, лизингом и операционными издержками.

8 Введение

9 Оптимальное инвестирование в диффузионной модели

9.1 Оптимальное инвестирование без операционных издержек.

9.2 Оптимальное инвестирование с операционными издержками

Глава I

Оценивание и хеджирование Европейских опционов

1 Введение

1. Классический опционный контракт на финансовый актив (например, акцию, облигацию, валюту, . .) представляет собой соглашение, при котором одна сторона (покупатель) получает право (но не обязательство!) купить (для опциона покупателя или опциона колл) или продать (для опциона продавца или опциона пут) некоторое количество единиц актива в определенный момент времени в будущем по заранее оговоренной цене. Заключение сделки по опциону предусматривает премию, которую покупатель должен заплатить продавцу.

Если обозначить Т—момент погашения опциона, Бт—цену финансового актива в момент Т и К—цену исполнения опциона, то владение опционом колл эквивалентно получению в момент погашения суммы /г = тах(5т — К, 0) = — К) +. Аналогично, можно говорить, что владение опционом пут приводит к получению выплаты /т =

К-втУ.

Вообще говоря, произвольный опционный контракт (Европейского типа) можно мыслить себе как обмен денежными платежами: в начальный момент времени £ = 0 покупатель платит продавцу некоторую сумму С (стоимость опциона), в момент погашения £ = Т, напротив, продавец платит покупателю сумму /т, определяемую условиями контракта. В случае, когда размер выплат зависит только от стоимости актива на момент погашения: /т = д(вт), опционы называют стандартными, в противном случае—экзотическими. Примерами стандартных опционов служат рассмотренные выше опционы покупателя и продавца, примерами экзотических опционов— так называемые Азиатские опционы, выплата которых зависит от среднего значения цены акции на временном интервале [0,Т]: /т = ¿'(¿г, (1/Т) /0Т Зийи).

Характерной чертой опционных контрактов является несимметричность прибылей и убытков для участвующих сторон. Как правило, максимальная прибыль покупателя опциона является неограниченной, тогда как величина его максимального убытка ограничена премией, уплаченной за опцион. Напротив, максимальная прибыль продавца опциона равна премии, полученной от эмиссии опциона, в то время как его убытки неограничены.

В связи с этим возникает следующий естественный вопрос:

• Каким образом продавцу опциона застраховать себя от возможных убытков, связанных с выполнением обязательств по опциону ?

2. Рассматриваемый в дальнейшем подход к страхованию продавца опциона от потерь состоит в следующем: необходимо к данному опциону подобрать такую стратегию с потреблением (т.е. без притока капитала извне) на рынке базовых активов, чтобы ее капитал V? на момент погашения был бы не меньше выплаты по опциону /т: т > /т- (1.1)

В дальнейшем мы будем рассматривать только стратегии с неотрицательным капиталом в каждый момент времени:

К>0. (1.2)

Данное ограничение позволяет исключить из рассмотрения портфели с очень высокой степенью риска, такие, например, как "мартингальные" стратегии удвоения ставок.

Определение 1 Стратегия с потреблением, капитал которой удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2) называется хеджирующей1.

Для продавца опциона насущной задачей является минимизация издержек на хеджирование, что приводит к следующей проблеме:

• среди всех хеджирующих стратегий найти стратегию с минимальным капиталом в каждый момент времени 0 < i < Т.

1от английского слова hedge (забор)

Ниже будут приведены недавние результаты относительно структуры минимального хеджа для различных типов моделей финансового рынка.

3. Современная теория хеджирования берет свое начало в знаменитых работах Ф. Блэка и М. Шоулса [29] и Р. Мертона [66], где, в рамках модели "геометрического" броуновского движения, была описана структура минимального хеджа для стандартных опционов. Замечательной особенностью указанной модели Блэка и Шоулса является то обстоятельство, что минимальная хеджирующая стратегия произвольного опциона автоматически оказывается самофинансируемой, т.е. ее потребление равно нулю. Простые экономические аргументы показывают, что в этом случае для покупателя и продавца опциона отсутствуют арбитражные возможности (т.е. способы получить прибыль без риска), если и только если во всякий момент времени цена опциона равна капиталу минимального хеджа.

Модели финансовых рынков обладающие тем свойством, что платежная функция всякого опциона воспроизводима (replicable, attainable) в виде капитала некоторой самофинансируемой стратегии называются полными. Указанное свойство позволяет сопоставить опциону эквивалентный набор базовых активов, что чрезвычайно удобно на практике. По этой причине практически все известные модели финансовых рынков являются полными.

В работах М. Харрисона и Д. Крепса [50], М. Харрисона и С. Плиски [51], [52], была вскрыта "мартингальная" структура свойства рынка быть полным. Именно, было показано, что модель финансового рынка является полной, если и только если существует единственная эквивалентная вероятностная мера, относительно которой дисконтированные цены активов являются локальными мартингалами. При этом, как оказалось, в основе математической теории хеджирования в полных рынках лежат два фундаментальных факта стохастического анализа: теорема об интегральном представлении мартингалов и теорема Дуба-Мейера о разложении супермартингалов.

Типичная трудность, с которой сталкиваются при использовании модели полного рынка, состоит в необходимости точного знания входящих в модель коэффициентов. Например, для применения модели Блэка и Шоулса необходимо точное знание значения краткосрочной процентной ставки в каждый момент времени в будущем, что, конечно, в принципе невозможно. Учет же стохастического характера процентной ставки приводит к тому, что модель становится неполной, т.е. минимальная хеджирующая стратегия уже не является самофинансируемой.

Одной из первых в проблематике хеджирования опционов в неполных финансовых рынках явилась работа Н. Эль Каруи и М. Кенес [42]. Здесь было показано, что общая методика хеджирования в неполных финансовых рынках требует одного нетривиального обобщения теоремы Дуба и Мейера, состоящего в возможности представления супермартингала в виде, инвариантном относительно семейства мартингальных мер. В [42] указанное опциональное -разложение было получено для того случая, когда рассматриваемые процессы являются решениями стохастического дифференциального уравнения. В предположении, что цены активов локально ограничены, существование опционального разложения было доказано в работе Д.О. Крамкова [62]. В полной общности данный результат был доказан в работе X. Фельмера и Ю.М. Кабанова [46], см. также работы Ф. Делбаена и В. Шахермайера [36] и Д.О. Крамкова [9]. Отметим также работы С. Джека [54] и Ж. Анселя и К. Стрикера [23], где было получено важное обобщение теоремы об интегральном представлении мартингалов, позволяющее для моделей неполных рынков охарактеризовать достижимые (attainable) опционы, т.е. такие опционы, для которых минимальный хедж существует и является самофинансируемой стратегией 2.

К сожалению, даже модели неполных рынков являются чересчур идеалистическим приближением реальности, что приводит к необходимости введения в рассмотрение рынков с ограничениями. Примерами ограничений могут служить взимание некоторой платы за короткую продажу акции3, наличие разницы в процентных ставках

2Другой (не рассматриваемый здесь) подход к проблематике хеджирования в неполных рынках был развит в работах X. Фельмера и Д. Зондермана [49], М. Швайцера [73], X. Фельмера и М. Швайцера [48], А.В. Мельникова и M.JI. Нечаева [15]. Здесь авторы предложили в качестве хеджирующих портфелей использовать стратегии самофинансируемые в среднем. Отметим, однако, что данная методика не исключает возможности больших убытков для продавца опциона при некоторых пусть и достаточно маловероятных) сценариях поведения рынка.

3Короткая продажа актива состоит во взятии его взаймы и продаже. Коротко продавать актив привлечения и размещения, ограничение на объем привлекаемых финансовых ресурсов и т.д.

Для моделей с непрерывными ценами активов методика хеджирования при наличии ограничений была развита в работе Дж. Цвитаника и И. Каратцаса [33]. Отметим также более раннюю работу Р. Корна [61], где рассматривалась задача хеджирования в модели с различными ставками привлечения и размещения. Для произвольной "семимартингальной" модели финансового рынка с ограничениями структура минимального хеджа была описана в работе X. Фельмера и Д.О. Крамкова [47]. Ключевую роль здесь играет дальнейшее развитие техники опциональных разложений.

Ниже в разделах 2, 3 и 4 изложена методика хеджирования опционов соответственно в полных, неполных рынках и рынках с ограничениями. При этом, для наглядности, применимость общей методики сначала иллюстрируется на примере модели Блэка и Шоулса или ее модификации. В Приложении, представленном в конце диссертационной работы, даются результаты моделирования хеджирующих стратегий на основе исторических цен облигаций внутреннего валютного займа Министерства Финансов РФ.

2 Хеджирование в полных рынках 2.1 Модель Блэка и Шоулса

В рамках классической модели Блэка и Шоулса рассматривается финансовый рынок с двумя активами: банковским счётом и акцией. При этом предполагается, что

1. эволюция капитала на банковском счете имеет вид: ВггМ, В0 > 0, (2.1) где параметр г > 0 интерпретируется как процентная ставка (при "непрерывном" способе начисления процентов); следует, если ожидается падение его цены.

2. динамика цены акции описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением: где Ш — (И^)о<4<т есть винеровский процесс, параметр ¡л £ К является средней ставкой роста акции, а а > 0 есть волатилъность акции, т.е. среднеквадра-тическое отклонение ее ставки роста.

Здесь и в дальнейшем мы считаем, что все процессы определены на фильтрованном вероятностном пространстве (Г2, , Ь1 = (^)о<кт, Р), где Т < +оо—момент времени в будущем, который интерпретируется как момент предъявления платежного обязательства к исполнению. Как обычно в стохастическом анализе мы предполагаем, что "фильтрация" (^)о<кт (т-е. неубывающее семейство <т-алгебр) непрерывна справа: 7-г — = П3>< ^з, и пополнена по мере Р: Та Э {А £ Тт : Р(А) — 0}.

Стратегия или портфель в описанной модели определяется как согласованный процесс (А; 7г)о<г<т (т-е- ПРИ кажД°м t >0 случайные величины и 74 являются измеримыми), где значения /Зг и 7t интерпретируются как количества единиц банковского счета и акций в момент времени Ь. Капитал стратегии в момент I складывается из капиталов, помещенных в акции и облигации, и равен:

Для последующего изложения нам важны классы самофинансируемых стратегий и стратегий с потреблением.

Самофинансируемой называется стратегия с автономным поведением во времени, т.е. без привлечения капитала извне и его оттока на сторону (например, на потребление). Формально, это соответствует следующей эволюции капитала:

Бг = БфМ + Б&Шг, 50 > 0,

Из (2.3) и (2.4) вытекает, что

Отметим, что верно и обратное утверждение: всякий процесс V = {Vt)0<t<T, описываемый уравнением (2.5), является капиталом самофинансируемой стратегии. При этом фигурирующий в (2.5) процесс 7 = (jt)o<t<T заДает число акций в портфеле, а количество облигаций f3t определяется из балансового уравнения (2.3).

Портфель (/9,7) называется стратегией с потреблением, если, по-прежнему, не разрешается привлечение капитала извне, однако возможно извлечение некоторой его части на потребление. Математически это соответствует следующему уравнению:

Vt = v0+ f MBU + Г 7udSu - Ct. (2.6)

Jo Jo

Здесь С = (Ci)0<i<T—согласованный возрастающий процесс, значение Ct которого интерпретируется как суммарное потребление в портфеле до момента времени t. Из (2.3) и (2.6) вытекает, что

Vt/Bt = К,/Во + f\ud{Su/Bu) - Г dCu/Bu. (2.7)

Jo Jo

Обратно, процесс V = (И)0<а<Т' Допускающий представление (2.7) с согласованным 7 = (7i)o<t<T и возрастающим С = {Ct)0<t<T, является капиталом стратегии с потреблением с числом акций 7t и суммарным потреблением Ct (количество облигаций fit, по-прежнему, определяется из (2.3)).

2.2 Вспомогательные результаты

Современная методология хеджирования опционов в модели Блэка и Шоулса в существенной степени основана на следующих двух классических результатах стохастического анализа. Их доказательство может быть найдено, например, в [13], [14], [21].

Напомним, что канонической фильтрацией F^ случайного процесса X называется наименьшая (непрерывная справа и пополненная по мере Р) фильтрация, относительно которой процесс X является согласованным.

Теорема 1 (об интегральном представлении) Процесс М = (Mt)0<t<T, согласованный с канонической фильтрацией Fw винеровского процесса W = (H^)0<i<T; является локальным мартингалом, если и только если он допускает представление в виде стохастического интеграла по ЦТ: М0+Сфи<Ми, 0 <t<T.

Теорема 2 (Разложение Дуба-Мейера) Положительный процесс V является супермартингалом, если и только если он представим в виде разности между локальным мартингалом М и возрастающим процессом А:

V — М — А. (2.8)

При этом представление (2.8) существует и единственно при дополнительном предположении о том, что процесс А является предсказуемым.

2.3 Дуальные характеризации в модели Блэка и Шоулса

Пусть V = (И)о<4<т—неотрицательный согласованный процесс, определенный на фильтрованном вероятностном пространстве Т = №)о<а<т> Зададимся следующим вопросом:

• в каком случае положительный процесс V является капиталом некоторой самофинансируемой стратегии или стратегии с потреблением?

Введем в рассмотрение вероятностную меру Р* на (О,^), процесс плотности которой относительно Р имеет вид: г; = ехр , 0<(<Г.

Мера Р* удовлетворяет следующим двум свойствам:

1. меры Р и Р* взаимно эквивалентны на (12,^) (Р ~ Р*), т.е. Р(А) = 0 Р*(А) = 0 для любого АеТт]

2. процесс (5г/-^«)о<г<т является (локальным) мартингалом относительно Р* и называется мартингалъной мерой модели Блэка и Шоулса. Свойство 1) вытекает из того факта, что Р(2/т > 0) = 1. Для доказательства 2) заметим, что в силу теоремы Камерона—Мартина—Гирсанова (см., например, [13], [14], [21]) процесс у/* = + о < г < т, (2.9) является винеровским относительно Р*. Тем самым, "мартингальность" Р* следует из представления: вытекающего из (2.1), (2.2) и (2.9).

Отметим, что, если Р есть каноническая фильтрация для 5:

Е = Е5 = (2.11) то Р*—единственная мера, для которой выполнено 1) и 2). Действительно, если ф ~ Р и (Б/В)—локальный мартингал относительно ф, то, в силу (2.10), У/*—локальный мартингал относительно $ и, следовательно, винеровский процесс (как непрерывный локальный мартингал с квадратической вариацией = 1). Тем самым меры Р* и (5 совпадают на сг-алгебре У7^*, которая в силу (2.9) равна Т™.

Следующая теорема является ключевой характеризацией в модели Блэка и Шоулса.

Теорема 3 ([18]) Пусть V = (И)0<г<т—неотрицательный согласованный процесс и выполнено (2.11).

1. Процесс V является капиталом самофинансируемой стратегии, если и только если V/В—локальный мартингал относительно Р*.

2. Процесс V является капиталом стратегии с потреблением, если и только если У/В—супермартингал относительно Р*.

2.4 Структура оптимального хеджа в модели Блэка и Шо-улса

Рассмотрим европейский опцион с моментом погашения Т и платежной функцией /т > 0, которая предполагается .^т-измеримой случайной величиной. Следующая теорема описывает структуру минимальной хеджирующей стратегии в модели Блэка и Шоулса. Далее Е*—математическое ожидание по мартингальной мере Р*, определенной в предыдущем разделе.

Теорема 4 ([18]) Пусть выполнено предположение (2.11). Множество хеджирующих стратегий не пусто, если и только если

E*fTe~rT < -foo.

В этом случае минимальный хедж существует, является сам,о финансируемой стратегией, и его капитал в момент времени t равен:

У, = £Г [/те-р<г-<>\Tt]. (2.12)

При этом количество акций 7 в оптимальном хедже определяется из интегрального представления:

Vte~rt = % + I* %d (Sue~ru) (2.13)

Сформулируем важное следствие теоремы 4 для случая стандартных опционов, когда платежная функция зависит только от значения цены акции на момент исполнения. С этой целью заметим, что с учетом обозначения (2.9) для процесса W* уравнение для цены акции может быть записано в виде: dst = strdt + astdw;.

Поэтому плотность переходной вероятности процесса S относительно Р* имеет ло-гнормальное распределение: ш . 4defD„,c, . , ч,с ч 1 ( (Inу - In® - (г - <Т2/2)£)2\ y,t;x) = Р (St € {у + dy)\S0 = х) =--= ехр уау/ЪН V 2аЧ

Теорема 5 ([18]) Пусть /т = </(5т), где д > 0—борелевская функция. Тогда капитал минимального хеджа в момент времени Ь равен:

К = £(&,*) (2.14) v{x1t) = v{x,t;T) = e~r(-T-t4 (3{у,Т - f; x)g(y)dy, x > 0, 0 < t < T. (2.15)

При этом количество акций в минимальном хеджа равно: = —{St,t). (2.16)

Для полноты картины приведем (не вполне строгий) вывод формулы (2.14), основанный на оригинальной идее Блэка и Шоулса [29]. Рассмотрим опцион европейского типа с моментом погашения Т и платежной функцией /у = g(Sr), где g = g(x) > 0— борелевская функция. Будем искать хеджирующие портфели в классе стратегий, капитал которых имеет вид:

Vt = v{St,t), 0 <t<T, (2.17) где v = v(x,t)—функция из класса C2,1(R+, [0, Г)), т.е. v дважды непрерывно дифференцируема по первому аргументу и непрерывно дифференцируема по второму. Из определения хеджа вытекает, что о{х,Т)>д{ж), ж > 0, (2.18) x,t)> 0, ж > 0, 0 <t<T. (2.19)

Тем самым, для того чтобы описать все хеджи вида (2.17), необходимо охарактеризовать функции V для которых процесс V = (И)0<4<т из (2-17) является капиталом стратегии с потреблением.

Для придания формулам более компактного вида введем в рассмотрение дифференциальный оператор о 9 1 2 2 д = гха; + 2ахд*> (2-20) являющийся инфинитезимальным оператором марковского процесса (£, Р*).

Лемма 1 ([18]) Пусть V = (г>(ж, Ь))х>0 0<4<т—функция из класса С2,1(К+, [О,Т)).

1. Процесс (г*(54, £))0<4<у является капиталом самофинансируемой стратегии, если и только если V—га,рмоническая функция оператора ^ + — г: О, ж > О, 0<г<Г. (2.21)

2. Процесс (г>(5^,£))0<г<Т является капиталом стратегии с потреблением, если и только если V—супер гармоническая функция оператора ^ + — г: + С°У - ГУ < О, ж > О, О < £ < Т. (2.22)

Доказательство 1 Утверждение леммы следует из (2.5) и (2.6) и формулы Ито: у(Зо,0)/Во + ^ ~(Зи,и)с1(Зи/Ви) г1 ( ду \ о V + ~~ гу(3и,и) 1 ¿и/Ви.

Таким образом, задача построения минимального хеджа в классе (2.17) сводится к поиску минимального решения V системы уравнений (2.18), (2.19) и (2.22). Естественно предположить, что для V неравенства (2.18) и (2.22) превращаются в равенства, т.е. V является решением следующей системы уравнений (называемой в финансах системой уравнений Блэка и Шоулса):

§ + £%-гд = О

2.23)

4х,Т) = д{х)

Из теории уравнений с частными производными (см., например, [11]) известно, что, если функция д имеет полиномиальный рост, т.е. д{х)<К{ 1 + Мт), (2.24) для некоторых констант К и тп, то решение уравнения (2.23) единственно в классе функций?) = г>(ж,£) € С2,1(К+, [О, Г)) таких, что у(х,Ь)<К'( 1+|® Г'), же Я, ¿6 [О, Г) (2.25) для некоторых констант К' и т', и дается формулой (2.15).

2.5 Хеджирование в полных моделях финансовых рынков

Рассмотрим теперь модель финансового рынка из в, + 1-го актива общего вида. Мы предполагаем, что цены активов представляют собой случайный процесс 51 = о<г<т, определенный на фильтрованном вероятностном пространстве

ЪХ^Тт, (Г^окькт, Р), где, как обычно, фильтрация (^)о<4<т непрерывна справа и пополнена по мере Р.

Обозначим X = (Х4г)о<г<сг,о<4<т—процесс дисконтированных цен: о < г < (1,о < ь < т, где, для определенности, мы выбрали нулевой актив в качестве дисконтирующего.

Введем в рассмотрение семейство М(Х, Р) (эквивалентных локальных) мартин-гальных мер процесса X, т.е. таких мер С} на (О,^), что

1. меры (¿к Р взаимно эквивалентны {С} ~ Р);

2. процесс X = {Х^0<1.<т является локальным мартингалом относительно . Далее мы предполагаем, что

М(Х, Р) ф 0. (2.26)

Данное условие эквивалентно отсутствию в модели арбитражных стратегий, т.е. стратегий, обеспечивающих возможность получения безрисковой прибыли, исходя из нулевого начального капитала, см., например, [34], [37], [8].

Стратегия определяется как согласованный процесс 7 = (7()о<»<й,о<«т, причем в случае, если у процесса X имеются скачки, дополнительно предполагается, что последние й координат—предсказуемые процессы, что позволяет рассматривать 7 в качестве интегранда X. Капитал стратегии в момент времени £ равен: = ¿7&.

Обозначим и = V/—дисконтированный капитал портфеля.

Стратегия 7 называется самофинансируемой, если ее дисконтированный капитал изменяется по следующему закону: и(. = и0+ ¡\и<1Хи (2.27) и стратегией с потреблением, если

Ъ = и0 + Г 7гД- (2.28)

Здесь Б—процесс дисконтированного суммарного потребления: где С4—суммарное потребление в портфеле до момента времени £ включительно.

Опцион (европейского типа) с моментом погашения равным Т описывается своей функцией выплат /х > 0, которая предполагается ^-измеримой случайной величиной. Дисконтированную выплату по опциону обозначим дт = /т/^.

Определение 2 Модель финансового рынка называется полной, если для всякого опциона с ограниченной4 дисконтированной платежной функцией дт, минимальный хедж существует и является самофинансируемой стратегией.

Следующая теорема дает характеризацию полных моделей финансовых рынков.

Теорема 6 ([52]) Пусть выполнено (2.26). Модель финансового рынка является полной, если и только если семейство мартингальных мер Л4(Х,Р) состоит из единственного элемента Р*.

Дальнейший анализ полных финансовых моделей основан на следующем результате, обобщающем теорему 1.

Теорема 7 (об интегральном представлении [55]) Пусть М = (М4) о <г<т~ кальный мартингал на (Г2, Тт, (^)о<4<т, Р)- Следующие условия эквивалентны:

1. М(М, Р) = {Р}, т.е. семейство мартингальных мер процесса М состоит из единственного элемента.

4В дальнейшем будет показано, что в полных рынках даже если платежная функция неогра-ничена, но множество хеджирующих стратегий для нее не пусто, то минимальная хеджирующая стратегия существует и является самофинансируемой.

2. для всякого локального мартингала N справедливо интегральное представление:

Ы = N0+ Гфийми, о<г<т, где ф—предсказуемый случайный процесс, интегрируемый по М.

Из теорем 7 и 2 и определений (2.27) и (2.28) легко вытекает важная характери-зация стратегий, аналогичная теореме 3.

Теорема 8 Предположим, что семейство мартингалъных мер Л4(Х,Р) состоит из единственного элемента Р*, и пусть II = (£/г)0<1<Т—неотрицательный согласованный процесс.

1. Процесс 11 является дисконтированным капиталом самофинансируемой стратегии, если и только если II—локальный мартингал относительно Р*.

2. Процесс 11 является дисконтированным капиталом стратегии с потреблением, если и только если (I—супермартингал относительно Р*.

Рассмотрим теперь опцион с моментом погашения Т и дисконтированной выплатой дт- Следующий результат является обобщением теоремы 4 на случай полных финансовых моделей.

Теорема 9 Предположим, что семейство мартингалъных мер Л4(Х,Р) состоит из единственного элемента Р". Множество хеджирующих стратегий не пусто, если и только если

Е*дт < +оо.

В этом случае минимальный хедж существует, является самофинансируемой стратегией, и его дисконтированный капитал в момент времени £ равен: иг = Е*\дТ\Ъ]. (2.29)

При этом количество активов 7 в оптимальном хедже определяется из интегрального представления: С 1идХи (2.30)

1. С. Ватанабэ, Н. Икэда. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986.

2. С.Н. Волков. Один опцион с последействием. Вестник МГУ. Серия I. Математика, механика, т. 1, в. 6, с. 51-55, 1995.

3. С.Н. Волков. Расчет стоимости одного опциона Американского типа. Успехи математических наук} т. 50, в. 6, с. 173-174, 1995.

4. С.Н. Волков. Оптимальное инвестирование с учетом операционных издержек, пропорциональных капиталу портфеля. Успехи математических наук, т. 51, в. 6, с. 193-194, 1996.

5. С.Н. Волков, Д.О. Крамков. О методологии хеджирования опционов. Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 4, в. 1, с. 18-65, 1997.

6. К. Деллашери. Емкости и случайные процессы. М.: Мир, 1975.

7. Ж. Жакод, А.Н. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов, т. 1-2, М.: Физматлит, 1994.

8. Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков. Отсутствие арбитража и эквивалентные мар-тингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски. Теория вероятностей и ее применения, т. 39, в. 3, с. 635-640, 1994.

9. Д.О. Крамков. О замыкании семейства мартингальных мер и опциональном разложении семимартингалов. Теория вероятностей и ее применения, т. 41, в. 4, с. 892-896, 1996.

10. Д.О. Крамков, Э. Мордецки. Интегральный опцион. Теория вероятностей и ее применения, т. 39, в. 4, с. 201-210, 1994.

11. Н.В. Крылов. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

12. H.B. Крылов. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Москва, Наука, 1985.

13. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

14. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

15. A.B. Мельников, М.Л Нечаев. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратическом. Теория вероятностей и ее применения, т. 43, в. 4, с. 672-691, 1998.

16. A.A. Новиков. Об одном тождестве для стохастических интегралов. Теория вероятностей и ее применения, т. 17, в. 4, с. 761-765, 1972.

17. А.Н. Ширяев, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков, A.B. Мельников. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. I. Дискретное время. Теория вероятностей и ее применения, т. 39, в. 1, с. 23-79, 1994.

18. А.Н. Ширяев, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков, A.B. Мельников. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. II. Непрерывное время. Теория вероятностей и ее применения, т. 39, в. 1, с. 80-129, 1994.

19. А.Н. Ширяев. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 2, в. 4, с. 527555, 1995.

20. А.Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты. Модели. Том II. Теория. М.: ФАЗИС, 1998.

21. Р. Эллиотт. Стохастический анализ и его приложения. М.: Мир, 1986.

22. М. Abramowitz and I.A. Stegun, (ed.). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables. US Department of Commerce, National Bureau of Standarts, Applied Mathematics Series, 1965.

23. J.P. Ansel and C. Strieker. Couverture des actifs contingents. Ann. Inst. Henri Poincaré, 30(2):303-315, 1994.

24. D. Assaf, M. Taksar and M.J. Klass. A diffusion model for optimal portfolio selection in the presence of brokerage fees. Math. Operations Research, 13:277-294, 1988.

25. C. Atkinson and P. Wilmott. Portfolio management with transaction costs: an asymptotic analysis of the Morton and Pliska model. Mathematical Finance, Vol. 5, No. 4 (October): 357-367, 1995.

26. L. Bachelier. Théorie de la spéculation. Ann. Ecole Norm. Sup., 17:21-86, 1900; English translation in "The random character of stock market prices", ed. P.H. Cootner, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 17-78, 1964.

27. A. Bensoussan. On the theory of option pricing. Acta Appl. Math., 2:139-158, 1984.

28. A. Bensoussan and J.L. Lions. Applications of variaional inequalities in stochastic control North-Holland, Amsterdam, 1982.

29. F. Black and M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81:637-659, 1973.

30. G.M. Constantinides. Capital market equilibrium with transaction costs. Journal of Political Economy, 94:842-862, 1976.

31. J.C. Cox and C.F. Huang. Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a diffusion process. J. Econ. Theory, 54:259-304, 1989.

32. J.C. Cox, R.A. Ross and M. Rubinstein. Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics, 7(September):229-263, 1976.

33. J. Cvitanic and I. Karatzas. Hedging contingent claims with constrained portfolios.The Annals of Applied, Probability, 3(3):652-681, 1993.

34. R.C. Dalang, A. Morton, and W. Willinger. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic security market models. Stochastics, 29:185-201, 1990.

35. M.H.A. Davis and A.R. Norman. Portfolio selection with transaction costs. Math. Operations Research, 15:676-713, 1990.

36. F. Delbaen and W. Schachermayer. A compactness principle for bounded sequences of martingales with applications. 1996. preprint.

37. F. Delbaen and W. Schachermayer. A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Math. Annalen, 300:463-520, 1994.

38. F. Delbaen and W. Schachermayer. A simple counterexample to several problems in mathematical finance. 1994. preprint.

39. D. Duffie and T. Sun. Transaction costs and portfolio choice in a discrete-continuous time setting. J. Econ. Dyn. Control, 14:35-51, 1990.

40. B. Dumas and E. Luciano. An exact solution to a dynamic portfolio choice problem under transaction costs. Journal of Finance, 46:577-595, 1991.

41. N. El Karoui. Une propriété de domination de l'envelope de Snell des semimartingales fortes. Volume 920 of Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1982.

42. N. El Karoui and M.C. Quenez. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market. SIAM J. Control and Optimization, 33(l):29-66, 1995.

43. N. El Karoui and I. Karatzas. A new approach to the Skorohod problem and it's applications. Université de Paris, working paper, 1989.

44. M. Emery. Une topologie sur l'espace des semi-martingales. In Séminare de Probabilités XIII, pages 260-280, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1979.

45. J.F. Eastham and K.J. Hastings. Optimal impulse control of portfolios. Math. Operations Research, 13:588-605, 1988.

46. H. Fôllmer and Yu.M. Kabanov. On the optional decomposition theorem and the lagrange multipliers. 1995. preprint.

47. H. Föllmer and D.O. Kramkov. Optional decompositions under constraints. 1997. to appear in Probability Theory and Related Fields.

48. H. Föllmer and M. Schweizer. Hedging of contingent claims under incomplete information. In Applied Stochastic Analysis, pages 389-413, North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford-Tokyo, 1986.

49. H. Föllmer and D. Sondermann. Hedging of non-redundant contingent claims. In Contributions to mathematical economics, pages 205-223, North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford-Tokyo, 1986.

50. M.J. Harrison and D.M. Kreps. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. Journal of Economic Theory, 20:381-408, 1979.

51. M.J. Harrison and S.R. Pliska. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and their Applications, 11(3):215—260, 1981.

52. M.J. Harrison and S.R. Pliska. A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets. Stochastic Processes and their Applications, 15:313-316, 1983.

53. S.D. Jacka. Optimal stopping and the American put. Mathematical Finance, 1(2):1-14, April 1991.

54. S.D. Jacka. A martingale representation result and an application to incomplete financial markets. Mathematical Finance, 2(4):239—250, October 1992.

55. J. Jacod. Calcul stochastiques et problèmes de martingales. Volume 714 of Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1979.

56. P. Jaillet, D. Lamberton and B. Lapeyre. Variational inequlities and the pricing of American options. Acta Appl Math., 21:263-289, 1990.

57. E.Kamke. Differentialgleichungen: Lösungsmethoden und Lösungen, lste Teil. Leipzig, 1959.

58. I. Karatzas. On the pricing of American options. Appl. Math. Optim., 17:37-60, 1988.

59. I. Karatzas. Optimization problems in the theory of continuous trading. SI AM J. Control Optim., 27:1221-1259, 1989.

60. I. Karatzas, J.P. Lehoczky and S.E. Shreve. Optimal portfolio and consumption decisions for a "small investor" on a finite time horizon. SI AM J. Control Optim., 27:1157-1186, 1987.

61. R. Korn. Contingent claim valuation in a market with different interest rates. ZOR—Mathematical Methods of Operational Research, 42, 1995.

62. D.O. Kramkov. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets. Probability Theory and Related Fields, 105:459-479, 1996.

63. M.J.P. Magill and G.M. Constantinides. Portfolio selection with transaction costs. J. Econ. Theory, 13:245-263, 1976.

64. H.P. McKean. Appendix: A free boundary problem for the heat equation arising from a problem in mathematical economics. Industrial Management Review, 6:32-39, 1965.

65. J. Mémin. Espaces de semi martingales et changement de probabilité. Z.Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 52:9-39, 1980.

66. R.C. Merton. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1):141—183, 1973.

67. R.C. Merton. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of Financial Economics, 3(March):125-144, 1976.

68. R.C. Merton. Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous time model. The Review of Economics and Statistics, 51: 247-257, 1969.

69. R.C. Merton. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model. J. Econ. Theory, 3: 373-413, 1971.

70. P.L.J, van Moerbeke. On optimal stopping and free boundary problem. Arch. Rational Mech. Anal., 60:101-148, 1976.

71. A.J. Morton and S.R. Pliska. Optimal portfolio management with fixed transaction costs. Mathematical Finance, Vol. 5, No. 4 (October): 337-356, 1995.

72. W. Schachermayer. A counterexample to several problems in the theory of asset pricing. Mathematical Finance, 3(2):217—230, 1993.

73. M. Schweizer. Option hedging for semimartingales. Stochastic Processes and their Applications, 37:339-363, 1991.

74. L.A. Shepp and A.N. Shiryaev. The Russian option: reduced regret. The Annals of Applied Probability, 3:631-640, 1993.

75. L.A. Shepp and A.N. Shiryaev. New look at the pricing of "Russian option". Theory of Probability and it's Applications, 39:130-149, 1994.

76. L.A. Shepp and A.N. Shiryaev. A dual Russian option for selling short. DIMACS Techn. Report, 93-26, 1993.

77. S.N. Volkov. One generalization of Russian and Integral American perpetual options. Proceedings of the 9th European Young Statisticians Meeting, 133-136, 1995.

78. S.N. Volkov. Hedging in markets with imperfections. Proceedings of the workshop on Mathematical Finance, Liapunov French-Russian Institute, May 18-19 1998, INRIA Rocquencourt, 21-98, 1999.