Фильтрация волатильности и мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 519.21

Селиванов Андрей Валерьевич

ФИЛЬТРАЦИЯ ВОЛАТИЛЬНОСТИ И МАРТИНГАЛЬНЫЕ МЕРЫ В ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ ЛЕВИ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент А. С. Черный

доктор физико-математических наук, профессор В.Ю. Королев

доктор физико-математических наук, профессор И. В. Павлов

Центральный экономико-математический институт РАН (ЦЭМИ РАН)

Защита диссертации состоится "_20_"_мая_2005 г. в

16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д .501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16- 24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 17 " апРеля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор (Тл1/ I

Т. П. Лукашенко

Актуальность темы.

Исследование процессов Леви — процессов с независимыми стационарными приращениями — было начато А. Н. Колмогоровым, П. Леви, А. Я. Хинчиным и продолжено в работах многих ученых (В. М. Золотарев, И. А. Ибрагимов, К. Ито, А. В. Скороход, В. Феллер и др.). Теория процессов Леви является одной из классических ветвей современной теории случайных процессов. Отметим также, что класс семимартинга-лов1,2'3, являющийся прямым обобщением класса процессов Леви, составляет основу современного стохастического анализа.

В последнее время наблюдается значительное повышение интереса к этим процессам, что связано в первую очередь с их применениями в финансовой математике. Отметим недавно вышедшие монографии Ж. Бер-туана4 и К.-И. Сато5, посвященные "чистой" теории процессов Леви, а также монографии А. Н. Ширяева6 и Р. Конта, П. Танкова7, в которых рассматриваются применения процессов Леви в финансовой математике.

Первые крупные шаги в современной финансовой математике сделали Ф. Блэк, Г. Маркович, Р- Мертон, П. Самуэльсон, У. Шарп, М. Шоулс и другие ученые. Д. М. Крепе, С. Р. Плиска и Дж. Р. Харрисон8,9,10 устано-

1Jacod J. Calcul stochastique et problèmes de martingales. Lecture Notes in Mathematics, 714 (1979), Springer, Berlin Heidelberg New York.

гЛипцер P. Ш., Ширяев A H. Теория мартингалов. M.: Наука, 1986.

3Жакод Ж., Ширяев А. H. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физ-матлит, 1994, т. 1, 2.

4Bertoin J. Levy processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

6 Sato К-I. Levy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

'Ширяев A. H. Основы стохастической финансовой математики. 2-е изд. М.: Фазис, 2004, т. 1, 2.

7Cont R., Tankov P. Financial modelling with jump processes. Chapman fc Hall/CRC Press, 2004.

8Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets.// Journal of Economic Theory, 20 (1979), p. 381-408.

'Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981), p. 215-260.

10Kreps D. M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities.// Journal of Mathematical Economics, 8 (1981), p. 15-35.

вили связь между финансовой математикой и стохастическим анализом.

В настоящей диссертации рассматриваются некоторые задачи стохастического анализа, "мотивированные" финансовой математикой.

В первой главе исследуется вопрос о существовании и единственности мартингальных мер в следующих моделях:

1) экспоненциальной модели Леви — модели, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид

где X — (одномерный) процесс Леви; 2) экспоненциальной модели Леви с заменой времени — модели, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид

где X — (одномерный) процесс Леви, т — независимый с X неубывающий процесс, (X о r)t — XTl.

(Параметр t принимает значения из [О, Г] или из К+.)

Эти модели весьма популярны в современной финансовой математике6,7'11'12, а существование и единственность мартингальных мер является важным вопросом в связи с так называемой фундаментальной теоремой теории арбитража (ФТТА).

Во второй главе рассматривается оценка волатильности по наблюдениям за процессом S в одной частной модели вида (2).

Именно, пусть г — процесс с абсолютно непрерывными траекториями, т = J0 Asds. Значение At естественно считать внутренней (или модельной) волатильностью (т.е. мерой изменчивости процесса S, важной с практической точки зрения). Действительно, если значения А являются большими, то это приводит к сильному изменению г за небольшой промежуток времени, а значит, вызывает большие колебания процесса S.

nCarr P., Geman Н., Madan £>., Yor М. Stochastic volatility for L6vy processes.// Mathematical Finance, 13 (2003), JV«3, p. 345-382.

l2Jakubenas P. On option pricing in certain incomplete markets.// Труды МИАН, 237 (2002), с. 123-142.

(1)

St = e(*OT\

(2)

Наоборот, если значения А малы, то изменения S будут меньшими. Такое же понятие волатильности рассматривается в работе П. Карра и др.13, где получены результаты о характеристических функциях и мартингаль-ных мерах для частных случаев модели (2). В работе этих авторов процесс А предполагается CIR-процессом (т.е. решением некоторого стохаг стического дифференциального уравнения).

В работе М. Винкеля14 получен следующий результат. Если X — процесс Леви, не являющийся составным пуассоновским процессом (см. определение 6), т — независимый с X непрерывный неубывающий процесс, то возможна полная фильтрация процесса т. Другими словами, для любого t существует измеримый функционал ft: Z>([0, i]) (D([0,t)) — пространство cadlag функций на [0, t]) такой, что ft((X о т)„, s ^ i) = rt п.н. Вид этого функционала приведен в указанной работе. Таким образом, если X не является составным пуассоновским процессом, то мы можем точно найти т и вычислить волатильность — производную т.

Мы рассмотрим случай, когда X является составным пуассоновским процессом. В этом случае полная фильтрация невозможна, однако можно получать оценки для At. Одной из наиболее естественных оценок является условное математическое ожидание

Во второй главе мы находим эту оценку в предположении, что известно распределение процесса А (теорема 7). Вывод этой оценки опирается на результат, представляющий самостоятельный интерес. Именно, в работе доказывается (теорема 8), что компенсатор процесса X о г в точности есть Е(А(|(Х о г)3, з ^ t). Таким образом, эта теорема устанавливает связь между двумя понятиями: "финансовым" понятием оценки внутренней волатильности и "математическим" понятием компенсатора.

Третья глава относится к моделям дискретного времени с операционными издержками.

Моделям с издержками (причем в различных постановках) уделяется

13Сатт P., Geman Н., Madan D., Yor М. Stochastic volatility for Levy processes.// Math-

ematical Finance, 13 (2003), JY«3, p. 345-382.

uWinkel M. The recovery problem for time-changed Levy processes. Manuscript, 2001.

большое внимание в работах последних лет15. В диссертации рассматривается подход, основанный на введении двух процессов цен — верхней S" (цены продажи) и нижней Sb (цены покупки).

Классическая фундаментальная теорема теории арбитража для моделей дискретного времени без издержек (случай 5° = Sb = S) утверждает следующее. Модель является безарбитражной тогда и только тогда, когда существует мера Q, эквивалентная исходной и такая, что процесс S является Q-мартингалом. Этот результат впервые установили Дж. М. Харрисон и С. Р. Плиска16 в предположении, что множество элементарных исходов является конечным. Теорему в полной общности доказали Р. К. Даланг, А. Мортон и У. Уиллинджер17, более простые доказательства были предложены в ряде работ других авторов. В большинстве этих доказательств18 существенно используются результаты из функци-

16Cmtamc J, Karatzas I. Hedging and portfolio optimization under transaction costs: a martingale approach.// Mathematical Finance, 6 (1996), №2, p. 133-165

Delbaen F., Kabanov Yu.M., Valkeila E Hedging under transaction costs in currency markets: a discrete-time model.// Mathematical Finance, 12 (2002), № 1, p. 45-61.

Jouini E., К allai H Martingales and arbitrage in securities markets with transaction costs.// Journal of Economic Theory, 66 (1995), №1, p. 178-197.

Kabanov Yu M Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets.// Finance and Stochastics, 3 (1999), №2, p. 237-248

Kabanov Yu M, Rdsonyi M., Strieker С. Non-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction.// Finance and Stochastics, 6 (2002), №3, p 371-382.

Kabanov Yu. M., Strieker C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs.// Journal of Mathematical Economics, 35 (2001), p. 185-196.

Kabanov Yu M., Strieker C. Hedging of contingent claims under transaction costs.// In: Sandmann, Klaus (Ed ) Advances in Finance and Stochastics. Essays in honour of Dieter Sondermann. Berlin: Springer, 2002, p. 125-136.

Leventhal S, Skorokhod. A.V. On the possibility of hedging options in the presence of transaction costs.// Annals of Applied Probability, 7 (1997), p. 410-443.

Schaehermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Mathematical Finance, 14 (2004), №1, p. 19-48.

16Harrison J. M., Phska S R Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading.// Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981), p. 215-260.

"Dalang R С, Morton A., Wilhnger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), №2, p. 185-201.

18Кабанов Ю M., Крамков Д. О Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингаль-ные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски.// Теория вероятностей и

онального анализа.

В моделях с издержками подобные результаты были получены при различных усилениях понятия безарбитражности. Целью третьей главы является получение соответствующего результата с использованием классического понятия безарбитражности. Доказано (теорема 11), что при некоторых предположениях (счетность П и одномерность процессов Sa и Sb) модель является безарбитражной тогда и только тогда, когда существуют мера Q, эквивалентная исходной, и Q-мартингал M такой, что Sb ^ M ^ 5°. Доказательство теоремы использует технику функционального анализа.

Цель работы.

Целью работы является изучение мартингальных мер и оценка вола-тильности в экспоненциальных моделях Леви с заменой времени, а также получение фундаментальной теоремы теории арбитража для моделей дискретного времени с операционными издержками.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены критерии существования и единственности сигма-мартин-гальных, мартингальных и равномерно-интегрируемых мартингальных мер для экспоненциальных моделей Леви и экспоненциальных моделей Леви с заменой времени.

2. Найдена оценка волатильности в частном случае экспоненциальной модели Леви с заменой времени.

3. Найден критерий отсутствия классического арбитража в модели дискретного времени с операционными издержками.

её применения, 39 (1994), №3, с. 523-527.

Kabanov Yu. M., Stricker С. A teacher's note on no-arbitrage criteria.// Lecture Notes in Mathematics, 1755 (2001), p. 149-152.

Rogers L. C. G. Equivalent martingale measures and no-arbitrage.// Stochastics and Stochastics Reports, 51 (1994), № 1-2, p. 41-51.

Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time.// Insurance: Mathematics and Economics, 11 (1992), №4, p. 249-257.

Stricker C. Arbitrage et lois de martingale.// Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probab. et Statist., 26 (1990), №3, p. 451-460.

Методы исследования.

В доказательствах утверждений диссертации применены методы стохастического анализа: теория процессов Леви, преобразование Эшера, теория мартингалов, теория случайных мер и компенсаторов, теория интегралов Хеллингера, методы замены меры и др., а также элементы функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность.

В диссертации решается ряд задач стохастического анализа, "мотивированных" финансовой математикой.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны при изучении вопросов, связанных с теорией арбитража в моделях непрерывного времени, а также в моделях с операционными издержками.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и семинарах.

1. XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. МГУ, апрель 2004 г.

2. Third World Congress of the Bachelier Finance Society. США, Чикаго, июль 2004 г.

3. Научно-исследовательский семинар "Стохастический анализ и финансовая математика" кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством А. Н. Ширяева, А. А. Гущина, М. А. Урусова и А. С. Черного. МГУ, октябрь 2004 г.

4. Большой Семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством А. Н. Ширяева. МГУ, декабрь 2004 г.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем работы составляет 96 страниц. Список литературы включает 79 наименований. Собственные результаты автора и в тексте диссертации, и в автореферате называются "теоремами". Цитируемые утверждения называются ' "предложениями".

> КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 посвящена критериям существования и единственности мер со свойствами мартингальности для моделей (1) и (2).

Прежде всего напомним определения. Рассмотрим общую модель

(3)

где (iî,^", (jFf), Р) — фильтрованное вероятностное пространство, S — (!Ft) - согласованный процесс, t — параметр, принадлежащий либо интервалу [О, Т], либо R+. С финансовой точки зрения, St — это дисконтированная цена актива в момент времени t. Определим множества

Ai а = {Q ~ Р : S является {Tu <3)-ег-мартингалом} ; /А = {Q ~ Р : 5 является {Tt, (З)-мартингалом}; ЫМ = {Q ~ Р : S является (J-t, <3)-равномерно интегрируемым

мартингалом}.

Напомним, что класс сигма-мартингалов был предложен в работах К.-С. Шу19 и М. Эмери20. Этот класс обобщает класс локальных мар-» тингалов.

Понятие отсутствия арбитража в модели (3) может быть введено неоднозначно. Мы рассмотрим два понятия: отсутствие бесплатного ленча с исчезающим риском (no free lunch with vanishing risk, NFLVR) и отсутствие обобщенного арбитража (по generalized arbitrage, NGA).

19Chou С.-S. Caractérization d'une classe de scmimartlngales.// Lecture Notes in Mathematics, 721 (1979), p. 250-252.

20Emery M. Compensation de processus à variation finie non localement intégrables.// Lecture Notes in Mathematics, 721 (1980), p. 152-160.

Первое понятие было предложено Ф. Делбаеном и У. Шахермайером21 и традиционно рассматривается для моделей непрерывного времени. Второе понятие было предложено А. С. Черным22. Справедливо следующее утверждение, для наглядности приводимое в виде таблицы.

Предложение 1 (ФТТА).

Утверждение Модель (3), te M Модель (3), te R+

Пусть S — семимартингал. NFLVR Маф0

Пусть S > 0 и càdlàg. NGA о Мф® ЫМф0

Первая часть предложения доказана Ф. Делбаеном и У. Шахермайером23, вторая — А. С. Черным22.

В первой главе диссертации рассматриваются множества Ма, Л4 и UM. для моделей (1) и (2) с конечным и бесконечным временным горизонтом, причем выбор множества обусловлен предложением 1.

Для формулировки результатов нам необходимо напомнить определения двух классических моделей финансовой математики.

1) Модель Блэка-Шоулса — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид

St = е*+аВ\

где В — броуновское движение, а ф 0.

2) Модель Мертона — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид

St = e"i+<TjV(,

где N — пуассоновский процесс, а ф 0.

Основное содержание главы составляют следующие результаты. Предположим, что X — это ненулевой процесс Леви, г — отличный от

пDelbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing.// Mathematische Annalen, 300 (1994), №3, p. 463-520

22Cherny A.S. General arbitrage pricing model- probability and possibility approaches. Manuscript, 2004, http//mech.math.insu su/"cherny

23Delbaen F., Schachermayer W The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes.// Mathematische Annalen, 312 (1998), №2, p. 215-250.

константы неубывающий процесс с cadlag траекториями, независимый с X. Будем обозначать через |Л| число элементов во множестве А.

Теорема 2. Рассмотрим модель (1) с конечным временным горизонтом, т.е. X = (Xi)f6[o,r]-

(i) Мы имеем М.а = 0<&Л4 = 0<=>Х — монотонный процесс.

(ii) Предположим, что М„ ф 0- Тогда \М„\ = 1 <S4> \М\ = 1 & модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.

Доказательство этого утверждения получается применением преобразования Эшера, т.е. заменой меры вида Ра(^я) = с(Х)еХх P(dx) (см., например, монографию А. Н. Ширяева24). Отметим, что часть (i) теоремы 2 была установлена другим методом в работе П. Якубенаса25. Мы приводим иное доказательство, которое затем используется при получении пункта (ii).

Теорема 3. Рассмотрим модель (2) с конечным временным горизонтом, т.е. X — (Xt)t^o, т = (п)ге[о,г]-

(i) Мы имеем Ai„ = = — монотонный процесс.

(ii) Предположим, что Ма ф 0. Тогда \М„\ = 1 |Л4| = 1

т — детерминированный, непрерывный процесс и модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.

Теорема 4. Рассмотрим модель (1) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)t^о-

(i) Множество М„ не пусто только в следующих двух случаях.

(a) S является Р -мартингалом-,

(b) ES] < 1 и скачки процесса S не ограничены сверху.

(ii) Предположим, что Ма ф 0- В этом случае \Ма\ = 1 тогда и только тогда, когда модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.

(iii) Мы имеем UM. = 0.

24Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики Глава VII, §3с. 2-е изд. М.: Фазис, 2004, т. 2

nJakubenas Р On option pricing in certain incomplete markets.// Труды МИАН, 237 (2002), с. 123-142.

Доказательство пункта (1) этой теоремы является самым сложным в первой главе. Оно состоит из двух частей: нахождение стратегий, реализующих арбитраж во всех случаях, кроме (а) и (Ь), и построение мартин-гальной меры как предела согласованных мер в случае (Ь).

Пункт (11) вытекает из доказательства пункта (1), а пункт (ш) основывается на простейшем свойстве равномерно интегрируемых мартингалов.

Теорема 5. Рассмотрим модель (2) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = т = Предположим, что тж = оо п.н. Тогда ЫМ = 0.

Это утверждение доказывается аналогично пункту (111) предыдущей теоремы.

Заметим, что из полученных результатов следует, что в моделях (1) и (2) с конечным временным горизонтом оба понятия безарбитражности эквивалентны:

^А,

причем эти модели практически всегда безарбитражны. В моделях (1) и (2) с бесконечным временным горизонтом всегда существует обобщенный арбитраж, в то время как бесплатный ленч с исчезающим риском может отсутствовать.

Глава 2 посвящена нахождению оценки волатильности в частной модели вида (2). Напомним определение.

Определение 6. Пусть и — ненулевая мера Леви такая, что г/(К) < оо. Составным пуассоновским процессом с мерой Леви V называется процесс Леви вида

ЛГ,

= * ^ О,

п=1

где N — пуассоновский процесс с параметром г/(К), (£п)п=1,2,... — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением 1//1/(М), независимые с N.

Пусть X — составной пуассоновский процесс с мерой Леви и, т — неотрицательный неубывающий процесс, независимый с X и имеющий абсолютно непрерывные траектории, т = /0 Ая ¿в. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть Qа - Law(At; t < Т). Тогда E(At\{XoT)s = x„ s^t) =

I a(t) TT a(s)-exp{-f(R) / a(s) dsj QA(da) Mo,T]) «AiïO 1 J0 J .....

~ Г ( Г4 i ' U5it5sxi

/ TT a(s)-exp\-v(R) a(s) ds [ Q¿(da)

если знаменатель отличен от нуля.

Теорема доказывается в два этапа. Сначала устанавливается, что распределение Хот абсолютно непрерывно относительно распределения X, и находится явный вид плотности. Этот результат получается вычислением компенсатора процесса Хоти применением теорем из стохастического анализа. Второй этап — получение самой оценки — базируется на обобщенном варианте формулы Байеса26.

Приведем результат о компенсаторе, поскольку он представляет самостоятельный интерес.

Теорема 8. Пусть тп = JRxv(dx) < оо.

(i) Пусть {Т?°Т'Т)т — правая модификация фильтрации, порожденной процессами X от и т. Процесс Хот представим в виде

о т)г-т /

Jo

(X oT)t-m / Asd8 + Mtl О,

где М — (3-*ОТ'Т, Р) -локальный мартингал.

(11) Пусть — натуральная фильтрация процесса Хот (она

автоматически непрерывна справа). Этот процесс представим в виде

(X о Т)г = т Г ЕЩГ?0*) & + Ми О, Jo

где М — , Р) -локальный мартингал.

Это утверждение можно рассматривать как своеобразный аналог теоремы об обновляющих процессах27, приводимой ниже.

2вЛипцер Р. Ш, Ширяев А Н Статигтика случайных процессов Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Лемма 7.4. М.: Наука, 1974.

27Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Теорема 7.12. М.: Наука, 1974.

Предложение 9. Пусть У — процесс Ито на пространстве вида

[ аа<18 + Ви ¿5*0, Jo

где В — Р) -броуновское движение и для любого неотрицательного Т /0Т Е|а8| ¿з < оо. Тогда этот, процесс представим в виде

У{= [ Е(ая|Р?)с1з + Ви О 0, J о

где В — {Т*, Р) -броуновское движение, а {Р?) = сг(УЯ1 в ^ <).

Иными словами, пусть процесс /0а„йв "компенсирует" процесс У до броуновского движения относительно фильтрации Тогда процесс /0 ¿в "компенсирует" процесс У до (другого) броуновского дви-

жения относительно натуральной фильтрации процесса У. Компенсаторы составного пуассоновского процесса из теоремы 8, понимаемые в ином смысле (как дополняющие процесс до локального мартингала), выглядят точно так же.

Глава 3 посвящена моделям дискретного времени с операционными издержками.

Пусть (Я, Т, (^п)п—о, м, Р) — некоторое фильтрованное вероятностное пространство. Предположим, что Тц — Р-тривиальная а-алгебра. Пусть 5е и 56 — К-значные (Тп) - согласованные последовательности. С финансовой точки зрения, 5° (соотв., ££) — это дисконтированная верхняя (соотв., нижняя) цена некоторого актива в момент времени п (предполагается, что банковская ставка постоянна). В частности, Определим множество

А = (]Г[-Я„/(ЯП > 0)5° - Я„/(Я„ < 0)5^] :

Нп —М-значные ^"„-измеримые величины и ^ Я„ = 0 >.

п=0 '

С финансовой точки зрения, А — это множество дисконтированных прибылей, которые могут быть получены при операциях с рассматриваемым

активом: при покупке актива по цене Sa и продаже (или короткой продаже) по цене Sb ( — это количество активов у агента в момент времени п).

Замечание. В случае отсутствия операционных издержек (т.е. в случае, когда Sa = Sb = S) множество А преобразуется ко множеству, обычно рассматриваемому в моделях без издержек28.

Обозначим через множество неотрицательных случайных величин на (П, Т, Р). Напомним классическое определение29.

Определение 10. Модель удовлетворяет условию отсутствия арбитража, если А П L° = {0}.

Основным результатом этой главы является следующее утверждение.

Теорема 11 (ФТТА). Предположим, что множество fi счетно. Модель удовлетворяет условию отсутствия арбитража тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера Q ~ Р и (Тп, Q) -мартингал M такой, что Sb ^ M ^ 5°.

Отметим, что если пространство Î2 конечно, а процессы 5" и Sb положительны, то результат теоремы может быть получен из работы Ю. М. Кабанова и К. Стрикера30 (в этой работе рассматривается более общая модель, чем в диссертации).

Достаточность в теореме 11 устанавливается просто. Основная часть доказательства — проверка необходимости. Для этого мы показываем, что выполнено условие

T^IF+rM% = { 0}, (4)

где черта означает замыкание по вероятности. Это наиболее сложный шаг в доказательстве. Он основан на рассмотрении семейства моделей, полученных из исходной заменой меры Р на меры Р(-| Т\){ш). В этих

28Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики Глава V, § 1а. 2-е изд. М.: Фазис, 2004, т. 2.

яHarrison J. M., Kreps D. M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities mar-kets.// Journal of Economie Theory, 20 (1979), p. 381-408

mKabanov Yu. M., S tricher C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs.// Journal of Mathematical Economies, 35 (2001), p. 185-196.

моделях цены акций и количество располагаемых активов в моменты О и 1 являются числами. Перебалансировка активов в эти моменты позволяет перейти к моделям меньшей размерности по времени и получить требуемое утверждение, пользуясь математической индукцией.

После того, как установлено свойство (4), искомый результат получается использованием теоремы Д. М. Крепса31 и Дж. А. Яна32, техники огибающих Снелла33 и теории мартингалов.

Отметим один довольно неожиданный факт, отличающий модели с операционными издержками от классических (т.е. моделей без издержек). В классических моделях дискретного времени множество А — Ь°+ оказывается замкнутым по вероятности, т.е.

= А-Ь°+ (5)

(проверка этого свойства составляет основное содержание "функционально-аналитических" доказательств ФТТА). В моделях же с операционными издержками свойство (5) может нарушаться (соответствующий пример приведен в диссертации). Поэтому при доказательстве теоремы 11 мы проверяем более слабое, но достаточное для наших целей свойство (4).

Автор выражает глубокую благодарность кандидату физико-математических наук Александру Семеновичу Черному за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

31Kreps D. M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities.// Journal of Mathematical Economics, 8 (1981), p. 15-35.

aYan J. A. Caractérisation d'une classe d'ensembles convexes de L1 et H1.// Lecture Notes in Mathematics, 784 (1980), p. 220-222.

33El Karoui N. Les aspects probabilistes du contrôle stochastique.// Lecture Notes in Mathematics, 876 (1981), p. 73-238.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Селиванов A.B. О заменах времени для процессов Леви.// Успехи математических наук, 58 (2003), вып. 2, с. 175-176.

[2] Селиванов A.B. О мартингальных мерах в экспоненциальных моделях Леви.// Теория вероятностей и её применения, 49 (2004), вып. 2, с. 317-334.

[3] Селиванов А. В. Существование и единственность мартингальных мер в экспоненциальных моделях Леви.// Успехи математических наук, 59 (2004), вып. 3, с. 179-180.

[4] Селиванов А. В. Критерии безарбитражности для экспоненциальных моделей Леви.// Тезисы докладов XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, М., 2004, с. 108-109.

[5] Селиванов А. В. Критерии безарбитражности для экспоненциальных моделей Леви.// Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, М., 2004, с. 212-215.

Подписано в печать 06.04.2005 Объем 1.25 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 56 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992, г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

û/.ûS- Û/.Û3

РНБ Русский фонд

2005-4 41926

'S í i ß *

1 9 МАИ 2005

Введение

1. Исторический обзор.

2. Теория арбитража.

3. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви.

4. Оценивание волатильности в моделях с заменой времени.

5. Безарбитражность моделей с операционными издержками

6. Структура работы.

7. Апробация диссертации.

Глава 1. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви

§1.1. Вспомогательные определения и утверждения.

§ 1.2. Экспоненциальная модель Леви: конечный временной горизонт.

§ 1.3. Экспоненциальная модель Леви: бесконечный временной горизонт.

§ 1.4. Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: конечный временной горизонт.

§ 1.5. Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: бесконечный временной горизонт.

Глава 2. Оценивание волатильности в моделях с заменой времени

§ 2.1. Вспомогательные определения и утверждения.

§ 2.2. Компенсатор меры скачков и процесс плотности.

§ 2.3. Фильтрация замены времени.

Глава 3. Безарбитражность моделей с операционными издержками

§ 3.1. Вспомогательные определения и утверждения.

§ 3.2. Основной результат.

§ 3.3. Доказательство основного результата.

1. Исторический обзор. Зарождение финансовой математики принято связывать с диссертационной работой Л. Башелье 1900 года (расчет рациональной стоимости опциона-колл в предположении, что цена акции является броуновским движением). Однако первый серьезный вклад в развитие теории относится лишь к середине века — работам Г. Марковитца 1952 г. [59] (основы теории портфеля ценных бумаг, понятие диверсификации), У. Шарпа 1964 г. [70] (теория САРМ) и некоторым другим. Следующим важным достижением являются известные работы Ф. Блэка, М. Шоулса [19] и Р. Мер-тона [60], опубликованные в 1973 г. В этих работах авторы находят рациональную (еще называемую справедливой) цену опциона-колл, предполагая, что цена акции образует геометрическое броуновское движение (т.е. экспоненту от броуновского движения со сносом). Указанные работы и возможность практического применения результатов положили начало быстрому и продуктивному развитию теории. Основные понятия, цели и результаты можно найти в монографиях [7], [8], [11], [32], [37], а также в обзорных статьях [13], [14].

Поскольку основная сложность финансовой математики происходит из-за наличия на рынке неопределенности, то математическим основанием этой науки в значительной мере является теория вероятностей.

Выделяют три основные задачи финансовой математики, так называемые "три колонны теории финансов" (см. [1; введение]):

I) оптимальное размещение ресурсов;

II) нахождение стоимости активов;

III) управление риском.

Данная работа относится ко второй "колонне", более конкретно, к теории арбитража. Эта теория, вместе с теорией САРМ, теорией максимизации полезности и теорией равновесия являются основными при решении задач второй "колонны" (см. табл. 1). Их принципиальное различие состоит в разном понимании оптимальности и справедливой стоимости.

Задачи Теории Оптимизация портфеля (I) Нахождение цены основных активов (И) Нахождение цены производных активов (И)

Теория САРМ + +

Теория максимизации полезности + + +

Теория равновесия + + +

Теория арбитража +

Таблица 1. Задачи, решаемые теориями второй "колонны". В скобках указан номер "колонны", к которой относится задача.

Все имеющиеся на рынке активы можно разделить на основные (первичные) и производные (вторичные) финансовые инструменты. К основным относятся банковский счет, облигации и акции. Производные инструменты строятся на базе основных и включают в себя индексы, опционы, фьючерсы и т.д. (см., например, [2], [11; гл. I, п. 1], [43]).

Задачами теории САРМ (Capital Asset Pricing Model) являются оптимальное распределение капитала и нахождение фундаментальной стоимости основных активов (т.е. стоимости, относительно которой согласились бы все участники, если бы они располагали полной информацией). Оптимальность в этой теории понимается как максимизация средней прибыли при фиксированной дисперсии прибыли. Создатели теории — Г. Марковитц [59], У. Шарп [70] и Дж. Линтнер [58].

Теория максимизации полезности предназначена для составления оптимального портфеля отдельного участника рынка. В рамках этой теории также вычисляется справедливая цена актива для участника — цена, по которой данному участнику безразлично, покупать или продавать актив. Как видно из названия, здесь оптимальность понимается как максимизация средней полезности от вложенных средств. Создатели этой теории — Дж. фон Нейман и О. Мор-генштерн [61], JI. Дж. Сэвидж [67].

Теория равновесия занимается поиском оптимальных портфелей и цен активов, которые приводят к равновесному состоянию рынка. Это такое состояние, в котором для каждого участника максимизируется средняя полезность от вложенных средств. Создатели теории — К. Эрроу и Г. Дебрэ (см. [28]).

2. Теория арбитража. Теория арбитража предназначена для поиска цен только производных финансовых инструментов. Эта задача решается следующим образом. Вводится понятие отсутствия арбитража, которое отражает невозможность получения прибыли без каких-либо затрат. Цена производного финансового инструмента считается справедливой, если введение инструмента на рынок с данной ценой не приведет к появлению арбитражных возможностей.

Создание теории арбитража восходит к уже упоминавшимся работам [19], [60] (в этих статьях еще не возникает понятия арбитража), работам С. Росса и Р. Ролла [64], [65], а также работам Дж. М. Хар-рисона, Д. М. Крепса и С. Р. Плиски [40], [41], [56].

Поясним основную идею теории на примере простейшей одноша-говой модели. Пусть Q = {wi,^}, P({^i}) = V> ^({^2}) = 1 — Р> р е (0,1). Пусть So Е Е, Si(wi) = So + a, Si(w2) = So - b, a, 6 > 0, F — случайная величина. С финансовой точки зрения, Sn — это цена акции в момент п, F — платежное поручение, т.е. контракт, продавец которого обязуется выплатить покупателю сумму F в момент 1.

Допустим, что агент в начальный момент времени имеет сумму xGR и покупает h £ М акций. Его капитал в момент 1 составляет х + h(S\ — So). Рассмотрим систему уравнений на неизвестные х и h:

Теория арбитража утверждает, что справедливая цена F равна х*. Действительно, предположим, что х — цена F, х > х*, и рассмотрим следующую операцию. В момент 0 продадим контракт F по цене х и купим h* акций, а в момент 1 продадим акции и выплатим сумму F. Прибыль от такой операции составит т.е. мы получим арбитраж. Если бы на рынке существовала подобная возможность, то ею стали бы пользоваться все участники. Это быстро привело бы к изменению цен таким образом, чтобы арбитражная возможность исчезла.

Аналогичная ситуация возникает и в предположении, что справедливая цена х < х*.

Сделаем одно замечание о рассмотренной модели. Определим вероятностную меру Q по формуле: x + h(S1(u1)-S0)=F{uj1)-х + ^(SiM - So) =F(uj2).

Эта система имеет единственное решение г FM-fM,

X + Л*(Si - So) - F = X - X* > О,

Мера Q эквивалентна Р, Eq^i = So, EqF = х* (здесь " Eq " означает математическое ожидание по мере Q). Таким образом, справедливая цена F является математическим ожиданием выплат платежного поручения по мере, эквивалентной исходной, относительно которой процесс цены является мартингалом. Это свойство оказывается верным и в гораздо более общих ситуациях.

Рассмотрим модель дискретного времени (с конечным временным горизонтом)

Q,^7, (JFn)n=0,.,iVj Pj {Sn)n=q,.,n) J где Tq — тривиальная <т-алгебра, Tn = T, (<S'n)n=o,.,iV — Е^-значная согласованная случайная последовательность. С финансовой точки зрения, Sln — это дисконтированная (т.е. приведенная по стоимости к начальному моменту времени) цена г-го актива в момент п. Возможные (дисконтированные) прибыли, которые могут быть получены в этой модели, образуют множество: i=1 7i=l '

Нгп — R-значные, ^-"п1-измеримые случайные величины!.

Условие отсутствия арбитража (no arbitrage, NA) определяется следующим естественным образом:

ЛПЬ1 = { 0}, (1) где L+ — множество неотрицательных случайных величин.

Введем множество мартингалъных мер

Л4 = {Q ~ Р : S является Р)-мартингалом}. (2)

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 1. (Первая фундаментальная теорема теории арбитража.) В модели с дискретным временем отсутствует арбитраж тогда и только тогда, когда Л4 ф 0.

Этот результат впервые был получен Дж. М. Харрисоном и С. Р. Плиской в работе [41] в предположении, что множество элементарных исходов Q является конечным. Теорему в полной общности доказали Р. К. Даланг, А. Мортон и У. Уиллинджер в статье [27], более простые доказательства были предложены в ряде работ: [4], [45], [53], [63], [68] и [72] (см. также [11; гл. V, §2Ь]).

Определим платежное поручение как -измеримую случайную величину. Модель рынка называется полной, если для любого платежного поручения F найдется х € Ш и X G А такие, что х + X = F п.н. Это свойство допускает простую характеризацию (см. [45], [11; гл. V, § 4f, т. В *]).

Предложение 2. (Вторая фундаментальная теорема теории арбитража.) Модель с дискретным временем полна тогда и только тогда, когда \Л4\ = 1, где М. определено в (2) (здесь через \М\ обозначено число элементов во множестве Л4).

Число х* называется справедливой ценой, если в модели с расширенным множеством возможных прибылей

А = {X + h(F - х*) : X е A, he Щ отсутствует арбитраж. Основным результатом теории (с точки зрения практического применения) является следующее утверждение (см. [11; гл. VI, § 1с, т. 1]).

Предложение 3. Пусть F — ограниченное снизу платежное поручение. Пусть в модели с дискретным временем отсутствует арбитраж. Тогда множество справедливых цен поручения F совпадает со множеством {EqF : Q £ Л4, Eq|F| < 00}, где Л4 определено в (2).

Отметим, что теория дает формулу для цен платежного поручения только в случае отсутствия арбитража, т.е. "допустимыми" являются лишь безарбитражные модели.

В моделях с непрерывным временем понятие безарбитражности, определяемое формулой (1), является слишком слабым, и оно не позволяет получать результаты, подобные приведенным выше. В то же время, можно давать более сильные определения безарбитражности, для которых верны "аналоги" фундаментальных теорем (см. [11; гл. VII, п. 2]). Обычно при этом вместо (1) рассматривается следующее условие:

АПЬ°+ = {0}, где А — некоторое замыкание множества возможных прибылей А. Это множество (т.е. класс допустимых стратегий) и его замыкание в разных работах рассматриваются в разных смыслах. Некоторые результаты мы приведем ниже.

В заключение описания теорий второй "колонны" сравним ответы, которые они дают на вопрос о стоимости производных финансовых инструментов. Для простоты будем считать, что на рынке имеется лишь один актив (см. рис. 1). интервал справедливых цен

I . . . . . It t t t t справедливые цены участников равновесная цена

Рисунок 1. Цены производных финансовых инструментов.

Теория максимизации полезности дает по одной справедливой цене для каждого участника; теория равновесия — единую "равновесную" цену; теория арбитража — интервал цен. Столь различные ответы объясняются количеством исходных данных. Теории максимизации полезности и равновесия предполагают известным гораздо больше информации (например, функции полезности участников), чем теория арбитража. Последняя теория требует лишь знание распределения процесса цены и текущего значения цены имеющихся на рынке активов. И даже не всегда — в ряде работ, например, в [20], [23], [42] распределение процесса цены не предполагается известным. По этой причине теория арбитража (в отличие от теории равновесия) очень широко используется в практических расчетах.

Как было отмечено выше, необходимым условием применимости теории арбитража является безарбитражность модели. Поэтому в применении к конкретным моделям это условие должно быть проверено в первую очередь, тем самым создавая основу для дальнейших рассуждений.

Первая глава диссертации посвящена нахождению критериев бе-зарбитражности для двух классов моделей, основанных на процессах Леви. Вторая глава относится к оценке внутренней волатильности в этих моделях. В третьей главе доказывается первая фундаментальная теорема теории арбитража для моделей с дискретным временем и операционными издержками.

Остановимся подробнее на целях, методах и результатах каждой из глав.

3. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях

Леви. В главах 1 и 2 данной работы мы рассматриваем следующие два класса моделей с непрерывным временем, популярные в современной финансовой математике (см. [11], [17], [21], [47]).

1) Экспоненциальная модель Леви — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид

St = eXt, (3) где X — (одномерный) процесс Леви.

2) Экспоненциальная модель Леви с заменой времени — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид е<Хот\ (4) где X — (одномерный) процесс Леви, т — независимый с X неубывающий процесс, (X от)t = Хп (эта модель была введена в [21]).

Отметим, что необходимость усложнения моделей вызвана потребностью в более точном описании динамики цен. Классическая модель Блэка-Шоулса, в которой процесс цены предполагается геометрическим броуновским движением, обладает рядом несоответствий со статистическими данными (см. [11; гл. Ill, §4Ь, гл. IV, п. 2,3]). Например, нормальность приращений логарифмов цен и их независимость не подтверждаются для реальных цен. Избавиться от предположения о нормальности позволяют обе модели (3) и (4), а модель (4) допускает зависимые приращения.

Как было отмечено выше, понятие арбитража может быть введено неоднозначно в моделях с непрерывным временем. Остановимся на трех из этих понятий.

1) Бесплатный ленч (free lunch, FL). Это понятие впервые появляется в работе Дж. М. Харрисона и Д. М. Крепса [40] для обозначения арбитража в смысле формулы (1). Д.М. Крепе обобщил это понятие в работе [56]. Он, в частности, показал, что отсутствие (введенного им) бесплатного ленча является необходимым для существования мартингальнои меры, и нашел некоторые достаточные условия. Его результаты применимы для произвольных моделей с дискретным или непрерывным временем. Это понятие положило начало исследованиям различных усилений (1).

2) Бесплатный ленч с исчезающим риском (free lunch with vanishing risk, FLVR). Это понятие традиционно рассматривается для моделей с непрерывным временем. Оно было предложено Ф. Делбаеном и У. Шахермайером в [30]. В первой фундаментальной теореме теории арбитража (ФТТА), полученной авторами в [31], устанавливается связь между отсутствием арбитража и существованием сигма-мартингальной меры (см. предложение 4 ниже). Таким образом, введение FLVR позволяет получить первую ФТТА для моделей с непрерывным временем. Для этого понятия есть также аналоги предложений 2 и 3 — различные формы второй ФТТА получены в работах [15], [16], [31]; аналог предложения 3 (с иным определением справедливых цен через суб- и су-перреплицирование) — в [31], [35], [36]. Во всех этих результатах процесс цены предполагается семимартингалом.

3) Обобщенный арбитраж (generalized arbitrage, GA). Это понятие было предложено А. С. Черным в работе [23]. Первая ФТТА, полученная в [23], устанавливает связь между отсутствием обобщенного арбитража и существованием (равномерно интегрируемой) мартингальной меры (см. предложение 5 ниже). В работе [23] также получен аналог предложения 3. В этих результатах процесс цены предполагается неотрицательным согласованным процессом.

Приведем формулировки первой фундаментальной теоремы теории арбитража для второго и третьего подхода. Рассмотрим модель где параметр t принадлежит либо интервалу [О, Т], либо [0, оо), — тривиальная <т -алгебра, (Ft) — непрерывная справа полная фильтрация, (St) — -значный согласованный процесс с cadlag (т.е. непрерывными справа с пределами слева) траекториями. С финансовой точки зрения, S\ — это дисконтированная цена г-го актива в момент времени t.

Определим множества:

М.а = {Q ~ Р : S является (Тj, (З)-сг-мартингалом};

М. = {Q ~ Р : S является (Ft, Р)-мартингалом};

UM — {Q ~ Р : S является (0Ft, (З)-равномерно интегрируемым мартингалом}.

Элемент из Л4а (соотв., из М., ЫМ.) называется а -мартпингалъной (соотв., мартпингалъной, равномерно интегрируемой мартингаль-ной) мерой. Напомним, что понятие сигма-мартингала (см. определение 1.6) было введено в работах К.-С. Шу [22] и М. Эмери [34]. Это понятие обобщает понятие локального мартингала.

Предложение 4. (ФТТА в традиционной форме.) Пусть процесс S — произвольный (Tt, Р) -семимартингал. В модели с конечным или бесконечным временным горизонтом отсутствует бесплатный ленч с исчезающим риском (или, что эквивалентно, бесплатный ленч с ограниченным риском) тогда и только тогда, когда

Доказательство см. в [31]. Более простое доказательство было предложено в работе [49].

Предложение 5. (ФТТА в альтернативной форме.) Пусть процесс S — произвольный (Ft) -согласованный cadlag процесс. i) В модели с конечным временным горизонтом отсутствует обобщенный арбитраж тогда и только тогда, когда М. Ф 0. ii) В модели с бесконечным временным горизонтом отсутствует обобщенный арбитраж тогда и только тогда, когда

ЫМф0.

Доказательство см. в [23].

Заметим, что множества Л4 и UM. часто встречаются в работах по финансовой математике. Например, при дополнительных ограничениях на модель множество Ма в традиционной ФТТА можно заменить на Л4 (или UM.) (см. [30]).

В первой главе диссертации мы изучаем проблему существования и единственности <т-мартингальной, мартингальной и равномерно интегрируемой мартингальной меры для моделей (3) и (4) с конечным и бесконечным временным горизонтом. Единственная нерешенная проблема — это изучение М.а для модели (4) с бесконечным временным горизонтом (см. таблицу 1 на с. 30).

Для формулировки результатов нам необходимо напомнить определения двух классических моделей финансовой математики (см., например, [11; гл. Ill, §4Ь], [8; гл. III, §3.2]).

1) Модель Блэка-Шоулса — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид

St = e»t+aB\ (5) где В — броуновское движение, а ф 0.

2) Модель Мертона — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид

St = e»t+aN\ (6) где N — пуассоновский процесс, а ф 0.

Основное содержание первой главы составляют следующие результаты. Предположим, что X — ненулевой процесс Леви, г — отличный от константы неубывающий процесс с cadlag траекториями, независимый с X.

Теорема 6. Рассмотрим модель (3) с конечным временным горизонтом, т.е. X = {Xt)te[o,t\ ■ i) Мы имеем Л4а = 0 А4 = 0 <=> X — монотонный процесс. ii) Предположим, что Л4а ф 0. Тогда \Ма\ = 1 -ФФ- \М.\ = 1 модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.

Доказательство этого утверждения (теоремы 1.11, 1.12) получается применением преобразования Эшера (см., например, [11; гл. VII, §3с]), т.е. заменой меры вида Ра(<£с) = с(Л)еАх P(dx). Отметим, что часть (i) этой теоремы была установлена другим методом в [47]. Мы приводим иное доказательство, которое затем используется при получении пункта (ii).

Теорема 7. Рассмотрим модель (4) с конечным временным горизонтом,, т.е. X = (Xt)t^o, г = {п)Ьф,т] i) Мы имеем М.а = 0 ФФ- М. — 0 ■<=> X — монотонный процесс. ii) Предположим, что Ма ф 0 • Тогда \М.а\ = 1 \М\ = 1 ^ т — детерминированный, непрерывный процесс и модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.

Это утверждение (теоремы 1.18, 1.19) в силу независимости процессов X и г является следствием теоремы 6.

Теорема 8. Рассмотрим модель (3) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)t^oi) Множество М.а не пусто только в следующих двух случаях: a) S является Р -мартингалом; b) E5i < 1 и скачки процесса S не ограничены сверху. ii) Предположим, что Л4а ф 0. В этом случае \М.а\ = 1 тогда и только тогда, когда модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона. iii) Мы имеем ИМ. = 0.

Доказательство пункта (i) (теорема 1.13) является самым сложным в данной главе. Оно состоит из двух частей: нахождение стратегий, реализующих арбитраж во всех случаях, кроме (а) и (Ь), и построение мартингальной меры как предела согласованных мер в случае (Ь).

Пункт (ii) вытекает из доказательства пункта (i), а пункт (iii) (теорема 1.17) основывается на простейшем свойстве равномерно интегрируемых мартингалов.

Теорема 9. Рассмотрим модель (4) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)t^о, Т — (Tt)t^о- Предположим, что Too — оо п-н- Тогда UM. = 0.

Это утверждение (теорема 1.20) аналогично пункту (iii) предыдущей теоремы.

Заметим, что из полученных результатов следует, что в моделях (3) и (4) с конечным временным горизонтом оба условия безар-битражности эквивалентны:

NFLVR NGA

NFLVR — отсутствие бесплатного ленча с исчезающим риском, NGA — отсутствие обобщенного арбитража), причем эти модели практически всегда безарбитражны. В моделях (3) и (4) с бесконечным временным горизонтом всегда существует обобщенный арбитраж, в то время как бесплатный ленч с исчезающим риском может отсутствовать.

Приведем пример подобной ситуации, предложенный А. С. Черным в работе [23].

Пример 10. Рассмотрим модель Блэка-Шоулса с бесконечным временным горизонтом и процессом цены St = eBt~, t ^ 0, где В — броуновское движение. Исходная вероятностная мера является мартингальной, поэтому М.а ф 0, т.е. бесплатного ленча с исчезающим риском нет. В то же время, в этой модели есть обобщенный арбитраж, поскольку ЫМ. = 0.

Покажем, что модель этого примера естественнее считать арбитражной. Пусть т = inf{i ^ 0 : St = 0.5} (см. рис. 2). с бесконечным временным горизонтом.

Так как St 0 при t —> оо, то т < оо п.н. Рассмотрим следующую стратегию: осуществим короткую продажу одной акции в начальный момент времени и купим ее в момент г. Прибыль от этой операции составит 1 — 0.5 = 0.5, т.е. мы получаем арбитражную возможность (эта стратегия реализует и обобщенный арбитраж).

4. Оценивание волатильности в моделях с заменой времени. Понятие волатильности, отражающее меру изменчивости финансового рынка, не имеет однозначного определения — в разных ситуациях рассматриваются разные волатильности. Выделим некоторые понятия (см. [11; гл. IV, §3а]).

1) Реализованная (realized) волатилъностъ. Это понятие основано на вариационных характеристиках процесса цены. Предположим, что процесс цены S является семимартингалом и рассмотрим выражение: где Тп = {(h,. ,tn) : 0 = t\ < .<£„ = £} — разбиения с убывающим к нулю шагом. Если траектории процесса Ef дифференцируемы, то волатильность можно определить по формуле: а?2"

2) Предполагаемая (implied) волатилъностъ. Это понятие основано на обращении формулы Блэка-Шоулса — формулы для справедливой цены Q опциона-колл (т.е. платежного поручения с выплатой (St~К)+ в момент времени Т) в момент t в модели (5). Эта цена зависит (помимо t) от пяти параметров (см. [11; гл. VIII, где г — безрисковая процентная ставка (отметим, что Q не зависит от параметра модели ji). Однако на рынке уже имеются опционы-колл с некоторыми Т и К, и для них известны цены. Тогда, подставляя в формулу (7) известные значения Sq , Т, К, г и Q , мы получаем уравнение на неизвестное а. Решение этого уравнения а = a{t) является оценкой волатильности на рынке в момент времени t.

3) Модельная (или внутренняя) волатилъностъ: производная замены времени. Это понятие рассматривается также в работе [21]. иеТп

§ lb]):

Q = Q(50,T,^;c7,r)

7)

Пусть X — процесс со стационарными приращениями, г — неотрицательный неубывающий процесс с абсолютно непрерывными траекториями, rt= A, ds, t ^ 0. Jo

Предположим, что процесс цены имеет вид S = ехр(Х о т). Если значения А являются большими, то это приводит к сильному изменению т за небольшой промежуток времени, а значит вызывает большие колебания процесса цены. Наоборот, если значения А малы, то изменения цен будут меньшими. Поэтому значения А естественно рассматривать как параметр изменения рынка, т.е. как волатильность.

Для первого и третьего понятий можно говорить и о стохастической волатильности, поскольку получаемые процессы не обязательно являются детерминированными.

Рассмотрим третье понятие волатильности в применении к моделям вида (4).

В работе М. Винкеля [74] ставится вопрос о фильтрации процесса г в этих моделях. Автор интересуется ситуациями, когда возможна полная фильтрация этого процесса. Он приходит к следующему результату: если X — процесс Леви, не являющийся составным пуассоновским процессом (см. определение 2.1), т — независимый с X непрерывный неубывающий процесс, то возможна полная фильтрация процесса г. Другими словами, для любого t существует измеримый функционал ft : .D([0,£]) К. (.D([0,i]) — пространство cadlag функций на [0,£]) такой, что ft((X ot)s, s ^t) = Tt п.н. Этот функционал явно выписывается в [74]. Итак, если X не является составным пуассоновским процессом, то мы можем точно найти г и вычислить волатильность — производную г.

Мы рассмотрим случай, когда X является составным пуассоновским процессом. В этом случае полная фильтрация невозможна, однако можно получать оценки для At. Одной из наиболее естественных оценок является условное математическое ожидание

E(At\(XoT)a, s^t).

Во второй главе мы находим эту оценку в предположении, что известно распределение процесса А. Именно, имеет место следующее утверждение (теорема 2.15).

Теорема 11. Пусть Qa = Law(Af; t ^ Т). Тогда

E(At\(Xor)s = xs,s^t) = a(t) ТТ a(s)-exp{-*/(R) / a(s) ds\ QA(da)

Jdw .п) L Jo J

TT a(s)-exp\-u(R) f a(s) ds) QA(da)

МрЛ) L Jo J

8) O^t^T, если знаменатель отличен от нуля. Здесь v — мера Леви процесса X.

Теорема доказывается в два этапа. Сначала устанавливается, что распределение X от абсолютно непрерывно относительно распределения X, и находится явный вид плотности (теорема 2.14). Этот результат получается вычислением компенсатора процесса Хот (теорема 2.12) и применением теорем из стохастического анализа (предложения 2.9, 2.10). Второй этап — получение самой оценки — базируется на обобщенном варианте формулы Байеса (предложение 2.11).

Остановимся подробнее на результате о компенсаторе (теорема 2.12), поскольку он представляет самостоятельный интерес (определения см. в параграфе 2.1). Пусть и — мера Леви составного пуассоновского процесса X.

Теорема 12. Компенсатор меры скачков процесса X о г относительно фильтрации = cr(XTs, s ^t), t ^ О имеет вид

E(At\FtXoT){uj)dtv(dx) с измеримой по паре (t,cj) версией условного математического ожидания.

Из этого результата легко получается следующее утверждение (следствие 2.13).

Следствие 13. Пусть т = fRxi/(dx) < со. i) Пусть G7for'Tbo — правая модификация фильтрации, порожденной процессами X от и т. Процесс Хот представим в виде

Xor)t = m [ Asds + Mt, t ^ О, J о где М — °Т'Т, Р) -локальный мартингал. ii) Пусть — натуральная фильтрация процесса X от (она автоматически непрерывна справа). Этот процесс представим в виде

X о t)t = m f Е(Л5|^ог) ds + MU О,

Jo где М — {FtXoT, Р) -локальный мартингал.

Это следствие можно рассматривать как своеобразный аналог теоремы об обновляющих процессах (см. [5; т. 7.12]), приводимой ниже.

Предложение 14. Пусть Y — процесс Ито на пространстве (Г2, J7, (Ft)t^o, Р) вида

Yt= f aads + Bu t > О, где В — {Tt, Р) -броуновское движение и для любого Т ^ О где В — {rf, Р) -броуновское движение, a (Pf) = сг(У8, s ^ t).

Иными словами, пусть процесс f0 as ds "компенсирует" процесс Y до броуновского движения относительно фильтрации (Tt) • Тогда процесс /0 Е(о:5|F^Jds "компенсирует" процесс Y до (другого) броуновского движения относительно натуральной фильтрации процесса Y. Компенсаторы составного пуассоновского процесса из следствия 13, понимаемые в ином смысле (как дополняющие процесс до локального мартингала), выглядят точно так же.

Итак, оценка (8), с одной стороны, является оценкой волатильно-сти, а с другой стороны, она представляет собой компенсатор процесса цены.

5. Безарбитражность моделей с операционными издержками. Модели с операционными издержками — это модели, в которых цена, по которой агент может купить актив (верхняя цена, цена покупателя, ask price) выше цены, по которой этот актив можно продать (нижняя цена, цена продавца, bid price). Такие модели значительно лучше отвечают реальной ситуации на финансовом рынке, чем модели без издержек, и им уделяется большое внимание в современной теории (см. [23], [25], [26], [29], [48], [50], [51], [52], [54], [55], [57], [69], [71]). Существуют различные подходы к построению моделей рынка с операционными издержками.

Выделим три подхода. Отметим, что они применимы к моделям со многими активами как с дискретным, так и с непрерывным временем. т f0 E|as| ds < oo. Тогда этот процесс представим в виде

1) Подход, предложенный Е. Джуини и X. Каллалом в работе [48]. Этот подход, по выражению самих авторов, следует духу работы Дж. М. Харрисона и Д.М. Крепса [40]. Авторы [48] вводят понятие арбитража (по аналогии с [40] называемое бесплатным ленчем) и находят критерий безарбитражности. В этом подходе прибыль (или платежное поручение) является случайной величиной, как и в моделях без операционных издержек. С финансовой точки зрения, эта величина означает сумму денег, получаемую после продажи всех имеющихся активов.

2) Подход, представленный серией работ: [25], [26], [29], [51], [52], [54], [55], [57], [69], [71]. В этом подходе под прибылью (или платежным поручением) понимается с?-мерный случайный вектор, где d — количество активов на рынке. С финансовой точки зрения, г-я компонента этого вектора означает количество активов г-го типа, имеющихся у агента. Данный подход оказывается естественным при рассмотрении валютных рынков (см. [50]). В нем учитывается тот факт, что при наличии операционных издержек ценность портфеля, составленного из активов, больше ценности суммы денег, получаемых при его обналичивании.

3) Подход, предложенный А. С. Черным в работе [23]. Этот подход похож на первый, однако между подходами есть некоторые существенные отличия. Например, все величины в [48] предполагаются квадратично интегрируемыми, в то время как в [23] ограничений на интегрируемость нет; различны и понятия арбитража, вводимые в этих работах.

В диссертации мы рассматриваем третий подход. В соответствии с ним, заданы два процесса 5" и означающие дисконтированные верхнюю и нижнюю цены некоторого актива, Sa^Sb. (В работе мы рассматриваем лишь одномерную ситуацию, в то время как постановка задачи в [23] многомерна.) Из результатов [23] следует, что в модели с непрерывным временем отсутствует обобщенный арбитраж (это понятие вводится в [23]) тогда и только тогда, когда существует эквивалентная мера Q и Q -мартингал М такой, что Sb ^ М ^ Sa (в многомерном случае это неравенство понимается покомпонентно).

В третьей главе диссертации доказывается аналогичный результат для модели с дискретным временем с заменой условия отсутствия обобщенного арбитража на классическое условие отсутствия арбитража (1) (теорема 3.7). Это делается в дополнительном предположении, что пространство элементарных исходов Q счетно. (Другое ограничение уже было упомянуто: мы рассматриваем только одномерные модели.) Отметим, что если пространство Г2 конечно, а процессы Sa и Sb положительны, то полученный результат может быть выведен из [54].

Итак, пусть (Г2, Т, (J7n)n=о,.,лг, Р) — некоторое фильтрованное вероятностное пространство. Предположим, что Tq — Р-тривиальная о-алгебра. Пусть Sa и Sb — R-значные (Тп) -согласованные последовательности. С финансовой точки зрения, (соотв., — это дисконтированная верхняя (соотв., нижняя) цена некоторого актива в момент времени п (предполагается, что банковская ставка постоянна). В частности, Sa ^ Sb.

Возможные дисконтированные прибыли, которые могут быть получены в этой модели, образуют множество

Г N

А = J №. > 0)5® - HnI(Hn < 0)S£] : п п=0 n

Нп —К-значные ^„-измеримые величины и п=0 n ,

J2Hn = о • п—П '

Hk — эт0 количество располагаемых активов в момент времени п).

Основным результатом третьей главы является следующее утверждение (теорема 3.7).

Теорема 15 (ФТТА). Предположим, что множество Q счетно. В модели отсутствует классический арбитраж (определяемый формулой (1)) тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера Q ~ Р и (J^Q)- мартингал М такой, что Sb ^М

Достаточность в этом утверждении устанавливается просто. Основная часть доказательства — проверка необходимости. Для этого мы показываем (следствие 3.13), что выполнено условие { 0}, (9) где черта означает замыкание по вероятности. Это наиболее сложный шаг в доказательстве. Он основан на рассмотрении семейства моделей, полученных из исходной заменой меры Р на меры Р(- |.Fi)(u;). В этих моделях цены акций и количество располагаемых активов в моменты 0 и 1 являются числами. Перебалансировка активов в эти моменты позволяет перейти к моделям меньшей размерности по времени и получить требуемое утверждение, пользуясь математической индукцией (см. лемму 3.12).

После того, как установлено свойство (9), искомый результат получается использованием теоремы Д. М. Крепса и Дж. А. Яна (предложение 3.3), техники огибающих Снелла (см., например, [33]) и одного результата о суб- и супермартингалах (предложение 3.4).

Из теоремы 15 и результатов работы [23] следует, что в рассматриваемой модели (если пространство О, счетно) эквивалентны условия безарбитражности:

NA NGA.

Рассмотрим теперь модель с пропорциональными операционными издержками, т.е. модель, основанную на неотрицательном (Fn)- согласованном процессе 5, в которой Sa = S, Sb = (1 — о;)5, где а € [0,1) — коэффициент пропорциональных операционных издержек. В этой модели фундаментальную теорему можно сформулировать в другом виде. Нам понадобится определение из работы [23].

Определение 16. Пусть а Е (0,1]. Процесс Z со значениями в JR+ называется (Ft) -дельта-мартингалом порядка а, если i) Z — (Ft) -согласованный процесс с cadlag траекториями; ii) для любого t EZt < оо; iii) для любых (Tt) -моментов остановки и ^ v выполняется нераfl fl венство Е(Zv \ Ти) ~ Zu, где х & у (здесь х,у ^ 0) означает, что ах ^ у ^ а~1х.

Дельта-мартингалы допускают следующую характеризацию.

Предложение 17. Неотрицательный (Tt) -согласованный процесс Z с cadlag траекториями является дельта-мартингалом порядка а тогда и только тогда, когда существует (Ft) - мартингал М такой, что aZ ^ М ^ Z.

Доказательство см. в [23].

Из теоремы 15 и предложения 17 вытекает следующее утверждение (следствие 3.8).

Следствие 18. Предположим, что множество Г2 счетно. Модель с пропорциональными операционными издержками удовлетворяет условию отсутствия арбитража тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера Q ~ Р такая, что процесс S является (Тп, Q) -дельта-мартингалом порядка 1 — а.

В заключение отметим один довольно неожиданный факт, отличающий модели с операционными издержками от классических (т.е. моделей без издержек). В классических моделях с дискретным временем множество А — Z/J. оказывается замкнутым по вероятности, т.е.

A-L% = A — L°+ (10) проверка этого свойства составляет основное содержание "функциональных" доказательств ФТТА; см. [4], [53], [68], [72]). В моделях же с операционными издержками свойство (10) может нарушаться (см. пример 3.9). Именно поэтому при доказательстве ФТТА мы проверяем более слабое, но достаточное для наших целей свойство (9).

6. Структура работы. Диссертация построена следующим образом. Каждая глава начинается со вспомогательных определений и утверждений. Все эти определения и большая часть утверждений взяты из приводимой литературы. Со второго параграфа каждой главы начинается изложение собственных результатов работы.

Цитируемые утверждения носят название предложений, собственные результаты работы называются теоремами (вспомогательные утверждения — леммами).

Нумерация определений и утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом принята двойная система нумерации: предложение 2.1 означает первое предложение второй главы. То же самое касается нумерации формул.

7. Апробация диссертации. Результаты, относящиеся к диссертации, были изложены автором на следующих конференциях.

1. XXXVI конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Конференция проводилась в апреле 2004 года. Название доклада: "Критерии безарбитражности в экспоненциальных моделях Леви."

2. Third World Congress of the Bachelier Finance Society. Конференция проводилась в июле 2004 года в Чикаго (США). Название доклада: "On the martingale measures in exponential Levy models."

По теме диссертации был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.

К теме диссертации относятся следующие статьи автора: [76], [77], [78], [79].

Работа выполнена под руководством к.ф.-м.н. А. С. Черного, которому автор выражает глубокую благодарность.

1. Боди 3., Мертон Р. К. Финансы. М.: Вильяме, 2003.

2. Буренин А. Н. Рынки производных финансовых инструментов. М.: Инфра-М, 1996.

3. Ершов М. П. О представлениях процессов Ито.// Теория вероятностей и её применения, 17 (1972), No. 1, с. 167-172.

4. Кабанов Ю. М., Крамков Д. О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски.// Теория вероятностей и её применения, 39 (1994), No. 3, с. 523-527.Чк

5. Липцер Р. Ж, Ширяев А. И. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, 1974.

6. Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.

7. Мельников А. В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг М.: ТВП, 1997.

8. Мельников А. В., Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

9. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

10. Черный А. С. Семейства согласованных вероятностных мер.// Теория вероятностей и ее применения, 46 (2001), в. 1, с. 118-121.

11. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. 2-е изд. М.: Фазис, 2004, т. 1, 2.

12. Ширяев А.Н. Вероятность. 3-е изд. М.: Наука, 2004, т. 1, 2.

13. Ширяев А. Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников А. В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время.// Теория вероятностей и ее применения, 39 (1994), в. 1, с. 23-79.

14. Ширяев А. Н., Кабанов Ю. М., Крамков Д. О., Мельников А. В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. И. Непрерывное время.// Теория вероятностей и ее применения, 39 (1994), в. 1, с. 80-129.

15. Ширяев А. Н., Черный А. С. Векторный стохастический интеграл и фундаментальные теоремы теории арбитража.// Труды МИАН, 237 (2002), с. 12-56.

16. Ansel J.-P., Strieker С. Couverture des actifs contingents et prix maximum.// Annales de l'lnstitute H. Poincare, 30 (1994), No. 2, p. 303-315. yV

17. Barndorff-Nielsen О. E., Shephard N. Modelling by Levy processes for financial econometrics.// Barndorff-Nielsen, Ole E. (ed.) et al., Levy processes. Theory and applications. Boston: Birkhauser, 2001, p. 283-318.

18. Bertoin J. Levy processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.'i

19. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities.// Journal of Political Economy, 81 (1973), No. 3, p. 637-659.

20. Brown Н., Hobson D. G., Rogers L. C. G. Robust hedging of barrier options.// Mathematical Finance, 11(2001), No. 3, p. 285-314.

21. Carr P., Geman H., Madan D., Yor M. Stochastic volatility for Levy processes.// Mathematical Finance, 13 (2003), No. 3, p. 345-382.

22. Chou C.-S. Caracterization d'une classe de semimartingales.// Lecture Notes in Mathematics, 721 (1979), p. 250-252.

23. Cherny A. S. General arbitrage pricing model: probability and possibility approaches. Manuscript, 2004, http://mech.math.msu.su/~cherny.

24. Cont R., Tankov P. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall / CRC Press, 2004.

25. Cvitanic JKaratzas I. Hedging and portfolio optimization under transaction costs: a martingale approach.// Mathematical Finance, 6 (1996), No. 2, p. 133-165.

26. Cvitanic J., Pham #., Touzi N. A closed-form solution to the problem of super-replication under transaction costs.// Finance and Stochas-tics, 3 (1999), No. 1, p. 35-54.

27. Dalang R. C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models.// Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), No. 2, p. 185-201.

28. Debreu G. Theory of value: an axiomatic analysis of economic equilibrium. Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University, Monograph 17, John Willey & Sons, Inc., New York; Chapman & Hall, Ltd., London, 1959.

29. Delbaen F., Kabanov Yu.M., Valkeila E. Hedging under transaction costs in currency markets: a discrete-time model.// Mathematical Finance, 12 (2002), No. 1, p. 45-61.

30. Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing.// Mathematische Annalen, 300 (1994), No. 3, p. 463-520.

31. Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes.// Mathematische Annalen, 312 (1998), No. 2, p. 215-250.

32. Duffie D. Dynamic asset pricing theory. 3d ed. Princeton: Princeton University Press, 2003.

33. El Karoui N. Les aspects probabilistes du controle stochastique.// Lecture Notes in Mathematics, 876 (1981), p. 73-238.

34. Emery M. Compensation de processus a variation finie non lo-calement integrables.// Lecture Notes in Mathematics, 721 (1980), p. 152-160.

35. Follmer HKabanov Yu. M. Optional decomposition and Lagrange multipliers.// Finance and Stochastics, 2 (1998), No. 1, p. 69-81.

36. Follmer H., Kramkov D. O. Optional decomposition under constraints.// Probability Theory and Related Fields, 109 (1997), No. 1, p. 1-25.

37. Follmer H., Schied A. Stochastic finance: an introduction in discrete time. Berlin, New York: de Gruyter, 2002.

38. Geman HMadan D. В., Yor M. Time changes for Levy processes.// Mathematical Finance, 11 (2001), No. 1, p. 79-96.

39. Goll Т., Kallsen J. A complete explicit solution to the log-optimal portfolio problem.// Annals of Applied Probability, 13 (2003), No.2, p. 774-799.

40. Harrison J. M., Kreps D. M. Martingales and arbitrage in multi-period securities markets.// Journal of Economic Theory, 20 (1979), p. 381-408.

41. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading.// Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981), p. 215-260.

42. Hobson D. G. Robust hedging of the lookback option.// Finance and Stochastics, 2 (1998), No. 4, p. 329-347.

43. Hull J. C. Options, futures, and other derivatives. 5th ed. NJ: Prentice Hall, 2000.

44. Jacod J. Calcul stochastique et problemes de martingales. Lecture Notes in Mathematics, 714 (1979), Springer, Berlin Heidelberg New York.

45. Jacod J., Shiryaev A. N. Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case.// Finance and Stochastics, 2 (1998), No. 3, p. 259-273.

46. Jacod Shiryaev A. N. Limit theorems for stochastic processes. 2nd ed. Berlin: Springer, 2003.

47. Jakubenas P. On option pricing in certain incomplete markets.// Труды МИАН, 237 (2002), с. 123-142.

48. Jouini E., Kallal H. Martingales and arbitrage in securities markets with transaction costs.// Journal of Economic Theory, 66 (1995), No. 1, p. 178-197.

49. Kabanov Yu. М. On the FTAP of Kreps-Delbaen-Schachermayer.// Statistics and Control of Random Processes. The Liptser Festschrift. Proceedings of Steklov Mathematical Institute Seminar. World Scientific, 1997, p. 191-203.

50. Kabanov Yu. M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets.// Finance and Stochastics, 3 (1999), No. 2, p. 237-248.

51. Kabanov Yu. M., Last G. Hedging under transaction costs in currency markets: a continuous-time model.// Mathematical Finance, 12 (2002), No. 1, p. 63-70.

52. Kabanov Yu.M., Rasonyi M., Strieker C. Non-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction.// Finance and Stochastics, 6 (2002), No. 3, p. 371-382.

53. Kabanov Yu. M., Strieker C. A teacher's note on no-arbitrage criteria.// Lecture Notes in Mathematics, 1755 (2001), p. 149-152.

54. Kabanov Yu. M., Strieker C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs.// Journal of Mathematical Economics, 35 (2001), p. 185-196.

55. Kabanov Yu. M., Strieker C. Hedging of contingent claims under transaction costs.// In: Sandmann, Klaus (Ed.) Advances in Finance and Stochastics. Essays in honour of Dieter Sondermann. Berlin: Springer, 2002, p. 125-136.

56. Kreps D. M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities.// Journal of Mathematical Economics, 8 (1981), p. 15-35.

57. Leventhal S., Skorokhod A. V. On the possibility of hedging options in the presence of transaction costs.// Annals of Applied Probability, 7 (1997), p. 410-443.

58. Lintner J. The valuation of risky assets and the selection of risky investments on stock portfolios and capital budgets.// Review of Economics and Statistics, 47 (1965), p. 13-34.

59. Markowitz H. Portfolio selection.// Journal of Finance, 7 (1952), p. 77-91.

60. Rogers L. C. G. Equivalent martingale measures and no-arbitrage.// Stochastics and Stochastics Reports, 51 (1994), No. 1-2, p. 41-51.

61. Roll RRoss S. A. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory.// Journal of Finance, 35 (1980), p. 1073-1103.

62. Ross S. A. The arbitrage theory of capital asset pricing.// Journal of Economic Theory, 13 (1976), p. 341-360.

63. Sato K.-I. Levy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

64. Savage L. J. The foundations of statistics. New York: Wiley Publ. Stat., John Wiley and Sons, 1954.

65. Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time.// Insurance: Mathematics and Economics, 11 (1992), No. 4, p. 249-257.

66. Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time.// Mathematical Finance, 14 (2004), No. 1, p. 19-48.

67. Sharpe W. F. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk.// Journal of Finance, 19 (1964), p. 425-442.

68. Sorter H. M., Shreve S. E., Cvitanic J. There is no nontrivial hedging portfolio for option pricing with transaction costs.// Annals of Applied Probability, 5 (1995), p. 327-355.

69. Strieker C. Arbitrage et lois de martingale.// Annales de l'lnstitut Henri Poincare, Probab. et Statist., 26 (1990), No. 3, p. 451-460.

70. Stroock D. W. Probability theory, an analytic view. Rev. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

71. Winkel M. The recovery problem for time-changed Levy processes. Manuscript, 2001.

72. Yan J. A. Caracterisation d'une classe d'ensembles convexes de L1 et H1.// Lecture Notes in Mathematics, 784 (1980), p. 220-222.

73. Селиванов А. В. О заменах времени для процессов Леви.// Успехи математических наук, 58 (2003), в. 2, с. 175-176.

74. Селиванов А. В. Критерии безарбитражности для экспоненциальных моделей Леви.// Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, М., 2004, с. 212-215.

75. Селиванов А. В. О мартингальных мерах в экспоненциальных моделях Леви.// Теория вероятностей и её применения, 49 (2004), в. 2, с. 317-334.