Свойства времен пребывания для дискретных марковских процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Воротов Алексей Александрович

Свойства времен пребывания для дискретных марковских

процессов

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005549205

г*т 2щ

Санкт-Петербург 2014

005549205

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической

статистики математико-механического факультета

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Научный руководитель:

Валландер Сергей Сергеевич

кандидат физико-математических наук, доцент,

доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики

математико-механического факультета

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет» Официальные оппоненты: Харламов Борис Павлович доктор физико-математических наук,

заведующий лабораторией методов анализа надежности ФГБУН Института проблем машиноведения Российской академии наук Лифшиц Борис Анатольевич кандидат физико-математических наук, доцент, доцент факультета экономики НОУ ВПО «Европейский университет в Санкт-Петербурге» Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова»

Защита состоится "_2=1Ь_" ^^^ "_2014 года в \ 5Г часов на заседании

диссертационного совета Д 002.202.01 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу:

191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук: www.pdmi.ras.ru

Автореферат разослан -2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01

доктор физико-математических наук

А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1939 г. П. Леви в [11] было введено понятие локального времени для броуновского движения. Эта и две последующих его работы [9], [10] положили начало теории локальных времен случайных процессов, интенсивное развитие которой началось с середины 60-х годов. Достаточно подробный и всесторонний обзор важнейших результатов, связанных с броуновским локальным временем, можно найти в [1].

Приведем наиболее удобное и интуитивно понятное представление для локального времени процесса броуновского движения и>(в) в точке х

за время

с вероятностью единица для всех £ > 0 и х € М.

Как видно, х) можно рассматривать как случайный процесс по параметру х. Д. Рэй в [12] показал, что если в качестве £ взять независимый от случайный экспоненциальный момент времени, процесс ж € К,

при условии ы(Ь) = г будет марковским.

В 1982 г. С.С. Валландером в серии работ [3]-[6] была предпринята попытка перенести результат Д. Рэя с броуновского движения на однородные марковские цепи. Аналогом локального времени в данном случае служит время пребывания т(у) цепи Х{£) в состоянии V до не зависящего от цепи экспоненциального момента в, а марковское свойство рассматривается относительно условных мер Раь> фиксирующих начало и конец траектории (^(0) = а, Х(в) — Ь). Время пребывания т(-) представляет собой случайное поле, определенное на пространстве состояний цепи. Тем не менее, говоря о марковости, мы не имеем в виду марковские случайные поля, а понимаем марковское свойство по-другому. Марковским случайным полем в его классическом понимании время пребывания не является.

Трудность обобщения результата Д. Рэя заключается в том, что пространство состояний А цепи вообще говоря, может не иметь каких-либо дополнительных структур, а потому само понятие марковского свойства для т, равно как и понятия «прошлого», «настоящего» и «будущего», определить не всегда возможно. Тем не менеее, в относительно простых

4

о

случаях, таких как блуждание по целым числам или вообще по дереву, никаких проблем с определением не возникает.

Оказывается, что в случае дискретного времени (£ = 0,1,2,...) даже для простейшего симметричного случайного блуждания по Ъ процесс т(г>) не является марковским. В случае же непрерывного времени (£ > 0) удается проверить марковское свойство г (и) для блуждания по дереву.

В тезисах [7] С.С. Валландера 1985 г. высказывается предположение, что последний результат можно обобщить на случай блуждания по графу, который при удалении одной из вершин, называемой «необходимой» (и понимаемой как «настоящее»), распадается на компоненты связности (понимаемые как «прошлое» и «будущее»). Под марковостью времени пребывания в данном случае понимается независимость относительно условных мер Ра& значений т на этих компонентах при фиксированном значении т(г>). Доказательство этого утверждения приводится в диссертации.

Кроме того, в [7] рассматривается пример, когда «настоящее» сосредоточено не в одной вершине, а в нескольких. В [2] для неоднородных цепей с дискретным временем приводятся формулы для описания конечномерных распределений поля времени пребывания. Различные обобщения полученных в этих работах результатов также являются важной частью диссертации.

Цель работы. Диссертация посвящена изучению свойств времен пребывания для дискретных марковских процессов. Основная цель — проверка марковости времени пребывания в различных ситуациях, в том числе когда «настоящее» сосредоточено в нескольких вершинах и в неоднородном случае.

Методы исследований. В диссертационной работе используется подход, позволяющий выражать конечномерные распределения времени пребывания через функцию Грина некоторого уравнения, применяемый к локальному времени еще в известной монографии К. Ито и Г. Маккина [8]. Для самих функций Грина используется возможность отслеживания их изменений при изменении графа переходов исходной марковской цепи. Основные результаты.

1. Доказана марковость времени пребывания для случая, когда «настоящее» сосредоточено в одной вершине.

2. Доказано, что для «настоящего», состоящего из нескольких вершин, поле

времени пребывания будет обладать марковским свойством в том и только в том случае, когда одна из этих вершин необходима.

3. Показана равносильность марковости времени пребывания и экспонен-циальности момента остановки.

4. Для простейшей неоднородной цепи, когда процесс до и после некоторого неслучайного момента Т ведет себя как однородная цепь, но с разными ин-тенсивностями переходов, обосновано отсутствие марковости времени пребывания.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые доказана марковость времени пребывания в каждой необходимой вершине и показана невозможность нетривиального обобщения марковского свойства на случай, когда «настоящее» сосредоточено в нескольких вершинах. Также впервые приведены результаты, касающиеся марковости времени пребывания для неоднородных цепей. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и подходы могут использоваться для решения близких задач, связанных с временами пребывания случайных процессов. В перспективе полученные результаты могут быть использованы в других разделах теории вероятностей и математической статистики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Четвертом Северном трехстороннем семинаре (G-8 марта 2013 г., Хельсинки, Финляндия) , XX Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастичеким методам (12-18 мая 2013 г., Йошкар-Ола), на санкт-петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И.А. Ибрагимова (1 ноября 2013 г.) и на семинаре по теории вероятностей междисциплинарной исследовательской лаборатории им. П.Л. Чебышева при СПбГУ (июнь 2011 г., декабрь 2011 г., ноябрь 2012 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [П1]-[П4]. Из них три работы [П1]-[ПЗ] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК (работы [П1, П2] опубликованы в журнале, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК: его переводная версия «Journal of Mathematical Sciences» входит в систему цитирования SCOPUS). Работа [П4] — это тезисы докладов на международной

конференции.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 100 страниц.

Содержание работы

Во введении излагается история вопроса, описывается структура и содержание диссертации.

Главы 1 и 2 являются вводными. В них кратко излагаются основные результаты о времени пребывания, на которые активно опираются последующие части работы.

В главе 1 приводятся основные определения и факты, касающиеся времени пребывания для цепей Маркова с дискретным временем. Наиболее важными здесь являются формулы для конечномерных распределений поля т.

Помимо переходного оператора Р исходной марковской цепи Х(1) {Ь = 0,1,2,...) рассматривается также функция к на (не более чем счетном) пространстве состояний А, 0 < к < 1, имеющая смысл вероятности обрыва траектории в точке а. Далее вводится оператор У = (1 — к)Р — 1 (здесь (1 — к) рассматривается как оператор умножения, а под единицей подразумевается тождественный оператор).

Функция Грина (? определяется как единственное ограниченное решение уравнения

(еа-1-У)С(-,Ь) = (1-к)1{ь}

(операторы действуют на переменную а, Ъ — параметр).

Выражения, используемые для формулировки марковского свойства в случае, когда «настоящее» сосредоточено в одном состоянии, могут быть

переписаны достаточно несложным образом через функцию Грина:

Еаь[П [1-*(ВД)]|т(1;) = 0] =

в=0

_ Но(у,у) С(а, Ь)Н{у, у) - в{а, у)Н(у, Ь) Н(у, у) <30(а, Ь)Н0(у, у) - С0(а, У)Н0(У, Ь)' в

Еаб[П [1-*№))]|Т(«)=4] =

з=0

1

С?(а, у)Н(У, Ь)Нр(у, У)2 в0(а,у)Н0(у,Ъ)Н(у,у)1

1 -

Н(у, у)

1 -

1

(* > !)•

Н0{у,У) .

Здесь ЕаЬ — математическое ожидание относительно условных мер Раь, а

еав{у,Ь)

Н(у,Ъ) =

1 - к(у) '

В главе 1 также приводится формула для функции Грина случайного блуждания по Ъ через решения соответствующего однородного уравнения. Для этого строятся линейно независимые решения однородного уравнения 51 и 92 со свойствами: дх > 0, 51(0) = 1, д\ возрастает; <72 > 0, <7г(0) = 1, <?2 убывает. Функцию Грина С (а, Ь) можно «склеить» из двух однородных решений:

,ч \ Сьд1(а)д2(Ь), если а < Ъ, и(а, о) =

\Сьд2(а)д1(Ь), если а> Ь,

где Сь — некоторая константа, не зависящая от а.

С помощью такого представления функции Грина для случайного блуждания по Ъ опровергается марковость т.

В главе 2 приводятся результаты для цепей с непрерывным временем. Вместо оператора Р рассматривается оператор С?, соответствующий интенсивностям переходов. Функция к предполагается неотрицательной. Рассматривается оператор У = Ц — к, и функция Грина определяется как единственное ограниченное решение уравнения

(а - &) = %(•)•

Аналогичные случаю дискретного времени формулы имеют вид

г -¡к(х(в))с1з, 1

ЕаЬ[е о | т{у) = 0| =

V) (7(а, Ь)в(у, у) — У)С(У, Ь)

С{у, у) С0(а, Ь)С0(У, У) - С0(а, У)О0(Ъ>, Ь)'

-}к(х(з))<18 |

Еаъ[е о | т{у) = ^ =

у)С(у,Ь)С?о(и,у)2

с„(*,„)] > 0).

С?о(а,г;)Со(«, Ъ)в{у,у)2

Тем же способом, что и в главе 1, марковское свойство т для блуждания с непрерывным временем по X уже не опровергается, а доказывается. Подобный метод доказательства может быть применен с незначительными изменениями и к блужданиям на произвольном дереве, однако перенести его на более сложно устроенные графы не удается.

Главы 3—5 представляют собой основную часть диссертации. В них отражены полученные автором результаты, во многом обобщающие приведенные в первых двух главах.

Основной целью главы 3 является доказательство марковости т во всех необходимых вершинах.

Марковское свойство поля времени пребывания в необходимой вершине у относительно мер Раь означает, что для любой функции к > 0 с к (у) = О и любого £ > О выполнено

ЕоЬ|е » т(и) = = ||ЕаЬ|е о =

¿=1

Его можно переписать через соотношения на функцию Грина: 1 1 N ,

а)

= ___1_1,

У, у) 1 10г(у,у) С0(У,У)1

С(у,у) в0{

С(а,у)С(у,Ь) С{(а,у)Сг(у,Ь)

„ СМ)--ом

Ь) Со(а,у)Со(у,Ъ) У СоМСоИ'

и0{а, Ъ)---г- &о(а, о)---—-г-

СО(у,У) С0{У, У)

О(а,у)в(у,Ъ)С0(у,у)2 " С{(а,у№(у,Ь)С0(у,у)2 В) С0(а,у)С0(у,Ь)С(у,у)2 \1 О0(а,у)С0(у,Ь)Сг(у,у)2'

Для упрощения этих соотношений сначала изучается изменение функции Грина при изменении графа переходов исходной марковской цепи Х{1). Полученные в этом направлении результаты будут активно использоваться и в последующих разделах диссертации.

После проделанной предварительной работы может быть доказана основная теорема главы 3:

Теорема 2. В любой необходимой вершине V графа переходов исходного марковского процесса имеет место марковское свойство поля времени пребывания.

В главе 4 проверяются различные варианты обобщения марковского свойства времени пребывания на случай, когда «настоящее» сосредоточено не в одном состоянии, а в нескольких.

Сначала, однако, изучается возможность перенесения формулы для функции Грина через решения однородного уравнения на более сложно устроенные, нежели дерево, графы. Оказывается, что такие обобщения получаются далеко не всегда. Так, например, для блуждания по графу, представляющему из себя бесконечную «лестницу», возможность подобных обобщений зависит от интенсивностей переходов. Для некоторых графов привести аналогичные дереву формулы и вовсе невозможно.

Поэтому в данной главе используются методы, схожие с применяемыми в главе 3. Для простоты полагаем, что при удалении вершин г>1 и г>2, граф переходов распадается на две компоненты связности.

В [7] говорится, что если граф переходов представляет из себя многоугольник, то для «настоящего», состоящего из двух его (не соседних) вершин, поле т обладать марковским свойством не будет. С другой стороны, очевидно, что если одна из вершин «настоящего» необходима, марковость есть. Ответ на вопрос, существуют ли какие-то промежуточные ситуации, когда поле времени пребывания является марковским, дает следующая теорема:

Теорема 3. Пусть поле времени пребывания т обладает марковским свойством относительно вершин {г>ь^2}> в совокупности являющихся необходимыми. Тогда одна из этих вершин сама является необходимой.

Аналогичный результат для большего количества вершин в «настоящем» является простым следствием из теоремы.

Естественное понимание марковости времени пребывания для «лест-

ницы», когда рассматривается время пребывания на «уровне», то есть в множестве из двух вершин, соответствующих одной «ступеньке», к сожалению, не приводит к положительному результату.

Утверждение 2. Случайный процесс времени пребывания на уровнях «лестницы» не марковский.

На первый взгляд, данное утверждение противоречит тому, что блуждания по некоторым «лестницам» можно свести к целочисленным цепям, «склеив» вершины одного уровня. Это объясняется тем, что меры Раь при «склейке» теряют смысл. Поэтому более естественно рассматривать меры Рaßt где В — уровень «лестницы». Такие меры рассматриваются в следующем утверждении.

Утверждение 3. Если время пребывания на уровнях «лестницы» марковское относительно условных мер Рав, то блуждание по этой «лестнице» может быть сведено к целочисленной цепи.

Таким образом, марковость времени пребывания, даже при различных подходах к ее пониманию, определяется тем, сосредоточено «настоящее» в одной вершине или в нескольких.

Также в главе 4 изучается марковость другого весьма интересного связанного с цепью объекта — поля переходов.

В главе 5 рассматриваются неоднородные цепи Маркова. Оказывается также, что рассмотрение не зависящих от цепи неэкспоненциальных моментов остановки во многом аналогично введению неоднородности.

В неоднородной ситуации удобно считать, что процесс начинается в момент времени s и сопровождать основные обозначения индексом «s» сверху.

Основная трудность в исследовании неоднородных цепей заключается в том, что в общей ситуации не удается в полной мере перенести формулы для конечномерных распределений времени пребывания с однородного случая на неоднородный. Тем не менее, для наиболее простой неоднородной цепи, когда процесс до момента Т ведет себя как однородная цепь с переходной интенсивностью Qi, а после — с интенсивностью Q2, возможно получить формулы через функции Грина соответствующих однородных цепей. Формулы для конечномерных распределений поля ts для неэкспоненциальных моментов остановки также выводятся в данной главе.

Марковость поля времени пребывания для неэкспоненциальных момен-

тов остановки в полной мере описывается следующей теоремой. Теорема 6. Для однородной цепи Маркова с не зависящим от цепи моментом остановки в3 поле времени пребывания т8 будет марковским в необходимой вершине v относительно меры тогда и только тогда, когда момент в3 экспоненциальный.

О марковости описанной выше неоднородной цепи говорит следующее утверждение.

"Утверждение 4. Если при некотором s < Т поле времени пребывания ts является марковским в необходимой вершине v относительно то Qi(v,a) = Q2(v,a), Qi(b,v) = Q2{b,v) для всех а, Ь е А.

Это означает, например, что для блуждания по дереву марковость поля ts может иметь место только в тривиальном случае: когда Q\ = Q2-

В заключении кратко описаны основные результаты проведенного исследования.

Список литературы

[1] Бородин А.Н. Броуновское локальное время. // УМЫ, 1989, т. 44, вып. 2(260), с. 7-48.

[2] Валландер С.С. Времена пребывания для неоднородных цепей Маркова с дискретным временем. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1989, т. 177, с. 37-45.

[3] Валландер С.С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. I. Цепи с дискретным временем. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1982, т. 119, с. 39-61.

[4] Валландер С.С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. И. Цепи с непрерывным временем. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т. 130, с. 56-64.

[5] Валландер С.С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. III. Цепи на дереве с одной точкой ветвления. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1985, т. 142, с. 25-38.

[6] Валландер С.С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. IV. Цепи на произвольном дереве. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1987, т. 158, с. 39-45.

[7] Валландер С.С. Некоторые свойства времен пребывания и переходов для счетных цепей Маркова. // Тезисы докладов Четвертой Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике, 1985, т. 1, с. 116-118.

[8] Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М.: Мир, 1968, 394 с.

[9] Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972, 375 с.

[10] Lévy P. Construction du processus de W. Feller et H.P. McKean en partant du mouvement Brownian // Probability and Statistics: The Harald Cramér volume, 1959, p. 162-174.

[11] Lévy P. Sur certains processus stochastiques homogenes. // Compositio Mathematica, 1939, Vol. 7, No. 2, p. 283-339.

[12] Ray D.B. Sojurn times of a diffusion process. // Illinois J. Math., 1963,

. Vol. 7, No. 4, p. 615-630.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[П1] Воротов A.A. Марковское свойство времени пребывания для дискретных марковских процессов. // Зап. научн. семин. ПОМИ, 2013, т. 412, с. 88-108.

[112] Воротов A.A. О марковском свойстве поля времени пребывания для неоднородных цепей Маркова с непрерывным временем. // Зап. научн. семин. ПОМИ, 2013, т. 420, с. 23-49.

[ПЗ] Воротов A.A. О марковском свойстве поля времени пребывания для цепей Маркова с непрерывным временем относительно нескольких состояний. // Вестн. С.-Петерб. ун-та, сер. 1, 2013, вып. 4, с. 30-40.

Другие публикации:

[П4] Vorotov A. Occupation time Markov property for countable Markov chains. // 4th Nordic Triangular Seminar in Applied Stochastics, 2013, Programme and Abstracts, p. 5.

Подписано в печать 18.04.14 Формат 60x84'А6 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 16/04 печать

Типография «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный

Воротов Алексей Александрович

Свойства времен пребывания для дискретных марковских процессов

Специальность 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

университет»

На правах рукописи

04201459541

Научный руководитель -к.ф.-м.н., доц. С.С. Валландер

Санкт-Петербург 2014

Содержание

Введение 3

1 Время пребывания для цепей с дискретным временем 10

1.1 Основные определения и обозначения...............10

1.2 Конечномерные распределения времени пребывания.......11

1.3 Функция Грина для целочисленных цепей Маркова.......16

1.4 Отсутствие марковского свойства у времени пребывания .... 17

2 Время пребывания для цепей с непрерывным временем 20

2.1 Основные определения и факты..................20

2.2 Проверка марковского свойства времени пребывания для целочисленных симметричных цепей..................24

3 Марковское свойство времени пребывания 27

3.1 Формулы для изменения функции Грина при добавлении ребер

к графу переходов исходного процесса...............27

3.2 Доказательство марковского свойства времени пребывания ... 34

4 Марковское свойство времени пребывания относительно нескольких состояний 41

4.1 Формулы для функции Грина через решения однородного уравнения .................................41

4.2 О марковском свойстве времени пребывания относительно нескольких состояний........................51

4.3 Поле переходов............................63

5 Время пребывания для неоднородных цепей Маркова 68

5.1 Обобщение рассуждений для однородного случая........68

5.2 Неэкспоненциальный момент остановки..............72

5.3 Отсутствие марковости времени пребывания для простейшей

неоднородной цепи..........................86

Заключение 95

Список литературы 96

Введение

В 1939 г. П. Леви в [34] было введено понятие локального времени для броуновского движения. Эта и две последующих его работы [22], [33] положили начало теории локальных времен случайных процессов, интенсивное развитие которой началось с середины 60-х годов. Достаточно подробный и всесторонний обзор важнейших результатов, связанных с броуновским локальным временем, можно найти в [2].

Приведем наиболее удобное и интуитивно понятное представление для локального времени х) процесса броуновского движения ги(я) в точке х за время

с вероятностью единица для всех £ > 0 и х е М.

Как видно, х) можно рассматривать как случайный процесс по параметру х. Д. Рэй в [37] показал, что если в качестве t взять независимый от гп(з) случайный экспоненциальный момент времени, процесс х), х € М, при условии и}{р) = г будет марковским. Для некоторых других £ подобные утверждения были доказаны Ф. Найтом [32] и П. Валлуа [41]. Различные методы доказательства этих теорем, обычно называемых теоремами Рэя-Найта, можно также найти в работах [18], [45], [46], [43], [44], [36].

В 1982 г. С.С. Валландером в серии работ [5]-[8] была предпринята попытка перенести результат Д. Рэя с броуновского движения на однородные марковские цепи. Аналогом локального времени в данном случае служит время пребывания т{у) цепи Х{€) в состоянии V до не зависящего от цепи экспоненциального момента 9, а марковское свойство рассматривается относительно условных мер Ра&, фиксирующих начало и конец траектории (Х(0) = а,Х(д) = &)*. Трудность такого обобщения заключается в том, что

"Время пребывания т(-) представляет собой случайное поле, определенное на пространстве состояний цепи. Тем не менее, говоря о марковости, мы не имеем в виду марковские случайные поля, а понимаем марковское свойство по-другому. Как будет показано в работе, марковским случайным полем в его классическом понимании время пребывания не является.

О

пространство состояний А цепи вообще говоря, может не иметь каких-

либо дополнительных структур, а потому само понятие марковского свойства для т, равно как и понятия «прошлого», «настоящего» и «будущего», определить не всегда возможно. Тем не менее, в относительно простых случаях, таких как блуждание по целым числам или вообще по дереву (с ненулевой вероятностью разрешается переходить только в соседнюю вершину), никаких проблем с определением не возникает.

Несколько неожиданно оказывается, что в случае дискретного времени (£ = 0,1,2,...) даже для простейшего симметричного случайного блуждания по Z процесс т{у) не является марковским. В случае же непрерывного времени (£ > 0) удается проверить марковское свойство т(у) для блуждания по дереву.

Метод доказательства сходен с методом, используемым К. Ито и Г. Маккином в [18] для проверки марковости броуновского локального времени. Основная идея заключается в том, что конечномерные распределения поля т можно выразить через функцию Грина некоторого уравнения. Сама же функция Грина выражается через решения соответствующего однородного уравнения. Полученные формулы и позволяют проверять марковское свойство. Для блуждания по дереву однородных решений, конечно, может быть не 2, как в случае локального времени, а намного больше, и рассуждения становятся технически более сложными, однако принцип остается таким же.

Более общее определение марковского свойства времени пребывания С.С. Валландер приводит в [9]. Согласно этому определению, «настоящее» предполагается сосредоточенным в одном состоянии, а оставшиеся состояния разбиваются на несколько компонент, из каждой из которых можно попасть в другую только через «настоящее». Эти компоненты и следует понимать как «прошлое» и «будущее». Конечно, их вполне может быть и больше двух, но никакого принципиального значения это не имеет. Под марковским свойством времени пребывания понимается независимость относительно условных мер Раь значений т на этих компонентах при фиксированном

значении г (у).

Другими словами, процесс Х{1) рассматривается как случайное блуждание на некотором графе Г (вообще говоря, ориентированном). Вершина V 6 А, понимаемая как «настоящее», называется необходимой, если при удалении V и ребер, одним из концов которых она является, граф распадается на, N > 1 компонент связности А\,..., Ду. Для функции к > 0 на А через к1 обозначим ее ограничение на Д, продолженное нулем на остальные состояния. Тогда марковское свойство поля времени пребывания т в необходимой вершине V относительно мер Раь можно записать в следующем виде:

для любой функции к >0 с к(у) = 0 и любого £ > 0.

В вышеупомянутых тезисах [9] 1985 г. было высказано предположение, что поле т обладает марковским свойством в любой необходимой вершине, однако доказательство данного утверждения так и не было нигде приведено и впервые было изложено в работе [12] автора. Метод, используемый для проверки марковости т для блуждания по дереву, к общему случаю применить не удается, поскольку удобные формулы для функции Грина через решения однородного уравнения можно получить далеко не всегда. Ниже будет описан другой способ проверки марковского свойства времени пребывания, а также приведены рассуждения о том, когда получить формулы через однородные решения все же возможно.

Естественно задаться вопросом, что будет, если «настоящее» сосредоточено не в одной вершине, а в нескольких. Определение марковости г переносится на этот случай практически дословно.

В [9] говорится, что если Г представляет из себя многоугольник, то для «настоящего», состоящего из двух его (не соседних) вершин, поле т обладать марковским свойством не будет. С другой стороны, очевидно, что если одна из вершин «настоящего» необходима, марковость есть. Представляется интересным, будет ли марковское свойство выполнено при каких-то менее

г=1

ограничительных условиях. В работе [14] автора дается отрицательный ответ на этот вопрос. Доказывается, что марковость г равносильна тому, что одна из вершин «настоящего» необходима.

Для некоторых графов возможны и другие подходы к пониманию марковского свойства времени пребывания. Например, для графа, представляющего собой бесконечную «лестницу», можно говорить о времени пребывания на «уровне», то есть в множестве из двух вершин, соответствующих одной «ступеньке», и изучать марковость этого случайного процесса. Этот и подобные вопросы также исследуются в [14] и будут рассмотрены в диссертации.

Все вышеприведенные результаты касаются однородных марковских цепей. Для неоднородных цепей с дискретным временем в [4] были получены схожие формулы для описания конечномерных распределений поля времени пребывания. Тем не менее, вопрос о марковости времени пребывания в неоднородном случае (разумеется, для непрерывного времени) ранее изучен не был. Впервые он рассматривается только в работе [13] автора и будет разобран ниже.

Марковость можно понимать совершенно аналогично однородному случаю, наложив лишь одно дополнительное ограничение на интенсивности переходов: если С^3(а,Ь) > 0 для некоторого ¿¡, то ф5(а, Ь) > 0 для всех й. Это предположение нужно для того, чтобы избежать каких-либо трудностей в определении графа переходов, связности и, соответственно, самого марковского свойства.

Оказывается, что даже для простейшей неоднородной цепи, когда процесс до и после некоторого (неслучайного) момента Т ведет себя как однородная цепь, но с разными переходными интенсивностями и ф2> поле т5 не будет марковским. Кроме того, если для однородного случая рассматривать не зависящие от цепи неэкспоненциальные моменты остановки, рассуждения будут сходны с рассуждениями для неоднородных цепей, а ответ на вопрос о марковости поля тв также оказывается отрицательным.

Времена пребывания для марковских цепей рассматривались рядом авторов и с других точек зрения, см., например, [30], [25], [27].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 48 наименований. Общий объем диссертации — 100 страниц.

Главы 1 и 2 являются вводными. В них кратко излагаются основные результаты о времени пребывания, на которые мы будем активно опираться далее. Для некоторых формул приводится достаточно подробный вывод вместо того, чтобы просто дать ссылку на соответствующий источник. Это обусловлено как желанием автора сделать диссертацию достаточно автономной и доступной для понимания во всех деталях, так и тем, что даже на многие промежуточные формулы потребуется ссылаться в последующем.

Главы 3-5 представляют собой основную часть диссертации. В них отражены полученные автором результаты, во многом обобщающие приведенные в первых двух главах.

В главе 1 приводятся основные определения и наиболее важные факты, касающиеся времени пребывания для цепей Маркова с дискретным временем. Выводятся формулы для конечномерных распределений. Для случайного блуждания по Z приводятся формулы для функции Грина через решения однородного уравнения, и с их помощью опровергается марковость т.

В главе 2 приводятся результаты для цепей с непрерывным временем. Поскольку многие рассуждения аналогичны случаю дискретного времени, они разбираются менее подробно. В отличие от предыдущей главы, марковское свойство г для блуждания по Z уже не опровергается, а доказывается. Описанный метод доказательства может быть применен с незначительными изменениями и к блужданиям на произвольном дереве.

В главе 3, теорема 2, приводится доказательство марковости т в случае, когда «настоящее» сосредоточено в одной вершине. Идея доказательства заключается в следующем: если к графу Г добавлять ребра в рамках одной компоненты связности, марковость т, если она имеет место, должна сохраниться. Изменение функции Грина при добавлении ребер описывается теоремой 1. В результате из соотношений на функцию Грина, равносильных марковости т, получатся более простые необходимые соотношения, которые, как легко

видеть, окажутся и достаточными. Последние можно проверить, вычислив как меняется функция Грина при изменении функции к.

В главе 4, прежде чем проверять марковское свойство в нескольких вершинах, изучается возможность обобщения формулы для функции Грина через решения однородного уравнения на некоторые графы, имеющие циклы. Оказывается, что этот способ не дает удовлетворительного результата. Поэтому доказывать теорему 3 о том, что для «настоящего» из двух вершин марковость т равносильна тому, что одна из них необходима, приходится в духе теоремы 2. Аналогичный результат для большего количества вершин в «настоящем» легко следует из теоремы.

В данной главе также доказывается отсутствие марковского свойства у случайного процесса времени пребывания на «уровнях» бесконечной «лестницы». Полученные результаты, кроме того, позволяют сделать выводы о марковском свойстве другого связанного с цепью объекта — поля переходов.

В главе 5 рассматриваются неоднородные цепи Маркова. Формулы для конечномерных распределений с однородного случая нельзя в полной мере перенести на неоднородный. Однако, для наиболее простой ситуации, когда процесс до момента Т ведет себя как однородная цепь с переходной интенсивностью (21, а после — с интенсивностью (52, возможно получить формулы через функции Грина соответствующих однородных цепей. Эти формулы вместе со вспомогательной теоремой 5 позволяют проверить отсутствие марковости т для такого процесса.

Также в главе 5 рассматриваются произвольные не зависящие от цепи случайные моменты остановки. В теореме б доказывается, что марковость поля времени пребывания равносильна экспоненциальности момента остановки.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [12]—[14] и докладывались на Четвертом Северном трехстороннем семинаре (6-8 марта 2013 г., Хельсинки, Финляндия), XX Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастичеким методам (12-18 мая 2013 г., Йошкар-Ола).

Кроме того, работа обсуждалась в Санкт-Петербурге на городском семи-

наре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И.А. Ибрагимова (1 ноября 2013 г.) и на семинаре по теории вероятностей междисциплинарной исследовательской лаборатории им. П.Л. Чебышева при СПбГУ (июнь 2011 г., декабрь 2011 г., ноябрь 2012 г.).

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Сергею Сергеевичу Валландеру за постановку интересных задач и ценные советы.

Кроме того, автор благодарен коллективу лаборатории им. П.Л. Чебышева за организацию уникальной научной площадки для общения аспирантов. Автор также признателен Лаборатории и всему коллективу петербургской вероятностной школы за создание благоприятной научной атмосферы, которая существенно способствовала работе над диссертацией. Отдельную благодарность автор выражает участникам вероятностного семинара Лаборатории за их вопросы, советы и комментарии.

1 Время пребывания для цепей с дискретным временем

Приведем основные определения и факты, касающиеся поля времени пребывания для марковских цепей с дискретным временем. При этом в основном будем придерживаться работы [5]. Аналогичные результаты для случая непрерывного времени будут даны в следующей главе.

1.1 Основные определения и обозначения

Рассмотрим однородную марковскую цепь X(t), t = 0,1,2,... с не более чем счетным пространством состояний А и переходной функцией Р(а:Ь). Процесс X(t) можно рассматривать как случайное блуждание на графе переходов Г(Р) (вообще говоря, ориентированном) с множеством вершин А и множеством ребер {(а, 6)|Р(а, b) ^ 0}, где вероятность перехода из вершины а в соседнюю вершину 6 равна Р(а, b).

Через Р обозначим переходный оператор марковской цепи, действующий на пространстве функций на А:

(Р/)(а) =

ъе А

Пусть Ра — вероятностная мера для процессов, начинающихся из точки а, в — не зависящая от цепи целочисленная геометрически распределенная случайная величина с функцией распределения F(n) = (1 — е~ап) для целых неотрицательных п .

Обозначим через r{v) время пребывания процесса X(t) в состоянии v Е А до момента в:

в i=0

1.2 Конечномерные распределения времени

пребывания

Займемся описанием условных конечномерных распределений случайного ноля г (у) при фиксированных начале и конце (в момент в) траектории в терминах функций Грина для уравнения теплопроводности.

Введем функцию к на А, 0 < к < 1, имеющую смысл вероятности обрыва траектории в точке а. С функцией к свяжем разностный оператор

У = (1- к)Р - 1

(здесь (1 — к) рассматривается как оператор умножения, а под единицей подразумевается тождественный оператор).

Рассмотрим уравнение, называемое нами уравнением теплопроводности (хотя классический дискретный аналог уравнения теплопроводности получается при к = 0):

и(г +1) - и(£) = (Уи){г,а) (1.1)

с начальным условием п(0, а) = /(а).

Легко проверить, что единственное решение уравнения (1.1) задается формулой

и(Ь,а)=Еа[ПХ(Ь))1[[1-к(Х(3))}].

5=0

Здесь Еа — математическое ожидание при условии Х(0) = а.

оо

Дискретное преобразование Лапласа: м(£, а) —> и(а, а) — ]Г) е~а1и(Ь, а)

г=о

(с* > 0), переводит уравнение в

(еа-1-У)и = еа/. (1.2)

Это уравнение имеет решение

оо Ь— 1

«(а, а) = Еа[^ е^/РФ)) Д[1 " *(*М)Н> (1-3)

¿=0 5