Эргодичность как критический случай в теории устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ

§1. Спектральный радиус и норма матрицы

§2. Условия эргодичности дискретных стационарных марковских цепей

§3- Устойчивость линейных дискретных систем в критических случаях

§4. Устойчивость нелинейных дискретных систем в критических случаях

§5. Численный метод проверки эргодичности стационарных дискретных марковских цепей

§6. Условия устойчивости линейных стационарных дискретных систем с произвольной матрицей коэффициентов

ГЛАВА 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ

§1. Спектральная абсцисса и логарифмическая норма матрицы

§2. Условия эргодичности непрерывных стационарных марковских цепей

§3. Устойчивость линейных непрерывных систем с переменными коэффициентами

- 4

Анализ самых разнообразных задач биологии и химии приводит к исследованию процессов, которые называют марковскими процессами или марковскими цепями. Им посвящена обширная литература. В частности, хорошо известными являются монографии В.И.Романовского [1], А.Т.Баруча-Рид [2], П.Уиттла [3], Дж.Кемени и Дж.Снелла [4], Ф.Р.Гантмахера [5] и др. В этих работах изучаются дискретные и непрерывные марковские процессы как с конечным, так и со счетным числом состояний и их приложения.

Все рассуждения и формулировки основных результатов приводимые в указанных работах, осуществляются с точки зрения теории вероятностей.

Дискретные однородные марковские цепи с конечным числом состояний описываются системами конечно-разностных уравнений вида x(t + 1) = Mx(t),t = 0,±1,±2,. (0.1)

Здесь М - марковская матрица порядка п, которая отличается от стохастической матрицы только транспонированием, т.е. ее элементы (mij)Jyj = 1,п удовлетворяют следующим требованиям: ffiij > 0,i,j = l,.,n, (0.2) п

X)mtj = = l,.,n. (0.3) i

При изучении ряда задач химической кинетики, связанных с последовательными и параллельными реакциями первого порядка, протекающими при постоянной температуре возникают системы обыкновенных дифференциальных уравнений x(t) = Kx(t), -оо < t < оо, (0.4) где х = (Xi) - вектор концентраций реагирующих веществ AT;, г = 1,2, п в момент времени t >0; К - квадратная порядка п матрица специального вида: ее элементы неотрицательны за исключением диагональных kij > 0 при г Ф = 1,2,.,» (0.5) и в силу ряда законов, см. например, [6] связаны соотношениями f^kij = 0, j = 1,2,., п. (0.6) 1

Матрицу со свойствами (0.5),(0.6) называют матрицей Колмогорова или колмогоровской матрицей, а процесс типа (0.4) в книге Р.Беллмана [7] назван непрерывным марковским процессом.

Весь спектр марковской матрицы лежит в замкнутом единичном круге комплексной плоскости С, причем единица всегда есть собственное значение (простое или кратное). На единичной окружности в комплексной плоскости могут лежать и другие собственные значения марковской матрицы.

Известно, что спектр колмогоровской матрицы лежит в замкнутой левой полуплоскости комплексной плоскости С, не имеет ненулевых чисто мнимых собственных значений, причем нуль всегда есть собственное число колмогоровской матрицы (простое или кратное).

Одна из главных проблем теории марковских цепей - проблема эргодичности. Обозначим через W - пространство вероятностных (стохастических) векторов, т.е.

W = {х € R71 : х{ > 0, ¿а* = 1}. (0.7)

1=1

Процесс (0.1) или (0.4) называют эргодическим, если для любого начального условия x(to) € W решение x(t) имеет предел яг из W при t -* оо и этот предел не зависит от выбора начального условия. Вектор тг называют равновесным состоянием системы и он характеризуется свойством

Mir = 7Г , Кп = 7Г. (0.8)

Известно, [5],[8], что марковская цепь (0.1) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда, кроме единицы, у матрицы М нет других собственных значений на единичной окружности в комплексной плоскости С (в этом случае цепь называют правильной), а сама единица является простым собственным значением матрицы М (т.е. цепь является регулярной).

Сформулированный критерий требует знания собственных чисел марковской матрицы (лежащих на единичной окружности) и их крат-ностей и потому является достаточно сложным. В связи с этим возникает потребность в других критериях, более простых и легких в проверке [49],[50].

Непрерывная марковская цепь вида (0.4) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда нуль является простым собственным значением матрицы Колмогорова.

Как видно, спектральный критерий эргодичности для колмого-ровских матриц выглядит проще, чем для марковских матриц, поскольку у колмогоровской матрицы не существует чисто мнимых собственных значений.

Чтобы установить эргодичность матриц М ж К (эргодичность систем (0.1) и (0.4)) необходимо показать, что у М нет на единичной окружности собственных чисел кроме одной единицы, а у К нуль встречается один раз. Это означает, что все остальные собственные числа (их (п — 1) число) в первом случае располагаются внутри единичного круга на комплексной плоскости, а во втором случае в левой открытой полуплоскости. Для этого вводится гиперплоскость

L = {х е Rn : £ ян = 0}, (0.9) i=i которая является инвариантной относительно М и К. Проблема эргодичности становится эквивалентной проблеме асимптотической устойчивости нулевых решений систем (0.1) и (0.4) (эти нулевые решения всегда существуют) на подпространстве L.

Матрицы М и К могут быть и переменными, т.е. могут быть матричными функциями М = M(t) и К = K(t), которые являются марковскими и колмогоровскими соответственно в каждый фиксированный момент времени t. Разделяются случаи произвольных матричных функций, периодических и почти периодических по t. Система (0.1) преобразуется к виду x(t + 1) = M(t)x(t),t = 0, ±1, ±2,., (0.10) а система (0.4) к виду x(t) = K(t)x(t), -оо < t < оо. (0.11)

Снова изучается проблема эргодичности. Приведем соответствующие определения, которые совпадают с определением эргодичности постоянных матриц М и К.

Система (0.10) эргодична, если у нее существует единственное решение n(t), лежащее в W при всех t = 0, ±1, ±2,. и любое решение с начальным условием x(to) € W стремится к ir(t) при t —► оо, т.е. ||®(t) - 7г(£)|| —► 0 при t —► 00.

Система (0.11) эргодична, если у нее существует единственное решение ir(í), лежащее в W при всех — оо < t < оо и любое решение x(t) с начальным условием x(to) 6 W стремится к ir(t) при t —оо, т.е. ||a?(t) - tt(î)|| 0 при t —► оо.

Кроме произвольных матричных функций М(2) и отдельно разбираются ситуации когда они периодические и почти периодические. Определения эргодичности в этих случаях эквивалентны тем, что приведены выше.

Существуют также нелинейные системы разностных уравнений x(t + 1) = f(t, a?(i)), t = 0, ±1, ±2,., (0.12) и непрерывные системы x{t) = /(i, a?(t)), -оо < t < оо, (0.13) которые обладают такими свойствами, которые позволяют применять для исследования их эргодичности теорию, развиваемую для линейных стационарных и нестационарных систем. Если функция /(£, х) произвольная, то приведем следующие определения.

Система (0.12) эргодическая, если существует единственное решение 7г(<), принадлежащее симплексу W при всех t = 0,±1,±2, . и любое другое решение x{t) с начальным условием x(to) из W стремится к 7r(t) при t —► оо, т.е. ||ж(2) — ?ф)|| —► 0 при t —> оо.

Система (0.13) эргодическая, если существует единственное решение 7Г(t), принадлежащее симплексу W при всех —oo<t<oou любое другое решение x(t) с начальным условием х{Ц) из W стремится к 7Г(t) при t —* оо, т.е. ||®(t) — ft(t)\\ —► 0 при £ —* оо.

Если функция /(£, ж) периодическая или почти периодическая по то определения эргодичности процессов (0.12) и (0.13) эквивалентны определениям приведенным выше.

Если матричные функции

0.14) являются марковскими в дискретном случае или колмогоровскими в непрерывном при фиксированных значениях (¿,ж), то используя лемму Адамара системы (0.12) и (0.13) легко свести к системам x(t + 1) = M(t, x(t))x(t), t = 0, ±1, ±2,. (0.15) и x(t) = K(t, x(t))x(t), -оо < t < 00. (0.16)

Исследовавже их эргодичности аналогично исследованию эргодичности систем с постоянными матрицами и с переменными матричными функциями.

Небходимо сделать некоторые разъяснения. Первое, дискретные и непрерывные марковские цепи с конечным числом состояний описываются линейными конечно- разностными уравнениями и с этой точки зрения не отличаются от дискретных систем, изучаемых, например, в теории автоматического регулирования и от непрерывных систем, изучаемых, в частности, в химии. Второе, проблема эргодичности может быть истолкована как задача устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях.

Изучение критических случаев в теории устойчивости занимает важное место [9],[10],[11].

При исследовании устойчивости линейных дискретных и непрерывных систем особую роль играют матрицы, спектр которых лежит целиком в открытом единичном круге или в открытой левой полуплоскости.

Вопросы асимптотического поведения решений системы (0.4) тесно связаны с вопроса-ми существования, единственности и асимптотической устойчивости положения равновесия данной системы в пространстве IV. Рассматриваемые дискретные марковские цепи (0.1) и непрерывные марковские цепи (0.4) подпадают под критический случай. У матрицы М единица лежит на единичной окружности (является критическим собственным значением), у матрицы К нуль является критическим собственным числом. Поэтому задача определения эргодичности заключается в том, чтобы остальные (п-1) собственные значения в первом случае были по модулю меньше единицы, а во втором случае лежали в открытой левой полуплоскости комплексной плоскости С.

Одной из работ, имеющих прикладной характер является работа В.П.Нагибина [12], которая посвящена исследованию устойчивости положения равновесия систем, описываемых уравнением (0.4), в котором матрица имеет элементы, удовлетворяющие требованиям (0.5),(0.6). Вопросы существования и единственности в У/ положений равновесия системы (0.4) свелись к вопросам об алгебраической кратности собственного значения нуль матрицы К и неотрицательности координат соответствующих ему собственных векторов. Существование положений равновесия системы (0.4) очевидно. В их качестве выступают собственные векторы, отвечающие собственному значению нуль. В статье приводятся следующие факты. Первое, если элементы матрицы К удовлетворяют условиям (0.5),(0.6), тогда существует соответствующий ее собственному значению нуль собственный вектор, координаты которого неотрицательны. Второе, если матрица К неразложима и элементы ее удовлетворяют условиям (0.5),(0.6), тогда алгебраическая кратность ее собственного значения нуль равна единице и соответствующий ему собственный вектор может быть выбран с положительными координатами. Доказательства этих утверждений опираются на свойства неотрицательных и марковских матриц. Основной результат работы формулируется так, если матрица К неразложима и обладает свойствами (0.5),(0.6), то положение равновесия системы (0.4) асимптотически устойчиво.

Устойчивости дискретных и непрерывных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях посвящена целая серия статей проф. Перова А.И. [13],[14], [15],[16]. В них приводятся достаточные условия, которые базируются на оценках спектрального радиуса (нормы) операторов в дискретном случае и спектральной абсциссы (логарифмической нормы) в непрерывном случае на инвариантных подпространствах.

Проблеме эргодичности марковских цепей и устойчивости движения в критических случаях посвящены работы К.Г.Валеева и Ю.В.Шушарина [17]-[20]. В первых трех из них изучаются условия эргодичности неоднородных марковских процессов. Для этого используется, в частности, метод функций Ляпунова.

При рассмотрении многих задач массового обслуживания, биологии и медицины возникают различные классы случайных процессов с непрерывным временем, которые называют процессами типа рождения и гибели. Часто такие процессы предполагаются однородными, что не всегда соответствует реальной ситуации. Здесь необходимо отметить работы А.И.Зейфмана [21]-[24], в которых вводятся и исследуются некоторые классы неоднородных случайных процессов, применимых для описания стохастических моделей в задачах массового обслуживания, в задачах изучения сложных эпидемических процессов и т.д.

Исследование таких процессов приводит к задаче об устойчивости системы дифференциальных уравнений с переменной матрицей в критическом случае.

В активе методов исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений в критических случаях имеется критерий, основанный на исследовании спектра якобиана правой части уравнения в окрестности решения в случае одного нулевого корня. В заметке [25] показано, что этот критерий может быть применен к исследованию устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений в банаховых пространствах при всевозможных критических случаях. В [26] эти результаты распространяются на случай систем дифференциальных и разностных уравнений, у которых правые части не диффренцируемы. Но приводимые критерии устойчивости могут оказаться полезными и в случае, когда правые части имеют производные.

Различные вопросы механики, физики и техники приводят к задаче определения характеристических чисел матрицы того или иного порядка. Поэтому, естественно возник вопрос, нельзя ли простыми средствами по заданным элементам матрицы как можно более точно ограничить те области комплексной плоскости, в которых находятся характеристические числа матрицы. Эта задача, довольно давно, была названа М.Пароди задачей локализации характеристических чисел матрицы и во многих случаях имеет важное практическое значение.

Например, исследование автоматического регулятора приводит к необходимости проверки его на устойчивость. Обычно устойчивость регулирующего устройства математически связана с тем обстоятельством, что все характеристические числа некоторой матрицы должны иметь отрицательные вещественные части. Известный критерий Рауса и Гурвица [27] позволяет выписать соответствующие условия для элементов матрицы в виде некоторых детерминантных неравенств. Однако, если изучаемый регулятор имеет ряд параметров, то часто оказывается, что неравенствами Рауса и Гурвица выделяются трудно обозримые области изменения этих параметров. Поэтому практически гораздо важнее получить, возможно, менее точные области изменения параметров, но зато легко обозримые. Тут и возникает потребность в методах локализации характеристических чисел матрицы.

Хорошо известными являются методы локализации, предложенные С.А.Гершгориными А.Островским [28],[29],[30]. Гершгорин показал, что по элементам квадратной матрицы порядка п можно определить некоторое множество круговых областей комплексной плоскости, объединение которых содержит все характеристические числа матрицы. Этот метод основывается на теореме Адамара [5],[29] о не

-11 особенности матрицы. Признак Адамара неособенности матриц обобщается и уточняется А.Островским. Им же предложен метод локализации собственных значений, в котором путем введения параметра а, 0 < а < 1 удалось связать воедино два условия невырожденности матрицы, сформулированные Адамаром. Эти два метода взаимно дополняют друг друга. А.Брауэру принадлежит важное уточнение результатов Гершгорина и Островского. Его метод также будет применен для исследования эргодичности марковских цепей типа (0.1) и (0.4) поскольку при выполнении определенных условий на элементы матриц этот способ локализации собственных значений оказывается лучше локализации по Гершгорину.

Целью диссертационной работы является:

- постановка общей задачи исследования эргодичности систем разностных уравнений и непрерывных систем;

- получение формул, позволяющих по коэффициентам постоянных матриц М и К установить эргодичность;

- предложение эффективного численного метода оценки спектрального радиуса оператора М\Ь и логарифмической нормы оператора К\Ь в случае, когда посчитать их точные значения не представляется возможным;

- получение достаточных признаков эргодичности нестационарных и нелинейных марковских процессов;

Настоящая работа состоит из введения, двух глав, объединяющих двенадцать параграфов, и библиографического списка, включающего 55 наименований литературных источников.

1. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. - М.: Госте-хиздат, 1949. - 436 с.

2. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. - 511 с.

3. Уиттл П. Вероятность. М.: Наука, 1982. - 288 с.

4. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970. - 271 с.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

6. Еремин E.H. Основы химической кинетики: Для ун-тов. -2-е изд., доп. М.: Высшая школа, 1976. - 374 с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука,1969. -368 с.

8. Блох Э.Л., Лошинский Л.И., Турин В.Л. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения. М.: Высшая школа 1971. - 256 с.

9. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд., испр - М.: Наука, 1966. - 530 с.

10. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М Наука, 1971. - 288 с.

11. Перов А.И. Условия устойчивости линейных дискретных и непрерывных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях// Вестн .ВГУ. Сер.2, Естеств. науки. 1996. -N2. - С.100-107.

12. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случа-ях.1// Автоматика и телемеханика 1997. - N12. - С. 80-89.

13. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости в критических случаях// Докл. АН СССР. 1998. - Т.359, N3. - С. 310312.

14. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях// Дифференциальные уравнения. 1997. - Т.ЗЗ, N10. - С.1-9.

15. Валеев К.Г., Шушарин Ю.В. Об эргодичности марковских процессов/ Киев, ин-^г нар. х-ва. Киев. 1985. - 11 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 27.09.85, N 2322-Ук.

16. Валеев К.Г., Шушарин Ю.В. Об условиях эргодичности неоднородной цепи Маркова/ Киев, ин-т нар. х-ва. Киев. 1985.- 14 с. Деп. в УкрНИИНТИ 25.09.85, N 2296-Ук.

17. Зейфман А.И. Качественное исследование некоторых конечных и бесконечных линейных систем дифференциальных уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1981.

18. Зейфман А.И. Свойства типа эргодичности и устойчивости для неоднородных марковских цепей с непрерывным временем: Дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1994. - 243 с.

19. Зейфман А.И. О квазиэргодичности и устойчивости некоторых неоднородных марковских процессов// Сиб. мат. журн. -1989. Т.ЗО, N2. - С.85-89.

20. Зейфман А.И. Некоторые свойства системы с потерями в случае переменных интенсивностей// Автоматика и телемеханика- 1989. N1.- С.107-113.

21. Бойков И.В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений в критических случаях//Док л. АН СССР. 1990. - Т.314, N6. - С.1298-1300.

22. Войков И.В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений с недифференцируемыми правыми частями// Дифференциальные уравнения. 1993. - Т.8, N29. -С.1453-1455.

23. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1971. 239 с.-12528. Маркус M., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

24. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее приложения. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 172 с.

25. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

26. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, - 472 с.

27. Перов А.И., Глушко Е.Г., Белкина С.А. Непрерывные периодические марковские цепи/ Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1983. - 40 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.07.83, N 4344-В 83.

28. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 331 с.

29. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 558 с.

30. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

31. Добрушин Р.Л. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова// Теория вероятностей и ее применения. 1956. - Т.1, N1.- С.12-89.

32. Белицкий Г.Р., Любич Ю.И. Нормы матриц и их приложения. Киев: Наукова думка, 1984. 156 с.- 126

33. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебник для студ. мех мат. спец. ун-тов/ Под ред. А.Д. Мышкиса, O.A. Олейник. - 7-е изд., неправ. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

34. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. -351 с.

35. Соболев В.И., Люстерник JI.A. Элементы функционального анализа. 2-изд., перераб. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

36. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре: Учеб. пособие. Воронеж: Б.и., 1994. - 256 с.

37. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 536 с.

38. Теория показателей Ляпунова/ Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий. М.: Наука, 1966. - 576 с.

39. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и техника, 1986. - 199 с.

40. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965. -165 с.

41. Ф.П.Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.- 12747. Д ьяконов В.П. Справочник по применению системы РС МаЛЬАВ- М.: Издательская фирма "Физ.-мат. лит." : ЕО "Наука", 1993.- 110 с.

42. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. - 374 с.

43. Белоусова Е.П. Об одном методе исследования эргодичности марковских цепей// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения-УИГ' на Воронежской весенней математической школе: Тез. докл. (4-9 мая 1997 г.). Воронеж, 1997. - С. 171.

44. Белоусова Е.П. Детерминантные признаки эргодичности// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения-УН": Тез. докл. (17-23 апр. 1996 г.). Воронеж, 1996. -С. 32. - (Воронежская весенняя математическая школа).

45. Перов А.И., Белоусова Е.П. Достаточные условия эргодичности марковских цепей с конечным числом состояний/ Воронеж. гос. ун-^г. Воронеж, 1996. - 52 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.07.96, N 2519-В 96.

46. Белоусова Е.П. Оценки эргодичности дискретных марковских цепей с конечным числом состояний// Сборник работ студентов и аспирантов/ Воронеж, гос. ун-т. Фак. прикл. математики и механики. Воронеж, 1998. - Вып. 2. - С. 14-21.