Стохастически рекурсивные последовательности и их применение в теории систем обслуживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Р О С С И Й С К Л И А К А Д ЕМИЯ НА У К

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ -

ИНСТИ1УГ МАЇЕМАТИКИ

На прато.: рукописи ' УДК 519.21

ФОСС СЕРГЕЙ ГЕОРГИЕВИЧ

СТОХАСТИЧЕСКИ РЕКУРСИШ2ІЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ СИСТЕМ ОБСЛУКИВАНКЯ

(01.01,05 - теория вероятностей и математическая статистика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Новосибирск - 1992

Р.Ллт .-заполнена и 1;о1к;о;;б!/.г:'ком I осудо.хтгьонио!* уни-

0^’!;.и4ДЛЬНУЕ ОЬ и'- /О'-:-': и ■ -,':и'л.,1..Ш!чи;'ла1;'. наук:,

ИГ-:: :1^ор ¡;. Л.Кс-'/'.'^нлин.,, •

;ю.;' ор (>:»зшсо-илтематических наук, .. про^ссор А. л.Могульский, доктор физнчо-м&чоматичоских наук, нрофяссоъ В■Б.Ркков.

В^ЗЕУЩАЯ ОРГАНИЗАПЯЯ: мйх&шисо-ыатематичесг.ий факультет Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится __________’__________1992 г. в " " часов на

и&седашт специализированного совета Д.002.23.03 при Институте математик!« СО РАН по адресу: 600090, Новосибирск, Университетски;'; проспок!1, 4, к.417, Ии с VII тут математики СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Азгороф'-грат разослан "_________"__________________1992 г.

Ученый секретарь специализированного ,

совета Д.002.20.СЗ *

д.ф.-м.п. А.В.Косточка

" ІЗ настоящее, время в теории вероятностей и ее приложениях —гйлуіили развитие исследования класса случаіїннх последовательностей. элементы оторнх определяются по предыдущим с ПОМОЩЬЮ некоторой рекуррентной процедуры. Речь идет о последовательностям {/(/?)} вида

Д(л+1 '¡~Г(Х (п ), £п ), л5Ю, (1)

где г - -заданная функция и {£' } - заданная случайная последовательность, образующие, "управление" последовательности {/(л)}. Последовательности вида (1) мы будем называть "стохастически рекурсивными" (СРП). На значимость СРП указывает тот факт, что в широком классе приложений теории вероятностей (теории систем обслуживания, теории надежности и т.д.) практически все рас- ’ сматриваемпе модели (в дискретном времени).допускают представленую- в виде (1). Следует отметить и другой аспект: любая цепь Маркова (Щ.1) с дискретным временем и достаточно общим фазовым пространством может быть задана в виде СРП при независимых £ ,

так что СРП является об'єктом более общей природа, чем ЦМ.

В работе рассматриваются следующие два важных направления исследования СРП: ' ■

1. Изучение условий эргодичности СРП, то есть у г. повий,

гарантирукжиїх сходимость (в том или ином смысла) распределений РШл)е..) при л -» оо к некоторому собственному стационарному, или предельному, распределению. ‘ .

2. Изучение условий устойчивости СРП, то есть ¡/слоты, при

которых при малых (в известном смысле) "возмущениях" управления { £ } стационарные. рспределения последовательности х(п) тг‘-жэ

изменяются мало.

Изучение общих СРП впервые началось, по-видимому, в работах Р.Лойнеса* и б^ло продолжено (при той или иной степени общности об'єкта исследований) в работах А.А.Боровкова, В.М,Золотарева, Л.Г.Афанасьевой- В,В.Калашникова, С.Т.Рачева, Н.П.Ло-онтьевой. И.Ахмарова П.Франкена, А.Брандта, Б.Лизека, Ф.Бач-чблли, С.Г.Фосса и др. авторов. Как правило, предполагалось, что последорательность { Ел } стационарна в узком смысле (в частности, состоит из н.о.р.с.в.). Полученные результаты применялись для исследования различных классов систем обслукивания.

Выделим два достаточно общих подхода к получению теорем эргодичности для СРП. Первый из них базируется на. свойстве монотонности функции г по первому аргументу.При.этом подходе получаются утверждения о "слабой” эргодичности последовательности А'(л) , т.е. о слабой сходимости распределений Р(А'(л)е. ) к некоторому предельному. Отметим, что в широком классе прикладных моделей (системах обслуживания с отказами, системах со случайным множественным доступом и т.д. ) для изучаемых процессов, как правило, условие монотонности не имеет моста. Кроме того, в системах с ожиданием свойство монотонности г моя;ет быть использовано для доказательства теоремы эргодичности только при специальным образом выбранных начальных условиях.

• »

Второй подход, основанный но понятии г.н. обновляющего

Ьс-.унег. Р. Тіїе ¡зЬаМІАіу о£ а оиеие у/дЛЬ лоп-іиііерелйепі іпіег-аггіуаі апС вєґуісє Ытсг.// Ргои.СатЪг. ?>іі 1.8ос. - 19о& . -'V . 58, 1!. З. -Р • ¿97~%0.

события, был предложен А.А.Воронковым* и исследовался (для различных типов СРП) б работах В.В.Калашникова, Л.Г.Афанасьевой,

А.Брандта, Б.Лкаеха, Г.Ш.Цициашвили,С.Г.§осс а и др.автороз. При условии наличия обновляющих событий имеют место утверждения сб эргодичности последовательности X(п) з некоторой "СИЛ*КОК" смысле, эквивалентном в известней степени «ходимости в метрика полней вариации. Именно сходимость такого типа.наблюдается з широком классе прикладных моделей (напр., в системах обслуживания). Эти два подхода зачастую успешно дополняют друг доуга.

Заметим, что б теории цепей Маркова исследование вопросов эргодичности в указанном внше "сильном" смысле хронологически началось раньше, с работ Деблнна, и продолжалось рядом известных авторов ('Т.Е.Харрисом, С.Ореем, С. Асмуссеном, Х.Ториосоном, К.Б.Атрейя, П.Неем, О.Нуммелипом и др. ) независимо (до последнего времени) от работ по исследованию СРП. В частности, Атрейя-Неем** и Нуммелином*** был предложен прием, связанней с лозмопзтостью построения регенерирующей цепи в расширэшпм фаговом пространстве и позволяющий доказывать эргодичность еднород-нпх цепей Маркера в т.н. "условиях Харриса".

Э.Нуимелкчом**** было доказано, что упомянутые "условия Харси-са" необходимы и достаточны для "сильной" сходимости. В работе

* Бэрог.^оч А. 4., Асимптотические методы в теории массового об-служивапил. -М. : Наука, 1980.

** Athiv:, я il. E., Ney P., A new approach to the limit theory o:~. recurrent Markov chains.// Trans. Amer .Math.Soc.-1978. -V. 24-S. -P.493-?01. ’ - ...

*«* Nunwoe I in K., A splitting technique for Harris recurrent Markov rhn’Jis./7 Z.Wahr.Geb.-‘973.-V.43.-P.309-313.

***» M.y1‘..лин 3., 07;;ис неприводимое цепи Маруова и нестрииа-тольнки >-i-.?p'tTcri{.“ М.: NtJip, I9Gw. . ‘ , . *

С.Орея* получены некоторое условия эргодичности для "цепей Маркова'' с дискретним множеством состояний, в которцу. матрици переходных вероятностей случайны и образуют стационарную последовательность (о-:метим, чте этот об'єкт может быть представлен п виде СРП). Феноі. н "независимости" исследований условий ЭрГОДИЧНОСГИ Ц'И и СРП следует, видимо, об’яснятъ тем, что отправные точки при изучении вопросов эргодичности в теории СРП и в теории ИМ б'ыли риаличнідни, хотя, при внимательном рассмотрении, в них можно обнаружить достаточно много общего.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ - с использованием подхода, сснованного на понятии "обнонльнил", пронести исследование условий эргодичности и устойчивости СРП и некоторых их обобщений, изучить вьокмиснязь с теорией цепей Маркова, а такЯсе применить иолу-ченннз результати при исследовании двух важных типов моделей обслуживании: систем и сечей-с очередью и со случайный множе-Ї'Іг-енянм ДОСТУПОМ {«ОМІУНЯ’Сациснішх Систем). ' .

СОНОЛШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЇІССЕРГА1Ш

1.1. Получены критерии ЭрГОДИЧНОСТИ для СРП и их обобщений в чі-рннах т.н. "капяиш -схадимос-іи" и "сил. .юй каплинг-схоии-I.! ••лл", ч '¡чюремц зргыичисстн длл процоссоа с нипроршз-

Ы«1Л 1'I >и:М.

"Сі. і п

• і і ..>) і і >•«. і і І !. 'І! ,

г. лтіи, і,іог:і .о Іі с-г ’ іу :ПлИоги.гу и-аі,-’ ¡л .)».<• г.о‘.‘. - і 9-У іі 9, Л.З.-і «V ■ 9с Ь.

2). Получены условия ограниченности по вероятности СРП и их обобщений и условия существования стационарных мажорант цля этих последовательностей.

3). Для открытых сетей'обслуживания джексоновского ти-а полученн необходимые и достаточные условия эргодичности; для замкнуть-.' сетей найдены условия эргодичности, близкие к необходимым .

4). Доказано совпадение уровней пропускной способности п

системах случайного множественного доступа для централизованных и децентрализованных алгоритмов управления из определенных классов. • .

Все перечисленные результата являются новыми. Результаты I.) получены совместно с А.А.Боровковкм, а результаты 2}~4) -лично автором.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара в Институте математики СО РАН под рук. академика А.А.Бор- вкоез, а также семинаров под рук. проф.В.М.Золотарева, проф.В.В.Калашникова и проф.В.М.Круглова (ЕЖ МГУ), проф.А.Д.Соловьева (ММФ МГУ), проф.Р.Л.Дсбруши-на и проф. Ю.М.Сухова (ИШИ РАН), на 4-й и 5-й Вильнюсских конференциях по ТВ и МС,(1985,1989), 1-м Всемирном конгрессе общества им.Я.Бернулли (Ташкент, 1986), 1-м Международ! м симпозиуме по полумарковским процессам (Брюссель,1984), 18-й Европейской конференции статистиков (Берлин,1988), б Мат.Центре им.Ст. Банаха (Варшава,1990), на 2-м Международном семинаре по теории систем обслуживания (Вроцлав,1990), на научных семинарах под рук. проф. Ж.Неве и проф. Г.фзиоля (Париж,1989), проф. -1.Бач-

челли (София Антиполис,Франция,1989), проф. А.Боксмы .Амстердам ,199і).

По теме диссертации автором опубликовано более 20 работ. Основные результата содержатся в И-12].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит ио трех глав, разбитых на 17 параграфов, и списі.и литературы. Общий об’єм страница.

В первой главе диссертации проводится исследование вопросов эргодичности и устойчивости СРП и их обобщений.

Пусть (£,£».) и (у,2?,.) - два измеримых пространства,

•*- у

г : Х'--у ■> к - измеримая функция и ( ^ } - стационарная '

(б узком смысле) последовательность случайных величин, принимающих значения в пространстве £ . Пусть л(лИ )--Г(Х(п), £ ) есть СРП с управлением (г, {£ }) .Ради упрощения формулировок,

П *'

му будем предполагать, что последовательность {£п> метрически траноитнвна, а начальное состояние Л'(0) неслучайно.

Обозначим при п а к через к а-алгебру, порожденную случайными величинами КпЛп+1.........Чк • и через ?|, , 9^ . со-

ответственно, о-алгебры

Р

■ - О { £ , л < к } ; =- О { іп , -а> < п < оя }.

Введем ряд определений. Будем -говррить, что при некоторых р Ї О и т О событие /і є 5 -, является обновляющим для СРП

. Л Л+Л)

, если найдется некоторая змеримая функция д : ][“+1 -* і , та:-:ая что на событии л ( '".е. при всех элементарных исходах м. о' /і < х.’-л'С:" место еавонст 30'

/I •

X ( л+/п+1 )=</(£,...,£ ). (2)

sri ъл+т

При некотором w > о назовем последовательность событий

{ .4 >, /1 е обновляющей для СРП дг(п) , если найдется

п п п+т

Функция g такая, что при всех л £ о на событиях а выполнено (2).

Вуд-:?! говорить, что последовательность х{п) каплинг-схо-дится к некоторой последовательности л" , если

Р( ,х{к)-хк при всех к Z п ) -> 1 (3)

при л -> 00 .

Введем на пространстве -измеримых случайных величин

сохраняющее меру преобразование сдвига и такое, что {/£ -■ £n+i

1 - с

п.н. Соответствующее преобразование сдвига 3^-измерим«; .мно -

ь ь

жеств обозначим символом г , Символами т , и ,-<*>'< к < & , будем обозначать итерации соответствующих преобразований.

Наряду с {X(л)}, рассмотрим при к > О последовательности { Хк(п) = У-* ^(л+Аг), п > -к }.

Будем говорить, что последов;.'.ельность Х{п) сильно каи-линг-сходится к некоторой последовательности Хп , если

со со

Р ( П‘ П i -Vn+7= *.(л+]))) -> 1 при n ■* со . (4)

к=0 1=0

В î I.1 формулируются необходимые и достаточные условия каплинг-с,ходимости и сильной каплинг-сходнмости CFF в терминах обновляющих событий. В частности, имеет место утверждение. ^ ТЕОРНМА I.I.S. Слолующно два условия эквивалентны:

1) последовательность /(л) каплинг-сходитоя к некоторой стационарной последовательности хп, такой что xn+1 = г(xn. f ) иль;

¡1

2) суич.-стг.уют целое число m >■ 0 , собственная случайная г-елпчи-

на y и стационарная последовательность событий ( и }, в е г- такие, что последовательность { Y ^ п } л в является

п+т ' '' п

обновляющей ДЛЯ { Х(п)}.

Выполнение условия 2) при Е7 < го необходимо и достаточно для сильной к.аплинг-схгт1им0сти х{п) к последовательности X11, Креме того, в § 1.1 показывается, что в случае и.о.р. последовательности xín) предлагаемые условия кашшнг-сходимссти эквивалентны (в известном смысле) хороші изученным условиям . эргодичности по Хэррису для однородных Щ. Помимо отого, приводятся оценки скорости сходимости в теореме эргодичности. Рассматривается случай нестационарного управления.

В § І.2 вводятся в рассмотрение т.н. рекурсивные цепи fРЦj, являющиеся обобщениег, СРП иЩ. А именно, пусть на одном вероятностном пространстве заданы стационарная последовательность F и некоторая последовательность Д'(л), п > О. Будем говорить, что х(п) образует рекурсивную цепь с управлением г ^ , если при всех ií О Р1А(л+1)е . /,v(n),...,A(0),[L})=P(.Y(nti)t . /Ял),Е ) Л.н. (5).

л П

Если условное распределение в (5) не зависит от л , то РЦ естественно называть однородной (по времени). Б работе в основном рассматривается однородные РЦ, так что, удобства ради, в дздьноййшм термин "однородная" мы будем опу чать, .

..оі'.іі:-і;в;клся (теорема 1.2.&), ччо существует задание но-X (и '• на оли.м с <£ } вероятностном простран -с. тії-..', ч ліп) >іьля:;ї .71"! с некотором "росшщешч,!\!"

{ £ } следует и стационарность { ).

§ 1.3 посвящая исследованию вопросов эргодичности РЦ. Зафиксируем т > о и обозначим через т а-алгебру, порожденную случайными величинами С X(О)........А(л); - А' ? л+т}}.

Приведем основное утверждение параграфа.

ТЕО’-! МА 1.3.0. Пусть (л'(л)) есть РЦ с управлением { £ };

последовательность { £ } стационарна и метрически транзитивна.

Предположим, что существуют число т > о, стационарная последовательность событий { А }, А є и измеримые функции

отранстпо стационарную последовательность { Хп } такую, что х(п) яс-сходится к хп. При этом последовательность { хп } образует РЦ с теми же управлением и переходной функцией, что и

Р11 {А (л )}. '

Помимо ;/г010, в § 1.3 рассматриваются некоторые условия, с.каонлпнтк.ч.. достаточными для эргодичности. Так, в случае,, когда с,(,ма упртшнэдая последовательность {£ ? удовлетворяет

VI'I1,'.рс!.:'.л;",!Ва’!ПЛ 141ЛП ■

Р(А(л+/п+1 ) є В / 5

Тогда можно задать на одном с { Х'п), } вероятностном про-

г

к С п }

п.н. для некоторых числа д > 0, вероятностной мерк ф на ( %,%х I и любых р с и цилиндрических множеств С е у , имеет место .

ТЕОРЕМА 1.3.6. Если существует1 множество V я ж. , стационарная последователь эсть событий А е , Р(л ) > о , числа т > О, р > Он вероятностная мера ф на ( х,®к ) такие, что

1) Р( А'(.ч) е V / з^_? ) = 1 на множестве Ап при всех л >- <))

2) Р( Л{*,т+1 ) е В ) > р * ф(5) при всех С е 33^ , х е V , то дли РЦ А(л} справедливо утверкдение теореми 1.3.3.

Здесь {А'(х.и)} есть РЦ с начальным условием А’(х,0)=х, управлением (| } и той же переходной функцией, ЧТО И у РЦ Мл),

а, в сбою очередь, {£ } есть последовательность и.о.р.о.в. с.-распределением ф.

В 5 1.4 обсуждаются некоторые условия, являющиеся необ-ходнями для каплинг- и строгой каплинг-сходимостей. /Сак известно, обычно обновляющею события для СРП (как и события, ■ фигурнрундие в условии (11^) теоремы 1.3.3 - для РЦ) представима в виде

Лл* /= { А(л) е V : (£ ..........Е ) е 2Г ),

I! П П Л+П! г гу .

( ( )

Р(|^........> о '

где г е - множество из фазового пространства % , которое оал'аеЧ'Г!! с помояьи некоторой (пробной) Функции ь : X -» к ,

V к I/ - { а' : ¡А у ) К к> }. (0)

П -

Ч- г*' >.¡'1' *, Ч'."0 С-’.'б'./ГНЛ Т.чкс.го ЬИДЗ не ЛШШ-ТСЯ, ВиО&Ц» ГЧЛНфЛ,

; :I- мд ги!.:и. <' п.'Ы'.'ГН'Ноя я ¡.л; /с,я мь "ч»г,'."ь" <' .....

' ■ п

'■. -.."л,: и-« по' ■:г»„-.ттл,

последовательность в такую, что

Вп Я { Х(п) г V }, Р(вя п ..............1П+П) е Z )) > О , (&;

то, тем самым, определяются и требуемые обновляющие события к, следовательно, последовательность Л'(л) сильно кашшнг-схо дится к некоторой предельной. В свою очередь, последовательность в " ^удет построена, если мы найдем вегдественчозначную стационарную последовательность { y" } такую, что /ЛД'(л)} <

Y1' п.н., и возьмем в = { Уп i N }. В случае фазовых пространств х=х+ либо г=ж и функции L(у )=х последовательность 7'7 естественно называть стационарной мажорантой для х(.ч>. Условия существования стационарных мажорант для СРП обсуждаются б п. 1.4.2. Имеет, в частности, место следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 1.4.5. Пусть Х=Ж+ , и (ЛЧл)), X iO)=const есть СРП с управлением { £п }. Предположим, что для некоторого с > О существуют функции Fj ". у° ■* Ж . Fg i %+ * у° X , :

?/“ -» ж такие, что случайные величины фп = F? (£ , f.n_;,.... ).

C„u> = F2(x.Zn,Zn_r... ), фп = j запЛп_1--------------) удовлетворяют

соотношениям: •

1) Х(/Н1 )-х(п) < фл + сЛ(.V(п)) + фп-Ш(л) ^ С) П.Н.;

2) Б.|>п < О , Е фп < <» ;

Л) для некоторого 5 > 0 •

sup Е { |C0U)|2+Ö 5 < 03 ;

X v

4) при всех п >, О, х

К С С„(*) / -fl , НО п.п.

п — i

' Если при стом для множества 1’=[0,С] выполнено условно <н‘, ):с.у1!,.ост1»укг'’ олучпПпая всмшчинп <S(? , Е ^ < « и конечной

*!г1*;ч'[) тичо.'с .......>п ч х . такие что для любых у е г, п >. :

неравенство

?„(у) Фп. < ь;ах -•?(>.', )

'• и п . 1 '

справедливо п.п. на множестве { ..{у,к) с V при всех к < п } ,

то для последовательности {.¥(л)} мохаю построить стационарную

макоранту.

Здесь х(у,») есть ОРП с начальным условием л'(у,0)~у и .

5г,(у) = Е С.Шу.у)).

• _/=о •/

■Отметим, что условие (//.?,) выполняется, если функция /’

^ ' удовлетворяет условию Липыица по первому аргументу либо множестве V конечно. '

3 п.1.4.8 формулируется аналог теорему 1.4.В в случае произвольного фаоового пространства с использованном т.н. проб НК7 функций. ■ ' . ■

Отметим, что для каплинг—сходимости услопие (9) 'является ■ избыточным, и. в случае фазового пространства х-% его естест-Ыгннш.’ аналогом яя ієтсл условие ограниченности по ьороятносш :;ссл« до оь го лености Іхіп)} . і-’;,;зєї ыдспо ' ’

ТЕОРЖА і .4.0. Предположим, что на одном вероятностно»; пространстве оада і ш последовательности ве:иеетвенпоз:!ачных случайных величин { а' (-і) >, ;ф }, (СГ1) и возрастающая последовательность а-алгебр (?’ ) , такие что ■

у) п-.%)-Х(п) < 4' і С + С^-ІІХІп) < с„)

Si.ll. При 11С(;Х л О ДЛЯ НСКОТОрЫХ ПОСТОЯННЫХ С ^ ,С,, Г

£) {•; / - стационары;:» г..етри ски траизитшшая последователь-

■') оир Е {|СЛ| *<-,'( I С,, I )/-<? < ш лпя некоторой функции у:ач-‘.я,_ ,

лп7:я:а:',ейся непрерывной, випухлой вверх, ысистошю возрастйххцйй

:1 удозлотЕорякачей условиям: .

;э -1 :;{0)~0 , [ (.V г';с}) с!у < сп .

Тогда пс о яодезаголыго сть (лг(я)} ограничена (вверху) по г.сро--

г]‘* ни ОТЛ • '

Иной подход к построению стспкопзрнпх мажорант и получению условий ограниченности по вероятности обсуждается В Г1.1.4.0.

В § 1.5 изучаются условия устойчивости рекуренвнгх нэпе;!. Наконец, в § 1.6 сводятся т.н. процессы (в дискретном ¡ОТ! непрерывном времени), допускающие влояегоме РЦ. ото ГЮ1ШГИЗ естественным образом обобщает понятие процесса, допускающего сложенную Ш, предложенное Кендаллом. Доказываются теоре.мн эргодичности для таких процессов.

Глава 2 поевг ена изучению вопросов эргодичности и устойчивости для т.н. сетей обслуживания джексоновского типа и некоторых их о.. общений.

Пусть N > о - целое число. Обозначим через { ’¿(п), п > О }

15.1 с (лиг) состояниями 0.1........//,//+1, начальным значением

х(0 )=0 и матрицей переходов \\р{ || , / , у=0,...,//+ I , где

/;,7+7 ’ Р10~° ПРИ ьсех 1 ■ Пулем предполагать, что состо-

яние (,'/+1 ) д /стншмо из любого состояния I > о и. следовательно, является ПОГЛОНИЮЩИМ. Обозначим через 'ГС. , 1 < ' ч ы , сроднее число лосеиоиий состояния / траекторией { г(п) }.

Назовем матрицу р ( а также Ш 2(п) ) ациклической, если никакие два состояния 1,] не могут быть сообшаиц¡мг.оя.

Рассмотрим теперь открытую сеть обслуживания с и одноканальними станциями, в которую поступает рекуррентный поток, вызовов, т.э. Бремена между моментами поступления вызовов а предполагаются независим!»”/ и одинаково распределенными со средним Е'Х -1/а > о . Чаждогй вызов из входного потока независимо от других направляется на станцию с номером к с вероятностью р0 . Ррі '-ї • Бремена обслуживания на к-й станции

{в*:} независимы и одинаково распределены со средним ,

о < ак < » . н? каждой станции вызову обслуживаются з порядке поступления. После окончания обслуживания на *-й станции вызов с вероятностью р} . переходит на /-¡о станцию и с вероятностью Ру у^'7 покидает сеть. Такие сети принято называть сетями джексоновского типа.

іірк /, * О через <!п ± ( д* ....,ЧЯп ) и-Хп »■ ( ......х" )

ооэоыаччм, С001ПСТСТЕЄНЯ0, длит/ очереди и остаточний времена обслуживания вызовов на различных станциях в последовательные МОМЬГТН поступления ВЫЗОВОВ В СУТЬ. Нетрудно ЬИДЄТЬ, ЧТО 110-слидо'телйчость (<? ,'/,п) образует однородную ИМ, поэтому ис-

слодойьиий условий ее оргоцичности можно проводить как методом обновлял«« событий, так и традиционными методами, используе-в теория ЦМ. Для нас оказывается более удобным первый

'і ’.і,’’' Л . -■ "'.і;.4.' Т '-'О07 0

ТЕОРКМА 2.2.1. Если выполнено условие

< '/а ири всех , (10)

при начальном значении ,7Л) последовательность

и ’ о

т ї;п;і;;^пг-С‘./л»ли'1ч;л IV нокг орой '*т.'Щиоіі;ірной могию^ежо •

| , , . П .

Известно*, ЧТО если условие (10) не выполняется, ТО 110-оледователыюсть не МОЖОТ быть ЭрГОДИЧНОЙ. Пойтому yrUep^fiüMlb теоремы 2.2.1 носит окончательный характер.

Отметим, что утверждение, аналогичное теореме 2.2.1, 6u.un сформулировано К.Сигманом**, но при двух дополнительных, прели., ложениях:

1 * рк Н+г > 0 11^и всех к= \.... ,N ;

2) для ИМ (<7 ,у ) существует положительно возвратное компакт иое множество.

Кроме того, в другой работе К.Сигманом*** било такие сфор мулировано утверждение теоремы 2.2.1 беа дополнительных вредно ложений, однако при этом строгое доказательство было проведен.' лишь для случая ограниченных времен обслуживания, а из пестро гих и очень лаконичных рассуждений для общего случая не удает ся восстановить аккуратное доказательство. Отметим твш, что предлагаемое в диссертации доказательство использует иные идеи и, тем самим, существенно отличается от доказательства, пред.ио ясенного К.Сигманом.

Рассмотрим теперь случай непрерывного времени í > о и при i-1через g1(t ) обозначим количество вызовов, находяаихи! н момент времени t +0 на i-й станции ( в очереди и на обслужи вании), и через %*{«) - остаточное время обслуживаьгя перног • из этих вызовов ( полагаем %' (t.0 при q1 (t )-О ); Ь (-¡’ít ),

« Афанасьева Л , Об ургодичности открытой сочи обсяучиванпн. ,// Теория вероятн. и примен.-Г9С7. - Т.32,11. 4 . -С.777 -7о! .

*« Siçiinan Г... Queue.*; я:> Har*ris recurreo L Warlrov cha í мо. //

Qu.u!C-in,}' Йузteai:î.- S'j’Vi. -7.3, fl.?.-P. 179-'.98.

ÍJi.^ran i". , íhf: r.l.ability o i" <"r>en :¡ loue i n.-r ьо t.w ;r! /

l.och.-uí *. U; pd?!ii api)) . - ‘ 9У0. .’.35.W, !. -i'. 1 t

); ). Обозначим Z_v={0, l

Им теоремы 8,2.1 и результатов S 1.G следует . ■

ТЕОРЕМА 2.2.2. Пусть выполнено (Ю) и случайные величины 'С нмест нетхзиотчатое распределение. Тогда существует собственной распределение Р(,) в пространство Ъ‘{ * ^ такое, что при ,лл)5см печальном условии (q(0) ,х(0)) имеет .место при t -» со слабая СХОДИМОСТЬ Р( (fj(t ),%(*) е . ) => ?( . ) ,

Отметим, что в работе А.А.Воровкова’ также доказано утверждение теоремы 2.2.2, но при двух дополнительных предположениях: * / .

(С 1 ) Существуют число с > о, у > о такие, что для всех t ,Х >. О

Р(т ^ i+x / г > i) < Сг.‘“Тх . PU* > г+х / S* > t) 4 Св~Чх i

н л 1 1

(С 2) Случайные величины иеограничены ( т.е. > :<) > 0 •

при всех х ). .

Уместно сказать, что, как и в случае теоремы 2.2.1, утверждение теоремы 2.2.2 носит окончательный характер, т.к. известно, что при отказе хотя бы от одного из двух условий ЙТОЙ теоремы для iq(t),%(<)) не существуем продельного собственного распределения.

Перейдем к замкнутым сетям. Рассмотрим конечную Ы с <v

сообщающимися существенными состояниями и матрицей перехода

и

jjс;. .¡j ; 1 $ 1 ,j ^ N ; i, p, .= l при всех t и определим замк-JJ j=i '

нуту:о сеть джексоновского типа с N одноканалышми станциями и н вызовами по аналогии с ранее введенной открытой сеть». Справедлива

“ Бброг.коп A.A., Предельные теоремы д.,¡я сетей обслуживания Л .

I/ Теория 1чфоятн. и et: примен. -19ВВ. -т.ЗТ,м.3.С.474-490.

ТЕОРЕМА 2.4.1. Если п замь—утой се'хи обслуживания джексоновского типа при всех к= 1,... ,'И и c-consi распределения случайных величии (s^iC) неротетчатн, то имеет место утверждение теорамы 2.Я.2с '

Аналогичное утверждение (но при выполнении ДОПОЛНИЛэлышх условий (С 1 ) — (С 2) ) било доказано А. А.Еоровковпг,Г.

Глава 2 состоит по 4 параграфов, кандчй кз которых (за исключением § 2.4) делится на подпункты.

В 5 2.1 рассматриваются ациклические сети со стационмрта-г-ж управляющими последовательностями. В п.2.1.2 доказывается, что для ациклических сетей с олнекаиалыими станциями утверк денае теоренн 2.2.1 остается справедливым и при тационариых управляющих. последовательностях, В п.2,1.3 приводите,:! теорема устойчивоегк. Б п. 2.1.-1 рассмотрен пример ациклической сети с регенерирующим входным потоке«. В п.2.1.5 формулируйся условия эргодичности ациклических сетей джексоновского типа с мнегока нальннми станциями. В п.2.1.6 докапывается единственность стационарного -. аспределения в ациклических сетях типа G/GI.

§ 2.2 посвящен исследованию открытых сетей джексоновского типа. В п.2.2.2 доказывается теорема 2.2.1. В п.2.2.3 получены-Теоремы устойчивости. В п.2.2.4 обеужлаптоя вопросы opi одично сд'й к устойчивости открыты;: сетей джексоновского типа с мт>го канальными станциями.

П 5 2.3 покачивается, что для открытых сетей при откапе от независимости и одинаковой распределенное'!и умравлянлих нос.м(-;доиательн.)СТ(:Г1 ь условиях т.* "р'Ч'улярпостп" (:г:и vc л;1) и я я.‘)Ля>/г-с:- сспч-твенним о'юб'деннем усливи;-' {(', ' i )

■г на голъность í<}(t ),%(*)) является ограниченной по вероятности.

. Ннконоц, в 5 Г 1 докагзыпаотся теорема 2.4.^.

П гланс О рассматриваются т.н. системи со случайным мно-•.wíívi'iihhhum .поступом и открытые сети, образованные такого рода

ОМаМИ . ’

Система случайного множественного доступа состоит из одно-10 послукивающего прибора и бункера для ожидания (бесконечной •.мкчк’ти). Вызовы поступают в систему в моменты времени л-0,1,., наргинми об’ема . Будем предполагать, что £п есть стационарная метрически транзитивная последовательность,

Е£} < 1 i Р( Ej 2 ) > О. (11) •

Предполагается, что между вызовами н каждый момент времени невозможно устаног гь связь. Ото означает, в частности, что они не могут образовывать очереди на обслуживание. Другими словами, в любой момент времени ( л+0 ) каждый вызов, находящийся в системе ( в бункере или во входном потоке) принимает решение: поступать ему на обслуживающий прибор либо остаться в бункере направиться в бункер) - сообразуясь только с доступной ему информацией о предыстории системы и о его личной "истории"

(óолее точно - чуть поите).

Совокупность правил, по которым вызови принимают решения, с>у;;<.Ч4 называть алгоритмом управления.

Предположим, что нам аадан некоторый алгоритм упраияе -н-ы ■!. Пнишем функционирование системы.

Обозначим через В суммарное ¡соличосі в‘ ■ і-чзовоп, нос а ‘

¡г. i;;uo,'p ь І.Р, i-ли i г-0 . í-v.j>í ^ : ' и'•■‘Т? їй.! м:

систему. Если же В *1 , то обе, уживання не происходит, в течение интервала времени (п,л+1) обслуживающий прибор либо бездеіі отвует ( зели Вп-О ), либо "блокируется" ( если 1)^2 ), а все поступившие на прибор вызови отправляются в бункер.

Если обозначить через V число вызовов, находящихся в бункере в момент времени (л-О) , то при всех л > О имеют место соотношения:

I/ , = к' Е - /(В =1 ), (12 1

/)+? Л "Л л ' ’

где 1(0) - индикатор события О , а величины (.-1), конечно

же, зависят от. алгоритма л.

Будем называть алгоритм управления А эргодичеспим,если

распределения Р( к' е . ) сходятся к некоторому собственному п .

при П -» .

В главе 3 для заданной входной последовательности ? исследуется вопрос о возможности построения эргодических алгоритмов управления, принадлежащих определенным классом "децентрализованных" алгоритмов.

"Предысторией" системы в момент времени л будем называть совокупность величні;:

1 ) { , к ^ л }, { , к < п } ;

2) { вк , к <п }. .

"Инлиплиуалььой историей" вызова х , находящегося в с.и стеме в момент времени,л , будем називать пос.лидонатодишсп,

8) ( к; г ?,..., г 1), ‘

где к-к(х) - момент поступления ы-ичина в систему; /• <. < ...

< Г, < 11 - 1II,'Є »идущие !.Ч,'Мі-Ц і'Н ьргм 11, I. КО'К, ЛЧ.ШМП

ii¡ ипнмал решения поступать на обслуживающий прибор.

Основное требование, которое накладывается на класс»

I■••)ематриваемих алгоштмов управления, состоит в следующем: в каждый момент промели шэовн г. одинаковой историей должны принимать одни и *го жо решения. Другими словами, вызовы с одинаковой историей неразличимы для об'єкта, управляющего системой. Поэтому все зргодические алгоритмы (если такоьйе существуют) с необходимостью обязаны бнть стохаотическими. Это означает, что п каждый момент времени г, решение вызова х выглядит так:_ с вероятностью ¡>п х поступать на обслуживающий прибор (где р , естественно, зависит от предыстории и ял-

П , Л

горигма), и число p¡} х одно и то же для всех вызовов с одинаковой историей.

Назовем алгоритм-управления централизованным, если в каждый момент времени л oír может использовать всю информацию о предыстс-рпи системы, и децентрализованным, если в каждый момент времени г. ему доступны из предыстории системы лишь значения { , к < 11 }, где 7а.= ГП7.П (и ,2).

Проел елшйм децентрализованным алгоритмом управления является Х'фОШО известный алгоритм -ALC0U, при котором р =p-consі для всех вызовов и всех моментов времени п . Однако, как известно, он не является арготическим.

Мучном <■- рассмотрения класса централи.мч/тных алгммпм.я*

А } , ДЛЯ КОТчрнх ЛеДоС 1'У Піїа '.•іИі]:-,р!.іаі-ПЯ г..,-и,. •-:] ¡,.'a 11-М !Й H'.'TOJ ИИ Г-!"!ОЬОН. С'- .^,ПЧ'"; '-.его;'- (. .,í( ....

Известно*’**, что если £. образуют последовательно» іь и.о.р.с.в., то при Efjj < e~L алгоритм Аа е dQ , при котором

р = рл(л0) = 1/тах(1,1/п) , является аргоднческим. Если же

— 1 -

Ef,. > є ' , ТО V S I/ (,1)^01 1І.Н. при П -t 00 для ЛЮБОГО J1 пп ^

А е лп . Более общо, если Ç образуют стационарную метрически

п

транзитивную последовательность, то на рассуждений работа

A.А.Боровкова*** нетрудно получить, что при < е-г введенні о вмиє централизованный алгоритм А() также будет зрголическим.

Ь.Гаисзк показал, что если Ç есть последовательное’]-!

И.О.p. C.B., Е£ < в~1 И Е( exp (ЄЄ ) ) < га при НЄКОІОрОМ ô > О,

то для нее существует эргодический алгоритм А1 е Э5„ вида 1

Р =q " ; 1 =(1 + с.-кг =-?.) + cW(ï -0 ) ) ; (13)

'л 1 п+1 и 1 1п 2 1 п

где q ь- (0,1 ) и с, > 0 > с„ - некоторые константы. В работе

B.А.Михайлова***** доказано, что если \ ешь последователь

1 °

HOCTI. H.0.[). C.B. , EÇj < е И EÇj < ш , то существует депонт -

рализованннй алгоритм Ап е %0 такой, что последовательность и

ограничена по вероятности, т.е. вир Р( w (а9) > х ) -» о при

• п ~

л 4 ». В § 3.2 формулируется следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть {£„) ~ стационарная метрически транзитивная последовательность, Е£} < в1 . Тогда найдутся посто

» Payolle G., Gelembe K. and I.abetoulle J. , Stabil!ty and op mal control of Iho packet Switching broadonst cliamisl . // J. r.Г • АГ.ЗОС. Сотри t. Mach. -1 977 .-V.?4. -P. 375-386.

»■» Фалин Т’.И., Случайные пр»щессп в структурно-ежммшх ”>:»vi4.- -M’i:: обслуиятаг" . Ли ос.... л.ф.-м.н.- М., МГ.7,

• ** F,oi»/b_KC'U A.A., Асяг/птотический аналиа s:o;.\ivniii-v '»юпи:..- со

**** П.. Ui tt iP)'-l.ime arid oixaipa 1, ii-is U -nntU? iui; '• ! t • i

Ъу iifii't i y.- i.-s ;i;,p i i oal i - ч.а/,/

Ad7./-ppl .! a-oOab. ■ I''11:'-'. -V. 'A. " r'‘. .

* * -> ♦ W/y i*: 1JJ0 ¡1 lj . Л . J pii’i’'ч!!.-! ' Ji i i * i ^. i 1; > ,V 0 . и 1! i I > >(: ' i \ 1 il

іііінно qtCj.Cy , такие что для последовательности l/n-l,'n(4f ^ <

построенной по алгоритму А} вида (13), существует стационарная мажоранта { Y' } (из этого, в частности, следует ограниченность по вероятности последовательности { V } ). Если, к тому ив, .

р( -я+г° ‘ *1 ] * р-> 0 (U)

и.н. при нсех л > О для некоторого p--const , то алгоритм А{

являемся эрголичвекик.

Заметим, что для и.о.р.с.в. in условие (14) следует иа Е£} < 1 . Отметим также, что можно привести иные, более слабые варианты условия (14), при которых теорема 3.2.1 имеет место.

Теорема 3.2.1 обобщает предшествующие результаты в двух направлениях: 1) снимает все ограничения на существование моментов ишге первого для > 2) рассматривает случай стационарной метрически транзитивной последовательности {£ } с произвольными зависимостями между ее элементами.

Перейдем к рассмотрению более широкого, чем ¿0 , класса алгоритмов. А игуєнно, допустим, что в каждый момент времени п управлении! доступна с-дедуидая частичная информация об индивидуальной истории вызовов: известно, поступил данный вка в в момент л или ранее. Другими словами, для каждого внвова х , находящегося в систем в момент ( /но ) , известно, какое иа событий { * < п }, { к= п } имеет место. Следовательно, все

ппаопн, находящиеся в системе в момент времени ( п»0 ), усвоено опгоиьамтоя на /ни: г р\ ruin - ? вг онон, ирнш'-дн.чх и геыонт п,

. - ■ п . - ’

!t U 1 ЫГ<.)Н-,;П, На:о'\'і.їіП!!1Х'?Я Н óyHKeJ а МОМ’.)-! !■ • и-О

íi.¡i'üH't'HiM ч-:ре:! л р яі иласо а.чпч.птм->н, і-; >г-•; і■-- чс.т

использовать донную информацию оо индивидуальной истирии euüo-ВОВ, И через 2? & dj - соответствующий подкласс, децентрализованных алгоритмов. Ясно, *’то каждый алгоритм л е А, определяется набором вероятностей {{/>; , р,;)) , зависящих от доступной прздвстории, где р'п - вероятность, с которой ’.СЙЖДЬ'Й из Ç вызовов принимает решение поступать на обслуживающий прибор, а р - соответствующая вероятность для каждого из и вызовов. Обозначим a=E£, ; f k=P(if--k), к=0,1,... и при 0 $ г 4. 1

ф(г)= 2 к=0

<J = SJP ф(г )ьехр[ ( 1 -Г )ф’ (г )/ф(г )- i ] а sup h(r).

О^Г^1 0^1

Огмзтим. ,jto ранее рассматривались лнгаь случаи р’ ^ i и р’п = о (последний, ка:: нетрудно видзть, о помощью замены времени можно свести к случаю р'п ~ рп , что соответствует алгоритмам из класса лп ). Б случае р* ™ 1 било показано1', что если £

Un И

есть последовательность н.о.р.с.в. и

а < min (1/2 , Г0 exp ( fJ/f0 - 1) ), (15)

то централизование алгоритм вида

о = с/тах(1>- ) , где с = 1 - fjгп , (16)

/7 П ли

является -фгодичесгсим. Если 5KS в (15) заманить неравенство на противоположное, то в классе ‘А, (при р' s 1 ) но существует эргодических алгоритмов. A. A'.Bopûbkobum** получен следующий-результат : если ( Е ) есть стационарная метрически транзитивн. л

Г!

последовательность и выполнены условия (14) и (15), то алт ритм

»Fayollo G. ,0'lembo E. and LabotcuJ ] e J. , Stability and optimal control of tili:.- packet switching broadcast channel.// .Т.Агяос, Oompu t. Mach. -1 977. - V. 24. -P. 37[->-386. ..

** Боровков A.A.,Асимптотический анализ коммуникационных сетел. /7 ЛАЯ.-ISC7.-Т.296,N.S.-С.1033- ТОГ i8.

(16) является оргодическим.

В диссертации доказаны следующие утверждонии. Бо-пер-ных, получено естественное обобщение последнего-'результата: ТЕОРЕМА 3.3.1. Пусть (£ } - стационарная метрически транзитивная последовательность, удовлетноряадая условиям (И) и а < min( 1 ,d } , (18)'

и число гq е [0,1] таково, что d ~ h{ rQ ). Тогда алгоритм

А е tij иида •

р’п “ 1 -rQ , i>n -- ir0(r0)/max{1 ,wn) ; п '■? 0 (19)

является оргодическнм.

Кроме ТОГО, имевт i.ieCTO

TE0FFMA 3.3.2. Пусть { f,() ) - последовательность и.о.р.

с.в., и число г0 е С0.1] таково, что d = h{rQ). Если выполнено

(17), то существуют числа q с (0,1 ) н N > 0 , при которых алго-

ритм управления /1 с а вида 1 . 1

К = ,_го ’ Р/Гд "• ‘n+i = iV/(V£)-/?,iiV0)) ' п > О (20)

является оргодическим. При замене знака неравенства в (1Є) на противоположный в классе іі} не существует оргодических алгоритмов. .

В 5 3.4 рассматривается более широкий, чек ¡&1 , класс '

алгоритмов, учитывающих более полно индивидуальную историю вызовов, который,по аналогии с введенными Б.С.Цыбаковнм и В.А.Михайловым* алгоритмами дробления для систем с пуассоновским вхо -дом, мы будем называть классом алгоритмов конечного дробления. Более точно, при каждом г--0, і... вводятся классы ^1! алго-

( <:) I я)

ритмов я-дробления и з б іі децентрализованных алго. ¡тмов и -.дробления. іормальное описание классов достаточно гро-

МОЙЛКО к приводится в тексте Л'^сертации.

Обозначим через ’/■’ некоторую константу, приближенно ранную 0,48778 ( правило отыскания г содержится в текста диссертации). Имеет место

ТЕОРЕМА 3.4.3. Пусть {£ } - последовательность и.о.р.с.п., удовлетворяющих (11 ). Если а < Ё , то можно укапать .■? ^ О и

/ Я )

построить алгоритм А а Зі “ , инляпциися ургодичеслсим ДЛЯ 1п .

Отметим, что в работе Б.С.Цнбгшша и В.А.Михайлова* строится некоторый централизованный эргоднческнй (в известном смысле) алгоритм дробления для систем о пуассоновским входом. Тео-рема'3.4. является естественным аналогом этого результата в случае прстьольной последовотольноати и.о.р.с.{ £ ) с ко-

нечным средним. Более того, строится децентрализованный члго-ритм управления.

В 5 3.5 рассматриваются системи множественного доступа с (пн-1 )-конфликтом ( т.е. системы, із которых конфликт происходит, если на прибор поступает с,ловременно более т рноор.ов), являющиеся естественным обобщением рассмотренной ранее модели. При атом предполагается, что выполнятся условия ,

Е£ ■> < ,я > Р ( (і л Г* И + 1 ) > О . і 1

Доказываются естественные аналоги приьедешшх ршше утиградо-ний. .

В 55 3.6 полученные результаты п»і«;ііоситс:і на случай открытых ациклических си той обслуживания, обраооьгщны;-; система.'.»,

случайного ціні>;гос;ы. иного доступа.

V ¡¡.ыбмк’Ж 1->.0. ,Михаилов Р.Л., Случайный иП":го.т!;‘::мі.)Л їй '.т,>и ¡!п>:и-‘'ог!. Алі иріт.: д;и/С>.'|.;ты. // Пр- ;• ік.-ре.іа'п: ніг;. :

Т. ¡о,Л.-;.

Наконец, в § 6.7 приводятся теоремы устойчивости дл? некоторых иа рассматриваемых моделей. а также оценки скорости сходимости в теоремах эргодичности и устойчивости.

ООНОВШЕ ПУБЛЖЛПДОИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ .

I. Об условиях зргсипчности в многоканальных системах мас-

сового обслуживания с ожиданием.// Слб.матеад.ж.-1983.--Т.24,Ь'.6-

С.1Ш-175. .

Р.. Оценки скорости сходимости в теоремах рргодичыостл и непрерывности для .многоканальных систем обслуживания.// Теория ьероятн. и ее примем.~1934.-Т.29,N.3.-С.60O-6GG.

8. О существовании обновления в многоканальных системах с о:кидаь,к?м. /7 Труды IV Междунар. Вильнюсской конф. по теор.вь^о-.mi. и матем.статистике, тез.докладов.-!985.-Т.3.-С.254-255.

4. Об одиом способе оценивания скорости сходимости в теоремах эргодичности и непрерывности для многоканальных систем обслуживания,// ?. сб.. Предельные теоремы теории вероятностей. Труды Института математики СО АН CCCP.-lSS5.-T.i3.-C.126-137.

5. The rrethod of renovating events and its applications in

queuein-i theory.// Semi-Markov models. Theory and applications. Proceedin';^; of wi International Symposium on Semi-}.!arkov processes and their applications.-Plenum Press. New York-London.-1986.-P.237-350. '

6. On stationary majorauta /or stochastically recurrent equences.// Труды v Междунар. Вильнюсской конф. по тс-ор.веро-

ятн. и матем.статистике, тез’, докладов.-1989.-Т. 1 .-0.156.

7. Comparison of service disciplines in G/OI/m queues./'/ INHIA Research Keport, 1J. 1037, ■ 1989.

3. О некоторых свойствах открытых сетей обслуживания.// Пробл. передачи информация.-1989.-Т.25,П.3.-С.S0-97.

Я. Эргодичность сетей обслуживания.// Сиб.мптем.к. -199'. -Т.22.Н.4.-С.183-202. .

10.(Совместно С А.А Бороьковым). ErgoUic and stability theorems for the-stadiasticalJу recurrent sequences.// Proceedings of 16-th European Meeting of Statisticians.-Berlin,1S8C.-[-.18. •

II.(Совместно С A.А.Еоровковнм). Stochastically recursive sequences and their generalizations.// Siberian Advances in Mathematics.-1992.-У.?,::. 1 .-P. 16-81

12. The ergodic theorer for a c’asa of queueing systems.// i-й Всемирный конгресс общ-ва матем. статистики и теор. вероятностей нм Я.Бернулли, тез.докледов.-1986.-Т.2.-С.Г>45.