Системы массового обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

005055810

На правах рукописи УДК 519.21

Руденко Игорь Викторович

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С

НЕНАДЕЖНЫМИ И ВОССТАНАВЛИВАЮЩИМИСЯ ПРИБОРАМИ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации иа соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2012

2 9 НОЯ 2012

005055810

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Афанасьева Лариса Григорьевна.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ушаков Владимир Георгиевич, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова,

факультет вычислительной математики и кибернетики, профессор кафедры математической статистики;

доктор физико-математических наук,

профессор Хохлов Юрий Степанович,

Российский университет дружбы народов,

факультет физико-математических и естественных наук,

заведующий кафедрой теории вероятностей

и математической статистики.

Ведущая организация:

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики".

Защита диссертации состоится 21 декабря 2012 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 20 ноября 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из основных задач теории массового обслуживания является построение и изучение математических моделей, с достаточной точностью описывающих реальные системы. Во многих ситуациях для успешного применения полученных результатов необходимо при создании модели учесть возможность выхода прибора из строя. Именно с этим обстоятельством связан значительный интерес к исследованию систем с ненадежными приборами.

Системы, в которых приборы подвержены случайным отказам, изучаются уже давно. Одни из первых результатов для систем обслуживания с ненадежными приборами были получены в работах В. М. Золотарева 1 (рассматривалась система М\М\п с ожиданием, приборы которой отказывают и восстанавливаются по показательному закону) и Г. П. Башарина 2 (изучались системы с ограниченной очередью и ненадежным прибором с различными дисциплинами обслуживания). Кроме того, были исследованы системы тина А/|А/|1 со случайной, меняющейся по марковскому закону интенсивностью обслуживания 3, системы тина M\G\1, в которых последовательность периодов безотказной работы и периодов восстановления приборов представляет собой альтернирующий процесс восстановления 4.

В дальнейшем рассматривались более сложные модели: например, системы с нетерпеливыми требованиями, которые в случае занятости прибора могут с некоторой вероятностью покидать систему 5, системы типа M|G|1 с потерями в случае произвольного распределения времени восстановления и ресурса надежности б.

Несмотря на достаточно долгую историю развития данного направления, системы с ненадежными приборами часто являются предметом современных исследований, поскольку развитие технологий приводит к появлению новых содержательных математических задач. Например, значительный интерес проявляется к системам, в которых требования в различных ситуациях мо-

1 Золотарев В. М., "Распределение длины очереди и числа, действующих линий в системе типа Эрланга со случайными поломками и восстановлениями лшшйЛ Тр. Мат. ин-та. АН СССР, 71. 51-61 (1964).

2Башарин, Г. П., "Один прибор с конечной очередью и заявки нескольких видов". Теория вероятностей и её примсненгш, 10, 2, 282-296 (1965).

'Eisen, M. M., "Effects of slowdowns and failure on stochastic sen-ice systems". Technometrics, 11. 6, 922-927 (1963).

4Eisen, M. M., Leibowitz, M. "Some remarks ou server breakdown". Operut,. Res., 5, 3, 385-392 (1963).

5Rao S. Subba, "Queueing models with balking, reneging, and interruptions". Operat. Res., 13, 4, 596-608 (1965).

"Tomko, J., '"Однолинейная система массового обслуживания с учетом ненадежности прибора". Magyar tad- akad. Mat. hitato int. Kozl, 9, 1-2, 61-72 (1964).

гут уходить на орбиту и возвращаются на прибор для повторного обслуживания (retrial queues) '. Результаты, полученные при изучении таких систем, могут применяться в работе с мультимедийными приложениями.

Кроме того, системы с выходящими из строя приборами в том или ином виде появляются в транспортных задачах8. Системы обслуживания, изучаемые в диссертации, возникли при анализе некоторых транспортных моделей: автомобильной дороги с двумя последовательно расположенными светофорами и нерегулируемого перекрестка неравнозначных автомобильных дорог.

Первая модель описывается с помощью двухфазной системы обслуживания с ненадежными приборами и буфером конечного объема. Если все места в буфере заняты, поступление требований на второй прибор (и, соответственно, обслуживание требований на первом приборе) прекращается. Рассматриваются различные режимы функционирования приборов. Интерес представляет исследование процесса, задающего число требований на первом приборе. Предположение об ограниченности числа мест для ожидания перед вторым прибором приводит к тому, что задача сводится к изучению достаточно сложных, вообще говоря, немарковских процессов. Тем не менее, с помощью результатов, полученных для циклических систем обслуживания, функционирующих в случайной среде, 9 удается исследовать очередь на первой фазе.

Нерегулируемый перекресток неравнозначных дорог описывается с помощью одноканальной системы с ненадежным прибором типа A/|G|1. Изучается процесс, определяющий число автомобилей на второстепенной дороге. Используются специальные предположения о функционировании системы, свойственные рассматриваемой транспортной модели. Движение автомобилей по основной трассе задается с помощью двух различных бесконечнока-нальных моделей: стандартной системы типа M|G[co и модифицированной системы типа. G7|G|oo с идентичным временем обслуживания на периоде занятости. Модифицированные системы GI\G\oo позволяют дать более точное описание движения автомобилей, приближающихся к перекрестку. Учитывается тот факт, что при проезде опасного участка водители снижают скорость и следуют за идущим впереди автомобилем. Полученные результаты для нерегулируемых перекрестков имеют интересные приложения, напри-

TDjellab, N. v., "On the A/|G|1 Retrial Queue Subjected to Breakdowns". RAIRO Oper. Res., 36, 299-310 (2002). Sherman. N., Kharoufeh, J., Abramson, M., "An .V|G|1 Retrial Queue With Unreliable Server for Streaming Multimedia Applications". Probability in the Engineering and Informational Sciences, 23, 281-304 (2009).

8Helbing, D.; Jiang, R., Treiber, M., "Analytical investigation of oscillations in intersecting flows of pedestrian and vehicle traffic". Phys. Rev. E, 72, 046130 (2005). Caceres, F.C., Ferrari, P.A., Pechersky E.,"A slow-to-start traffic model related to a Ai|M|l queue" J. Stat. Mech.. P07008 (2007).

9 Афанасьева, Л. Г., "Системы массового обслуживания с циклическими управляющими процессами". Кибернетика и системный анализ, 41, 1, 54-68 (2005).

мер, позволяют решить вопрос о целесообразности установки светофора на таких перекрестках.

Вследствие популярности и активного развития теории массового обслуживания вообще и изучения систем с ненадежными приборами в частности, проблематика диссертации и подходы, предложенные в ней, представляются весьма актуальными.

Цель и задачи исследования.

Целью диссертации является получение новых результатов, касающихся систем обслуживания с ненадежными приборами. Среди задач исследования выделяются следующие.

— Изучение двухфазной системы обслуживания с ненадежными приборами и буфером конечного размера между фазами. Система представляет собой две последовательно соединенные одноканальные системы обслуживания. Рассматриваются три режима работы приборов на фазах: синхронные приборы, независимо функционирующие приборы и приборы, работающие в иротивофазе.

— Анализ операционных характеристик модифицированных систем типа М[С?|1|оо с ненадежным прибором. Особенность изучаемых систем состоит в специфических предположениях о времени обслуживания требований и способе прерывания обслуживания. Эти особенности характерны для некоторых транспортных моделей.

— Исследование систем типа (3/|С|С>о с идентичным временем обслуживания на периоде занятости.

Научная новизна.

Представленные в диссертации результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основные результаты диссертации следующие.

— Для двухфазной системы обслуживания с ненадежными приборами установлены условия эргодичности. В модели с синхронными приборами на фазах изучены условия высокой загрузки, приводится алгоритм нахождения параметров предельного распределения числа требований на первой фазе в случае, когда времена безотказной работы и времена восстановления приборов постоянны.

— Для систем обслуживания типа М|С7|1|оо с ненадежным прибором получены условия эргодичности, найдено предельное распределение числа требований в системе, приведены выражения для важных операционных характеристик. Кроме того, доказана предельная теорема в условиях высокой загрузки.

— Для модифицированных бесконечнокапальных систем обслуживания типа а\С\сс- с идентичным временем обслуживания на периоде занятости

найдены условия существования предельного распределения числа требований в системе, определен вид этого распределения, получены выражения для преобразования Лапласа-Стильтьеса функций распределения периода занятости и свободного периода.

— В качестве приложений приводятся применения полученных результатов к анализу функционирования транспортных систем: регулируемых и нерегулируемых перекрестков автомобильных дорог, автомобильных дорог с установленными светофорами.

Методика исследования.

В диссертации используются различные методы и результаты теории вероятностей и теории случайных процессов: метод вложенных цепей Маркова, теоремы о регенерирующих процессах 10, результаты, касающиеся циклических систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде и, предельные теоремы для случайных блужданий 12.

Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в теории очередей, теории случайных блужданий, а также использоваться при исследовании транспортных систем.

Апробация работы.

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова:

• Большом семинаре кафедры теории вероятностей под руководством действительного члена РАН. профессора А. Н. Ширяева (2012 г.),

• Спецсеминаре кафедры теории вероятностей под руководством д.ф.-м.н., профессора Л. Г. Афанасьевой (2009-2012 гг.. неоднократно).

Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Markov, Semi-Markov Processes and Related Fields" (Porto Carras Grand Resort, Greece, 2011), международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011" (г. Москва, 2011), международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2012" (г. Москва, 2012), международной конференции "Теория вероятностей и ее приложения", посвященной 100-летию со дня рождения Б. В. Гнеденко (г. Москва, 2012), XXX международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (г. Светлогорск, 2012).

10Smith, W. L.. "Regenerative stochastic processes". Prvc. Roy. Soc., A232, 6-31 (1955).

11 Афанасьева, Л. Г., "Системы массового обслуживания с циклическими управляющими процессами". Кибернетика и системный анализ, 41, 1, 54-68 (2005).

12Боровков. А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 368 с. (1972).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в шести работах, из которых три — в журналах из перечня ВАК. Список работ приведён в конце автореферата [1-6].

Структура и объём работы.

Диссертация изложена на 106 страницах и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 68 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор исследований, посвященных системам обслуживания с ненадежными приборами. Историческая справка подкрепляется соответствующими ссылками на научные работы. Кроме того, во введении объясняется актуальность темы и научная новизна предпринятого автором исследования.

В первой главе изучается двухфазная система массового обслуживания, состоящая из двух последовательно соединенных одноканальных систем 5\ и 52. В поступает пуассоновскнй поток требований Х(1) интенсивности Л и число мест для ожидания неограничено. Требования, обслуженные в 51, направляются в 52. Между 51 и 52 имеется буфер объема к. так что если все к мест заняты, то поступление требований в 52 (и, стало быть, обслуживание в 51) прекращается до тех пор, пока не появится свободное место в буфере.

Используются следующие предположения о функционировании приборов на фазах.

1. Приборы работают независимо друг от друга. Время безотказной работы каждого из приборов имеет распределение Эрланга с параметрами (71, ¿1), а время восстановления каждого из приборов — распределение Эрланга с параметрами (72,й2). Времена обслуживания требований в системах 51 и 52 независимы и имеют показательное распределение с параметром и.

2. Приборы работают синхронно (периоды безотказной работы и периоды восстановления приборов совпадают). Времена безотказной работы прибора {г^}^,! имеют функцию распределения Сх{х) с конечным средним ти а времена восстановления {т^}^! — функцию распределения С2(х) с конечным средним т2. Времена обслуживания требований в системе 51 имеют показательное распределение с параметром их, а в системе 52 — показательное распределение с параметром щ.

3. Приборы функционируют в противофазе (период безотказной работы первого прибора совпадает с периодом восстановления второго прибора и наоборот). Времена безотказной работы и восстановления приборов имеют функцию распределения С{х) с конечным средним т. Времена обслуживания требований на первой фазе имеют показательное распределение с параметром на второй фазе — показательное распределение с параметром

Рассматриваются процессы А,(Ь) (г = 1,2), задающие число требований в системе Sj в момент Задача заключается в нахождении условий эргодичности процесса Л^), который в силу сделанных предположений не является марковским.

Приводятся формулировки результатов для циклических систем обслуживания, функционирующих в случайной среде 13.

Сначала исследуется система с независимо функционирующими приборами на фазах. Вводится вспомогательная система Бо- Она представляет собой второй прибор, на который поступает дважды стохастический пуас-соновский поток требований интенсивности ие\{{) (здесь и далее е,-(£) = 1 (г = 1,2), если в момент времени Ь в основной системе г—ый прибор находится в рабочем состоянии, = 0 в противном случае). Число требований в системе 5г в момент t задается процессом Лг(£). С помощью результатов для циклических систем, функционирующих в случайной среде, устанавливаются условия эргодичности для процесса А^). Теорема 2. Положим

lim Р {Лг(<) = j} > 0 для всех j €Z+.

t—>OG

Рассматривается экспоненциальный случай, когда времена безотказной работы и времена восстановления приборов имеют показательное распределение с параметрами 71 и 72 соответственно. Выписывается система уравнений для стационарных вероятностей процесса {^(i), ßi(i), e2(i)}. Анализ

^'Афанасьева, Л. Г., "Системы массового обслуживания с циклическими управляющими процессами". Кибернетика и системный анализ, 41, 1, 54-68 (2005).

где

Pk = lim P{Ao(t) = j,ei(t) = l,e2(t) = 1}, П = lim P{Ä2(t) = j, ei(t) = 1, e2(t) = 0}.

Г —>00

^ p Если p\ > 1, то Ai(t) -> oo. Если p\ < 1, то существует ß

*-v •»

этой системы позволяет получить асимптотическую форму коэффициента загрузки системы р\ при к —оо.

Теорема 3. При к оо коэффициент загрузки р\(к) имеет acu.unmom.uxy:

„1{к) _ (1 + £+ <71 + I? +

где

1/72 I к {Ъ + Ъ)к2

і , с = 1 + ■

а =

/3 =

(71+72)2'

_2(7i + ъ)ъг2 + 272^2(1 - z2)_

272^-2(1 - sa) + ((272 + ъ> + 2i/2)(l - z2)2'

_2(7i + 72)72^1 - 2721/(1 - ді)_

-2(71 + 72)72-*! + ((272 + Ъ> + 2V3)(1 - 21)2'

_ (7i + 7a)2 + (272 + 37i)i/ + 2г/2

2г/'2 + (272 + 7і)г/ _

± V(7i + 7s)4 + 2(71 + 7г)2(272 + 37і)г/ + 4(37x2 + 47x72 + 7І)^2 + 87i^3

2г/2 + (272 + 7і)г/

Далее рассматривается двухфазная система с синхронно работающими приборами. На основании теорем о циклических системах в случайной среде получены условия эргодичности для процесса Ai(i). Теорема 4. Обозначим

где 5 = щ/г/2. Если р > 1. то Ai(t) Р ) оо. Если р < 1. то для всех j Є Z+

t-tcc

существуют lim P{.4i(i) = j} = pj и являет,ся распределением ве-

i—* ос

роят.ностей.

Для изучаемой системы формулируются условия высокой загрузки на основании подхода, используемого в монографии А. А. Боровкова14. Рассматри-

11 Боровков. А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания* М.: Наука, 368 с.

(1972).

вается семейство систем обслуживания Sf с пуассоновским входящим потоком интенсивности Ас-, определяемой соотношением

Таким образом, коэффициент загрузки системы р£ — 1 — £ и ps f 1 при е 0. Поскольку при е > 0 имеем р£ < 1, в соответствии с теоремой 4 существует

lim P{AUt) < х} = фе(г),

t-ГЗо

где Ф£(х) — функция распределения, а А\ (t) — число требований в системе Sf в момент t.

Исследуется асимптотическое поведение функции Ф£(х) при 5 —> 0. Теорема 5. Пусть для некоторого 5 > О

Е (t\"]S)2+6 < оо, г = 1,2,

а интенсивность ХТ задается соотношением (1). Тогда,

—

НтФЛех) = 1 — е где а и <г2 — некоторые константы.

Доказательство опирается на теорему А. А. Боровкова и результаты, полученные в работе Л. Г. Афанасьевой и Е. Е. Баштовой 15. Коэффициенты а и а2 выражаются через характеристики сложных вспомогательных систем и их определение представляет, вообще говоря, существенные трудности. Приводится алгоритм нахождения параметров а и <т2 в случае, когда времена безотказной работы и времена восстановления приборов постоянны.

Далее изучается двухфазная система обслуживания с приборами, работающими в противофазе. Для этой системы установлены условия эргодичности.

Теорема 7. Пусть £ — случайная ве.шчина, задающая число требований, которые могут быть обслужены в сист.е.ме Si за один период безотказной работы. Обозначим р — Щ-.

Если р> I, то Ai(t) оо. Если р < 1, то существуют, lim P{Ai(t) =

f-koo . t-+oо

15Афанасьева Л. Г., Баштова Е. Е. "Предельные теоремы для систем обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским потоком (условия высокой загрузки)". Пробл. передачи информ,. 44, 4, 72-91 (2003).

j} —Vv причем {pj}Jio задает распределение вероятностей. Приводится алгоритм нахождения математического ожидания случайной величины Ç.

Во второй главе исследуются системы обслуживания тина M|G|l|oo с ненадежными приборами.

Кратко приводятся результаты, полученные в одной из важнейших работ, посвященных одноканальным системам с ненадежными приборами 1В.

Рассматривается однока-нальная система обслуживания типа М|£7|1|оо с ненадежным прибором. В систему поступает иуассоновский поток требований интенсивности А2. Длительности периодов безотказной работы прибора {т]0^}^ — независимые случайные величины с функцией распределения U[x) с конечным средним и, длительности периодов восстановления прибора {rj1*}^! — независимые случайные величины с функцией распределения G(x) с конечным средним д.

Изучаются четыре модели, отличающиеся друг от друга предположениями о времени обслуживания требований и способе прерывания обслуживания.

1. Модель М\. Времена обслуживания требований — независимые случайные величины с функцией распределения F{x). При поломке прибора обслуживание требования немедленно прекращается, требование покидает систему в момент восстановления прибора (остаточное время обслуживания после его возобновления равно нулю).

2. Модель Д/г. Имеет место эффект "проскакивания", то есть время обслуживания требования, поступившего в свободную систему при работающем приборе, равно нулю. В остальных случаях времена обслуживания требований — независимые случайные величины с функцией распределения F(x). Предположение о прерванном обслуживании то же, что в модели М\.

3. Модель М3. Имеет место эффект "проскакивания". В случае прерывания обслуживания поломкой прибора требование, находящееся на приборе, незамедлительно покидает систему.

4. Модель Л/4. Обслуживание требований стандартное. Прерванное поломкой прибора обслуживание продолжается после восстановления прибора, причем время обслуживания после возобновления не зависит от исходного времени обслуживания и имеет то же распределение.

"Gaver. D. P., Jr., "A Waiting Line with Interrupted Service, Including Priorities". 1. Roy. Statist. Soc.. 24, 73-90 (1962).

В главе 3 показано, что перечисленные особенности систем важны при описании функционирования транспортных моделей (например, регулируемых и нерегулируемых перекрестков автомобильных дорог). Кроме того, эти предположения отличают рассматриваемые системы от ранее изученных.

Обсуждаются различные подходы к определению функций II(х) и 6(1). Отмечается, что при анализе транспортных систем полезна интерпретация периода восстановления прибора как периода занятости в модифицированной бесконечноканальной системе типа а\С\оо с идентичным временем обслуживания требований на периоде занятости.

Далее устанавливаются условия эргодичности для изучаемых моделей. Будем говорить, что ту — т^ + т-1) представляет собой у-й 'цикл. Чтобы описать процесс обслуживания, введем последовательность {Yj(t), I > 0}°^, состоящую из независимых одинаково распределенных случайных процессов, имеющих неубывающие непрерывные слева траектории с целочисленными значениями и единичными скачками. Процесс |у}(4), I < определяет

правило обслуживания при условии, что в течение всего периода [0, в системе были требования. Таким образом, моменты окончаний обслуживания на цикле — это моменты скачков процесса Введем случайный процесс = У,(£) • Х(г<г(°>) 11 положим

У (4) = + Уя(0+1(« - ЗД,

3=1

где п{€) — число полных циклов до момента t, т.е. гг(£) = тах{/г > 0 : Тк <

Пусть qi{t) — число требований в модели М{ в момент t (г = 1,4). Приводятся необходимые и достаточные условия эргодичности процесса д^). Теорема 8. Процесс 54(¿) является эргодическим тогда и только тогда, когда

Х2Ет} < (2)

Показано, что для модели М\ процесс !}(<) представляет собой простой процесс восстановления с условием У}(0) = 1. Имеем

Следствие 4. Прогресс является эргодичестш тогда и только тогда, когда

ос

Х2(и + д) < У ЯфсВД, (3)

о

где H(t) — функция восстановления для простого процесса восстановления Yj(t).

Устанавливается, что для моделей А/г п Мз условие (3) является достаточным для эргодичности процессов <72(í) и q:i{t) соответственно.

Далее считается, что время безотказной работы прибора имеет покат

зательное распределение с параметром Ль т.е. U(x) = 1 — e-Al3'. Пусть

00

f(s) — f e~sxdF(x). На основании следствия 4 получаем о

Следствие 7. При U(x) = 1 — e-AlX процесс qi(t) является эргодическгш. тогда и только тогда, когда

А2(1 + Aiff) < (4)

Также заключаем, что условие (4) является достаточным для эргодичности процессов q%(£) и q%{t).

Отмечается, что для модели М4 при показательном распределении времени безотказной работы прибора необходимые и достаточные условия эргодичности другие.

Следствие 9. При U(x) = 1 — e~XlX процесс qi(t) является эргодическим тогда и только тогда, когда

А2(1 + Л15)<Г=Ж)- (5)

Для моделей Мг и М2 находится предельное распределение числа требований в системе при t 00. Пусть q(t) — число требований в системе в момент t для модели М2. Будем считать, что время безотказной работы прибора имеет показательное распределение с параметром Ai (U(x) = 1 — e-AlX), время восстановления прибора имеет функцию распределения G(x) и преобразование Лапласа-Стилтьеса g(s). Входящий в систему поток — пуассоновский с параметром Аг- Вводится производящая функция P{z,t) = Ez^1, (|z| < 1).

Теорема 9. Если выполнено условие эргодичности (4), то

ям-аа^о-д^У'. «ч

где

Ро = (1 - АГ'(1))(1 - К\1) + К'0(I))"1, (7)

а функции K(z) u K0(z) определяются соотношениями

K(z) = /3(Л2(1 - г)), К0(г) = Д,(А2(1 - г)), (8)

ß(s) = /(Аг + в) + т—¡— (1 - /(Ai + в)) 9(s), (9)

Ai + S

ЯЛЛ 1 ~ Q ■ аЛ2 g(A2) - g(g) о/ч nnx

ua = AI(AI + A2)_1.

Из доказательства теоремы 9 немедленно следуют два важных результата.

Следствие 11. Для модели Мі, не учитывающей эффект "простаивания", справедлива теорема 9 с заменой Кц(г) на K(z).

Следствие 12. Условие (4) является необходимым и достаточным для эргодичности процесса, задающего число требований в моделях М\, Mi и М3.

Для математического ожидания числа требований в системе имеем

ос

Следствие 13. Если выполнено условие эргодичности (4) и f x2dG(x) <

о

оо, то для модели М% существует lim m(t) = lim Eq(t) = m < oo и

І-+0о t-*oо

_ /2^(1)4-^(1) K"W0(1)

°v 2{l-K'(l)) + 2(1 - K'{1)T-

Далее изучаются условия высокой загрузки в соответствии с подходом, использованным в монографии А. А. Боровкова ь. Предполагается, что интенсивность Аг входящего в систему пуассоновского потока зависит от параметра £ таким образом, что

А| = (1-е)5Аь

где 5 = ((1 + Aig)(l + /(Ai)))-1. Процессы и их характеристики в системе с таким входящим потоком помечаются буквой є, при этом qt — сл. в. с производящей функцией P£(z), определенной в теореме 9. Доказывается, что для систем Mi, М2 и Мз справедлива

эс

Теорема 10. f x3dG(x) < оо, то при є —» О

о

P{eq,: > і} exp {-2ха~2}

17Боровков. А. А., Вероятностные процессы в теории массового обс.іуживания. М.: Наука, 368 с. (1972).

а'

е1П£ Т'

где

а2 = ¿2(2Л1/'(Л1)(1 + Х19) + (1 - /(А1))(/(0)Л? + 2Л15 + 2)).

В заключительной части главы 2 для модели находятся важные операционные характеристики, такие как вероятность "проскакивашш" требования и вероятность прерывания обслуживания.

В третьей главе приводятся приложения результатов глав 1 и 2 к исследованию транспортных систем.

Изучается регулируемый перекресток однополосных автомобильных дорог с установленным на нем светофором. Считается, что в одном из направлений движется пуассоновский поток автомобилей, а времена переключения светофора постоянны. Время, необходимое автомобилю на проезд перекрестка, имеет произвольное распределение. Рассматриваются три модели, аналогичные моделям Л/1, Мо и Мз, исследованным в главе 2. Объясняется, что эти модели описывают различные типы поведения водителей на дороге. Формулируются условия эргодичности для процессов qi.it), задающих число автомобилей перед светофором в момент £ в модели M¡ (г = 1,2,3). Для модели Мз приводится алгоритм нахождения предельного распределения вложенной цепи Маркова — числа автомобилей перед светофором в момент, когда в п-й раз загорается зеленый свет, — при оо.

Исследуется однополосная автомобильная дорога с двумя последовательно расположенными светофорами. Показано, что транспортная модель может быть описана с помощью двухфазной системы, рассмотренной в главе 1. Изучаются две ситуации: 1) светофоры работают синхронно, а времена переключения светофора постоянны, 2) светофоры функционируют независимо, а времена переключения случайны и имеют показательное распределение. Формулируются условия эргодичности. Объясняется, что модель с синхронными светофорами может оставаться эргодичной при более высоких значениях интенсивности входного потока, чем модель с независимо работающими светофорами.

Изучается функционирование перекрестков, образованных пересечением главной (основной) и второстепенной дорог. Рассматриваются пересечения однополосных и двухполосных дорог. Для модели с однополосными дорогами считается, что автомобиль со второстепенной дороги может повернуть направо, если на основной трассе на расстоянии J от пересечения дорог нет

автомобилей. Для модели с с двухполосными дорогами считается, что автомобиль с второстепенной дороги может повернуть направо, если свободен участок J\ на ближней к перекрестку полосе основной трассы. Для поворота налево необходимо, чтобы были свободны интервалы «Д и Jo на ближней и дальней полосах главной дороги соответственно. Аналогичная задача для однополосных дорог в простейшей постановке рассматривалась Дж. Танне-ром 18. В работе Р. Гидеона и Р. Пайка 19 эта задача обобщена на случай двустороннего движения по основной трассе.

Интерес представляет исследование процесса образования очереди на второстепенной дороге. Показано, что данные модели могут интерпретироваться как системы типа M|G|l|oo с ненадежным прибором. Для получения основных характеристик рассматриваемых систем используются результаты, полученные в главе 2. Новизна результатов заключается в том, что задачу удается обобщить на случай более сложных потоков, движущихся по основной трассе, а также учесть некоторые особенности поведения водителей на дороге.

Приводится полное описание модели пересечения однополосных, дорог. Движение автомобилей по основной трассе описывается с помощью 1) бес-конечноканальной системы типа M|G|oo, 2) бесконечноканальной системы типа G/|G|oo с идентичным временем обслуживания требований на периоде занятости. Для применения результатов главы 2 необходимо найти распределение периода занятости этих систем. В первом случае (система А/|G|oo) используются результаты, полученные в работе W. Stadje 20. Системы типа G/|G|oo с идентичным временем обслуживания на периоде занятости исследуются в диссертации.

В качестве входящего потока рассматривается общий процесс восстановления N(t), т.е. интервалы между поступлениями требований независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения

эо

А(х) и конечным средним а = f xdA(x). Время до поступления первого

о

требования имеет функцию распределения Л^а;). Если требование поступает в свободную систему, его время обслуживания — случайная величина с функцией распределения В(х) и оно начинает период занятости. Все другие требования, приходящие на данном периоде занятости, имеют то же время обслуживания, что и первое, так что на каждом периоде занятости время обслуживания постоянно. На разных периодах занятости времена об-

18Tamier, J. С., 'The Delay to Pedestrians Crossing a Road". Biometrika, 38, 383-392 (1951).

19Gideon, R.; Pyke, R., "Markov Renewal Modelling of Poisson Traffic at Intersections Having Separate Turn Lanes". Semi-Markov Modela arid Applications, 285-310 (1999).

20Stadje, W., "The Busy Period of the Queueing System A/|G|oc". J. Appt.Prob3, 22, 657-704 (1985).

служивания — независимые случайные величины с функцией распределения В(х). Такие системы будем называть модифицированными системами

типа G/|G|oo. Пусть І7")1*}. г ~ последовательность периодов занятости,

| rj0) | — последовательность свободных периодов. Сумму Tj — т]1^ + rj0'

будем называть j—ым циклом, при этом цикл начинается в момент поступления требования в свободную систему.

Сначала исследуется система типа GI\D\oo, в которой время обслуживания постоянно и равно Ь. Пусть Q(t) — число требований в системе в момент t. Для общего процесса восстановления N(t) положим р*(£,т) = P{N(t +

т) - N(t) = к}. Если Лі(:г) = а-1 f A(y)dy, где А(х) = 1 - Л(дг), то N{t)

о

- однородный процесс восстановления и в таком случае pk(t,r) = pjt(r). Справедлива

Теорема 11. Существуют.

lim Р{Q(t) — fc} = Pk(b).

Кроме того,

Ь

ETj = а (Л(Ь))-1, Erf] == (Л(Ь))-1 J A(x)dx,

о

gb(s) = Ee~STi" = - J e~sxdA(x) j e~*A{b),

ub(s) = Ee~ST' = - J e~"dA(x)^j J e~sxdA(x).

Доказывается аналогичная теорема для систем GI\G\oo с идентичным временем обслуживания на периоде занятости. Теорема 12. Справедливы соотношения

9(8)=Ее-Г=] Є7Л{Х) d.B(x), { l-fe~<

■<Ш(у)

о

о

Ді)

f e~sydA(y) ■ f е~*У<іА{у)

u(a) = Ee~ST> = [ -2-ї-dB(x).

о 1

Математические ожидания Etj и Etсуществуют т,огда и тюлько тогда, когда

00

р = У сШ(х)<оо. (11)

о

Если (11) выполняется, то

ос

g = Erj1) = I (Äix))-11 Ä(y)dy dB(x), о 0

ос

d = Etj = aj (Л(х))-1 dB(x).

о

Кроме того, для модифицированных систем GI\G\oo найдены условия существования предельного распределения числа требований в системе. Теорема 13. Если р = оо, то

lim Р{Q{t) = fc} = О, А; = 0,1,2,...

о

Еыи р < оо и выполняется одно из условий

1. В(х) — функция распределения решетчатого распределения,

2. В(х) абсолютно непрерывна и функция (А{х))~1В'(х) непосредственно интегрируема по Риману на [0, оо),

то существуют положительные пределы

00

nk = lim P{Q(t) = к} = р-1 [ (Л(х))-1 Pk(x)dB(x). t-toо j

Для изучаемых моделей перекрестка однополосных дорог на основании результатов главы 2 формулируются условия эргодичности для процесса

задающего число автомобилей на второстепенной дороге, устанавливается предельное распределение процесса находятся операционные характеристики системы, исследуются условия высокой загрузки.

Приводится описание модели перекрестка, неравнозначных двухполосных дорог. Движение по каждой из полос главной дороги описывается с помощью системы (?/|С|ос с идентичным временем обслуживания на периоде занятости. Для того, чтобы исследовать процесс д(?). задающий число автомобилей перед перекрестком, поворачивающих налево, необходимо найти распределение периода, когда хотя бы одна из двух модифицированных систем (7/|(3|оо занята. Предлагается способ решения этой задачи. Для модели перекрестка устанавливаются условия эргодичности, определяется предельное распределение процесса q(t) при £ —> эо.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Афанасьевой Ларисе Григорьевне за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор высоко ценит содействие, оказанное работе сотрудниками кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Афанасьева, Л. Г., Руденко, И. В., "Системы обслуживания GI\G\oo и их приложения к анализу транспортных моделей". Теория вероятностей и ее применения, 57:3, 427-452 (2012).

Афанасьева Л. Г. поставила задачу и предложила методы решения. Все результаты принадлежат Руденко И. В.

[2] Руденко, И. В., "Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами". Вести. Моск. ун-та, Сер. 1. Матем. Механ., 4, 8-14 (2012).

[3] Руденко, И. В., "Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами в условиях высокой загрузки". Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1. Матем. Механ., 6, 47-50 (2012).

[4] Rudenko, I. V., "Stochastic Analysis of Traffic at Non-regulated Intersections". XXX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models and VI International Workshop "Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics Related to Modeling of Information Systems Book of Abstracts, 66-67. Institute of Informatics Problems, RAS, Moscow, 2012.

[5] Rudenko, I. V., "G/|Gjoc Queues and their Applications to the Analysis of Traffic Models". International Conference "Probability Theory and its Applications"in Commemoration of the Centennial of B.V. Gnedenko, Abstracts, 233. URSS, Moscow, 2012.

[6] Rudenko, I. V., "Two-Phase Queuing System in a Random Environment". International Conference "Markov and Semi-Markov Processes and Related Fields 2011 Conference Abstracts, 21/09/2011. Aristotel University of Thessaloniki, Porto Carras Grand Resort, 2011.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж I Св экз. Заказ №

Введение

Глава 1. Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами

1.1 Введение.

1.2 Система с независимо функционирующими приборами на фазах.

1.2.1 Описание модели.

1.2.2 Стохастическая ограниченность для систем массового обслуживания в случайной среде.

1.2.3 Эргодическая теорема для процесса А\(і).

1.2.4 Экспоненциальный случай

1.3 Система с синхронно функционирующими приборами

1.3.1 Описание модели.

1.3.2 Эргодическая теорема.

1.3.3 Предельная теорема в условиях высокой загрузки

1.3.4 Алгоритм вычисления а1 при постоянных т^ и т^

1.4 Система с приборами, функционирующими в противофазе

Глава 2. Система М|С|1 с ненадежными приборами

2.1 Введение.

2.2 Описание моделей.

2.3 Различные подходы к определению функций II(х) и Є(х)

2.3.1 Модели для оценки функции и(х).

2.3.2 Модели для оценки функции С(,7;).

2.4 Эргоднческие теоремы для систем типа М|С?|1|оо с ненадежным прибором

2.5 Предельное распределение числа требований в системе М|С|1|оо с ненадежным прибором (£ —» оо).

2.6 Высокая загрузка.

2.7 Операционные характеристики системы.

Диссертация подготовлена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории массового обслуживания (теории очередей).

Диссертация посвящена исследованию систем массового обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами, в которых функционирование обслуживающего устройства может быть прервано поломкой, после чего в течение некоторого времени (периода восстановления) происходит его ремонт.

Основное внимание уделяется отысканию условий эргодичности систем с ненадежными приборами, а также нахождению их операционных характеристик в стационарном режиме.

Определение условий эргодичности процессов, описывающих функционирование систем, является одной из первых задач, которые приходится решать при анализе систем обслуживания. Эти условия представляют собой соотношения между параметрами модели, при которых не образуется бесконечно больших очередей. Доказательства соответствующих теорем приводят к анализу достаточно сложных случайных процессов, вообще говоря, не марковских. Если же удается построить цепь Маркова, описывающую функционирование системы, то доказательства предельных теорем основываются на результатах для марковских процессов. Одними из первых работ в данном направлении являются [19] (Kendall, 1959) и [46] (Foster, 1953). В статьях найдены достаточные условия существования стационарного распределения у цепей Маркова, связанных с очередью в системе. Монография [14] (Боровков, 1999) посвящена анализу свойств эргодичности и устойчивости широкого класса случайных процессов (цепей Маркова, стохастически рекурсивных последовательностей и рекурсивных цепей и др.). Анализ систем обслуживания часто сводится к изучению марковских процессов с помощью введения дополнительной переменной. Этот метод использован, например, в [26] (Севастьянов, 1957) для исследования систем с отказами при произвольном распределении времени обслуживания, а также в [21] (Коваленко, 1961) для систем с ограничениями. Другой метод доказательства эргодических теорем состоит в построении процессов, стохастически монотонных по времени. В этом случае из монотонности следует существование предела последовательности функции распределения. Условия, при которых этот предел задает распределение вероятностей, могут быть получены с помощью метода, предложенного в [57] (Loynes, 1962), (см., например, [1] (Афанасьева, 1965), [8] (Афанасьева, Мартынов, 1969)).

Системы обслуживания с ненадежными приборами изучаются уже давно. В статье [17] (Золотарев, 1964) исследована система М\М\п с ожиданием, приборы которой отказывают и восстанавливаются по показательному закону, причем интенсивность отказа одинакова в свободном и занятом состоянии. Система М\М\п с профилактикой и ремонтом обслуживающих приборов рассмотрена в [27] (Султанова, 1968) (все определяющие процесс случайные величины обладают экспопепцпальпым распределением). В работе [10] (Башарпн, 1965) изучены системы с ограниченной очередью п ненадежным прибором. Входящий поток представляет собой сумму конечного числа простейших потоков, каждый из которых имеет собственную интенсивность. Рассмотрены три различные дисциплины обслуживания: прямой, обратный и случайный выбор требований. Система М|М|1 со случайной, меняющейся по марковскому закону интенсивностью обслуживания исследована в [451 (Eisen, 1963). Обобщение для системы M\G\1 получено в [16] (Гнедепко, Коваленко, результат 1966 года). Система M|G|1, в которой последовательность периодов безотказной работы и периодов восстановления прибора представляет собой альтернирующий процесс восстановления, исследована в [44] (Eisen, Leibowitz, 1963). Одной из важнейших работ по системам с ненадежными приборами является статья [47] (Gaver, 1962), где для системы M|G|1 с ненадежным прибором рассматривались четыре различных типа прерывания обслуживания. Краткое описание результатов этой статьи будет приведено в главе 2.

В дальнейшем рассматривались более сложные системы. Например, н |60] (Rao S. Subba, 1965) исследована система с нетерпеливыми требованиями. Предполагается, что в случае занятости прибора требования могут с некоторой вероятностью покидать систему. Отказы происходят по показательному закону с разной интенсивностью в свободном и занятом состоянии, а время восстановления имеет произвольное распределение. В [66] (Tomko, 1964) рассматривалась система M\G\i с потерями в случае произвольного распределения времени восстановления п ресурса надежности (скорость исчерпания ресурса надежности зависит от того, занят прибор обслуживанием требования или ист).

Системы с ненадежными приборами часто являются предметом современных исследований. В качестве примера приведем статьи [43] (Djellab. 2002), [61] (Sherman, Kliaroiifeh, Abramson, 2009), где рассматривались системы с уходом требований на орбиту и повторным обслуживанием (retrial queues). Результаты могут применяться в работе с мультимедийными приложениями.

Кроме того, системы с выходящими из строя приборами в том или ином виде часто появляются при анализе транспортных систем. Примером могут послужить работы [48] (Gideon, Руке, 1999), [5, 6] (Афанасьева, Булинская, 2009, 2010), [51[ (Helbing, Jiang, Treiber, 2005). [40] (Caceres. Ferrari, Pechersky, 2007).

Важное место в диссертации занимают результаты, полученные для бесконечнокаиальиых систем тина GI\G\oo с идентичным временем обслуживания требований на периоде занятости. В заключительной главе, посвященной транспортным моделям, с помощью этих систем описывается функционирование главной дороги при изучении нерегулируемых перекрестков.

Первые результаты для систем обслуживания с бесконечным числом приборов были получены еще в середине прошлого века в работах [35] (Bartlett, 1949), [55] (Kendall, 1952), [36] (Benes, 1965), [42] (Cramer, Leadbetter, 1967). Дальнейшие исследования касались систем более общего вида, не изученных ранее характеристик, статистического анализа, а также предельных теорем в условиях высокой загрузки (см., например, [38] (Brillinger, 1974), [63] (Stadje, 1985), [39] (Brown, 1970)). Интерес к бесконечнокапальпым системам сохраняется до сих пор. Это связано как с нетрпвпальностыо и многообразием возникающих здесь математических проблем, так п с широким кругом приложении в самых различных областях. Например, при анализе коммуникационных, компьютерных [36] (Benes, 1965), [31] (Цыбаков, 2005) п транспортных систем [48] (Gideon, Руке, 1999), [6| (Афанасьева, Булипская, 2010), ветвящихся процессов с иммиграцией [58] (Pakes, Kaplan, 1974), некоторых биологических систем [55] (Kendall, 1952), финансовых моделей [33] (Albrechcr et al., 2011), надежности больших систем [7] (Афанасьева, Булипская, 2010) и др. В последнее время получен ряд результатов, касающихся распределения вероятностей периода занятости. Для системы M\GI\oo это распределение найдено в [63] (Stadje, 1985). Анализ времени пребывания выше заданного уровня процесса, определяющего число требований в М|М|оо, проведен в работах [50] (Guillemin, Simonian, 1995), [59[ (Preater, 1997). В [31] (Цыбаков, 2005) изучается система М|М|оо, в которой скорость обслуживания зависит от состояния системы. Находится распределение вероятностей периода занятости порядка N (число требований, находящихся в системе, не меньше N). Модель возникла при анализе систем со множеством каналов связи, имеющих различные скорости передач. Идеи и подходы, развитые в данной работе, могут оказаться полезными при решении ряда прикладных задач, например, при исследовании транспортных систем.

Перейдем к краткому описанию рассмотренных в диссертации задач и полученных результатов. Содержание работы

1. В первой главе изучается двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами с конечным буфером размера к между фазами. Каждая фаза представляет собой одноканальпую систему обслуживания. Рассматриваются различные варианты функционирования приборов на фазах: 1) приборы работают независимо друг от друга, времена безотказной работы и времена восстановления приборов распределены но закону Эрланга с различными параметрами, 2) приборы работают синхронно, времена безотказной работы и восстановления приборов имеют произвольное распределение, 3) приборы работают » противофазе, времена безотказной работы и времена восстановления приборов имеют одинаковое произвольное распределение. Остальные предположения, определяющие функционирование системы, простейшие.

Для всех трех вариантов на основании теорем из [2] (Афанасьева, 2005) о циклических системах обслуживания в случайной среде найдены достаточные условия эргодичности для процесса, описывающего число требований па первой фазе. Для независимо функционирующих приборов при показательно распределенных временах безотказной работы и восстановления приборов, получена асимптотика коэффициента загрузки при к —> оо. Для системы с синхронно функционирующими приборами исследовано поведение системы в условиях высокой загрузки и приведен алгоритм нахождения параметров предельного распределения при постоянных временах безотказной работы и восстановления приборов.

2. Вторая глава посвящена анализу систем типа М|С?|1 с ненадежным прибором. Времена безотказной работы п времена восстановления прибора имеют произвольное распределение. Рассматриваются четыре модели, различающиеся способом обслуживания требований и типом прерывания обслуживания при поломке прибора. В моделях М\ и М4 обслуживание требований стандартное, в моделях М2 и Мц предполагается, что имеет место эффект "проскакивания", т.е. требование, поступающее в пустую систему при работающем приборе, имеет пулевое время обслуживания. В моделях М\ и М2 предполагается, что при поломке прибора обслуживание требования прерывается, и оно незамедлительно покидает систему после восстановления прибора. В модели М3 прерванное обслуживание не продолжается и требование покидает систему в момент поломки прибора. В модели М4 в случае поломки прибора обслуживаемое требование вновь поступает па прибор после восстановления с новым временем обслуживания.

Данные предположения отличают модели М\ — М3 от ранее изученных. Модель М4 при показательном распределении времени безотказной работы прибора рассматривалась в [47] (Gaver, 19G2) н в диссертации приводится для сравнения с остальными моделями.

Для моделей Mi, М2, М3 определяются достаточные (а для модели Ml еще и необходимые) условия эргодичности.

В предположении, что время безотказной работы прибора имеет показательное распределение, для всех моделей найдены необходимые и достаточные условия эргодичности. Для М\ и Мч получено выражение для производящей функции предельного распределения числа требований в системе при t —>■ 00, находится выражение для среднего числа требований в системе в стационарном режиме. Условия высокой загрузки исследованы для моделей Mi, М2 и М3. Для модели М2 получены такие характеристики, как вероятность "проскакпванпя" и вероятность прерывания обслуживания в стационарном режиме.

3. В третьей главе приводятся приложения результатов предыдущих глав к исследованию транспортных систем.

Обсуждается возможность описания однополосной дороги с двумя последовательно установленными светофорами с помощью двухфазной системы, изученной в главе 1. Производится сравнение коэффициентов загрузки в моделях с синхронными приборами и с независимо функционирующими приборами.

Кроме того, приведены приложения результатов главы 2 к анализу регулируемых и нерегулируемых перекрестков автомобильных дорог. Найдены условия эргодичности и различные операционные характеристики систем, описывающих перекрестки.

Для нерегулируемых перекрестков неравнозначных дорог движение автомобилей по главной дороге описывается с помощью системы вида GI\G\oo с идентичным временем обслуживания на периоде занятости. Для таких систем получены условия существования предельного распределения, преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения периода занятости, а также установлен вид предельного распределения при t —> 00.

Результаты диссертации опубликованы в работах [9], [23], [24].

Обозначения и сокращения. Если не оговорено иначе, за исходное вероятностное пространство принято Т, Р), и все случайные элементы предполагаются заданными на этом пространстве. Для случаев, рассмотренных в диссертации, доказательство существования единого вероятностного пространства для нескольких случайных элементов опирается на теорему Колмогорова (см. [15] (Булипский, Ширяев, 2003)) и опускается в тексте диссертации. Функции распределения случайных величин полагаются непрерывными слева, таким образом для случайной величины £ её функция распределения равна Рс(х) = Р(£ < х).

Сумма по пустому множеству индексов полагается равной нулю, а произведение — единице.

В работе используются следующие общепринятые обозначения: — положить по определению. п.и. — почти наверное (по мере Р исходного вероятностного пространства, если не оговорено иначе).

- - сходимость по вероятное™ (по мере Р исходного вероятностного пространства, если не оговорено иначе). л — равенство распределении.

В, = (—оо,+оо) — множество действительных чисел.

Я+ = [0, +оо) — множество неотрицательных действительных чисел.

2 — {0, ±1. ±2,.} — множество целых чисел. {0,1,2,.} — множество неотрицательных целых чисел.

5}.} — символ Кронексра. сг(Л) — наименьшая сигма-алгебра, порождённая системой множеств Л. сг(£а,о: € X) — наименьшая сигма-алгебра, относительно которой измеримы все случайные элементы а Е X. В этом случае говорят, что сигма-алгебра порождена случайными элементами о; е X. сг(-^(5),0 ^ 5 ^ ¿) — сигма-алгебра, порождённая случайным процессом {Х(з),0 ^ я ^ ¿}.

В(Е) — сигма-алгебра борелевских множеств пространства Е.

Ха(х) — индикатор множества А, то есть

1, если х € А;

О, если х ^ А. х\ — целая часть числа х.

Благодарность. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Афанасьевой Ларисе Григорьевне за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор высоко ценит содействие и внимание, оказанное работе сотрудниками кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

1. Афанасьева, Л. Г., "О существовании предельного распределения в системах массового обслуживания с ограниченным временем пребывания". Теория вероятностей и её применения, 10, 3, 570-578 (1965).

2. Афанасьева, Л. Г., "Системы массового обслуживания с циклическими управляющими процессами". Кибернетика и системный анализ, 41, 1, 54-68 (2005).

3. Афанасьева Л. Г., Баштова Е. Е. "Предельные теоремы для систем обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским потоком (условия высокой загрузки)". Пробл. передачи ииформ., 44, 4, 72-91 (2008).

4. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами. М.: Изд-во МГУ (1980).

5. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., "Некоторые задачи для потоков взаимодействующих частиц". Современные проблемы математики и механики, IV, 55-67 (2009).

6. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., "Математические модели транспортных систем, основанные на теории очередей". Труды МФТИ, 4, 2, 6-21 (2010).

7. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., "Надежность систем с регенерирующим потоком отказов элементов". Автомат, и Телемех., 7, 15-28 (2010).

8. Афанасьева, Л. Г., Мартынов, А. В., "Об эргодпческпх свойствах систем массового обслуживания с ограничением". Теория вероятностей и её применения, 14, 1, 105-114 (1969).

9. Афанасьева, Л.Г., Руденко, И.В., "Системы обслуживания С?/|С?|оо и их приложения к анализу транспортных моделей". Теория вероятностей и её применения, 57, 3, 427-452 (2012).

10. Башарин, Г. П., "Один прибор с конечной очередью и заявки нескольких видов". Теория вероятностей и её применения, 10, 2, 282-296 (1965).

11. Боровков, А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 368 с. (1972)

12. Боровков, А. А., Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 381 с. (1980)

13. Боровков, А. А., Теория вероятностей. М.: Наука, 432 с. (1986)

14. Боровков, А. А., Эргодичность и устойчивость случайных процессов. Едиториал УРСС, 440 с. (1999)

15. Булинский, А. В., Ширяев, А. Н., Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ; Лаборатория Базовых Знаний, 400 с. (2003)

16. Гнеденко, Б. В., Коваленко, И. Н., Введение в теорию массового обслуживания. М.: Издательство ЛКИ, 400 с. (2011)

17. Золотарев В.М., "Распределение длины очереди и числа действующих линий в системе типа Эрланга со случайными поломками и восстановлениями линий.". Тр. Мат. ин-та. АН СССР, 71, 51-61 (1964).

18. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н., Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 256 с. (1982)

19. Кендалл, Д. Г., "Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей Маркова". Математика, 3, 6, 97-111 (1959).

20. Климов, Г. П., Стохастические системы обслуо/сивания. М.: Наука, 244 с. (1965)

21. Коваленко, И. Н., "Некоторые задачи массовго обслуживания с ограничением". Теория вероятностей и её применения, б, 2, 222-228 (1961).

22. Кокс, Д., Смит, В., Теория восстановления. Изд-во "Советское радио", 299 с. (1967)

23. Руденко, И. В., "Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами". Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 4, 8-14 (2012).

24. Руденко, И. В., "Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами в условиях высокой загрузки". Вести. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Механ., 6, 47-50 (2012).

25. Саатп, Т. Л., Элементы теории массового обслуживания и ее прило-э/сения. Либроком, 520 с. (2010)

26. Севастьянов, Б. А., "Эргодическая теорема для марковских процессов и её приложение к телефонным линиям с отказами". Теория вероятностей и её применения, 2, 1, 106-116 (1957).

27. Султанова, Д. X., "Некоторые асимптотические задачи для системы обслуживания с профилактикой и восстановлением". УзССР Фаилар Акад. ахбороти. Физ.-магг. фанлари сер., Изв. АН УзССР., 1, 20-25 (1968).

28. Феллер, В., Введение в теорию вероятностей и её прилоэюения, т. 1. М.: Книжный Дом Либроком, 528 с. (2010)

29. Феллер, В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, т. 2. М.: Книжный Дом Либроком, 752 с. (2010)

30. Хинчин, А. Я., Работы по математической теории массового обслу-эюивания. М.: Физматгиз (1963).

31. Цыбаков, Б.С., "Периоды занятости в системе с неоднородными обслуживающими приборами или каналами". Пробл. передачи информ., 41, 105-122 (2005).

32. Afanasyeva, L. G., Bulinskaya, E. V., "Asymptotic Analysis of Traffic Lights Performance under Heavy Traffic Assumption", Methodology and Computing in Applied Probability, pp. 1-16, doi:10.1007/sll009-012-9291-x (2012).

33. Albrecher, H., Borst, S. C., Boxma, O. J., Resing, J., "Ruin Excursions, the G|G|oo Queue and Tax Payments in Renewal Risk Models", J. Appl. Prob. Spec., 48A, 3-14 (2011).

34. Asmussen, S., Applied probability and queues. J. Wiley and Sons, New York (1987).

35. Bartlett, M. S., "Some Evolutionary Stochastic Processes". J. Roy. Stat. Soc., B, 11, 211-229 (1949).

36. Benes, V. E., Mathematical Theory of Connecting Networks and Telephone Traffic. Academic Press, New York (1965).

37. Blackwell, D., "A renewal theorem". Duke Math. J., 15, 145-150 (1948).

38. Brillinger, D. R., "Cross-Spectral Analysis of Processes with Stationary Increments Including the Stationary G|G|oo Queue". Ann. Probab., 5, 2, 815-827 (1974).

39. Brown, M., "An M\G\oo estimation problem". Ann. Math. Statist., 41, 651654 (1970).

40. Caceres, F.C., Ferrari, P.A., Pechersky E. "A slow-to-start traffic model related to a M\M\1 queue". J. Stat. Mech., P07008 (2007).

41. Cinlar, E., Introduction to stochastic processes. Prentis-Hall, Englewood Cliff, New Jersey (1975).

42. Cramer, H., Leadbetter, M. R., Stationary and Related Stochastic Processes. Wiley, New York (1967).

43. Djellab, N. V., "On the M\G\1 Retrial Queue Subjected to Breakdowns". RAIRO Oper. Res., 36, 299-310 (2002).

44. Eisen, M. M., "Effects of slowdowns and failure on stochastic service systems". Technometrics, 11, 6, 922-927 (1963).

45. Eisen, M. M., Leibowitz, M. "Some remarks on server breakdown". Operut. Res., 5, 3, 385-392 (1963).

46. Foster, F. G., "On the stochastic matrices associated with certain queuing processes". Ann. Math, Statist., 24, 2, 355-360 (1953).

47. Gaver, D. P., Jr., "A Waiting Line with Interrupted Service, Including Priorities". J. Roy. Statist. Soc., 24, 73-90 (1962).

48. Gideon, R., Руке, R., "Markov Renewal Modelling of Poisson Traffic at Intersections Having Separate Turn Lanes". Semi-Markov Models and Applications, 285-310 (1999).

49. Grandell, J., Doubly Stochastic Poisson Processes. Springer-Verlag (1976).

50. Guillemin, F., Simonian, A., "Transient Characteristics of an M\M\oo Systems". Advances in Appl. Probab., 27, 862-888 (1995).

51. Helbing, D., Jiang, R., Treiber, M., "Analytical investigation of oscillations in intersecting flows of pedestrian and vehicle traffic". Phys. Rev. E, 72, 046130 (2005).

52. Iglehart, D. L., "Limitimg Diffusion Approximation for the Many Server Queue and the Repairment Problem". J. Appl. Prob., 2, 2, 429-441 (1965).

53. Iglehart, D. L., Whitt, W., "Multiple Channel Queues in Heavy Traffic, I". Advances Appl. Prob., 2, 2, 150-177 (1970).

54. Karlin, S., McGregor, J., "The classification of birth and death processes". Trans. Amer. Math. Soc., 86, 2, 366-400 (1957).

55. Kendall, D. G., "Les processus Stochastic de croissance en biologie". Ann. Inst. H. Pomcare, 13, 43-108 (1952).

56. Lindvall, Т., "The probabilistic proof of Blackwell's renewal theorem". Ann. Probab., 5, 3, 482-485 (1977).ш)

57. Loynes, R. M., "The stability of a queue with non-independent inter-arrival and service times". Proc. Cambr. Phil. Soc., 58, 3, 494-520 (1962).

58. Pakes, A. G., Kaplan, N. L., "Oil the Subcritical Bellman-Harris Process with Immigration". J. Appl. Prob., 11, 652-668 (1974).

59. Preater, J., "M|M|oo Transience Revisited". J. Appl, Prob., 34, 1061-1067 (1997).

60. Rao S. Subba, "Queueing models with balking, reneging, and interruptions". Operat. Res., 13, 4, 596-608 (1965).

61. Sherman, N., Kharoufeh, J., Abramson. M., "An M|G|1 Retrial Queue With Unreliable Server for Streaming Multimedia Applications". Probability in the Engineering and Informational Sciences, 23, 281-304 (2009).

62. Smith, W. L., "Regenerative stochastic processes". Proc. Roy. Soc., A 232, 6-31 (1955).

63. Stadje, W., "The Busy Period of the Queueing System M|G|oo". J. Appl.Prob., 3, 22, 697-704 (1985).

64. Takacs, L., Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes, NY: John Wiley and Sons, 262 p. (1967).

65. Tanner, J. C., "The Delay to Pedestrians Crossing a Road". Biometrika, 38, 383-392 (1951).

66. Tomko, J., "Однолинейная система массового обслуживания с учетом ненадежности прибора". Magyar tud- akad. Mat. kutato int. Kozl., 9, 1-2, 61-72 (1964).

67. Thorisson, H., "The coupling of regenerative processes". Adv. Appl Probability, 15, 531 -561 (1983).

68. Whitt, W., "Heavy Traffic Limit Theorems for Queues: A Survey". Lecture Notes in Economics and Math. Systems, 98, 307-350 (1974).