Асимптотический анализ дискретных и непрерывных характеристик модели M!G!1!∞ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

УЛИТИНА Елена Ивановна

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ М| 11 оо

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математическихнаук

ПЕТРОЗАВОДСК - 2004

Работа выполнена на кафедре общей математики Сочинского государственного Университета туризма и курортного дела.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук А.Р.Симонян

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Морозов кандидат физико-математических наук В.В. Корников

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится 22 июня 2004 г. в 1415 часов на заседании Диссертационного Совета К 002.142.01 при Институте прикладных математических исследований КарНЦ РАН по адресу: 185610, Республика Карелия, г. Петрозаводск, ул. Пушкинская, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Карельского научного центра РАН.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

ЛО

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.Т. Вдовицын

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическая теория массового обслуживания оформилась усилиями А.Я. Хинчина, Б.В. Гнеденко, Г.П. Климова. Их работы привели к систематизации результатов, относящихся к одноканальным моделям.

Исследования Г.П. Климова, Л. Такача, Дж. Коэна, Л. Клейнрока, Н.К. Джейсоула, Э.А. Даниеляна привели к построению теории представлений для одноканальных систем с ожиданием.

В становлении асимптотических методов в теории массового-обслуживания важна роль Ю.В. Прохорова, А.А. Боровкова, Т.А. Азларова. Основополагающее значение отводится работе Ю.В. Прохорова "Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей", Теор. вер. и ее прим., 1965, №1.

Современное состояние асимптотического анализа одноканальных: моделей характеризуется работами Э.А. Даниеляна, Т.А. Азларова, A.B. Печинкина и их учеников.

В моделях оптимальный анализ характеристик зависит от

удачного выбора начальных уравнений и методов исследования, что часто приводит к пересмотру и дополнению результатов в модели При

этом возникают новые постановки. В то же время, общие закономерности поведения характеристик в модели зависят от загрузки

»> Модель М1в111«. В однокакальиую систему массового обслуживания с ожиданием поступает пуассоновский поток вызовов с параметром а > 0. Длительности обслуживания вызовов независимы в совокупности, не зависят от процесса поступления и имеют

где Д =\tdB(t).

о

функцию распределения (ФР) в(х), в(+- о) = 0.

Случаи Pj<l, А=1, P\>\ дифференцируют поведение процессов при неограниченном росте времени.

Особый случай, известный в литературе под названием "критической загрузки", возникает, когда рх "близко" к единице.

Основными характеристиками модели M|G| 11 оо являются: - виртуальное время ожидания вызова в момент t (время, которое ждал бы вызов, поступая в систему в момент времени t);

Я. - период занятости (промежуток времени, начинающийся с поступления в свободную систему вызова и завершающийся первым после этого момента освобождением системы от вызовов); I(t) - суммарное время простоя прибора до момента t.

Дискретными аналогами этих характеристик являются: wH - время ожидания п -го вызова;

в - случайное число обслуженных за период занятости вызовов; • я - суммарное время простоя прибора до поступления п-го вызова.

В работах Э.А. Даниеляна, Г.А Попова и их учеников изучены основные характеристики моделей типа mIgIiIco (включая приоритетные модели) при различных загрузках в предположении

/?(*)=]e-"dB(x) = 1-5-/9,+0-^(1+0,(1)),

0)

где а>0,1<у£2.

В диссертационной работе дается асимптотический анализ основных характеристик без условия (1) и при фиксированных загрузках, а

также анализ виртуального времени ожидания в условиях (1) и критической загрузки.

Тема исследования актуальна для дальнейшего развития моделирования структурных характеристик и организации оптимального функционирования информационн-вычислительных систем и

автоматизированных систем управления.

Объект и цель исследования. Исследуется модель Цель работы: при фиксированных (р( <1, ¿1) и критической ^1) загрузке исследовать асимптотическое поведение основных характеристик системы.

Методика исследования. Использованы:

- прием введения дополнительных событий;

- анализ уравнений в терминах случайных величин, которые связывают времена ожидания и простоя с заранее заданными случайными величинами входящего потока и обслуживания вызовов;

- асимптотические методы математического анализа.

Научная новизна.

- для виртуальных времен ожидания получены одномерные и многомерные предельные теоремы в условиях критической загрузки (загрузка> близка к единице не только снизу, но и сверху);

- полностью описан класс функций распределения для непрерывных и дискретных характеристик системы при фиксированных загрузках;

- получены скорости сходимости дискретных характеристик к стационарным характеристикам, а также скорости сходимости непрерывных характеристик к стационарным;

- изучены свойства траекторий процессов, связанных с временем ожидания и суммарным временем простоя вызовов.

Практическая ценность. Результаты • помогут разработчикам ИВС и АСУ на стадии проектирования реальных систем для оптимальной организации процессов функционирования. Вид результатов обеспечивает их практическую реализацию на ЭВМ.

Результаты могут быть использованы в решении различных задач моделирования в экономике, в социально-курортном сервисе и туризме, в производственных процессах, в транспорте и т.д.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной, математике (Йошкар-Ола, 2001; Ростов-на-Дону, 2002; Петрозаводск, 2003; Сочи, 2003).

Публикации. По диссертационной работе опубликованы работы [1] -

[5].

Структура и объем. Диссертационная работа изложена на 107 страницах. Состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 40 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования, определена цель работы, даны постановки задач и обзор литературы.

Глава 1. Полностью описан класс предельных теорем для последовательностей актуальных времён ожидания м/п, для суммарных времён простоя Получены скорости сходимости дискретных

характеристик к стационарным характеристикам.

Изучены свойства траекторий процессов, связанных с временем ожидания и суммарным временем простоя вызовов. В этой главе случайная последовательность интерпретируется как регенерирующий процесс, и

выявляется её связь с числом обслуженных за период занятости вызовов.

Глава 2. Полностью описан класс предельных теорем для виртуальных времён ожидания для суммарных времён простоя Получены

скорости сходимости непрерывных характеристик к стационарным.

Изучены свойства траекторий процессов, связанных с временем ожидания и суммарным временем простоя вызовов. В этой главе случайный процесс интерпретируется как регенерирующий процесс, и

выявляется его связь с периодом занятости.

-Р(н-я+1<х)5 0. (3)

где »♦'„(.у) - решение системы уравнений 00 = 1гах(0, (У)+),

к = 1,л -1, при начальном условии ^(у) = у.

Первое неравенство (3) справедливо для любого у>0 и заданного

х<у при п>-

1-А '

Обозначим ст2 =Ш?-(МХ]У и пусть ф(х) = -^=-

-оо 5 д: £ +со- стандартный нормальный закон с нулевым математическим ожиданием и с единичной дисперсией.

Теорема 3. Пусть МХ* < -к». Тогда существуют равномерные по х пределы

Иш Р

1ш1 Р\

и-мчх>

Ги. Чд-1) 1

^_а

<х

т^/п

■<х

= Ф(х) при р, > 1,

= ф(х) при р1< 1.

Предположим, что ФР £(*), х € Л принадлежит области нормального притяжения устойчивого закона.

Пусть 0<р, <+=о,р, и МХ\ = +оо. Предположим существование пределов

1нп .х" • (1 - К(х))=Ср, 1ип ха-К(-х)=СЯ, (4)

Х-4-Н0 Х-*-Н30

где 1<ег<2, С>О, />£О, д&О, /»+? = 1.

Условия (4) означают, что ФР АГ(л) принадлежит области нормального притяжения устойчивого закона с показателем а б (1,2) и с асимметрией

Теорема 4. Пусть МХх = и выполнены условия (4), тогда существуют, равномерные по х, пределы

где Fa ß(x)- устойчивый закон с показателем а, асимметрией ß, логарифмом характеристической функции ФР Fa ß, равным

Пусть W*(x)= lim P(w(t)<x\ j:>0, w(i)=>w* при и с

вероятностью I Г = |im/(r)=-ürfS(«), где S(t) = b(t)-t,(tZ0), а b(t)-суммарное время обслуживания поступающих в модель вызовов за [0, г].

При W(+oo) = l СВ w', где <х\ х>0, называют

стационарным временем ожидания, а W'{x)~ стационарной ФР времени

Имеет место следующий аналог теоремы 1.

Следующий результат относится к оценке скорости сходимости и{/) к w' при t —> +оо и Р) < 1. Рассмотрим ограничение

Теорема 8. Пусть МХ\ = и выполнены условия (4). Тогда существуют равномерные по х пределы

МЫa-OJ

lim Л

»-»■МО

I Wit <х

= Fa.ß(x) ПРИ Pi<l>

где (х)- устойчивый закон с показателем а, асимметрией ß, логарифмом характеристической функции, определяемым формулой (5). Здесь

Теперь рассмотрим модель М|Gl 11 °о в условиях критической загрузки < Pi ->1, которые создаются фиксацией B(t) и изменением параметра а. Пусть р, —> 1, f->+co таким образом, что существует

\xmB{plBVt = r, 0<г<°о, (7)

»-ко р-+О

где ^ = +1) = ¡1 — В = а-а.

Теорема 9. Пусть выполнены условия (1), (7) и Pj 1.

а) Если р —> 0 и 0<8 < —, то равномерно по х е [0,+оо) существует Г-1

lim p{p/B)'w(t)<x}=Qt(x),

I " Ь <00

где Qt(x) имеет преобразование Лапласа - Стилтъеса (i ¿0):

]e-"dQt (x) = - 5) e^'dN{y)}, о о

а для N(y)

б) Если р->0 и 8 = ^,то равномерно по х е[0,+со) существует

I Р

где &(х) имеет преобразование Лапласа - Стилтьеса (я £ 0):

о о

а для №()>)

-J- приЛ tl —— При р, i 1

где A(s) (Д(0) = 0) - решение уравнения xr+x=s, а V(s) (V(0)

решение уравнения хг -х=5.

Пусть для произвольной последовательности 0 < < <... <

Предположим, что существуют пределы Ак = lim тк

Теорема 10. Пусть рх 1, <,-»+«-и имеет место представление (1), тогда при любом п ^ 1 существует предел *

1ш1 Л/ехр|-У<р/В)^-1) *,*{',) А-Л I «*1

р-*О

Более того

а)если <+«,то

.....^ч+^.Л.-.Л-г)»

б)если Ая_1 = +оо и г,., - В'(р/В)^"1 ->т (0<*<+со),то

где

69

АО«)"' - VI при а 11

УС*-)"1 +?(*„),4.....а„_2) прир, 41.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук Симоняну А.Р. за внимание к данной работе.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях.

1. Улитина Е.И. Об одной предельной теореме в модели М|0|1|оо при критической загрузке. - Обозрение прикл. и промышл. матем., 2002, т.9, в. 1,с.257-258.

2. Улитина Е.И. Многомерная предельная теорема в модели М|0|1|оо в условиях критической загрузки. - Обозрение прикл. и промышл. матем., 2003, т.10.в. 1, с. 236-237.

3. Симонян А.Р., Улитина Е.И. Представления на языке медленно меняющихся функций в модели в условиях критической загрузки. -Обозрение прикл. и промышл. матем., 2003, т. 10, в. 3, с. 745-746.

4. Улитина Е.И. Асимптотический анализ времени ожидания в модели М|(х|1|<х>.- Обозрение прикл. и промышл. матем., 2004, т.11, в.1. с.83-88.

5. Симонян А.Р., Улитина Е.И. Об одной теореме сходимости к устойчивому закону в модели М|С|1|оо. - Успехи математических наук, т.59, в.3(357), с. 168-

169.

Подписано в печать 14.05.04. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл. псч. л. 0,7. Тираж 100. Заказ3085.

ГУП"Сочинское полиграфпредприятие". 354000, г. Сочи, ул. Советская, 42

1-96 75

ВВЕДЕНИЕ.

Г Л А В А 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ M|G|l|oo ПРИ ФИКСИРОВАННЫХ ЗАГРУЗКАХ

§ 1.1. Основное уравнение.

§ 1.2. Асимптотический анализ.

§ 1.3. Информация об устойчивых законах.

§ 1.4. Сходимость к устойчивым законам.

§ 1.5. Свойства траекторий.

§ 1.6. Представления для времен ожидания.

Г Л А В А 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ M|G|l|oo ПРИ ФИКСИРОВАННЫХ ЗАГРУЗКАХ

§ 2.1. Основное уравнение.

§ 2.2. Асимптотический анализ.

§ 2.3. Сходимость к устойчивым законам.

§ 2.4. Усиленный закон больших чисел.

§ 2.5. Представления для времен ожидания.

§ 2.6. Основные формулы для стационарных времен ожидания.

Г Л А В А 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В МОДЕЛИ M|G|1 |оо В УСЛОВИЯХ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКИ

§3.1. Одномерные и многомерные интегральные представления для виртуальных времён ожидания.

§3.2. Предельные теоремы для времён ожидания при критической загрузке.

§3.3. Представления на языке медленно меняющихся функций.

Модели массового обслуживания образуют специальный класс математических моделей, описывающих поведение огромного множества разнообразных сложных систем. Их теоретический анализ необходим на этапе проектирования таких сложных систем, как информационные сети, в частности, интернет-сети, автоматизированные вычислительные системы, системы снабжения, транспортные комплексы, медицинское обслуживание и т.д.

Модели массового обслуживания возникают всюду, где мы имеем дело с клиентами, требованиями, вызовами, которые выстраиваются в очередь с целью приобретения услуг (получения обслуживания) в пунктах, узлах, их предоставляющих. Обслуживанием очередей занимаются так называемые приборы, осуществляющие последовательную "массовую" обработку (обслуживание) вызовов при учете влияния сопутствующих случайных факторов.

Известный специалист по вычислительным системам JI. Клейнрок определяет модели массового обслуживания (очередей) как широкий класс систем, в которых клиенты конкурируют друг с другом за доступ к ограниченным ресурсам. По его мнению " применение теории очередей (теории массового обслуживания) для анализа распределения ресурсов и решения задач о потоках данных в вычислительных системах является, по-видимому, единственным, доступным специалистам по вычислительной технике методом, позволяющим понять сложные связи в таких системах" [14].

По своей сути, практические задачи, приводящие к моделям массового обслуживания, являются оптимизационными. Особенно отчетливо эта особенность проявилась на этапе первичного развития теории, на который большое влияние оказал известный датский ученый А.К. Эрланг (1878-1929) -многолетний сотрудник Копенгагенской телефонной компании.

Функционирование телефонной станции того времени привело к возникновению следующей практической задачи. На телефонную станцию с конечным числом свободных линий (приборов) приходят клиенты (поступают вызовы). Если в момент прихода клиента находится свободная линия, то происходит подключение и начинается разговор (происходит обслуживание вызова). В противном случае клиенту приходится ждать освобождения линий (вызов становится в очередь и ждет освобождения прибора).

В связи с конкуренцией с другими телефонными станциями, слишком долгое ожидание начала обслуживания может заставить клиента обратиться к услугам другой телефонной станции.

С одной стороны, телефонная компания заинтересована в уменьшении числа телефонных линий, требующих на свое приобретение, содержание и эксплуатацию определенных затрат. С другой стороны, уменьшение числа телефонных линий может привести к потенциальным потерям клиентов, что отражается на доходах телефонной компании.

Возникает задача расчета оптимального числа телефонных линий на станции на основе статистически выверенного критерия потерь.

С рассматриваемой точки зрения теория массового обслуживания включается в широкое направление исследований - исследование операций.

При удовлетворении критериям потерь, при которых клиент предпочитает остаться в очереди и ждать начала обслуживания, мы имеем дело с моделями массового обслуживания с ожиданием.

Далее, учет влияния случайных факторов при изучении практических задач, приводящих к моделям массового обслуживания, обуславливает применение методов теории вероятностей для решения этих задач, относит модели массового обслуживания к стохастическим моделям - специальному разделу теории вероятностей.

Исключительная роль теории вероятностей при анализе моделей массового обслуживания, в сравнении с некоторыми другими разделами исследования операций (теория игр, теория информации и кодирования и т.д.), вызвана многими обстоятельствами.

В моделях массового обслуживания прежде, чем дойти до возможности непосредственного решения оптимизационной задачи, следует пройти несколько этапов.

Оптимизационные задачи здесь, как правило, формируются в условиях стационарного режима работы модели. Они заключаются в минимизации так называемых критериев потерь либо в широких классах дисциплин обслуживания (правил выбора вызовов из очереди на обслуживание), либо по типу обслуживания (вида функции распределения времен обслуживания) и т.д.

Сами критерии потерь записываются в терминах основных характеристик модели (времен ожидания, длин очередей, простоев приборов и т.д.).

Таким образом, решение оптимизационной задачи в моделях массового обслуживания предполагает предварительное получение, по крайней мере:

1. Условий существования стационарных характеристик;

2. Расчетных формул для нестационарных характеристик;

3. Расчетных формул для стационарных характеристик из формул для соответствующих нестационарных характеристик при неограниченном росте времени (дискретного или непрерывного).

Теория массового обслуживания за короткий промежуток времени из области исследований инженерных задач телефонной связи превратилась в широкое инженерно-математическое направление с применениями в разных сферах человеческой деятельности. Вплоть до 50-х годов под единым названием «теория массового обслуживания» публиковались много статей, изучающих по сути дела задачи массового обслуживания, но разнообразные по терминологии и сферам применения.

Возникла необходимость четко осознать предмет теории массового обслуживания, создать её терминологию, освободиться от многочисленных дублирований исследований в дальнейшем.

С выходом в свет монографий Б.В.Гнеденко и И.Н.Коваленко [6], Дж.Коэна [36] окончательно оформилась теория массового обслуживания на математическую теорию и инженерную теорию телетрафика.

У многих исследователей возникло естественное желание ограничить предмет математической теории массового обслуживания сравнительно простыми по структуре, но тем не менее достаточно общими моделями, для которых возможно подобрать единый математический аппарат их исследования. Примерами такого подхода служат работы А.А.Боровкова [1,2].

В теории массового обслуживания намечается тенденция выделения математической теории путем подбора сравнительно несложных одноканальных моделей (моделей с одним обслуживающим прибором), поддающихся исследованию известными математическими методами [7, 13,

14].

На практике часто предполагается, что входящий поток (поток поступающих в модель вызовов) является пуассоновским. Предположение о пуассоновости входящего потока не является сильным ограничением, поскольку, как показали интересные исследования Г.А.Ососкова [18] и Б.Григелиониса [8], наложение многих «малых» потоков при достаточно широких условиях приводит к суммарному пуассоновскому.

Предположение о пуассоновости входящих потоков в структурно сложных моделях массового обслуживания (приоритетные модели, динамические модели и т.д.) и сейчас, как правило, является необходимым атрибутом формализации, не вызывая протеста в среде инженеров, применяющих полученные результаты. Более того, результаты по приоритетным и динамическим моделям при таком предположении характеризуют современный уровень, выше которого затруднено понимание результатов инженерами-проектировщиками реальных систем.

Предположение пуассоновости, из-за свойства отсутствия последействия показательного закона, который служит распределением промежутка между соседними моментами поступлений вызовов в пуассоновском потоке, позволяет разработать специфические методы анализа.

В то же время использование предположения об экспоненциальном распределении длительностей обслуживания вызовов менее оправдано. Случаи экспоненциального распределения обслуживания на практике редки.

Слишком ограничительные требования одновременной показательной распределенности времен обслуживания и пуассоновости входящих потоков кардинально сужают возможность применения результатов к реальным системам. К настоящему времени данный этап развития завершен, исчерпал себя. Интерес математиков к таким задачам невелик.

Математическая теория одноканальных моделей с пуассоновским входящим потоком оформилась усилиями А.Я. Хинчина [34], Б.В. Гнеденко и И.Н. Коваленко [6], Г.П. Климова [15]. Их работы привели к систематизации результатов, относящихся к одноканальным моделям, и посвящены получению точных, неасимптотических результатов на языке преобразования Лапласа-Стилтьеса, которые во многих случаях громоздки на вид.

Объективная закономерность развития теории массового обслуживания заключается в применении асимптотического анализа. Следует отметить, что использование асимптотических методов в теории одноканальных систем оправдано: во-первых, наличием большого числа точных результатов, на базе которых асимптотический анализ приводит к качественным результатам; во-вторых, тем, что часто предельные теоремы раскрывают структурные особенности моделей; в-третьих, асимптотические результаты менее громоздкие и более удобные для применения.

В становлении асимптотических методов в теории массового обслуживания важна роль Ю.В. Прохорова [22], А.А. Боровкова [2], Э.А. Даниеляна [11].

Основополагающую роль в становлении асимптотических методов теории массового обслуживания сыграла работа Ю.В. Прохорова [22]. Дадим описание исследуемой модели.

Пусть в одноканальную систему обслуживания с ожиданием вызовы поступают в случайные моменты времени {t„}n^,, где 0<<t2 <. Время обслуживания п - того вызова (п > 1) обозначим vn и пусть un=tn- tnx, t0 = 0.

Последовательности {ми} и {vw} неотрицательных случайных величин (СВ) определены на одном и том же вероятностном пространстве (Q,3,P). Последовательности {ип} и {vn} независимы (друг от друга) и образуют последовательности независимых одинаково распределенных (НОР) СВ с функциями распределения (ФР) A(t)= \-e~at и B{t) на R+ соответственно.

Далее, предполагаем 0 < а, = — = Мщ < +оо' и 0 < /?, = Mvl < +оо, где М а знак математического ожидания, а также В{+ 0) = 0, что означает, что вероятность «мгновенного» обслуживания равна нулю.

По классификации Кендалла-Башарина данный класс систем обозначается M|G|l|oo.

Первый символ характеризует структуру входящего потока вызовов. Второй указывает ФР времени обслуживания. Третий означает число обслуживающих приборов. Четвертый символ говорит о том, что число мест для ожидания неограниченно.

Дисциплина обслуживания — правило выбора вызовов из очереди на обслуживание.

Дисциплина обслуживания консервативна, если при ее использовании внутри модели работа не создается и не исчезает, а лишь привносится в модель извне поступлением вызовов.

Под работой понимается длительность обслуживания.

Возникновение новой работы внутри модели возможно, например, при ненадежном восстанавливаемом приборе. Это - время, затрачиваемое на восстановление прибора.

Исчезновение работы внутри модели возможно, например, при прерывании обслуживания вызова с удалением его из модели. Остаток невыполненного обслуживания соответствует величине исчезнувшей в модели работы.

Примером консервативной дисциплины является дисциплина обслуживания в порядке поступления - FIFO (first in - first out).

В моделях MlGllloo оптимальный анализ характеристик зависит от удачного выбора начальных уравнений и методов исследования, что часто приводит к пересмотру и дополнению результатов в модели M|G|l|oo. При этом возникают новые постановки. В то же время, общие закономерности поведения характеристик в модели МIG111 оо зависят от загрузки рх - afix, где оо px = \tdB{t). о

Случаи рх <1, рх =1, рх >1 дифференцируют поведение процессов при неограниченном росте времени.

Особый случай, известный в литературе под названием "критической загрузки", возникает, когда рх "близко" к единице (рх -> 1).

Основными характеристиками модели Ml G| 11 со являются: - виртуальное время ожидания вызова в момент t (время, которое ждал бы вызов, поступая в систему в момент времени t); к - период занятости (промежуток времени, начинающийся с поступления в свободную систему вызова и завершающийся первым после этого момента освобождением системы от вызовов); l(t) - суммарное время простоя прибора до момента t.

Дискретными аналогами этих характеристик являются: wn - время ожидания п -го вызова; в - случайное число обслуженных за период занятости вызовов; /„-суммарное время простоя прибора до поступления п -го вызова.

Важными характеристиками системы являются также £п,п> 1 и C(t\t> 0: п>\ - длина очереди в момент поступления п-го вызова; £{t\t> 0 - длина очереди в момент времени t.

В работах Э.А. Даниеляна, Г.А. Попова [9, 10, И, 20, 21, 25] и их учеников изучены основные характеристики моделей типа MlGllI оо (включая приоритетные модели) при различных загрузках в предположении

00 p{s)= \e'sxdB{x) = 1 - 5. А + а • ? (1 + оа{ 1)), (В. 1) о где а>0,1</<2.

В диссертационной работе дается асимптотический анализ основных дискретных и непрерывных характеристик M|G|i|qo без условия (В.1) и при фиксированных загрузках, а также анализ виртуального времени ожидания в условиях (В.1) и критической загрузки рх 1. Научная новизна:

- для виртуальных времен ожидания получены одномерные и многомерные предельные теоремы в условиях обобщенной критической загрузки (т.е. загрузка близка к единице не только снизу, но и сверху);

- полностью описан класс функций распределения для виртуальных и актуальных характеристик системы Ml G| 11 оо при фиксированных загрузках;

- получены скорости сходимости актуальных характеристик к стационарным характеристикам, а также скорости сходимости виртуальных характеристик к стационарным;

- изучены свойства траекторий процессов связанных с временем ожидания и суммарным временем простоя вызовов.

Использованы:

- прием введения дополнительных событий;

- анализ уравнений в терминах случайных величин, которые связывают времена ожидания и простоя с заранее заданными случайными величинами входящего потока и обслуживания вызовов;

- асимптотические методы математического анализа.

Результаты помогут разработчикам ИВС и АСУ на стадии проектирования реальных систем для оптимальной организации процессов функционирования. Вид результатов обеспечивает их практическую реализацию на ЭВМ.

Результаты могут быть использованы в решении различных задач моделирования в экономике, в социально-курортном сервисе и туризме, в производственных процессах, в транспорте и т.д.

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийских о симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 2001; Ростов-на-Дону, 2002; Петрозаводск, 2003, Сочи, 2003).

По диссертационной работе опубликованы работы [26 - 30]. Диссертационная работа изложена на 107 страницах. Состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 40 наименований.

1. Боровков А.А. Вероятностные процессы массового обслуживания. - М.: Наука, 1972.-367 с.

2. Боровков А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980. - 381 с.

3. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999. -470с.

4. Боровков А.А. Факторизационные тождества и свойства распределений супремумов последовательных сумм. Теория вероятностей и её применения. 1970, №15. - с. 359 - 402.

5. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

6. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука. - 1966,431 с.

7. Гнеденко Б.В., Даниелян Э.А., Димитров Б.Н., Климов Г.П., Матвеев В.Ф. Приоритетные системы массового обслуживания. М.: МГУ, 1973. -447 с.

8. Григелионис Б. О точности приближения композиции процессов восстановления пуассоновским процессом. Литовский математический сборник. 1962, т. И, №2. - с. 135 - 143.

9. Даниелян Э.А. Предельная теорема для времени ожидания в модели M|G|l|oo при единичной загрузке. Ученые записки ЕГУ, 1987, №2. - с. 9-16.

10. Даниелян Э.А. Предельные теоремы для времени ожидания в одноканальных приоритетных системах. ДАН Арм.ССР, 1980, т. LXXI, №3. - с. 129- 135.

11. Джейсуол Н.К. Очереди с приоритетами. М.: Мир, 1973. - 279 с.

12. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979. -600 с.

13. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. -243 с.

14. Кокс Д.Р., Смит Л.В. Теория восстановления М.: Советское Радио, 1967.-300 с.

15. Мартикайнен А.И. Об одностороннем законе повторного логарифма. -Теория вероятностей и её применения. 1985, №30, в.4. с. 694 - 705.

16. Ососков Г.А. Одна предельная теорема для потоков однородных событий. Теория вероятностей и её применения. 1956, №2. - с. 274 -282.

17. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. -М.: Наука, 1987. 317 с.

18. Попов Г.А., Хачикян Т.З. Актуальные времена ожидания в модели M|G|l|oo в условиях критической загрузки. Вероятность и оптимизация. Ереван, ЕГУ, 1992, вып.2. - с. 45 - 53.

19. Сандрян С.Н. Анализ модели Прабху. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - Ереван, 1991. - 136 с.

20. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. - 141 с.

21. Симонян А.Р. Новое представление многомерных предельных законов в модели M|G|l|oo. Вероятность и оптимизация. Ереван, ЕГУ, 1991, вып.1. — с. 77-94.

22. Симонян А.Р., Улитина Е.И. Представления на языке медленно меняющихся функций в модели M|G|l|oo в условиях критической загрузки Обозрение прикл. и промышл. матем., 2003, т. 10, в.З. - с. 745 -746.

23. Симонян А.Р., Улитина Е.И. Об одной теореме сходимости к устойчивому закону в модели M|G|l|oo. Успехи математических наук, т.59, в.3(357). - с. 168- 169.

24. Улитина Е.И. Об одной предельной теореме в модели М | G111 оо при критической загрузке. Обозрение прикл. и промышл. матем., 2002, т.9, в. 1. — с. 257-258.

25. Улитина Е.И. Многомерная предельная теорема в модели М | G11 | оо в условиях критической загрузки. Обозрение прикл. и промышл. матем., 2003, т.Ю, в. 1. — с. 236-237.

26. Улитина Е.И. Асимптотический анализ времени ожидания в модели M|G|l|oo Обозрение прикл. и промышл. матем., 2004, т.11. - в.1. с. 83 -88.

27. Угарид Мухаммед. Модели типа M|G|l|oo при критической загрузке. -Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Киев, 1992. - 124 с.

28. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. М.: Мир, 1984, Т.2.-751 с.

29. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2. М.: Наука, 1969. - 800 с.

30. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.

31. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. - 638 с.

32. Cohen J.W. The single server queue. North Holland Publ., Amsterdam, 1969.-859 p.

33. Cohen J.W. On the tail of stationary waiting time distribution and limit theorems for the M|G|l|oo queue. Ann. Inst. H.Poincare', 1972, v.8. - p. 255 -263.

34. Chow Y.S., On spitzer's fomula for the moment of ladder variables 1997, Statistica Sinica, N7. - p. 149 - 157.

35. Harrison J.M., Lemoine A.J. On the Virtual and Actual Waiting Time Distributions of a GI|G|1 Queue. J. Appl. Prob., v. 13, N 4, 1976. - p. 833 -836.

36. Mikosh Т., Nagaev A.V., Large deviations of heavy-tailed sums with applications in insurance. Extremes. 1998. v. 1, N 1. - p. 81 -110.