Вероятностные методы в задаче о сходимости к равновесному распределению Гиббса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ. ПОСТУЛАТ БОЛЫЩАНА-ГИББСА

ЧАСТЬ I

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ СОСТОЯНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

ГЛАВА 1.1. СОСТОЯНИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ КЛАССИЧЕСКИХ

ЧАСТИЦ

§ 1.1.1. Фазовые пространства классических систем

§ 1.1.2. Случайные поля как состояния классических систем.

§ 1.1.3. Гиббсовские случайные поля.

ГЛАВА 1.2. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ СОСТОЯНИЯ.

§ 1.2.1. Временная динамика на фазовом пространстве .••••••••••.••

§ 1.2.2. Уравнения Лиувилля и Боголюбова.

§ 1.2.3. Гиббсовское описание временной эволюции ••••••••••••••.••

ГЛАВА 1.3. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ.

§ 1.3.1. Стационарные гиббсовекие случайные поля и первые интегралы движения

§ 1.3.2. Анализ сумматорно-аддитивных интегралов движения.

ГЛАВА 1.4. СХОДИМОСТЬ К ПРВДЕЛЬНОМУ СОСТОЯНИЮ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ

§ 1.4.1. Модель свободного движения.

§ 1.4.2. Модель одномерных твёрдых стержней

§ 1.4.3. Общая теорема о сходимости к пуассоновскому случайному полю.

ЧАСТЬ П

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОД! ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ СОСТОЯНИЯ В КВАНТОВОЙ СТАТИСШЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.

ГЛАВА П.1. СОСТОЯНИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ КВАНТОВЫХ

ЧАСТИЦ.

§ H.i.i. С -алгебры квантовых систем

§ Ц.1.2. Состояния квантовых систем и их свойства. Конструкция ГНС.

§ H.I.3. Гиббсовские состояния

ГЛАВА Н.2. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ.СХОДИМОСТЬ МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И СОСТОЯНИЙ

§ И.2.1. Линейные б озонные модели врешнной эволюции

§ Н.2.2. Общая теорема о сходимости к квазисвободному моментному функционалу

§ 11.2.3. Эволюция состояния для моделей гармонического и свободного движения

§ П.2.4. Линейные фермионные модели врешнной эволюции •••••••••••••••

ГЛАВА П.З. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ В МОДЕЛИ ОДНОМЕРНЫХ

ТВЁРДЫХ СТЕРЖНЕЙ

§ П.ЗД. Предварительные сведения.

§ П.З.2. Построение временной эволюции состояния при движении твёрдых стержней. Доказательства основных результатов.

§ П.3.3. Примеры начальных состояний, для которых имеет место сходимость к равновесно^ с10-состоянию

Содержание настоящей диссертационной работа связано с попытками объяснить, почему распределение Гиббса (или в современной терминологии—состояние Гиббса) играет столь важную роль в статистической механике. Этот вопрос неоднократно обсуждался с различных точек зрения в работах многих авторов, начиная с классических трудов основоположников кинетической теории (Максвелл, Клаузиус, Больцман, Гиббе). Мы будем рассматривать его с "динамической" точки зрения. Исходным пунктом здесь является утверждение о том, что состояние системы частиц в ходе длительной автономной эволюции приближается к так называемому равновесному состоянию. Равновесное состояние характеризуется тем, что распределение координат и скоростей любой подсистемы частиц при условии, что задано значение их "полной относительной энергии", т.е. энергии взаимодействия выделенных частиц мевду собой (включая их кинетическую энергию) и с остальными частицами, является равномерным. Это утверждение обычно приписывается Болыдоану и Гиббсу. Мы будем называть его постулатом Больцмана-Гиббса.

По-видимому, нет особой необходимости подробно обсуждать здесь глубокое значение постулата Больцмана-Гиббса для развития физики и математики, в частности, теории вероятностей. Отметим здесь лишь знаменитую эргодическую гипотезу Болырана, давшую толчок к созданию эргодической теории. В этой связи мы сделаем следующее замечание.

Постулат Больцмана-Гиббса, как это неоднократно подчёркивали его авторы, относится к системам весьма большого числа частиц*). При современном строгом подходе понятие "весьма т большое число частиц" тракуется как "бесконечное число частиц", Подобный принцип зарекомендовал себя исключительно плодотворным во многих разделах статистической механики ( а в слегка модифицированном виде—и в квантовой теории поля) • Этого принципа мы и будем придерживаться в данной работе.

Исходя из указанного принципа, определяется объект исследования настоящей диссертации. В классической статистической механике в качестве состояний бесконечных систем частиц выступают случайные поля различных типов. Таким образом, роль объекта исследования выполняют здесь случайные поля и их временные преобразования, индуцированные движением частиц (временная эволюция). В квантовой статистической механике в качестве состояний выступают линейные положительные нормированные функционалы на так называемых квазилокальных С -алгебрах различных типов ( в теории операторных алгебр такие функционалы прямо и называются "состояниями"). Таким образом, роль объекта исследования здесь выполняют состояния и их временные преобразования, индуцированные движением квантовых частиц. Предметом исследования служат различные свойства состояний по отношению к временным преобразованиям: возможность описания временной эволюции в терминах решений тех или иных уравнений (Лиувшшя, Боголюбова (ЕЕЯЖЙ)), инвариантность во времени, сходимость к предельному состоянию на больших временах. ж) Хорошо известная (и уже набившая оскомину) цифра, которая называется цри этом, равна 10^° (порядок числа Авогадро).

Особо следует остановиться на методах, которые развиваются в данной диссертационной работе. В определенной степени они цредставляют собой модификации методов, хорошо известных в классической" теории вероятностей. Это относится, например, к значительной части §§ 1.1.1-1.1.3 и § 1.4.1. С другой стороны, во многих отношениях эти методы связаны с новой теоретико-вероятностной проблематикой и новыми теоретико-вероятностными понятиями. В первую очередь здесь следует упомянуть теорию гиббсов-ских случайных полей. Гиббсовский подход играет центральную роль в §§ 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2 и 1.4.2.

Сказанное в предыдущем абзаце выглядит естественным в отношении классической статистической механики, где, как мы отметили выше, в качестве объекта изучения взяты случайные поля и их преобразования, т.е. объекты вероятностной природы. Однако, как это ни звучит парадоксально, термин "вероятностные методы" выглядит естественным и в применении к квантовой статистической механике. В значительной мере это объясняется многочисленными и глубокими аналогиями, мевду квазилокальными С алгебрами и пространствами реализаций случайных полей (точнее, пространствами функций от реализации случайных полей), между I состоянием и случайным полем. В своё время это послужило основанием для того, чтобы ввести в научный обиход термин "некоммутативная теряя вероятностей". С другой стороны, по мнению автора диссертации, существенную роль играет то общее, что имеется в принципах построения временной эволюции в классической и квантовой ситуациях, в частности, гамильтонов формализм.

Несколько слов о характере взаимоотношений меаду физикой и математикой в рамках настоящей диссертации. По мнению автора, в этой работе не следует искать открытий в области теоретической физики или физически принципиально новых решений известных проблем. Работа является сугубо математической. Однако, попытка "навести строгость" в одной из самых интересных (и запутанных) дисциплин современной физической теории, несомненно, должна иметь определенные последствия для физики. Эта точка зрения подтверждается общей тенденцией взаимодействия физики и математики на современном этапе. Есть достаточные основания полагать, что процесс "стирания граней" между двумя (и без этого достаточно близкими) науками будет происходить ускоренным темпом и играть возрастающую роль в их развитии.

Ч А С Т Ь I ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ СОСТОЯНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАЖШЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

1. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты.-М.: Мир, 1971, 367 с.

2. Керстан Й., Маттес К., Мекке Й. Безгранично делимые точечные процессы,- М.: Наука, 1982,392 с.

3. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. -М.: Наука, 1980, 207 с.

4. Preston С. Random fi^s.-Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1976, 200 p.

5. Ибрагимов И.A., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. -М.:Наука, 1970, 384 с.

6. Lenard A.Correlation functions and the uniqueness of the state in classical statistical mechanics.- Commun.Math. Phys., 1973, v.JO, N1, p.35-44.

7. Боголюбов H.H., Хацет Б.И. О некоторых математических вопросах теории статистического равновесия.-ДАН СССР, ¿949, т.66, № 3, с.321-324.

8. Боголюбов H.H., Петрина Д.Я., Хацет Б.И. Математическое описание равновесного состояния классических систем на основе формализма канонического ансамбля. -Теор. мат.физика, 1969, т.1, Л 2, с. 251-274.

9. Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля для решётчатыхи,систем с попарным взаимодействием. Функганализ и его при-лож., £968, т. 2, вып. 4, с. 31-43.

10. Добрушин Р.Л. Задача единственности гиббсовского случайного поля и проблема фазовых переходов.- Функц. анализ и его прилож., ¿968, т.2, вып. 4, с. 44-57.

11. Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля. Общий случай.-Функц. анализ и аго прилож., 1969, т.З, вып.1, с. 27-35.

12. Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля для частиц без твёрдой сердцевины. -Теор. и мат. физика, 1970, т.4, 1, с. 101-118.

13. Lanford О.Е., Ruelle D. Observables at infinity and states with short range correlations in statistical mechanics.-Commun.Math.Phys., 1969, V.1J, NJ, p.194-215.

14. Ruelle D.Superstable interactions in-classical statistical- ' ' *mechanics.-Coimun.Math.Pbys.1970, v. 18, N 2, p. 127-159.

15. Престон К. Гиббсовские состояния на счётных множествах.-М.: Мир, 1977, 125 с.

16. Гиббсовские состояния в статистической физике. Сборник статей. -М.: Мир, 1978, 255 с.

17. Минлос Р.А. Лекции по статистической физике. -Успехи мат. наук, 1968, т. 23, J£ 1, с. 133-190.

18. Lanford О.Е.Entropy and equilibrium states in-classical statistical mechanics. In: Lect.Notes in Phys, 1973, v.20, p.1-113.

19. Малышев В.А. Кластерные разложения в решётчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля,- Успехи мат.наук, 1980, т.35, вып. 2, с. 3-53.

20. Малышев В.А., Минлос Р.А., Петрова Е.Н., Терлецкий Ю.А. Обобщенные контурные модели. В сб.: Теория вероятностей. Мат. статистика. Теор. кибернетика, т. 18 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР). М.,1982, с. 3-54.

21. Lebowitz J.L., Presutti Е., Statistical mechanics of systems of unbounded spins• -Commun.Math.Phys., 1976, v.50,N 5, p.195-210.

22. Сухов Ю.М. Маличный метод для непрерывных систем классической статистической механики. -Труды Моск. мат. об-ва, 1971, т.24, с. 175-200.

23. Дашян Ю.Р., Сухов Ю.М. К вопросу о гиббсовском описании случайных процессов с дискретным временем. ДАН СССР, 1978, т. 242, £ 3, с. 513-516.

24. Gallavotti G.,Miracle-Sole S., Absence of phase transitions in hard-core one-dimensional systems with long-range interac4 * » t 4 ttions»— Journ.Math.Phys., 1970, v. 11, N 1, p. 147-155. <

25. Suhov Yu.M.Random point processes and DI<R equations.-Com-mun.Math.Phys., 1976, v.50, N 2, p.115-132.

26. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике,- М.-Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946, 119 с.

27. Lanford O.E.The classical mechanics of one-dimensionalsystems of infinitely many particles, I.An existence theo' * t $ * ,rem.-Commun. Math.Phys., 1968, v.9, N3, p. 176-I91.

28. Lanford O.E. The classical mechanics of one-dimensional systems of infinitely many particles, II.Kinetic theory ,-Commun.Math.Phys., 1969, v.H, N4,p.257-292.

29. Синай Я.Г. Построение динамики в одномерных системах статистической механики. -Теор. мат. физика, 1972, т. 11,В 2, с. 248-258.

30. Синай Я.Г. Построение кластерной динамики для динамических систем статистической механики. Вестник МГУ, сер.мат., мех., 1974,т.29, вып. 3, с. 152-158.

31. Земляков А.Н. Построение динамики в одномерных системах статистической физики в случае нефинитных потенциалов.-Успехи мат.наук, 1973,т.28, вып.1, с. 239-240.

32. Marchioro С., Pellegrinotti A., Presutti Е. Existence of time evolution for $ -dimensional statistical mechanics.-Commun.Math.Phys., 1975, v.40, N2, p. 175-191.

33. Презутти Э., Пульвиренти M., Тироцци Б. Эволюция во времени бесконечных классических систем с сингулярным дально-действующим парным потенциалом.- В сб.:Гиббсовские состояния в статистической физике. М.; Мир, ¿978, с. 219-240.

34. Ланфорд O.E. Эволюция во времени больших классических систем. -В сб.:Гиббсовские состояния в статистической физике. М.: Мир, 1978, с. 159-218.

35. Lanford O.E., Lebovitz J.L.,Lieb E.H. Time evolution of infinite anharmonic systems.- Journ.Stat.Phys., 1977, v. 16, N 6, p. 455-461.

36. Alexander R. Dynamics of the ideal hardcore particles.-Coimun.Matli.Phys., 1976,v.49, N1, p.81-98.

37. Dobrushin R.L.,Fritz J.N on-equilibrium dynamics of onedimen-sional infinite particle systems with a hard-core interaction. -Commun.Math.Phys, 1977, v.55, N3, p.275-292.

38. Fritz J,, Dobrushin R.L., Non-equilibrium dynamics of two-dimensional infinite particle systems with a singular interaction. -Commun.Math.Ehys., 1977, v.57, N.1, p.67-81.

39. Гуревич Б.М., Сухов Ю.М. Временная эволюция гиббсовских состояний в одномерной классической статистической механике.-ДАН СССР, т. 242, & 2, с. 276-279.

40. Marchioro С., Pellegrinotti A., Pulvirenti M.On the dynamics of infinite enharmonic systems. Journ.Math.Phys., 1981, v.22, N 8, p. 1740-1746.

41. Lanford O.B. Ergodic theory and approach to equilibrium for finite and infinite systems.-Acta Phys.Austr., 1975, suppl. N 10, p. 619-639.

42. Dobrushin R.L.,Suhov Yu.M.On the problem of the mathematical foundation of the Gibbs postulate in classical statistical mechanics.-In: Lecture Notes in Phys., 1978, v. 80, p. 325340.

43. Lanford O.E., Lebowitz J.JL. Time evolution and ergodic properties of harmonic systems.- In: Lect Notes in Phys., 1975, v.38, p. 144-177.

44. Добружн P.JI.,Сухов Ю.М.Временная асимптотика для*екоторых вырожденных моделей эволюции систем с бесконечным числом частиц.-В сб.:Современные проблемы математики,т.14(Итоги науки и техники.ВИНИТИ АН СССР).М.,1979, с.147 254.

45. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1974, 431 с.

46. Marchioro С., Pellegrinotti A., Pulvirenti М.,Suhov Yu.Time evolution of Gibbs states for an anharmonic lattice,-Commun. Math. Phys., 1979, N 2, p. 131-146.

47. Хуанг К. Статистическая механика.-M.:Мир,1966, 520 с.

48. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика, т.1. -М.: Мир, 1978, 405 с.

49. Esposito R.,Pulvirenti М. Heirarchical equations of evolution of an anharmonic system.-Journ. Math. Phys., 1980, v.21, N 5, p. 1194-1201.

50. Петрина Д.Я., Герасименко В.И. Математическое описание эволюции состояния бесконечных систем классической статистической механики.-Успехи матем.наук,1983,т.38,вып.5,с.3-58.

51. Takahashi У. A class of solutions of the Bogoliubov system of equations for classical statistical mechanics of hard core particles.-Sci. Papers Coll. General Education, Univ. of Tokyo, 1976, v. 26, n. 1, p. 15-26.

52. Сухов 10.Ш. Сильное решение цепочки уравнений Боголюбова в одномерной классической статистической механике.- ДАН СССР, 1979, т. 244, Я 5, с. 1081-1084.

53. Гуревич Б.М., Синай Я.Г., Сухов Ю.М. Об инвариантных мерах динамических систем одномерной статистической механики. -Успехи мат.наук, 1973, т. 28, вып. 3, с. 45-82.

54. Уитеккер Э.Т. Аналитическая динамика. -М.-Л.: ОНТЙ, 1937, 500 с.

55. Gurevich B.M., Suhov Yu.M.Stationary solutions of the Bogo-liubov hierarchy equations in classical statistical mechanics, З.-Commun.Math.Phys., 1977, v.56, N 3, p. 225-236.

56. Gurevich B.M., Suhov Yu.M.Stationary solutions of the Bogoliubov hierarchy equations in classical.statistical mechanics, 4.-Commun.Math.Phys, 1982, v.84, N4, p.333-376.

57. Чулаевский В.А:. Метод обратной задачи теории рассеяния в статистической физике,- функц.анализ и его прилож., 1983, т.17, вып. 1, с. 53-62.

58. Сухов Ю.М. Сходимость к пуассоновскому распределению для некоторых моделей движения частиц.- Изв. АН СССР, сер.мат., 1982, т.46, № 1, с. 135-153.

59. Aisenman М,, Goldstein S., Lebowitz J. Ergodic properties of infinite systems. In: Lect: Notes in Phys,, 1975, v.38, p.112-144,Bunimovich L.A., Sinai Xa.G. Markovpartitions for dispersed billiards,-Commun.Math.Phys,,.1980, v.78, p.247-280,

60. Bunimovich L.A,, Sinai Ya,G,Statistical properties ofг1.rentz gas with periodic configuration of scatteres*-Commun,Math.Phus., 1981, v.78, p.479-497.

61. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины.-М.: Наука, 1965, 523 с.

62. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин.-Mi- Наука, 1972, 414 с.

63. Kerstan J., Fichtner К.-Н., Freudenberg W. Abhangige Versc-Me^burigen,Ill.-Seraica, 1978, t.4, c.135-163.

64. Эмх.Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля.М.: Мир, 1976, 423 с.

65. Dubin D.A. Solvable modes in algebraic statistical mechanics. -Oxford: Clarendon Press, 1974, 121 p.

66. Браттели 0., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика.-М.:Мир, 1982, 511 с.

67. Bratteli О., Robinson D.W.Operator algebras and quantum4 »statistical mechanics, v.II.-New Yorks Springer-Verlag, 1981, 505 p.

68. Ginibre J. Reduced density matrices of quantum gases, I.-Journ. Math.Phys., 1965, v.6, p. 238-251.

69. Ginibre J. Reduced density matrices of quantum gases, II.Journ.Math.Phys., 1965, v.6, p. 252-262.of

70. Ginibre J.Reduced density matrices quantum gases. III-. Journ. Math.Phys., 1965, v.6. 1452-1446.

71. Новиков И.Д. Состояние Гиббса в квантовой статистической физике.-Функц. анализ и его прилож., Í970, т.4, вып.4, с. 79-80.

72. Матвийчук К.С. Метод частичных матриц плотности канонического ансамбля в описании состояний квантовых систем. -Теор. мат.физ., ¿976, т.27, Ш, с.360-372.

73. Матвийчук К.С. Математическое описание квантовых систем Бозе и Ферми методом частичных матриц плотности канонического ансамбля.-Теор.мат.физ., 1979, т.41, №3, с. 346-367.

74. Сухов Ю.М. Цредельные матрицы плотности для одномерных непрерывных систем квантовой статистической механики.-Ма-тем.сб., 1970, т.83, вып. 4, с. 491-512.

75. Сухов Ю.М. Регулярность предельных матриц плотности для одномерных непрерывных квантовых систем.-Труды Моск.матем. о-ва, 1972, т.26, с. 151-Í79.

76. Souhov Iu.M. Absence de transitions de phases dans les systèmes continus de la Mèchanique statistique quantique. . a une dimension.- Compt.Rend. A.S.Paris-, Ser.A, 1974, vA 279, P. 475-477.

77. Suhov Yu.M.Limit Gibbs state for some classes of on^dimen-sional systems of quantum statistical mechanics.-Commun. Math.Phus., 1978, v. 62, p. 119-136.

78. Majevsfei W.A. Time development of Bose systems.-Journ. Math.Phys., 1981, v. 22, N 12, p.2921-2926.

79. Сухов IO.M. Линейные бозонные модели временной эволюции в квантовой статистической механике. -Изв.АН СССР, сер.матем., 1984, т.48, вып. 1, с.

80. Сухов Ю.М. Сходимость к равновесию для свободного ферми-газа.-Теор.мат.физ., 1983, т.55, №2, с. 282-290.

81. Сухов Ю.М. Сходимость к равновесному состоянию для одномерной квантовой модели твёрдых стержней. -Изв. АН СССР, сер.матем., £982, т.46, вып. 6, с. 1274~£3£5.i0£. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, т.1,-М.; ИЛ, ¿949, 798 с.