Спектральные свойства случайных операторов и интегрируемые системы в термодинамическом пределе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Термодинамический предел систем Мозера-Калоджеро

§1.0. Необходимые сведения из статистической механики

§1.1. Положительность интегралов системы Мозера-Калоджеро

§1.2. Существование нестандартных гиббсовских состояний

§1.3. Построение кластерной динамики

§1.4. Инвариантность гиббсовского состояния

§1.5. Спектральные свойства оператора Лакса

Глава II. Спектральные свойства одномерного оператора

Шрёдингера с предельно-периодическим потенциалом

§2.1. Абсолютная непрерывность спектра предельно-периодического оператора Шрёдингера

§2.2. Построение предельно-периодических операторов

Шрёдингера с заданной зонной структурой спектра . 66 Литература

Настоящая диссертация посвящена исследованию бесконечных вполне интегрируемых систем с точки зрения статистической механики и спектральной теории случайных операторов. Теория нелинейных систем, интегрируемых методом обратной задачи теории рассеяния, представляет собой в настоящее время одну из наиболее интенсивно развивающихся областей математической физики. Первые примеры таких систем - уравнение Кортевега-де Фриза /КдФ/, уравнение нелинейной струны, и т.п. - появились около пятнадцати лет назад. На первом этапе изучения было установлено существование у них счетного семейства первых интегралов /см. [i] /. В 1971 г. В.Е.Захаров и Л.Д.Фаддеев [2] построили для уравнения КдФ переменные "действие-угол", используя технику обратной задачи теории рассеяния для оператора Шрёдингера с быстроубывающим потенциалом. Открытый в 1974 г. В.Е.Захаровым и А.Б.Шабатом [3] общий метод построения и интегрирования систем типа КдФ позволял решать задачу Коши для таких систем с быстроубыва-ющими начальными данными. С.П.Новиков [4] предложил алгебро-геометрический подход к интегрированию КдФ в случае периодических начальных данных. Немного позднее ГО.Мозер ["б"] и Ф.Ка-лоджеро [б] , а впоследствии М.А.Ольшанецкий и A.M.Переломов [[7] исследовали некоторые классы дискретных вполне интегрируемых систем, в том числе одномерную систему частиц с потенциалом взаимодействия А Ах /систему Мозера-Калоджеро/. В указанных выше и ряде других работ можно проследить, как постепенно трансформировалась общая точка зрения на интегрируемые системы. Вначале внимание исследователей концентрировалось на вопросах существования и явного описания семейства первых интегралов нелинейных систем. При этом обычно подразумевалось, что точные решения этих систем можно, в принципе, получить с помощью классической теоремы Лиувилля. Впоследствии стало ясно, что отличительной чертой нелинейных систем, к которым применим метод обратной задачи теории рассеяния, является возможность выписывать их явные решения и без использования переменных "действие-угол". К числу особенностей обсуждаемых систем относится также наличие у них первых интегралов аддитивного типа, подобных импульсу и энергии. Напомним основную идею построения таких интегралов. С каждой системой связывается операторное дифференциальное уравнение первого порядка, называемое уравнением Лакса:

L=lL,A] и устанавливается однозначное соответствие между решениями этого уравнения и решениями исходной системы. Таким образом, и А оказываются функциями на фазовом пространстве исследуемой системы. Предположим, что при любом натуральном ■ п

И. оператор L является в том или ином смысле оператором с конечным следом. Тогда функции Hn~iz L f как нетрудно установить, являются интегралами движения исходной системы. В случае матричных операторов L функции Ни. имеют сумматорный вид. Подобная ситуация несколько необычна с точки зрения статистической механики. Действительно, в большинстве монографий и учебных курсов статистической физики особо подчеркивается тот факт, что для механических систем "общего положения" имеется лишь четыре сохраняющихся величины: масса /или число частиц/, импульс, полная механическая энергия и кинетический момент. Отсюда обычно делается вывод /см., например, [в] / о виде стационарного распределения вероятностей на фазовом пространстве большой /в пределе бесконечно большой/ механической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Это стационарное распределение, полученное впервые Дж.В.Гиббсом [9 J , называется каноническим, а само утверждение о том, что система статистической механики в состоянии термодинамического равновесия подчиняется каноническому распределению, называется постулатом Гиббса. В строгой математической теории Р.Л.Добруши-ным [ю] , О.Э.Ланфордом и Д.Рюэллем было введено понятие равновесного гиббсовского состояния бесконечной системы. Вопрос о том, существуют ли стационарные распределения вероятностей на фазовом пространстве бесконечной системы, отличные от гиббсовских состояний, является одним из основных в современной статистической механике. Некоторые примеры систем, к которым неприменим постулат Гиббса, были известны и раньше. К их числу относится, например, идеальный газ, а также газ одномерных твердых стержней /см. по этому поводу [12] /. В первом примере взаимодействие между частицами отсутствует, во втором оно носит весьма вырожденный характер. В этом смысле система Мозера-Калоджеро /МК/ выглядит более реалистической. В связи с открытием первых интегралов аддитивного типа у системы МК Я.Г.Синай высказал гипотезу о том, что эта система обладает дополнительными стационарными распределениями вероятностей. Доказательству этой гипотезы посвящены §§1.1-1.4 гл.1 настоящей диссертации. В §1.0 изложены необходимые сведения из статистической механики. В §1.1 определено понятие оператора Лакса системы МК. В конечномерном случае это такая операторная функция L(prf) на пространстве фазовых конфигураций (р,^, что матричные элементы Ljfc (f/fy) в некотором фиксированном базисе имеют вид

Здесь

А>0 , 1=/7 . В случае бесконечной конфигурации (p>f) матрица!) LjK (ftfy) II определяется точно так же, однако вопрос о том, когда этой матрице можно сопоставить корректно определенный линейный оператор, нетривиален, и его обсуждение переносится в §1.5. Интересно отметить, что система МК допускает предельный переход по параметру А —■> 00 и превращается при этом в систему биллиардных частиц на прямой. Предельный переход при /4 О также возможен и приводит к системе частиц с потенциалом взаимодействия 1/х2- t которая тоже входит в класс интегрируемых систем, изученных в упоминавшихся выше работах Мозера и Калоджеро.

При всех натуральных VI для конечных конфигураций ( определены функции

Из самосопряженности следует, что » а при четных

Iа , кроме того, Нк (р)°l)>0 . В частном случае Vl-Ц выписывается явный вид функции На (р/^), которую можно рассматривать как гамильтониан системы статистической механики, и устанавливается следующий важный факт: если конфигурация ^р, ^ есть объединение конфигураций (f*1, и (f^^Jt то энергия их взаимодействия, определенная как

H^W I pV) = ним - h/pW) - H(rU*), неотрицательна. Это обстоятельство играет существенную роль в дальнейших рассуждениях.

Основной результат §1.2 следующий. Теорема 1.2. Гамильтониану Hif отвечает по крайней мере одно гиббсовское состояние 0 при любом значении обратной температуры уЗ > 0 .

При доказательстве использованы идеи работы Д.Рюэлля [~1з] , где рассматривались сверхустойчивые нижне-регулярные взаимодействия общего вида. К этому классу принадлежит, ввиду положительности, и гамильтониан . Хотя формально теорема 1.2 не следует из результатов работы [гз] , поскольку Ц/, не обладает свойством бинарности, тем не менее, техника Рюэлля применима и в этом случае, причем положительность гамильтониана позволяет существенно упростить доказательство.

В §1.3 строится динамика бесконечной системы МК. Хорошо известные примеры /см. [14] / показывают, что простое перенесение обычных теорем существования и единственности решений уравнений движения на случай бесконечного числа частиц невозможно. Один из способов обойти подобные трудности состоит в том, что динамика строится не для всех начальных данных, а лишь для почти всех по отношению к той или иной мере на фазовом пространстве. Теорема 1.3 утверждает, что решения уравнений Гамильтона на фазовом пространстве системы МК, отвечающие исходному гамильтониану существуют для множества начальных конфигураций вероятности 1 по отношению к гиббсовскому состоянию V* , порожденному гамильтонианом Н^ . Доказательство использует идею кластерного метода, предложенного Я.Г.Синаем [1б] применительно к системам частиц с финитным взаимодействием. Впоследствии в работе Э.Презутти, М.Пульвиренти и Б.Тироцци[1б] требование финитности было заменено условием достаточно быстрого степенного убывания взаимодействия на бесконечности. Однако совокупность условий, наложенных в работе [1б] на потенциал взаимодействия, исключает случай = А*/-Ах, Кроме того, при доказательстве теоремы 1.3 возникает дополнительная трудность, состоящая в том, что динамика и распределение вероятностей на фазовом пространстве изучаемой системы задаются при помощи разных гамильтонианов. Эта трудность отсутствует в указанных выше работах. Преодолеть ее позволяет свойство интегрируемости системы МК.

В §1.4 доказан основной результат диссертации о термодинамических свойствах бесконечной системы МК. Теорема 1.4. Гиббсовское состояние )) , отвечающее гамильтониану Н^ » инвариантно относительно фазового потока {-S^} , порожденного гамильтонианом Мозера-Калоджеро Ж

В заключительном §1.5 гл.1 исследуются спектральные свойства оператора Лакса L(p,<fj бесконечной системы МК. Указанное выше гиббсовское состояние v) индуцирует распределение вероятностей на пространстве операторов Таким образом, возникает задача спектрального анализа семейства случайных операторов Лакса. С вероятностью i оператор L (р/ i), формально определенный на гильбертовом пространстве z) , неограничен, однако удается доказать следующее.

Лемма 1.5.1. Для \) -п.в. конфигурации (¥>%,) оператор L(p4) корректно определен на плотном в (Н подпространстве финитных функций JH0

Ввиду эрмитовости матрицы || L jx (р/$)Ц оператор L(P4) симметричен на J-J0 . Более того: Лемма 1.5.2. С вероятностью 1 оператор в существенном самосопряжен на /Но

В формулировке основного результата §1.5 на параметр А , входящий в определение оператора L /см. выше/ накладывается условие технического характера. Теорема 1.5. При достаточно больших А с вероятностью i оператор имеет чисто точечный спектр.

Методы гл.1 позволяют, в принципе, определить для бесконечной системы МК кроме оператора L также оператор Л (р/ f) , матрица которого имеет вид

Aj*(p-t) = fy ^/KfjTb.) + (i-Si")iot'(hg1«), где о1(х>АМА* , «'(*)= <L*./J*L,pw

Из результатов §1.3 можно вывести, что уравнение Лакса в случае бесконечной конфигурации частиц имеет решение для почти всех начальных данных. С этой точки зрения теорема 1.5 показывает, что в качестве интегралов движения, имеющих смысл и для бесконечной системы МК, могут быть выбраны собственные значения оператора Лакса, поскольку решение уравнения Лакса может быть представлено в виде

L (*) = и С*) L (о) irV), где однопараметрическое семейство унитарных операторов удовлетворяет уравнению

U(t) = A(*)U(t).

Однако, классическая теорема Лиувилля не допускает простого обобщения на бесконечномерный случай. Анализ методов упоминавшихся выше работ [2-7J показывает, что эти методы применимы в том случае, когда коэффициенты оператора Лакса той или иной интегрируемой системы обладают достаточно регулярным поведением на бесконечности. Обычно "регулярность" означает либо быструю стабилизацию, либо почти-периодическое поведение. В рассмотренном же выше примере свойства случайности оператора Лакса выражены достаточно сильно, и метод обратной задачи теории рассеяния в его обычной трактовке неприменим.

В настоящее время хорошо изучены задачи спектрального анализа случайных операторов, как дифференциальных, так и конечно-разностных, коэффициенты которых представляют собой реализации стационарных процессов марковского типа /см., например, £l7-I9] /. Операторы 1(рл) не относятся к этому классу: они не являются, по самому своему определению, конечно-разностными, а распределение вероятностей, индуцированное гиббсовским состоянием ^ , не допускает естествен-нойо "марковского" представления. Однако, вместо довольно сложной техники работ Jl7-I9] оказывается возможным применить вариант теории возмущений конечномерных самосопряженных операторов и получить степенную оценку скорости убывания собственных функций.

1.Gardner, J.Green, M.Kruskal, R.Miura, A method, for solvingthe KdV equation, Phys.Rev.Lett.,v.19(1967), 1695-1698.

2. В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев, КдФ вполне интегрируемая гамильтонова система, Функц. анализ, 5:4/1971/, 18-27.

3. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния I, Функц. анализ, 8:3/1974/, 43-53.

4. С.П.Новиков, Периодическая задача Кортевега-де Фриза I, Функц. анализ, 8:3/1974/, 54-66.

5. J.Moser, Three integrable hamiltonian systems connected with isospectral deformations, Adv.Math., v.16(1976), 354.

6. P.Calogero, Exactly solvable many-body problems, Lett. Nuovo Cimento, v. 13(1975), 4-11-416.

7. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Т.У. Статистическая физика.-М.: Наука, 1976.

8. Дж.В.Гиббс. Основные принципы статистической механики.В кн.: Термодинамика. Статистическая механика.-М.: Наука, 1982.

9. Р.Л.Добрушин, Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с попарным взаимодействием, Функц. анализ, 2:4 /1968/, 31-43.

10. O.E.Lanford, D.Ruelle, Observables at infinity and states with short range correlations, Comm.Math.Phys.,v13(1969), 194-215.

11. Р.Л.Добрушин, Ю.М.Сухов, Временная асимптотика для некоторых вырожденных моделей эволюции систем с бесконечным числом частиц. В сб.: Современные проблемы математики,т.14 /"Итоги науки"/. М.: ВИНИТИ, 1979, 147-254.

12. D.Ruelle, Superstable interactions in statistical physics, Comm.Math.Phys., v.18(1970), 127-159.

13. О.Э.Лэнфорд, Эволюция во времени больших систем. В сб.: Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1978, 159-218.

14. Я.Г.Синай, Построение динамики в одномерных системах статистической механики, Теор. матем. физика, 11:2 /1972/, 248-258.

15. Э.Презутти, М.Пульвиренти, Б.Тироцци, Эволюция во времени бесконечных классических систем с сингулярным далбнодей-ствующим парным потенциалом. В сб.: Новое в зарубежной науке, М.: Мир, 1978, 219-240.

16. И.Я.Гольдшейд, С.А.Молчанов, 0 проблеме Мотта, ДАН СССР, 230:4 /1976/, 761-764.

17. И.Я.Гольдшейд, С.А.Молчанов, Л.А.Пастур, Случайный одномерный оператор Шрёдингера имеет чисто точечный спектр, Функц. анализ, 11:1 /1977/, 1-10.

18. С.А.Молчанов, Структура собственных функций одномерных неупорядоченных структур, Изв.АН СССР, 42:1 /1978/, 70-103.

19. Е.И.Динабург, Я.Г.Синай, 0 спектре одномерного уравнения Шредингера с квазипериодическим потенциалом, Функц. анализ, 9:4 /1974/, 8-21.

20. В.А.Чулаевский, 0 возмущениях оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом, УМН, 36:5 /1981/, 203-204.

21. J.Moser, An example of a Schrodinger equation with almost periodic potential and nowhere dense spectrum, Comm. Math. Helv., v.56(1981), 198-224.

22. J.Avron, B.Simon, Almost periodic Schrodinger operators I, Comm.Math.Phys., v.82(1981), 161-126.

23. Э.Ч.Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка.-М.: ИЛ, I960.

24. Б.А.Дубровин, В.Б.Матвеев, С.П.Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия, УМН, 31:1 /1976/, 55-136.

25. Б.М.Левитан, Обратная задача для оператора Штурма-Лиувил-ля в случае конечно-зонных и счетно-зонных потенциалов, Тр. Моск. матем. об-ва, т.45 /1982/, 3-36.

26. P.Calogero, On a functional equation connected with integrable many-body problems, Lett.Nuovo Cimento, v.14(1976), 301-364.

27. В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин, Оптимальное управление.- М.: Наука, 1979.

28. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.Н.- М.: Мир, 1978.

29. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.1У.- М.: Мир, 1982.

30. В.А.Марченко. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.-Киев: Наукова думка, 1977.

31. Е.Trubowitz, The inverse problem for periodic potentials,Comm.Pure Appl.Math., v.30(1977), 321-327.

32. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики.T.I.- М.: Мир, 1977.

33. В.А.Чулаевский, Метод обратной задачи теории рассеяния в статистической физике, Функц. анализ, 17:1 /1983/, 53-62.

34. В.А.Чулаевский, Стационарные меры интегрируемых систем статистической физики, УМН, 38:6 /1983/, 135-136.