Аналитический анзатц Бете тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. СВОЙСТВА. ТРАНСФЕР-чМАТРИЦ ИНТЕГРИРУЕМЫХ

КВАНТОВЫХ МОДЕЛЕЙ.

§ I. Уравнение Янга-Бакстера и интегрируемые квантовые модели

§ 2. SU{n) инвариантные R. -матрицы и теорема размножения"

§ 3. Аналитические свойства Si/(2) инвариантных трансфер-матриц.

§ 4. Аналитические свойства SV (5) инвариантных трансфер-матриц

Глава 2. МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТРАНСФЕР-МАТРИЦ В ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТМАХ (АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ

БЕТЕ) .*.

§ I. Метод функциональных уравнений. ХУ^модель спина 1/2.

§ 2. Модель Изергина-Корепина

§ 3. 0(h) инвариантные магнетики.

§ 4. gf(2 К) инвариантный магнетик.

Теория интегрируемых квантовых систем является новой, активно развивающейся областью математической физики. В последнее время она привлекает к себе внимание все большего числа физиков и математиков. Это связано с тем, что интегрируемые модели квантовой теории поля, являясь интересными математическими объектами, демонстрируют многие важные свойства, которые ожидаются от реалистических теорий, такие как асимптотическая свобода и генерация массы.

Первым цримером интегрируемой модели квантовой теории поля является магнетик Гайзенберга спина 1/2 [37]. Многочастичные фолно-вые функции этой модели были впервые построены Гансом Бете [31*] с помощью весьма специальной подстановки. Затем рядом авторов этот метод применялся к другим интегрируемым моделям jj59, 45,46, 51,60] .

Следующий этап изучения интегрируемых моделей теории поля был связан с феноменологическим подходом, основанным на использовании гипотезы аналитичности, кроссинг-симметрии, унитарности и факторизуемости 5 -матрицы физических частиц. Результаты этих исследований изложены в работах £30, 60] .

Активно развивалось классическое квантование [35] . Этот подход основывается на использовании цри квазиклассическом квантовании формул классического метода обратной задачи рассеяния. Важным достижением квазиклассического квантования явилось вычисление квазиклассического цредела S -матриц в модели Синус-Гордон [35"] .

Однако решающим шагом в теории интегрируемых систем явилось создание квантового метода обратной задачи (КМОЗ). Этот метод соединяет все упоминавшиеся направления исследований. Он возник как непосредственное квантовое обобщение классического метода обратной задачи рассеяния. Основные идеи этого метода были предложены в работах [ 17, 15] Л.Д.Фадцеевда и Е.К.Скляниным. Дальнейшее развитие ШОЗ отражено в . обзорах \22, 34, 3, 42j .

Как и в классическом методе обратной задачи рассеяния, в ШОЗ основной конструкцией является вспомогательная линейная задача и ее матрица монодромии. В квантовом случае элементами матрицы монодромии являются операторы, действующие в пространстве состояний системы. Фундаментальную роль в ШОЗ играет квантовая R -матрица [15, 20 ] . Она определяет перестановочные соотношения между элементами квантовой матрицы монодромии. Квантовая R «матрица должна удовлетворять уравнению Янга-Бакстера.

Одним из важнейших достижений КМОЗ является построение собственных векторов производящей функции квантовых интегралов движения. Это удаетоя сделать с помощью чисто алгебраической процедуры, использущей перестановочные соотношения между элементами матршщ монодромии [20^ . В моделях, которые были решены ранее с помощью координатной подстановки Бете, такой подход существенно упростил построение собственных состояний, поэтому он был назван алгебраическим анзатцем Бете (МБ). Применение этого метода существенно расширило количество интегрируемых моделей. Так, например, были решены XXX модель Гайзенберга спина 2 [5, 54, 27^ , модель Синус-Гордон [1б] и другие.

Первоначально ААБ применялся к моделям, в которых R. -матрица имеет размер 4x4 . В этом случае, при наличии у нее определенной симметрии, перестановочные соотношения между элементами матрицы монодромии вполне обозримы и среди них легко найти нужные структуры [20] .

Для SV(tt) инвариантных матриц (они имеют размер У^* к1) обобщение ААБ сделано в работах [б, 9] . В [7, 19] построено матричное обобщение алгебраического анзатца Бете.

Однако, имеется широкий класс R -матриц со сложной алгебраической структурой, которая не позволяет применить ААБ к соответствующим моделям. До недавнего времени не существовало способов вычислять собственные значения цроизводящих функций квантовых интегралов .движения (трансфер-матриц) в этих моделях. Ситуация отчасти изменилась после того как автором [12, 13, 49] был цредло-жен иной метод вычисления собственных значений трансфер-матриц. Этот метод основан на использовании системы функциональных уравнений, которым удовлетворяют трансфер-матрицы. Собственные значения ищутся как решения этой системы уравнений в классе функций, который определяется аналитическими свойствами матрицы монодро-мии. В известных случаях аналитическая структура трансфер-матрицы позволяет искать ее собственные значения, используя анзатцы весьма специального вида. По этой причине метод можно назвать аналитическим анзатцем Бете. Следует отметить, что аналогичный метод был независимо предложен Бакстером и Пирсом 28 для вычисления собственных значений трансфер-матриц в модели твердых гек-сагонов.

В диссертационной работе аналитический анзатц Бете применяется к системам типа магнетиков, в которых матрица монодромии строится из произведений R. -матриц.

Перейдем теперь к изложению результатов диссертации.

В § I главы I приведено уравнение Янга-Бакстера и основные свойства его решений. Напоминается связь решений уравнения Янга

Бакстера с квантовым методом обратной задачи. Следующий, § 2, посвящен изложению теоремы "размножения" решений уравнения Янга-Бак-стера и обзору SV(n) инвариантных R -матриц. Свойства £1/(2) инвариантных трансфер-матриц анализируется в § 3. В § 4 исследуются свойства $1ДЗ) инвариантных трансфер-матриц. Результаты последних двух параграфов этой главы являются отправным пунктом для метода функциональных уравнений (аналитического анзатца Бете). Изложению этого метода и полученных с его помощью результатов посвящена глава 2.

Метод аналитического анзатца Бете подробно демонстрируется в § I главы 2 на примере УУ2 модели спина 1/2. Затем, в § 2, этим методом вычисляются собственные значения трансфер-матрицы модели Изургина-Корепина. Собственные значения О(Н) и Spfrk) инвариантных трансфер-матриц вычисляются, соответственно, в § 3 и § 4. В заключение главы 2 показано, что полученные результаты согласованы с классическими изоморфизмами алгебр Ли и приведены конкретные примеры интегрируемых гамильтонианов.

Глава 3 посвящена исследованию О (2 к) инвариантной релятивистской интегрируемой модели с четырехфермионным взаимодействием. Описание модели дано в § I этой главы. Во втором параграфе, с помощью результатов главы 2, диагонализувтся гамильтониан модели. В § 3 осуществляется переход к термодинамическому пределу во вспомогательном к) инвариантном магнетике. Переход к термодинамическому пределу в исходной модели и снятие ультрафиолетовой регуляризации осуществляется в § 4. Вопросу редукции рассматриваемой модели к Ofck) модели Гросса-Неве посвящен § 5. В заключение главы 3 обсуждаются некоторые нерешенные проблемы.

Подведем итоги диссертации. Основными ее результатами являют ся: I) формулировка аналитического анзатца Бете - метода вычисле ния: собственных значений трансфер-матриц в интегрируемых кван товых моделях, 2) вычисление собственных значений трансфер-матри цы модели Изергина-Корешша, ОМ ж ^р (^ Ю инвариантных транс фер-матриц, 3) точное решение 0(2к) инвариантной модели реля тивистской квантовой теории поля.Отметим ряд нерешенных или частично решенных вопросов, кото рые характеризуют возможное дальнейшее направление исследований,

1. Понять, с теорией представлений каких математических объек тов связан квантовый метод обратной задачи.2. Найти решение нелинейных б' -моделей на симметрических пространствах.3. Вычислить корреляционные функции в интегрируемых квантовых моделях.Все эти направления развиваются и уже сейчас можно говорить о первых результатах, касающихся вычисления корреляционных функ ций Г41, 43^ . Остальные вопросы пока ждут своего решения.Автор благодарен научному руководителю П.П.Кулишу за пос тояннзгю поддержку, внимание к работе и плодотворные обсуждения, а также академику Л.Д.Фддцееву, под влиянием которого сфоршфо вались мои научные интересы. ПРШЮЖЕЕИЕ А Приведем некоторые необходимые в главе I сведения из теории конечномерных представлений группы . U(H.) , Генераторы этой грзшпы уцовлетворяют следующим коммутационных соотношениям Элементы центра - операторы Казимира, коммутируют со всеми гене раторами и имеют вцц Неприводимые представления 1)1^,) характеризуются cTapmmi весом A^(vvi^^...j У^п) , где hi- - целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условию доминантности ии^ ^ щ^. "^ • -- ^ > m у^ . Пространство, в котором действует такое представле ние, будем обозначать через Л/"(Л) , Оно породцается действием операторов Р м ^ '- '^ Д ' ^^ старший вектор f^ , : В пространстве V(.A.) операторы (А.2) кратны единичной матрице.Наиболее просто выглядят значения на V f A ) первых из них: с ^ л ) . i : m^ + Z : (vve-w,^) (A.4) Транспонирование и изменение знака генераторов соответствует пе реходу к сопряженному (контразт)адиентному) представлению. Если р- • - генераторы V{n) в цредставлении со старшим весом Д = • (уи^ ... , vviyv) » Рм -^ сопряженном представлении, со старпшл весом Л ^ ( vvii , уи^+ж^-ы^,., ,... , ы, +т^-Ые , . . . , Ж к ) » то Р^Ч - K.wior,^ - Рин-,,ни, Размерности пространств У ( л ) и У(/\) совпадают.Векторным представлением Т/Си.) называется представление со старшим весом ^^^^^ •• , 0) Будут использоваться следующие сокращения: вместо (ы,о,--- о) будем писать С^) , шесто ('vn] ••• ,yv\, о ,••• .о) - |^жМ » вместо (vvi^KjO-'O) _ C^j^) и т.д. Тензорное произведение не11риво.цимых предствлений "U"(_i^ ) является приводиглым и расклады вается в прямую сумму неприводиглых (в ряд Клебша-Гордана). Приве дем те из них, которые используются в основном тексте.e-i Vl^)<^ VU^3 = VCwi.l 1 e VLv^^i,! ' "1 , (A.7) Если в (A.9) *^ c = ^ ^cvi , TO в сумме отсутствует член с Формула Сх( Л ® А ' ) •= С:, (л) -н Сг СА') + позволяет найти спектральное разложение тензорного произведения генераторов. В частности, из (А.8) и (А.9) получаем: Z ] pc^ t'i^ l ® Pjc (^) - - VV) 9^ + К Фд^ . (A.I2) В формуле (А.II) ii - проекторы на представление со старшим ней отсутствует член с В= it i . в формуле (А. 12) ^^ - про ектор на представление со старшим весом Гж, d*^ ] » Я\ - проек- 105 -

тор на представление со старшим весш L'^ -^'^ ; ^ J. ПРИЯОЖЕЕШЕ Б Воспользовавшись ЯВНЕЗМ ВВДОМ йатриц R ' (ч), трансфер матрицу -tp (и) для N= Z можно вычислить явно: t't'cJ) = W ^t' ''^ ^ 1?1Л") = (ен) [цЧ {ц *- eie--!) п t { ( + 2 ) i (Б-1> где г 2^. - оператор перестановки в Vi® V^ , )V^ н С .После тож.цественных преобразований имеем: При t -^ о^ t^u). i ^p^ i i .od) ) .Отсвда получаем, что Qoi'^) - i- соответствует подпространству спина!, ?^ g^ V/i<^V2. , Q^(u)= u--£ -подпространству спина О, р^- V^^\