Об асимптотическом поведении решений некоторых гиперболических уравнений, содержащих большой параметр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САШТ-ПИЕРБЛТСКИа Г0СУД1ИГШННШ ЛИВКРСИТЕТ

На правах рукописи

Климова Анна Александровна

ОБ АСШТГОТРИЕСКСМ ПОВЕДШИ РЕШШ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,

содЕРшда Болыюа параметр

cn.oi.oa - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соисканш учэноа стегони . кандидата фтаико-матемаппэских наук

Санкт-Петербург

1993

Работа выполнена на кафедре математической физики изтематико-шханичаского факультете Сэнкт-Пэтербургского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор БАБИЧ Василий Михайлович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук КИСЕЛЕВ Алексей Прохорович

кандидат физико-математических наук ПАНКРАТОВА Татьяна Федоровна

Вэдущая организация - Институт проблем механики РАН с Москва;.

Задета состоится . •16 ^гюсл _ 1 аза года

в // часов на заседании специализированного совета к. 083.67.49 го присуждений учэвоа степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университета по адресу: 198904. Старый Петергоф, Библиотечная пл.а.

С дассергащвй ■ можно ознакомиться в Научной библиотека СПйГУ по адресу: 139034, Санкт-Петербург-Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан Ц НО.<Я_ 1эээ года.

Учэныа секретарь специализированного совета кандидат физ.-иатем. наук

А.И.Шепелявый

Актуальность теиы

Многие вашыэ проблемы механики и математической физики приводят к необходимости реиать краевые задачи для линейных уравнений в частных производил, содержащих малый параметр при старших производных или, что, по существу, то же самое, большой параметр при млада« производных. В связи в этим были развиты известный метод склейки , или сращивания, асимптотических разложений и техника пограничного слоя. Однако данные приемы имеют существенные недостаток. _ Сращивание асимптотических разложений часто представляет собой весьма громоздкую процедуру, 'что призодат к затруднениям при практическом использовании этих приемов.

Использование асимптотик другого типа - так назьтаемых равномерных асимптотических разложения - не требует применения процедуры сращивания. Кроив того, они весьма элегантны с математической точки зрения. Широко известный пример тагане разложений - формулы черри я Олверз, которые дает асимптотику решений обыкновении* дифференциальных уравнений, содержащих простую точку поворота. Асдатготаки такого типа объединяют и классическую методику ВКБ, и погранслояное разложение вблизи точки поворота. В начале века, изучая задачу Кош для гиперболических дифференциальных уравнений второго порядка, й.Адамар предложил сбой тип разложения дот элементарного решения

гшюрЗолтвсхога . уравнения. Анзатц Адамара является равномерным асимптотическим разложением < асимптотикой по гладкости». Оа описывает поведение решения вблизи поверхности характеристического коноида и вблизи, его Ввршшы. На щт соединения методики Адамара и преобразования Фурье можно получить ряд других важных равномерных асимптотик, обзор которых содержится в статье В. 11.Байта "Анзатц Адамара, его аналоги, обобщения и пршкшэюи".1 В данной стать© т рассматривается гатрболическсо уравнение с большим параметром ' при производных первого порядка, тогда как именно этот случай ваши для приложения (имеется в виду проблема иерархии волн I. Аситготша фундаментального решения задачи Кони для такого уравнения и рассматривается в диссертации. Метод, исследования, восходящий к построениям Адамара, приводит к равномерный разложениям соответствующего элементарного реташш. Это дает возможность создания аналитической интерпретации многомерного варианта явления волновой иерархии.

1Бабич В.И. Анзатц Адамара, его аналоги, обобщония и пршюявдия - Алгебра и анализ. 1 <?■?!, т.з. N 5, с.1~з7.

Целью работы является построение и иооладовзниэ асштготики при к + фундаментального решения задачи Коши:

A* m Л*.. m Jfc.

Ни а и - £ , + П С к* * Ь 5 *

at* i.T- li »*. Л<. оГ-0 <* °

<• J

Ckc + сЭи - ¿СЮ

»0 сю

'ко

*»Сх,х, ... , * Э

О i in

с здесь я t, крэффшц-мпта уравнения - бесконечно дифференцируемые функции t, xf ..... ^ , матрица -

положительно определенная:), а также получение энергетической оценки остаточного члана ряда, в вида которого в работе ищется ретгэЕКэ Все рассмотрения ведутся в области к , ограниченной верхней полой характеристического коноида уравнения сю и гигврплоскостыо t =т = const > о.

Научная ловизяа а практическая ценность

Вопросы, связанные с фундаментальным решением задачи Кош для уравнения с большим параметром при младших членах достаточно общего вида, ранее не рассматривались. Настоящее

исследовании обобщает на многомерный случая результаты, подученные для даукеряого случая Да- Уиземом и В. П. Смышляевым, касающиеся явления "иерархии волн,,а. Изучение этого явления сущэственно для некоторых вопросов гидромеханики.

Результаты, виносашю на ввциту

1. Ввшвниз задачи сю иоашо найти в вида асимптотического разложения!

ц - екр > СА.Г> , Ск.тЭ ♦ кВ Г. Ск.тЭЭ С*«)

I ) К* 4П

1-й

г

Здесь и в дальнейшем через г мы обозначаем функции вида сгтз* "

Г Ск.тЭ - ----- X СктЭ С1Э

р к" "

¡2

ОТЦЬЬат О. В. Ылеаг агс1 лопИпеаг мауез, N• У. -ЬогкЗоп» 1979

срус.пэр.: Линейные и нелинейные волны. Мир, М., 1977э.

Здесь его*

СЗтЭк т > о о т < о

I со = » л с со. < - У -1

р р

где J - функция Бесселя-р

г. Необходимым условием устойчивости решения задачи Коти является выполнение неравенств:

а СХ5 > О о

а*СХ> > Ь^СХЭ а^ХЭ а^ХЭ ДНЯ ЛКбОГО X в К СЭ>

ССЬ. 3 - с» ч О

3. Коэффициенты а. . в, анзатца с »«о. а также р, г* являются гладкими функциями горемешьп ь, х1 ..... хп.

4. В первом приближении функция р лшевна. функция т* квадратична.

з. В окрестности "линии тока" , задаваемой уравнениями

<1х. а

фундаментальное решение описывается разложением геометро-оптигаесхого типа и аналогично гауссову пучку в теории дифракции. ■

е. Для остаточного члапа аязатца с«ю справедлива

оценка:

const

И*«"*5 -----------------

^ N ♦ X - ■ - т/я

s г о. s - целое

NSCm-E>'/a+s

const в нораюЕсгаэ нэ зависит от параметра к

Степень оЗогаюваЕности результатов работы

Все результаты представляют собой математические теоремы, доказанные на современном уровне математической строт ости.

Катода исследования

Исследования вопросов устойчивости проводится с использоБашзм методики плоских волн и геометро-оптических разложений.

Реиение ищется в видв анзатцэ сасимггтотического разложения) с «*:>. козффивдвнгы которого строятся и исслэдуются с помощью метода характеристик.

При доказательстве гладкости существенно используется

1еорема Мальгранжа с аналог подготовительной теоремы Веаерштрассаз.

Для оценки остаточного члена анзатда проводятся энергетические оценки решения задачи Ковш для оператора н ОО . При ЭТОМ применяется "а.Ь,с-Рг1ес1г1сЬ5-те(.Ьос1" И теоремы вложения.

Апробация работа

Результаты работы сообщались на сенинарах профессора В. М- Бабича и на семинаре им. В. И. Смирнова в Санкт-Петербургском отделении математического института имени В. Н. Стекловз.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались па Международном симпозиуме "Дзнь дифракции" с Санкт-Петербург. 1вэаз и на симпозиуме. посвящэнном памяти И. Г Петровского с Москва, 19935.

Публикации

Основные результаты, представленные в диссертации, содержатся в статье "Задача Кот для гиперболического уравнения с большим параметром при младших производных и иерархия воли", деп. ВИШНИ N аазз-Ввз от ю. оа. аз.

Структура в овьем работы

Диссертация состоит из введения. пяти глав, приложения, заключения, списка литературы из 1э названия Она содержит ез страниц машинописного текста и э рисунка.

КРАТКОЙ СОДЕРЫШВ РАБОТЫ

Глава I, содариаздая два параграфа, посвящена проблеме выделения случаев возникновения неустойчивых решения задачи Кош для огератора, определенного в сю. Дано соответствующее определение устойчивости. Получены условия устойчивости, которые в случае пероманных коэффициентов принимает вид «>. Критерия устойчивости имеет простои кинематические смысл: скорость, определяемая младшими членами уравнения, меньше скорости, определяемо» его старшими членами.

В главе 2 находится явный вид и изучаются свойства Фундаментального решения задачи Коти для уравнения с постоянными коэффициентами

* Ч»

и - ли + * *----2- * 6 сх5 с8э

и "»«

С*

и| »О ЧсО

Глава 3 посвящена нахождению фундаментального решения задата Кош сю. В $ 1 обсуждаются свойства функция гр, входящих в анзагц. С помощью аналитического продолжения гр распространяется в левую полуплоскость ке р < - 1 комплексной плоскости и является целой функцией р .

Подстановка разложения с*ю в уравнен» сю осуществляется в { а. Гам же выводятся соотношения дм нахождения функция *> и т*:

а <р 1 f

А о + а ----- + а ------ Д т 3 О

° а г ' а х J

сеэ

а т* а г'

гдср,т*3 ♦ а ----- + а.----- - О

' п ' э ^

С помощью несложных преобразования эти уравнения преобразуются в систему уравнений эйконала для функция чн-т. р - т, решить которые удается методом характеристик в § э. В § в вычисляются первые приближения для функций р. т. Свойства функция *> + г, *> - т обсувдаится в $ 4 . Доказывается, что вяутри характеристического коноида *>+г < о, ф—т < о, при этом р+т » о только на поверхности характеристического коноида.

Коэффициенты а^, в разложения с*«о однозначно определяются из рекуррентной системы уравнений, которая может быть преобразована в систему уравнений переноса:

п

♦ л р » °

о 9 р+4

2&С0 , р ; I) + » ----— ♦ а, ------- +

' ° О I '»х

♦ . *

С Ь Ср - т) с 0 ■*■ Р~ - О С73

р+1 й г I Р,

♦ X ♦ р ♦ ХУ2

Здесь о" =» а г а - свэ

р-и Р+Л

4 / ' ' * 8

рч .

функции Г)~р зависят только от коэффициентов а^ , в^ и из производных.

Используется известное обозначаю© Бельтрами

1 « ь в к. ' д а 9 х(

^сгз = д^.гэ,

а также введенное для удобства обозначение

ь . . а , ь „ ь _г_

' Л* " вх^. ° л

Коэффициенты а}, в. находятся однозначно при задании

ао<оз, которое определяется та условии нормировки анзатца

с*«. Анзатц с«5 должен быть нормирован так. чтобы после

его подстановки в уравнение сю справа получилась точно

«-функция с $ 7 главы зз.

Поведет® при к -» -«о фундаментального решения

в окрестности "линии тока" изучается в § 8.

Решение описывается разложением юэометро-оптичоского типа:

и . вк<> ------1............Св5

При этом функции » и и удовлетворяют уравнению эйконала и уравнениям переноса и могут быть найдены в виде формальных асимптотических разложений.

Глава 4 посвящена доказательству гладкости функций *> . т2 с { 1> и коэффициентов а, , в. с ( з). | г носит вспомогательный характер и содержит дополнительные сведения о свойствах гладких функция, обращающихся в нуль на поверхности характеристического коноида.

В главе 5 оценивается остаточный член ряда с>«о. Доказывается, что для него справедливо неравенство с4). Полученная оценка позволяет сделать вывод о том. что разложение с ««о является асимптотикой по гладкости и асимптотикой по большому параметру фундаментального решения и задачи Коши сю.

ПШОШШ содержит доказательство того, что через кзздую точку в окрэстности вершины характеристического коноида проходит один и только один полулуч.

ЗА1ШНИШ. Изучение вопросов устойчивости для гиперболических уравнений позволяет сделать вывод о связи проблемы устойчивости решений с проблемой иерархии волн. Сформулированное в работе условие устойчивости имеет простоя кинематический сшсл. Подучила подтвэрвдениэ гипотеза о том, что Фундаментальное рсжэнга уравнений вида сю

целесообразно искать в вида аазатца <«*>. При этом козфЗициэнты внзатца оказываются бесконечно диМереяцируомыми функциями. В случае выполнения условий устойчивости при к. ч решение задачи <«> сосредотачивается вдоль некоторой лишш, в окрестности которой оно подобно гауссову пучку в теории дифракции. Получена равномерная оценка остаточного члена анзатца, которая является оправданием выбранного асимптотического разложения.

Работы, одрвликованные по тепа диссертация Климова Л. к. "Задача Кош для гиперболического уравнения с большим .параметром при кладам производных и иерархия волн", дан.ВИНИТИ N 2253-Всз от 10.ее.чз.