Квантовый метод обратной задачи и корреляционные функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕЩЕНИЕ.

Глава I. КЛАССИЧЕСКАЯ Ъ -МАТРИЦА. /

§ I. Общая схема. ^

§ 2. Примеры.

Глава П. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОГО МЕТОДА

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.

§ I. Общая схема. 2,

§ 2. Модели квантовой теории поля.

§ 3. Тоздества следов в квантовом случае.

§ 4. Фундаментальные спиновые модели.

§ 5. Фундаментальные модели статфизики.«5*2,

§ 6. Алгебраический анзатц Бете.

§ 7. Примеры.

Глава Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО АНЗАТЦА БЕТЕ . ?-/

§ I. Принцип Паули для одномерных взаимодействующих бозонов.

§ 2. Оператор сдвига.

§ 3. Классификация матриц монодромии.

§ 4. Квантовый детерминант

§

§ 5. Рекуррентные свойства статсуммы 22^,.

Глава 1У. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

ПОЛЯ НА РЕШЕТКЕ.9Ъ

§ I. Классические модели теории поля на решетке .$$

§ 2. Квантовая модель на решетке, связанная с нелинейным уравнением Шредингера./02.

§ 3. Классификация квантовых Л -операторов./

§ 4. Квантовая модель синус-Гордон на решетке.

Глава У. ШЧИСШШЕ НАБЛЮДШИХ ВЕЛИЧИН.

§ I. Матрица рассеяния в одномерном Бозе-газе./УЗ

§ 2. Модель синус-Гордон на решетке.

§ 3. Непрерывная модель синус-Гордон и массивная модель Тирринга ./

Глава У1. ТЕОРИЯ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВБЩЕНИЙ.1Ц

§ I. Скалярные произведения.-/

§ 2. Свойства коэффициентов Кд, ."/

§ 3. Формула для вычета .^

Глава УЛ.НОРМЫ ЕЕТЕВСКЙХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ.1^

§ I. Гипотеза Годена.Ц\

§ 2. Свойства якобиана

§ 3. Доказательство гипотезы Годена.

§ 4. Термодинамический предел.-/

Глава УШ. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ.

§ I. Обобщенная двухузельная модель.

§ 2. Свойства оператора

§ 3. Представление формфактора оператора

§ 4. Формфактор оператора ¿?г

Глава IX. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ.1Ш

§ I. Среднее значение оператора ВКр

§ 2. Неприводимая часть.

§ 3. Основные свойства среднего значения оператора й<

§ 4. Выражение через неприводимые части.

§ 5. Термодинамический цредел.2 "/

§ 6. Вклад К -частичных цроцессов в корреляционную функцию. 2.

§ 7. Коррелятор токов. 2,2,

В последнее время двумерные модели классической и квантовой теории поля привлекают все большее внимание. Это связано с достижениями метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), который был оифыт в 1967 г. [126] . С помощью этого метода удалось найти обширный класс двумерных нелинейных эволюционных уравнений, допускающих явное решение. В этом классе находятся такие известные уравнения как нелинейное уравнение Щредингера, уравнение синус-Гордон, массивная модель Тирринга, уравнение Кортевега-де Фриса, ферромагнетик Гейзенберга. Эти уравнения достаточно универсальны и имеют приложения в различных областях теоретической и математической физики, многие из этих уравнений описывают конкретные физические явления. Дальнейшее развитие МОЗР ооновывалось иа результатах работы [150] , в которой был выявлен алгебраический механизм метода, и на работе [25] , в которой дана его гамшгьтонова интерпретация. Га-мильтоновы системы, соответствующие этим уравнениям, являются вполне интегрируемыми. Гамильтонова интерпретация МОЗР показала, что переход к данным рассеяния вспомогательной линейной задачи можно рассматривать как преобразование к переменным типа "действие-угол". Это соображение привело к последовательной схеме квантования таких уравнений в рамках квазиклаосичес-кого приближения. В работах [120] , [43] , [Иб] , [9] была создана квантовая теория солитонов. В этих работах было доказано, что солитону (частицеподобному решению нелинейного эволюционного уравнения) после квантования соответствует элементарная частица в спектре квантового гамильтониана, были вычислены наблюдаемые величины, характеризующие квантовый солит он. Впоследствии оказалось, что многие квазиклассические результаты точны. В 1978 г. Л.Д.Фадцеевым и его сотрудниками был создан квантовый метод обратной задачи (КМОЗ) ["65] , [79], [69^ f [70] » С119] ' С82] • Ооновные положения КМОЗ были сформулированы в работах [82] , [119] • С тех пор метод интенсивно развивался [80] , [121] , [27-39] , [4б] , [47] , {49-51], [144-149] , [122] , [73] . Многие положения классического метода обратной задачи удалось перенести на квантовый случай. Появление КМОЗ привело к постановке ряда актуальных задач, связанных с развитием математического аппарата этого метода. Среди этих задач отметим следующие: а) перенести представление Лакса на квантовый случай и доказать существование представления Лакса при наличии -матрицы; б) дать определение детерминанта матрицы монодромии в квантовом случае; в) проклассифицировать все матрицы монодромии и А -операторы, оплетающиеся данной Я -матрицей. Эта задача овязана с классификацией интегрируемых систем.

С помощью КМОЗ удалось решить большое количество двумерных моделей квантовой теории поля и статистической физики. По мере создания ШОЗ выяснилась его тесная связь оо следующими методами современной математической физики. Во-первых, это метод построения явных формул для собственных функций некоторых квантовомеханических гамильтонианов (анзатц Бете) см. [107] , [43-51] , [99] , [129] , [174] , [б] , [108] , [128] , [127] , [158] , [161] . Важным достижением КМОЗ явилось создание алгебраической схемы анзатца Бете. Во-вторых, это метод решения двумерных решеточных моделей классической статистической физики, развитый в работах [155-157] , [164] , ¡52-60] , [95-98] , [101] , [105] . Следует также отметить связь КМОЗ с методом факторизованных 5 -матриц [16] , [18] , [83] , [102], [123] , [176] , [177] • КМОЗ также позволяет решать физически интересные модели двумерной квантовой теории поля; в этих моделях с помощью КМОЗ удается построить физический вакуум как море Дирака, описать возбуждения и вычислить спектр ренормиро-ванного гамильтониана. Следуя идеям Инга и Либа [153-157] , [175] , легко вычислить энергию и импульс наблюдаемых частиц (построить соответствующие одевающие уравнения). Актуальной задачей является построение одевающих уравнений для матрицы рассеяния. Все величины, характеризующие интегрируемую модель, могут быть вычислены о помощью анзатца Бете. Необходимо разработать метод вычисления матрицы рассеяния физических частиц с помощью анзатца Бете в случае заполненного вакуума. Наиболее актуальной задачей является вычисление корреляционных функций. Эта задача давно привлекает внимание специалистов. Дело в том, что целый ряд важнейших характеристик двумерных моделей выражается с помощью корреляционных функций. Наибольший интерес представляют модели с заполненным вакуумом. До сих пор удавалось вычислить корреляторы лишь в тех моделях, которые эквивалентны свободным фершонам. С задачей о корреляторах тесно связана задача о вычислении норм Бетевских волновых функций. Нормы Бетевских волновых функций изучал М.Годен [127] на примере квантового нелинейного уравнения Шредингера (другое название этой модели - одномерный Бозе-газ). В 1972 году он высказал гипотезу о том, что квадрат нормы волновой функции равен некоторому якобиану. Актуально доказать эту гипотезу. Следует упомянуть о таких задачах в КМОЗ, которые являются специфическими для моделей теории поля. Актуальным является построение интегрируемых квантовых моделей теории шля на решетке. Такие модели должны описываться локальными гамильтонианами. Особенно важно строить решеточные модели, обладающие той же Д. -матрицей, что и соответствующие непрерывные. Такие решеточные модели обладают той же структурой переменных "действие-угол", что и соответствующие непрерывные. В релятивистских моделях такие решеточные модели можно использовать для непосредственного решения проблемы ультрафиолетовых расходи-мостей. В диссертации последовательно излагается квантовый метод обратной задачи. Особое внимание посвящено исследованию алгебраического Бете-анзатца.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Задача о вычислении корреляционных функций сформулирована в рамках алгебраического анзатца Бете. Вычислена корреляционная функция токов в одномерном Бозе-газе с отталкиванием.

2) Доказана гипотеза Годена о явной форвдуле для норм Бе-тевских волновых функций.

3) Сформулирован метод вычисления матрицы рассеяния физических частиц с помощью Бете анзатца в случае заполненного вакуума. Построены одевающие уравнения для матрицы рассеяния в массивной мод еж Тирринга. Эти уравнения позволяют вычислить явный вид матрицы рассеяния.

4) Построено нелинейное уравнение Шредингера на решетке как в классическом, так и в квантовом случаях. Эта модель является вполне интегрируемой и обладает той же Я -матрицей, что и в непрерывном случае. Гамильтониан этой решеточной модели является локальным. Разработан общий способ построения локальных гамильтонианов для классических решеточных моделей.

5) Доказано, что для существования представления Лакса в квантовом случае достаточно существования Л- -матрицы и тождеств следов. Приведена явная конструкция оператора сдвига во времени.

6) Сформулировано определение детерминанта матрицы моно-дромии в квантовом случае.

7) Проклассифицированы все матрицы монодромии и / «операторы, сплетающиеся Я -матрицей XXX модели Гейзенберга и обладающие вакуумом.

Результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах [29] , [30] , [32-39] , [135] , [137] , [138] , [142] .

Материал расположен в диссертации следующим образом. Две первых главы носят вводный характер, в них дан обзор литура-туры. В первой главе приведены сведения из классического метода обратной задачи, необходимые для квантования. Вводится понятие классической *Ъ -матрицы. Приведены примеры. Вычислены ^ -матрицы для неабелевой цепочки Тоды и модели Жибера-Ша-бата-Михайлова.

Во второй главе приведены основные положения КМОЗ. В § I доказано, что существование & -матрицы и тоадеств следов гарантирует существование представления Лакса в квантовом случае. В § 2 приведены примеры моделей квантовой теории поля. Основной моделью, рассмотренной в диссертации, является нелинейное уравнение Щредингера (модель НШ). В квантовом случае эта модель эквивалентна одномерному Бозе-газу. В § 2 вычислен явный вид И -матриц для неабелевой цепочки Тоды и модели Жи-бера-Шабата-Михайлова. В § 6 описаны основные положения и последнее развитие алгебраического анзатца Бете.

Глава Ш посвящена исследованию алгебраического анзатца Бете. В ней решены некоторые общие задачи, возникающие в рамках КМОЗ. В § I в рамках алгебраического анзатца Бете доказан принцип Паули для модели НШ. В § 2 вычислены собственные значения оператора сдвига. В § 3 проводится полная классификация матриц монодромии, сплетающихся & -матрицей XXX модели и обладающих вакуумом. Обсуадается параллель между теорией представлений групп и КМОЗ. В § 4 вводится понятие детерминанта матрицы монодромии в квантовом случае.

В главе 1У строятся вполне интегрируемые модели теории поля на решетке как в классическом, так и в квантовом вариантах. В § I строится классическая модель НШ на решетке. Приведен общий способ построения локальных гамильтонианов для классических решеточных моделей. В § 2 строится квантовая дискретная модель НШ, обсуздается ее связь с теорией представления алгебры ЯЬОСЪ) . Строится локальный гамильтониан на решетке, рационально зависящий от локальных полей. В § 3 доказано, что и -оператор дискретной модели НШ иочерпывает все /л -операторы, сплетающиеся /2. -матрицей XXX модели.

Глава У посвящается вычислению наблюдаемых величин. В моделях, интересных для физических приложений, основное состояние гамильтониана (физический вакуум) строится как море Дирака. В § I рассматривается квантовая модель НШ. Строятся одевающие уравнения для наблтццаемых величин - одночастичной энергш, импульса и матрицы рассеяния. В § 3 рассматривается модель СТ. Эта модель эквивалентна массивной модели Тирринга. Приводится вычисление наблвдаемых величин в массивной модели Тирринга - спектра масс и 5 -матрицы. Приведен явный вид матрицы рассеяния.

В главе У1 построена теория скалярных произведений, которая позволяет в главе УП доказать гипотезу Годена о явной формуле для норм Бетевских волновых функций.

В главе УШ построена теория формфакторов, которая позволяет в главе IX вычислить корреляционные функции токов в модели ЕШ.

В Приложении I приведены некоторые тензорные обозначения, в Приложении 3 приведены формулы координатного анзатца Бете для модели НШ.

В диссертации принята двойная нумерация формул: первое число означает номер параграфа, а второе - порядковый номер формулы в этом параграфе. Кроме того, ссылки на формулы из других глав снабжены дополнительным (первым) числом, соответствующим номеру главы. Теоремы и леммы нумеруются отдельно в каждой главе.

В заключение я хочу выразить признательность своему учителю Лвдвигу Дмитриевичу Фадцееву, который оказал определяющее влияние на формирование моих научных интересов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем итоги. В диссертации решаются различные задачи. Некоторые из них связаны с развитием математического аппарата КМОЗ. Другие задачи давно стояли в двумерных моделях, но их удалось разрешить только после создания КМОЗ. Напомним основные результаты, полученные в диссертации.

1) Задача о вычислении корреляционных функций сформулирована в рамках алгебраического анзатца Бете. Вычислена корреляционная функция токов в одномерном Бозе-газе с отталкиванием.

2) Доказана гипотеза Годена о явной формуле для норм Бе-тевских волновых функций.

3) Сформулирован метод вычисления матрицы рассеяния физических частиц с помощью Бете анзатца в случае заполненного вакуума. Построены одевающие уравнения для матрицы рассеяния в массивной модели Тирринга. Эти уравнения позволяют вычислить явный вид матрицы рассеяния.

4) Построено нелинейное уравнение Щредингера на решетке как в классическом, так и в квантовом вариантах. Эта модель является интегрируемой и обладает той же Ц -матрицей, что и в непрерывном случае. Гамильтониан этой модели локален. Разработан общий способ построения локальных гамильтонианов для классических решеточных моделей.

5) Доказано, что для существования представления Лакса в квантовом случае достаточно существования £ -матрицы и тождеств следов. Приведена явная конструкция оператора сдвига во времени.

6) Сформулировано определение детерминанта матрицы монодро-мии в квантовом случае.

7) Проклассифицированы все матрицы монодромии и Л -операторы, сплетающиеся -матрицей XXX модели и обладающие вакуумом.

Б конце остановимся на возможных применениях точных результатов, полученных в двумерных моделях и на перспективах развития. Прежде всего следует упомянуть, что новые общие методы квантовой теории поля и статфизики можно проверять на точно-решаемых примерах. Можно с помощью корреляционных функций строить теорию возмущений в окрестности интегрируемых систем. При этом открывается возможность описывать произвольные модели теории поля рядами, отправляясь не только от свободного случая, но и от всех вполне интегрируемых. Во-вторых, имеются задачи, где двумерные результаты могут прямо применяться в четырехмерных задачах. Например, в работе ¡166^ теория дуальной струны вычисление высших порядков теории возмущений некоторых четырехмерных моделей сведено к двумерным интегрируемым случаям. Важным достижением КМОЗ также является то, что он позволяет полурая аналогична четырехмерному полю Янга-Миллса. Следует упомянуть и о прямом приложении двумерных моделей к эксперименту. Например, модель Кондо может быть точно решена с помощью Бете зиклаесичеекая теория солитонов и было доказано, что солитон (частицеподобное решение нелинейных уравнений) после квантования превращается в элементарную частицу. В настоящее время эта сводится к уравнению Лиувилля, в работах чать точные результаты в нелинейной сигма-мод ели [122] , кото

В рамках двумерных моделей была построена кваидея перенесена в четырехмерный случай ¡172^ . Следует упомянуть также о многомерном варианте уравнения Янга-Бакстера, построенном в [2] , ¡17] , £104] , который, возможно, позволит точно решать многомерные модели теории поля и статфизики.

1. И.Я.Арефьева, В.Е.Корепин Рассеяние в двумерной модели с лагранжианом +-п£(а%и-1).

2. Письма в ЖЭТФ, 20, № 1(1974), с.680-684.

3. В.В.Бажанов, Ю.П.Строганов. Об условиях коммутативности матриц перехода на многомерной решетке. Теор.матем.физика, 52, № 1(1982), с.105-113.

4. А.А.Белавин. Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем. Функц. анализ и прил., 14, № 4(1980), с.18-26.

5. А.А.Белавин, В.Г.Дринфельд. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли. Функц.анализ и прил., 16, № 3(1982), с.1-29.

6. Ф.А.Березин, Г.П.Похил, В.М.Финкельберг. Уравнение Шрединге-ра для системы одномерных частиц с точечным взаимодействием. -Вест. МГУ, сер. мат.-мех., № 1(1964), с.21-28.

7. Ф.А.Березин, В.Н.Сушко. Релятивистская двумерная модель самовзаимодействующего поля ненулевой массы покоя. ЖЭТФ, 45, № 5(1965), с. 1293-1306.

8. Н.М.Боголюбов. О физическом спектре решеточной модели синус-Гордон. Теор. матем. физика, 51, № 3(1982), с.344-354.

9. H.H.Боголюбов, Д.В.ЦЬфков. Введение в теорию квантованных полей. М., Наука, 1973.

10. В.С.Буслаев. Решения типа "двойного солитона" для многомерного уравнения OU=- Ff и) . Теор. мат ем. физика, 31, № 1(1977), с.23-32.

11. В.С.Буслаев, Л.Д.Фаддеев. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма-Лиувилля. ДАН СССР,132, № 1(1960), с.13-16.

12. П.Б.Вигман. Точное решение проблемы Коцдо. УФН, 136, № 31982), с.533-535.

13. В.И.Вичирко, Н.Ю.Решетихин. Спектр возбуждений обобщенного

14. Зи (3) магнетика. Теор. матем. физика, 56, № 2(1983), о.260-271.

15. И.М.Гельфацд, Б.М.Левитан. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, 88, № 4(1953), с.593-596.

16. В.Г.Дринфельд. О постоянных квазиклассических решениях квантового уравнения Янга-Бакстера. ДАН СССР, 273, № 31983), с.531-535.

17. А.В.Жибер, А.Б.Шабат. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой. ДАН СССР, 247, № 5(1979), с.1103-1107.

18. А.Б.Замолодчиков. Точная двухчастичная 5 -матрица квантовых солитонов модели -(так^о/ь Письма в ЖЭТФ, 25,10(1977), с.499-502.

19. А.Б.Замолодчиков. Уравнения тетраэдров и интегрируемые системы в трехмерном пространстве. ЖЭТФ, 79, № 2(1980),с.641-664.

20. А.Б.Замолодчиков, Ал.Б.Замолодчиков. Релятивистская факто-ризованная 5 -матрица в двумерном пространстве времени с изотопической симметрией 0(Л/) . Письма в ЖЭТФ, 26, № 8(1977), с.608-611.

21. В.Е.Захаров, С.В.Манаков. О полной интегрируемости нелинейного уравнения Щредингера. Теор. матем. физика, 19, № 3 (1974), с.332-343.

22. В.Е.Захаров, С.В.Манаков. Об обобщении метода обратной задачи рассеяния. Теор. матем. физика, 27, № 3(1976) с.283-287.

23. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М., Наука, 1980.

24. В.Е.Захаров, А.В.Михайлов. Релятивистски-инвариантные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи. -ЖЭТФ, 74, № 6(1978), с.1953-1973.

25. В.Е.Захаров, Л.А.Тахтаджян. Эквивалентность нелинейного уравнения Щредингера и уравнения ферромагнетика Гейзенбер-га. Теор. матем. физика, 38, № 1(1979), с.25-35.

26. В.Е.Захаров, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев. Полное описание решений "sin-Goido-K « уравнения. ДАН СССР, 219, № 6(1974), с.1334-1337.

27. В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев. Уравнение Кортевега-де Фриса -вполне интегрируемая гамильтонова система. Функц. анализ иприл., 5, № 4(1971), с.18-27.

28. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах.-ЖЭТФ, 61, № 1(1971), с.118-134.

29. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. О редукции однопетлевых диаграмм Фейнмана в скалярной теории поля. Вестн. ЛГУ, сер. физ.-зим., № 16(1979), с.17-24.

30. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин, Ф.А.Смирнов. Формулы следов для квантового нелинейного уравнения Щредингера. Теор. матем. физика, 48, №3(1981), с.319-323.

31. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. Квантовый метод обратной задачи.-Физика ЭЧАЯ, 13, № 3(1982), с.501-541.

32. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. Решеточная модель, связанная снелинейным уравнением Шредингера. ДАН СССР, 259, № I (1981), с.76-79.

33. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. Решеточная модель синус-Гордон. Вестн. ЛГУ, сер. физ.-хим., № 22(1981), с.84-87.

34. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. Принцип Паули для одномерных бозонов и алгебраический анзатц Бете. Зап.научн.семин.ЛСМИ, 120(1982), с.69-74.

35. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. Корреляционные функции в квантовом методе обратной задачи рассеяния. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 133(1984), с.92-112.

36. В.Е.Корепин. Непосредственное вычисление S -матрицы в массивной модели Тирринга. Теор. матем.физика, 41, № 2(1979), с.169-189.

37. В.Е.Корепин. 0 квантовании неабелевой цепочки Тода. Зап. научн.семин.ЛОМИ, 101(1981), с.90-100.

38. В.Е.Корепин. Анализ билинейного соотношения шестивершинной модели. ДАН СССР, 265, № 6(1982), с.1361-1364.

39. В.Е.Корепин. Корреляционные функции одномерного Бозе газа в случае отталкивания. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 133(1984),с.133-145.

40. В.Е.Корепин. Надбарьерное отражение солитонов. Письма в ЖЭТФ, 23, № 4(1976), с.224-228.

41. В.Е.Корепин. Квантование солитонов.- Кандидатская диссертация, ЛОМИ, 1977. •

42. В.Е.Корепин. Новые эффекты в модели $СП2- (гогс1сч1 црИ большой константе связи. Письма В ЖЭТФ, 30, В 9(1979),с.633-638.

43. В.Е.Корепин, Л.Д.Фаддеев. Квантование солитонов. Теор. матем. физика, 25, № 2(1975), с.164-178.

44. И.М.Кричивер. Уравнения Янга-Бакстера и алгебраическая геометрия. Функц. анализ и пршг., 15, № 2(1981), с.22-35.

45. Е.А.Кузнецов, А.В.Михайлов. 0 полной интегрируемости двумерной классической модели Тирринга. Теор. матем. физика, 30, № 3(1977), с.303-314.

46. П.П.Кулиш. Квантовый метод обратной задачи и точно решаемые модели статистической физики. В кн.: Труды П международного симпозиума по избранным проблемам статистической физики, Дубна 1981, с.147-157.

47. П.П.Кулиш. Многокомпонентное нелинейное уравнение Шредин-гера с градуировкой. ДАН СССР, 255, № 2(1980), с.323-326.

48. П.П.Кулиш. С.В.Манаков, Л.Д.Фаддеев. Сравнение точных квантовых и квазиклассических ответов для нелинейного уравнения Шредингера. Теор. матем. физика, 28, № 1(1976), с.38-45.

49. П.П.Кулиш, Н.Ю.Решетихин. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представления. Зап.научн. семин.ЛОМИ, 101(1980), с.101-110.

50. П.П.Кулиш, Н.Ю.Решетихин. Обобщенный ферромагнетик Гейзен-берга и модель Гросса-Неве. ЖЭТФ, 80, № 1(1981), с.214-228.

51. П.П.Кулиш, Е.К.Склянин. О решениях уравнения Янга-Бакстера.- Зап.научн.семин.ЛОМИ, 95(1980), с.129-160.

52. С.В.Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ, 67, № 2(1974), с.543-555.

53. А.И.Маркушевич. Теория аналитических функций. М., Наука, 1967.

54. А.В.Михайлов. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода. Письма в ЖЭТФ, 30, № 7(1979), с.443-448.

55. Л.П.Нижник. Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев, "Наукова думка", 1973.

56. С.П.Новиков. Периодическая задача Кортевега-це Фриса I. -Функц. анализ и прил., 8, № 3(1974), с.54-66.

57. А.М.Переломов. Точные результаты для одномерных многочастичных систем. Физика элементарных частиц и атомного ядра., 10, £ 4(1979), с.850-883.

58. А.К.Погребков, В.Н.Сушко. Квантовые солитоны и их связь с фермионными полями цри взаимодействии. Теор. мат ем. физика, 26, }£ 3(1976), с.419-424.

59. В.Н.Попов. Длинноволновая асимптотика многочастичных функций Грина в одномерном Бозе газе. Письма в ЖЭТФ, 31, № 9 (1980), с.560-563.

60. В.Н.Попов. Об одном методе расчета асимптотики корреляторов плоской модели Изинга. Зап.научн. семин.ЛОМИ, 77(1978), с.188-213.

61. В.Н.Попов. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М., Атомиздат, 1976.

62. Н.Ю.Решетихин. Метод функциональных уравнений в теории точно решаемых квантовых систем. ЖЭТФ, 84, № 3(1983), с.1190-1201.

63. Н.Ю.Решетихин, Ф.А.Смирнов. Квантовые функции Флоке. Зап. научн.семин.ЛОМИ, 131(1983), с.128-141.

64. М.А.Семенов-Тян-Шанский. Что такое классическая К -матрица. Функц. анализ и црил., 17, № 4(1983), с.17-83.

65. Е.К.Сктгянин. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Щредингера. ДАН СССР, 244, № 6(1978), с.1337-1341.

66. Е.К.Скжянин. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 95, (1980), с.55-128.

67. Е.К.Склянин. 0 некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Функц. анализ и прил., 16, № 4(1982), с.27-34.

68. Е.К.Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Представления квадратичной алгебры. Функц. анализ и прил., 17, № 4(1983), с.34-48.

69. Е.К.Склянин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фадцеев. Квантовый метод обратной задачи I. Теор. матем. физика, 40, № 2(1979), с.194-220.

70. Е.К.Склянин, Л.Д.Фадцеев. Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым моделям теории поля. ДАН СССР, 243, № 6(1978), с.1430-1433.

71. Ф.А.Смирнов. Уравнения Гелъфанда-Левитана для квантового нелинейного уравнения Щредингера с цритяжением. ДАН СССР, 262, № 1(1982), с.78-83.

72. В.О.Тарасов. Классический вариант решеточной модели синус-Гордон. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 120(1982), с.173-187.

73. В.О.Тарасов, Л.А.Тахтадаян, Л.Д.Фадцеев. Локальные гамильтонианы для интегрируемых квантовых моделей на решетке. Теор. матем. физика, 57, № 2(1983), с.163-181.

74. Л.А.Тахтадаян. Точная теория распространения ультракоротких оптических импульсов в двухуровневых средах ЖЭТФ, 66, № 2 (1974), с.476-489.

75. Л.А.Тахтадаян, Л.Д.Фадцеев. Существенно нелинейная одномерная модель классической теории поля. Теор. матем. физика, 21, № 2(1974), с.160-174.

76. Л.А.Тахтадаян, Л.Д.Фаддеев. Простая связь геометрического и гамшгьтонового представлений интегрируемых нелинейных уравнений. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 115(1982), с.264-273.

77. Л.А.Тахтадаян, Л.Д.Фадцеев. Частицы для уравнения Сайн-Гор-дон. УМН, 29, № 3(1974), с. 249-250.

78. Л.А.Тахтадаян, Л.Д.Фадцеев. Гамильтонова система, связанная с уравнением $1ЛИ-=0 . Труды МИАН СССР, 142(1976), с. 254-265.

79. Л.А.Тахтадаян, Л.Д.Фадцеев. Квантовый метод обратной задачи и ХУ1 модель Гейзенберга. УМН, 34, № 5(1979), с.13-63.

80. Л.А.Тахтадаян, Л.Д.Фадцеев. Спектр и рассеяние возбувдений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга. Зап.научн. семин.ЛОМИ, 109(1981), с.134-178.

81. Л.Д.Фадцеев. Обратная задача квантовой теории рассеяния. -УМН, 14, № 4(1959), с.57-119.

82. Л.Д.Фадцеев. Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля. В кн.: Труды У международного совещания по нелокальнам теориям поля. Дубна, 1979, с.249-304.- 260 j

83. В.А.Фатеев. Факторизованная S -матрица для частиц с различной четностью и интегрируемая 21-верпшнная статистическая модель. Ядерная Физика, 33, № 5(1981), с.1419-1430.

84. А.Я.Хинчин. Цепные дроби. М., Наука, 1978.

85. И.В.Чередник. О некоторых S -матрицах, связанных с неабе-левыми многообразиями.ДАН СССР, 249, № 5(1979), с.1095-1098.

86. И.В.Чередник. Преобразования Бэклувда-Дарбу для классических пучков Янга-Бакстера. Функц. анализ и прил., 17, № 2 (1983), с.88-89.

87. M.J.Ablowitz. Lectures on the inverse scattering method.-Stud.Appl.Math., 58, N 1(1978), p.17-61.

88. M.J.Ablowitz, D.J.Kaupp, A.Newell, H.Segur. Method for solving the Sine-Gordon equation.- Phys.Rev.Letters, 30, N 25 (1973), p.1262-1264.

89. M.J.Ablowitz, J.F.Ladik. A nonlinear difference scheme and inverse scattering.- Stud.Appl.Math., 55, N 3(1976), p.213-229 .

90. J.Avan, H.J. de Vega. 1/N expansion for invariant potentials in quantum mechanics.- University Paris VI, preprint, Par-LPTHE 83/8 (1983) .

91. J.Avan, H.J. de Vega. The gap equation and the effective action.- University Paris VI, Par-LPTHE 83/19 (1983) .

92. O.BabeIon, H.J. de Vega, C.M.Viallet. Analysis of the Bethe ansatz equations of the XXZ magnet. University Paris VI, preprint, Par-LPTHE 82/10 (1982).

93. R.Z.Bariev. Many-spin correlation functions of the one-dimensional XY-model.- Phys.Lett., A 68, N 2(1978), p.175-178.

94. Yu.A.Bashilov, S.V.Pokrovsky. Star-triangle relations in the exactly solvable statistical models.- Comm.Math.Phys., 84 (1982) , p. 103-132 .

95. R.J.Baxter. Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain I. Some fundamental eigenvectors.- Ann.Phys.(N.Y.) 76, N 1(1973), p.1-24.

96. R.J.Baxter. Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain H . Equivalence to a generalized ice-type lattice model.- Ann.Phys.(N.Y.) 76, N 1 (1973), p.25-47.

97. R.J. Baxter. Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain m. Eigenvectors of the transfer-matrix and Hamiltonian.- Ann.Phys.(N,Y.) 76, N 1 (1973), p.48-71.

98. R.J.Baxter. Partition function- of the eight-vertex lattice model.- Ann.Phys.(N.Y.), 70, N 1 (1972), p.193-228.

99. R.J.Baxter. One-dimensional anisotropic Heisenberg chain.-Ann.Phys. (N.Y.), 70, N 2 (1972), p.323-337.

100. R.J.Baxter. Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice.- Phylos.Trans.Royal Soc. London, 289A, 1359(1978) p.315-346 .

101. R.J.Baxter. Exactly solved models in statistical mechanics.-London, New York, Academic Press, 1982.

102. V.V.Bazhanov, Yu.G.Stroganov. A new class of factorized S-mat-rices and triangle equations.- Phys.Lett.B, 105, N 4(1981),p.278-281 .

103. V.V.Bazhanov, Yu.G.Stroganov. Trigonometric and 5 -symmetrie solutions of triangle equations with vriables on the faces.- Nucl.Phys.B, 20 5, N 4(1982), p.505-526.

104. V.V.Bazhanov, Yu.G.Stroganov. Free fermiöns on three-dimensional lattice and tetrahedron equations.- Inst.High.Energy Phys. preprint 81-117, 1981.

105. A.A.Belavin, A.B.Zamolodchikov. The partition function of the 7 * 7 invariant vertex lattice model.- Phys. Lett.B, 116, N2-3(1982), p.165-167.

106. H.Bergknoff, H.B.Thacker. Structure and solution of the massive Thirring model.- Phys.Rev.D., 19, N 12(1979), p.3666-3681.

107. H.Bethe. Zur Theorie der Metalle.I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette.- Zeitschr. für Physik, 71,

108. N 3-4 (1931) , S.205-226 .

109. E.Bresin, J.Zinn-Justin. In problême/V corps soluble.-C.R.Acad.Sei.Paris, 263(1966), p.670-673.

110. M.Bruschi, S.V.Manakov, O.Ragnisco, D.Levi. The nonabelian Toda lattice discrete analoque of the matrix Schrödinger spectral problem.- Jour n.Math.Phys., 21, N 4 (1980), p.2 7492753 .

111. R.K.Bullough, R.K.Dodd. Polynomial conserved densities forthe sine-Gordon equations.- Proc.Roy. Soc. London, Ser.A, v.352, N 1671 (1977) , p.481-503 .

112. S.G.Chung, Yia-Chung Chang. Thermodynamics of the massive Thirring model.- Phys.Rev.Lett., 50, N 11(1983), p.791-794.

113. S.Coleman. Quantum Sine-Gordon equation as the massive Thirring model.- Phys.Rev.D 11, N 8(1975), p.2088-2097.

114. D.B.Greamer, H.B.Thacker, D.Wilkinson. Gelfand-Levitan methodfor operator fields.- Phys.Rev.D 21, N 6(1980), p.1523-1528.

115. D.B.Creamer, H.B.Thacker, D.Wilkinson. Quantum Gelfand-Le-vitan method as a generalized Jordan-Wigner transformation,-Phys.Lett. B, 92, N 1-2(1980), p.144-148.

116. D.B.Creamer, H.B.Thacker, D.Wilkinson. Sone exact results for the two point function of an integrable quantum field theory.- Phys.Rev.D 23, N 12(1981), p.3081-3092.

117. R.F.Dashen, B.Hasslacher, A.Neveu. Particle spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques.- Phys.Rev.D 11, N 11(1975), p.3424-3450.

118. C.Destri, J.H.Lowenstein. Normalization of Bethe-ansatz states in the chiral-invariant Gross-Neveu model.- New York University, preprint, NYU/TR6/82, 1982.

119. C.Destri, J.H.Lowenstein. Analysis of the Bethe-ansatz equations of the chiral-invariant Gross-Neveu model.- Nucl.Phys. B FS5^ 205, N 3 (1982), p.369-385.

120. L.D.Faddeev. Quantum completely integrable models in field theory.- In: Contemporary mathematical physics, 1980, 1c, p.107-155.

121. L.D.Faddeev, V.E.Korepin Quantum theory of solitions.-•Phys. Reports., 42c, N 1(1978), p.1.87.

122. L.D.Faddeev, L.A.Takhtajan. What is the spin of a spin wave? Phys.Lett. 85A, N 6,7 (1981), p.375-377.

123. L.D.Faddeev, L.A.Takhtajan. Integrability of quantum nonlinear 6 -model.- LOMI, preprint, E-4-83, 1983.

124. V.A.Fatteev, A.B.Zamolodchikov. The exactly solvable caseof a £ Ji lattice of plane rotators.- Phys .Lett .A., 92, N 1- 264 -(1982), p.35-36.

125. M.Fowler, X.Zotos. Bethe-ansatz quantum sine-Gordon thermodynamics. The specific heat.- Phys. Rev.B, 25, N 9(1982), p.5806-5817.

126. J.Fröhlich. Some recent rigorous results in the theory of phase transitions and critical phenomena.- In the book: Re-normalization theory, ser C- math, and phys. sc., 23, ed G.Velo and A.S.Wightman (Reidel, Dovdvecht-Boston), 1976,p.371-489.

127. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura. Method for solving the Korteweg-de Vries equation.- Phys.Rev.Lett., 19, N 19 (1967) , p. 1095-1097.

128. M. Gaudin. Modeles exacts en mecanique statistique. Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, preprint, CEA-N-1559(1),1972.

129. M.Gaudin. La fonction d'onde de Bethe pour les modèles de la mécanique statistique. Paris Commisariat âl'energie atomic. 1983 .

130. M.Gaudin, B.M.Mc Coy, T.T.Wu. Normalization sum for the Bethe's hypothesis wave functions of the Heisenberg-Ising chain.- Phys.Rev.D, 23, N 2 (1980), p.417-419.

131. W.Heisenberg. Zur Theorie des Ferromagnetismus.- Zeitschrift für Physik 49 :9-10 (1928), S.619-636.

132. K.Hida, M.Ishikawa. Thermodynamics of the lattice quantum sine-Gordon model and the lattice Thirring model.- Universität Karlsruhe, preprint PAC number 05.30(1984).

133. R.Hiroto. Nonlinear partial differential equations m. Discrete sine-Gordon equation.- Journ.Phys.Soc.Japan,43,N 6(1977),p.2079-2089.

134. T.Holstein, H.Primakoff. Field dependence of the instrinsic domain magnetization of a ferromagnet.- Phys.Rev., 58, N 3 (1940) , p.1098-1 1 14 .

135. J.Honerkamp. An exploration of the correlation functions for finite temperature in the nonlinear Schrodinger equation model.- Nucl.Phys.B., 190 FS3., N 2(1981), p.301-305.

136. A.G.Izergin, V.E.Korepin. The inverse scattering method approach to the quantum Shabat-Mikhailov model.- CommMath. Phys., 79(1981), p. 303-316.

137. A.G.Izergin, V.E.Korepin. The lattice quantum sine-Gordon model.- Lett in Math.Phys., 5(1981), p.199-205.

138. A.G.Izergin, V.E.Korepin. Pauli principle for one-dimensi- • onal bosons and the algebraic Bethe-ansatz.- Lett.Math.Phys., 6 (1982) , p.283-288 .

139. A.G.Izergin, V.E.Korepin. Lattice versions of quantum field theory models in two dimensions.- Nucl. Phys ,B FS5J , 205(1982), p.401-413.

140. M.Jimbo, T.Miwa, Y.Mori, M.Sato. Density matrix of an impenetrable gaz and the fifth Painleve transcendent.- Physica D, 1, N 1 (1980) , p.80-158 .

141. M.Karowski. The bootstrap program for 1+1 dimensional field theoretical models with soliton behaviour .- In the book: Field theoretical methods in particle physics, ed by W.Ruhl, N.Y.Plenum Publishing Corporation (1980).

142. V.E.Korepin. The mass spectrum and the S -matrix of the massive Thirring model in the repulsive case.- Comm.Math.Phys.76 (1980) , p.165-176 .

143. V.E.Korepin Calculation of norms of Bethe wave functions.-Comm.Math.Phys., 86(1982), p.391-418.

144. P.P.Kulish. Quantum difference nonlinear Schrodinger equation.- Lett.Math.Phys., 5(1981), p.191-197.

145. P.P.Kulish, N.Y.Reshetikhin. Diagonalization of invariant transfer matrices and quantum A/ -waves systems (Lee model).- Journ,Phys.A, 16, N 16 (1983), p.L591-L596 .

146. P.P.Kulish, N.Yu.Reshetikhin, E.K.Sklyanin. Yang-Baxter equation and representation theory I.- Lett.Math.Phys., 5, N 5 * (1981), p.393-403.

147. P.P.Kulish, E.K.Sklyanin. Quantum spectral transformation method. Recent developments. In: Integrable quantum field theories. Lect.Notes in Phys., 151(1982), p.61-119.

148. P.P.Kulish, E.K.Sklyanin. Quantum inverse scattering method and the Heisenberg ferromagnet.- Phys.Lett.A 70, N 5-6(1979) p.461-463 .

149. P.P.Kulish, E.K.Sklyanin. In: Proc Tvarmine Symp. on Integrable quantum field theories (1981) eds Hietarinta and C. Montonen (Springer-Verlag, New York, 1982).

150. P.P.Kulish, F.A.Smirnov. Quantum inverse problem and Green's functions for the Heisenberg ferromagnet.- LOMI, preprint E-3-83, 1982.

151. P.D.Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.- Comm. on Pure and Appl.Math., 21, N 5(1968), p.467-490.

152. A.Lenard. Momentum distribution in ground state of the one-dimensional system of impenetrable bosons.- Journ.Math.Phys.5, N 7 (1964) , p.930-943 .

153. A.Lenard. One-dimensional impenedrable bosons in thermal equilibrium.- Journ.Math.Phys., 7, N 7(1966), p.1268-1272.

154. E.H.Lieb, W.Liniger. Exact analysis of an interacting Bose gas.- Phys.Rev. 130, N 4(1963), p. 1605-1616.

155. E.H.Lieb- Exact analysis of an interacting Bose gas H . The excitation spectrum.- Phys.Rev., 130, N 4(1963), p.1616-1624.

156. E.H.Lieb. Exact solution of the problem of the entropy of two-dimensional ice.- Phys.Rev.Lett., 18(1967), p.692-694.

157. E.H.Lieb. Residual entropy of square ice.- Phys.Rev. 162, N 1 (1967) , p. 162-171 .

158. E.H.Lieb. Exact solution of the F model of an antiferro-electric.- Phys.Rev.Lett., 18 (1967), p.1046-1048 .

159. Mathematical physics in one dimension ed by E.H.Lieb and D.C. Mattis, NY- London, Academic Press, 1966.

160. A.Luther. Eigenvalue spectrum of interacting massive fermions in one dimension.- Phys.Rev.B. 14, N 5(1976), p.2153-2159.

161. S.Mandelstam. Soliton operators for the quantized sine-Gordon equation.- Phys.Rev.D.11, N 10(1975), p.3026-3030.

162. J.B.Mc Guire. Stady of exactly soluble one-dimensional A/ -body problem.- Journ.Math.Phys.5, N 5(1964), p.622-629.

163. M.A.Olshanetsky, A.M.Perelomov. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras.- Phys.Rev., 71, N 5(1981), p. 313-400.

164. M.A.Olshanetsky, A.M.Perelomov. Quantum integrable systems related to Lie algebras.- Phys.Rep., 94, N 4(1983), p.313-404.

165. L.Onsager. Crystal statistics. A two-dimensional model with an order-disorder transition.- Phys.Rev. 65(1941), p.252-262.

166. S.J.Orfanidis. Group-theoretical aspects of the discrete sine-Gordon equation.- Phys.Rev. 21, N 6(1980), p.1507-1512.

167. A.M.Polyakov. Quantum geometry of bosonic strings.- Phys.Lett. B, 103, N 3(1981), p. 207-210.

168. K.D.Schotte, M.F.Weiss. Lattice approach to the spectrum of the massive Thirring model.- Nucl.Phys. B.,FS9~), 225, N 2 (1983), p. 247-260.

169. E.K.Sklyanin. On complete integrability of the Landau-Lif-shitz equation.- LOMI, preorint, E-3-79, Leningrad, 1979.

170. B.Sutherland. Two dimensional Hydrogen bonded crystals without the ice rule.- Journ.Math.Phys. 11, N 11(1970), p.3183-3186 .

171. M.Takahashi. One dimensional Heisenberg model at finite temperatures.- Prog.Theor.Phys., 46, N 2(1971), p.401-415.

172. H.J. de Vega. Inverse scattering methods and functional integrals.- University Paris VI, preprint, Par-LPTHE 83/3,1983.

173. E.Witten. Global aspects of current algebra.- Nucl.Phys. B, 223, N 2(1983), p.422-444.

174. C.N.Yang. Some exact results for the manybody problem in one-dimension with repulsive delta-function interaction.-Phys.Rev.Lett., 19, N 23(1967), p. 1312-1214.

175. C.N.Yang, C.P.Yang. One-dimensional chain of anisotrophic spin-spin interaction I. Proof of Berhe's hypothesis for ground state in a finite system.- Phys.Rev. 150, N 1(1966), p.321-327.

176. C.N.Yang, C.P.Yang. Thermodynamics of a one-dimensional system of bosons with repulsive delta-function interaction.-Journ.Math.Phys., 10, N 7(1969), p.1115-1122.

177. A.B.Zamolodchikov, Al.B.Zamolodchikov. Factorized S -matrices in two-dimensional as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models.- Ann.Phys.(N.Y.) 120, N 2 (1979) , p.253-291 .

178. A.B.Zamolodchikov, Al.B.Zamolodchikov. Exact S -matrix of Gross-Neveu "elementary" fermions.- Phys.Lett.B, 72, N 4 (1978), p.481-483.