Метод детерминантного представления для корреляционных функций квантовых интегрируемых моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Координатный анзац Бете

1. Одномерный бозе-газ

2. Магнетик Гейзенберга.

3. Нелинейное тождество для фазы рассеяния.

2 Корреляционные функции моделей свободных фермионов.

1. Непроницаемый бозе-газ

2. Формф актор поля.

3. Корреляционная функция полей в состоянии с конечным числом частиц

4. Термодинамический предел.

5. Многоточечные корреляционные функции.

6. ХХО цепочка Гейзенберга.

7. Собственные функции ХУО цепочки

8. Корреляционные функции ХУ$ цепочки.

3 Вычисление корреляционных функций в рамках алгебраического ан-заца Бете.

1. Алгебраический анзац Бете.

2. Скалярные произведения и дуальные поля.

3. Корреляционные функции обобщенной модели свободных фермионов

4. Тождество для дуальных полей.

5. Частные случаи скалярных произведений и формфакторы.

6. Корреляционная функция локальных полей одномерного бозе-газа в конечном объеме.

7. Коррелятор в термодинамическом пределе.

4 Фредгольмовы детерминанты, задача Римана и дифференциальные уравнения

1. Свойства интегральных операторов.

2. Иерархия АКНС.

3. Дифференциальные уравнения доя корреляционной функции полей непроницаемого бозе-газа.

4. Система векторных нелинейных уравнений Шредингера для многоточечной корреляционной функции.

5. Дифференциальные уравнения для корреляционных функций XXQ магнетика.

6. Дифференциальные уравнения для корреляционных функций проницаемых бозонов.

5 Асимптотика корреляционных функций

1. Оценка фредгольмова детерминанта при большом времени.

2. Операторнозначная задача Римана.

3. Локализованная задача Римана.

4. Дифференциальные уравнения.

5. Модифицированный подход. Сдвинутая седловая точка.

6. Отображение усреднения.

7. Предельные случаи асимптотики.

Теория интегрируемых систем занимает особое место в современной математической физике. Возможность получения точных непертурбативных решений в таких моделях представляется необычайно важной. Несмотря на значительный прогресс численных методов, точно решаемые задачи сохраняют свое значение как модели для изучения общих закономерностей поведения сложных нелинейных систем.

В настоящей диссертации развивается новый подход к исследованию корреляционных функций квантовых интегрируемых систем, основанный на методе, который впервые был применен еще в 1931 году Г. Бете для изучения антиферромагнетика Гейзенберга [65]. Впоследствии анзац Бете активно использовался для решения большого числа задач квантовой механики [1. 84. 126, 127. 128. 129; 146] и статистической физики [59]—[61]. Несмотря на то. что в перечисленных работах рассматривались (1 + 1)-мерные системы, многие из этих систем находят непосредственное применение в физике. Здесь прежде всего следует отметить работы [57]. [139] по проблеме Кондо. решение модели Хаббарда. используемой в теории высокотемпературной сверхпроводимости [125] ,. описание спонтанной эмиссии в нелинейной оптике [36] и др.

В конце семидесятых теория интегрируемых моделей квантовой механики получила новый мощный импульс и. начиная с этого времени, является одной из наиболее бурно развивающихся областей современной математической физики. Интенсификация исследований в этом направлении связана с созданием в 1978-1980 годах Л. Д. Фаддеевым и его школой квантового метода обратной задачи (КМОЗ) [39; 50. 40; 37; 52. 74. 75; 38; 19. 120]. Одной из важнейших составных частей КМОЗ является метод обратной задачи рассеяния (МОЗР); возникновение которого принято связывать с работой К. Гарднера. Д. Грина. М. Крускала и Р. Миуры о решении уравнения Кортевега-де Фриса [83]. Этапными в развитии МОЗР являются также работы П. Лакса [121]. где впервые было введено понятие Ь — А пары, и работа В. Е. Захарова и А. Б. Шабата [11]. открывшая возможность применения данного метода к широкому классу классических нелинейных уравнений. Современное состояние теории классических точно решаемых систем отражено в целой серии монографий [56; 9; 51] и др. С точки зрения квантования наиболее плодотворным оказался гамильтонов подход в МОЗР. предложенный в [10] (см. также [51]). В свою очередь развитие КМОЗ оказало обратное влияние на МОЗР. в частности, понятие классической г-матрицы впервые появилось в работе Е. К. Склянина [38] в результате квазиклассического предельного перехода из квантовой задачи. Позднее была также обнаружена весьма неожиданная связь корреляционных функций квантовых моделей с классическими точно решаемыми дифференциальными уравнениями.

Одним из первых и. пожалуй, наиболее важных достижений КМОЗ является создание алгебраической схемы анзаца Бете. Данный метод позволяет эффективно строить собственные состояния и находить спектр квантовых гамильтонианов. Первой физической моделью, решенной с помощью алгебраического анзаца Бете, было квантовое нелинейное уравнение Шредингера [39. 37.19; 32]. Позднее были решены такие известные модели, как уравнение Sine-Gordon [40. 19]. модели Диувилля [77]; Гросса-Неве [33] и киральных полей [76]. КМОЗ также оказал большое влияние на теорию факторизованных ¿'-матриц [13. 14. 53; 62. 78,. 149; 150]. В этом контексте следует отметить работы [30] и [119].

По мере успешного применения КМОЗ к решению большого количества физических моделей возрастал интерес к их наиболее фундаментальным характеристикам — формфакторам и корреляционным функциям. Исследования в этой области первоначально шли по двум направлениям. Во-первых, это изучение корреляционных функций нерелятивистских квантовых моделей (нелинейное уравнение Шредингера. XXZ магнетик Гейзенберга) в рамках алгебраического анзаца Бете. Здесь следует отметить прежде всего работы [108; 93] (а также более поздние [18; 8; 41]) по вычислению статистических сумм, скалярных произведений, норм собственных функций и формфакторов. В 1984 году В. Е. Корепиным было получено представление для корреляционной функции плотностей квантового одномерного бозе-газа с отталкиванием (нелинейное уравнение Шредингера) в виде специального ряда [109]. Обобщение этих результатов на другие корреляционные функции и исследование свойств полученных рядов проводилось в работах [67; 97; 94. 23. 42]. Итогом этой программы явились первые результаты, касающиеся асимптотического поведения корреляционных функций на больших расстояниях в безмассовых моделях, неэквивалентных свободным ферми-онам [3.113. 31. 21]. Справедливости ради следует признать, чтовосновном суждения о характере асимптотик в перечисленных работах делались на основе анализа первых двух-трех членов ряда, так как по чисто техническим причинам оказалось крайне сложно вычислить старшие члены.

Второе направление в изучении корреляционных функций интегрируемых моделей связано с квантовой версией уравнения Гелъфанда-Левитана-Марченко, сформулированной в работе [69]. Среди важнейших работ, посвященных этой тематике, следует упомянуть работы Ф. А. Смирнова и А. Н. Кириллова [49; 134. 135. 26. 27; 28; 104] по вычислению формфакторов в целом ряде релятивистски-инвариантных моделей (Sine-Gordon, массивная модель Тирринга и др.). Дальнейшее развитие этого направления привело к созданию аксиоматического подхода в теории формфакторов (см. монографию [136] и ссылки там же). В рамках этого метода формфакторы однозначно определяются по их аналитическим свойствам, которые постулируются. исходя из общих принципов (локальность, симметрия, факторизация рассеяния и др.). В свою очередь корреляционные функции представляются в виде рядов по формфакторам. причем благодаря наличию массивных возбуждений в спектре гамильтонианов асимптотическое поведение корреляторов определяется уже первым членом соответствующего ряда. В то же время на данном направлении остаются пока открытыми вопросы о поведении корреляционных функций на малых расстояниях и при конечной температуре.

Среди других подходов к исследованию корреляционных функций квантовых интегрируемых систем следует отметить также метод конформной теории поля [63]. в рамках которого корреляторы при критической температуре описываются линейными дифференциальными уравнениями. Данный метод позволяет достаточно эффективно вычислять асимптотическое поведение корреляторов [66. 2. 20. 143. 144. 145. 98. 140; 141]. однако область его применимости ограничивается критическими моделями.

Более поздние методы обязаны своим возникновением теории "квантовых групп". аксиоматика которой была сформулирована В. Г. Дринфельдом [5. 6; 7]: Характерными особенностями данного подхода является описание корреляционных функций и формфакторов на языке вертексных операторов и д-деформированного уравнения Книжника-Замолодчикова [64. 82. 132. 137. 85. 80. 100]. В этом контексте одним из впечатляющих достижений является явное представление для корреляционных функций XXЕ магнетика в виде кратных интегралов [73. 99. 101]. К недостаткам данного метода следует отнести сложность вычисления асимптотик и высокую чувствительность к параметрам физической модели (магнитное поле, анизотропия, температура и т.д.). нарушающим ее скрытые симметрии. Впрочем, в настоящее время ведутся весьма активные исследования в этом направлении, так что не исключено, что в ближайшем будущем упомянутые трудности будут успешно преодолены.

В последнее десятилетие в работах А. Г. Изергина. А. Р. Итса. В. Е. Корепина и автора настоящей диссертации активно развивался метод, основанный на представлении корреляционных функций в терминах детерминантов Фредгольма. Данный метод объединяет в себе аппарат квантовой теории (координатный и алгебраический анзацБете) и классический анализ точно решаемых уравнений (задача Римана). Особенно эффективным представление в виде детерминантов Фредгольма оказывается при исследовании асимптотик температурных корреляционных функций. Исторически первыми работами, в которых корреляторы квантовых моделей были вычислены в терминах фредгольмовых определителей, стали работы Ленарда [123; 124] о корреляционных функциях полей непроницаемого бозе-газа. С другой стороны, в 1973 году Б. Мак-Кой и Т. Ву [130] при изучении корреляционных функций модели Изинга показали, что последние выражаются через решения обыкновенных дифференциальных уравнений типа Пенлеве. В 1980 году М. Джимбо. Т. Мива. И. Мори и М. Сато. следуя идеям [130]; доказали, что при нулевой температуре детерминанты Ленарда удовлетворяют пятому уравнению Пенлеве [102]. что дало возможность вычислить асимптотику соответствующих корреляторов на больших расстояниях. В работах [87. 88] было дано обобщение результатов [102] на случай конечной температуры.

Дальнейшее развитие метод получил в работе [114]. где было найдено детерми-нантное представление для зависящей от времени температурной корреляционной функции полей в непроницаемом бозе-газе. и в работе [89]. в которой полученный детерминант описывался на языке дифференциальных уравнений в частных производных. Оказалось, что зависящий от времени коррелятор является тау-функцией классического нелинейного уравнения Шредингера. то.есть того самого уравнения. квантовая версия которого описывает исследуемую модель. Таким образом, процесс изучения корреляционных функций в рамках метода детерминантного представления может быть проиллюстрирован следующей диаграммой.

На первом этапе с помощью анзаца Бете корреляторы интегрируемых моделей, полученных в результате квантования некоторых классических уравнений, записываются в терминах определителей Фредгольма. Следующий шаг состоит в выводе дифференциальных уравнений, описывающих данные детерминанты. При этом полученные уравнения по построению оказываются точно решаемыми (представимыми в лаксовом виде) и. более тош. принадлежат к той же иерархии, что и исходное классическое уравнение. подвергавшееся квантованию. Подробное изложение приведенной схемы (включая асимптотический анализ корреляционных функций) дано в монографии [111] на примере квантового нелинейного уравнения Шредингера.

Впоследствии описанный выше подход был реализован в целом ряде работ по многоточечным корреляционным функциям непроницаемого бозе-газа [43]. корреляторам ХХО и XYQ цепочек Гейзенберга [68; 15; 17]. свободно-фермионному пределу массивной модели Тирринга и уравнения Sine-Gordon [122. 86]. Исследование дифференциальных уравнений проводилось с помощью методов задачи Римана [91. 4. 90; 16]. Следует отметить, что в асимптотическом режиме (при больших расстояниях и временах) матрицы скачка соответствующих задач Римана становятся быстроос-циллирующими. что позволяет эффективно находить решения дифференциальных уравнений, пользуясь хорошо известными методами [54. 55; 24. 34. 35]; а также более поздним по времени создания, но более мощным нелинейным методом перевала [71; 72. 70].

Модели, исследовавшиеся методом детерминантного представления, и которые были перечислены выше, эквивалентны свободным фермионам. Однако указанный метод применим также и к моделям с нетривиальной ¿"-матрицей. Здесь ключевой явилась работа В. Е. Корепина [110]; в которой были введены вспомогательные квантовые операторы — дуальные поля. С помощью этой конструкции удалось найти корреляционные функции проницаемого бозе-газа [29. 115; 106] и XXX цепочки Гейзенберга [112]. Полученные детерминанты также могут быть описаны в терминах решений классических дифференциальных уравнений, однако, в отличие от случая свободных фермионов. —неабелевых [89; 81. 107]. Соответственно задачи Римана для этих уравнений становятся операторнозначными [116; 81]. Тем не менее, обобщение нелинейного метода перевала на бесконечномерный случай дает возможность найти асимптотическое решение задачи Римана [25] и. тем самым, вычислить асимптотику корреляционных функций [117. 48].

Настоящая диссертация посвящена методу детерминантного представления для корреляционных функций квантовых интегрируемых систем. Ниже перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

1. Получены представления в виде детерминантов Фредгольма для корреляционных функций квантового нелинейного уравнения Шредингера и XYQ цепочки Гейзенберга.

2. Доказаны тождества, позволяющие исключить дуальные поля из скалярных произведений, содержащих состояния алгебраического анзаца Бете.

3. Вычислен формфактор поля квантового нелинейного уравнения Шредингера.

4. Установлена взаимосвязь между фредгольмовыми детерминантами специального вида и тау-функциями классических точно решаемых уравнений.

5. Получены дифференциальные уравнения, описывающие корреляционные функции квантового нелинейного уравнения Шредингера и ХХО цепочки Гейзенберга.

6. Сформулирована и решена в пределе больших расстояний и времен оператор-нозначная задача Римана.

7. Вычислена асимптотика температурных корреляционных функций квантового нелинейного уравнения Шредингера в терминах решений уравнений термодинамического анзаца Бете.

8. Доказано нелинейное тождество для фазы рассеяния квантовых интегрируемых моделей.

Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [15]-[17]; [25]. [43]-[48]. [89. 90. 106. 107]. [114]—[118].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и трех приложений. Библиография включает 150 наименований. Материал в диссертации расположен следующим образом.

Заключение

Настоящая диссертация посвящена развитию метода детерминантного представления и его применению к вычислению корреляционных функций некоторых квантовых интегрируемых моделей. Подробный перечень конкретных результатов, полученных в диссертации, приведен во Введении, поэтому здесь мы ограничимся лишь некоторыми замечаниями, касающимися в основном перспектив развития метода детерминантного представления.

Если попытаться кратко охарактеризовать основные результаты, то их можно сформулировать как описание корреляционных функций квантовых интегрируемых моделей на языке классических точно решаемых уравнений. Возможность такого описания а рпоп далеко неочевидна. Напротив, можно без преувеличения сказать, что столь тесная связь между корреляционными функциями и классическими интегрируемыми уравнениями выглядит крайне неожиданной, и этот факт еще требует своего объяснения. Как бы то ни было, сведение задачи о корреляционных функциях к хорошо известным дифференциальным уравнениям представляется необычайно важным.

Как уже отмечалось во Введении, изначально метод детерминантного представления применялся к моделям, эквивалентным свободным фермионам. Из-за наличия тривиальной ¿"-матрицы эти модели относительно просты, но тем не менее и они представляют собой серьезный интерес, хотя бы как нулевое приближение к более сложным моделям. И уж во всяком случае их корреляционные функции далеко не столь тривиальны, как ¿'-матрица. Метод детерминантного представления дает исчерпывающее описание корреляторов таких моделей. Поэтому, несмотря на то. что данную проблему нельзя считать полностью закрытой, вряд ли следует ожидать существенного развития в этом направлении.

Что же касается моделей с нетривиальной ¿'-матрицей, то здесь еще остается масса нерешенных вопросов. Коснемся коротко наиболее интересных на наш взгляд проблем.

По сути дела единственной моделью, неэквивалентной свободным фермионам. к которой на сегодняшний день метод детерминантного представления применялся в полном объеме, является одномерный бозе-газ с отталкиванием, рассмотренный в настоящей диссертации. Было бы весьма интересно применить данный метод к моделям. содержащим связанные состояния (бозе-газ с притяжением. ХХЕ магнетик при конечной температуре и др.). Здесь основная сложность связана с получением фредгольмовых детерминантов, так как из-за наличия связанных состояний в спектрах соответствующих гамильтонианов метод суммирования по формфакторам требует серьезной модификации. В случае, если данное препятствие будет преодолено. то можно предположить, что полученные детерминанты будут описываться в терминах решений задачи Римана. Причем, по аналогии с классическим случаем следует ожидать возникновения задачи Римана с нулями. Таким образом, в моделях со связанными состояниями не исключена возможность появления солитонных решений для корреляционных функций. Квантовые состояния, соответствующие таким решениям. с большим основанием могут интерпретироваться как квантовые солитоны.

Вторая проблема, требующая серьезного исследования — это проблема дуальных полей. Данная конструкция весьма эффективна для получения детерминантных представлений, однако на стадии асимптотического анализа корреляторов она доставляет массу неудобств. Кроме того, полученные этим методом фредгольмовы детерминанты оказываются малопригодными для изучения поведения корреляционных функций при малых расстояниях и временах. Поэтому было бы крайне желательно получить детерминантные формулы для корреляторов без дуальных полей. В настоящей диссертации сделан лишь первый шаг в этом направлении, а именно, доказано тождество, позволяющее исключить дуальные поля из скалярных произведений, содержащих собственные функции трансферматрицы.

С другой стороны, результаты последних разделов диссертации говорят о том. что роль дуальных полей значительно глубже, чем предполагалось ранее. В частности. интегральные уравнения термодинамического анзаца Бете, описывающие асимптотику корреляционной функции, возникают исключительно благодаря усреднению этих вспомогательных квантовых операторов. Поэтому не исключено также, что дуальные поля представляют собой новый, альтернативный язык описания квантовых интегрируемых систем.

Наконец, нельзя не упомянуть проблемы, связанные с операторнозначной задачей Римана. В настоящей диссертации рассмотрен лишь один конкретный пример такой задачи. В то же время не вызывает сомнения тот факт, что область применения операторнозначной задачи Римана выходит далеко за рамки вычисления асимптотик корреляционных функций. На наш взгляд развитие такой теории было бы крайне важным.

В заключение я хотел бы выразить свою сердечную благодарность А. Г. Изергину. А. Р. Итсу и В. Е. Корепину. в соавторстве с которыми были написаны многие из работ, легших в основу этой диссертации. Я также хочу поблагодарить моих коллег, друзей и учителей из отдела квантовой теории поля МИАН. под влиянием которых сформировались мои научные взгляды.

1. Ф. А. Березин. С. П. Похил. В. М Финкельберг. Уравнение Шредингера для системы одномерных частиц с точечными взаимодействиями, Вестник МГУ. (1964) 1 21.

2. Н. М. Боголюбов. А. Г. Изергин. Н. Ю. Решетихин. Эффекты конечного объема и критические индексы 1D квантовых моделей, Письма в ЖЭТФ (1986) 44 521.

3. Н. М. Боголюбов. В. Е. Корепин. Корреляционные функции одномерного Бозе-газа в термодинамическом равновесии, Теор. Мат. Физ. (1984) 60 262.

4. Г. Г. Варзугин. А. Р. Итс. Асимптотика корреляционной функции непроницаемого одномерного Бозе-газа при больших временах. Вестник ЛГУ (1991) 2(11) 23.

5. В. Г. Дринфельд. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бэкстера, ДАН СССР (1985) 283 1060.

6. В. Г. Дринфельд. Квантовые группы, в кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VIII (Зап. Научн. Сем. ЛОМИ 155). Ленинград. Наука. 1986 18.

7. В. Г. Дринфельд. Новая реализация янгианов и квантовых афинных алгебр, ДАН СССР (1987) 296 13.

8. А. В. Забродин. О неприводимой части коррелятора токов в квантовых вполне интегрируемых моделях, Теор. Мат. Физ. (1987) 71 208.

9. В. Е. Захаров. С. В. Манаков. С. П. Новиков. Л. П. Питаевский. Теория соли-тонов: Метод обратной задачи, Москва. Наука. 1980.

10. В. Е. Захаров. Л. Д. Фаддеев. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамилътонова система, Функц. анал. и прил. (1971) 5 18.

11. В. Е. Захаров. А. Б. Шабат. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ (1971) 61 118.

12. В. Е. Захаров. А. Б. Шабат. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II. Функц. анал. и прил. (1979) 13 13.

13. А. Б. Замолодчиков. Точная двухчастичная S-матрица квантовых солитонов модели Sine-Gordon, Письма в ЖЭТФ (1977) 25 499.

14. А. Б. Замолодчиков. Ал. Б. Замолодчиков. Релятивистская факторизованная S-матрица в двумерном пространстве времени с изотопической симметрией O(N), Письма в ЖЭТФ (1977) 26 608.

15. А. Г. Изергин. А. Р. Итс. В. Е. Корепин. Н. А: Славнов. Уравнение Абловица-Ладека для корреляционных функций ХХО цепочки Гейзенберга, Зап. Научн. Сем. Поми. (1993) 205 6.

16. А. Г. Изергин. А. Р. Итс. В. Е. Корепин. Н. А. Славнов. Матричная задача Римана-Гильберта и дифференциальные уравнения для корреляционных функций ХХО цепочки Гейзенберга, Алгебра и Анализ. (1994) 6 138.

17. А. Г. Изергин. Н. А. Китанин. Н. А. Славнов. О корреляционных функциях ХУ модели, Зап. Научн. Сем. ПОМИ. (1995) 226 178.

18. А. Г. Изергин. Статистическая сумма шестивершинной модели в конечном объеме, ДАН СССР (1987) 297 331.

19. А. Г. Изергин. В. Е. Корепин. Квантовый метод обратной задачи, ЭЧАЯ (1982) 13 501.

20. А. Г. Изергин. В. Е. Корепин. Критические индексы в XXZ магнетике Гейзенберга, Письма в ЖЭТФ (1985) 42 414.

21. А. Г. Изергин. В. Е. Корепин. Фазовый переход в одномерном магнетике Гейзенберга, Вестник ЛГУ (1986) 2 3.

22. А. Г. Изергин. В. Е. Корепин. Решеточная модель, связанная с нелинейным упавнением Шредингера, ДАН СССР (1981) 259 76.

23. А. Г. Изергин. В. Е. Корепин. Н. А. Славнов. Температурные корреляционные функции антиферромагнетика Гейзенберга, Теор. Мат. Физ. (1987) 72 272.

24. А. Р. Итс. Асимптотика решений нелинейного уравнения Шредингера и изомо-нодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений, ДАН СССР (1981) 261 14.

25. А. Р. Итс и Н. А. Славнов. О методе задачи Римана для асимптотического анализа корреляционных функций квантового нелинейного уравнения Шредингера. Случай взаимодействующих фермионов, Теор. Мат. Физ. (1999) 119 179; math-ph/9811009

26. А. Н. Кириллов. Формулы для формфакторов в квантовой модели Sh-Gordon, Зап. Научн. Сем. ЛОМИ (1989) 64 54.

27. А. Н. Кириллов и Ф. А. Смирнов. Решение некоторых комбинаторных проблем, возникающих при вычислении корреляторов в точно-решаемых моделях, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ (1989) 164 67.

28. A. Н. Кириллов и Ф. А. Смирнов. Формфашпоры в £77(2) инвариантной модели Тирринга, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ (1989) 164 80.

29. B. Е. Корепин. Производящий функционал для корреляционных функций квантового нелинейного уравнения Шредингера, Функ. анал. и прил. (1989) 23 15.

30. В. Е. Корепин. Непосредственное вычисление матрицы рассеяния в массивной модели Тирринга. Теор. Мат. Физ. (1979) 41 169.

31. B. Е. Корепин. Н. А. Славнов. Корреляционная функция токов в одномерном Бозе-газе, (1986) Теор. Мат. Физ. 68 471.

32. П. П. Кулиш. Многокомпонентное нелинейное уравнение Шредингера с градуировкой, ДАН СССР (1980) 255 323.

33. П. П. Кулиш. Н. Ю. Решетихин. Обобщенный ферромагнетик Гейзенберга и модель Гросса-Неве, ЖЭТФ (1981) 80 214.

34. C. В. Манаков. О нелинейной дифракции Фраунгофера, ЖЭТФ (1973) 65 505.

35. В. Ю. Новокшенов. Асимптотика при t —у оо решений задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера, ДАН СССР (1980) 251 799.

36. В. И. Рупасов. В. И. Юдеон. Точная теория кооперативного спонтанного излучения сосредоточенной системы двухуровневых атомов: метод подстановки Бете, ЖЭТФ (1984) 87 1617.

37. Е. К. Склянин. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния, В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III (Зап. Научн. Сем. ЛОМИ 95). Ленинград. Наука. 1980.

38. Е. К. Склянин. О полной интегрируемости уравнения Ландау-Лившица, Препринт ЛОМИ. Е-3-79. Ленинград (1979); в кн: Современные проблемы теории магнетизма. Киев. Наукова думка. 1986. 12.

39. Е. К. Склянин. Л. Д. Фаддеев. Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым моделям теории поля, ДАН СССР (1978) 243 1430.

40. Е. К. Склянин. Л. А. Тахтаджян. Л. Д. Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи. Теор. Мат. Физ. (1979) 40 194.

41. Н. А. Славнов. Вычисление скалярных произведений волновых функций и фор-мфакторов в алгебраическом анзаце Бете, Теор. Мат. Физ. (1989) 79 232.

42. Н. А. Славнов. Разновременной коррелятор токов в одномерном Бозе-газе, Теор. Мат. Физ. (1990) 82 389.

43. Н. А. Славнов. Дифференциальные уравнения для многоточечных корреляционных функций в одномерном Бозе-газе, Теор. Мат. Физ. (1996) 106 160.

44. Н. А. Славнов. Сокращение дуальных полей в свободиофермионных моделях с тригонометрической R-матрицей, Теор. Мат. Физ. (1996) 108 179.

45. Н. А. Славнов. Фредголъмовы детерминанты и тау-функции. Теор. Мат. Физ. (1996) 109 357.

46. Н. А. Славнов. Об одном тождестве для дуальных полей, Зап. Научн. Сем. ПОМИ (1997) 245 270.

47. Н. А. Славнов. Нелинейное тождество для фазы рассеяния в интегрируемых моделях, Теор. Мат. Физ. (1998) 116 362.

48. Н. А. Славнов. Интегральные уравнения для корреляционных функций квантового одномерного Бозе газа, Теор. Мат. Физ. (1999. в печати); solv-int/9812028

49. Ф. А. Смирнов. Квантовые уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко для модели синус-Гордон, Теор. Мат. Физ. (1984) 60 356.

50. Л. А. Тахтаджян. Л. Д. Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи и XYZ-модель Гейзенберга, УМН (1979) 34 13.

51. Л. А. Тахтаджян. Л. Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов, Москва. Наука. 1986.

52. Л. Д. Фаддеев. Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля, В сб.: Проблемы квантовой теории поля (Труды V Международного совещания по нелокальным теориям поля. Алушта 1979). Дубна. (1979) 249.

53. В. А. Фатеев. Факторизованная S-матрица для частиц с различной четностью и интегрируемая 21-вершинная статистическая модель, Ядерная физика, (1981) 33 1419.

54. М. J. Ablowitz. Н. Segur. Asymptotic solution of the Korteweg-deVries equation, Stud. Appl. Math. (1977) 57 13.

55. M. J. Ablowitz. H. Segur. Solitons and the Inverse Scattering Transform, Philadelphia: SI AM. 1981.

56. M. J. Ablowitz. D. J. Koup. A. C. Newell. H. Segur. The inverse scattering transform —■ Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl: Math. (1974) 53 249.

57. A. Andrei. К. Furuya. J. H. Lowenstein. Solution of the Kondo "problem, Rev. Mod. Phys. (1983) 55 331.

58. H. Bateman. A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions. NY-Toronto-London. McGraw-Hill: Book Company. 1964.

59. R. J. Baxter. Partition function of the eight-vertex lattice model. Ann. Phys. (1972)70 193.

60. R. J. Baxter. One-dimensional anisotropic Heisenberg chain. Ann. Phys. (1972) 70 323.

61. R. J. Baxter. Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain. Ann. Phys. (1973) 76 1.

62. V. V. Bazhanov. Yu. G. Stroganov. A new class offactorized S-matrices and triangle equations. Phys. Lett. В (1981) 105 278.

63. A. A. Belavin. A. M. Polyakov. A. B. Zamolodchikov. Infinite conformal symmetry in two dimensional quantum field theory. Nucl. Phys. В (1984) 241 333.

64. D. Bernard. Vertex operator representations of the quantum affine algebra Uq(BM). Lett. Math. phys. (1989) 17 239.

65. H. Bethe. Eigenwerte und Eigenfunktionen Atomkete. Zeitschrift fiir Physik. (1931)71 205.

66. N. M. Bogoliubov. A. G. Izergin. V. E. Korepin. Critical exponents for integrable models, Nucl. Phys. В (1986) 275 687.

67. N. M. Bogoliubov. V. E. Korepin.BoglzKoreft Correlation functions of the one-dimensional Bose gas, Nucl. Phys. В (1985) 257 766.

68. F. Colomo. A. G. Izergin. V. E. Korepin. V. Tognetti. Temperature correlation functions in the XXO Heisenberg chain. I. Теор. Мат. Физ. (1993) 94 19.

69. D. В. Creamer. H. B. Thacker. D. Wilkinson. Gelfand-Levitan method for operator fields, Phys. Rev. (1980) D21 1523.

70. P. Deift. A. R. Its. X. Zhou. Long-time asymptotics for integrable nonlinear wave equations, in: Important Developments in Soliton Theory. Eds. A. S. Fokas. V. E. Zakharov. Springer-Verlag. (1993) 181.

71. P. Deift. X. Zhou. Long-time behavior of the non-focusing nonlinear Schrodinger equation — a case study, in: Lectures in Math. Sci. Tokyo: The University of Tokyo. 1994.

72. P. Deift. X. Zhou. A Steepest Descent Method for Oscillatory Riemann-Hilbert Problems, Ann. Math. (1995) 137 295.

73. B. Devies. 0. Foda. M. Jimbo. T. Miwa. K. Miki. A. Nakayashiki. Diagonalization of the XXZ Hamiltonian be vertex operators Commtin. Math. Phys. (1993) 151 89.

74. D. Faddeev. Integrable models in (1 + 1)-dimensional quantum field theory, in: Recent advances in field theory and statistical mechanics. Eds. J. B. Zuber. R. Stord. (Les Houches Summer School Proc. session XXXIX. 1982) Elsvier Sci. Publ. 1984.

75. D. Faddeev. Quantum scattering transformation, in: Structural elements in particle physics and statistical mechanics. Eds. J. Honerkamp. K. Pohlmeyer. H. Romer. New York. Plenum Press (1983) 93.

76. D. Faddeev. N. Yu. Reshetikhin. Integrability of the principal chiral field in 1 + 1 dimension. Ann. Phys. (1986) 167 227.

77. D. Faddeev. L. A. Takhtajan. Liuville model on the lattice, in: Field theory, quantum gravity and strings. Eds. H. J. Vega. N. Sanchez (Lect. Not. Phys. 246). Springer. 1986; 166.

78. V. A. Fateev. A. B. Zamolodchikov; The exactly solvable case of 2d lattice of plane rotators, Phys. Lett. A. (1982) 92 35.

79. H. Flaschka. A. C. NewelL A. C. Ratiu; Kac-Moody Lie algebras and soliton equations II. Lax equations asspciated with Physica D. (1983) 9 303.

80. Foda; M. Jimbo. T. Miwa; K. Miki. A. NakayashikL Vertex operators in solvable lattice models, J. Math. Phys. (1994) 35 13.

81. H. Frahm; A. R. Its; V. E. Korepin. An operator-valued Riemann-Hilbert problem associated with the XXX model, preprint 95-6. IUPUI; CRM Proc. Lecture Notes AMS (1996) 9 133.

82. B. FrenkeL N. Yu. Reshetikhin; Quantum affine algebras and holonomic difference equations, Commun. Math. Phys. (1992) 146 1.

83. C. S. Gardner; J. M. Greene; M. D. KruskaL R. M. Miura. Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. (1967) 19 1095.

84. M. Gaudin.; La Fonction d'Onde de Bethe, Paris: Masson; 1983.

85. M. Idzumi. K. Iohara; M. Jimbo; T. Miwa; T. Nakashima; T. Tokihiro. Quantum affine symmetry in vertex models. Int. J. Mod. Phys. A (1993) 8 1479.

86. H. Itoyama. H. Thacker. V. E. Korepin. Correlation functions of sine-Gordon at free fermion point as Fredholm determinant. Int. J. Modern Phys. B (1992) 6 1089.

87. A. R. Its. A. G. Izergin; V. E. Korepin. Correlation radius for one-dimensional impenetrable bosons. Phys. Lett. A (1989) 141 121.

88. A, R. Its. A. G. Izergin. V. E. Korepin. Temperature correlators of the impenetrable Bose gas as an integrable system. Commun. Math. Phys. (1990) 129 205.

89. A. R. Its. A. G. Izergin. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Differential equations for quantum correlation functions. Int. Journ. Mod. Phys. B. (1990) 4 1003.

90. A. R. Its. A. G. Izergin. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Temperature correlations of quantum spins, Phys. Rev. Lett. (1993) 70 1704.

91. A. R. Its. A. G. Izergin. V. E. Korepin. G. G. Varzugin Large time and distance asymptotics of the correlator of the impenetrable bosons at finite temperature, PhysicaD (1991) 54 351.

92. A. G. Izergin. V. E. Korepin. The quantum inverse scattering method approach to correlation functions, Commun. Math. Phys. (1984) 94 67.

93. A. G. Izergin. V. E. Korepin. Correlation functions for the Heisenberg XXZ -antiferromagnet, Commun. Math. Phys. (1985) 99 271.

94. A. G. Izergin. V. E. Korepin. Pauli principal for one-dimensional bosons and the algebraic Bethe-ansatz, Lett. Math. Phys. (1982) 6 283.

95. A. G. Izergin. V. E. Korepin. Lattice versions of quantum field theory models in two dimensions, Nucl. Phys. B (1982) FS5] 205 401.

96. A. G. Izergin. V. E. Korepin. N. Yu Reshetikhin Correlation functions in a one-dimensional Bose gas, J. Phys. A (1987) 20 4799.

97. A. G. Izergin. V. E. Korepin. N. Yu Reshetikhin Conformal dimensions in the Bethe Anzats solvable models, J. Phys. A (1989) 22 2615.

98. M. Jimbo. K. Miki. T. Miwa. A. NakayashiM. Correlation functions of the XXZ model for A < -1. Phys. Lett A (1992) 168 256.

99. M. Jimbo. T. Miwa. A. NakayashiM. Difference equations for the correlation functions of the eight-vertex model, J. Phys. A (1993) 26 2199.

100. M. Jimbo. T. Miwa. Algebraic analysis of solvable lattice models, Conference Board of the Mathematical Sciences. Regional Conference Series in Mathematics 85. Providence. 1995.

101. M. Jimbo. T. Miwa. Y. Mori. M. Sato. Density matrix of an impenetrable Bose gas and the fifth Painleve transcendent, Physica D (1980) 1 80.

102. P. Jordan. E. Wigner. Z. Phys. (1928) 47 631.

103. A. N. Kirillov and F. A. Smirnov. Form factors in 0(3) nonlinear sigma-model, Int. Journ. Mod. Phys. A (1988) 3 731.

104. N. A. Kitanin. J. M. Maillet. V. Terras. Form factors of the XXZ Heisenberg spin-1/2 finite chain, Preprint LPENSL-TH-04/98: math-ph/9807020.

105. T. Kojima. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Determinant representation for dynamical correlation function of the quantum Nonlinear Schrodinger equation. Commun. Math. Phys. (1997) 188 657.

106. T. Kojima. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Completely integrable equation for the quantum correlation function of Nonlinear Schrodinger equation, Commnn. Math. Phys. (1997) 189 709.

107. V. E. Korepin. Calculation of norms of Bethe wave functions, Commun. Math. Phys. (1982) 86 391.

108. V. E. Korepin. Correlation functions of the one-dimensional Bose gas in the repulsive case, Commun. Math. Phys. (1984) 94 93.

109. V. E. Korepin. Dual field formulation of quantum integrable models. Commun. Math. Phys. 113 (1987) 177.

110. V. E. Korepin. N. M. Bogoliubov. A. G. Izergin. Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions, Cambridge University Press. 1993.

111. V. E. Korepin. A. G. Izergin. F. H. L. Essler. D. B. Uglov. Correlation function of the spin-1/2 XXX antiferromagnet, Phys. Lett. A (1994) 190 182.

112. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Time dependence of the density-density temperature correlation function of a one-dimensional Bose gas, Nucl. Phys. B (1990) 340 759.

113. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Time dependence correlation function of an impenetrable Bose-gas as a Fredholm minor, Commun. Math. Phys. (1990) 129 103.

114. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Correlation function of fields in One-dimensional Bose gas, Commun. Math. Phys. (1991) 136 633.

115. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. The Riemann-Hilbert problem associated with the quantum nonlinear Schrodinger equation, J. Phys. A: Math. Gen. (1997) 30 8241.

116. V. E. Korepin. N. A. Slavnov. Normal ordering in the theory of correlation functions of exactly solvable models, J. Phys. A: Math. Gen. (1997) 30 8623.

117. V. E. Korepin and N. A. Slavnov. The New Identity for the Scattering Matrix of ■ Exactly Solvable Models, Eur. Phys. J. B (1998) 5 555. solv-int/9712005

118. P. P. Kulish. N. Yu. Reshetikhin. E. K. Sklyanin. Yang-Baxter equation and representation theory I. Lett. Math. Pliys. (1981) 5 393.

119. P. P. Kulish; E. K. Sklyanin. Quantum inverse scattering method and the Heisenberg ferromagnet, Phys. Lett. (1979) 70A 461.

120. P. D. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math. (1968) 21 467.

121. A. Leclair. F. Lesage. S. Sachdev. H. Saleur. Nucl. Phys. B (1996) 482 579.

122. A. Lenard. Momentum distribution in the ground state of the one-dimensional system of impenetrable bosons. J. Math. Phys. (1964) 5 930.

123. A. Lenard. One-dimensional impenetrable bosons in thermal equilibrium. J. Math. Phys. (1966) 7 1268.

124. E. H. Lieb. F. Y. Wu Absence of Mott transition in an exact solution of the short -range one-bound model in one dimension. Phys. Rev. Lett. (1968) 20 1445.

125. E. H. Lieb. W. Liniger; Exact analysis of an intaracting Bose gas I. The general solution and the ground state, Phys. Rev. (1963) 130 1605.

126. E. H. Lieb. Exact analysis of an intaracting Bose gas II. The excitation spectrum, Phys. Rev. (1963) 130 1616.

127. E. H. Lieb. D. C. Mattis (eds.) Mathematical physics in one dimension, New York: Academic Press. 1966.

128. J. B. McGuire; Study of exactly solvable one-dimensional N-body problems, J. Math. Phys. (1964) 5 622.

129. B. M. McCoy. T. T. Wu. The two-dimensional Ising model, Harward Univ. Press. Cambridge. MA 1973.

130. J. H. H. Perk; H. W. Capeh G. R. W. QuispeL F. W. Nijhoff Finite-temperature correlations for the Ising chain in a transverse field, Physica A (1984) 123 1.

131. N. Yu. Reshetikhin. Jackson-type integrals. Bethe vectors, and solution to a difference analog of Knizhnik-Zamolodchikov system, Lett. Math. Phys. (1992) 26 153.

132. N. A. Slavnov; Asymptotics of the Fredholm determinant associated with quantum nonlinear Schrodinger equation, Zap. Nauchn. Sem. POMI (1998) 251 80.

133. F. A. Smirnov. Quantum Gelfand-Levitan-Marchenko equations and form factors in sine-Gordon model, J. Phys. A: Math. Gen. (1984) 17 L873.

134. F. A. Smirnov. A general formula for solution form factors in the quantum sine-Gordon model, J. Phys. A: Math. Gen. (1986) 19 L575.

135. F. A. Smirnov. Form factors in completely integrable models of quantum field theory, World Scientific. Singapore. 1992.

136. F. A. Smirnov. Form factors, deformed Knizhnik-Zamolodchikov equations and finite-gap integration, Commtui. Math. Phys. (1993) 155 459.

137. C. A. Tracy. B. M. McCoy. Neutron scattering and correlation functions of the Ising model near Tc, Phys. Rev. Lett. (1973) 31 1500.

138. A. M. Tsvelick. P. B. Wiegmann. Exact results in the theory of magnetic alloys, Adv. Phys. (1983) 32 453.

139. H. J. de Vega. Finite-size corrections for nested Bethe anzats models and conformed invariance, J. Phys. A (1987) 20 6023.

140. H. J. de Vega. F. Woynarovich. Method for calculating finite-size corrections in Bethe Anzats systems: Heisenberg chain and six-vertex model Nucl. Phys. B (1985) 251 439.

141. E. T. Whittaker. G. N. Watson. A Course of Modern Analysis, Cambridge: Univ. Press. 1927.

142. F. Woynarovich. Finite-size effects in a non-half-field Hubbard chain, J. Phys. A (1989) 22 4243.

143. F. Woynarovich. H. P. Eckle. Finite-size corrections for the low lying states of a half-field Hubbard chain, J. Phys. A (1987) 20 L443.

144. F. Woynarovich. H. P. Eckle. T. T. Truong. Non-analytic finite-size corrections in the one-dimensional Bose gas and Hiesenberg chain, J. Phys. A (1989) 22 4027.

145. C. N. Yang. Some exact results for many-body problem in one dimension with repulsive delta-function intaraction. Phys. Rev. Lett. (1967) 19 1312

146. C. N. Yang. C. P. Yang. Thermodynamics of a one-dimensional system of bosons with repulsive delta-function intaraction. J. Math. Phys. (1969) 10 1115.

147. C. N. Yang. C. P. Yang. One-dimensional chain of anisotropic spin-spin intaractions I and II, Phys. Rev. (1966) 150 321.

148. A. B. Zamolodchikov. Al. B. Zamolodchikov. Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models, Ann. Phys. (1979) 120 253.

149. A. B. Zamolodchikov. Al. B. Zamolodchikov. Exact S-matrix of Gross-Neveu "elementary" fermions, Phys. Lett. B (1978) 72 481.