Корреляционные функции интегрируемых моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Санкт-Петербургское отделение математического интитута им.

В.А. Стеклова

На правах рукописи

V

КИТАНИН Николай Александрович

Корреляционные функции интегрируемых

моделей

специальность 01.01.03 - математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук А.Г.Изергин

Санкт-Петербург, 1998

Содержание

Введение 3

1 ХУ Модель 10

1.1 Диагонализация гамильтониана'............................11

1.2 Когерентные состояния.................................18

1.3 Простейший коррелятор для ХУ цепочки..................26

1.4 Одновременные корреляторы локальных спинов..........31

1.5 Термодинамический предел..................................36

2 Фазовая Модель 39

2.1 Модель д-бозонов..............................................40

2.2 Алгебраический анзатц Бете..................................43

2.3 Решение фазовой модели................... . 47

2.4 Скалярные произведения......................................49

2.5 Вероятность образования пустоты..........................54

2.6 Производящая функция......................................56

2.7 Формфакторы..................................................59

2.8 Разновременные корреляционные функции................64

2.9 Термодинамический предел..................................69

3 ХХг Модель 75

3.1 Неоднородная XXZ модель ..................................77

3.2 Факторизующий твист........................................80

3.3 Статсумма шестивершинной модели........................84

3.4 Скалярные произведения......................................92

3.5 Квантовая обратная задача..................101

3.6 Формфакторы..................................................104

3.7 Режим А > 1....................................................110

3.8 Новое представление для формфакторов..................113

3.9 Термодинамический предел..................................116

3.10 Поправки конечного объема..................................119

3.11 Формула Бакстера ............................................124

Заключение 128

Литература 130

Введение

С 1931 года, когда Г. Бете точно решил [21] модель магнетика Гей-зенберга [36] методом, который впоследствии стал называться анзатцем Бете, квантовые интегрируемые (или точнорешаемые) модели в 1+1 измерениях вызывают непрекращающийся интерес как математиков так и физиков. Исследование этих моделей привело к появлению ряда совершенно новых областей математики, например теории квантовых групп. Для физиков эти модели в первую очередь важны тем, что дают возможность точно вычислить ряд физических величин и, следовательно, позволяют сравнить приближенные методы, используемые в квантовой теории поля и статистической физике, с точными результатами. В связи с этим одной из основных проблем современной теории интегрируемых систем является точное вычисление корреляционных функций и формфакторов для таких моделей.

Впервые проблема точного вычисления корреляционных функций для интегрируемых моделей в 1+1 измерениях была поднята Либом, Шульцем и Маттисом в 1961 году [61] для случая ХУ модели спина 1/2. Либ и соавторы в частности показали, что ХУ модель в некотором смысле эквивалентна модели свободных фермионов и вычислили одновременные корреляционные функции в термодинамическом пределе, используя теорему Вика. Этот метод был развит и обобщен на случай ХУ модели в постоянном внешнем магнитном поле Мак Коем с

соавторами [64,65]. В частности им удалось вычислить двухточечные корреляционные функции, зависящие от времени, при нулевой температуре. При этом выражения для наиболее общих корреляторов, зависящих как от температуры, так и от времени в рамках этого подхода так и не были получены. В то же время серьезным недостатком этого метода остается тот факт, что он применим только для случая свободных фермионов и не допускает обобщения на другие интегрируемые модели.

В настоящий момент существуют два основных подхода к исследованию корреляционных функций и формфакторов интегрируемых моделей.

Один из них основан на непосредственном исследование моделей в пределе бесконечного объема.

С одной стороны, этот метод возник из исследования аналитических свойств и уравнений для формфакторов интегрируемых моделей квантовой теории поля в бесконечном объеме [66]. Например, этот метод был применен Ф. Смирновым для вычисления формфакторов в квантовополевой релятивистской модели синус-Гордона. Было показано, что формфакторы удовлетворяют уравнениям, тесно связанным с д-деформированными уравнениями Книжника- Замолодчикова [34,48,66].

С другой стороны, исследование угловой трансфер-матрицы, введенной Бакстером [19, 20] для решения ряда интегрируемых моделей статистической механики, дало возможность применить этот метод к корреляторам XXZ цепочки спина | в режиме А > 1. В частности, используя гипотезу о представление гамильтониана модели как центрального элемента соответствующей квантовой аффинной алгебры (¿/5(5/2)) в пределе бесконечного объема, пространство состояний мо-

дели можно построить в терминах модулей старшего веса ¿^(5/2) [48]. Этот подход был предложен М. Джимбо, Т. Мивой и их соавторами. Формфакторы и корреляционные функции описываются с использованием ^-деформированных вершинных операторов, что в результате позволяет получить представления для двухточечных корреляторов и для их асимптотик на малых расстояниях [48].

Следует отметить, что применение этого метода к корреляторам, зависящим от температуры и времени, или для спиновых цепочек во внешнем магнитном поле наталкивается на ряд принципиальных трудностей.

Другой метод вычисления корреляционных функций, предложенный А.Г. Изергиным и В.Е. Корепиным [54], основан на использовании квантового метода обратной задачи (алгебраического анзатца Бете) [11, 33, 54]. В первую очередь в рамках этого подхода была доказана гипотеза Годена о норме бетевских состояний [52]. Базовым элементом для вычисления формфакторов и корреляционных функций оказалась статсумма шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки. Явная формула для этой статсуммы [2] позволила представлять корреляционные функции и формфакторы интегрируемых моделей в конечном объеме в виде черезвычайно громоздких сумм. Для приведения таких сумм к более удобному виду в общем случае были введены дуальные (или вспомогательные) квантовые поля [53]. Таким образом корреляторы были представлены как среднее значение по дуальному вакууму определителей матриц, зависящих от дуальных полей [32, 46, 47, 54]. В частности, таким образом были вычислены двухточечные корреляционные функции, зависящие от времени и температуры, в модели одномерного Бозе газа (квантовая модель

НШ) [51].

Однако в окончательных формулах, получаемых в рамках данного подхода, не удается избавиться от дуальных полей, и явные выражения получены только для асимптотик корреляционных функций при больших временах и расстояниях [44].

Следует отметить, что в ряде частных случаев формулы для корреляторов можно записать без дуальных полей. Это было сделано для модели непроницаемых бозонов (одномерного Бозе газа в пределе бесконечной константы связи) [38,39, 55,58, 59] и ХХО модели Гейзенберга [28-30]. Корреляторы для этих моделей были получены в виде определителей конечных матриц для случая конечного объема и в виде детерминантов Фредгольма интегральных операторов очень специального типа (так называемых интегрируемых интегральных операторов) в пределе бесконечного объема. Подобные представления, как выяснилось, позволяют доказать, что корреляционные функции квантовых интегрируемых моделей являются решениями классических интегрируемых уравнений [3,4, 40,49], что позволяет считать для них асимптотические разложения [43]. Следует добавить, что хотя обе упомянутые модели допускают переформулировку в терминах свободных фермио-нов, квантовый метод обратной задачи позволяет вычислять значительно более широкий класс корреляционных функций, чем подход Либа и Мак Коя.

Возникает вопрос о необходимости дуальных полей для вычисления корреляционных функций в рамках квантового метода обратной задачи. В частности,

1. можно ли построить детерминантные представления без дуальных полей для корреляторов наиболее общей интегрируемой модели, допускающей переформулировку в терминах свободных

фермионов, а именно модели ХУ,

2. возможны ли подобные представления вне точек свободных фермионов, т.е. существуют ли другие ситуации, когда можно избавиться от дуальных полей,

3. наконец, возможен ли подход без дуальных полей к корреляторам и формфакторам в общем случае, например для моделей XXZ и XXX.

Именно эти вопросы рассмотрены в настоящей диссертации. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе рассмотрена ХУ модель. Ввиду того, что решение этой модели методом алгебраического анзатца Бете имеет ряд сложностей, характерных для моделей с эллиптической Я-матрицей, мы воспользовались фермионной формулировкой модели. Получив сравнительно простое разложение для фермионного вакуума ХУ модели по собственным состояниям изотропной ХХО модели, мы воспользовались для вычисления одновременных температурных корреляторов интегрированием по грассмановым переменным и соответствующим когерентным состояниям. Использование когерентных состояний автоматически приводит к ответам в виде определителей матриц (или интегральных операторов в термодинамическом пределе) нужного вида, которые являются обобщением результатов для изотропного случая, отличаясь от них только заменой "фермиевского" (или "бозевского") веса в матричных элементах (или в ядрах интегральных операторов) на вес, зависящий также от параметра анизотропии.

Во второй главе рассмотрена другая решеточная интегрируемая система - так называемая фазовая модель. Будучи интересна сама по себе, эта модель также важна как предельный случай модели д-бозонов

(д —оо), которая с одной стороны является квантованием классической модели Абловитца-Ладика, а с другой стороны - интересным решеточным аналогом квантовой модели НШ. В пределе д —>• оо уравнения Бете становятся линейными и могут быть решены точно. Однако фазовая модель не допускает переформулировки в терминах свободных фермионов. Таким образом мы имеем дело в некотором смысле с промежуточной ситуацией между точками свободных фермионов и общим случаем. При вычислении формфакторов фазовой модели возникает необходимость введения дуальных полей, но, благодаря дополнительным тождествам, их удается исключить из окончательных представлений для формфакторов и корреляционных функций. Окончательные формулы для двухточечных корреляционных функций, зависящих от времени и температуры, несмотря на некоторую громоздкость, имеют сходную структуру со случаем свободных фермионов, т.к. основным их элементом остаются фредгольмовы детерминанты интегрируемых интегральных операторов.

В третьей главе рассмотрены модели XXX и XXZ спина Для вычисления формфакторов мы воспользовались факторизующим твистом, который дает возможность избежать ряда комбинаторных трудностей, обычно возникающих при вычислениях в рамках алгебраического анзатца Бете. Используя твист, молено получить сравнительно простые формулы для операторов элементов матрицы монодромии (обобщенных операторов рождения и уничтожения) и вычислить скалярные произведения собственных состояний модели с произвольными состояниями, построенными с помощью этих операторов. Также получены представления для локальных операторов спина | через элементы матрицы монодромии. В результате получены детерминантные представления для формфакторов ХХ2 и XXX моделей не содержащие

дуальных полей. Мы показываем, что, используя эти представления, можно доказать формулу Бакстера для спонтанной намагниченности XXZ цепочки в режиме А > 1 при нулевой температуре.

При вычислении формфакторов одним из основных объектов остается статсумма шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки, поэтому мы подробно останавливаемся на этом объекте и доказываем, что он является решением классических интегрируемых уравнений: уравнения Тоды в однородном случае и уравнения Хироты в неоднородном.

Автор признателен А.Г. Изергину и Ж.М. Майе, под руководством которых выполнялась работа. Автор благодарен за сотрудничество H.A. Славнову, Н.М. Боголюбову, B.C. Капитонову, В. Террас, Е. Ка-рьялайнену, а также всем сотрудникам лабораторий математических методов физики и статистической физики ПОМИ и группы теоретической физики лаборатории физики ENS-Lyon (Лион, Франция) за помощь и дискуссии.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 95-01-00476а и 98-01-00313). ИНТАС (грант ИНТАС-РФФИ 95-0414) и МИД Франции (проект МАЕ-96/9804).

Глава 1

ХУ Модель

ХУ модель была предложена в 1961 году Либом с соавторами в работе [61]. Там же был предложен метод ее решения основанный на преобразованиях Йордана-Вигнера и Боголюбова и было показано, что ХУ модель эквивалентна модели свободных фермионов со специфическими граничными условиями. В дальнейшем в ряде работ [64,65] вычислялись некоторые корреляционные функции в рамках этого подхода с использованием теоремы Вика.

Несмотря на то, что существует решение ХУ модели как частного случая наиболее общей XYZ модели в рамках квантового метода обратной задачи [14], мы воспользовались формализмом свободных фермионов для вычисления корреляционных функций.

Исходя из формулы, связывающей собственные состояния ХХО и ХУ моделей, полученной в работе [7], мы использовали интегрирование по грассмановым переменным и соответствующим когерентным состояниям [5]. Следует отметить, что сходный подход к корреляторам ХУ модели был применен в [8,37], но полученные там представления для корреляторов в виде пфаффианов на наш взгляд значительно менее удобны, чем детерминантные представления.

и.

В результате мы получаем представления для корреляторов анизотропной ХУ модели в виде определителей матриц размерности М х М, где М - длина цепочки. Эти представления являются, с одной стороны, непосредственным обобщением представлений для изотропного случая [28-30], а с другой стороны обобщают результаты для анизотропной цепочки, полученные в [7] для случая нулевой температуры.

1.1. Диагонализация гамильтониана

Гамильтониан ХУ модели во внешнем магнитном поле записывается в следующем виде 1 м

Нху = Е((1 + 7)4га,^т+1Ч(1-7КтЧт+1, + Мт,)) (1-1-1)

^ 771=1

где сг(т\ сг^т\ операторы спина | на решетке удовлетворяющие

коммутационным соотношениям:

[*1тК а1п)] = 2гЯтпеаьМт) 1

а также периодическим граничным условиям:

М су

Все эти операторы действуют в пространстве Н = <8> 'Нк.'Нк = С . В

к= 1

формуле (1.1.1) 7- параметр анизотропии в плоскости ХУ, к - постоянное внешнее магнитное поле. Число узлов решетки М предполагается четным.

Благодаря симметриям гамильтониана знак магнитного поля не существенен, и в дальнейшем мы будем считать к > 0.

Наиболее удобно для нас будет записывать гамильтониан модели как сумму трех членов

Н = Но + 7Н1 -ИБ2, (1.1.2)

где Но - изотропный вклад

I м

Н0 = Е {<?т°т+1 + <7т°т+1), (1Л'3)

^ т=1

Н1 - анизотропный

I м

Н1 = "о Е (°~гпСГт+1 + (1Л'4)

2 771=1

а - третья компонента полного спина

м

& = Е (1.1-5)

Ш=1

Операторы ег^ определены стандартным способом

а± = -(ах + гау )

ит 171 ит)-

Преобразование Йордана-Вигнера

а

т - ехр {гтгС^т - 1)} сг+;

ат = ^т^Р^'71^™ - 1)} > (1.1.6)

вводит канонические фермионные поля ат, а^ на решетке

а11+ = [а™> 4]+ = (1-1-7)

Q(?7i) - это оператор числа квазичастиц в первых га узлах решетки,

т

Я М = Е<?;, (1.1.8)

3=1

причем qm обозначает оператор числа квазичастиц в т-ом узле:

Чт = а)тат = = ^(1 - агт). (1.1.9)

Оператор полного числа частиц

Ы = С1{М), (1.1.10)

коммутирует с операторами Но и 5г, но не с оператором Н^, так что полный гамильтониан не сохраняет число "а-фермионов". В то же время оператор (—1)м = ехр{±г'71\/У"}, антикоммутирующий с операторами рождения и уничтожения,

[(-1)№,аУ+ = [(-1)",ат]+ = 0, (1.1.11)

коммутирует с любым билинейным по ат, а+ оператором, в частности с гамильтонианом:

[(-1)",Н] = 0. (1.1.12)

Периодические граничные условия для спинов приводят к следующим условиям для фермионов:

ам+1 = (-1) V; <4+1 = а!(-1)# (1.1.13)

Вводя проекторы

Р± = ^(1±(-1)ЛГ);

(р±)2 = р±; Р+ + Р~ = 1; Р+р-=р-р+ = 0; (1.1.14)

Р±ат = атР^] [Н,Р±] = 0, можно записать гамильтониан в виде [64]

Н = Н+Р+ + Н-Р". (1.1.15)

Оба оператора

можно формально записать в одинаковом виде

I м

Н* = ^ £ 1(а^Сгт+1 + а^ат) + 7(4га1п+1 + «т+^т) + (1.1.16) ^ т= 1

" , Ш

Е а]тат - —,

т=1 ^

причем разница между Н+ и Н~ только в граничных условиях: ам+1 = -«ь ам+1 = ~а1; Для Н+,

«м+1 = «ь ам+1 = «I; Ддя (1.1.17)

Благодаря этому, преобразования Фурье к импульсному представлению различны для этих гамильтонианов. Наборы разрешенных значений квазиимпульсов обозначим Х+ для Н+ и Х~ для

Х± = {р: ехр{грМ} = =р1, Р£ (-к, тт]> ,

(1.1.18)

или, более явно

Г 7Г 27Г

^ = 1Р/ = -к

2тг М

/,/ = 1,2,..., м|.

(1.1.19)

Соответственно формулы для преобразований Фурье запишутся как

ехр{—¿7г/4}

а

т

г— Е арехр{г(ш-1)р},

УМ р€Л-±

"то

ехр{г7г/4} у/М рех±

=-' Е а!ехр{-г(т - \)р] ,

(1.1.20)

(суммирование по р 6 Х+ для Н+ и по р £ X для Н ) и

аг

а! =

ехр{г'тг/4} Д г -=— £ ат ехр {—г(т - 1 )р}

уМ т= 1

ехр{—г7г/4}

м

- Е <ехр{г(т-1)р}. (1.1.21)

Гамильтонианы Н* в импульсном представлении примут вид

ми

н±=