Предельные чувствительности в линейных и нелинейных квантовых измерениях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

со

СП

сп

¡£| МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

^ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

Халили Фарит Явдатович

На правах рукописи

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ КВАНТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание на ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре молекулярной физики и физических измерений физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

Зашита состоится __1990г. в час. на за-

седании диссертационного совета Д 053.05.39 при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, Физический факультет МГУ.

Академик РАН

профессор Е.Б.Александров

доктор физико-математических наук

М.Ю.Сажин

доктор физико-математических наук профессор A.C.Чиркин Физический институт РАН им. Лебедева г.Москва

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

- Л» ^¿шфж.

.1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 053.05.39 //

А.Ф.Королев

- 31 Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В настоящее время хорошо известно, что квантовая теория измерений не является лишь прикладной дисциплиной, вторичной по отношению к фундаментальной физике. Законы квантового мира на самом глубоком уровне определяют, какие физические величины, как, и с какой предельной точностью можно измерять.

В то же время, в течении долгого времени квантовая теория измерений почти не использовалась в реальных физических экспериментах. Экспериментатор практически всегда имел дело с огромными ансамблями квантовых частиц. При этом не было необходимости вовлекать в рассмотрение тонкости процедуры редукции - достаточно было просто вычислить волновую функцию, используя уравнение Шредингера.

В 60-е году начался рост интереса к квантовой теории измерений, вызванный, в основном, изобретением квантовых генераторов оптического и СВЧ диапазонов. В это время был развит математический аппарат неортогональных измерений, позволяющий рассматривать приближенные квантовые измерения (и в том числе т одновременные измерения нескольких наблюдаемых). В основном, внимание на этом этапе было сосредоточено на задачах оптимального приема сигналов. Поэтому построенная теория оставляла практически без внимания задачу вычисления обратного воздействия измерителя на квантовый объект.

Современный этап развития квантовой теории измерений был инициирован гравитационно - волновыми экспериментами. В этих экспериментах впервые возникла потребность рассматривать единичные макроскопические тела как квантовые объекты. К этому же времени технология достигла уровня, когда стало возможным формировать и поддерживать в течении заметного времени такие состояния макроскопических тел, в которых их квантовые неопределенности превышают тепловые.

Начало этого этапа относится к концу 60-х - началу 70-х годов, когда были сформулированы условия, при выполнении которых макроскопическое тело ведет себя как квантовое, и впервые появились понятия "квантовое невозмущающее измерение" и "стандартный квантовый предел". В последующие годы число работ по квантовой теории измерений стало расти экспоненциально.

Особенностью теории на этом этапе стало внимание к конечному состоянию объекта (после измерения), как необходимому элементу для повторных измерений. В частности, этот момент лежит в фокусе внимания

теории квантовых невозмущающих измерений.

В 80-годы начался (и продолжается по настоящее время) резкий всплеск интереса также и экспериментаторов к опытам с единичными квантовыми объектами.

Цели работы. Целью диссертационной работы является решение следующих проблем:

1) построение простой в использовании теории линейных квантовых измерений, позволяющей на языке, близком к обычному радиофизическому, описывать любые, в том числе и непрерывные, линейные измерения;

2) нахождение универсальной взаимосвязи между динамическими и шумовыми характеристиками любых, в том числе и неравновесных, линейных квантовых систем;

3) исследование характера перехода динамического поведения квантовых систем с нелинейным непрерывным измерением, по мере роста точности измерения, от свободной эволюции к " замораживанию" в исходном состоянии (квантовый эффект Зенона);

4) конкретизация критериев квантовых невозмущающих измерений; анализ предельных возможностей различных схем включения резонатора в линию передачи в квантовом невозмущающем измерении энергии электромагнитной волны с использованием накопления энергии в высокодобротном резонаторе;

5) нахождение предельной точности невозмущающего измерения электромагнитной энергии в бегущей волне и исследование возникающего при таком измерении квантового состояния электромагнитного поля;

6) нахождение предельной чувствительности квантовых пробных объектов к действию классической внешней силы при использовании линейных и нелинейных измерений; выяснение условий, при которых может быть преодолен стандартный квантовой предел чувствительности.

Научная новизна. В настоящей работе впервые:

1) получено соотношение, описывающее статистику результатов для любой последовательности линейных квантовых измерений, и построена теория линейных квантовых систем с непрерывным измерением;

2) получено универсальное соотношение, связывающее динамические и шумовые характеристики любых, в том числе и неравновесных, линейных квантовых систем; частным случаем этого соотношения является неравенство, связывающее точность измерения и обратное флуктуацион-ное воздействие для линейных квантовых измерителей;

3) исследован характер эволюции квантовых систем с непрерывным нелинейным измерением при конечной точности измерения, и выяснен характер перехода динамического поведения таких систем, по мере роста точности слежения, от свободной эволюции к "замораживанию" в исходном состоянии (квантовый эффект Зенона).

4) получен набор критериев, которым должен удовлетворять измерительный прибор для реализации квантового невозмущающего измерения; показано, что в схеме квантового невозмущающего измерения электромагнитной энергии, основанной на ее накоплении в высокодобротном резонаторе, необходимым условием невозмущающего измерения является подключения резонатора "на отражение" (а не на пролет).

5) теоретически исследован новый класс квантовых состояний электромагнитного поля, возникающий при квантовом невозмущающем измерении энергии бегущей электромагнитной волны - частотно - антикоррелированные квантовые состояния;

6) предложено несколько схем обнаружения действия классической силы на квантовый пробный объект, позволяющих получить чувствительность, превышающую стандартный квантовый предел, оставаясь в рамках непрерывных координатных измерений;

7) показано, что взаимная корреляция шумов измерителя эквивалентна некоторой модификации динамических свойств пробного объекта; данное свойство может быть использовано для получения чувствительности, превышающей стандартный квантовый предел, для систем с непрерывным координатным измерением.

8) показано наличие нового класса ограничений чувствительности квантовых пробных систем к действию классической силы, связанный с ограниченностью энергии, которую может вложить измеритель в пробный объект.

Научная и практическая ценность работы. Развитые методы исследования и полученные с их помощью результаты могут быть непосредственно использованы при постановке прецизионных физических экспериментов и для разработки сверхвысокочувствительных приемников электромагнитного и гравитационного излучения.

На защиту выносятся следующие результаты и положения.

1. Теория линейных квантовых систем с непрерывным измерением, позволяющая на языке, близком к обычному радиофизическому, описывать любые, в том числе и непрерывные, линейные измерения.

2. Универсальное соотношение, связывающее динамические и шумо-

вые характеристики любых, в том числе и неравновесных, линейных квантовых систем. Частным случаем этого соотношения является неравенство, связывающее точность измерения и обратное флуктуационное воздействие для линейных квантовых измерителей.

3. Уравнение движения для оператора плотности, описывающего поведение нелинейных квантовых систем с непрерывным нелинейным измерением; характер перехода динамического поведения таких систем, по мере роста точности слежения, от свободной эволюции к "замораживанию" в исходном состоянии (квантовый эффект Зенона).

4. Набор критериев, которым должен удовлетворять измерительный прибор для реализации квантового невозмущающего измерения; доказательство необходимости в схеме квантового невозмущающего измерения электромагнитной энергии, основанной на ее накоплении в высокодобротном резонаторе, подключения резонатора "на отражение" (а не на пролет).

5. Новый класс квантовых состояний электромагнитного поля, возникающий при квантовом невозмущающем измерении энергии бегущей электромагнитной волны - частотно - антикоррелированные квантовые состояния; использование электромагнитной волны в таком состоянии позволяет измерять скорость макроскопических тел допплеровским методом с точностью, превышающей стандартный квантовый предел.

6. Условия, при которых чувствительность квантового пробного объекта к воздействию классической силы ограничивается стандартным квантовым пределом; новые схем обнаружения, позволяющих получить чувствительность, превышающую стандартный квантовый предел, оставаясь в рамках непрерывных координатных измерений.

7. Доказательство эквивалентности взаимной корреляция шумов измерителя некоторой модификации динамических свойств пробного объекта; данное свойство может быть использовано для получения чувствительности, превышающей стандартный квантовый предел, для систем с непрерывным координатным измерением.

8. Новый класс ограничений чувствительности квантовых пробных систем к действию классической силы, связанный с ограниченностью энергии, которую может вложить измеритель в пробную систему; выражения для предельной чувствительности типичных квантовых пробных систем, обусловленные этим классом ограничений.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты опубликованы в ведущих научных журналах: ЖЭТФ, Письма в ЖЭТФ,

ДАН, Physics Letters и др., монографии "Quantum Measurement" (Cambridge Univ. Press, 1992), докладывались на научных семинарах кафедр физики колебаний, молекулярной физики и физических измерений физического факультета, на Ломоносовских чтениях МГУ, на Общемосковском теоретическом семинаре Физического Института РАН, на сессии Отделения Общей физики и Астрономии РАН.

Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в 16 научных статьях и одной монографии, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, четырех частей, каждая из которых разбита на две главы, выводов, и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 155 страниц текста.

2 Содержание работы

Введение содержит краткий исторический обзор по квантовой теории измерений. В нем формулируются цели диссертационной работы, дается краткая аннотация последующих глав и приводятся основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1.1. Прямые квантовые измерения. Параграфы 1.1.1 и 1.1.2 посвящены постулату о редукции фон Неймана [1], являющемуся, как известно, основной аксиомой квантовой теории измерений. В рамках этого постулата фон Нейману удалось описать как точные измерения, так и наметить путь к описанию приближенных измерений на основе аппарата разложений единицы. В то же время, фон Нейман использовал лишь ортогональные разложения единицы, позвляющие описывать лишь ограниченный класс приближенных измерений.

Существенно более общий подход, основанный на неортогональных разложения единицы, был развит в 60-е годы в рамках квантовой теории оптимального приема сигналов [2]-[5]. Этот подход позволяет описывать как точные, так и приближенные измерения как одной, так и нескольких, в т.ч. и некоммутирующих, наблюдаемых. В то же время, в этой теории никак не фиксируется состояние исследуемого квантового объекта после измерения.

В параграфе 1.1.3 рассмотрены приближенные измерения одной наблюдаемой. Весь процесс измерения может быть описан следующим образом.

Пусть ч - измеряемая наблюдаемая, ц - соответствующий оператор, р -оператор плотности начального состояния исследуемого объекта, |</)

- условное распределение вероятностей получения результата измерения

если до измерения значение измеряемой величины было равно д. Тогда безусловное распределение вероятностей для результата измерения д будет иметь вид:

и,(д) = 5р(Ж(?)р),

а объект после измерения перейдет в состояние

№ = Щ)рй+(ч), щя)

где операторная функция

= /{9} |?>4?|?)<<?|с/?

образует разложение единицы, описывающее данное измерение,

т = итп/2(Ф

- оператор редукции, и((]) - некоторая унитарная операторная функция, зависящая от конкретной структуры прибора.

Возможны (см.ниже) измерения, в которых 0(д) = 1. В этих случаях измеряемая величина не изменяется в процессе измерения (поскольку оператор IV(ц) коммутирует с г/), а остальные наблюдаемые возмущаются ровно настолько, насколько требует квантовая механика. Такие измерения получили название невозмущающих. Появление этого термина относится к середине 70-х годов [6, 7], когда, в связи с разработкой экспериментальных программ по обнаружению гравитационных волн, возникла необходимость в методах очень точного измерения макроскопических наблюдаемых.

Глава 1.2. Косвенные измерения. В параграфах 1.2.1 и 1.2.3 рассматривается проблема взаимосвязи между свойствами измерительного прибора, как обычной квантовой системы, и свойствами реализуемой им процедуры редукции. Очевидно, что для этого, помимо постулата о редукции, должен быть привлечен и стандартный аппарат динамического описания квантовых систем.

Соответствующий подход получил название косвенных квантовых измерений (термин был предложен Л.И.Мандельштаммом [8]). В рамках

этого подхода из измерителя выделяется часть, непосредственно взаимодействующая с исследуемым объектом - т.н. квантовый измеритель. Это взаимодействие не включает в себя редукции, и может рассматриваться как обычное взаимодействие двух квантовых систем. Остальная часть системы измерения - т.н. классический измеритель - осуществляет редукцию состояния квантового измерителя.

Граница между квантовым измерителем и остальной частью системы измерения, в принципе может быть проведена достаточно произвольно. Основной целью такого подхода является сведение сложной процедуры измерения к более простой или рассчитанной раньше.

Параграфы 1.2.4 и 1.2.5 посвящена квантовым невозмущающим измерениям. Одной из основных проблем теории квантовых невозмущающих измерений является то, что непосредственная проверка соответствия конкретной процедуры измерения определению невозмущающего измерения представляет собой, как правило, сложную задачей. Поэтому необходимо иметь какие-то более простые критерии, позволяющие выяснить, является ли данное измерение невозмущающим.

Наиболее общее, необходимое и достаточное, условие невозмущающего измерения имеет вид:

{и+яй - $)|ф> = О

где \хр> - начальное состояние квантового прибора, д - оператор измеряемой наблюдаемой, V - оператор совместной эволюции квантового прибора и исследуемого объекта.

Для выполнения этого можно либо потребовать, чтобы чтобы оператор измеряемой величины после измерения возвращался к своему первоначальному значению, = д, либо, если это не выполняется, подобрать начальное состояние прибора так, чтобы оно было собственным состоянием оператора и+ф — ¿¡.

Первый способ приводит к достаточному (не необходимому) условию невозмущающего измерения, не зависящему от вида начального состояния прибора - коммутативности оператора (] с оператором эволюции £/.

Проверка этого условия требует знания оператора и, т.е. решения задачи об эволюции связанной системы "квантовый прибор 4- исследуемый объект". Как правило, сделать это достаточно сложно, поэтому широко используется достаточное условие, что измеряемая величина должна быть интегралом движения для связанной системы. Если оператор измеряемой величины явно не зависит от времени, то это условие сводится

просто к коммутативности ц с гамильтонианом связанной системы Н.

Последний почти всегда может быть представлен в виде суммы

Я = + НргоЬе +

где Н^ - гамильтониан исследуемого объекта, Нргоье - гамильтониан измерителя, Н] - гамильтониан взаимодействия. Если измеряемая наблюдаемая <[ является интегралом движения исследуемого объекта, то достаточным условием квантового невозмущающего измерения будет коммутативность оператора измеряемой величины и гамильтониана взаимодействия.

В параграфе 1.2.6 рассмотрена реализуемая на практике схема невозмущающего измерения квадратурной амплитуды СВЧ - резонатора и приведены численные оценки ожидаемой точности измерения.

Глава 2.1. Дискретные линейные измерения. В параграфах 2.1.1 и 2.1.2 вводится понятие линейного измерения и раасматриваются его основные свойства.

В при анализе обратного воздействия измерителя на исследуемый объект часто используется простой метод, основанный на применении соотношения неопределенностей Гейзенберга к ошибке измерения и величине возмущения объекта. Такой подход применим лишь для измерений, в которых коммутаторы измеряемой величины и всех остальных, возмущение которых интересует наблюдателя, являются числами (а не операторами). Будем называть такие измерения линейными. Линейные измерения тесно связаны с линейными системами (т.е. такими, уравнения движения которых являются линейными по координате - как, например, свободная частица и гармонический осциллятор). Действительно, реальный эксперимент состоит, как правило, не из одного, а из нескольких (по крайней мере, двух) последовательных измерений, например, координаты. Либо производится непрерывное слежение за объектом, которое можно представить как последовательность большего числа отдельных измерений. В этом случае измерение будет линейным, если коммутаторы значений оператора измеряемой величины в различные моменты времени (в картине Гейзенберга) являются числами. Этим свойством обладают координата, импульс и любые их линейные комбинации в линейных системах.

В параграфах .2.1.3 и 2.1.4 выводится общее соотношение, описывающие статистику результатов произвольной последовательности линейных измерений.

Пусть последовательно измеряются наблюдаемые д\, <72, ?лг, с погрешностями Д<7х, Д<72,—, соответственно. Тогда для корреляционной матрицы для результатов измерений ^ О = 1, ...,ЛГ) справедливо неравенство

тп1пЦ,1) т<г т/

где константы Кц = —ф] образуют коммутационную матрицу для операторов измеряемых величин, матрица

В}?* = <(Я} - <&>,•„,ч) о (<7г - <д;>.п.ч)>«т<

определяется начальным состоянием объекта: для любого оператора ф <0>|'т( = 5р(0р), где - р оператор плотности начального состояния объекта. Это соотношение представляет собой удобную основу, на которой, путем предольного перехода, может быть постороена теория непрерывных лпненйных измерений.

Глава 2.2. Непрерывные линейные измерения. Необходимость в разработке квантовой теории непрерывных измерений возникла в 60-е годы, когда появились системы для непрерывного измерения с уровнем чувствительности, близким к квантовому. К началу 90-х годов был разработан ряд подходов к анализу непрерывных квантовых измерений [9, 10, 11]. К сожалению, ни один из развиваемых в настоящее время подходов не позволяет в общем, нелинейном, случае получить практически пригодные общие соотношения, описывающие свойства непрерывных измерений. Однако достаточно простую общую теорию удается построить, если ограничиться только линейными измерениями.

В параграфе 2.2.3 путем перехода к пределу в полученной в главе 2.1 формуле для корреляционной матрицы для результатов серии линейных измерений получено следующее выражение для корреляционной функции выходного сигнала измерителя:

Я(м') = я-Чм') + ЗД<г(* - о + /0т,'я(м,)

где (/(<) - измеряемая наблюдаемая,

ЯЫ4(М') = <Ш - <?(<)>.-»«) ° (<?(*') - <$(<')>.•»«)>.»«

- "невозмущенная" корреляционная функция, описывающая статистику оператора измеряемой величины без учета измерителя, О - обобщенная восприимчивость пробного объекта. Функции и определяемые из соотношений

= - О , вим') = 3>(* М - г')

где Вя(1,1') - корреляционная функция аддитивного шума, добавляемого измерителем к входному сигналу, Вр(1,1') - корреляционная функция случайной силы, действующей на исследуемый объект со стороны измерителя, должны удовлетворять неравенству

Полученные соотношения не являются самыми общими: они не описывают случаи, когда погрешность слежения и обратное воздействие на объект коррелированы между собой, а также когда значения погрешности измерения н возмущение объекта в различные моменты времени не являются независимыми. В параграфах 2.2.3-2.2.5 рассматриваются эти обобщения, на основе другого подхода, физически не столь прозрачного, но математически более простого.

Прибор для непрерывного измерения какой-либо величины можно рассматривать как частный случай линейного квантового четырехполюсника. Одна пара контактов соединена с исследуемым объектом, со второй считываются результаты измерения. Каждой из пар контактов связана своя обобщенная координата г^,] = 1,2. Динамические свойства такой системы описываются матрицей обобщенных восприимчивостей флуктуационные - матрицей корреляционных функций для г^, #,*(<,<').

Эти матрицы должны быть взаимосвязаны. Для равновесных систем эта связь описывается флуктуационно-диссипационной теоремой. Но для таких существенно неравновесных систем, какими являются измерительные приборы, она не применима. В параграфе 2.2.3 показано, что для произвольного линейного 2 х n - полюсника справедливо условие, что четырехмерная матрица с парой обычных, дискретных индексов ], к и парой непрерывно изменяющихся "индексов"

- у ОЫМ') - X*,•(*'.*)) II

неотрицательно определена.

Полученное условие существенно упрощается для стационарных систем, при использовании спектрального подхода. В параграфе 2.2.4 показано, что этом случае оно имеет вид:

Е > §

«■ Е Я-Як Ы") -

.7,к=1

для всех значений частоты ш. Здесь Ь)к(и) - спектральные плотности флуктуаций, - спектральные образы обобщенных воспрнимчиво-

стей, <31,..., Фаг - произвольные комплексные числа. При А' = 1 (двухполюсник) это условие принимает вид простого неравенства

5Н > Й|1тХМ|,

а при N = 2 (четырехполюсник) - системы неравенств

[£>п(и>) + ГЛт,\'ц(а;)] • [£>22М + Ыт.^М] > 521^) + ~ Х12М]

В параграфе 2.2.5 рассмотрен линейный измеритель как частный случай линейного четырехполюсника. Он может быть представлен в виде черного ящика, на вход которого подается измеряемая переменная х{1). Выходной сигнал х{1) при этом равен сумме х(1) и аддитивного шума х/ЫсМ, генерируемого измерителем. Измеритель является также источником флуктуационной силы £/;ис((<), действующей на исследуемый объект (обратное флуктуационное влияние измерителя). Собственные флуктуации линейного измерителя, как следует из полученных соотношений для линейного четырехполюсника, должны удовлетворять неравенству

+Мт + <2!(*)<?1 (г')хи(м')^'] > О,

где Вр{1, V) и Вх{1,1') - корреляционные функции входных и выходных флуктуаций, Вхр{1,1') - перекрестная корреляционная функция, и

фг(^) - произвольные, вообще говоря, комплексные функции.

В случае стационарного измерителя, в спектральном представлении, это соотношение приводит к следующим условиям:

5р(ы) > ft|Imxn(w)|, Sx(v)SF(w) - |S*f(«)|2 > h\lm[Sx(")xii(") + 5гЯ(ы)]| + j

где Sf(hj), Sx(u), Sxf(u>) - спектральные плотности флуктуаций.

В параграфе 2.2.6 рассмотрен конкретный пример системы с непрерывным слежением за координатой - оптический интерферометрический датчик, основной элемент лазерных гравитационных антенн. Для него приведены явный вид спектральных плотностей флуктуаций и соответствующие численные оценки.

Глава 3.1 Нелинейные системы с непрерывным измерением. При непрерывном слежении за квантовым объектом измеритель может воздействовать на него, вообще говоря, двояким образом. Во-первых, он может изменять поведение средних значений наблюдаемых (динамическое обратное воздействие). Во-вторых, измеритель увеличивает неопределенности наблюдаемых (флуктуационное обратное воздействие). Особенностью линейных систем является то, что эти два вида обратного воздействия никак не связаны между собой. Причем фундаментальный характер носит только флуктуационное воздействие, а динамическое в надлежащим образом сконструированном измерителе может отсутствовать.

Для нелинейных систем это не так. Например, при слежении за энергией осциллятора, в соответствии с соотношением неопределенностей, будет происходить диффузия его фазы, поэтому частота осциллятора будет флуктуировать вокруг своего начального значения. Как следствие, отклик осциллятора на внешнюю силу будет монотонно падать с ростом коэффициента диффузии его фазы, т.е. с ростом точности слежения за энергией. Таким образом, флуктуационное обратное воздействие измерителя приводит к изменению динамического поведения объекта.

Явление подавления отклика квантовой системы на внешнюю силу при непрерывном слежении за энергией получило в литературе название "эффект сторожевой собаки" (watchdog effect [12]). Эффект сторожевой собаки представляет собой частный случай квантового парадокса Зенона [13, 14] - явления подавления квантовых переходов между собственными состояниями измеряемой величины при непрерывном измерении.

В параграфе 3.1.2 выводится следующее уравнение движения для оператора плотности нелинейной системы с непрерывным измерением:

где величина о2р{1) задает интенсивность случайной силы, действующей на объект со стороны измерителя. Это уравнение используется для анализа двух типичных нелинейных систем.

В параграфе 3.1.3 рассмотрен характерный случай квантового парадокса Зенона - поведение двухуровневой квантовой системы (например, частициы со спином 1/2 в магнитном поле или системы из двух связанных осцилляторов с единственным квантом) при непрерывном слежении за номером уровня, на котором она находится. Пусть П - невозмущенная частота переходов системы с уровня на уровень, параметр го .= ~т характернзует время, за которое можно различить, на каком уровне находится объект (оно тем меньше, чем выше точность слежения). Тогда вероятности локализации системы на одном из двух уровне И7+(<) и изменяются со временем следующим образом (при условии, что при 1 = 0 И/+(0) = 1 и = 0):

где

р2(1) = ^созП'г + ^г^ е-'/то при Пг0 > 1,

т'е-Чг' _ г"е-(1г"

/>.(<) =-----при Ог0 < 1,

г — г"

п1 = V«2 - г0-2, г'-1 = То1 - ^То2 - г"-1 = г0-1 + \1Г0"2 - №.

При ( оо рг 0, т.е. под действием измерительного прибора рассматриваемая система асимптотически стремится к равновесному состоянию, в котором вероятности локализации на обоих уровнях одинаковы. Если 1)г0 > 1, то этот процесс сопровождается осцилляциями вероятностен переходов, аналогичными тем, которые имеют место в свободной системе. При увеличении точности слежения частота осцилляций уменьшается, и при Пг0 < 1 они полностью подавлены: вероятность локализации на начальном уровне стремится с течением времени к своему асимптотическому значению 1/2, уменьшаясь монотонно.

В параграфе 3.1.4 рассмотрена процедура обнаружения действия клас-

сической силы на пробный квантовый осциллятор, использующая непрерывное слежение за энергией осциллятора. Показано, что из-за воздействия измерителя переходы осциллятора с уровня на уровень, вызванные внешней силой, подавляются тем сильнее, чем выше точность слежения. Вероятность того, что за время действия силы осциллятор уйдет с начального уровня п, равна

где /(ш) - спектр силы, и/а - частота осциллятора,

од = т°~1

(2го)-2 +ш2'

Отсюда следует, что эффект "сторожевой собаки" не влияет на чувствительность пробной системы, если время выделения сигнала го больше длительности силы тр- Однако чувствительность падает, если то < тр, ■ т.е. делается попытка не только зарегистрировать факт воздействия силы, но и получить какую-то информацию о ее форме.

Глава 3.2 Квантовые невозмущающие измерения электромагнитной энергии. В параграфе 3.2.1 рассмотрены основные свойства пондеромоторного измерителя [7] - первой предложенной схемой квантового невозмущающего измерения электромагнитной энергии. Он может служить простой моделью для реальных схем невозмущающих измерений.

Гамильтониан взаимодействия измерителя с объектом в пондеромо-торном измерителе пропорционален не полной энергии объекта, как требуется для идеального измерителя, а квадрату его бобщенной координаты. Аналогичное свойство характерно как для большинства предложенной позже, так и для всех реализованных к настоящему времени схем измерения. Оно приводит к появлению характерного предела точности измерения:

л „ А д е = -т

(г - время измереения).

В параграфе 3.2.2 рассмотрена схема измерения энергии в бегущей электромагнитной волне, основанная на накоплении энергии в резонаторе. Включенный в линию передачи резонатор представляет собой не-

однородность, отражающую часть энергии сигнала, что приводит к появлению дополнительной ошибки измерения. В принципе возможны две схемы включения резонатора в линию - "на пролет", когда к резонатору подключены две линии передачи - входная и выходная, и на "отражение", когда линия передачи одна. В первом случае, из - за интерференции сигнала с нулевыми колебаниями, поступающими в резонатор из выходной линии, точность измерения числа прошедших через резонатор квантов п ограничивается стандартным квантовым пределом Дп = (даже если измерительный прибор позволяет точно измерить число квантов внутри резонатора). Т.е. потенциальные возможности КНИ здесь не реализуются. В то же время, схема измерения измерение "на отражение" свободна от этого ограничения, и в ней может быть получена точность измерения, превышающая стандартный квантовый предел.

В параграфе 3.2.3 рассмотрено невозмущающее измерение электромагнитной энергии непосредственно в бегущей волне. Поскольку энергия бегущего электромагнитного цуга пропорциональна его импульсу, а длина - неопределимости координаты, то для него справедливо соотношение неопределенностей, непосредственно следующее из соотношения неопределенностей для координаты и импульса:

П

Д.Етеа11АГреп > ~

где Д ет еа$ - ошибка измерения энергии, ДТреТ1 - среднее удлиннение цуга при измерении.

При достаточно точном измерении п - фотонного цуга возникает ситуация, когда

А ■ Й Й г-

д е = —— « -—у/а

¿т/та! ¿Тц„а1

где т/;па( - длительность цуга после измерения. Неравенство означает, что отклонения частот отдельных квантов от среднего значения частоты цуга уже не являются независимыми случайными величинами. В результате измерения они стали антикоррелированными между собой. Возникло новое квантовое состояние - частотно-антикоррелированное.

Частотно-антикоррелированные группы фотонов в принципе могут быть использованы для допплеровского измерения скорости механического объекта. Идея такого измерения, позволяющего, в принципе, получить любую требуемую точность, была предложена еще И. фон Нейма-

ном [1]. В оригинальной схеме мысленного эксперимента И. фон Неймана предлагалось использовать единичные кванты. Как показывают простые оценки, для получения высокой точности необходимы кванты чрезвычайно коротковолнового излучения. Использование частотно-антикоррелированных групп фотонов снимает это требование.

Глава 4.1 Линейные системы для обнаружения классической силы. В параграфе 4.1.1 рассмотрены основные причины, по которым возникают квантовые ограничения при обнаружении классической силы. Попытка "в лоб" применить соотношение неопределенностей дает здесь тривиальный результат, что можно обнаружить сколь угодно малую силу. Однако из-за того, что между классической силой и классическим наблюдателем находится квантовый объект - пробная система, ограничения на чувствительность все же возникают. Прежде всего, чувствительность ограничивается собственными флуктуациями в пробном объекте - например, связанными с диссипацией. Они задают т.н. потенциальную чувствительность пробного объекта. Эта чувствительность инвариантна к применяемой процедуре измерения, единственный способ его повышения - это лучшая изоляция пробного объекта от термостата. К настоящему времени на этом пути достигнуты значительные успехи [15, 16].

Другой класс ограничений связан с тем, что оптимальную для данной пробной системы процедуру съема информации, как правило, использовать не удается из-за сложностей ее технической реализации. "Обычные" схемы измерения сводятся чаще всего к непрерывному слежению за координатой пробной системы с постоянной, в течении времени измерения, точностью. Чувствительность таких схем ограничивается стандартными квантовыми пределами [6], если не использовать какие-либо специальные приемы.

В параграфе 4.1.3 рассмотрены стандартные квантовые пределы для простейших пробных объектов - свободной массы и гармонического осциллятора.

К настоящему времени предложено достаточно много методов преодоления стандартных квантовых пределов. Как правило, в них предполагается слежение не за координатой, а за некоторой другой наблюдаемой пробной системы, значения оператора которой в различные моменты времени коммутируют между собой, либо использование координатного, но нестационарного взаимодействия измерителя с пробным объектом. Препятствием для использования таких методов является сложность реали-

зации соответствующих процедур измерения.

В то же время, чувствительность, превышающую стандартный квантовый предел, можно получить и в рамках обычных стационарных координатных процедур измерения. В параграфе 4.1.4 показано, что взаимная корреляция аддитивного шума измерителя и его обратного флукту-ацнонного влияния эквивалентна некоторой модификации динамических свойств пробного объекта. Следовательно, подбирая нужным образом вид корреляции, можно, имея реально одну линейную пробную систему, имитировать динамические свойства любой другой. Например, при обнаружении действия силы, имеющей форму достаточно длинного гармонического цуга, на свободную массу, можно получить чувствительность, соответствующую стандартному квантовому пределу для пробного осциллятора, что в \Jujt (со - средняя частота цуга, т - его длительность) лучше, чем стандартный квантовый предел для свободной массы.

В параграфе 4.1.5 показано, что возможность оптимального выбора формы спектральных плотностей флуктуацнй измерителя позволяет, оставаясь в рамках класса линейных стационарных измерителей координаты, получить чувствительность, ограниченную лишь собственной диссипацией пробного объекта: вклад шумов такого оптимизированного измерителя в точности совпадает с вкладом тепловых шумов пробного объекта при нулевой температуре.

Конкретный вид формы спектральных плотностей определяется динамическими свойствами пробного объекта. Для свободной пробной массы т они имеют достаточно простой вид:

= и>25р , ^(ш) = ^ , = —,

ш1 т

где 5'р - константа, а

Г? 9

9 - — 4" " 45в + та'

-'р

В параграфе 4.1.6 предложены две конкретные схемы измерителей с такими шумами.

Глава 4.2 Энергетические квантовые ограничения. Анализ выражений для предельной чувствительности Известных методов обнаружения действия силы на квантовый пробный объект показывает, что чувствительность тем выше, чем больше энергия пробного объекта. В частности, для пробного осциллятора с массой т и собственной частотой ш, для всех известных методов обнаружения, справедливо выражение:

1 mm — \

hum

n+1/2

где тр - длительность силы, n - среднее число квантов в осцилляторе.

Причиной появления таких ограничений является соотношение неопределенностей. Для обнаружения силы необходимо, чтобы измеряемая наблюдаемая была хорошо определена. Следовательно, возмущение наблюдаемой, ей канонически сопряженной должно быть велико. А для этого измеритель должен вложить достаточно большую энергию в объект.

В параграфе 4.2.2 рассмотрена задача об оптимальном различение двух путей эволюции квантового объекта, в параграфе 4.2.3 - о предельной чувствительности при использование порогового квантового детектора [4]. В обоих случаях условием достоверного обнаружения в обоих случаях является достаточно большая (порядка единицы) неопределенность наблюдаемой ф, определяемой из уравнения:

= и+йь

где Uо - оператор эволюции пробного объекта при отсутствии обнаруживаемого воздействия, u\ - при наличии.

В параграфе 4.2.4 показано, что в задаче об обнаружении классической внешней силы F(t)

Ф = \Г F(t)i(t)dt,

П J~<x>

где x(t) - оператор координаты пробного объекта в представлении взаимодействия. Следовательно, условие обнаружения имеет при этом вид:

fi2

IZo FitWWijWdt' > —

где B(t,t') - корреляционная функция для х. Т.е. чувствительность тем выше, чем больше флуктуации х.

В параграфе 4.2.5 рассмотрены следствия этого ограничения для простых пробных объектов - свободной массы и гармонического осциллятора, и приведены численные оценки, показывающие, что в больших лазерных гравитационных антеннах ограничения этого вида могут быть решающими.

Выводы. 1. Построена теория линейных квантовых систем с непрерывным измерением. Получено соотношение, описывающее статистику результатов для любых последовательностей линейных измерений. Выполнен предельный переход на случай непрерывных квантовых измерений.

2. Получено универсальное соотношение; связывающее динамические и шумовые характеристики любых, в том числе и неравновесных, линейных квантовых систем. Частным случаем этого соотношения является неравенство, связывающее точность измерения и обратное флуктуацион-ное воздействие для линейных квантовых измерителей.

3. Получено уравнение движения для оператора плотности, описывающего поведение нелинейных квантовых систем с непрерывным измерением. Проанализирован процесс эволюции двух типичных квантовых систем при непрерывном нелинейном измерении. Продемонстрирован характер перехода динамического поведения таких систем, по мере роста точности слежения, от свободной эволюции к "замораживанию" в исходном состоянии (квантовый эффект Зенона).

4. Сформулирован набор критериев, которым должен удовлетворять измерительный прибор для реализации квантового невозмущающего измерения. Показано, что в схеме квантового невозмущающего измерения электромагнитной энергии, основанной на ее накоплении в высокодобротном резонаторе, необходимым условием является подключение резонатора "на отражение" (а не на пролет).

5. Описан новый класс квантовых состояний электромагнитного поля, возникающий при квантовом невозмущающем измерении энергии бегущей электромагнитной волны - частотно - антнкоррелированные квантовые состояния. Произведение неопределенностей энергии и фазы для этих состояний равно соответствующей величине для однофотонных состояний. Данное свойство позволяет измерять скорость макроскопических тел допплеровским методом с точностью, превышающей стандартный квантовый предел.

6. Сформулированы условия, при которых чувствительность квантового пробного объекта к воздействию классической силы ограничивается стандартным квантовым пределом. Показано, что стандартный квантовый предел может быть преодолен даже в рамках непрерывных координатных измерений. Предложено несколько схем обнаружения, позволяющих получить чувствительность, превышающую стандартный квантовый предел.

7. Показано, что взаимная корреляция шумов измерителя эквивалентна некоторой модификации динамических свойств пробного объекта. Данное свойство может быть использовано для получения чувствительности, превышающей стандартный квантовый предел для систем с непрерывным координатным измерением.

8. Показано наличие характерного предела чувствительности, связанного с ограниченностью энергии, которую может вложить измеритель в квантовую пробную систему. Получены соответствующие выражения для предельной чувствительности типичных квантовых пробных систем.

Результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в следующих работах:

1. Ф.Я.Халили, Вестник Моск. Ун-та, серия 3, вып.1 (1981) 37

2. Ю.И.Воронцов, Ф.Я.Халили, Радиотехника и Электроника, 27 (1982) 2392

3. Ю.И.Воронцов, Ф.Я.Халили, ЖЭТФ, 82 (1982) 72

4. Ф.Я.Халили, Вестник Моск. Ун-та, серия 3, вып.З (1983) 17

5. Ю.И.Воронцов, Ф.Я.Халили, Вестник Моск. Ун-та, серия 3, вып.З (1985) 3

6. Ф.Я.ХаЛили, Вестник Моск. Ун-та, серия 3, вып.2 (1986) 19

7. V.B.Braginsky, F.Ya.Klialili, Foundations of Physics, 16 (1986) 379

8. Ф.Я.Халили, ДАН СССР, 294 (1987) 602

9. Ф.Я.Халили, Вестник Моск. Ун-та, серия 3, вып.5 (1988) 13

10.В.Б.Брагинский, Ф.Я.Халили, ЖЭТФ, 94 (1988) 151

11.Ф.Я.Халили, Вестник Моск. Ун-та, серия 3, вып.4 (1989) 3

12.Е.К.Слива, Ф.Я.Халили, Вестник Моск. Ун-та, серия 3, вып.6 (1990)

40

13.V.B.Braginsky, F.Ya.Khalili, Physics Letters A, 147 (1990).251

14.V.B.Braginsky, F.Ya.Khalili, "Quantum Measurement", ed.by K.S.Thorn Cambridge University Press, 1992.

15.V.B.Braginsky, F.Ya.Khalili, Physics Letters A, 175 (1993) 85.

17.A.A.Кулага, Ф.Я.Халили, ЖЭТФ 104 (1993) 3358

16.А.В.Сырцев, Ф.Я.Халили, ЖЭТФ 106 (1994) 744

Цитированная литература

[1] И.фон Нейман, "Математические основы квантовой механики", М.:Наука, 1964.

[2] А.А.Курнкша,"Квантовая оптика и оптическая локация", М.:Сов.Радио, 1973.

[3] R.L.Stratonovitch, J.of Stochastics, 1 (1973) 87.

[4] К.Хелстром,"Квантовая теория проверки гипотез и оценивания", М.:Мир,1979.

[5] А.С.Холево,"Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории", М.:Наука,1980.

[6] В.Б.Брагинский,Ю.И.Воронцов, УФН 114 (1974) 41.

[7] В.Б.Брагинский,Ю.И.Воронцов,Ф.Я.Халнли, ЖЭТФ 73 (1977) 1340.

[8] JI.И.Мандельштамм,"Лекции по оптике,теории относительности и квантовой механике", М.гНаука, 1972.

[9] М.Б.Менскнй,"Группа путей:Измерення. Поля. Частицы.", М.гНаука, 1983.

[10] C.M.Caves,Phys. Rev. D 26, (1982) 1817

[11] Ю.И.Воронцов, Ф.Я.Халнли, Радиотехника и Электроника, 27 (1982) 2392

[12] W.H.Zurek, Preprint ОАР-651, Caltech, 1982.

[13] Л.А.Халфин, ЖЭТФ 33 (1957) 1371

[14] B.Misra, E.C.G.Sudarshan, J. Math. Phys. 18, (1977) 756

[15] В.Б.Брагинский, В.П.Митрофанов, В.И.Панов, "Системы с малой диссипацией", М.:Наука, 1981.

[16] V.B.Braginsky, V.P.Mitrofanov, O.A.Okhrimenko, Physics Letters A 175 (1993) 82.