Анализ интегрируемых систем и систем слабой сложности в физике твердого тела и дискретных динамических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

1 Модель Хаббарда и модель спиновой решетки в пределе бесконечно сильного взаимодейсвия. Собственные функции и формфакторы моделей.

1.1 Одномерная модель Хаббарда и модель спиновой решетки

1.2 Преобразование Жордана-Вигнера.

1.3 Предел бесконечно сильного взаимодействия.

1.4 Собственные функции и спектры модели Хаббарда и модели спиновой решетки в пределе бесконечно сильного взаимодействия.

1.5 Формфакторы локальных операторов.

2 Корреляционные функции в термодинамическом пределе. Матричная задача Римана-Гильберта

2.1 Статсумма в термодинамическом пределе.

2.2 Корреляционные функции в термодинамическом пределе при конечной температуре.

2.3 Частные случаи.

2.3.1 Однокомпонентный предел

2.3.2 Корреляционная функция полного числа частиц

2.3.3 Одновременные корреляционные функции

2.3.4 Корреляционные функции при нулевой температуре

2.4 Матричная задача Римана-Гильберта.

3 Сложность Арнольда и топологическая энтропия семейства бирациональных отображений

3.1 От решеточных моделей статистической физики к дискретным динамическим системам.

3.2 Определения и обозначения.

3.3 Сложность Арнольда и сложность роста

3.4 Динамическая дзета-функция и топологическая энтропия

3.5 Выводы.

4 От топологической энтропии к метрической

4.1 Определения и обозначения.

4.2 Вещественная топологическая энтропия.

4.3 Вещественная сложность Арнольда

4.4 Метрическая энтропия.

4.5 Выводы.

Системы, которые объединяются в настоящее время под названием интегрируемые, особенно активно стали изучаться в последние пятнадцать лет. Концепция интегрируемости встречается как в физике твердого тела и квантовой механике, так и в статистической физике на решетке и в теории поля. В случае классических моделей понятие интегрируемости связано с решением уравнений Янга-Бакстера. Для квантовых систем речь может идти о нахождении собственных функций рассматриваемого гамильтониана в виде так называемого анзатца Бете.

Интересные и нетривиальные результаты, накопленные вокруг проблематики интегрируемых систем, указывают на то, что в различных разделах математической физики механизмы, определяющие интегрируемость, одни и те же. Между понятиями интегрируемости в различных контекстах существуют тесные взаимоотношения. Например, можно показать, что семейство трансферматриц модели статистической физики коммутирует с квантовым гамильтонианом соответствующей модели квантовой механики.

История интегрируемых моделей в физике твердого тела начинается с работ Г.Бете, опубликованных в тридцатых годах. Он предложил искать волновые функции квантовой спиновой цепочки в частном виде [1], который теперь известен под названием анзатца Бете. Этот вид собственных функций позволил решить такие модели спиновых цепочек Гейзенберга, как ХУ и XXмагнетики во внешнем магнитном поле или анизотропный XYZ магнетик. Следует отметить, что в случае анизотропного XYZ магнетика наложение внешнего магнитного поля разрушает интегрируемость модели. Заметим также, что анзатц Бете позволяет найти собственные функции гамильтонианов рассматриваемых интегрируемых моделей лишь в некотрых случаях. За прошедшее время эволюция интегрируемых моделей происходила не только в физике твердого тела, но и в статистической физике и в теории поля. Существуют методы, позволяющие связать интегрируемые модели физики твердого тела, описываемые гамильтонианами, и интегрируемые модели статистической физики (вершинные модели), описываемые трансферматрицами.

В настоящей работе изучение моделей физики твердого тела и статистической физики на решетке проводится по двум различным направлениям. Мы стремимся дать более детальное описание поведения рассматриваемых моделей квантовой механики и выйти из контекста интегрируемости Янга-Бакстера моделей статистической физики на решетке.

Наиболее детальная информация о поведении физической системы может быть получена из корреляционных функций. Несмотря на то, что для интегрируемых моделей известен вид собственных функций рассматриваемых гамильтонианов, аналитическое вычисление корреляционных функций возможно лишь для некоторых из них. К этому немногочисленному кругу моделей принадлежат модели физики твердого тела, рассматриваемые в настоящей работе. Одна из моделей известна уже несколько десятилетий и представляет как теоретический, так и экспериментальный интерес. Речь идет о модели Хаббарда

2], которая описывает систему сильно связанных электронов на цепочке. Интегрируемость этой двухкомпонентной модели была показана в [3] с помощью обобщенного (двухкомпонентного) анзатца Бете [4]. За время ее существования было изучено много частных случаев и обобщений модели Хаббарда, например, модель рассматривалась на плоскости или в пространстве, или вводились различные взаимодействия между спинами. Одной из наиболее известных модификацией модели Хаббарда является модель £ — <7, но она интегрируема лишь в суперсимметричной точке 3 — 2£ [5, 6] и в точке бесконечно сильного взаимодействия <7 = 0 [7, 8].

Безусловно список интегрируемых моделей в физике твердого тела не исчерпывается моделью Хаббарда и частными случаями модели £ — <7. В работах [9]-[15] рассматриваются интегрируемые модели, описывающие сильно связанные фермионы.

Анзатц Бете позволяет найти спектр и собственные функции гамильтониана интегрируемой модели, однако вычисление корреляционных функций, позволяющих получить более детальную информацию о рассматриваемой физической системе, вызывает много сложностей. В контексте интегрируемых моделей были предложены различные приближения, позволяющие оценить асимптотическое поведение корреляционных фукций.

Один из методов [16, 17] позволяет вычислить критическую экспоненту, описывающую асимптотическое поведение корреляционных функций, опираясь на собственные функции, найденные с помощью анзатца Бете. Этот метод применим к большому классу одномерных моделей, например, к модели Хаббарда [18]-[20] или к модели Ь — 3 в суперсимметричной точке [21].

Начало другому приближению для изучения квантовых спиновых цепочек при конечной температуре было положено в [22, 23]. Основная идея этого метода состоит в использовании преобразования Троттера-Сузуки [22] для того, чтобы (¿-мерную квантовую систему отождествить с ((¿+1)-мерной классической системой. После чего анализ стат-суммы и корреляционных функций проводится с помощью квантовой трансферматрицы [24]. Однако этот метод имеет преимущество перед стандартными процедурами лишь в том случае, если преобразование Троттера-Сузуки может быть сделано так, что задача на собственные значения квантовой трансферматрицы явно решаема. Для вычисления статсуммы необходимо знать лишь наибольшее собственное значение трансферматрицы. Следующие по величине собственные значения позволяют найти длину корреляций. Этот метод был применен к спиновой цепочке Гейзенберга [25]-[29], а также к модели Хаббарда [30].

В настоящей работе мы рассматриваем классическую одномерную модель Хаббарда в пределе бесконечно сильного взаимодействия между спинами. В этом случае двухкомпонентный анзатц Бете имеет специальный вид, что позволяет представить собственные функции гамильтониана модели в явном виде, благодаря чему корреляционные функции могут быть вычислены аналитически.

Другая интегрируемая модель физики твердого тела, для которой вычисление корреляционных функций может быть осуществлено аналитически, представляет собой частный случай спиновой решетки. Спиновыми решетками называются одномерные системы, состоящие из некоторого числа квантовых спиновых цепочек, имеющих одинаковое число узлов каждая и связанных между собой взаимодействиями спинов ближайших соседей. Интересующая нас спиновая решетка образована двумя ХХО цепочками, связанными ¿-компонентами спинов. Мы будем рассматривать эту модель в пределе бесконечно сильного взаимодействия между цепочками. Собственные функции соответствующего гамильтониана могут быть найдены с помощью двухкомпонентного анзатца Бете, и в этом частном случае спиновой решетки они могут быть представлены в явном виде, позволяющем найти корреляционные функции аналитически.

Для обеих этих моделей корреляцонные функции в термодинамическом пределе могут быть представлены в виде интегралов по параметру от определителей Фредгольма интегральных операторов, имеющих специальный вид. Структура этих интегральных операторов позволяет вывести для корреляционных функций интегрируемые дифференциальные уравнения, что открывает возможность для вычисления асимптотик корреляционных функций.

Подобное точное представление для корреляционных функций двух-компонентных дискретных моделей получено впервые.

В свою очередь, изучение дискретных симметрий интегрируемых моделей статистической физики на решетке позволяет выйти из контекста интегрируемости Янга-Бакстера и перейти от моделей статистической физики к дискретным динамическим, системам. Первые работы в этом направлении были опубликованы в начале девяностых годов [31, 32]. В них была построена бесконечная группа дискретных симметрий уравнений Янга-Бакстера для ряда спиновых и вершинных моделей.

Конечно, кроме хорошо известных и подробно изученных шестивер-шинной и симметричной восьмивершинной моделей [33], в статистической физике существуют и другие интегрируемые модели, например, вершинные модели с д состояниями [34, 35]. Можно было бы поставить перед собой задачу поиска других моделей, Д-матрица которых удовлетворяет уравнениям Янга-Бакстера. Однако, изучение дискретных симметрий моделей, не обязательно интегрируемых, не менее познавательно, так как оно позволяет получить дополнительную информацию о свойствах рассматриваемых моделей. Для интегрируемых моделей удается эффективно найти канонические параметризации и, тем самым, более просто решить уравнения интегрируемости. Анализ неинтегрируемых моделей приводит к нетривиальным и интересным результатам. Оказывается, существуют модели, которые, сами не являясь интегрируемыми, имеют интегрируемые дискретные симметрии. Такова ситуация, например, для киральной модели Поттса с шестью состояниями (так называемая модель ВМУ) [36, 37] или для шестнадцативершинной модели [38], введенной Бак стером [33].

Следует отметить, что эти дискретные симметрии могут быть представлены естественным образом в виде бирациональных отображений в фазовом пространстве параметров рассматриваемой модели. В общем случае они образуют дискретную группу бесконечного порядка.

В работах [39]-[42] рассмотрение бирациональных отображений стало проводиться не в контексте статистической физики, а рамках изучения дискретных динамических систем, задаваемых этими отображениями. В настоящей работе,мы продолжаем и развиваем именно этот подход. Новизна настоящей работы заключается в том, что в ней анализируются топологические свойства двумерных бирациональных отображений двухпараметрического семейства в зависимости от значений параметров. Оказывается, отображения этого семейства являют собой пример отображений, задающих метрически регулярные (квазипериодические) и одновременно топологически хаотические динамические системы. Это семейство интересно также и тем, что даже малое возмущение, оставляющее отображения бирациональными и величину топологической энтропии неизменной, приводит к появлению странных

9. аттракторов.

На защиту выносятся следующие положения:

• Впервые полученные для двухкомпонентных дискретных моделей точные представления динамических температурных двухточечных корреляционных функций операторов рождения и уничтожения и операторов числа частиц в термодинамическом пределе.

• Дифференциальные уравнения для полученных корреляционных функций.

• Равенство между экспонентой топологической энтропии и основанием, характеризующим экспоненциальный рост сложности Арнольда и также характеризующим экспоненциальный рост степеней полиномов последовательных итераций.

• Верность этого равентства и в случае адаптации рассматриваемых величин к вещественному анализу.

• Бирациональные отображения изучаемого семейства являются метрически регулярными, но топологически хаотическими.

Организация диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы и два приложения.

4.5. Выводы

Обобщая приведенные выше результаты, можно сделать следующий вывод. С метрической точки зрения динамические системы, задаваемые отображением ке, являются регулярными с трансцендентным расслоением и нулевыми значениями показателя Ляпунова. В отличие от эллиптической области, где трансцендентные кривые вокруг эллиптических фиксированных точек быстро покрываются точками последовательных итераций, в области точки на бесконечности из-за ее параболического типа трансцендентные кривые очерчиваются более медленно. Точки этих нечетко прорисованных ветвей орбит могут при поверхностном рассмотрении дать ошибочное впечатление хаоса, присутствующего в дополнение эллиптической области. Между тем топологическая энтропия, соответствующая этим динамическим системам, имеет ненулевое значение.

Безусловно, одним из необходимых условий отсутствия "метрического" хаоса является обратимость отображения - потеря обратимости соответствует "потере памяти". Другими словами, система "забыва

107. ет" свое прошлое и не может в него вернуться. В работе [90] приведен пример деформации отображения к£, при которой оно теряет свою би-рациональность, становясь просто рациональным. Даже слабые возмущения, делающие отображение необратимым, приводят к ненулевым значениям показателя Ляпунова и другим явлениям, связанным с хаосом, как, например, появление странного аттрактора.

Можно было бы предположить, что обратимость отображения является и достаточным условием отсутствия хаоса. Однако это не так. В той же работе ([90]) приведен наглядный пример - бирациональное отображение, являющееся деформацией к£, имееющее то же, что и ке, значение топологической энтропии. На его фазовом портрете виден странный аттрактор, и даже при малых возмущениях показатель Ляпунова принимает положительные значения.

Заключение

Настоящая работа была посвящена изучению двух интегрируемых моделей физики твердого тела и дискретных динамических систем, задаваемых бирациональными отображениями. В этом заключении мы приводим основные полученные нами результаты.

• Нам удалось впервые для дискретных двухкомпонентных моделей точно вычислить динамические температурные двухточечные корреляционные функции операторов рождения и уничтожения частиц и операторов числа частиц в термодинамическом пределе. Они представляются в виде интегралов с некоторым весом от определителей Фредгольма интегральных операторов, имеющих специальный вид. Различие между двумя рассматриваемыми моделями принимается во внимание с помощью параметра, который равен 1 в случае модели спиновой решетки и -1 в случае модели Хаббарда.

• Рассмотрение матричной задачи Римана-Гильберта позволило вывести для этих корреляционных функций дифференциальные уравнения, которые определяют их асимптотическое поведение при больших временах и расстояниях.

• Для двухпараметрического семейства двумерных бирациональ-ных отображений, не являющихся гиперболическими, мы получили рациональные выражения для динамической дзета-функции и для порождающей функции степеней. Их сравнение позволило утверждать, что значение экспоненты топологической энтропии совпадает со значением основания Л, характеризующего экспоненциальный рост сложности Арнольда и также экспоненциальный рост степеней полиномов последовательных итераций независимо от значений параметров.

Адаптируя рассматриваемые понятия к вещественному анализу, мы констатировали, что равенство между экспонентой вещественной топологической энтропии и основанием характеризующим экспоненциальный рост вещественной сложности Арнольда, сохраняется.

Проведенное для однопараметрического семейства бирациональ-ных отображений вычисление показателей Ляпунова позволило нам оценить метрическую энтропию и сделать следующий вывод: рассматриваемые бирациональные отображения являются метрически регулярными и в то же время топологически хаотическими.

Мы провели классификацию бирациональных отображений, действующих в пространстве матриц и связанных с перестановками матричных элементов. Этот анализ дал представление о редкости интегрируемых отображений и о распределении значений так называемой сложности отображений. При точной классификации отображений, действующих в пространстве матриц 3x3, мы получили основной спектр, состоящий из 18 значений.

1. H. Bethe, Zur Theorie der Metalle 1. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette, Zeitschrift für Physik 71, (1931), 205-226.

2. J. Hubbard, Electron correlations in narrow energy bands, Proc. Roy. Soc. (London) 276, (1963), 238-257.

3. E.H. Lieb and F.Y. Wu, Absence of Mott transition in an exact solution of the short-range one-band model in one dimension, Phys. Rev. Lett. 20, (1968), 1445-1448.

4. C.N. Yang, Some exact results for the many-body problem in one-dimension with repulsive delta-function interaction, Phys. Rev. Lett. 19, (1967), 1312-1315.

5. P. Bares and G. Blatter, Super symmetric t-J model in one dimension : separation of spin and charge, Phys. Rev. Lett. 64, (1990), 2567-2570.

6. S. Sarkar, The suppersymmetric t-J model in one dimension, Journ. Phys. A : Math. Gen. 24, (1991), 1137-1151.

7. B. Dougot and X.G. Wen, The instability og the nagaoka state with strong "on-site" interactions, Phys. Rev. B 40, (1989), 2719.

8. A. Mielke, The one-dimensional Hubbard model for large or infinite U, Journ. Stat. Phys. 62, (1991), 509-528.

9. F.H.L. Essler, V.E. Korepin and K. Schoutens, New exactly sovable model of the strongly correlated electrons motivated by Tc superconductivity, Phys. Rev. Lett. 68, (1992), 2960-2963.

10. R.Z. Bariev, A. Kliimper, A. Schadschneider and J. Zittartz, Exact solution of a one-dimensional model of hole superconductivity, J. Phys. A : Math. Gen. 26, (1993), 1249-1257;

11. R.Z. Bariev, A. Kliimper, A. Schadschneider and J. Zittartz, Exitation spectrum and critical exponents of a one-dimensional integrable model of fermion with correlated hopping superconductivity, J. Phys. A : Math. Gen. 26, (1993), 4863-4873.

12. J. Zittartz, A. Kliimper, A. Schadschneider and R.Z. Bariev, A one-dimensional model of hole superconductivity, Physica B 194-196, (1994), 1417-1418.

13. R.Z. Bariev, A. Kliimper, A. Schadschneider and J. Zittartz, Exact solution of a one-dimensional fermion model with interaction tunneling, Phys. Rev. B 50, (1994), 9676-9679.

14. R.Z. Bariev, A. Kliimper, A. Schadschneider and J. Zittartz, Critical exponents of a multicom,ponent anisotropic t-J model in one dimension, Z. Phys. B 96, (1995), 395-400.

15. R.Z. Bariev, A. Klümper, A. Schadschneider and J. Zittartz, A one-dimensional integrable model of fremions with multi-particule hopping, J. Phys. A : Math. Gen. 28, (1995), 2437-2444.

16. F.C Alcaraz and R.Z. Bariev, New integrable version of the degenerate super symmetric t-J model, Preprint cond-matt/9904041, (1999).

17. T. Giamarchi and H.J. Schulz, Correlation functions in one-dimensional quantum systems, Phys. Rev. B 39, (1989), 4620-4629.

18. H. Frahm and V.E. Korepin, Critical Exponents for the one-dimensional Hubbard model, Phys. Rev. B 42, (1990), 10553-10565.

19. H.J. Schulz, Correlation exponents and the metal-insulator transition in the one-dimensional Hubbard model, Phys. Rev. Lett. 64, (1990), 2831-2834.

20. F.D.M. Haldane and Y. Tu, UCSD-preprint, (1990).

21. H. Frahm and V.E. Korepin, Correlation functions of the one-dimensional Hubbard model in a magnetic field, Phys. Rev. B 43, (1991), 5653-5662.

22. N. Kawakami and S.N. Yang, Correlation functions of the one-dimensional t-J model, Phys. Rev. Lett. 65, (1990), 2309-2311.

23. M. Suzuki, Transfer-matrix method and Maonte Carlo simulations in quantum spin systems, Phys. Rev. B 31, (1985), 2957-2965.

24. M. Suzuki and M. Inoue, The ST-transformation approach to analytic solutions of quantum systems. /, Prog. Theor. Phys. 78, (1987), 787799.

25. R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, London Academic Press, New York, 1982.

26. T. Koma, Thermal Bethe-Ansatz method for the one-dimensional Heisenberg model, Prog. Theor. Phys. 78, (1987) 1213-1218;

27. T. Koma, Thermal Bethe-Ansatz method for the spin-1/2 XXZ Heisenberg chain, Prog. Theor. Phys. 81, (1989), 783-809.

28. M. Suzuki, Y. Akutsu and M. Wadati, A new approach to quantum spin chains at finite temperature, J. Phys. Soc. Japan 59, (1990), 26672680.

29. M. Takahashi, Correlation length and free energy of the S = 1/2 XYZ chain, Phys. Rev. 43, (1991), 5788-5797;

30. M. Takahashi, Correlation length and free energy of the S = 1/2 XYZ chain in a magnetic field, Phys. Rev. B 44, (1991), 12382-12394.

31. A. Kliimper, Thermodynamics of the anisotropic spin-1/2 Heisenberg chain and related quantum chains, Z. Phys. B 91, (1993), 507-519.

32. C. Distri and H.J. de Vega, Unified approach to thermodynamic Bethe Ansatz and finite size corrections for lattice models arid field theories, Nucl. Phys. B 438, (1995), 413-454.

33. A. Kliimper and R.Z. Bariev, Exact thermodynamics of the Hubbard chain : free energy and correlation lengths, Nucl. Phys. B 458, (1996), 623-639.

34. M.P. Bellon, J-M. Maillard and C-M. Viallet, Infinite Discrete Symmetry Group for the Yang-Baxter Equations : Spin models, Physics Letters A 157, (1991), 343-353.

35. M.P. Bellon, J-M. Maillard and C-M. Viallet, Infinite Discrete Symmetry Group for the Yang-Baxter Equations: Vertex Models, Phys. Lett. B 260, (1991), 87-100.

36. R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics., London Academic Press, New York, 1982.

37. J.H.H. Perk and C. Schulz, New families of commuting transfer matrices in q-state vertex models, Phys. Lett. A 84, (1981), 407-410.

38. C.L. Schulz, Solvable q-state models in lattice statistics and quantum field theory, Phys. Rev. Lett. 46, (1981), 629-632.

39. M.P. Bellon, J-M. Maillard, and C-M. Viallet, Integrable Coxeter groups, Physics Letters A 159, (1991), 221-232.

40. M.P. Bellon, J-M. Maillard, and C-M. Viallet, Higher dimensional mappings, Physics Letters A 159, (1991), 233-244.

41. M.P. Bellon, J-M. Maillard and C-M. Viallet, Quasi integrability of the sixteen-vertex model, Phys. Lett. B 281, (1992), 315-319.

42. S. Boukraa, J-M. Maillard and G. Rollet, Determinantal identities on integrable mappings, Int. J. Mod. Phys. B 8, (1994), 2157-2201.

43. S. Boukraa, J-M. Maillard and G. Rollet, Integrable mappings and polynomial growth, Physica A 208, (1994), 115-175.

44. S. Boukraa, J-M. Maillard and G. Rollet, Almost integrable mappings, Int. J. Mod. Phys. B 8, (1994), 137-174.

45. S. Boukraa, J-M. Maillard and G. Rollet, Discrete Symmetry Groups of Vertex Models in Statistical Mechanics, J. Stat. Phys. 78, (1995), 1195-1251.

46. P.W. Anderson, The resonating valence bond state in La2CuÜ4 and superconductivity, Science 235, (1987), 1196-1198.

47. F.C. Zhang and T.M. Rice, Effective Hamiltonian for the superconducting Cu oxides, Phys. Rev. B 37, (1988), 3759-3761.

48. A. Lenard, Momentum distribution in the ground state of one-dimensional system of impenetrable bosons, J. Math. Phys. 5, (1964), 930-943.

49. A. Lenard, One-dimensional impenetrable bosons in thermal equilibrium, J. Math. Phys. 7, (1966), 1268-1272.

50. L.D. Faddeev, Quantum completely integrable models in field theory, in: Mathematical Physics Review. Sect. C : Math. Phys. Rev. 1, (1980), 107-155.

51. L.A. Takhtajan and L.D. Faddeev, Quantum inverse scattering method andXYZ Heisenberg model, Russian Math. Surveys 34, (1979), 11-68.

52. E.K. Sklyanin, L.A. Takhtajan and L.D. Faddeev, Quantum inverse scattering method. /, Teoret. Mat. Fiz. 40, (1979), 194-220.

53. V.E. Korepin, Dual field formulation of quantum integrable models, Comm. Math. Phys. 113, (1987), 177-190.

54. V.E. Korepin, N.M. Bogoliubov and A.G. Izergin, Quantum Inverse Scattering Method And Correlation Functions, Cambridge University Press, 1993.

55. T. Kojima, V. Korepin and N. Slavnov, Determinant representation for Dynamical correlation functions of the quantum nonlinear Schródinger Equation, Comm. Math. Phys. 188, (1997), 657-689.

56. V.E. Korepin and N.A. Slavnov, The time dependent correlation function of an impenetrable Bose gas as a Fredholm minor. /, Comm. Math. Phys. 129, (1990), 103-113.

57. F. Colomo, A.G. Izergin, V.E. Korepin and V. Tognetti, Correlators in the Heisenberg XXQ chain as Fredholm determinants, Phys. Lett. A 169, (1992), 243-247.

58. F. Colonic», A.G. Izergin, V.E. Korepin and V. Tognetti, Temperature correlation functions in the XXO Heisenberg chain, Theor. Math. Phys. 94, (1993), 11-38.

59. M. Gaudin, Phys. Lett. A24, (1967), 55;1. fonction d'onde de Bethe, Paris Masson, 1983.

60. V. E. Korepin and F. H. L. Efiler (editors), Exactly solvable models of strongly correlated electrons, Singapore, World Scientific, 1994.

61. A.G. Izergin and A.G. Pronko, Correlators in the one-dimensional two-component Bose and Fermi gases, Phys. Lett. A 236, (1997), 445-454.

62. A.G. Izergin and A.G. Pronko, Temperature correlators in the two-component, one-dimensional gas, Nucl. Phys. B 520, (1998), 594-632.

63. F. Colomo, A.G. Izergin and V. Tognetti, Correlation functions in the XXO Heisenberg chain and their relations with spectral shapes, J. Phys. A : Math. Gen. 30, (1997), 361-370.

64. A.G. Izergin, A.R. Its, V.E. Korepin and N.A. Slavnov, St. Petersburg Math. J. 6, (1995), 315-326.

65. F. Gohman, A.G. Izergin, V.E. Korepin and A.G. Pronko, Time and temperature dependent correlation functions of the ID impenetrable electron gaz, Int. Jour. Mod. Phys. B 12, (1998), 2409-2433.

66. F. Gohman, A.R. Its and V.E. Korepin, Correlations in the impenetrable electron gas, Preprint cond-mat/9809076, (1998).

67. M.J. Ablowitz and J.F. Ladik, Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis, J. Math. Phys. 17, (1976), 1011.

68. Y.G. Stroganov, A new calculation method for partition functions in some lattice models, Phys. Lett. A 74, (1979), 116.

69. N. Abarenkova, J-C. Angles d'Auriac, S. Boukraa and J-M. Maillard, Elliptic curves from finite order recursions and non-involutive recursion, European Physical Journal B, (1998), 647.

70. N. Abarenkova, J-C. Angles d'Auriac, S. Boukraa and J-M. Maillard, Growth-complexity spectrum of some discrete dynamical systems, Physica D 130, (1999), 27.

71. R.A. Adler and B. Marcus, Topological entropy and equivalence of dynamical systems, Memoirs Amer. Math. Soc. 20, (1979), 219.

72. R. Bowen, Topological entropy and Axiom A, Global Analysis, Amer. Math. Soc. Proc. SSymposia Pure Math. 14, (1968), 23-41.

73. R.J. Baxter, Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain, Annals of Physics 76, (1973), 1-71.

74. C. Fan and F.Y. Wu, General lattice of phase transitions, Phys. Rev. B 2, (1970), 723-733.

75. J-M. Maillard, G. Rollet and F.Y. Wu, Inversion relations and symmetriy groups for Potts models on the triangular lattice, J. Phys. A 27, (1994), 3373-3379.

76. V. Arnold, in: Problems on singularities and dynamical systems, edited by V. Arnold and M. Monastyrsky, Chapman h Hall, 1989.

77. M. Artin and B. Mazur, On periodic points, Ann. of Math. 81, (1965), 82.

78. R. Bowen, Periodic Orbits for hyperbolic flows, Amer. J. Math. 94, (1972), 1-30.

79. K.T. Alligood, T.D. Sauer and J.A. Yorke, Chaos An introduction to dynamical systems, Springer-Verlag New York , 1997.

80. D. Ruelle, Thermodynamic Formalism, Addison-Wesley, Reading, MA, 1978.

81. J. Guckenheimer, Axiom A + no cycles implies £j(i) is rational, Bull. Amer. Math. Soc. 76, (1970), 592.

82. V. Baladi, Periodic orbits and dynamical spectra, Ergod. Th. Dynam. Sys. 18, (1998), 255-292.

83. A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, 1995.

84. C. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73, (1967), 747.

85. N. Abarenkova, J-C. Angles d'Auriac, S. Boukraa, S. Hassani and J-M. Maillard, Real Arnolg complexity versus real topological entropy for birational transformations, направлена в Phys.A: Math.Gen (препринт chao-dyn/9906010)

86. S. Boukraa, S. Hassani and J-M. Maillard, New integrable cases of a Cremona transformation : a finite order orbit analysis. Physica A 240, (1997), 586.

87. S. Boukraa, S. Hassani and J-M. Maillard, Product of involutions and fixed points, Alg. Rev. Nucl. Sci. 2, (1998), 1-16.

88. A.N. Kolmogorov, A new invariant of transitive dynamical systems, Dokl. Akad. Nauk. SSSR 119, (1958), 861.

89. A.G. Sinai, On the concept of entropy of a dynamical system, Dokl. Akad. Nauk. SSSR 124, (1959), 768.

90. A. M. Lyapunov, Problème général de la stabilité du mouvement, Ann. of Math. Studies, Princeton Univ. Press, 1947.

91. Ya.B. Pesin, Characteristic Lyapounov exposants and smooth ergodic theory, Russ. Math. Surveys, 32 (1977), 55.

92. N. Abarenkova, J-C. Angles d'Auriac, S. Boukraa, S. Hassani and J-M. Maillard, Real topological entropy vesus metric entropy for birational transformations, направлена в Physica D.

93. S. Boukraa and J-M. Maillard, Factorization properties of birational mappings, Physica A 220, (1995), 403-470.

94. A.P. Veselov, Cremona group and dynamical systems, Mat. Zametki. 45, (1989), 118.

95. J. Moser and A.P. Veselov, Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials, Comm. Math. Phys. 139, (1991), 217.