Циклические L-операторы, связанные с Uq(sl(n))-алгеброй, и соответствующие интегрируемые модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

6 од

6 М1Р 1993

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

93-44 На правах рукописи

Мангазеев Владимир Викторович

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ¿-ОПЕРАТОРЫ, СВЯЗАННЫЕ С ич(а1{п))-АЛГЕБРОЙ, И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МОДЕЛИ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Протвино 1993

М-24

Работа выполнена в Институте физики высоких энергий (г. Протвино).

Научные руководители: профессор, доктор физико-математических наук Б.А. Арбузов, кандидат физико-математических наук Ю.Г.Строганов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А.В.Разумов, доктор физико-математических наук В.Б.Приезжев.

Ведущая организация - Научно-исследовательский институт ядерной физики (г. Москва).

Защита диссертации состоится "_" _ 1993 г.

в _ часов на заседании специализированного совета ИФВЭ при

Институте физики высоких энергий (142284, Протвино Московской обл.).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_" _ 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета ИФВЭ Ю.Г. Рябов

© Институт физики высоких энергий, 1993

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время многие физики-теоретики проявляют интерес к новым методам в теоретической физике, не связанным с теорией возмущений. Бурное развитие двумерных конформных теорий поля, топологических теорий в трех измерениях и успехи в области точно решаемых решеточных мод -лей квантовой теории поля и статистической физики привели нас к лучшему пониманию фазовой структуры многих физических теорий и, в конечном счете, позволяют надеяться на хотя бы частичную классификацию интегрируемых теорий в двух и трех измерениях.

Особое место в этот! иерархии новых методов занимает теория уравнения Янга-Бакстера. Это уравнение впервые появилось в конце шестидесятых годов в виде условия факторизуемости многочастичных амплитуд рассеяния в двумерных квантовых теориях поля. Оно также возникает естественным образом как локальное условие интегрируемости в двумерных решеточных моделях статистической физики. Справедливость уравнения Янга-Бакстера для больцмановских весов решеточной модели гарантирует коммутативность трансфер-матриц, зависящих от разных спектральных параметров, что, как правило, позволяет вычислить удельную свободную энергию в термодинамическом пределе.

Являясь чисто алгебраической системой нелинейных функциональных соотношений, уравнение Янга-Бакстера допускает в принципе полную классификацию всех его решений. К сожалению, эта проблема является чрезвычайно сложной и решена только для случая матриц минимальной размерности. Более того, сравнительно недавно выяснилось, что уравнение Янга-Бакстера имеет решения, зависящие от спектральных параме-

тров, которые "живут" на алгебраических кривых высокого рода и не удовлетворяют "разностному" свойству.

Уравнение Янга-Бакстера тесно связано с квантовым методом обратной задачи рассеяния. Изучение новых решений этого уравнения позволяет продвигаться в квантовании двумерных релятивистских квантовых теорий поля. Более того, квантовый метод обратной задачи явился по сути первоначальным толчком в развитии новых алгебраических структур — квантовых алгебр. Развитие теории квантовых алгебр на основе понятия алгебры Хопфа привело к новым успехам в двумерных конформных теориях поля и топологических моделях в трех измерениях. Кроме того, новые решения' уравнения Янга-Бакстера приводит к новым нетривиальным примерам алгебр такого типа. Оказывается, что циклические представления квантовых алгебр ответственны за наличие интегрируемых двумерных моделей без "разностного" свойства. Это стимулирует изучение структуры неприводимых представлений для всех серий квантовых алгебр.

Другое направление в этой области связано с изучением трехмерных интегрируемых моделей. Как выяснилось, так называемые "минимальные" представления для квантовой алгебры Е/4(«/(п)) приводят к классу двумерных интегрируемых моделей, допускающих трехмерное локальное расслоение. Этот новый класс трехмерных моделей обобщает единственный нетривиальный пример интегрируемой модели в трех измерениях — модель Замолодчикова — на большее число состояний. Все эти трехмерные модели удовлетворяют уравнению тетраэдра (трехмерному аналогу уравнения Янга-Бакстера).

Основные задачи диссертационной работы

1. Построить общие неприводимые циклические .¿-операторы, которые сплетаются тригонометрической Д-матрицей, соответствующей серии Л„_1 и связанной с квантовой алгеброй ия(з1(п)).

2. Используя эти неприводимые циклические ¿-операторы, построить новый класс решений уравнения Янга-Бакстера с больцмановскими весами, лежащими на пересечении алгебраических кривых высокого рода.

Научные результаты и новизна работы

В диссертации решены следующие проблемы:

1. На примере простейшего случая циклических представлений для алгебры ?7?(в/(3)) реализовала процедура нахождения сплетающей матрицы в "тригонометрическом" пределе. Построена простейшая интегрируемая

модель с четырьмя состояниями с эрмитовым гамильтонианом, зависящим от двух свободных параметров.

2. Решена задача построения общих неприводимых циклических Х-операторов, связанных с квантовой алгеброй ич(з1(п)), с простейшей полиномиальной зависимостью от спектрального параметра.

3. Построен новый класс интегрируемых двумерных решеточных моделей с ^^-состояниями, где п и N — натуральные числа, удовлетворяющие условиям п > 3, N > 2. Больцмановские веса этого класса моделей удовлетворяют алгебраическим соотношениям высокого порядка и зависят от п свободных параметров модулей.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты имеют приложения в статистической механике в двух и трех измерениях, в двумерных конформных теориях поля и в теории квантовых групп. Циклические ¿-операторы, построенные в первых двух главах, должны соответствовать мультипараметрической деформации для квантовой алгебры ия(з((п)). Вопрос о точном соответствии с циклическими представлениями "стандартной" алгебры ия(81(п)) нуждается в дополнительном исследовании.

Новый класс интегрируемых моделей, построенных в третьей главе, может оказаться проекцией интегрируемой модели в трех или четырех измерениях на двумерную плоскость. Кроме того, интересно понять, какая конформная двумерная теория поля соответствует критической точке построенного класса моделей. Наличие п-независимых параметров модулей указывает на возможность одновременного возмущения соответствующей конформно-инвариантной теории поля сразу несколькими операторами, как и в случае "минимальных" представлений.

Так как достаточно сложное алгебраическое многообразие, на котором "живут" спектральные параметры, оказывается произведением связанных алгебраических кривых, то естественно возникает вопрос о возможности существования решений уравнения Янга-Бакстера с больцмановскими весами, удовлетворяющими таким алгебраическим соотношениям, которые бы определяли нефакторизуемое многомерное многообразие. Поэтому интересно понять, какие типы алгебраических многообразии соответствуют сплетающим матрицам для циклических представлений других квантовых алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-5] и докладывались на Международном математическом семинаре

в Киото, Япония (1991), в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, г. Дубна, на семинарах Отдела теоретической физики ИФВЭ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, двух приложений и заключения. Список литературы содержит 45 наименований. Объем диссертации 69 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор задач и недавних результатов, полученных в теории точно интегрируемых систем в двух и трех измерениях, сформулированы основные задачи диссертации и приведено ее краткое содержание.

В первой главе приводятся основные определения и алгебраические соотношения, определяющие алгебру ¿-операторов, а также рассматривается простейшая "тригонометрическая" модель, соответствующая случаю алгебры ич(з1(3)) при qi = 1.

В первом разделе приводится уравнение Янга-Бакстера для .¿-оператора, соответствующего тригонометрической Л-матрице с п состояниями, связанной с Л„_1-серией. В предположении простейшей полиномиальной зависимости от спектрального параметра для ¿-оператора вида ¿(я) = хЬ+ + х~1Ь~ выписана алгебра для операторных матриц ¿+ и Ь~, которая будет использоваться во второй главе. Кроме того, рассматривается пример алгебры {/,(в/(3)) для случая д4 = 1 и приводится простейшее представление для ¿-операторов, зависящее от девяти непрерывных параметров.

Во втором разделе выписаны уравнения сплетения двух кокоммутатив-ных представлений для построенных простейших ¿-операторов с параметрами представлений, выбранными таким образом, чтобы условия существования сплетающей матрицы тривиально выполнялись. Тогда сплетающая матрица удовлетворяет системе линейных уравнений и, используя симметрии больцмановских весов, можно редуцировать число неизвестных к 22. Найдено явное решение этой системы, которое зависит от трех спектральных параметров и удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера без разностного свойства. Далее построен гамильтониан соответствующей одномерной интегрируемой спиновой цепочки, который оказывается эрмитовым и зависит от двух свободных действительных параметров.

Во второй главе строятся общие неприводимые циклические представления для L-операторов, связанных с алгеброй Uq(sl(n)) и удовлетворяющих соотношениям, приведенным в первом разделе первой главы.

В первом разделе напоминается конструкция "минимальных" факто-ризуемых L-операторов и вводятся необходимые обозначения. Кроме того, приведены выражения для двух "элементарных" L-операторов ■ф и тр, получающихся из "минимального" L-оператора спецификацией параметров.

Во втором разделе приведена последовательная процедура построения общих неприводимых L-операторов с п х А^"'п-1^2-состояниями. Показано, что эти L-операторы обладают частичной факторизованной структурой в пространстве спиновых переменных. Вводится специальная алгебра для вспомогательных операторов faß, которая и определяет тип представления. Тривиальная реализация вида faß = 1 соответствует "минимальным" представлениям, а общее неприводимое представление для этой алгебры отвечает L-оператору с л х ^"'""^-состояниями. Показано, что обобщенный Ф L-оператор может быть извлечен из тензорного произведения "элементарных" "ф L-операторов с помощью процедуры выделения неприводимого представления. Это приводит к естественной конструкции неприводимых представлений дл^ вспомогательной алгебры операторов faß. Подсчет числа независимых операторов Казимира для этого случая показывает, что мы получаем общее неприводимое представление для алгебры L-операторов.

В третьем разделе излагается процедура построения коэффициентов Клебша-Гордана, появляющихся при разложении тензорного произведения "элементарных" L-операторов на неприводимые модули. Получена система рекуррентных соотношений для коэффициентов Клебша-Гордана, из которых они могут быть явно вычислены. Далее вводятся два типа сверток этих коэффициентов, которые возникают при построении класса интегрируемых моделей, связанных с L-оператором с пх7Уп(п_1^2-состояниямн. Показано, что эти свертки обладают факторизованной структурой специального вида, что и позволяет в конечном счете вычислить явно матричные элементы соответствующей Я-матрицы с ДГп(п_1)/2-состояниямн.

В третьей главе строится класс интегрируемых моделей с ЛМ"-1)/2-состояниями, соответствующий L-оператору из второй главы. Доказывается, что соответствующая Д-матрица удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера.

В первом разделе строится сплетающая матрица для "элементарных" ф L-операторов. Этот сплетатель не определяется однозначно, так как

тензорное произведение гр Ь-операторов является приводимым. Но оказывается, что этот произвол может быть поглощен в одну произвольную скалярную функцию, зависящую от одной спиновой переменной. Остальная часть сплетающей матрицы жестко фиксируется и имеет структуру IV весов для случая "минимальных" представлений.

Во втором разделе сначала воспроизводится известный результат для сплетающей матрицы "минимальных" представлений методом, который не использует так называемых ^-векторов и может быть непосредственно обобщен на случай общих неприводимых циклических представлений. Далее, используя результаты первого раздела, строятся матричные элементы Я-матрпцы с /^"(""'^-состояниями, которые обладают частичной факторизованной структурой в пространстве спиновых переменных.

В третьем разделе анализируются условия существования сплетающей матрицы с Дгп("-1)/2-Состояниямп и приводится формулировка соответствующего класса интегрируемых решеточных моделей. Показано, что модель пмеет п свободных параметров модулей и спектральные параметры лежат на п связанных алгебраических кривых высокого рода. Также приводятся инверсионные соот" лшения, которым удовлетворяют больцмановские веса.

*

Четвертый раздел посвящен доказательству уравнения Янга-Бакстера для построенного класса моделей. Метод основывается на стандартной процедуре доказательства того факта| ■ чтр тензорное произведение для трех ¿-операторов в точке общего положения является неприводимым, что гарантирует выполнение уравнения Янга-Бакстера с точностью до скалярного множителя, равенство которого единице следует из инверсионных соотношений для больцмановских весов..

В приложении I анализируется переопределенная система условий существования Д-матрицы с Дг"("-1'^-состояниями и показывается, что она полностью совместна.

В Приложении II доказываются инверсионные соотношения для тех больцмановских весов, которые не имеют аналога в случае "минимальных" представлений.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, кратко обсуждаются перспективы дальнейших исследований.

Список литературы

[1] Kashaev, R.M., Mangazeev, V.V. The four-state solution of the Yang-Baxter equation. // Phys. Lett. A. 1990. V. 150. P. 375.

[2] Kashaev R.M., Mangazeev V.V., Stroganov Yu.G. Cyclic eight-state R-matrix related to Uq(sl(3)) algebra at q2 = —1. // Mod. Phys. Lett. A. 1991. V. 6. № 37. P. 3437-3443.

[3] Kashaev R.M., Mangazeev V.V., Stroganov Yu.G. 7V3-State jR-matrix Related with Ut(sl(Z)) Algebra at qm = 1.// Int. J. Mod. Phys. 1992. V.A7. Suppl. 1A. P. 485-492.; Proceedings of RIMS Research Project "Infinite Analysis". - Kyoto, 1991.

[4] Kashaev, R.M., Mangazeev, V.V. Nn(n~l)/2 -state intertwiner related to Uq(sl(n)) algebra at q2N = 1. // Mod. Phys. Lett. A. 1992. V. 7. № 0. P. 2827-2835.

[5] Kashaev, R.M., Mangazeev, V.V. Cyclic L-operators connected with Uq(sl(n)) algebra and related integrable models. Preprint IHEP 93-20. — Protvino, 1993.

Рукопись поступила 18 марта 1993 года.