Асимптотические решения уравнения Н.Н. Боголюбова в классической равновесной статистической физике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Метод частичных функций распределения и асимптотические разложения.

§1. Функции распределения и корреляционные функции в равновесной статистической физике

§2. Метод производящего функционала и асимптотические разложения.

§3. Модельные потенциалы взаимодействия.

Глава 2. Асимптотические разложения решений уравнения

Н.Н.Боголюбова

§4. Введение малого параметра в уравнение Н.Н.Боголюбова.

§5. Разложения, описывающие газовую фазу

§6. Асимптотические разложения для систем с большой плотностью . .'.

§7. Уравнение Власова.

Глава 3. Приближенные уравнения состояния для модельных систем

§8. Термическое и калорическое уравнения состояния для бесконечных систем взаимодействующих частиц.

§9. Модель системы частиц с потенциалом взаимодействия типа Морса.

§10. Дискретная модель с фазовым переходом

Глава 4. Ван-дер-ваальсовский предельный переход в методе производящего функционала

§11. Ван-дер-ваальсовский предельный переход в уравнении

Н.Н.Боголюбова.

§12. Предельные термодинамические функции.

§13. Термодинамический и ван-дер-ваальсовский предельный переход.

§14. Одномерные системы с фазовым переходом.

В равновесной статистической механике наиболее трудной и интересной является проблема фазовых переходов. Описание состояний систем взаимодействующих частиц во всем интервале температур и плотностей требует сложной и достаточно гибкой математической техники, позволяющей рассчитать любое состояние системы, даже вблизи критических точен. Поэтому в настоящее время большое число работ посвящено проблеме фазовых переходов. Представление о сложности создания такой техники и различных подходах к решению этой проблемы можно получить из хорошо известных монографий [1-4] С 9 J. В этих же монографиях даны многочисленные ссылки на оригинальные работы в этой области.

Существуют три наиболее разработанных метода изучения термодинамического поведения систем взаимодействующих частиц:

1) метод статистических сумм ансамблей Гкббса СИ , [5 3 ,*

2) метод частичных функций распределения и корреляционных функций [ 1 ],[ 5-8 ];

3) метод случайных гиббсовских полей [21 , [24] , [48] , [89-91].

Обычно за критерий фазового перехода в системе принимают появление особенностей у термодинамических функций в точнах фазового перехода. В методе статистических сумм все термодинамические функции выражаются через соответствующие статистические суммы или их логарифмы. Поэтому особенности термодинамических функций связаны с нулями статистических сумм. В 1952 году Янг и Ли [42] вскрыли математический механизм образования особенностей у термодинамических функций большого канонического ансамбля, используя распределение цулей статистической суммы в комплексной плоскости при термодинамическом предельном переходе ( V—*■ <*> , Л'—* , /V/v = <? > где //- число частиц в системе, V - объем сосуда,. в котором находятся частицы, <? - средняя плотность числа частиц в системе).

Наличие выше приведенного критерия фазового перехода приво -дат к необходимости совершать термодинамический предельный переход. Так как термодинамические функции конечных систем являются непрерывными функциями интенсивных термодинамических параметров и в окрестности критических точек имеют резкие колебания, которые лишь в термодинамическом пределе дают разрыв (скачок). Таким образом, для исследования фазовых переходов в реальных системах необходимо рассматривать бесконечные системы.

Термодинамические величины определяются как средние значения через частичные функции распределения. Эти средние при одних и тех же термодинамических параметрах могут иметь различные значения, если существуют различные пределы частичных функций распределения. Поэтому в методе частичных функций распределения критерий фазового перехода связывают с неоднозначной разрешимостью уравнений для этих функций. Однако, такие бесконечные системы зацепляющихся уравнений трудны для исследования.

Изучение этих систем упрощается использованием метода производящего функционала, начало которому было положено работой [8] Н.Н.Боголюбова еще в 1946 году. В момент своего рождения метод производящего функционала не получил широкого признания, лишь с конца 60-х годов, благодаря работам [10-41] , [102] произошло его становление и математическое обоснование (в основном в работах Г.И. Назина). Ядром этого метода является уравнение Боголюбова, которое играет в равновесной статистической механике ту же роль, что и уравнение Шредингера в квантовой механике. Это уравнение' точно решено для идеального газа, для других моделей уравнение Боголюбова решают приближенно [25] , [27] . Функционалы, удовлетворяющие уравнению Боголюбова, описывают состояние сиетемы при заданных термодинамических параметрах и взаимодействии в системе. Состояния бесконечных систем описывают предельные функ -ционалы, существование которых доказано в ГШ * С другими мето -дами описания бесконечных систем можно ознакомиться в работах С 43-481 .

Критерий фазового перехода в методе производящего функционала был впервые сформулирован в работе [171 : если уравнение Боголюбова при заданных термодинамических параметрах и взаимодействии в системе имеет одно решение, то оно описывает однофазное состояние системы. Если же уравнение Боголюбова при одних и тех ie термодинамических параметрах и взаимодействии имеет несколько решений, то система находится в многофазном состоянии. Этот критерий хорошо согласуется с общими представлениями о фазовых переходах, развитыми в последнее время (см. [1] стр.316). Те термодинамические параметры, при которых уравнение Боголюбова имеет несколько решений, отождествляются с точками фазового перехода.

В настоящее время метод производящего функционала имеет прочный математический фундамент, в его рамках выполнено большое число оригинальных работ, доказана эквивалентность метода производящего функционала и метода гиббсовских случайных полей [18-19 ] , но несмотря на это, его возможности далеко не исчерпаны.

В диссертации используется метод малого параметра в рамках регулярной теории возмущений для уравнения Боголюбова. Введение этого параметра различными способами позволяет построить асимптотические разложения решений уравнения Боголюбова, тем самым, по -лучить приближенные уравнения состояний некоторых модельных систем. Особый интерес представляют те способы введения малого параметра, при которых предельные уравнения, полученные из уравнения Боголюбова при стремлении малого параметра к нулю, разрешимы неоднозначно. В соответствии с критерием фазового перехода, системы, описываемые такими уравнениями, мы называем асимптотическими моделями с фазовым переходом. Хотя такие модели и не описывают реальных систем, но они проливают свет на механизм фазового перехода в реальных системах. Лучшей иллюстрацией этого являются математические модели, полученные с помощью ван-дер-ваальсовского предельного перехода Г49-681 . Таким образом, применение теории возмущений позволяет раскрыть дополнительные возможности метода производящего функционала.

В первой главе рассматривается метод частичных функций распределения и корреляционных функций. Основные понятия этого метода и уравнения, определяющие функции распределения даны в §1 . В §2 описаны основные положения метода производящего функционала и рассмотрена возможность разложения решения уравнения Боголюбова по малому параметру. В §3 рассмотрены некоторые модельные потенциалы взаимодействия между частицами.

Вторая глава полностью посвящена разложениям решений уравнения Боголюбова по малому параметру, который присутствует в уравнении или вводится каким-либо способом. Дана физическая интерпретация состояниям системы, которые получаются специальным предельным переходом при стремлении малого параметра к нулю. Полученные таким предельным переходом уравнения исследуются на неоднознач -цую разрешимость с учетом критерия фазового перехода.

В третьей главе рассмотрены модели систем частиц, взаимодействующих посредством бинарного потенциала типа Морса. При выводе приближенных уравнений состояния для таких систем используются результаты, полученные во второй главе.

Четвертая глава посвящена исследованию ван-дер-ваальсовского предельного перехода. Этому предельному переходу было уделено достаточно внимания в литературе [49-68J . В диссертации ван-дер-ваальсовский предельный переход рассматривается в уравнении Боголюбова, что позволило дать не только математическую, но и физи -чесцую интерпретацию механизма фазового перехода в системе взаимодействующих частиц. В этой же главе рассмотрен совместный термодинамический и ван-дер-ваальсовский предельный переход. Таной подход дал возможность выявить общие черты поведения различных мо -дельных систем при ван-дер-ваальсовском предельном переходе.

Заключение.

Основным объектом исследования диссертационной работы было уравнение Боголюбова (4.9) с функционалом для перенормированных функций распределения, записанное для систем взаимодействующих частиц классической равновесной статистической механики. К уравнению Боголюбова применены методы теории возмущений (регулярный случай):

1) метод введение малого параметра с последующим устремлением этого параметра к нулю;

2) разложение решений уравнения Боголюбова в ряд по малому параметру;

3) получение уравнений для последующих приближений.

При решении уравнений для приближений использовались методы функционального анализа и преобразования Фурье.

Полученные результаты выделим в том порядке, в каком они следуют в тексте:

1. Для более широкого использования возможностей метода малого параметра уравнение Боголюбова записано для функционала, генерирующего перенормированные функции распределения. Установлена связь между перенормированными функциями и функциями распределения.

2. Рассмотрены различные варианты введения малого параметра в уравнение Боголюбова. При каждом способе введения параметра дается физическая интерпретация модели системы взаимодействующих частиц. Исследованы следующие модели: системы со слабым взаимодействием, системы с малой активностью (плотностью), системы сильно разогретые, системы сильно сжатые, но со слабым взаимодействием, системы сильно сжатые и сильно разогретые.

3. Получены разложения решений уравнения Боголюбова в ряд по малому параметру с точностью до второго порядка включительно. При каждом способе введения малого параметра эти разложения можно представить: как разложение по функциям Мамера, разложение по активности, разложение по обратной температуре (высокотемпературное разложение). Показано, что эти разложения описывают только газовую фазу, не Охватывая фазового перехода.

4. Специальным введением малого параметра в уравнение Боголюбова получено разложение решения для систем с большой плотностью. Булевым приближением в этом разложении является решение уравнения Власова для равновесных систем. Показано, что при определенном значении термодинамических параметров системы уравнение Власова может иметь несколько решений, следовательно, может быть несколько разложений решения уравнения Боголюбова, что связывается с фазовым переходом в системе.

5. Доказана сходимость решений уравнения Боголюбова к решениям уравнения Власова для ограниченных интегрируемых потенциалов взаимодействия при предельном переходе Л —* о ,

6. Исследовано уравнение Власова на однозначную разрешимость. Определена граница значений термодинамических параметров, при которых уравнение Власова имеет единственное решение.

7. Получены приближенные уравнения состояния (калорическое и термическое) для систем частиц, взаимодействующих посредством бинарного потенциала из класса потенциалов типа Морса.

8. Исследована дискретная система частиц с бинарным взаимодействием специального вида. Для этой системы рассмотрена неоднозначная разрешимость уравнения Власова, которое получено из уравнения Боголюбова введением малого параметра в температуру и активность при стремлении этого параметра к нулю. Определены интервалы термодинамических параметров системы, при которых уравнение Власова неоднозначно разрешимо.

9. Рассмотрен класс потенциалов типа Каца и исследованы некоторые свойства таких потенциалов.

10. Изучен ван-дер-ваальсовский предельный переход в уравнении Боголюбова. При этом вскрыт механизм фазового перехода с физической точки зрения.

11. Приведены результаты ван-дер-ваальсовского предельного перехода для одномерной системы с потенциалом Каца. Записаны термодинамические функции для системы твердых стержней. Получено уравнение состояния для предельной системы.

12. Исследован одновременный термодинамический и ван-дер-вааль-еовский предельный переход в уравнении Боголюбова. Изучен вопрос о возможности их перестановки.

13. Исследован ва»-дер-ваальсовский предельный переход в одномерных системах частиц, взаимодействующих посредством бинарного потенциала типа Каца, типа Фулинского и ИкедььТакано. Записаны термодинамические функции и уравнения состояния для таких систем в ван-дер-ваальсовском пределе. Выявлена общность и различие систем Каца, Фулинского, Икеды-Такано.

Наиболее перспективным для дальнейшего исследования представляется изучение систем, находящихся в экстремальных условиях: сильно сжатые и разогретые системы, сильно сжатые, разогретые и с меняющейся структурой частиц (и как следствие с меняющимся потенциалом взаимодействия) при сжатии и разогреве. Такие объекты в природе существуют: белые карлики, нейтронные звезды и т.д. Следовательно, существует возможность проверки теоретических результатов на практике.

В заключение автор искренне выражает благодарность своему научному руководителю Г.И.Назину за постановку тех проблем, которые нашли отражение в диссертации, за многочисленные полезные дискуссии и неоценимую помощь в ходе работы над диссертацией, а также Э.А.Аринштейну за консультации и ценные замечания, сотруд

- никам кафедр теоретической физики и высшей математики Тюменского университета за их неустанную поддержку, обсуждение ряда вопросов и тот интерес, который стимулировал деятельность автора к достижению цели.

1. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты.-М.:Мир, 1971.- 367 с.

2. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты.

3. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 208 с.

4. Браут Р. Фазовые переходы. М.: Мир, 1973. - 288 с.

5. Стэнли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир, 1967. - 420 с.

6. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.; Мир, 1978, т.1. - 405 с.

7. Власов А.А. Статистические функции распределения. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. -356 с.

8. Базаров И.Н., Николаев Н.Н. Корреляционная теория кристалла. -М.: Изд-во Московского университета, 1981. 232 с.

9. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. В кн. Н.Н.Боголюбов. Избранные труды по статистической физике. Изд-во Московского университета, 1979, 65 - 114.

10. Кац М. Математические механизмы фазовых переходов. В кн. Устойчивость и фазовые переходы. М.: Мир, 1973, с. 164-244.

11. Назин Г.И. Вариационный принцип в теории термодинамических систем. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Томск, 1972.

12. Назин Г.И. Предельные функции распределения в классической статистической физике. ГМФ, 1974, т.21, $3, с.388 - 401.

13. Назин Г.И. Предельные функции распределения систем с многочастичным взаимодействием в классической статистической физике.-ТМФ, 1976, т. 25, Ш 1, с. 132-140.

14. Назин Г.И. Интегродифференциальные уравнения для частичныхфункций распределения в классической статистической физике.-ТМФ, 1976, т.27, ИЗ, с. 352-359.

15. Наэин Г.И. Метод производящего функционала в классической статистической физике. В сб.: Проблемы статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1976, с. 3-19.

16. Мартынов Г.А., Назин Г.И. Термодишмически согласованные разложения в классической статистической физике. В сб.: Проблемы статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1976, с.62-68.

17. Назин Г.И., Колунин B.C. Метод производящего функционала для решетчатых систем. В сб.: Проблемы статистической физики, Тюмень, изд-во ТГУ, 1979, с. 38-45.

18. Глухих Н.В., Назин Г.И. Эквивалентность ансамблей Гиббса и проблема фазовых переходов в классической статистической физике. ТМФ, 1973, т.38, РЗ, с. 417-421.

19. Назин Г.И. Описание гиббсовских случайных полей методом производящего функционала. ДАН СССР, 1979, т.245, ®6, с, 13521355.

20. Назин Г.И. Описание гиббсовских случайных полей методом производящего функционала. 1МФ, 1980, т.42, РЗ, с.383 - 391.

21. Назин Г.И. Топологическая структура семейства решений уравнения Боголюбова. ТО, 1980, т. 42, $2, с. 243 - 252.

22. Абросимов Б. Г., Назин Г.И. Флуктуации плотности в каноническом ансамбле. В сб.: Проблемы статистической физики. Тю -мень, изд-во ТГУ, 1979, с. 12-17.

23. Назин Г.И. Метод производящего функционала Н.Н.Боголюбова в классической статистической физике. В сб.: Международный симпозиум по избранным проблемам статистической механики. -Дубна, 1981, с. 158-164.

24. Кондратов В.Д., Назин Г.И. Эквивалентность ансамблей Гиббса для квантовых систем, подчиняющихся статистике Максвелла

25. Больцмаш. Изв. вузов, Физика, 1984, 1£7, с. 3-8.

26. Криволапова В.В., Назин Г.И. Метод производящего функционала и гиббсовские случайные поля на счетных множествах. ТМФ, 1981, т. 47, 13, с.362 - 374.

27. Касимов Н. С., Назин Г. И. Проекционный метод решения уравнения Боголюбова для производящего функционала в классической статистической физике. Изв. Вузов, Физика, 1984, $4, с.95-99.

28. Назин Г.И., Няшин А.Ф. Ван-дер-ваальсовский предельный переход в классической статистической физике. Тюмень, 1983. -31 с. - Рукопись представлена Тюменским университетом. Деп.в ВИНИТИ 5 октября 1983, i 5481-83.

29. Няшин А. Ф., Евсеева Т.В. Приближенные уравнения состояния в методе производящего функционала. Тюмень, 1983. -22с. - Рукопись представлена Тюменским университетом. Деп. в ВИНИТИ 24 марта 1983, Ш 1495 - 83.

30. Абросимов Б. Г. Применение метода производящего функционалак нахождению уравнений для функций распределения. Изв. Вузов, Физика, 1975, il, с. 132 - 134.

31. Абросимов Б.Г. Интегральные уравнения для функций распределения и различные замены функциональных переменных.-В сб. :Про-блемы статистической физики. Тюмень, изд-во ТГ'У, 1976.с. 20 25.

32. Аринштеин Э.А. Функциональные преобразования в теории частичных функций распределения. В сб.: Проблемы статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1976, с. 26 - 50.

33. Абросимов Б.Г. Разложение по активности в теории реальных газов. В сб.: Проблемы статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1976, с. 51 - 62.

34. Абросимов Б.Г. Достаточные условия интегрируемости интегро-дифференциального уравнения для производящего функционала.

35. В сб.: Математические модели статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1982, с. 99 102.

36. Криволапова В.В. Условия регулярности гиббсовских состояний на счетных множествах. В сб.: Математические модели статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1982, с. 61 - 67.

37. Еяшин А.Ф. Математическая модель системы частиц при больших плотностях и высоких температурах в классической статистической физике. В сб.: Математические модели статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1982, с. 86 - 95.

38. Аринштейн Э.А. Метод производящего функционала для частичных матриц плотности. В сб.: Математические модели статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1982, с. 119 - 126.

39. Кондратов В.Д. Производящий функционал для квантовых систем, подчиняющихся статистике Максвелла-Больцмана. В сб.: Математические модели статистической физики. Тюмень, изд-во ТГУ, 1982, с. 126 - 134.

40. Кондратов В.Д. Системы квантовых частиц, подчиняющихся статистике Максвелла-Больцмана в экстремальных условиях. Изв. Вузов, Физика, 1983, Р4, с. 22 - 25.

41. Криволапова В.В. Эквивалентность ансамблей Гиббса для классических решетчатых систем. 1МФ, 1982, т.52, Е2, с. 284-292.

42. Кондратов В.Д. Метод производящего функционала для квантовых систем. Дисе. . канд. физ.-мат. наук. - Тюмень, 1983.-97с.

43. Криволапова В.В. Метод производящего функционала для классических решетчатых систем. Дисс. . канд. физ.-мат. наук.1. Тюмень, 1983, 85с.

44. Уссп^. С. А/. / ocyvoL ifee. Т. оЪ. fLtocti^-ti c*<xl. TAe-ory o-ftcx-tc. ocn-oi Pba-ЛС. (УУиЛ.Х.ТАсо. t 13SZ f Vol. !tJ ЦоЧ-</овф43. facelU & . &:cctes> <y{ CtoL,A\lcci£ ^tatUtical JUccka.

45. ИЛ-СЛ.— J. MaitL. Р-кул. j iSQ? t vol, $ / B. 4.6 5? 166 8 .

46. Xoc^oroL Ш o.i. , ocnd (UL-alU (MbbrvoLlU* at

47. Jlft-^-iKiby, CLH-CL го-itfi. Sh^o-ft tZccH-ge. £orreJ,ct.-ta>«A1.t- ^tccti^toccn.t ЛСо,с.^сси-1сл. Co У* и*. U. n. . math. . jvol. i 3 , iS* 245\

48. Добрушин P.JI. Задача единственности гиббсовского случайного поля и проблема фазовых переходов. Функц. анализ и его прилог., 1968, т. 4, с. 44 - 57.

49. Минлос Р.А. Предельное распределение Гкббса. Функц. анализ и его прилог., 1967, т.2, с. 60 - 73.49. % ас , oc^cl P. С .fifl iluL Ъ-OLM. oLe.^ Uoua-Oi T-U-zorg t Ujl. Va-for ^Uc^u-iiL.f , I. io'yt. crj- a- One.- Jdiy^c.^

50. JUjod^b , J. M.M. , 4 3 S3 , VOL . ч Л/е l . £ ZlC-22g.bL „пег i^-t* KJS-^e. Q^ft £ fCK , jU- У'С.Ри^ ,36 5 . {/07 C. ) .

51. G-.i. , ^w^er f. С. ^ ^^ ЦС^сМ.9yi tfiu- Ь-а-к cL&r г</с*-а£л ^tubo^J <yj. tTa-por tic^uioL

52. Hi Г . л ^MwA-^ion ef^ ьдСлЬг^с g^tCo-*

53. Cpu.H.C.tioi*J>> . — J. Mo-iU. , d.161 , 2 , P. 214-2*?.51. f. C. J У<ас Jli. , olkcL Uklzn-g*.£.€.

54. Pin. -hliA 'Tra.h- oL^r Kraals Ъ-а.^ог' Xi^id

55. Л с. ^ 4 сои. С^сЫ <L&.-t 1^-t.l^i о уь . —-Z.Jtciik. РЬул. У vol. SJ Л/с. £ j £.

56. P, С. (2п. Ъъл aicr Ш&-<и.1л T^vao^ <rfib-A. 1xa-f>or ^X^u.Loi iv-ил. V. rf^c. Pot,it- C*>rt-e&odbto«.focM-etfeevt. of gJraie. for $orc,<L\ , - 7. M-odL .

57. P^^. , , vol. В y I f . ?Г53. r^f PC. , оси-М. bte.-i^o^H'i J. £. lo-Li-htO'e-ocii PcJie-n^tia.^ t - ^Дме 'Ьгл-и-лЛЬСо^л.

58. C*ritic,c<.t ±3 4 6 S~ g P <оЧ I o%j j J *

59. Р^г. КГО-U ^ яи.^ ^feAs-i^-^? J. . (Ис^.о+'ои-л TrctCty*.e.Kt

60. JU-IL.ta-b-boL&le. СИ. -tb*- IrC*-* ^"ЛЛ^ Mwurt-lt55. G-odел ofl.j , teoi<W ШлД Ms&'K'liycl't ^-fcot^, tr-A-н1.fOj ^U . 44 f £. tbf -2o3 ,

61. G-o.be.A Jd.Z. P-e/W.T^e ^^ ^WfJ/it A-tb. . PbyA 4 ^ "L $ & $ j vot. S ^ ^. Z -STS" 2 f- 6 .

62. Сс^ЬО-Л <£>. J^ p&^r&W- ч^Яй ^ax ^^ й/дд^

63. Л , Йсг'-^е^се ОсИ-d- б&Ъtin.t^lt^ ^-itvC C. A At-onX e-aZ Pf е. , <2*э и-,tC f j9 . IZi 23?.58.гг^^е oh-'t^.ircx-c.'t^cn^^ . He-iS.A t 9S

64. Ве-кихАс I. / cc^t Irucoy^ T.T. e^u-csbio^ ^ U^-U ^f.се e oo^e. -oL Сил. e я^о-ж»/ cc

65. ЪУии.а-г'оС -Хо^ел - ^^^ tf<ytevCtia.&r , fccv. Дcd. io y f. ±6*£ icez .

66. CL Ъ-а-К- *Lcr bXoi.cUL\. . Pr-c^ . Tk-e^r. , t

67. Cc-btt-A-ctiiX. f£>ic.H-iLc*.t . fikcor. . - 19*2. ; ISO 6. . S/1. УУ9 3 iSol .

68. Крокстон К. Физика жидкого состояния. М.: Мир, 1978.-400с.

69. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. М.: Мир, 1980. - 544 с.74. у fe-rc^-6 I. Лyd:<2.£ /-AI ^i^'e^ ptst*.d iyubfyuaLlitceJ, с* -tkxLorj , 7. M-^L. pUp. J 13(>г , Voi . уj p. £ 1r ъг.

70. Аринштейн Э.А., Гитман Д.М. Система интегральных уравнений для частичных функций распределения. - Изв. Вузов, Физика, 1967, №9, с. 110 - 113.

71. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456с.

72. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.272 с.

73. Боголюбов Н. Н., Метропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории колебаний. М.: Наука, 1974. - 504с.

74. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981. 400с.

75. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.5, Статистическая физика, часть 1. М.: Наука, 1976. - 584с.81. &и.&1. Uevol. it f £. 124 ЦГ$.

76. Добрушин P.JI., Минлос P.А. Оуществование и непрерывность давления в классической статистической физике. Теория вероятностей и ее применение, 1967, т. 12, с. 595 - 618.

77. Добрушин Р.Л., Минлос Р. А., Сухов Ю.М. Некоторые новые результаты об одномерных системах. В кн. Рюэль Д. Статисти/ -ческая механика. Строгие результаты. - М.: Мир, 1971, с.84. Trohkc.^ Т, t Т. JA. гл>и

78. Ш2 / vol. S~6 / i. 2 35 2C6.

79. Загребнов В.А., Пастур Л.A. 0 сингулярных потенциалах взаимодействия в классической статистической механике. ТМФ, 1978, т. 36, ШЗ, с. 352 - 372.

80. Боголюбов (мл.) Н.Н., Бранков И. Г., Загребнов В. А., Курбатов A.M., Тончев К. С. Метод апро.ксимирующего гамильтониана в статистической физике. 'Изд-во Болгарской А.Н., София, 1980.

81. Власов А.А. Теория многих частиц. М.: Fill, 1960, с. 348.

82. Хилл Т. Статистическая механика. М.: ИЛ, 1960, с. 485.

83. Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с бинарным взаимодействием. Функц. анализ и его при-лож., 1968, т. 4, с. 41 - 43.

84. Добрушин Р.Л. Гиббсовские поля. Общий случай. Функц. анализ и его прилож., 1969, т.1, с. 27 - 35.

85. Прбстон К. Гиббсовские состояния на счетных множествах. М.: Мир, 1977. В сб.: Новое в зарубежной науке, серия математика, Ю. - 125 с.

86. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972, т. 2 - 528с.

87. Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1951.635 с.

88. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., За'брейко П.П., Рутиц-кий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенные решения операторных уравнений.- М.: Наука, 1969. 456с.

89. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. - 504с.

90. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.-271с.

91. Израэль Р. Существование фазовых переходов для дальнодейст-вующих потенциалов. В сб.: Гиббсовские состояния в статистической физике. - М.: Мир, 1978, Новое в зарубежной науке. Серия Математика, 111, с. 35 - 51.

92. Назин Г.И., Пилипенко В.А. Сопряженное уравнение Боголюбова для классических решетчатых систем. Тюмень, 1984. - 16с.-Рукопись представлеш Тюменским университетом. Деп. в ВИНИТИ 5 октября 1983, Ш 5480 - 83.

93. Басуев А. Г. Одна теорема о минимальной удельной энергии для классических систем. ТО, 1978, т.37, il, с. 130-134.102.соисС t£e irLo-tfon} ^к. Рб-^-исл,- fi<L$ort\ сги. ^LaMi. . , I9gz / Vol.ll , ASo i, D. 7-3- 2*>.

94. Няшин A. Асимптотические модели непрерывных систем с фазовым переходом. Тезисы докладов. Шестой Международный Симпозиум по теории информации, Москва-Ташкент, 1984, часть 1, с. 159 - 161.