Методы Боголюбова в проблемах фазовых переходов и кинетических явлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

о 0 4

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 531.19+536.75

САНКОВИЧ Дмитрий Петрович

МЕТОДЫ БОГОЛЮБОВА В ПРОБЛЕМАХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И КИНЕТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

01.01.03 — математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

■У О л с)

' V./ С* и / Г V

Москва —1991

Работа выполнена в ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И.П.Павлоцкий

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Попов

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Ведущая организация: Львовский Государственный Университет

часов на заседании специализированного совета Д002.38.01 при Математическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР -117966, Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН СССР.

' Е.Е.Тареева

им. И.Франко

Защита состоится

1991 г. в

Автореферат разослан

1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-матем. наук

А.К.Гущин

ОБП!ЛЯ ХАРА1ГГЕГКСТИ1\А РАБОТЫ.

Актуальность работы. К фундаментальным проблема:.! математической: физики и статистической механики относятся проблема построения последовательно микроскопической теории фаговых переходов и проблема строгого обоснования и количественного описания стохастических свойств динамических систем.

Ватаое место в математической теории фазовых переходов зашатает идея исследования фаговых превра1'!ений в системах с непрерывной группой симметрии, основанная на применении неравенств для корреляционных средних и последующем доказательстве наличия или отсутствия дальнего порядка в системе. Однако последовательная-реалкпация данной стратегии для наиболее ваглшх моделей статистической мег-шики связана с рядом серьезных математических трудностей и в настоящее время в основном ограничена классическими решетчатыми системами.

Проблема описашщ стохастических свойств динамических систем многих взаимодействующих частиц относится к одним из наиболее сложных и неизученных задач математической физики. Основы строгого подхода к решению этой проблемы были заложены Н.Н.Боголюбовым и в дальнейшем активно развивались многими исследователями в разных аспектах. Главная трудность связана с получением кинетических уравнений и разутлним обоснованием сделанных при этом приближений. При этом в квантовом случае возникающие при последовательно микроскопическом подходе уравнения имеют слоеный операторный характер. Кроме того . часто остается га рамками строгого обоснования связь этих уравнении с кинетическими и гидродинамическими уравнениям!.

используемыми при описают кошфетных физических проблем. В связи с интересом, возникшим в последнее время к проблемам исследования эволюционных уравнений теоретико-полевых систем классической механики приобретает ванное значение изучение стохастических свойств подобных систем.

Цель работы. Целью данной работы является развитие и обобщение методов Боголюбова исследования фазовых переходов и стохастических явлений в квантовых и классических бесконечномерных системах многих взаимодействующих частиц и применение этих методов к изучению некоторых конкретных систем.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе впервые сформулировано условие локальной гауссовой доминантности и на основе этого условия получены оценки сверх; для корреляционных функций рада систе.л с непрерывной группой симметрии. Впервые на основе этих оценок дано доказательство наличия в системе неидеалыюго бозе-газа конденсата при достаточно низких температурах и пространствешмх размерностях три и более. Получено уравнение для температуры (Тазового перехода и оценка для плотности бозе-конденсата. Дано обобщение теоре- • мы Боголюбова об особенностях типа ^/¡^ в теории бозе-систем. Развит подход к проблеме построения канонических преобразований квантовой механики основанный на теории рядов Ли. Проведен последовательный вывод кинетических уравнений типа уравнений &оккера-Плаш<а для квантовых взаимодействующих, подсистем, включая квантовый нелинейный осциллятор, взаимодействующий линейным и нелинейным образом с термостатом. Применение специального представления вейлевского формализма позволило максимально полным образом разделить переменные подсистем. Дано обобщение методов Боголюбова исследования стохастических процессов в динамических системах на гамильтоповы теоретико-полевые системы классической механики.

Полученные результаты могут быть использованы для построения и : следования теоретических моделей, а также интерпретации экспериментов в широком классе явлений теории неидеаль-нкх квантовых и классических стохастических систем.

Для защити выдвигаются следующие основные результаты, полученные в диссертации:

1) Условия гауссовой доминантности и локальной гауссовой доминантности имеют место для достаточно широкого класса систем статистической механики и позволяют эффективно получать оценки сверху для равновесных корреляционных средних.

2) В модели неидеального бозе-газа с отталкиванием из условия локальной гауссовой доминантности следует появление фагового перехода с образованием бозе-ковденсата при достаточно низких температурах.

3) В модели неидеального бозе-газа при размерности пространства три и более и выполнении соответствующего условия на концентрацию числа частиц и условия локальной гауссовой доминантности, конструктивны:.! образом возникает уравнение для температуры образования отличного от нуля конденсата. Найденная по этому уравнению критическая температура является нижней оценкой для точной критической температуры модели.

4) Условие гауссовой доминантности тесно связано с теоремой Боголюбова об особенностях типа ^(а^ и дает возмояность ее обобщения.

5) Доказательство условия гауссовой доминантности в рамках метода континуального инт< .?рирования связано с- вопросом обоснования корректности интегралов для конкретных моделей взаимодействующих квантовых систем.

6) Условие гауссовой доминантности имеет место для моделей ЯР -типа бозе-частиц на решетке. В этих моделях при определенных условиях; имеет место фазовый переход.

7) Вейлевское представление квантовой механики совместно с применещтем.теории Ли позволяет построить квантовое каноническое преобразование в виде ряда по параметру взаимодействия.

8) Для квантовой частицы, взаимодействующей с помощью произвольного парного потенциала с Ы частицами термостата существует каноническое уравнение обобщенного фоккер-плашювского типа с запаздыванием.

9) Методы вейлевского формализма позволяют существенно упростить кинетические уравнения для малой подсистемы, взаимодействующей с окружением и максимально полно разделить переменные "малой" и "большой" подсистем.

10) Во втором порядке по взаимодействию для квантовой броуновской частицы в термостате имеют место уравнения Фоккера-Планка. В случае нелинейной связи с термостатом соответствующее уравнение содержит высшие и смешанное производные по вейлевским переменным.

11) Методы Боголюбова в теории неравновесных процессов допускают обобщение на классические теоретико-полевые системы.

12) Для нелинейной модели Шредингера тлеет » сто обобщенная цепочка уравнений ББГКИ (Боголюбов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон), кинетическое уравнение и уравнения гидродинамики.

13) Для моделей типа моделей Гинзбурга-Лавдау с помощью неравенства Боголюбова получена оценка сшп-'у для парного равновесного коррелятора и среднего импульса.

14) В системе с плотностью гамильтониана аи/'+ёи* гидродинамического типа точно вычислены производящий функционал и корреляционные средние.

15) Класс теоретико-полевых систем с нелокальным, факторизованнкм взаимодействием допускает термодинамически эквивалентную аппроксимацию.

кптЛр^я тоботы.Основные результаты диссертации до-кладивались на I (Дубна, апрель 1977г.), II (Дубна, август 1381г.), III (Дубна, август 1984г.) и ТУ (Дубна, август 1987г.) международных симпозиумах по избранным проблемам статистической механики, Международной конференции "Обобщенные функции и их применения в математической физике" (Москва, ноябрь 1980г.), II советско-итальянском еж озиуме по математическим проблемам статистической физики (Львов, сентябрь- октябрь 1985г.), У симпозиуме по избранным проблемам статистической механики (Дубна, 1989), Всесоюзной конференции "Современные проблемы статистической

физики" (Львов, февраль 1987), III Международно3 рабочей группе "Нелинейные п турбулентные процессы в фазисе" (Клев, апрель 1987), IX Международном конгрессе по математической физике (Суонси, июль 1988), на научных семинарах МГУ игл.М.В.Ломоносова, ОИЛИ (Дубна), 1-1ЯИЯЭ БАК (София), Лейпцигского университета итт.К.Маркса (Лейпциг), МИ игл. В.А.Стеклова АН СССР.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликована 31 научная работа.

Объем диссертации. Диссертационная работа состоит из Введения и четырёх глав, содержит 224 страницы машинописного текста, библиографический список состоит из 149 наименований литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении показана актуальность проблемы, приведено краткое содержание работы и даны основные положения, которые выкосятся на зациту.

Первая глава диссертации посвящена вопросам исследовашм фазовых переходов в квантовых системах с непрерывной группой симметрии. Фаговые переходы в таких системах трактуются как установление дальнего порядка шп , в импульсном пространстве, Kai: появление при достаточно низких температурах в термодинамическом пределе (число частиц fj 0° , объём V" — оО , плотность п = ^¡у - сзл^ ) отличного от нуля конденсата, то есть макроскопического заполнения шшхего квантового уровня. Идея доказательства этого факта основана на использовании неравенств для корреляционных средних. Такие неравенства получены на основе условия гауссовой доминантности или более слабого условия локальной гауссовой доминантности. Рассмотрены примеры нелинейного осциллятора, моделей неидеального бозе-газа и системы вещества, взаимодействующего с бозоншм полем. Выведенные неравенства для корреляциоплых средгахх обобщают известную теорему Боголюбова об особенностях типа * •

В §1 рассмотрена постановка задачи об установлении даль-

него порядка в системе на примере модели неидеалыюго боэе-газа. Сформулировано условие гауссовой доминантности и изложен подход к проблеме доказательства установления дальнего порядка на основе этого условия для классических спиновых решетчатых систем типа модели Гейзенберга, предложенный Фре-лихом, Саймоном и Спенсером, в 1976г. Указано соответствующее квантовое обобщение. Отмечена связь стратегии Фрелиха в теории фазовых переходов для решетчатых систем с методом Боголюбова, предложенным для исследоЕашм (пазовых переходов в континуальных моделях квантовой статистической механики.

В иредставлешш вторичного квантования гамильтониан модели неидеалыюго бозе-газа записывается в виде:

Г

где Ф(7х()_ потенциал парного взаимодействия частиц, Л - опе-

л + А . .

ратор Лаплеса, аУ М.ЧчХ)- операторные функции, удовлетворяющие перестановочным соотношениям Бозе:

[^х),г(х')]=0, (2)

&М- 9-мерная 8-функция Дирака, Х<£ Я .

Для равновесного канонического ансамбля Гиббса с гамильто-шмном Н наличие в системе дальнего порядка означает, что

п 5 ¿и £ ( АА >о, л о) А

где гиббсовское среднее в объег.-еТ'"<...>у5£ <г...е , 2- ^ В квазидискретном импульсном представлении условие (3) принимает еид: • -

л 1 А 4- А

йт ± <&,&„> >0 , (4)

где амплитуды Бозе <я.р,&р -операторы роздения и уничтожения частиц с импульсом р . Выполнение условия (4) в физике при-

нято трактовать как появление в системе бозе-ковденсата.

В §2 дано определеш!е двухточечной функции Дюамеля (д.ф.) (восприимчивость), отмечены и доказаны ее основные свойства. Эта функция играет в развиваемом подходе фундаментальную роль. Для квантовой системы с гамильтонианом Н и статсуммой ¿Г

д.ф. двух операторов А и В определяется формулой

л л -1 г г лт

(А,в) = я ]Гг[е ? Ае ' В\Jx.

о

Она обладает свойства'.'л внутреннего произведения:

Л Л , Л А х

(А, В) = ( 8,А),

(5)

СА* О, ± (6)

Кроме того .имеют место следуйте важные соотношения

АА к Л Л I л*, л '

(а\а)*]С<А (7)

<ГА,В]> =£([А,Н],&), (8)

где [■■■,■■•] -коммутатор. Из (7), (8) и неравенства Шварца вытекает неравенство Боголюбова

|<[А,6]>|\<^<8В+4^><ГА+,^Н,А]]>. (9)

Введем монотонно убывающую, .выпуклую вниз функцию из Со,«О в (0,0 соотношением

Определим величины:

А Ф А Л I Ал А

8 д"а + А А> ,

в(А)*(А+, А), (Ю)

с(А>4А+7[|Н(АЛ>,

где А -произволен, а Н -самосопряженный оператор. Тогда имеет место следующее неравенство:

Равенство в (II) достигается только в случае гармонического осциллятора. Из (II) следует, что если 60; С <Са то

где

-¡[^сХ . (12)

В §3 рассмотрен случай одной частицы (квантовый осциллятор) , описываемый операторами о.,а"1" . [а,а*] = { . Гамильтони-

Л А Л А А А 4 А А

ан Н - Нв + Н^ , где Н0=и)М, а , со > о . -нелинейная часть, являющаяся алгебраической функцйей от а.,л+ и коммутирующая с N .

Сформулировано условие гауссовой доминантности для этой модели. Рассматривается однопараметрическое семейство гамильтонианов Н(М = Н0СЛ4Н1 > где Годится функционал с^М - Тг Ггхр (-£ Н(М)].

Будем говорить, что выполнено условие гауссовой доминантности (т.д.), если :

гГМ^о). (13)

Если ¿{к) имеет при к-о локальный максимум, то будем говорить, что выполнено условие локальной гауссовой доминантности (л.г.д.).

На г.д. или л.г.д. следует, что

(а\ а) $ (¡¿со) . (14)

(14) есть простерший пример неравенств для корреляционных средних, используемых при доказательстве существования в системе дальнего порядка в смысле условия (4]. Л2

Рассмотрен случай А,= А/О (А >0) и Н, = {0*О) (нелинейный осциллятор). С домоцыо техники функциональных интегралов Березина доказано; что в этих случаях условия г.д. и л.г.д. выполнены, то есть имеет место оценка (14). С помощью (12) и 114) получека оценка сверху для температурной бинарной средней в случае квантового нелинейного осциллятора:<а4<х.»^в-д"» где ^.0-з:орзнь уравнения

В §4 ccfopjyjniDOEaHO условие г.д. и л.г.д. для модели неЛ АЛЛ

идеального бозе-газа с гамильтонианом Н = Н0 + Н^ , где

, as)

н4 = (¿vf' ^ ^ Д-р <4 > ^= ■

Вводится функщюнал 2(Ь)=Тг[е*]з(-рнМ)1 , где H(k) = HftfM+Hf, Исследуется экстремум

при

В силу правил отбора уравнения для определения стационарных точек + всегда имеют тривиальное решение. Рассматривая iopuy второго дифференциала в нуле Лг £ (О) , получаем следующие два эквивалентные необходимые и достаточные условия л.г.д.:

(a^^WjH^ (16)

1 (A*, ¿¡><ь>>

(17) неявным образом определяет условие на потенциал взаимодействия, при выполнении которого имеет место л.г.д.. Если неравенства в (16)—(17) заменить на противоположные, то мы получаем условия локального минимума -ЗСМ в точке [kp-^f , обобщающие теорему об особенностях на случай потенци-

ала с преобладающими силами прятякения. i

В §5 на примере модели неидеалыю1'0 бозе-газа рассмотрены пиьические следствия из л.г.д. При выполнении этого условия из неравенства (12) следует, что в модели (15) тлеет мес-

^ л Af Af- ^

то следующая оценка сверху для ^ = :

где предполагается, что Ор. ^ 'Оо , > О .в модели (15) закон сохранения полного числа частиц приводит к правилу сумм:

(19)

- \ ¿Г I» кЛ. I

г

Из (19) и основного неравенства (18) следует, что если

5.

(20)

гг>(^тг(21)

то { ^ £ в ''-обратная температура) в модели (15)

выполнено условие (4). Условие (20) для физически интересного случая и^р = Р /х. выполнено при . Условие (¿¡I) в пространственно трехмерном случае принимает вид (решетчатый бозе-газ):

Температура фазового перехода с\ определяется при данном подходе конструктивным образом из уравнения

которое при выполнении условий (20)-(21) имеет единственное решение.

Неравенство (18) совместно с оценкой снизу для д.р , следующей из теоромы об особенностях дает следующую оцен^ ку сверху для спектра элементарных возбуждений (при<^с%):

Пв (0-0)6^ ^ ПТ/ + , (22)

х'де Па(9) -плотность .конденсата. Из (22) следует бесщелевой характер спектра в неидеальном бог.е-газе, в котором доминируют сшп отталкивания.

В данной схеме возникает оценка для плотности бозе-кон-денсата. При 0=0 она имеет вид (»7* 3, ^ -=■ /л. ): п-п0(е=о) ¿«¿^-'((^"^-(ЬпОо)*),

где 1=>0 = б-гг"2 П0Св=о)].

В §6 рассмотрен класс систем, описывающих взаимодействие вещества с бозонным полем. Гамильтониан этих систем имеет вид:

(23)

Л ^Г-1 Л + Л

> г Г #

Л+ А ^ „

где I— , ¿-р - ограниченные по норме операторы "вещества" , Яр -бозе-операторы рождения-уничтожения. Н, - собственный гамильтониан вещества. В класс моделей (23) входят модели Срелиха и Дикке.

Рассматривается как и ранее семейство гамильтонианов

ищется экстремум функционала 27^= ТУ Г<?*р Н(М) 3 в г1уЛе> В данном случае Н^Ц^ ^ .5^о) , ^^ £ £ и следовательно

А .г'.-

С помощью (8) можно получить, что

(24) выражает теорему об особенности для класса систем (23).

В §7 с помощью линейного канонического преобразования Боголюбова получено необходимое и-достаточное условие л.г.д. в виде:

[¿г,н4])>0, ж 4 Л (25)

где Н4 -гамильто1шан взаимодействия в модели Н - М0*Н< ( йа = Доказано, что условие (25) выполнено для моделышх систем некдеального бозе-газа с отталкиванием, к которым относятся модели Хуанга-Дэвиса и Хуапга-Япга-Латтигсг.ера.

С помощью неравенства (8) получена оценка снизу для мо-

дели неидеального бозе-газа с фурье-образом поте! циала взаимодействия , удовлетворяющим условию О £ ^ $ 0о :

(фщ)*-4n.00(fioJ*){. (26)

(26) уточняет теорему об особенностях типа

В §8 сделано несколько замечаний о возможности доказательства условия г.д. с помощью метода функционального интегрирования. Для функционала £(к), входящего в формулировку условия г.д. получено формальное выражение

¿Wire -Wbbjut^^.tf}

(27) обобщает представление статистической суммы в виде функционального интеграла предложенное Березиным. Ключевое значение при использовании (27) в доказательстве г.д. принимает обоснование процедуры получения данного представления и придашгя строгого смысла входящим в (27) операторам.

В §9 метод аппроксимирующего' гамильтониана применен к нахождению асимптотически точного решения для давления модели Хуанга-Дэвиса при и модели, являющейся бозе-аналогом БКШ-модели теории сверхпроводимости. В последнем случае взаимодействие оказывается асимптотически (в термодинамическом пределе) не эффективным.

В §10 рассмотрена решеточная система бозонов (связанных нелинейных осцилляторов) с гамильтонианом

<»\,м> л

т.

С помощью свойства ЯР доказано, что при , ^^ и

достаточно малых М- в данной системе образуется боне-кон-денсг-л.'. Получена оценка снизу для температуры фазового перехода. Результаты данного параграфа обобщаются на любые гамильтонианы этого типа, в которых нелинейная часть представляет собой одноузелыгае отталкивание частиц.

Вторая глава диссертации посвящена вопросу обобщения стратегии Боголюбова построения кинетического уравнения для "малой" подсистемы, взаимодействующей с окружением в кван-тоесм случае. Отличие излагаемого подхода от других подходов состоит в последовательном использовании вейлевского формализма. На этом пути удаётся г.рженить идеи, развитые Боголюбовым для классических систем, и провести возможно полное разделение переменных "галой" и "большой" подсистем в кинетическом уравнении .для символа функции распределения "малой" подсистем!.

В §1 дано краткое введение в вейлевский формализм квантовой механики. Произвольный оператор А в от Лк) канонических операторов координаты ^ ■■■, /О) и импульсов <, а,в схеме вейлевского квантования записывается в виде

где

А

шгалжвтся символом ВеЛдя А .

Умножение в пространстве символов задаётся »Уормулама

1 (29)

=лл (5 ^ ф . н ) ^ I а.

Вейлевское квантование является частным случаем линейного

+1 ^ 3..

ва

квантования.

Рассмотрена схема к^попкческвх прообрпс-оваииГ:, основанная на методе рядов Ли, известном в классической механике. Для двух аналитических функций и ^Ср1^) заданных

в мы определяе:: с помощью закона композиции (29) скоб-

ку Вейля . Производная ЗеРля, генерируемая

функцией есть ЛУ^^гЭД,^} . Эта производная явля-

ется производной Хи на соответствующе;: пространство Су!-"',':"

с законом композиции (§) . Определяется экспоненциальное отображение £*!>(&М^1) £ , являющееся каноническим. На основе введенных преобразований развита схема нормализации гамильтонианов квантовой механики в виде рядов по & .

Уравнения движения для символов тлеют вид = С (и, я], где Н - символ гамильтониана. Формальное решение с начальными условиями х(о) - у , у ("о) = ^ есть

^Щ^-С^-^Що, (30)

то есть является каноническим преобразованием с Н в качестве производящей функции.

В §2 изложен подход к проблеме построения кинетического уравнения на языке квантового лиувиллиана и стандартных символов Вейля. Матрица плотности квантовой системы с гамильтонианом И удовлетворяет уравнению Лиувилля-фон Неймана. В вейлевском формализме это уравнение принимает вид

— = У ^ (31)

где -символ Вейля матрицы плотности, -квантовый оператор Лиувилля, определяемый скобкой Вейля

-нс

-символ гамильтониана Н . Исходя из (31) выводится квантовая цепочка уравнений ББГКИ для 5 -частичных • функций распределения. Альтернативный подход к описанию свойств малой подсистемы связан, как правило, с получением так называемого основного кинетического уравнения (тлз-•¿ег Даны две системы 5 и 2, с гамильтониа-

ном Н = И^; •+ И^х , где И5х описывает взаимодействие мезду системами, зависящее от малого параметра, а Н* и Н^- -собственные гамильтонианы £ и , соответственно. Рассматривается стандартная ситуация, когда ^

состоит из одной частицы с фазовыми переменными

, р^У Вейлевские символы гамильтонианов имеют вид

н

И

35"

М\Го-Гп\).

И £ не конкретизируется. Получено приближенное кинетическое уравнение Боголюбова, служащее отправной точкой дальнейших построений

(32)

В§3 на основе специальной техники проведено дальнейшее исследование и упрощение уравнения (32). Предполагая регулярность потенциала взаимодействия ФОг^в пространственно однородном случае для фурье-компонент функции распределения получено основное кинетическое уравнение

где

' ' и

¿т Л«

• Р

Л-

¿Со?^ „и.

-е ^я.Й^]'

«я.,»«

а К (.-Ь} зависят только от переменных термостата. Уравнение (33) позволяет наиболее полно в рассматриваемом случае разделить переменные 2 и 21 .

В §4 в качестве примера рассмотрена модель полярона. Ядро К в кинетическом уравнении (32) принимает вид

1,1 I

о

л

где операторы .^(Ю зависят известншл образом только от переменных электрона Г о, ро а С~п.т. связаны с гриновскими функциями термостата (бозонного поля). Кинетическое уравнение типа (32) рассмотрено в линейной модели полярона Бо-голюбова-Боголюбова(мл.).

В третьей главе диссертации, развивающей вдеи главы 2, проведено дальнейшее более детальное рассмотрение "тл^ег е.^аа.ЬСоп.п для квантовой частицы в термостате. На основе специальной форды вейлевского соответствия получено приближенное кинетическое уравнение типа обобщенного уравнения Фоккера-Планка без запаздывания и проведен его детальный анализ с целью получения стандартного в феноменологической теории необратимых процессов уравнения Фоккера-Планка. Рассмотрены случаи разных типов связи броуновской частицы с термостатом.

В §1 введена специальная форма вейлевского формализма для вторичноквантованных операторов. Рассматривается алгебра Гейзенберга-Вейля с -2лМ образующими С помощью операторной 5-функции, определяемой соотношением

произвольный оператор А нашей динамической системы записывается в виде

.....ШША (34,

^ . а

. Д (а) есть символ Векля А . Введены и вычислены величины

играющие фундаментальную роль в нашем подходе. Символ /\[л)= тг^Тг^А замкнутой системы с гамильтонианом

Ц рассмотрено уравнение Лиувилля ^ =^-1 ¿, ^ где Ц-лиувиллиан, определяемый формулой ¿А ~-(А, Н] . В этом

случае, переходя к вемевскому символу ^(¿¡^) матрицы плотности , имеем следующую форму записи уравнения Лпувшии:

(35)

РДб

гг(л,в} = ^/л'ТА/Г/л', в)Тг[№£(А-я)]=

= т"Гг[Ж£{я-в)] ,

-^с х р. « *

уху* е. Ае лИАе

о

Из (35) видно, что уравнение Лиувилля для замкнутой квантовой динамической системы, описываемой набором операторов представляется в виде классического уравнения непрерывности для символа .

В §2 рассмотрена ситуация двух вгашлодействувких подсистем. С помощью специального не зависящего от времени проекционного оператора Р получено точное "те^илИоп , имеющее вид обобщенного уравнения С'оккера-Планка с запаздыванием. После перехода 15 всГиевским символам оно записывается следумцим образом:

Эх эл Л « /

сО

\м' {/ё ЪМ^^ЧЛФ1'^ '

о

В (30) введены обсгкачения: 11< им ■ -г-[&

<...>в = ¡Лч,И,сЩ...

-лиувиллиан подсистемы ) а гамильтониан

л ЧГ- л ^

взаимодействия подсистем взят в виде Ни = Дт Бп , где

т,и О л '

А»^ зависит только от операторов .2-, , а в« - только от

—- ^ л /о) л /о)

операторов . ^ , у* - равновесная матри-

ца плотности термостата, 'Гг^ (£ = ) означает, взятие следа по переменны.; •

В §3 из точного кинетического уравнения (36) во втором по-'рядке по взаимодействию подсистем получено обобщенное приближенное уравнение Фоккера-Планка без запаздывания:

=э-§- 5Л кМ)^\/сжЛ0(ГсЛ

где

д ггЯ б) = А -¿Л* ¿я, 6);

о 4 а ■ Г ? л 1 С л * 1

функция Грина -1<с [ А, & }> > [ДБ] _ симмет-

рисовашюе произведение. Параметр <5 отвечает включению взаимодействия в отдаленном прошлдм, а гамильтониан взаико- • действия взят в форме Ни=^(л1пХгц + £>«), где Хт - терыостатше операторы, - операторы "малой" под-

системы.

Несмотря на отсутствие запаздывания', уравнение (37) попревшему остается сложным штегродифс] еренциалышм уравнением.

В §4 уравнение (37) применено к простому гармоническому осциллятору с линейной связью в термостате. Собственный гамильтониан осциллятора Н< = и)а а*а. . Взаимодействие =аХ< +а Х< . В данном случае все величины, входящие в (37), допускают точное вычисление и око;гчательно получаем следующее стандартное фоккер-планковское уравнение:

+

где Кгл , ~ Гт Л , а Д п известным

образом определяются по собственному гамильтониану термостата и не зависят от переменных осциллятора jXf, .

В §5 рассмотрен нелинейный осциллятор. При этом возможны два типа нелинейности: в гамильтониане взаимодействия Ни и в собственном гамильтониане осциллятора . В первом случае мл берем + X.z . Нелинейные по

слагаемые в Hiz вносят аддитивные вклады в величины, входящие в (37). Вычисление этих добавок приводит к тому, что в уравнении Фоккера-Планка для в этом случае возни-

кают высшие и смешанные производные по (Я,, . Рассмотрен такие случай кубической нелинейности по координате в í|( Й< = £<->0С1+Л + <¿¿l~¡ • Аддитивный вклад от нелинейности Hi в левую часть (37) имеет вид:

¿í ' / Т

В четвёртой главе рассматривается подход к описанию кинетических и гидродинамических свойств некоторых теоретико-полевых систем классической механики. Основой данного подхода является применение методов Боголюбова в неравновесной термодинамике, базирующихся на точных динамических уравнениях движется.

В $1 рассматривается пространственно одномерная нелинейная модель Шредингера с гамильтонианом Чг

н*$ (L ^wMV*, (39)

- .ъг, -и'>

где Ly~ /дХ > а-черта означает комплексное сопряжение. После перехода к (Турье-представлению вводится (функция распре-

деления Г^с^к!) в пространстве канонических фурье-пе-

регленных и соответствующие " S -частотные" функции распределения |5 . Исходя из уравнения Лиувилля = [tf,f I , где - скобка Пуассона, задаваемая для системы (3S) соотношением

г. 7 f Цр\

[S, RЭТк Эгк ЭТ**ГЕ/» к 4

получена цепочка уравнений для ^ . Давшая цепочка представляет собой теоретико-полевой аналог цепочки уравнений БЕЕКИ классической конечномерной статистической механики. Получено кинетическое уравнение для ^ (i 7*, первого приближения по константе взаимодействия tf . Вводятся гидродинамические переме1шые: плотность числа частиц < тт> , плотность импульса j(x,-£l= m?tzx-z 7*> и'плотность энергии + I . Среднее <...> берется с помощью • соответствующих S -частотных функций распределения. Получены гидродинамические уравнения для модели НЕ:

9t ЭХ i

iiiÜfHl .+ -§-( mfiA p)=ö,

где давление модели P= m ^ l7xl >0 + » a

означает усреднение по хсвазиравновесному распределешш.

В §2 вводятся системы, названные моделями типа моделей Гинзбурга-Ландау:

Н= J F(u))Jx, (40)

где d~coni.i: , F(и) -функция, зависящая только от скалярного поля U-l'X) , но не от его производных. При <¿-0 (кинетический член отсутствует) система (40) получила название модели гидродинамического типа (Б.А.Дубровин, С.П.Иовиков).

Скобки Пуассона для (40) имеют вид так называемых скобок Гарднера Г < [? Я = Ц ¿х

1 ' * Л ЭХ «а

Если = аи. + йа<-си.((1 то ПрИ а.» с «о тлеем модель КдВ, а при а- -6 = О - модифицированное уравнение КдВ. В случае модели (40) с {сг-о) получена оценка снизу для парного равновесного коррелятора <икМ--к>, где -фурье-преобразование М-(х) : <ик > 9(к*+ ¿а.+ <2с з)"', 0 -температура, а средний полный импульс. При я.~>О справедлива оценка

Для просто!' системы гидродинамического типа с плотностью гамильтониана к(и.) = а.и.гч-ёин(а~и.,в>о) вычислен производящий функционал и равновесные корреляционные средние. Специфический вид гамильтониана систем гидродинамического типа приводит к чисто сингулярному виду этих средних.

§3- посвящен обобщению метода аппроксимирующего гамильтониана на теоретико-полевые системы классической механики с йакторизованным (нелокальны.!) взаимодействием

Н-К..Н,, (41>

где Н0 -свободный гамильтониан, а взаимодействие Н( является суммой мономов вида

У"']-^*.....

где = при &а { , Мх) при <5=-/ , а 1^x1,^}-

комплексное поле системы. Доказано, что в термодинамическом пределе все корреляционные средние и плотности свободной энергии для (41) совпадают с соответствующими величинами для так называемого аппроксимирующего гамильтониана Н(с1= Ц» + Н,- , где И, есть сумма мономов

М"' 5 О**«" -' еЫгщн-^

г 1

(х,.....^о т ,£<)■■■ т ^ -с>с*г>

а СиСх . - константы, являющиеся решение!', соответствуккгх уравнений самосогласования.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Курбатов A.M..Санкович Д.П. Принцип термодинамической эк' вивалентности и уравнения самосогласования//Сообщения ОИЯИ

PI7-I2I3I, Дубна, IS78, с.1-29.

2. Курбатов A.M., Санкович Д.П. Свойство асимптотической коммутативности в статистической механике//ДАН СССР, т.242, J62 (1978) с.316-319.

3. Курбатов A.M., Санкович Д.П. Уравнения самосогласования в методе аппроксимирующего гамильтониана//ШФ, т.42, J53 (1980) с.392-405.

4. Bogolubov N.N.(Jr.).Kurbatov A.K..Petrina D.Ya. and San-kovich D.P. Thermodynamic limit in systems of statistical mechanics with factorized interaction//Sov.Scientific Rev., Sec.C, Kath.Phys.Rev.V.1 (1980)P.157-267.

5. Боголюбов H.H. (мл.>,Курбатов A.M..Петрина Д.Я..Санкович Д.П. Предельные теоремы в теории статистических систем с факто-ризованным взаимодействием. Труды Международной конференции по обобщенным функциям и их применению в математической физике. U., 1981, с.80-87.

6. Морозов В.Г.,Санкович Д.П. Кинетическое уравнение для квантовой динамической системы, взаимодействующей с термостатами). Тезисы II Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. 0ИЯИД17-81-4П, Дубна, 1981, с.31.

7. Морозов В.Г., Санкович Д.П. Кинетическое уравнение для квантовой динамической системы, взаимодействующей с тер-мостатом(2). Труды II Международного симпозиума по изб- • ранним проблемам статистической механики. ОИЯИ Д17-81-758, Дубна, IS8I, с.508-518.

8. Kurbatov A.M..Sankovich D.P.On the generalization of the Fokker-Planck equation//Preprint ICTP. IC/S2/107, Trieste, 1982. P.1-18.

• 9. Санкович Д.П. Канонические преобразования в задачах квантовой, статистической механики(1). Тезисы III Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. ОИЯИ Д17-84-407, Дубна, 1984, c.IIO.

10. Санкович Д.П. Канонические преобразования в задачах квантовой статистической механики(2). Труды III Меддународко-го симпозиума по избранным проблема;.! статистической механики. ОКЯИ Д17-84-850, Дубна, 1984, с.239-250.

11. Sankovich D.P. Quantum dynamics and kinetics of many-particle systems. II Soviet-Italian symposium on the mathematical problems in statistical physics. ITP AN Ukr.SSR, Kiev, 1985, p.101-102.

12. Санкович Д.П. Кинетическое уравнение Боголюбова для кван-. товых динамических систем//ДАН СССР, т.284,.'.'6 (IS85)

с.1340-1345.

13. Sankovich D.P. Yt'eyl formalism and quantum stochastic . processes//Physica. V.139A, 1986. P.437-454.

14. Санкович Д.П. Статистическая механика теоретико-полевых систем. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные проблемы статистической механики". ИТФ АН УССР, Киев, 1987, чЛ, с.84-85.

15. Боголюбов Н.Н.(мл.), Санкович Д.П. Стохастические процессы в бесконечномерных гамильтоноЕых системах классической механики. Тезисы 1У Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. 011ЯИ Д17-87-477, Дубна, 1987, с.14.

16. Санкович Д.П. О диагонализации обобщенного уравнения Ли-увилля. Тезисы 1У Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. ОИЯИ Д17-87-477, Дубна, 1987, с.79.

17. Sankovich D.P. Equilibrium Thermodynamics of Simple Hyd-rodynemic Type System//Hod.Phys.Lett.В. V.1.N5&6. 1987. P.221-224.

18. Санкович Д.П. Кинетические и гидродинамические уравнения в нелинейной модели 11:редннгера//ДАН СССР, т.298, JS2 (1988) с.342-346. .

19. Санкович Д.П. Метод формальной дпагонализации обобщенного уравнения Лиувяляя. Труды 17 Международного симпозиума по избранным проблема:.? статистической механики. 011Я11 Д17-88-95, Дубна, 1988, с.339-343.

20. Санкович Д.II. Инфракрасные опенки и фазовый переход в модели неидеального бо?е-га?а//Сообиеняя 01'ЛИ PI7-8S-34S, Дубна, 1988, C.I-2I.

21. Санкович Д.П. О некоторых стохастических свойствах бесконечномерных гамильтоновых систем классической механики// Сообщения ОИЯИ PI7-88-349, Дубна, IS88, с.1-10.

22. SankovicKD.P. Thermodynamics of Ginzbur¿;-Lfmdau Type lío-deis. ProcJII Int. Workshop. Kiev, Naukova Dumka, 1988, V.1,P.316-319.

23. Санкович Д.П. Квантовая динамика и кинетика многочастичных систем//Оизика многочастпчных систем, вып.14 (1988) с. 70-74.

24. Санкович Д.П. Гауссова доминантность и фазовые переходы

в системах с непрерывной симметрией//ГШ, т.79, Ш (1989) с. 460-471.

25. Боголюбов Н.П. (мл.), Киреев А.II., Курбатов A.M., Санкович Д.П. Некоторые проблемы теории полярона/Др. I.EÍAH СССР, т.191 (1589) с.17-33.

26. Санкович Д.П. Инфракрасные оценки в теории фазовых пере-ходов//Гр. ЫИАН СССР, т.191 (1989) с. I08-II7.

27. Sankovich D.P. On condensation in non-ideal Bose-gas// Hod.Phys.Lett.3, V.3, Иб (1989) P.471-478.

28. Bogolubov N.N.(Jr.) and Sankovich D.P. Gaussian Domination: Quantum Nonlinear Oscillator//Phys.Lett.A,'V.137, N 4&5 (1989) p.179-182.

29. Bogolubov N.N.(Jr.), Kurbatov A.M., and Sankovich D.P. Generalized Bogolubov theorem on singularities of type q and existence of condensation in some models of interacting bosons// Y International Symposium on selected problems of stat. mech. LINR D17-89-535(19897 Eubne.

30. Bogolubov K.N. (Jr.), Kurbatov A.L-., and Sankovich D.P. Toward the Theory of Bose-Einstein Condensation//Selec-ted Topics in Statistical luechanics. World Scientific Publ. , Singapore, 1990. P.123-127^

31. Bogolubov N.N. (Jr.) and Sankovich J3.P. Upper Bound on the Two-Point Correlation Function of a System of Coupled An-harmonic Oscillators//Kod.Phys.Lett,B. V.5, N1(1991)51-56.

Подл, в печ. 30.04.91 г. Тирая 100' экз. Заказ Jí 4367

Централизованная типография ГА "Союзстройматериалов"