Сингулярные распределения в концепции классических точечных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

О ■

д од

На правах рукописи

(

ГОРДЕЕВ Александр Николаевич

СИНГУЛЯРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КОНЦЕПЦИИ КЛАССИЧЕСКИХ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ

(01.04.02 - теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре экспериментальной физики Российского университета дружбы народов.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

Член-корреспондент РАН, профессор В.Г.Кадышевский

доктор физико - математических наук, профессор Ю.С.Вернов доктор физико - математических наук, профессор М.И.Киселёв

Ведущее научно-исследовательское учреждение:

Институт физики высоких энергий, г. Протвино, Московской обл.

Защита состоится "ЛО " иЛ-онХ 1996 г. в час.

на заседании диссертационного Совета Д 053.05,41 при Московском государственной университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд. "545".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " ^ " ^АлЯ^ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доцент \

И.А. Квасников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие точечной частицы представляет собой одну из основных концепций классической физики. Его привлекательность для теоретиков, в первую очередь, связана с тем, что элементарность частицы: и релятивистская ковариантность ее описания совместимы, только если частица рассматривается как точечная. Кроме того, в классической (неквантовой) теории учет структуры заряда частицы (посредством введения форм-фактора) представляется превышением допустимой точности, так как ее размеры находятся на пределе тех расстоянии, до которых применима классическая электродинамика.

Принципиальная трудность этой концепции состоит в расходимости поля, создаваемого частицей в точке ее локализации. Это приводит к бесконечному значению собственной энергии частицы и силы ее самовоздействия, которая является динамическим фактором, необходимым для учета потерь энергии на излучение. Указанная трудность обычно обходится за счет "перенормировки массы" частицы, однако приемы, используемые для этой цели, включают математически некорректную процедуру "вычитания двух бесконечностей". И хотя изящная техника устранения расходимостей, разработанная в теории квантованных полей, позволяет вычислять с желаемой точностью любые наблюдаемые величины, она все же не устраняет указанное противоречие, предлагая, правда, практическое решение проблемы. Однако, утратив в результате свою остроту, проблема расходимости не утратила своей актуальности, так как ее разрешение необходимо, по крайней мере, для. логической завершенности классической электродинамики. Предпринимавшиеся попытки устранить указанную трудность были связаны, как правило, с выдвижением тех или иных радикальных гипотез, которые нелегко согласовать с основными принципами теории.

Несмотря на внутреннюю несогласованность рассматриваемой концепции, она широко используется на практике. В частности, системы точечных частиц с электромагнитным взаимодействием между ними (моделирующие полностью ионизованный газ, или плазму) являются весьма распространенным объектом исследования теоретической физики. Особый интерес к изучению таких систем в последние

десятилетия был обусловлен многообещающей возможностью осуществления управляемого термоядерного синтеза в высокотемпературной плазме, вследствие чего, в частности, неимоверно возросло число научных публикаций на эгу тему. В связи с этим, актуальность исследований, связанных с изучением полностью ионизованной плазмы, также является общепризнанной.

Наиболее последовательное описание системы точечных частиц с произвольным парным взаимодействием между ними реализуется знаменитой цепочкой уравнений Н.Н.Боголюбова. Разработанный им метод малого параметра позволил получить за счет обрыва цепочки известные уравнения Больцмана, Власова и Ландау, а дальнейшее развитие этого метода привело к выводу целого семейства более общих кинетических уравнений.

Несмотря на несомненные успехи, достигнутые на этом пути, разложения по малому параметру все же обладают тем недостатком, что в приближениях различного порядка вид самих уравнений оказывается различным, В качестве альтернативы желательно построение "прямого" метода последовательных приближений, основанного на возмущениях искомых функций и не затрагивающего вида основных уравнений. Для этого необходимо иметь в наличии хотя бы одно строгое решение полной цепочки Боголюбова, которое можно было бы использовать в качестве исходного, "нулевого" приближения.

Наиболее простым является предположение о полном отсутствии корреляций, приводящее к уравнению Власова для одночастичной функции распределения. Однако, строго говоря, оно противоречит исходной цепочке, не допускающей тривиального решения в силу неоднородности ее уравнений. Тем не менее, уравнение Власова в большом числе случаев приводит к хорошему согласию с экспериментом и позволяет предсказать множество интересных явлений в плазме. Поэтому точное почти тривиальное решение полной цепочки Боголюбова, рассматриваемое в диссертации, необходимо практически (для построения прямого метода возмущений) и в то же время важно принципиально (для строгого обоснования применимости уравнения Власова).

В оригинальной цепочке Боголюбова для системы точечных зарядов учитываются только кулоновские взаимодействия между ними. Однако, уже проблема термоядерного синтеза требует перехода к

жь высоким температурам, при которых по крайней мере элск-оны плазмы становятся релятивистскими. При увеличении скород частиц вследствие нагревания системы, все более существенным нювится полное электромагнитное поле, создаваемое ими. Кроме го, конечная скорость его распространения приводит к запазды-нию взаимодействий, что вынуждает вводить для каждой частицы зе собственное время.

Традиционный путь рассмотрения кинетики релятивистских си-ím основан на введении "многовременных" функций распределе-я, через которые выражаются источники в уравнениях поля, а ми эти уравнения включаются в число исходных и подлежат со-естному решению с кинетическими уравнениями. Однако, такой грсод не ведет к непосредственному релятивистскому обобщению почки Боголюбова, поскольку она содержит поле в явном виде, т.е. iee должны входить решения уравнении Максвелла, а не сами эти авнения. Кроме того, эволюция системы в целом должна опреде-гься лабораторным временем, единым для всех частиц, в связи с м возникает необходимость в "пересчете" от предшествующих со-зяний частиц к их состояниям в момент наблюдения поля. Получа-ые при этом выражения обычно содержат разложения по обратным зпеням скорости света и не пригодны для частиц, скорости которых иближаются к скорости распространения взаимодействий. В то же емя, статистическая теория имеет дело не столько с реальными, шько с возможными значениями скорости, ограничение которых желательно из вероятностных соображений. Поэтому, получение ражений для запаздывающих полей сколь угодно быстрой частицы рез характеристики ее мгновенного состояния приобретает важное шение для релятивистской кинетики. В качестве первого шага к кой теории актуальной задачей является предпринятое в диссерта-и построение механики системы релятивистских зарядов с исполь-¡анием для описания их движений единого лабораторного времени >ез ограничений величины их скорости, ведущее к непосредствен-ыу релятивистскому обобщению цепочки Боголюбова. Целью диссертации является всестороннее исследование влияния иовоздействия как на статистические характеристики системы за-женных точечных частиц, так и на их индивидуальное поведение, основе тщательного анализа свойств соответствующих сингуляр-

ных обобщенных функций, а также построение механики реляи ВИСГС1ШХ систем с использованием единого лабораторного времен и последующего обобщения на них цепочки Боголюбова. При это также ставится задача проиллюстрировать эффективность предлаг; емых общих методов на конкретных примерах.

Научная новизна. В диссертации впервые указано точное р< шение полной цепочки Боголюбова, позволяющее строго обоснован уравнение Власова. Исследован физический смысл полученного р( шения и произведена модификация цепочки на его основе, привод! щая к формальному исключению из ее уравнений членов, описывак щих взаимодействие частиц любой выделенной подгруппы между а бой. Построен оригинальный метод последовательных приближение основанный на усредненных возмущениях самосогласованных движе ний частиц, для которых получены новые кинетические уравнения, первом приближении выведено линеаризованное уравнение Ленард - Балеску. Показано, что рассмотрение некоррелированных усрс дненных возмущений, в сочетании с решениями полевых уравнени в форме Лиенара - Вихерта, не только приводит к известным р'с зультатам кинетической теории, но и позволяет получить поправки дисперсионным соотношениям в плазме, учитывающие приближенн дебаевское экранирование, что не удается сделать в рамках традивд одного самосогласованного подхода.

Выражения для запаздывающих полей точечной частицы в вид разложений по ее мгновенным ускорениям всех порядков впервы представлены в форме, справедливой при любых скоростях. Выв« дены уравнения Лагранжа для системы релятивистских заряженны частиц с использованием единого лабораторного времени. Обнар\ жена неизвестная ранее связь запаздывающего и опережающего поле двух взаимодействующих частиц. Получено оригинальное реляи вистское обобщение цепочки Боголюбова в теории прямо в за и моде! ствующкх частиц.

Проанализированы заново математические свойства известной за паздывающей функции Грина классического волнового уравнени как обобщенной функции и показано, что поле заряда в точке ег локализации определяется полуразностью запаздывающего и опере жающего потенциалов, а не чисто запаздывающими выражениям! как во всех остальных точках окружающего пространства. Такш

5разом удалось разрешить одно из принципиальных противоречий гассической электродинамики, поскольку сила самовоздействия то-зчной частицы оказывается конечной, а перенормировка массы -энужной. Хотя полевая собственная энергия заряда обращается при гом в нуль, можно выделить конечный вклад поля в энергию и им-улъс частицы, зависящий как от ее скорости, так и от ускорений, дя математического обоснования операций с обобщенными фун-здями потребовалось формальное расширение радиальной сфери-еской координаты в область отрицательных значений, которое ока-гаается весьма продуктивным и прежде не рассматривалось.

Наконец, впервые проведено вполне строгое рассмотрение крутого движения двух противоположных точечных зарядов под дей-гвием взаимного притяжения с учетом излучения и без ограничения зличины скорости, при условии стабилизации этого движения вне-:шш электромагнитным полем циркулярно поляризованной волны.

Научная и практическая значимость работы определяется тем, то в диссертации удалось устранить одно из "вечных" противоречий лассической физики; указать точное решение полной цепочки Бо-элюбова и строго обосновать широко применяемое уравнение Вла-эва, а также дать более четкое определение понятия "бесстолкйо-ительной" плазмы; с помощью учета самокорреляций исключить из равнений цепочки Боголюбова члены, описывающие взаимодействие астиц выделенной подгруппы между собой, и тем открыть путь для овых обобщений; построить метод последовательных приближений, озволяющий сочетать преимущества динамического и статистиче-кого описаний.

Выведенпое линеаризованное уравнение Ленарда - Балеску, бу-учи значительно проще оригинального (нелинейного) уравнения, ожет быть использовано при решении широкого круга задач финки плазмы. Построенная в диссертации лагранжева механика си-тем релятивистских заряженных частиц с прямым взаимодействием :ежду ними и обобщение цепочки Боголюбова на такие системы редставляют собой замкнутый аппарат, позволяющий рассматри-ать многочисленные проблемы релятивистской кинетической теории. Гаконец, результаты проведенного в диссертации рассмотрения не-оторых примеров движения излучающих электромагнитные волны :астиц могут найти применение в различных физических ситуациях,

в том числе - при решении задач, связанных с удержанием высокотемпературной плазмы.

Результаты работы использовались при чтении курса "Дополнительные главы классической электродинамики" для магистров по направлению "физика" в Университете Аддис-Абебы (Эфиопия, 199091) и в Восточно-средиземноморском университете (Северный Кипр, 1992), а также при выполнении научных исследований в Институте теоретической физики им. Н.Бора (Дания, 1969-70), в Имперском Колледже (Лондон, Великобритания, 1978), и на кафедре экспериментальной физики Российского университета дружбы народов (Москва, 1969-96).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались в Институте теоретической физики им. Нильса Бора и в исследовательском центре для ученых северных стран "Нор-дита" (Копенгаген, Дания, 1969-70) в период научной стажировки; на семинарах физических кафедр Университета Ифе (Нигерия, 1971-74 и 1979-81), Университета Аддис-Абебы (Эфиопия, 1989-91), Восточно-средиземноморского университета (Северный Кипр, 1992) во время преподавательской работы в этих вузах; на семинаре по физике плазмы в Имперском научно-техническом колледже Лондонского университета (Англия, 1978); на кафедрах физики высоких энергий и теоретической физики физического факультета МГУ во время научных стажировок (1977, 1984); на семинарах по теоретической физике в Российском университете дружбы народов (Москва, 1975-88, 1993-95).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы (без соавторов) в статьях в российской и европейской научной периодике, указанных в конце автореферата. Их общий объем превышает 100 журнальных страниц.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 194 наименования. Общий объем диссертации составляет 191 страницу в наборе ТЕХ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении формулируются проблемы, рассматриваемые в работе, определяются цели исследования, обосновывается выбор темы и ее актуальность. Дается краткий обзор состояния проблемы и отмечается своеобразие предлагаемых подходов. Описана общая структура диссертации, которая состоит из двух частей, посвященных сингулярным распределениям в статистической физике и классической электродинамике, соответственно.

В первой главе рассматривается модификация цепочки Боголюбова для системы N классических точечных частиц с произвольным парным потенциалом взаимодействия за счет своеобразной статистической "перенормировки" s-частичных функций распределения путем выделения в них, при s > 1, сингулярных (¿-образных) слагаемых, описывающих самокорреляцию частиц.

В первом параграфе рассмотрена связь перенормированных корреляционных функций д( 1,2), h( 1,2,3) и т.д. с обычными корреляционными функциями д( 1, 2), /i(l,2, 3) и т.д., имеющая вид:

Л(1,2,3) = Л(1, 2,3) -[6(1,2)д(2,3) + ¿(1,3)д(1, 2)+ + 5(2,3)0(1,3)]/»+ 2Ä(1, 2)5(2,3)/(1)/п2, и т.д.

где состояния частиц обозначены цифрами, /(1) - одночастичная функция распределения, и п = N/V - число частиц в единице объема V. В целях последующего получения цепочки методом Климонтовича показано, что сингулярные распределения можно использовать и при записи уравнений движения частиц.

Далее дается вывод уравнений модифицированной цепочки. При этом, первое уравнение для /(1) сохраняет свою форму и при использовании перенормированной корреляционной функции д(1,2) за счет симметрии ¿-функции, тогда как остальные уравнения имеют вид:

{I+¿>£+¿*"<р<> • ■-»/£ w-..

где

ö,j — 0j{ —

m

d<p{i,j) d d<p(i,j) _d_ dri ' dVi drj ' dVj '

Модифицированная цепочка для отличается от обычной цепочки Боголюбова для fs,

«3

N-8 V

¡=1

отсутствием в левых частях первой членов в операторами в^, описывающих взаимодействие частиц выделенной подгруппы между собой.

В следующем параграфе рассматривается частное решение цепочки. Поскольку соответствующие уравнения для перенормированных корреляционных функций оказываются однородными, в них можно положить </(1,2) — /г( 1,2,3) = ... = 0, получив, таким образом, строгое ("почти тривиальное") решение полной цепочки Боголюбова, при условии, что /(1) удовлетворяет уравнению Власова.

В противоположность этому, уравнения для д( 1,2), Л(1, 2,3) и т.д. обычной цепочки Боголюбова являются неоднородными (из-за аддитивных членов, определяемых производными по скоростям от произведений одночасгичных функций распределения), вследствие чего они не допускают тривиального решения. Таким образом, произвольное решение уравнения Власова "генерирует" систему N сингулярных распределений, удовлетворяющих всей цепочке, поскольку указан алгоритм, позволяющий выразить любую «-частичную функцию распределения через одночастичную и произведения ¿-функций.

Ввиду того, что потенциал взаимодействия <р(г,]), как правило, обращается в бесконечность при совпадении индексов г и ] (например, кулоновское поле <р({,]) = {е2/|г,- — Г;|} —► оо при Г,- —♦ Г^-), оператор, действующий на в уравнениях обычной цепочки Боголюбова (при в > 1), строго говоря, имеет смысл только для функций, производные которых обращаются в нуль при совпадающих значениях их аргументов. Однако, подобное ограничение области определения, вообще говоря, влияет на сомосопряженность оператора, вследствие чего может возникнуть необходимость поиска его самосопряженных расширений. Предложенная "статистическая перенормировка" функций распределения, т.е. переход от к /л, снимает

этот вопрос, устраняя сингулярности вместе с из уравнений цепочки (0г>+1 в правых частях регулярны ввиду ограничения г < .<>), правда, ценой включения в область определения соответствующих операторов сингулярных обобщенных функций. Введение таких син-гулярностей не приводит к каким-либо трудностям, так как наблюдаемые величины выражаются через функции распределения в форме функционалов.

Третий параграф посвящен обсуждению физического смысла полученного решения и предложенной перенормировки. Обращаясь к частному случаю распределения Гиббса для системы в термостате, и используя прием Боголюбова, позволяющий вычислять корреляционные функции в стационарном состоянии с помощью последовательного функционального дифференцирования свободной энергии системы по потенциалу внешнего поля, можно показать, что перенормированные «-частичные корреляционные функции пропорциональны ¿»-той степени температуры системы. Это позволяет сделать вывод, что указанное выше тривиальное решение для этих функций описывает состояние, в котором корреляции имеют тот же вид, что и в равновесной системе в пределе нулевой температуры (причем при охлаждении системы ее высшие сингулярные корреляционные функции "вымерзают" первыми). При этом сама рассматриваемая система может быть неравновесной, лишь бы ее одночастичная функция распределения (зависящая, вообще говоря, от времени) удовлетворяла уравнению Власова. Тот факт, что корреляции в системе соответствуют при этом пределу "нулевой температуры", позволяет объяснить и обратимый характер этого уравнения, поскольку в соответствии с термодинамическим принципом Нернста любые процессы в системе при стремлении ее температуры к абсолютному нулю должны происходить без изменения энтропии.

Проведенный анализ позволяет дать новое истолкование уравнению Власова, которое обычно считается "бесстолкновителышм" уравнением Вольцмана, соответствующим полному отсутствию корреляций. В действительности, удовлетворяющая ему /(1) описывает, в общем случае, неравновесную статистическую систему (скажем, полностью ионизированную плазму), в которой обычные корреляционные функции <7(1,2), /1(1,2,3) и т.д., в противоположность распространенному заблуждению, не только не обращаются в нуль (тогда бы они просто не удовлетворяли цепочке Боголюбова, не имеющей тривиального решения), но сводятся к произведениям ¿-функций (т.е.

являются сингулярными распределениями), как в равновесной системе при стремлении ее температуры к нулю. Это позволяет, в частности, придать более строгий смысл понятию "бесстолкновитель-ная плазма", которое продуктивно используется в физических исследованиях. Соответственно, лри получении кинетических уравнений из цепочки Боголюбова можно считать, что высшие корреляционные функции не только быстрее, чем /(1), эволюционируют к своим равновесным значениям ("иерархия времен" Н.Н.Боголюбова), но и быстрее "вымерзают" к ¿-образной форме при охлаждении системы. Таким образом, уравнение Власова должно адекватно описывать поведение системы после того, как ее корреляционные функции уже успели достигнуть своих равновесных значений, и притом соответствующих пределу нулевой температуры.

Поскольку в левых частях уравнений для fs, в отличие от уравнений для fs, отсутствуют члены с 6ij (правые же части обеих цепочек при N 1 практически одинаковы), напрашивается вывод, что одно лишь включение в /5 сингулярных ¿-образных слагаемых эффективно эквивалентно полному статистическому учету взаимодействия частиц внутри рассматриваемой подгруппы, независимо от конкретного вида потенциала. Как это ни парадоксально, поведение js вообще не зависит от характера взаимодействия частиц в подгруппе (вплоть до полного его отсутствия!), так что временная эволюция этих функций распределения целиком определяется лишь взаимодействием рассматриваемой подгруппы с остальными N — s частицами системы, которое описывается "интегралами столкновений" в правых частях уравнений. Образно говоря, каждое из уравнений для fs описывает "броуновское движение" s квази-независимых частиц в "термостате", роль которого играет остальная часть системы.

Четвертый параграф иллюстрирует преимущества модифицированной цепочки при получении известных результатов кинетической теории. В отличие от обычной, ее вполне корректно можно оборвать в предположении, что все высшие сингулярные (но не обычные!) корреляционные функции обращаются в нуль, т.е. соответствуют равновесному состоянию в пределе нулевой температуры (это можно назвать "гипотезой вымерзания"). При этом все уравнения модифицированной цепочки, начиная с третьего, удовлетворяются тождественно, а два оставшихся, для /(1) и д( 1,2), образуют замкнутую систему. Именно она используется, в частности, при выводе так называемых "уравнений квазилинейного приближения" (кинетического

сравнения для плазменных волн), но традиционный способ получения )той системы связан с пренебрежением некоторыми членами, которое обосновывается малостью соответствующих параметров, в чем теперь ает никакой нужды.

Учитывая в полученном интегро-дифференциальном (однородном) уравнении для д(1,2) "иерархию времен" и решая его с помощью преобразования Фурье при асимптотическом условии ослабления корреляций Боголюбова, которое для перенормированной парной корреляционной функции имеет вид:

lim g[r-(V! -v2){t-t0),vuv2-,t] =

10—> —oo

= /(Vi) ¿(Vi - V2) S[r - («1 - v2)(t - i})j/7i,

можно получить стандартное выражение Ленарда - Балеску для интеграла столкновений, наиболее последовательно учитывающее, в частности, динамическое экранирование кулоновского взаимодействия в плазме. В то же время, условие g(\,2,t —> — оо) = 0 приводит к тривиальному решению, т.е. к уравнению Власова для /(1). Таким образом, одна и та же система уравнений, только в зависимости от "начальных" условий, налагаемых на ее решения, позволяет описывать различные физические ситуации (слабую турбулентпость, экранирование столкновений по Боголюбову - Ленарду - Балеску, плазму с самосогласованным взаимодействием), тогда как при традиционном подходе для этого каждый раз приходится "хирургическим" путем изменять сами уравнения.

Вторая глава посвящена построению оригинального метода последовательных приближений в теории кинетических уравнений, основанного на представлении о возмущениях самосогласованных движений частиц системы. При этом в качестве нулевого приближения берется найденное в первой главе строгое решение цепочки Боголюбова, описывающее невозмущенную самосогласованную систему (с ¿-образными корреляциями).

В первом параграфе второй главы рассматриваются общие предпосылки и выводятся основные уравнения предлагаемого метода. Для этого векторы, характеризующие состояние каждой частицы в ее (шестимерном) фазовом пространстве, представляются в виде суммы двух частей, описывающих ее движение в самосогласованном поле и отклонение от этого движения, соответственно. Аналогично и уравнения движения частицы подразделяются на две системы, опреде-

ляющие зависимость от времени каждой из этих частей в отдельности, причем разбиение специально производится таким образом, что возмущения не входят в уравнения самосогласованных движений. В предположении относительной малости отклонений от невозмущенного движения, правые части описывающих их поведение уравнений представляются в виде степенных рядов. Соответствующее разбиение с последующим разложением в степенные ряды производится и в определениях я-частичных функций распределения как усредненных микроскопических плотностей. В итоге для каждой из них получается выражение в виде суммы членов, представляющих собой "дивергенции" (в фазовом пространстве) от некоторых тензоров все более высокого ранга, имеющих смысл возрастающих степеней возмущений положения и скорости частиц, усредненных по невозмущенным движениям. Уравнения для них получаются с помощью аналогичного усреднения уравнений, определяющих эволюцию этих возмущений во времени и получаемых из уравнений движения.

Ввиду допущения о самосогласованном характере невозмущенных движений можно считать, что перенормированные корреляционные функции нулевого приближения обращаются в нуль (образуя "почти тривиальное" решение полной цепочки Боголюбова), в результате чего невозмущенные (перенормированные!) в-частичные функции распределения факторизуются;

_ £

¿=1

где черта над символом относится к невозмущенному состоянию, и /(1) представляет исходное решение уравнения Власова. Таким образом, уравнения для усредненных возмущений становятся замкнутыми и позволяют, в принципе, вычислять поправки к /(1), а также значения корреляционных функций д(1,2), /г( 1,2,3) и т.д. (которые по логике теории возмущений считаются малыми). В заключение отмечается, что полученное представление для /(1) в виде ряда по степеням возмущений в некотором смысле аналогично известному разложению Грэда по моментам различного порядка невозмущенной функции распределения, распространенного из конфигурационного пространства гидродинамики на фазовое пространство системы.

Во втором параграфе более подробно рассмотрено линейное приближение теории возмущений. При этом ряд для одночастичной функции распределения обрывается, и она выражается всего через два

вектора (£) и (т/) средних возмущений координат и скорости соответственно (тензоры ранга выше первого имеют более высокий порядок малости) в виде:

Г = 7-д(7(£))/дг-д(7(г1))/ду.

Аналогичный вид имеет и выражение для перенормированной двухчастичной функции распределения.

Продолжая этот процесс, а также рассматривая соответствующие уравнения для средних возмущений, можно получить всю цепочку Боголюбова в линейном приближении. При этом все корреляционные функции имеют один и тот же порядок малости, и некоррелированные функции распределения невозмущенного состояния "коррелируют" посредством возмущений. В диссертации учитываются только парные корреляции, как это обычно делается в физике плазмы (для конденсированных состояний рассматриваемый метод "малых корреляций", по-видимому, неприменим).

Анализ выражений, полученных во втором параграфе, приводит к их следующей физической интерпретации. Невозмущенные движения происходят в самосогласованном поле без "столкновений". Частицы, движущиеся по возмущенным траекториям, испытывают "столкновения", но только с невозмущенными движениями, тогда как столкновения возмущенных частиц с возмущенными же должны рассматриваться уже во втором порядке, поскольку они квадратичны по возмущениям. Далее, в трехчастичную функцию распределения дают вклад "столкновения" возмущенной частицы сразу с двумя невозмущенными, и т.д.

В третьем параграфе полученная цепочка линейного приближения обрывается за счет пренебрежения всеми корреляциями, кроме парных. Здесь также совершается переход от уравнений для усредненных возмущений (£} и (Т]) к обычному уравнению для одноча-стичной функции распределения и уравнению для (перснормирован-ной) парной корреляционной функции. Решение полученной системы методом преобразования Фурье (при условии ослабления корреляций в отдаленном прошлом) приводит к линеаризованному уравнению Ленарда - Балеску, которое значительно проще оригинального (нелинейного) уравнения и позволяет вычислять в конечной форме макроскопические параметры системы. Особенно важно, что при выводе этого уравнения уже нет необходимости привлекать "иерархию

времен", чтобы пренебречь в уравнении для ¿(1,2) скоростью изменения /(1) по сравнению со скоростью изменения искомой парной корреляционной функции. Интеграл столкновений вычисляется теперь с помощью нсвозмущенной функции /(1), зависимость которой от времени определяется исходным решением' уравнения Власова и ничем, кроме этого, не ограничена. В частности, если /(1) соответствует неустойчивому состоянию плазмы, полученное линеаризованное уравнение может дать адекватное описание так называемой "слабой турбулентности".

Приведенные во втором параграфе соотношения показывают, что первичными в предлагаемой теории возмущений являются не функции распределения, а "векторы усредненных возмущений" (играющие роль "производящих функций"), через дивергенции которых выражаются соответствующие функции распределения. Поэтому в четвертом параграфе дан вывод кинетических уравнений для этих средних возмущений в линейном приближении и при учете лишь парных корреляций. Несмотря на их несколько громоздкий вид, эти уравнения открывают дополнительные возможности для аппроксимаций, исходя из физических соображений о динамике индивидуальных частиц.

В третьей главе диссертации идеи и методы первых двух глав получают дальнейшее развитие в применении к физике плазмы. Принципиальное отличие предлагаемого подхода от традиционного состоит в том, что в число основных уравнений, описывающих поведение рассматриваемой системы, не включаются уравнения поля с источниками, выраженными через функцию распределения. Вместо этого, в соответствии с логикой цепочки Боголюбова, электромагнитное поле частиц входит в уравнения в явном виде и задается решениями уравнений Максвелла в форме Лиенара - Вихерта. Кроме того, в отличие от первых двух глав, здесь учитывается (пока в линейном приближении) запаздывающий характер взаимодействия, которое теперь уже не сводится к чисто кулоновскому и включает действие магнитного поля.

Метод возмущений, развитый во второй главе, использовался там, главным образом, при рассмотрении малых отклонений корреляционных функций от ¿-образной формы (характерной для самосогласованных систем) с целью учета влияния "столкновений" на одноча-стичную функцию распределения. Однако, ничто не препятствует тому, чтобы считать и возмущения также ¿-коррелированными, что

физически эквивалентно применению метода последовательных приближений непосредственно к уравнению Власова, как это обычно делается при рассмотрении колебаний и волн в плазме. В то же время, использование более "первичных" усредненных возмущений, а не возмущений функции распределения, как при традиционном подходе, позволяет глубже проникнуть в физику явлений, происходящих в системе. Некоторые преимущества предлагаемого метода и призвана проиллюстрировать третья глава.

Хотя уравнения, полученные в четвертом параграфе предыдущей главы, применимы и для описания некоррелированных возмущений, если входящие в эти уравнения "интегралы столкновений" положить равными нулю, их нельзя использовать непосредственно для решения поставленной задачи, так как в них учтены лишь кулоновские взаимодействия частиц. Поэтому, в первом параграфе третьей главы дается вывод основных уравнений линейного приближения, включающих полное электромагнитное поле каждой частицы.

В следующем параграфе полученные уравнения применяются к простейшему случаю "электростатических" колебаний равновесной плазмы в отсутствие внешних полей. Это сделано не только для того, чтобы убедиться в совпадении дисперсионного уравнения, полученного таким способом, с известным результатом традиционного рассмотрения. Здесь также показано, как предлагаемый подход позволяет упрощенно учесть, например, дебаевское экранирование, что приводит к следующей поправке в выражении, связывающем частоту ш с волновым числом к:

и2=а,2[1+3*2А20(1 -З/Штг)],

где а>р - плазменная частота, Ад - дебаевская длина, и д - плазменный параметр.

Третий параграф посвящен более строгому рассмотрению волн малой амплитуды в плазме. Его результаты полностью согласуются с получаемыми обычным путем, однако и здесь открываются дополнительные возможности для учета влияния динамических особенностей движения частиц на статистические свойства системы. В частности, учет дебаевского экранирования возможен и в этом, более общем случае.

В четвертом параграфе выведенные уравнения обобщаются на случай волн в замагниченной плазме при некоторых упрощающих

предположениях относительно невозмущенной функции распределения. В свете того, что вместо возмущений функции распределения (имеющей смысл плотности в фазовом пространстве) теперь рассматриваются, хотя и усредненные, но возмущения движений частиц, следующая из дисперсионного уравнения возможность распространения в плазме циркулярно поляризованных волн как с правым, так и с левым направлением вращения, представляется парадоксальной. По-видимому, это объясняется коллективными эффектами, так как вращение электронов во внешнем магнитном поле имеет одно определенное направление, определяемое знаком заряда.

В последнем параграфе главы показано, как можно более строго учесть распределение по скоростям в условиях равновесной и однородной плазмы в сильном и однородном внешнем магнитном поле.

Четвертая глава открывает вторую часть работы, посвященную анализу электромагнитного взаимодействия (и самовоздействия) релятивистских точечных частиц, который, так же как и в первой части, основан на последовательном учете математических свойств сингулярных распределений.

В пе.рвом параграфе получены выражения запаздывающих потенциалов электромагнитного поля точечного заряда в виде сходящихся рядов, содержащих производные по времени всех порядков от скорости частицы, взятые в момент наблюдения, а не в момент испускания поля. Результаты получены с помощью использования строго обоснованного математически разложения Лагранжа для запаздывающих функций как в случае потенциалов, так и напряженностей полей. В следующем параграфе косвенным путем суммируются разложения по степеням отношения и/с (и - скорость частицы, с - света), в результате чего уцается получить выражения, справедливые для сколь угодно быстро движущейся частицы.

В третьем параграфе дан альтернативный вывод полученных выражений с помощью разложения в степенные ряды ¿-функции, описывающей запаздывание, а также обсуждаются достоинства и недостатки этого метода по сравнению с разложением Лагранжа. Рассмотренный здесь способ оказывается особенно удобным при вычислении силы самовоздействия в следующем параграфе.

Четвертый параграф посвящен рассмотрению поля, создаваемого точечной частицей в месте ее нахождения. На основании анализа уравнения для функции Грина электромагнитного поля, которая сама является сингулярным распределением, показано, что принцип при-

чинности должен нарушаться "внутри" точечной частицы, так что соответствующее ("ненаблюдаемое") поле определяется полуразностью запаздывающего и опережающего потенциалов. При этом поле вне частицы по-прежнему остается чисто запаздывающим, и при его наблюдении не возникает никаких парадоксов. Таким образом, поле "внутри" источника определяется только излучением, а расходящиеся члены в самовоздействии частицы взаимно уничтожаются, вследствие чего отпадает необходимость "перенормировки массы" в классической электродинамике. Полученный математически, этот вывод основан на том, что удается физически непротиворечиво доопределить некоторые произведения обобщенных функций, играющие важную роль в рассматриваемой теории. Дополнительные вопросы, связанные с оправданием проводимых в этой главе вычислений, рассмотрены в приложении. В частности, указано на принципиальную необходимость расширения радиальной сферической координаты в область отрицательных значений, чтобы соответствующая ¿-функция корректно описывала точечный заряд в начале координат, а также рассмотрены аналитические следствия такого расширения.

В следующей, пятой главе полученные ранее "мгновенные" разложения запаздывающих полей используются при рассмотрении системы релятивистских заряженных частиц, в частности - для построения лагранжева формализма с высшими производными, используя единое лабораторное время и не вводя собственное время для каждой частицы. Предлагаемое описание имеет ряд преимуществ в релятивистской кинетической теории. Особенно существенным является при этом достигнутое в четвертой главе снятие ограничений на величину скорости частиц, так как несмотря на то, что с наличием ультрарелятивистских частиц в реальных системах на практике обычно можно не считаться, ограничивать возможные скорости в статистической теории недопустимо (иными словами, в ней не должны использоваться разложения по степеням отношения и/с).

Поскольку электромагнитное поле, создаваемое частицами, выражается теперь через производные по времени всех порядков от их скоростей, последние должны быть включены в число переменных, характеризующих состояние системы заряженных частиц (вместе с создаваемыми ими полями, которые уже не рассматриваются как независимые переменные) в произвольный момент времени. Поэтому, первый параграф посвящен выводу уравнений Лагранжа из принципа наименьшего действия для таких систем, которые имеют вид:

^(~1/с)кс1к(дЬ/дга)сИк =0, а — 1,2, ...,7\Г,

к=О

где Та — йкГа/(Ьк обозначают производные к-то порядка от радиус-вектора, описывающего движение частицы с номером "а".

Во втором параграфе полученные уравнения применяются к простейшей системе, состоящей из двух частиц (без учета самовоздействия). При этом выявляется неизвестная ранее связь между их запаздывающими и опережающими полями, которую удастся обнаружить с помощью сравнения одновременных разложений для этих полей. Кроме того оказывается, что несмотря на включение в функцию Лагранжа только запаздывающих потенциалов, сила Лоренца в уравнениях движения формально получается равной полусумме запаздывающего и опережающего выражений, т.е. поле излучения фактически "выпадает" из уравнений движения, что объясняется неполным учетом излучения в функции Лагранжа Ь.

Последний параграф посвящен использованию разложений, полученных в предыдущей главе для полей взаимодействия, при непосредственном релятивистском обобщении цепочки Боголюбова.

В шестой главе рассмотрены примеры движения точечных частиц, излучающих электромагнитные волн. Результаты этого рассмотрения, с одной стороны, имеют общетеоретическое значение, а с другой - позволяют сделать некоторые конкретные заключения, полезные для физики плазмы. Его включение в диссертацию оправдано стремлением проиллюстрировать пользу концепций и методов, обсуждаемых в предшествующих главах.

В первом параграфе рассмотрено движение электрона в магнитном поле и релятивистское круговое движение двух противоположных точечных зарядов под действием их взаимного притяжения. Предполагается, что стационарность этого классического движения обеспечивается циркулярнополяризованной стоячей электромагнитной волной, работа вращающегося электрического поля которой компенсирует радиационные потери. При этом удается строго показать (с помощью того же разложения Лагранжа), что интерференционные члены в излучении системы в точности равны работе, которую заряда производят друг над другом посредством тангенциальной компоненты поля Лиенара - Вихерта. Таким образом, выявлен динамический фактор, ответственный за интерференцию излучения взаимо-

действующих частиц в той же мере, как радиационное торможение ответственно за излучение индивидуального заряда. Кроме того, отмечено относительное снижение роли интерференции в случае ультрарелятивистских частиц, которое связано с уменьшением перекрытия их полей, вызываемым концентрацией их излучения в узком конусе в направлении скорости.

Второй параграф посвящен рассмотрению излучения электронов при их возвратно-поступательном движении в самосогласованном поле, существующем у поверхности плазмы. Найдена полная мощность излучения в стационарных условиях, а также вычислен уносимый этим излучением импульс, который оказывает на систему сжимающее воздействие. Приближенно найден и спектр поверхностного излучения, позволяющий, в принципе, отличить его от других видов излучения плазмы.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации:

1. Путем перехода к сингулярным .«-частичным функциям распределения модифицирована цепочка уравнений Боголюбова для этих функций, описывающая статистическое поведение системы N нерелятивистских частиц с произвольным парным потенциалом взаимодействия между ними. Установлено, что такая трансформация устраняет из уравнений цепочки члены, описывающие взаимодействие частиц произвольной подгруппы между собой. Выделение в корреляционных функциях ¿-образных слагаемых полностью учитывает взаимодействие внутри подгруппы. Ее взаимодействие с остальной частью системы подобно взаимодействию с "термостатом".

Выявлено преимущество модифицированной цепочки. Оно состоит в возможности произвести ее непротиворечивый обрыв и получить все известные результаты кинетической теории только за счет изменения дополнительных условий, налагаемых на искомую корреляционную функцию. При этгш_,в отличие от традиционных методов разложения по малому параметру, функциональная форма основных уравнений сохраняется неизменной.

2. Переход к сингулярным: распределениям позволил также указать строгое (частное) решение полной цепочки Боголюбова и дать алгоритм его построения, исходя из произвольного решения уравнения Власова с самосогласованным взаимодействием. Полученная таким образом система функций позволила придать более строгий смысл понятию "бессголкновительная плазма". Выяснен физический

смысл найденного решения, которое соответствует таким же корреляциям в неравновесной системе, какие имеют место в равновесной системе в пределе, когда ее температура стремится к нулю.

3. Найденное строгое решение полной цепочки Боголюбова использовано в качестве исходного для построения своеобразного метода последовательных приближений, основанного на усредненных возмущениях самосогласованных движений частиц системы, а не ее функции распределения, как в обычных теориях такого рода. В линейном приближении метода получен аналог уравнения Ленарда -Балеску, а также оригинальные "кинетические уравнения" для усредненных возмущений положения и скорости частиц с учетом парных корреляций, из которых линеаризованное уравнение для функции распределения может быть получено с помощью дифференцирования.

4. При полном пренебрежении корреляциями, уравнения линейного приближения развитого метода обобщаются на системы зарядов с электромагнитным (а не только кулоновским) взаимодействием. При этом, в отличие от существующих подходов, вместо уравнений электромагнитного поля, в которых плотность источников определяется функцией распределения частиц, используется решение этих уравнений в форме Лиенара - Вихерта. Показано, что на этом пути могут быть получены практически все результаты, которые обычно получаются с помощью линеаризованного уравнения Власова. Кроме того, метод открывает дополнительные возможности для приближенного учета особенностей индивидуального поведения и динамики отдельных частиц при статистическом описании образуемой ими системы, в частности - дебаевского экранирования и реакции излучения. Получены соответствующие поправки первого порядка но плазменному параметру к дисперсионным уравнениям, определяющим распространение волн в плазме.

5. Получены строгие выражения для запаздывающего электромагнитного поля релятивистской точечной частицы в виде сходящихся рядов, содержащих производные по времени ее скорости (всех порядков), взятые не в момент излучения, а в момент наблюдения поля. При этом впервые удалось получить выражения, не содержащие разложений по степеням отношения скорости частицы к скорости света, и потому справедливые для частицы сколь угодно высокой энергии.

6. Полученные разложения полей позволяют описывать систему релятивистских заряженных частиц с использованием единого для всех них лабораторного времени, не вводя собственное время для каждой частицы. В диссертации дан вывод уравнений движения такой системы в форме Лагранжа, которые применяются для детального рассмотрения системы двух частиц с электромагнитным взаимодействием. Установлена связь между запаздывающим и опережающим полями двух взаимодействующих частиц, не известная прежде и заменяющая равенство действия и противодействия ньютоновой (нерелятивистской) динамики. Показано, что включение в функцию Лагранжа только запаздывающих потенциалов не достаточно для соблюдения причинности в уравнениях движения, что связывается с неполным учетом излучения электромагнитных волн. Произведено непосредственное обобщение цепочки Боголюбова на случай системы релятивистских частиц, осцопанное на мгновенных разложениях запаздывающих полей и соответствующее представлению о прямо взаимодействующих частицах.

7. С помощью тщательного анализа поведения и свойств функции Грина классического волнового уравнения как обобщенной функции, выявлено своеобразие электромагнитного поля, создаваемого точечной частицей в месте ее нахождения. В то время как вне частицы поле является чисто запаздывающим (в соответствии с принципом причинности), в точке ее локализации оно определяется полуразностью запаздывающего и опережающего выражений, что устраняет (но Дираку) расходимости в силе самовоздействия и делает излишней перенормировку массы в классической электродинамике. Попутно получены некоторые вспомогательные новые математические результаты, связанные с расширением области определения радиальной сферической координаты на отрицательные значения, которое приводит к дельта-функции, зависящей от (обобщенной) ступенчатой функции и обладающей, в силу этого, рядом интересных аналитических особенностей.

8. Проведено подробное рассмотрение конкретных примеров движения точечных зарядов с учетом их излучения, по круговым траекториям и в самосогласованном поле у поверхности плазменного сгустка. В случае системы двух противоположных релятивистских зарядов, совершающих круговое движение под действием их взаимного притяжения, строго показано, что работа, производимая циркулирующими частицами друг над другом посредством тангенциальной компонента

поля Лиенара - Вихерта, в точности равна интерференционным членам в энергии излучения системы. Обнаружено относительное уменьшение роли интерференции для ультрарелятивистских частиц, которое обусловлено сужением области перекрытия создаваемых ими полей с ростом скорости, вызываемым концентрацией излучения в направлении движения и взаимно противоположным направлением скоростей частиц при их вращении. При вычислении реакции излучения, испускаемого поверхностным слоем плазмы, впервые отмечена ее положительная роль, поскольку она должна оказывать на систему всестороннее сжимающее воздействие, частично компенсируя кинетическое давление ионизованного газа и тем способствуя его удержанию.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Gordeyev A.N. Plasma surface radiation. // Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 1971. V 38, No 5, P. 3-17.

2. Gordeyev A.N. A simultaneous expansion for the electromagnetic field of a relativistic. charged particle. //J. Phys. A: Math. Gen. 1975. V 8, No 7, P. 1048-1059.

3. Гордеев A.H. Описание электромагнитного взаимодействия релятивистских частиц с помощью единого лабораторного времени. // ТМФ. 1978. Т 36, No 1, С. 53-63.

4. Gordeyev A.N. Motions of particles in an oscillating plasma. // Pliysica. 1981. V 109A, P. 465-482.

5. Гордеев A.H. Метод возмущений в теории кинетических уравнений. // ТМФ. 1985. Т 63, No 1, С. 113-131.

. 6. Гордеев А.Н. Самовоздействие точечного заряда в классической электродинамике. // ТМФ. 1995. Т 105, No 2, С. 256-269.

7. Гордеев А.Н. Новый подход к уравнению Власова. // Вестник РУДН, сер. Физика. 1995. No 3, вып.1, С. 96-106.