Полуограниченность трехчастичного гамильтониана с квазилокальным сингулярным взаимодействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТРЕХЧАСТИЧНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА

С КВАЗИЛОКАЛЬНЫМ СИНГУЛЯРНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре математической физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Борис Сергеевич ПАВЛОВ. СОРУКОВОДИТЕЛЬ:

кандидат физико-математических наук, доцент Константин Анатольевич МАКАРОВ. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук Ю.Н. ДЕМКОВ, кандидат физико-математических наук И.Ю. ПОПОВ ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Объединенный Институт Ядерных Исследований, ЛТФ, г. Дубна ^о

Защита состоится . года в (5... часов

на заседании диссертационного совета К.063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан .^, 199. года. Ученый секретарь диссертационного совета

С.Н.Манида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Сингулярные (точечные) взаимодействия являются одной из старейших моделей квантовой механики и ядерной физики. Под точечными взаимодействиями в системе двух частиц обычно понимают взаимодействия, нетривиальные лишь при нулевом расстоянии между частицами. Условие непрерывности волновой функции в нуле эффективно сводит потенциал нулевого радиуса к граничному условию вида (в системе единиц с % = 1 и приведенной массой /х =

1п [гФ]

аг

(1)

г=0

ставящимся на расстоянии г между частицами, равном нулю.

Классический пример таких взаимодействий — потенциалы нулевого радиуса в ядерной физике [1], [2], которые прочно заняли свою "экологическую нишу" после работы Х.Бете и Р.Пайерлса [3], посвященной теории дейтрона. Множество различных приложений точечных взаимодействий к задачам ядерной физики содержится в монографии Ю.Н. Демкова и В.Н. Островского [4]. В моделях с ¿-потенциальными взаимодействиями отчетливо наблюдаются специфически квантовые особенности динамики и поэтому это удобный полигон для исследования различных эффектов, имеющих универсальный характер, не зависящий от конкретных деталей взаимодействия.

Однако, будучи действительно простой и явно решае-

мой в задаче двух частиц, при переходе к задаче трех тел модель потенциалов нулевого радиуса приводит к дополнительным математическим проблемам [8] (см. также [6]), отсутствующим в случае парных взаимодействий, описываемых регулярными потенциалами. Эти проблемы связаны с тем, что носителями точечных взаимодействий в парных подсистемах а, а = 1,2,3, являются трехмерные гиперплоскости Л4а, коразмерность которых по отношению к конфигурационному пространству И6 слишком велика. Особую роль играет здесь точка тройного столкновения частиц X = 0 являющаяся одновременно единственной точкой пересечения гиперплоскостей Ма и М.р при /3 ф а. Присутствие этой точки проявляется в том, что при естественном включении стандартных парных взаимодействий возникает модель [7], гамильтониан которой имеет ненулевые индексы дефекта [8] (например, индексы (1,1) в ¿-состоянии трех бозонов), а уравнения Скорнякова-Тер-Мартиросяна [7], являющиеся для этой модели специальным случаем уравнений Фаддеев а [9], оказываются нефредгольмовыми. В частности, как показал Г.С.Данилов [10], соответствующие однородные уравнения имеют нетривиальные решения при всех энергиях г, в том числе и комплексных. Это обстоятельство резко отличает модель потенциалов нулевого радиуса от других вариантов быстроубывающих парных взаимодействий, для широкого класса которых уравнения Фаддеева компактны [11] (при этом однородные уравнения Фаддеева имеют решения лишь при тех энергиях, для которых существуют связанные состояния системы трех

частиц). Р.А.Минлосом и Л.Д.Фаддеевым [8] было установлено, что модификация [10] модели, предложенная Даниловым для выделения единственного решения уравнений Скорнякова-Тер-Мартиросяна, является лишь одним из возможных самосопряженных расширений исходного гамильтониана задачи [7]. Выбор того или иного расширения сводится к выбору специального подпространства решений однородных уравнений Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Подсемейство расширений, фактически построенное Даниловым [10], состоит из неполу ограниченных гамильтонианов. Другими словами, в системе возможен коллапс ("падение на центр"), что делает и уточненную модель [10] неприемлемой для многих приложений.

Довольно быстро обнаружилось, что существуют полуограниченные гамильтонианы для системы трех частиц с точечными взаимодействиями более общего вида, чем (1). В [8] указано на существование полуограниченных гамильтонианов в том случае, если граничные условия по координате пары частиц содержат оператор типа свертки по относительному импульсу дополнительной частицы, но постановка таких граничных условий заведомо означает введение в задачу трехчастичных сил. Особый интерес, однако, представляют модели систем трех и более квантовых частиц с парным точечным взаимодействием, обладающие полуограниченным снизу оператором энергии.

Априори ясно, что любое расширение модели (1), оставляющее взаимодействие между частицами точечным (нетривиальным лишь в точке г = 0), должно приводить к

волновым функциям рассеяния удовлетворяющим при всех к > 0 равенству

In [гФШ]

dr

= kctgS(k),

г=О

где к - модуль относительного импульса частиц, а 6(к) -фазы рассеяния в s-состоянии системы. Хорошо известно [17], что для быстроубывающих взаимодействий функция к ctg 8 допускает при к —» 0 следующее асимптотическое разложение

Ä; ctg ОД = -~ + lr0E + Ar20E2 + ... (2)

а Z

где Е ~ к2 - энергия системы, а г0 - эффективный радиус взаимодействия. Так что граничные условия (1), отвечающие потенциалам нулевого радиуса содержат лишь старший член асимптотики (2), причем в случае (1) kctgS^k) = — i при всех к.

Впервые полуограниченный трехчастичный гамильтониан с парными точечными взаимодействиями был построен Ю.Г. Шондиным [13], рассматривавшим обобщенные 6-потенциалы, приводящие к представлению (2), содержащему при всех к > 0 наряду с —1/а лишь линейный по энергии член. В модели [13], по существу, используются расширения оператора Лапласа с выходом из пространства ^(R3) в пространство ^(R3) ® С, dimC = 1. Учет [12] следующих членов Е2, Е3, ...разложения (2) в точечном взаимодействии частиц [13] приводит к необходимости выхода из Z,2(R3) в пространства с индефинитной метрикой.

Другой подход к построению (энергозависимых) точечных взаимодействий, приводящий к случаю, когда ( — к ctg 6) оказывается ñ-функцией1 энергии z, z £ С, был предложен в работе Б.С.Павлова [14], где, в отличие от [13], используются расширения оператора Лапласа с выходом из Z/2(R3) в произвольное дополнительное гильбертово пространство (внутренних степеней свободы сталкивающихся частиц).

Используя принцип [15]-[16], Б.С.Павлов в своей статье [6] включил в гамильтониан системы трех частиц также и точечные взаимодействия с внутренней структурой [14]. Выяснилось, что для полуограниченности трехчастично-го гамильтониана необходимо выбрать параметры взаимодействий [14] так (а это возможно), чтобы матрицы рассеяния в двухчастичных подсистемах имели высокоэнергетическое поведение sa(k) —> 1, а = 1, 2, 3, характерное для

к—*+оо

рассеяния на гладких быстроубывающих потенциалах [17]. Аналогичный вывод получен также и в работе [18], использовавшей явное описание области определения гамильтонианов в двухчастичных и трехчастичной задачах.

Оказалось, однако, что точечные взаимодействия из работ [6] и [18] не вполне являются парными и содержат трех-частичные силы.

До настоящего времени не было дано описания полуограниченного гамильтониана системы трех различных частиц с сингулярным парным взаимодействием.

Описание класса таких гамильтонианов и исследование

1Функция f(z), аналитичная в верхней полуплоскости z, называется R-

функцией, если 1ш/(г) > 0 при Imz > 0.

их свойств представляет большой теоретический и прикладной интерес и содержится в представленной работе.

Цель работы.

1. Получение общей схемы построения полуограниченных гамильтонианов систем трех квантовых частиц с обобщенным точечным парным взаимодействием.

2. Построение классификации трехчастичных систем, в терминах парных Т-матриц, на основе которой может быть прослежена аналогия между коллапсом в системе трех точечных частиц и эффектом Ефимова.

3. Исследование спектральных свойств построенных гамильтонианов и постановка задачи рассеяния в ситуации, отвечающей полуограниченному гамильтониану.

Положения, выносимые на защиту.

1. получена общая схема построения по л у ограниченных гамильтонианов систем трех квантовых частиц с обобщенным точечным парным взаимодействием. Построена классификация трехчастичных систем, в терминах парных Т-матриц, на основе которой прослежена аналогия между коллапсом в системе трех точечных частиц и эффектом Ефимова.

2. проведен спектральный анализ построенных гамильтонианов в случае когда все или две из трех парных 5-матрицы имеют регулярное высокоэнергетическое поведение. Для этого случая исследована задача рассеяния. Получены интегральные уравнения, играющие роль уравнений Фаддеев а для компонент сингулярной Т-матрицы и по-

казана их однозначная разрешимость в подходящем банаховом пространстве.

3. показано, что ядра интегральных уравнений обладают стандартными асимптотическими и аналитическими свойствами, что позволило написать дифференциальные уравнения для компонент волновой функции. Для дифференциальных уравнений выписаны асимптотические граничные условия и доказана однозначная разрешимость сформулированных краевых задач при значениях энергии, не принадлежащих дискретному спектру оператора энергии.

Научная новизна работы. Следующие результаты явля-

ются новыми:

1. Найдена общая схема построения полуограниченных гамильтонианов систем трех квантовых частиц с обобщенным точечным парным взаимодействием.

Предложена классификация трехчастичных систем, в терминах парных Т-матриц, на основе которой прослежена аналогия между коллапсом в системе трех точечных частиц и эффектом Ефимова.

2. проведен спектральный анализ построенных гамильтонианов в случае когда все или две из трех парных Б-матрицы имеют регулярное высокоэнергетическое поведение. Для этого случая исследована задача рассеяния. Получены интегральные уравнения, играющие роль уравнений Фаддеева для компонент сингулярной Т-матрицы и показана их однозначная разрешимость в подходящем банаховом пространстве.

3. Показано, что ядра интегральных уравнений обладают

стандартными асимптотическими и аналитическими свойствами, что позволило написать дифференциальные уравнения для компонент волновой функции. Для дифференциальных уравнений выписаны асимптотические граничные условия и доказана однозначная разрешимость сформулированных краевых задач при значениях энергии, не принадлежащих дискретному спектру оператора энергии.

Научная и практическая ценность работы.

Нахождение полуограниченных трехчастичных операторов энергии с сингулярными парными квазилокальными взаимодействиями позволяет применять модель для широкого класса задач квантовой механики. Построение и исследование свойств таких гамильтонианов проводится в терминах самосопряженных расширений некоторого вспомогательного оператора К(г). В неполуограниченном случае, отвечающем трем парным ¿"-матрицам с аномальным высокоэнергетическим поведением вспомогательный оператор совпадает с оператором уравнения Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Это позволяет проанализировать структуру отрицательного дискретного спектра, уходящего в минус бесконечность (коллапс) и провести аналогию между эффектом Ефимова в трехчастичной системе с короткодействующими потенциалами

при наличии виртуальных уровней в парных подсистемах и эффектом падения на центр в системе трех частиц точечными взаимодействиями.

Формулировка локальных краевых условий для дифференциальных уравнений Фадцеевского типа для компонент

волновой функции позволяет провести численные расчеты в задаче рассеяния.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были доложены на семинаре кафедры квантовой механики физического факультета СПбГУ (ноябрь 1995 г.), на семинарах кафедры мат. физики физического факультета СПбГУ (ноябрь 1995 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве-

дения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Общий объем работы — 105 страниц, библиография — 45 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена истории развития модели потенциалов нулевого радиуса, обоснована актуальность работы, сформу лировзлы цели и основные результаты и их связь с ранее известными. Кратко изложена структура и содержание работы.

Первая глава состоит из трех разделов. Необходимые сведения о задаче двух точечных частиц с внутренней структурой содержатся в первом разделе. В терминах высокоэнергетической асимптотики обобщенной ¿-матрицы задачи выделяются два типа — 'R' (regular) и 'A' (anomal) — точечных взаимодействий. Асимптотика ¿-матрицы, в свою очередь, зависит от того, равен или нет нулю параметр модели //12. Во втором разделе рассматривается важный

частный случай "2 + 1" системы трех частиц с точечным взаимодействием, когда взаимодействуют частицы только одной пары. Формальное выражение, задающее трехча-стичный оператор энергии на области где это выражение имеет смысл, определяет лишь симметричный оператор -трехчастичный предгамильтониан. Описанию различных представлений трехчастичного предгамильтониана посвящен третий раздел. В системе трех частиц имеется уже три парных подсистемы, это приводит к тому что возможно уже четыре варианта систем, нумеруемых количеством пар в которых парная ¿-матрица обладает аномальным высокоэнергетическим поведением (/4^ Ф 0)-

Построение самосопряженных расширений предгамильтониана и исследование их свойств проводится в терминах вспомогательного оператора который определяется

во второй главе (третий и четвертый разделы). В первых двух разделах подробно исследуется случай I. Когда все

(о) П «

= 0 построенный предгамильтониан оказывается самосопряженным и полуограниченным снизу оператором. Доказана теорема о сходимости гамильтониана в сильном резольвентном смысле к гамильтониану системы "2 + 1" при

И

стремлении к нулю — параметров связи каналов взаимодействия, в двух из трех парных подсистем, что и доказывает парный характер рассматриваемого взаимодействия.

В третьей главе обосновывается фредгольмовость уравнений Фаддеева для случая, когда гамильтониан системы трех частиц с парными точечными взаимодействиями по-

луограничен. Оказывается возможным, используя (сингулярные) парные ¿-матрицы, записать уравнения Фаддеева в их привычном виде [11], [19]. Так что свойства ядер уравнений Фаддеева определяются свойствами парных матриц. Весь анализ проводится в координатном представлении. Центр тяжести при этом переносится на исследование сингулярностей ядер уравнений Фаддеева в точке тройного столкновения частиц, поскольку их асимптотическое поведение при больших значениях пространственных аргументов имеет ровно тот же характер, что и для гладких быстроубывающих потенциалов [19].

В случае, когда стандартные взаимодействия нулевого радиуса присутствуют во всех парных подсистемах, медленное как 1/у/г убывание парных ¿-матриц при больших значениях \г\ приводит к тому, что главные сингулярности ядер уравнений Фаддеева при X = 0 оказываются неинте-грируемыми на гиперплоскостях взаимодействия Мр и, более того, они воспроизводятся при итерациях. В этом случае, соответствующем неполуограниченным трехчастич-ным гамильтонианам, доказать фредгольмовость уравнений Фаддеева не удается.

В случае же, когда во всех парных подсистемах быстрое убывание как 1/г парных ¿-матриц при г со приводит к более слабым сингулярностям ядер уравнений Фаддеева, эти особенности интегрируемы на Мр и при итерациях они сначала ослабляются, а затем и вовсе исчезают. Поэтому для данного класса точечных взаимодействий, отвечающего по л у ограниченным трехчастичным гамильтониа-

нам, уравнения Фаддеева оказываются компактными. После того, как этот факт установлен, теория рассеяния для системы трех частиц с точечными взаимодействиями строится по обычной схеме [19]. В заключительной части главы сформулированы краевые задачи для дифференциальных уравнений Фаддеева, которые однозначно разрешимы и их решениями являются волновые функции непрерывного спектра.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты и описаны направления в которых данная работа может быть продолжена.

Литература

[1] Fermi, Е.: Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate (In Italian). Ricerca Scientifica. 1936. V. 7. P. 13-52.

[2] Kronig, R. de L., Penney, W.G.: Quantum mechanics of electrons in cristal lattices. Proc.Roy.Soc.(London). 1931. V. 130 A. P. 499-513.

[3] Bethe, H., Peierls, R.: Quantum, theory of the diplon. Proc.Roy.Soc.(London). 1935. V. 148 A. P. 146-156.

[4] Демков Ю.Н., Островский В.H.: Метод потенциалов нулевого радиуса в ядерной физике. — Л.:ЛГУ, 1975.

[5] Минлос Р.А., Фаддеев Л.Д.: О точечном взаимодействии для систем из трех частиц в квантовой механике. ДАН СССР. 1961. Т. 141. №6. С. 1335-1338

[6] Павлов Б. С.: Граничные условия на тонких многообразиях и полуограниченность трехчастичного оператора Шредингера с точечным потенциалом. Матем. Сборник. 1988. Т. 136 (178). №2. С. 163-177.

[7] Скорняков Г.В., Тер-Мартиросян К.А.: Задача трех тел при короткодействующих силах. Рассеяние нейтронов малой энергии дейтронами. ЖЭТФ. 1956. Т. 31. №5. С. 775-790.

[8] Минлос P.A., Фаддеев Л.Д.: О точечном взаимодействии для систем из трех частиц в квантовой механике. ДАН СССР. 1961. Т. 141. №6. С. 1335-1338

[9] Фаддеев Л.Д // ЖЭТФ. 1960. Т. 39. В. 5. С. 1459-1467.

[10] Данилов Г.С.// ЖЭТФ. 1961. Т. 40. №2. С. 498-507.

[11] Фаддеев Л.Д.: Математические вопросы квантовой теории рассеяния для систем трех частиц. Труды МИАН СССР, 1963, LXIX (69), С. 1-114.

[12] Шондин Ю.Г.Ц ТМФ. 1988. Т. 74. №3. С. 331-334.

[13] Шондин Ю.Г.: К задаче трех частиц с ¿-потенциалами. ТМФ. 1982. Т. 51. №2. С. 181-191.

[14] Павлов B.C.: Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структурой. ТМФ. 1984. Т. 59. №3. С. 345354.

[15] Куперин Ю.А., Макаров К.А., Меркурьев С.П., Мотови-лов А.К., Павлов B.C.: Квантовая теория рассеяния на

энергозависящих потенциалах. В сб.: III Всесоюзная школа по малочастичным и кварк-адронным системам. Вильнюс, 1986. Ч. И. С. 28-73.

[16] Куперин Ю.А., Макаров К.А., Меркурьев С.П., Мотови-лов А.К: //ЯФ. 1988. Т. 48. В. 2. С. 358-371.

[17] Newton, R.G.: Scattering theory of waves and particles. — Springer-Verlag, 1982.

[18] Makarov, K.A.: On ¿-like interactions with internal structure and semibounded from below three body Hamiltonian. Preprint FUB/HEP-88-3. Berlin (West): FUB, 1988.

[19] Меркурьев С.П.¡Фаддеев Л.Д.\ Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. — М.: Наука, 1985.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1) К.А.Макаров, В.В.Мележик, А.К.Мотовилов: "Точечные взаимодействия в квантовой задаче трех частиц с внутренней структурой" препринт ОИЯИ Р5-94-51.

2) К.А.Макаров, В.В.Мележик, А.К.Мотовилов: "Точечные взаимодействия в квантовой задаче трех частиц с внутренней структурой" ТМФ, Т. 102, N2, 1995.

3) К.A.Makarov, V.V.Melezhik "How to avoid the 'Fall to the Center' in the Three-Body Problem with Point-like Interactions", preprint MPI/95-28, Bonn, 1995, p.25