Неприводимые представления общих соотношений коммутации законы сохранения и асимптотика спектра квантовых гамильтонианов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Р г ь ь

2 3 0;(Т

На правах рукописи

Мингалёв Олег Викторович

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЩИХ СООТНОШЕНИЙ КОММУТАЦИИ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И АСИМПТОТИКА СПЕКТРА КВАНТОВЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ.

Специальность 01.01.03-математпческая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 1995

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В.Келдыша РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук

В. В. Веденяпин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

И. Я. Арефьева

кандидат физико-математических наук

Ю. Е. Лозовик

Ведущая организация Институт математического

заседании диссертационного ученого совета АI Д 002.40.03 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН по адресу:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

моделирования РАН

Защита состоится

1995 года в часов на

125047, Москва-47, Миусская пл. 4.

Автореферат разослан

199Г. г.

Учёный секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

М. И. Галанил

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Системы линейных операторов, уловят творяюшис некоторым соотношениям коммутации, возникают во многих разделах современной математической физики. Широкий класс таких систем сводится к системам, в которых фигурирует пара сопряжённых друг другу операторов и, возможно,.некоторый самосопряженный оператор. Причём эти операторы удовлетворяют соотношениям комму тации определённого вида.

В последнее время различные частные случаи и классы таких систем рассматривались во многих работах математиков и физикой в связи с различными физическими проблемами. 13 работах некоторых авторов такие системы называются квантовыми алгебрами. Помимо хорошо известных соотношений коммутации, таких как алгебра Гейзенберга и ее: с|-деформация, алгебра ви(2), фермионшле соотношения, в некоторых последних работах рассматривались некоторые нелинейные соотношения коммутации. Одним из приложений описанных выше соотношений коммутации является исследование спектра гамильтонианов различных квантовы/. систем. В частности, использование подходящих соотношений коммутации позволяет записать квантовый гамильтониан в терминах операторов рождения-уничтожения и числа частиц, что часто упрощает исследование его спектра.

В кинетической теории газов с тридцатых годов этот столетия используется уравнение Улинга-Уленбека, которое также называют квантовым уравнением Больцмана. Ото уравнение используется для описания газа квантовых частии, подчиняющихся той или иной статистике, а также для описания смеси таких

газов, причем разные компоненты смеси могут подчини ген раз личным статистикам. Тип статистки определяет вид интеграл.¡. столкновений, которым описывается II'чаимодействис между ма сгицами в этом уравнении. Уравнение Улинга-Улецбека можно рассматривать и в случае, когда частицы подчиняются соотношениям коммутации, которые являются линейной деформацией алгебры Гейзснберга. Свойства уравнения Улинга-Уленбека сильно зависят от типа, статистики, которой подчиняются частицы.

Уравнение Улинга-Уленбека допускает обобщение и на случай соотношений коммутации, отличных от бозонных и фермжшных.

О связи с этим возникают следующие проблемы. ]. Найги вид допускающих иепризодимые представления соотношений коммутации, в которых фигурирует пара операторов рождения и уничтожения частиц, а также, возможно, оператор числа частиц.

2. Пай'; и вес типы неприводимых представлений, которые возможны для таких общих соотношений коммутации, а также указать способ их построения.

При анализе квантовых систем всегда возникает необходимость исследовать спектр описывающего эту систему квантового гамильтониана. 1} частности, часто возникает вопрос о том, обладает ли данный квантовый гамильтониан вакуумом. Под наличием вакуума у квантового гамильтониана имеется ввиду то, что он полуограничен снизу и его точечный спектр содержит свою нижнюю грань.

При исследовании спектра квантового гамильтониана важную {юль играют законы сохранения, зависящие от операторов числа частиц. Наличие достаточного числа таких законов сохранения может обеспечить наличие у гамильтониана инвариантных пол-пространств конечной размерности, что упрощает исследование его спектра. Поэтому отыскание критерия наличия у квантового гамильтониана общего вида таких законов сохранения и способа их нахождения представляет определенный интерес. Состояние вопроса. В работе рассматриваются неприводимые представления соотношений коммутации, в которых фигурируют операторы рождения и уничтожения и, возможно, оператор числа частиц. Все рассматривавшиеся до настоящего времени соотношения коммутации, в которых фигурируют эти операторы, являются частными случаями рассмотренных в работе соотношений. Известные ранее неприводимые представления рассматривавшихся до сих пор таких соотношений коммутации можно разбить на два типа. Ути типы можно условно назвать бозонпым и фермионным в том смысле,, что в неприводимых представлениях бозонного типа ядро оператора рождения нулевое и ядро оператора уничтожения одномерно, а в неприводимых представлениях фермионнога типа ядра обоих этих операторов одномерны. В работе показано, что рассматриваемые в ней общие соотношения коммутации могут иметь неприводимые представления, отличные от бозонных и фермионных.

При исследовании спектра квантовых гамильтонианов, записанных в терминах конечного числа сортов операторов рождения - уничтожения и операторов числа частиц, которые связаны между собой некоторыми соотношениями коммутации, большую

роль играет наличие у гамильтониана законов сохранения, кото рые представимы в виде функции от операторов числа частиц. Наличие таких законов сохранения может означать, что соответствующее пространство Фока, в котором действует гамильтониан, представимо в виде прямой суммы инвариантных подпространств гамильтониана конечной размерности. Такие гамильтонианы естественно назвать обобщенной моделью Ли, поскольку их свойства аналогичны свойствам модели Ли.

Для указанных выше гамильтонианов в работе вводится аналог виковской или нормальной формы записи, и изучается ранее не рассматривавшийся вопрос о нахождении всех законов сохранения, нредставимых в виде функции от операторов числа частиц, а также всех инвариантных подпространств, соответствующих этим законам сохранения.

До сих пор был известен только критерий наличия линейных по операторам числа частиц законов сохранения для гамильтонианов, которые имеют вид полинома от операторов рождения и уничтожения в случае, когда эти операторы удовлетворяют бозонным соотношениям коммутации.

Цель работы. Целью работы является изучение следующих четырёх проблем, возникающих в связи с исследованием квантовых гамильтонианов.

Первая проблема заключается в нахождении всех возможных типов неприводимых представлений для соотношений коммутации, в которых фигурируют операторы рождения - уничтожения и, возможно, оператор числа частиц.

Второй проблемой является отыскание законов сохранения, являющихся функциями от операторов числа частиц, для кваи-

товых гамильтонианов, которые записаны в терминах конечного числа сортов операторов рождения - уничтожения и операторов числа частиц, связанных между собой некоторыми соотношениями коммутации, и допускают обобщенную виковскую форму записи.

Третья проблема состоит в изучении условий, при которых квантовые гамильтонианы описанного выше вида обладают вакуумом, то есть наименьшим собственным значением.

Четвертая проблема состоит в исследовании спектра трёх квантовых гамильтонианов: обобщённого гамильтониана комбинационного рассеяния и двух версий квантового нелинейного уравнения Шредингера.

Выносимые на защиту основные результаты диссертации.

1. Построение всех возможных типов неприводимых представлений и классификационные теоремы для общих соотношений коммутации, в которых фигурируют операторы рождения - уничтожения и, возможно, оператор числа частиц.

2. Критерий наличия законов сохранения, представимых в виде функции от операторов числа частиц, и критерий наличия линейных по операторам числа частиц законов сохранения для квантовых гамильтонианов, которые записаны в терминах конечного числа сортов операторов рождения - уничтожения и операторов числа частиц, связанных между собой некоторыми соотношениями коммутации, и допускают обобщённую виковскую форму записи. Условия на вид таких гамильтонианов, при которых все

законы сохранения, представимые в виде функций от операторов числа частиц, сводятся к линейным по этим операторам законам сохранения.

3. Критерий полуограниченности снизу и достаточные условия наличия вакуума для квантовых гамильтонианов вышеописанного вида, у которых линейные по операторам числа частиц законы сохранения определяют разложение пространства Фока в прямую сумму конечномерных подпространств, инвариантных относительно гамильтониана.

4. Результаты исследования на полуограниченность и наличие вакуума трёх квантовых гамильтонианов: обобщённого гамильтониана комбинационного рассеяния и двух версий квантового нелинейного уравнения Шредингера.

Научная новизна и практическая ценность. Выносимые на защиту результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при исследовании квантовых гамильтонианов и для получения новых кинентических уравнений и их дискретных моделей.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 50 наименований. Объём диссертации 97 страниц. Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах отдела N.7 ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, па семинаре одного из секторов ЛТФ ОИЯИ в г. Дубне, на семинарах отдела математической физики и отдела квантовой теории поля Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

По материалам диссертации опубликовано четыре работы и одна работа принята з печать.

Содержание работы. -

Распределение материала по главам имеет следующий вид.

В главе I исследуются общие соотношения коммутация, которые могут быть записаны в одной из следующих двух форм. Первая форма имеет вид

А~А+ = F{A+A~,S), [5,i±]=±i±, (1)

где F(x, у) есть функция из R+ х R со значениями в R+. Здесь Л+ и А~ — операторы рождения и уничтожения, a S — оператор типа числа частиц. Вторая форма имеет вид

а" а+ = /(а+ а"), . (2)

где /(f) есть функция из со значениями в Л+ , а а+ и аГ — операторы рождения и уничтожения.

Даются определения неприводимых представлений соотношений вида (1) и (2), в которых, в частности, указывается, в каком смысле выполнены соотношения (1) и (2) в случае, когда функции F(x, у) и f(t) пе являются полиномами от своих аргументов. Описаны все типы неприводимых представлений, в которых one-ратор S или а а~ имеет хотя бы один собственный вектор, возможные для таких соотношений коммутации, а также способ их построения. Указана связь между оператором числа частиц п и операторами Л+ А~ и а+ аГ для всех типов представлений. В

частности доказано, что соотношения вида (1) допускают 4 типа неприводимых представлений, а соотношения вида (2) помимо этих 4-х типов допускают еще один пятый тип неприводимого представления, который невозможен для соотношений вида (1). Доказаны классификационные теоремы о том, что всякое неприводимое представление соотношений вида (1), в котором оператор 5 имеет хотя бы один собственный вектор, изоморфно представлению одного из построенных 4-х типов, а всякое неприводимое представление соотношений вида (2), в котором оператор а+ а~ имеет хотя бы один собственный вектор, изоморфно представлению одного из построенных 5-ти типов неприводимых представлений.

Наиболее общей формой из рассматривавшихся ранее соотношений вида (1) были некоторые из соотношений нида

А А . А • А А А ^ а А |

А~ А = А+А~ + у?(5), [5,Л±]=±Л±,

где <р({) — аналитическая функция от I.

В главе II рассматриваются квантовые гамильтонианы, которые записаны в терминах р операторов рождения - уничтожения а*,...,а* и операторов числа частиц щ ,..., пр, связанных между собой некоторыми соотношениями коммутации вида

[п,-, пк] = ^, а£] = 0 ,

[«Г»«*] = # (Ы*к«к » - ) , (3)

[п,-,а£] = ± = 1,2,...,р.

и которые допускают обобщённую виковскую форму записи

// = Ф + Е (ъ V/' + (ä+f\ä~f 7;) • (4) \ I

Здесь 1'\(я, t) — функции на R+ X R со знамениями в R, каждая из которых может как зависеть, так и но зависеть от второго аргумента t ; [а, 6] = ab — Ьа — коммутатор ;

а1' - (а",ß* = (ß\,...,ß;), i = 1,..., g

- векторы с целыми неотрицательными координатами; через (ä~) обозначено следующее произведение операторов:

(a~f IM ^fi^fl.^fp,

а через (ß+)a аналогичное произведение;

Ф(теь..., rip), 7<(пь..., яр)> i = 1, функции на Z+

со значениями в Я.

Самосопряжённые операторы

Ф =f Ф(п],пР), 7i d= 7¿(пь.., ftp)

определяются таким образом, что на векторы стандартного ор-тонормированного базиса пространства Фока они действуют по формулам

Ф| пип2,...,пр>= Ф{щ, • • •, Пр) |пь ге2 ,...,т»р>,

7» |пь п2, ..., пр > = 7,(пь ...,пр) |пь п2,..., пр > .

Такие операторы называются функциями от операторов числа частиц п],...,пр.

Для гамильтонианов вида (4), (3) доказывается критерий наличия законов сохранения, представимых в виде некоторой функции от операторов числа частиц щ пр и критерий наличия линейных по операторам числа частиц nj,пр законов сохранения вида

где Q = (Qi,...,Qp)€ff. (5)

k=i

Найдены условия, при которых все законы сохранения первого вида сводятся к линейным по операторам числа частиц п\,пр законам сохранения вида (5).

Ранее был известен только критерий наличия законов сох[)ане-ния вида £ Qk аЦ для случая, когда операторы рождения-уничтожения удовлетворяют чисто бозонным соотношениям коммутации, а гамильтониан является полиномом от этих операторов.

Свойства гамильтонианов вида (4), имеющих законы сохранения вида (5), аналогичны свойствам модели Ли.

Для гамильтонианов вида (4), у которых законы сохранения вида (5) определяют разложение пространства Фока в прямую сумму счётного числа конечномерных подпространств, инвариантных относительно гамильтониана, доказывается критерий полуограниченности снизу и достаточные условия наличия вакуума. Показано, что такие квантовые гамильтонианы обладают ортонормированным базисом из собтвенных векторов и, следовательно, точки непрерывного спектра таких гамильтонианов являются предельными точками их точечного спектра.

В главах III и IV приводятся примеры использования изложенных в главах I и II результатов для исследования свойств спектра

квантовых гамильтонианов. 13 главе III исследуется обобщённый гамильтониан комбинационною рассеяния, а котором возбуждения среды описываются произвольной квантовой алгеброй. Для пега доказываются достаточные условия наличия вакуума, а также его отсутствия, в зависимости от свойств квантовой алгебры, описывающей возбуждения среды, и значений козффицентов, фигурирующих в гамильтониане.

В главе IV исследуются и сравниваются две версии квантового нелинейного уравнения Шредингсра. Для них доказывается наличие и отсуп 1 вие вакуума в зависимости от знака коэффицентг., который фигурирует в обоих этих гамильтонианах.

В главе V вводится квантовое кинетическое уравнение, обобщающее уравнение Улинга-Уленбека. Для этого уравнения указывается общий вид линейных инвариантов, вид равновесного распределения и аналог // — теоремы. Вводятся также дискретные модели этого уравнения. Для одной дискретной модели уравнения Улинга-Уленбека рассматривается зависимость решений в виде бегущей волны от типа статистики, которой подчиняются частицы.

В заключении делаются нехоторые выводы, которые вытекают из результатов диссертации. Эти выводы заключаются в еле-' дующем.

1. Соотношения вида (1) могут иметь неприводимые представления только четырех типов, которые построены в работе. Всякое неприводимое представление соотношений, которые можно представить в виде (1), и в котором оператор S имеет хотя бы один собственный вектор, изоморфно представлению одного из пост роенных 4-х типов.

Соотношения вида (2) могут иметь неприводимые представления только пяти типов, которые построены н работе. Всякое неприводимое представление соотношений, которые можно подставить в виде (2), и в котором оператор и* а~ имеет хотя бы один собственный вектор, изоморфно представлению одного из построенных 5-ти типов.

2. Для квантовых гамильтонианов, имеющих вид (4)-('5), нолу-чены следующие результаты.

Доказан критерий наличия законов сохранения вида (5), лиией-. ных по операторам числа частиц. Доказан критерий наличия законов сохранения, предстанимых в виде функции от операторов числа частиц. Установлены условия на вид гамильтониана (4), при которых упомянутые выше законы сохранения сводятся к линейным по операторам числа частиц законам сохранения вида ;5).

Эти условия таковы, что им удовлетворяют, например, ш:е гамильтонианы, в которых взаимодействие описывается суммой некоторых мономов вида а*, а* а*±1, . Обычно

иснол1>зуются квантовые гамильтонианы, в которых взаимодействие описывается именно такими полиномами.

3. Для квантовых гамильтонианов вида (4)-(3), у которых пространство Фока бесконечномерно и законы сохранения вида (5) определяют его разложение в прямую сумму счётного чис ла конечномерных подпространств, инвариантных относительно гамильтониана, доказано существование ортонормированного базиса из собственных векторов и установлен критерий полуограниченности и достаточные условия наличия вакуума. Для таких гамильтонианов задача о нахождении точечного спектра сводит

и

ся к счетному числу конечномерных задач, а непрерывный спектр состоит из множества таких пределышх точек точечного спектра, которые ему не принадлежат.

Эти результаты могут быть использованы при исследовании спектра квантовых гамильтонианов.

4. В работе предложено новое кинетическое уравнение. Оно может быть использовано для описания газа, в котором столкновения частиц носят квантовый характер, а частицы описываются некоторыми соотношениями коммутации. Кроме того, это уравнение может быть использовано как удобная математическая модель для апроксимации уравнения Больцмана и уравнения Улинга-Уленбека в случае статистики Бозе.

Публикации.

Материал и результаты настоящей диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Всдепяпин В. В., Мхшгалёв О. В. Представления общих соотношений коммутации. Законы сохранения для квантовых гамильтонианов. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1995 г., N30.

2. Веденяпин В. В., Мингалёв О. В. Полуограниченность и асимптотика спектра трёх квантовых гамильтонианов. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1995 г., ЛМ9.

3. Мингалёв О. В. ДАН., 1992 год, том 323, N 6, стр. 1029-1033.

4. В. В. Веденяпин, И. В. Мингалёв, О. В. Мингалёв, Матема-тичекий сборник. 1993 год, том 184, N 11, стр. 21-37.

5. В. В. Веденяпин, О. В. Мингалёв. Представления общих соотношений коммутации. Асимптотика спектра трёх квантовых гамильтонианов. ДАН, принята в печать.

ИПМ Заказ № 123.

Тираж 80 мса.