Интегральные представления точных и квазиклассических решений. Метод усреднения и когерентные состояния тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГБ ОД

1 о онт та На правах рукописи

Новикова Елена Михаиловна

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧНЫХ И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ И КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

, диссертации на соискание учриой степени кандидата физико-математичкских наук

МОСКВА -Ш0

Работа выполнена иа кафедре прикладной математики факультета' • прикладной математики Московского государственного института, электроники и математики (технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор М.В. Карасев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г. Сергеев;

доктор физико-математических наук, профессор Д.Д. Соколов.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

Защита диссертации состоится " ^ ^ " С£1гЦТ\а90)^Ь^ 1996 г. на заседании диссертационного совета К 063.G8.05 в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: Б. ТрехевятительскиЙ пер., д. 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат разослан ". (ЩДС 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: Кандидат физико-математических наук, доцент

ТРТ Шурьев.

П.В. Шнурков.

Общая характеристика работы

Для гамильтониана атома водорода в магнитном поле рассматривается проблема построения систем когерентных состояний, а также проблема вычисления асимптотики его собственных значений и глобальных асимптотических собственных функций по малому полю и высоким квантовым числам.

Актуальность темы. Гамильтониан атома водорода в магнитном поле, помимо своей физической важности, представляет математический интерес как возможный пример неинтегрируемой квантовой системы. Важны любые новые представления в той системы и любая новая информация о спектре и о собственных функциях (как точных, так И приближенных).

Многие стандартные методы теории возмущений и квазиклассического приближения для этого гамильтониана не работают вообще или малоаффективны из-за неинтегрируемости и из-за наличия кулоновской сингулярности. Поэтому актуальна разработка нестандартных подходов и, в частности, применение новых методов, основанных на квантовом усреднении и на теории когерентных состояний.

Когерентные состояния, отвечающие неоднородным фазовым многообразиям (т.е. не порождающиеся группами Ли) очень мало изучены. Любые примеры такого рода, особенно появляющиеся в реальной физической системе, представляют значительный интерес.

Цель работы заключается в построении новых систем когерентных состояний для гамильтониана, атома водорода в однородном магнитном поле, в использовании атих состояний для вычисления асимптотики собственных значений, а также в получении явных глобальных формул для асимптотических собственных функций этого гамильтониана.

Научная новизна. Найдены новые типы когерентных состояний, основанные на функциях Бесселя и гипергеометрических полиномах. С их помощью получены новые представления гамильтониана атома водорода в магнитном поле и представления его точных и приближенных собственных функций, а также новая асимптотика собственных чисел. Квантовый метод • усреднения и метод редукции когерентных состояний развиты и применены ; в ситуации, где,они до сих пор не рассматривались.

Ценность результатов. Получены явные расчетные формулы для спек- ' тра и собственных функций аффекта Зеемана. Разработанный метод применим к широкому классу квантовых систем. Полученные новые типы когерентных состояний носят универсальный характер и могут быть использованы в различных областях теории дифференциальных уравнений и математической физики.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на XIII Международном Коллоквиуме "Геометрические методы в физике" ( Бе-ловежа, 1994), на Совместном заседании семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1995) и в семестре "Квантование и хаос" (Париж, 1995).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы: Ц] На pact:» M.U., Новикова Е.М. // Квадратичные скобки Пуассона в аффекте Зеемана. Неприводимые представления И Когерентные состояния. УМН. 1904. Т. 49. X«. 5. С. 1С0-170. [2¡ Kurativ M.V. arid Novikovn Е.М. // Iiilcgi ;>1 representation of ci^enftmc-tioiis id id coherent »tiitro for Zeeman effect. In: Quaiitiz., Coherent States and Complex Struct.; J. P. Antoine ct al. (ids.) Plenum, N.Y. 199G. P. 2Ü1-20S.

[3] Ka-рас ей M.B., Нонькпва Е.М. Когерентные состояния над л arpa н-жевыми многообразиями и интегральное представление волновых функций для задачи оП атоме водорода В магнитной поле. УМН. 1005. Т. 50. Л-«. 4. С. 100. [4¡ Карассв hi.В., Нояпкова Е.М. Представление точных и квазиклассических собственных функций через когерентные состояния. Атом водорода в магнитном поле. ТЫФ. 1D0G. Т. Í0S. Л''3.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, включающих в себя 13 параграфов.

Содержание диссертации

Нерелятивистский гамильтониан атома водорода о однородном магнитном поле имеет следующий вид:

H.= HO+£M,4£2W,; (I)

. где с

н^-д-иг1. Мз- = ",3/0Х,-ixiö/ar;,, VV = (!•} +т])/4.

Через г = (j|, J2, J-.i) обозначены декартовы координаты в R3; магнитное поле направлено вдоль оси Jj; параметр е в (1) пропорционален напряженности поля.

Хорошо известно, что внергетические уровни Е„ — — I /4h3 оператора

Нл имеют кратность и1, где п = 1,2,____ Возмущение основного уровня с

п = ], а также снятие вырождения возбужденных уровней с небольшими и — 2.3.... можно вычислять с помощью рядив Ралея-Шредингсра по степеням i1. Однако коэффициенты »тих рядов сингулярны при возрастании п. Критическая ситуация возникает при п ~ г"1'3, когда всякая теория возмущений перестает работать. Например, для Полей ~ 10* гаусс (т!г. с ~ Ю-3,) ато начинается уже при п > 5.

Исследованию такого рода проблем, а также общей теории атома водорода в магнитном поле посвящена большая литература.. Помимо своей фундаментальной физической важности, система (1) чрезвычайно интересна с ил тематической Точки зрения как один из простейших примеров явления классической, а возможно, и квантовой неинтегрируемости. Класси-ч<ч"клл нешггсгрируемость (1) При е ф 0 подтверждается численными вке-периментами, хотя до сих пор строго не доказана. Лишь п 1994 г.1 было

1 Ä»mi»tr Ц.. SatKt A.W. //Comm. Mtth. PHy» 1984. V. 181. X». .V Р. 447.

показано, что классическая динамика, в »той задаче, не имеет дополнительного аналитического интеграла движения. D то и-.е время при с = 0 гиспч.т (1) заведомо интегрируема и, Солее; того, все гамильтонопы траектории Ни (на отрицательных уровнях анергии) периодические. Поэтому при малых f к классической системе Н = Яо4еЛ/з4еЧК применим стандартный метод усреднения Пуанкаре. Конечно, ряд Метода усреднения Судет расходиться, во всяком случае в классе аналитических функций. Тем не менее итог ■ ряд можно использовать для эффективны;: приближений по параметру £.

В свою очередь, к квантовой системе (1) естественно попытаться применить квантовую версию метода усреднения, восходящую к работам Боголюбова. Цель состоит в том, чтобы подходящим "усредняющим" унитарным преобразованием привести гамильтониан (1) к виду

Ho+eMj + s'W+O^00), [Ho,W] = [M3,W] = 0,

где новое "угредненное"возмущение W коммутирует со старшей частью и разлагается в ряд по степеням Малого параметра:

W -— W0 4 eJWoo 4 £4Wooo 4 — (2)

Первые два слагаемых W0 и Wr,a в усредненном возмущении (2) были найдены'соответственно п работах Соловьева2, Хкррика3 и Деланда, Гея4, а затем подробно изучались. В результате -теория возмущений для аффекта Зеемяла была существенно продвинута вперед.

С другой стороны, известно, что в фоковском jj-представлении невоэму шепный оператор Но эквивалентен оператору Лапласа на трехмерной сфере л, таким образом, операторы Wo, Woo - это, по существу, квантовые ин * тегралы для Дз». В частности, Wo оказывается эквивалентным оператору. , "разделяющему" переменные для лапласиана в эллипсо-цилиндрических координатах (и встречался в общем списке таких "разделителей"5). Отме тим в этой связи, что спектральная задача для систем типа {лапласиан Ия сфере}-(-{потенциал} рассматривалась в работе. А- Вайнстайна6, где было построено квантовое усреднение (в первое приближении) и были изучены некоторые спектральные свойства старшей части усредненного оператора.

Таким обраЗом, в математическом исследованиям квантового гамильм ' ниана (1) можно выделить следующие направления и проблемы.

Во-первых, для сильных полей, т.е. в зоне п > г"1'3, где hr действует теория возмущеютй, интерес представляют любые новые представления

2Соло«>е» В.А. Ц ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Ж'. б, С. 1782.

* Herrick D.R. // Phye. Rev. А. 19Я2. V. 26. N>. I. Г. 323.

•üíWe I>. and (UyJ.C. // i Phya. 3.: Ai. Mol. Ptiyn. 1984. V. 17. P. L ИГ>.

'Sainen E.G., Шкт W. nnd IVmíerti.íi Г. // SUM J Appl. Malh. 18Тв. V. 30. K>. 4. P. 630.

* Weirutrín А. Ц Dult; Math. 3. 1877. V. 44. P. Í83.

* Точнее, подобраны путем с pas нения с известными т&бпнцкми матричиы* »я «мантов степеяей углового момЛт» и »«ктор« Лапяага-Рувге-Леип« Однако.гвио угрел кчкипее преобразование отсутствовало.

J

системы (1), которые позволят прояснить характер квантовой^('интегрируемости.

Во-вторых, для несильных полей, когда п -С -е-1/5, остается проблема явного применения квантового усреднения к системе (1), т.е. предъявление усредняющего преобразования на уровне явных расчетных формул.

В-третьих, уже; после квантового усреднения остается задача о вычислении спектра и собственных функций усредненного возмущения Щ. Если выразить атот гамильтониан через образующие алгебры Первых интегралов Но И Мэ, то исходная спектральная задача сведется к задаче о спектре функции от операторов в неприводимых представлениях некоторой (весьма непростой) некомму тативной алгебры. Требуется провести анализ втой квантовой алгебры с нелинейными коммутационными соотношениями и построить соответствие между ее неприводимыми представлениями и сим-плектическими листами соответствующей луасс.оновой алгебры.

В-четвертых, желательно построить когерентные состояния упомянутой алгебры симметрии с тем, чтобы затем с Их помощью представить усредненное возмущение в виде дифференциального оператора по координатам на редуцированном фазовом многообразии.

В-пятых, помимо задачи о точных собственных функциях полученного усредненного гамильтониана, имеется проблема вычисления глобальных асимптотических собственных функций (так называемых "квазимод"). Можно предположить, что правильно построенные когерентные состояния позволят решить ату проблему по аналогии с тем, как ото делается в других более стандартных системах, связанных с алгебрами Ли.

Все перечисленные задачи исследуются в диссертации. Опишем подробнее структуру и содержание параграфов диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь объясняется процедура сшшорной регуляризации КустаапхеЙмо7 и исследуются детали, необходимые для дальнейшего изложения. Затем с помощью втой регуляризации гамильтониан атома водорода в магнитном поле приводится к стандартному виду: {оператор "действие")-(-{возмущение}, т.е.

Здесь оператор "действие" удовлетворяет условию периодичности

(с некоторым параметром Н > 0) и самосопряжен в гильбертовом пространстве функций £1(11') со скалярным произведением* •

гК****ткет» Р. <тЛ .ЧЦфШ. // .МЫм ипй Апрт». Ы»1Ь. )865. V. 3]«. Р, 204. 'Нинм »тоеиммраое проаэмдгшиг соот»*гству<?т стишртвому мрои^вгмиию •

У '(Я<). чг «плитном» вря гпляорявЯ ргг^дирмиции.

Яо + .

(3)

(4)

. « 4-1 * / <р(ч)&(ч) . .

¡х - новый параметр, пропорциональный е1.

Далее гамильтониан (3) представляется в виде функции от образующих алгебры первых интегралов оператора углового момента М3. Эти образующие Мз удовлетворяют- следующим нелинейным коммутационным соотношениям:

[г+,а_) = 0, (г+,г1) = 0, |а±,М3] = 0,

/ 1 \1/2 (5)

(Соотношения, получаемые формальным сопряжением, опущены.)

В главе II, в соответствии с подходом " и общей некоммутативной теорией возмущений, развитой в8, вначале приводится сводка алгебраических формул квантового метода усреднения для гамильтонианов простейшего вида (3), у которых старшая часть во удовлетворяет условию периодичности (4). Оказывается, что при переходе к классическому пределу по большим квантовым числам полученные формулы работают во всех членах теории возмущений по (I. При этой в пределе возникают формулы классического метода усреднения Пуанкаре. Затем атот общий алгебраический механизм применяется к рассматриваемой задаче и вычисляется усредняющее преобразование и новый усредненный гамильтониан видя

+ "(С)

где '

[ Т,Эо ] = [X, Мз ] = 0. (7)

Б силу (7) естественно ожидать, что оператор Т можно представить в виде функции от образующих алгебры квантовых симметрия (¡штегралоз движения) пары коммутирующих гамильтонианов в0 и М3. В разделе П.З* описывается эта алгебра и ее четыре образующие Во.ВьВз.Вз с квадратичными соотношениями:

{В»,В21 = ,ЛВоВ3, (В01В,1 = 2|АВ„

[В2,Вз]=-у(ВоВ1+В,В0), ' [В0,В3] = -2>'ПВ,, ^

■ (Вз1В!]=-у(ВоВ2 + В2Во), [Во,В3] = 0.

Эта алгебра напоминает известную алгебру Склянина®, но проще ее по структуре.

В разделе 11.4 показано, что оператор Тпредставляется в виде

1 = • д„ =яд„ Н-/<?о» +... . ■ . , (9)

Здесь <7с,9оо,£/оа(ь■ ■ • - линейная, квадратичная, кубична«, ... функции от четырех переменных; вместо них в (9) подставляется набор четырех операторов В = (Во,В), В?, Вз), и принята соглашение, что влементы набора

«Каресе» И.В., №и» В.П. Ц УМН 19«. 'Г. М. №. ». С. 115.

*СхлянчнЕ,К. //Функц. *н*лиэ и его прилож. 1Ш. Т. М, Л*. 4. С. 21.

симметризуются по Вейлю. В итоге задача о снятии'вырождения спектра оператора Во сводится к вычислению спектра влемента В) из алгебры с коммутационными соотношениями (8). В этом смысле можно говорить о некоммутативном усреднении системы (1).

В главе III вводятся и исследуются бесселевы когерентные состояния, отягчающие алгебре (5), а также гипергеометрические состояния, отвечающие алгебре (8). Все »ти состояния получаются с помощью процедуры многократной редукции из обычных гауссовых когерентных состояний. Первый шаг этой редукции был выполнен в работе10; он объясняется и детально исследуется в разделе ШЛ. Затем делаются Дополнительные два шага к когерентным состояниям алгебр (5) и (8).

Параллельно с редукцией когерентных состояний осуществляется редукция операторов неприводимого представления. В результате, для алгебр (5) и (8) возникает соответствие Между неприводимыми представлениями и симплектическими листами, не укладывающееся в раики стандартного геометрического квантования. Например, алгебра (S) не является алгеброй Ли, ее симплектичсские листы i! оказываются неоднородными многообразиями, и соответствующие неприводимые представления не реализуются дифференциальными операторами первого порядка {во реализуются операторами второго порядка). На всех этапах редукции когерентные состояния приводятся в двух вариантах: локальном голоморфном и глобальном - над лагранжевыми подмногообразиями.

Результаты втой редукции в голоморфном варианте можно свести в следующие две теоремы.

Теорема А.

Пуст» т - целое, h > 0.

1. Операторы

4=?±, 4 = >»/»

задами неприводимое представление с номером т алгебры (5) в пространстве Р[т] антиголоморфных по функций с нормой

т

Здеа

=^¿yi м¥) (¥) ^Лг- л- (io)

г|т| гж

~ im|!2l'"l-H J t~"Vt~*"dt - фунщьж Нахдоныда.

if,A'*r«»ft )i. V. }f im "Symplictic <»«*»т. jui<I Mith. Phye. Act** du colloque en Vhontwur \\t J.-M £»%m»u*, p.!fc*>*to И «J . fUvkbiwvr, Boston. 199!. P. 23A.

2. Пусть задано абстрактное представление г}., М\ соотношений (5) в некотором гилмертином пространстве С. Тогда «ышмпени тчждс.счтп

п ;'!,. = ¿"•в';;1!,-, ¿1 «£;!,_ = 4 , л?, =

(чертя к ад операторами о/>а;та*шет комплексное, сопряжение). Здеел

семейство векторов | € С, г- С С} (бе с се л е. в ы I с. о с то я н н п

порядка т), соответствующее т-ой иепринодпмоп компоненте nvr.de.ma-_ влети/ алгебры, (о), мдчется формулой:

где

- Нич-/ - фикции Весселя , (12)

мнимого Аргумента',

"вакуумный" «ехпюр Эц'ц подчинен условиям

3. Пуст» Н'З^Ц^. = 1. Тогда ска-пярнае произведение ¿>«у! бесселених состояний порядка т (11) «.мтп «ид

4. СсмсМство нехторев | € С, £ С) (11) является семейством когерентных состояний « непр-инодимой компоненте £[»») С С, т.е.

( « »'.■;!.. ---) = /, Ус1

где / - единичный оператор в ¿[">1-

5. Лая представления — г±, = '^з — « гильбертпоням пространстве £1(К3) лекал формула для бесселевых когерентных состояний порядка гп следующая:

(13)

Теорема Б.

Пуст» т, п - целые, п > |т| > 0, и пустч Ь > 0. 1. Операторы второго порядка

(14)

в о = л(гг - гг + Н + 1),

°В,=Т ((2п - н -3)?2 + |т| +

• Л2 /- , з2 э

Вг = у- ((2гг - |т| - 3)52 - |т| - 1)^+

+ (п- 1)(п-|то|-1)г),

В, = - (п - |т| - 2)?^ - - 1)(|т| + 1))

задают неприводимое представление с номером (т,п) алгебры (8) в пространстве Р[т,п] полиномов над С степень не выше п —|гп| —1, наделенном скалярным произведением

' = I ' (15)

Здес» '

^•■-"""'"¿^ЧТИ"-'"""1-

X Г(п+1,п4|т|-И;2п + 2;1-|г|2)сЙ-(/г, (16)

Р{а, с; у) = } ук - гипеггеометрический ряд, (17)

операция (/)м определяется по формуле

(Ом =?(Г + 1)...(/ + ЛГ-1), (0он1.

2. проимол»н<?го врмитова представления Во, В], Вг, В% соотношений (6) в некотором гильбертовом пространстве С выполнены тождества

~ BjS)t = Bjf)t, } — 0,1,2,3

{черт* нлд В] об а тачает комплехсное сопряжение). Здес> семейство век. торов | I £ С) (еипергеометрических состояний), соответствующее не-яр»«одчмой компоненте с номером (т, п) представления алгебры (8), задается формулой:

= хо, (18)

где 1т(г) - функция Бесселя мнимого аргумента (12); "вакуумный" вектор Хо € £ подчинен уравнениям

(Д|+В|)Х1> =0, 5оХоаЛ(|т|+1-п)хо, 20, = Л,('»-1)(Н + 1) Хо. При этом имеет место разложение

Я. = £ ВДзу. . (19)

где ■, • -

(-"ХУ)' .....

- ортонормированный базис в пространстве Р[т,п], а {д^. ) = 0,1,..., П — |т| — 1} - ортонормированный базус в КеприяодимоИ компоненте £[т,п| С С. .

3. /Густ» ||хо|1с = 1. Тогда скалярное произведение двух гипергеометрических состояний (18) имеет вид

где

п-(т|-1

дК")(г) = £ 1 + Н-п; 1 + |т|;р)

>=0

- гипергеометрический полккол« (сл. (17)).

4. Семейство векторов | г еС} (18) является семейством хогерентп мьи состояний в неприводимой компоненте £[т,п) С С, т.е.

! лртЛ*)^!,

где I - единичный оператор в С[т, п].

5. МмГ представления В = В в гильбертовом пространстве С = базис {х/| 3 = 0,1,... ,п - |т| - 1} имеет вид

хАя) - соги1(<ц +188п(т)?2)1,п1х' где

гм, ч Г(АГ + М+1) у'

^)-ЕМ)'(ЛГ_\),г(М4/;1)7Г - полином* Л^рра,

const = (-l)>//2|m|ir ft|m|+l^/(n- |»i| — i)|m|(l + j)|,„t - нормироначкал

константа.

В разделе Ш.З диссертации сформулирован и доказан аналог Теоремы Б для алгебры (8) в глобальном варианте. - над замкнутой одномерной Кривой.

В главе IV построенные когерентные состояния и неприводимые представления алгебр (5) и (8) применяются для получения интегральных формул для собственных функций гамильтониана атома водорода. Используемые в интегральных представлениях бесселевы И гипергеометрические состояния - [меняют собой привычные гауссовы пакеты, Т.е. когерентные состояния группы Гейзенберга.

Интегралы от гауссовых пакетов вдоль гамильтоковых траекторий начали использоваться для построения квазиклассиче.ских собственных функций (на эвристическом уровне) в работе Келлера". Аналогичные интегралы вдоль замкнутых траекторий для систем с одной степенью свободы и с аналитическим гамильтонианом были получены Соросом12 и Курча-ном, Любоефом, Сарацено13 формальным применением метода стационарной фазы к преобразованик> Варгмана.

В работе14 (см. также 10) для общих многомерных дифференциальных уравнений была разработала схема глобального представления решений в виде интеграла от гауссовых когерентных состояний вдоль лагранжевых подмногообразий в фазовом пространстве. В отличие от ,2' 13, здесь на первом шаге возникает точная (армитова и неприводимая) реализация самой алгебры Гейзенберга дифференциальными операторами, действующими в гильбертовом пространстве функций на лагранжевом подмногообразии, и это позволяет получить интегральное представление точных решений исходного уравнения, нричем с использованием только инвариантных геометрических объектов. А уже квазиклассическая асимптотика может быть извлечена На втором шаге с помощью простейшей регулярной теории возмущений, примененной к точным решениям на подмногооб] .они.

Развитие идеи таких интегральных представлений для систем со сложными фазовыми пространствами, например с "быстрыми" переменными или иными (нежели алгебра Гейзенберга) динамическими алгебрами требует привлечения когерентных состояний, отличных от влементарных гауссовых ,0' xi. .

Хорошо известно, что кулоновская особенность деформирует геометрию

11 Helle г E.J. // J.Chei«. Phys. 1975. V. 82 P. 1544.

17 Vows А. /I Phys, Rev. A. 1989. V. 40 K'. 12. P. 6S14.

13 Кurchan J., Lehnt,,/ Г., Saracmo M. // Phy». Hev? A. If>»9. V. 40. P. 6800.

"Карасе* U.B. // В сб. "Дифф. геом., группы Ли и механика", под ред. Л.Д. Фаддеева. Записки научных геминароа ЛОМИ. 1989 Т. 172. С. 41. (Англ. перевод: J. Sov. Math. 1992. V.69. Л». Б. Р. 1053.); »то изложение доклада автора на фаддееаскпй конференции в Математическом институте им. В.А. Стекловп (С.-Петербург, ноябрь 1988).

фазового пространства R4 (см. работы Фока15, Мозера18, Сурьо"). В главе III показано, что вта деформация геометрии приводит к бесселевым когерентным состояниям. В этих состояниях роль гауссовой экспоненты играет функция Бесселя мнимого аргумента 1а или Im, а также полиномы Лагерра.

В главе IV с помощью таких состояний спектральные задачи для гамильтониана (1) (или (3)), а также для усредненного гамильтониана (9) переписываются в виде дифференциальных уравнений вдоль подходящих симплготических многообразий. Поясним это подробнее на примере гамильтониана 5М(В) (9) над R3.

Спектральная задача для этЬго гамильтониана может быть переформулирована в терминах дифференциального уравнения либо локально в голоморфной карте на симплектическом листе ÎÎ, либо глобально над замкнутой кривой Л С П. С этой целью для собственных функций v> используется одно из следующих двух интегральных представлений:

- либо над комплексной плоскостью

V =У <„,,„(г), (21)

где Sj, - голоморфные гипергеомгтричесше состояния (19), (20) алгебры (S), (fym.n - мера (16);

- либо над кривой

(22)

А

• где t)n - Л-когереншые гипергеометрические состояния, параметризованные точками о € Л; интегрирование в (22) ведется по некоторой мере der вдоль кривой Л, лежащей на симплектическом листе П, соответствующем рассматриваемому неприводимому представлению алгебры (8). Топологически ÎÎ и S2. Предполагается, что кривая Л "квантована", т.е. на ней выполнен двумерный аналог условия Бора-Зоммерфельда.

Функция Ф(г) (или ф(о)) в (21) (или (22)) - вто новая волновая функция, которая должна быть подчиш-ita некоторому квантовому уравнению, но уже на комплексной плоскости (или на кривой Л).

Интегралы (21), (22) обладают следующими сплетающими свойствами:

. j(B^)(z)i},dfi,n,n(z), ,'= 0,1,2,3; (23)'

или соответственно

Вj ~ 0,1,2,3, (24)

Л

11 Фпх П Л. И И». АН СССР. Отл. Mit. Ест. и»ук. I9.1V К». 2. С. 1в».

!«АЬ»ег }. Ц Comm. Purf Appl. M»th. 1970. V. 23. P. 609.

"Sewia« J.-U. Sur I« vtrirtt rfc Kppl-r, in: Sympoei« M»th. XIV Aculemir Рг«м. 1974.

H

где В] - дифференциальные операторы (14) второго порядка по У, реализу-

V

ющие алгебру'(8), а В ] - дифференциальные операторы второго порядка на Л, реализующие ту же алгебру (8). Они описаны в разделе III.3. Отметим, что конструкция такого рода операторов на самом деле определяется лишь геометрическими структурами18. •

Из (23); (24) следует, что функция ф (или функция ф) должна быть соб-

о V

ственной для оператора д^(В) над С (или дДВ) над Л); тогда формула (21) (или (22)) даст, интегральное представление точной собственной функции оператора дДВ) над К3. Эти представления исследуются в разделав IV.2, 1У.З.

. В разделе IV.2 уравнение для функции Ф(5) в первом приближении по магнитному полю сводится (точно по 1г) к известному уравнению Хейна.

Приведем втот результат в сокращенной форме с использованием обозначений Теоремы В.

Теорема В.

Пусть т, п - целые, п > [т| >0.

1. Спектральная задача для уравнения Хейна

+ з? + 1)~ - ((2п - и - 3)г2 + з(„ -Н - 2)Т - (И +1))

• 4- ((: -1)(» - н ■-1), -(И 41)(3;~2Н -1) + I - о имеет п — |т| собственных значений ( = Си " собственных функций

п—|т|—1

2. В зоне £3п® -С 1 спектр гамильтониана (1) устроен так:

£" = + ¡£1"4(< + ±5(1) +0( V). (25)

в .

Здесь Т]ь в (доо^^ьФОт^ц^/п {скалярное произведение в пространстве Т>[т] определено в (15)), доо ~ символ усредненного гамильтониана (9) в пер-вом порядке по (1. (Зависимость всех чисел £ь, (¡с, щ от та, п в обозначениях опущена.)

3. В зоне егпТ <С 1 асимптотика собственных функций гамильтониана (1), отвечающих собственным значениям (25), имеет вид

••Кагмв» Л/. V. // Яивя. 1.М»Ш. РЬу«. 1995. V. 3. Х». 3. Р. 393.

где Xi - фунхцпп (20), Sf - генератор дсусрсдняющсяо преобразования, сводящего усредненный гамильтониан (б) к регуляризовпнному гамилътониапу

(3).

В заключительном' разделе IV.3 уравнения для амплитуд Ф, исследуются в квазиклассическом приближении. Замечательно то, что если в (22) выбрать в качестве Л замкнутую траекторию jtt = or(t)} гамильтонова потока, порожденного функцией <jf на гимплектичееком листе i!, и Меру на Л выбрать инвариантной: Игт — <lt, то окажется, что

* v А

' = «wist - ¡Л— + 0(h% где const = ¡г„)Л. (26)

Из (26) видно, что в качестве приближенной собственной функции опе-

v

ратора дц(В) можно взять константу*^ ~ 1. Тогда Из (22) получится, что асимптотическая собственная фуккцйя оператора </;, (В) имеет вид

<р~ (27)

где интеграл берется по квантованной траектории Л* гамильтонова потока киПиЗ5. ;

Далее К асимптотике (27) применяется дсусредняющее преобразование, переводящее собственные функции \р усредненного гамильтониана (9) в собственные функции гы.шльтониана (3) (или в собственные функции ф исходного гамильтониана (1)). Й таким образом получается глобальное представление асимптотических собственных функций гамильтониана атома водорода в магнитном поле (1).

В асимптотике (27) и в точной формуле (22) при каждом л модельная функция f)„, т.е. гипергеометрическое когерентное состояние алгебры (8), квлзиклассически локализована нл двумерной ленте в R1, Все ати ленты получаются вращением ксплероьых вллипсов Вокруг направления магнитного шля. Точка а из многообразия Интегралов движения задает конфигурации» ленты,, а интегрирование в (22), (27) означает суперпозицию по подмножеству возможных конфигураций лент.

Подчеркнем, что формула{27) глобалхна, т.е. работаетва всем R1, включая окрестность нуля й окрестность каустик. В »том - ее отличие от формуя, которые получаются иными известными методами кваэиклассическо-го приближений, где глобальные кэазимоды, ha* правило, строятся лишь сращиванием нескольких локальных".

"Масло» В.П., фе&ср*л Af.S. // КвмикЛассичгское привлижеяие Алл ур»»ве1иП квая-говой механики. М.: Наука, 1978. . .

"Bel о» V. V. an I Votto«« J. I. // Ru«. 1. M»th. Phy.. 1993. V. t. Jfr. A. P. 109.

» Zhtvandm* P.N. // i. M»th. РЬу». 1984. V. 35. Я». i. P. I5i7.

• Речь идет ов интгрвиге анергий, fa* уровни {»«■ = const) > (1 од»осв*звы м "далеко" отстоят от точек максимум» и минимума i»fn-"Изложение подходо», ислолъэуюших Методы сриаиваяия, и и* примеиение «с»-

c-reMAu с кулоноисквй' особенностью д»яо, «»пример, а ".

. • ■' '

13

Интегральные представления (21) и (22), использующие гипергеометрические когерентные состояния, "работают" в случае несильного магнитного поля. В случае магнитного поля произвольной напряженности в диссертации (в разделе IV.1) построены интегральные представления точных собственных функций исходного гамильтониана (1) (или регуляризованно-го гамильтониана (3)) через бесселевы когерентные состояния порядка т. Сформулируем результат в голоморфном варианте.

Теорема Г, '

Предположим, что оператор

О II В О 9 0

So+ fr-)М-,

о

где

к = г* + 2А(2?± J- + (1 + И)) + + (1 + Н))^,

р > 0 - параметр,

имеет в простуакставе ^[m] собственною «/¡учкцию Ф чающую собственному значению Л/ = Пусть v

v = AT(e2i>4).

Тогда интеграл

т = ^ Ф{г+|г.)®н,_ g)

где - бесселево когерентное состояние порядка т (13), <!/im(z+,z-) -

мера (10), задает собственную функцию гамильтониана (1). Соответствующее собственное Значение имеет еид С = —.+ етп.

Аналог Теоремы Г а глобальном варианте - над двумерным лагранже-вым подмногообразием - сформулирован и доказан в разделе IV. 1.

Такте,! образом, основные результаты диссертации заключены в конструкции новых представлений для собственных функций через когерентные состояния. Кроме того, получены и явные формулы для расщепления спектра (т.е. для аффекта Зеемана), продвинутые .до членов четвертого порядка по магнитному полю.

Используемый в диссертации метод не чувствителен к виду возмущения W в исходном гамильтониане (1). Это возмущение может быть, по существу, произвольным, что влияет лишь ка вид функции yt, в (9), т.е. на вид траектории Л = {(>(<)} в (22), но не на геометрию симплентического листа П, содержащего Л, и не на конструкцию когерентных состояний. Основные результаты справедливы и для матричны-х гамильтонианов, например, Паули или Дирака для атома водорода во внешнем поле. Используемый метод может Сыть также аффективно применен для вычисления асимптотики матрицы плотности и решений уравнения Гейзенберга.

Н

= отве-

- решение ^рачкенчл

Кроме того, тс же гамые бееселевы И гнпергеометрические когерентные состояния могут быть использованы для глобальных интегральных представлений решений (точных и квазиклассических) нестационарного уравнении Шредингера; см. по атому Поводу11.

Основные результаты диссертации

1. Для атома водорода в магнитной поле получены новые-типы когерентных состояний, которые отвечают алгебрам симметрии г нелинейными коммутационными соотношениями.

2. Развит цетод редукции когерентных состояний.

3. Проведена процедура квантового усреднения по малому магнитному полю.

4. Усредненный гамильтониан в первых двух порядках по полю вычислен явно как функция от образующих Некоторой алгебры с квадратичными коммутационными соотношениями.

5. Построены неприводимые представления этой алгебры (а также алгебр, возникающих до процедуры усреднения) и установлено соответствие неприводимых представлений с симплсктическиш! листами соответствующей пуаегоновой алгебры.

6. Получено общее интегральное представление собственных функций атома водорода в Магнитном поле произвольной величины через бсссслевы когерентные состояния.

7. В случае малого поля получены интегральные представления приближенных собственных функций через гнпергеометрические когерентные состояния и полиномы Хейна.

8. Для высоких квантовых чисел глобальные асимптотические собственные функции построены явно в виде интеграла по модельным функциям, локализованным на двумерных лентах в К'1.

9. Получены явные формулы для расщепления спектра (т.е. для аффекта Зеемана), продвинутые до членов четвертого порядка по магнитному полю.

"Корчге» М.В., Нети*о»ч В.М. 'Гсор Мири. <Гич 199». 'Г. 10в.