Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах р

ОРЛОВ Юрий Николаевич

КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СИСТЕМ С НЕПУСТЫМ СИНУГЛЯРНЫМ МНОЖЕСТВОМ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006 год

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Научный консультант: доктор физ.-мат. наук, профессор

Веденяпин Виктор Валентинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корр. РАН Трещев Дмитрий Валерьевич

доктор физико-математических наук, профессор Жук Владимир Иосифович

доктор физико-математических наук, профессор Смоляное Олег Георгиевич

Ведущая организация: Московский физико-технический институт (ГУ).

Защита состоится " /? " 2006 г. в II час. на

заседании Диссертационного совётаД 002.024.02 при Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан" " СШф^Л 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета /.

кандидат физ.-мат. наук У**/•— Г.В.Устюгова

/006А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации исследуются проблемы, возникающие на пути построения классической и квантовой статистической механики для систем, обладающих нетривиальным сингулярным множеством в фазовом пространстве. Сингулярное множество определяется условием вырождения гессиана динамической системы. Это означает, что в таких точках не существует взаимно-однозначного соответствия между скоростями и каноническими импульсами. Оказывается, что в этом случае некоторые положения классической статистической схемы должны быть видоизменены, чтобы можно было рассматривать с единых позиций как вырожденные, так и невырожденные в динамическом смысле системы. Не следует думать, что вырожденные динамические системы являются патологическим случаем в физике, и рассмотрение таких систем представляет чисто абстрактный интерес и служит лишь математическим украшением теории. Многие модели реальных физических объектов, вообще говоря, обладают непустым сингулярным множеством. Таковы, например, системы слаборелятивистских взаимодействующих частиц, которые возникают при описании горячей плазмы, моделировании распространения пучков релятивистских заряженных частиц, в задачах эволюции звездных скоплений, а также в некоторых задачах ядерной физики. К вырожденным системам можно отнести и некоторые модели анизотропных кристаллов. Сюда же относится широкий класс систем, описываемый полиномиальными гамильтонианами, которые представляют часто используемые модели систем с локальным многочастичным взаимодействием, например, описывающих взаимодействие излучения с веществом. Кроме того, класс динамических систем с лагранжианами, зависящими от высших производных, также содержит примеры нетривиальных сингулярных множеств. Перечисленные примеры показывают, что «патологические» системы довольно широко распространены, и необходимость их изучения является актуальной задачей, связанной с дальнейшим развитием физики высоких энергий.

В классических курсах статистической механики и термодинамики как правило, молчаливо предполагается, что динамические траектории частиц определены всюду в фазовом пространстве системы. Равновесные статистические распределения зависят только от энергии системы как целого, и если энергия или гамильтониан определены всюду в фазовом пространстве, то тем самым определена и равновесная термодинамика. Это приводит к тому, что создается несколько идеализированное представление об общей схеме статистической механики: кажется, что достаточно задать функцию Лагранжа или Гамильтона системы тел, и после этого все

макроскопические величины, характеризующие систему, могут быть, в принципе, определены, если не аналитически, то хотя бы численно Однако задания лагранжиана или гамильтониана, например, в виде аналитических функций фазовых переменных, в общем случае недостаточно для построения термодинамики системы. Оказывается, что вырождение траекторий в микромире имеет последствия и в определении средних значений динамических величин, и, более того, требует дополнить определение фазового пространства системы. Исследованию и обобщению классической статистической схемы на случай вырождающихся систем, примеры которых приведены выше и будут подробно проанализированы в дальнейшем, и посвящена эта работа.

Основной задачей статистической механики, как классической, так и квантовой, является определение свойств макроскопической системы как целого на основе микроскопического представления о законах взаимодействия между составляющими ее отдельными частицами. Эти представления, в зависимости от детализации физических гипотез относительно характера взаимодействия между телами, могут быть как предельно простыми (например, система материальных точек без внутренней структуры, которые движутся в пространстве, не сталкиваясь друг с другом), так и достаточно сложными, учитывающими взаимодействие тел не только в виде локального столкновения, но и посредством введения понятий коллективного взаимодействия, которое может быть анизотропным, зависеть от скорости рассматриваемой частицы и т д Однако независимо от того, каков уровень внутренней сложности описываемой системы, метод ее исследования средствами статистической механики универсален: этот метод использует аппарат функций распределения, развитый в теории вероятностей Наблюдаемые на практике параметры сплошной среды, каковой чаще всего представляется экспериментатором система многих частиц, трактуются им как результат осреднения множественных микроскопических воздействий, т е. являются моментами функции распределения частиц по скоростям Таким образом, вывод уравнений движения сплошной среды на основе динамики микроскопических ее составляющих и есть задача статистической механики.

В работах основоположников статистической механики Джеймса Максвелла и Людвига Больцмана были впервые получены уравнения, описывающие идеальный газ и газ с короткодействующим бинарным межчастичным потенциалом. Эти уравнения, полученные более ста лет назад, не потеряли актуальности и сегодня. Именно уравнение Больцмана является основным инструментом теоретического анализа самых разноплановых задач: от проблем нестационарного обтекания тела в газовой динамике

и описания химически реагирующих смесей до теории ядерных реакторов и релятивистских квантовых газов. При численных расчетах большинство используемых моделей также представляют собой дискретизацию уравнения Больцмана.

Вывод уравнения Больцмана, описывающего эволюцию одночастичной функции распределения в результате парного столкновения частиц системы, является классической задачей статистической механики, и дан с различной степенью подробности практически в каждом учебнике по этой теме. Лежащая в его основе гипотеза молекулярного хаоса, т.е. отсутствия корреляции между частицами до и после столкновения, является центральным местом теории, поэтому системы с нелокальным взаимодействием, сгрого говоря, не могут бьггь описаны в рамках такого подхода Математически строгий вывод классического уравнения Больцмана на основе цепочки ББГКЙ был сделан Н Н. Боголюбовым в предположении короткодействующего потенциала взаимодействия между частицами и малой их концентрации. Возникает вопрос: какое уравнение придет на смену уравнению Больцмана, если классическое взаимодействие дополнить релятивистскими эффектами, и в какой мере можно сохранить при его выводе предположения классической теории?

Первый шаг в построении релятивистской кинетической теории был сделан в 1911 г Юттнером, который использовал теорию относительности для получения релятивистского обобщения равповесного распределения Максвелла. Он же впоследствии вывел равновесное релятивистское распределение для фермионов и бозонов в квантовом случае. Газ при этом считался идеальным, т е. изучалось релятивистское бесстолкновителыюе кинетическое уравнение. Только во второй половине прошлого века началось изучение релятивистское уравнение Больцмана. Оно представляет собой формальное обобщение классического кинетического уравнения на случай, когда скорости частиц принадлежат пространству Лобачевского, т.е. учитывается релятивистский закон столкновения двух точечных частиц В этой формальности, однако, присутствовала не вполне корректная гипотеза соединения релятивистской механики точки и классического взаимодействия, без учета его запаздывания в силу конечности скорости света. В связи с этим вывод кинетического уравнения, учитывающего как эффекты релятивистской кинематики, так и запаздывания взаимодействия в приближении парных столкновений, является актуальной теоретической задачей

В диссертации выводится уравнение Больцмана в т.н слаборелятивистском (или постгалилеевом, по терминологии автора, либо постнютоновом, как оно

определяется в некоторых других работах) приближении, когда учитываются поправки порядка о(у2 / с2) к Галилей-инвариантным классическим уравнениям движения, где V - скорость тела, а с - скорость света. Само постгалилеево приближение стало активно изучаться после того, как был получен отрицательный ответ на решение задачи Дирака о построении релятивистски-инвариантного гамильтониана (или лагранжиана) для двух взаимодействующих частиц. Этот результат, известный как теорема о невзаимодействии, состоит в том, что система частиц может иметь релятивистски-инвариантное описание с помощью функций от канонически сопряженных координат и импульсов только в отсутствие взаимодействия. В то же время в постгалилеевом приближении такое описание возможно. С практической точки зрения во многих случаях бывает достаточно использовать это приближение для получения поправок к классическому движению с требуемой точностью.

В книге И П. Павлоцкого «Введение в слаборелятивистскую статистическую

механику» показано, что учет членов порядка о(у2 / с2 ] в постгалилеевом приближении парного взаимодействия препятствует выполнению гипотезы о молекулярном хаосе, т.е. не позволяет представить столкновительный член в кинетическом уравнении в классическом виде и получить уравнение Больцмана. В то же время существует возможность приблизить кинетическое уравнение для разреженных слаборелятивистских систем к уравнению Больцмана. Она основана на выводе уравнения Больцмана методом Боголюбова и состоит в том, что члены с классическим взаимодействием группируются с образованием традиционного

столкновительного члена, а члены порядка учитываются в рамках уравнений

цепочки с помощью бинарной функции распределения Этот подход был реализован в первых работах диссертанта [6, 8, 10] В них запаздывание взаимодействия интерпретировалось как макроскопическая неоднородность и потому могло быть учтено при решении уравнения Больцмана методом Чэпмена-Энскога в виде поправки в уравнении первого (но не нулевого) приближения В результате было показано, что в уравнениях вязкой гидродинамики появляются дополнительные члены порядка

О (у2 / с2), линейные по градиентам гидродинамических параметров

Дальнейшее развитие автором корректного метода построения слаборелятивистской статистической механики и выводе уравнений гидродинамики для релягивистской системы взаимодействующих частиц состояло в том, что следует исходить не из классических кинетических уравнений, которые являются приближенными в силу различных гипотез, положенных в их основу, и, возможно, не

имеющих релятивистских обобщений, а из общих эволюционных уравнений относительно высших корреляционных функций системы, т.е. из цепочки Боголюбова.

Программа вывода уравнений гидродинамики из «первых принципов», т е. из микроскопических уравнений движения в лагранжевой или гамильтоновой формах, была сформулирована в основополагающих работах H.H. Боголюбова «Проблемы динамической теории в статистической физике» и «К выводу уравнений гидродинамики» в 1946-1948гт. В этих работах для систем классических частиц с парным потенциалом взаимодействия, зависящим от разности координат, был построен аппарат s -частичных функций распределения, удовлетворяющих эволюционному уравнению, называемому цепочкой (или иерархией) ББГКИ (Боголюбов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон) В зависимости от способа обрыва цепочки на каком-либо уровне (т.е. при расцеплении корреляций высших порядков через низшие), из нее можно получить замкнутые уравнения относительно функций распределения. В частности, расцепление бинарной корреляционной функции позволяет получить кинетические уравнения Больцмана и Власова. Методы решений конкретных кинетических уравнений имеют индивидуальные особенности, также как и получаемые из этих уравнений макроскопические законы сохранения (гидродинамика). Цепочка же является эффективным инструментом для исследования класса гидродинамических уравнений в целом

Применение метода ББГКИ-иерархий к различным физическим системам определило в основном развитие статистической механики во второй половине XX века. Большая часть работ в этом направлении имеет в основном методологическое значение. Они в основном были посвящены выводу кинетических уравнений из классической микроскопической механики частиц. В настоящей работе рассматривается схема Боголюбова, применяемая к статистическому ансамблю вырождающихся динамических систем, когда в фазовом пространстве появляются области, где траектория движения формально не определена или где система не может находиться ни при каких значениях полной энергии.

Следует сказать, что вывод уравнений гидродинамики из классической цепочки важен и сам по себе, поскольку непосредственно из цепочки не удалось получить выражений для коэффициентов переноса: будучи прямым следствием обратимого во времени уравнения Лиувилля, цепочка не содержит диссипативных членов. В то же время она позволяет исследовать особенности, возникающие при выводе уравнений вязкой гидродинамики, которые не проявляются в редуцированных кинетических уравнениях Более того, в случае, когда гамильтониан системы является произвольной

функцией координат и импульсов частиц (в частности, когда сопряженные переменные не разделены), возникает ряд эффектов, отсутствующих при традиционном выводе гидродинамики из цепочки. В частности, гессиан системы может вырождаться, что приводит к особым состояниям локально-равновесного распределения, и, кроме того, возникают дополнительные диссипативные потоки в уравнениях эволюции макроскопических величин. Эти эффекты исследованы автором в работах [6-11,14,23] и обобщены в [25].

Вырождение преобразования Лежандра для целого ряда физически актуальных задач, кратко упомянутых выше, представляет серьезную математическую проблему при построении статистической механики таких систем. В диссертации подробно исследованы два практически важных случая' это слаборелятивистские лагранжианы Дарвина и Фока-Фихтенгольца, а также модели динамических систем с высшими производными. Оба эти случая представляют различные нелокальные эффекты (запаздывание взаимодействия или наличие внутренней структуры у «точечной» частицы), которые описываются посредством некоторых локальных моделей. Исследование этих моделей привело к обобщению важных понятий статистической механики, которые в классическом случае представлялись достаточно хорошо изученными: фазовое пространство системы, преобразование Лежандра, функциональная гипотеза Боголюбова и локально-равновесные распределения Это существенный методологический аспект диссертации, который позволяет увидеть новые взаимосвязи между традиционными инструментами статистической механики.

Вторая часть диссертации посвящена исследованию некоторых особенностей построения статистической квантовой механики систем с непустым сингулярным множеством на примере систем с запаздыванием взаимодействия, рассмотренным в первой части. Определение классических траекторий для систем с сингулярным множеством является необходимым условием для проведения квантования динамических величин Однако само квантование (т е запись уравнения Шредингера) для таких систем определено неоднозначно, поскольку операторы координаты и импульса в гамильтониане в общем случае не разделены. Это обстоятельство приводит к необходимости исследовать такой специфический аспект квантования, как правило расстановки операторов некоммутирукнцих величин Результаты, полученные в связи с этим исследованием, проводимым на примере слаборелятивистских систем, позволили выявить важное свойство связи квантования и квазивероятности, которое имеет место и для нерелятивистских моделей.

Таким образом, в рассматриваемых моделях проявляется «двойная» неоднозначность правила квантования: во-первых, это неоднозначность в построении символа функции от оператора - например, G = ехр(/7Я), даже если сам оператор Н не зависит от способа расстановки некоммутирующих операторов, и, во-вторых, неоднозначность, вызванная собственно зависимостью И от правила квантования. Исследование взаимовлияния указанных эффектов проводится впервые в настоящей работе. В ней рассмотрен класс линейных квантований, который включает в себя большинство из часто употребляемых примеров (Вейля, Йордана, Борна и ряд других) и позволяет проводить анализ зависимости статистических свойств системы от правила квантования ее гамильтониана в рамках единого формализма. Применение же метода продолжения классической траектории на основе первых интегралов позволяет сформулировать правило квантования системы в окрестности сингулярного множества, в частности, обнаружить новые точки поворота.

Если квантование динамической системы проведено, то далее может быть применена стандартная схема построения квантовой статистической механики, разработанная H.H. Боголюбовым и H.H. Боголюбовым (мл.) в монографии «Введение в классическую и квантовую статистическую механику». Квантовые функции распределения, или статистические операторы комплексов частиц (т.е. следы матрицы плотности системы), зависят от квантования настолько, насколько от него зависит гамильтониан, но, как указывалось выше, существуют также статистические операторы, определяемые и самим правилом квантования. Таковой является функция Вигнера системы (или квазивероятность). Функция Вигнера была введена как объект, с помощью которого можно получить «почти классическое» правило вычисления средних значений от квантовых операторов. Поэтому построение уравнения эволюции функции Вигнера, в котором учтена возможность произвольного линейного квантования гамильтониана системы, имеет теоретическую значимость и актуальность.

Существует большое число работ, в которых исследуются свойства функции Вигнера. Это обусловлено практической привлекательностью метода, позволяющего проводить анализ уравнений эволюции квантовых средних от операторов наблюдаемых, не обращаясь непосредственно к уравнению Шредингера, особенно в случае многих частиц. При этом практически единственным используемым является определение функции Вигнера как преобразования Вейля матрицы плотности системы. Такое определение предполагает, в свою очередь, применение только вейлевского правила квантования. В частности, наиболее близкие к теме настоящего

исследования задачи рассмотрены в известной книге де Гроота и Сатторца (Электродинамика). В ней проведено преобразование Вейля матрицы плотности для слаборелятивистского гамильтониана Дарвина, и получены соответствующие уравнения эволюции квантовых средних от динамических операторов системы. В настоящей работе уравнение Вигнера выводится для случая произвольного линейного квантования и произвольной динамической системы с бинарным взаимодействием в

приближении о(у2/с2). В настоящей работе показана выделенность квантования Вейля как единственного эрмитового из линейных квантований рассматриваемого класса, для которого по измеримому маргинальному распределению можно построить функцию Вигнера и матрицу плотности. Применяя произвольное линейное квантование к точно решаемым случаям (например, гармонический осциллятор), для которых существует явное решение стационарного уравнения Вигнера, удалось показать, что только для квантования Вейля существует равновесное распределение Вигнера. Эти результаты приводят косвенные доводы в пользу квантования Вейля как единственно приемлемого для динамических систем.

Далее в диссертации изучается класс полиномиальных гамильтонианов в терминах вторичного квантования. Широкий круг вопросов квантовой физики, таких как теория твердого тела, теория сверхтекучести и сверхпроводимости, теория взаимодействия излучения с веществом, решаемых в рамках моделей вторичного квантования, имеет как теоретическое, так и большое практическое значение. Значительная часть базовых моделей, используемых в этих областях, принадлежит классу полиномиальных квантовых гамильтонианов. Таковы, например, модели, описывающие взаимодействие одномодового излучения с бесконечной системой бозонов (квантовая теория затухания), взаимодействие излучения с системой двухуровневых атомов, эффекты самофокусировки, комбинационное рассеяние, многофотонное поглощение и излучение, и др. Основы математического формализма метода вторичного квантования были заложены В.А. Фоком и описаны в его монографии «Введение в квантовую механику». Дальнейшее развитие метода связано с использованием представления когерентных состояний гармонического осциллятора для описания статистических свойств суперпозиции когерентного и хаотического полей. В отличие от представления чисел заполнения Фока, в представлении когерентных состояний известной величиной считается фаза излучения, а число квантов в состоянии с данной фазой произвольно. Математические аспекты метода вторичного квантования и использования переполненных систем векторов были развиты Ф.А. Березиным в книге «Метод вторичного квантования». В настоящее время

метод когерентных состояний активно используется при исследовании нелинейных оптических явлений и т.н. неклассических состояний поля излучения (многофотонное комбинационное рассеяние, генерация сжатого света и др.). В диссертации проведено обобщение метода когерентных состояний на случай, когда операторы рождения и уничтожения, в терминах которых записывается модельный гамильтониан в различных квантовооптических задачах, удовлетворяют некоторому классу нелинейных коммутационных соотношений.

Основным методом исследования спектра гамильтонианов квантовой оптики (и ряда других квантовых моделей) является теория возмущений Однако, в таком подходе не всегда удается точно указать границу применимости приближения, а также исследовать асимптотическое поведение собственных значений в случае нелинейного взаимодействия. В работах автора [13, 15, 17-19, 21, 22, 24] построена математически строгая теория анализа асимптотики спектров квантовых гамильтонианов полиномиального типа, и предложен конструктивный метод такого анализа, основанный на отыскании всех линейных инвариантов модели. Оказалось, что многие модельные гамильтонианы, используемые для описания комбинационного рассеяния, имеют неограниченный снизу спектр, что препятствует их применению к исследованию термодинамического равновесия системы. Это означает, что при высокой когерентности и интенсивности излучения можно ожидать превышение асимптотического предела оптической прочности кристалла: из-за неограниченности спектра при отрицательных значениях энергии появляется формальная возможность закачивания бесконечной энергии в фононную моду, что можно интерпретировать как разрушение образца.

Исследование спектра полиномиальных квантовых гамильтонианов привело в настоящей работе к построению системы неклассических ортогональных полиномов, с которыми связаны собственные функции оператора Гамильтона на конечномерном инвариантном подпространстве, выделяемом законами сохранения. Важным аспектом теории является определение асимптотического поведения спектра оператора, для чего был применен метод нормировки собственных значений по аналогии с тем, как это делается для классических ортогональных полиномов, после чего для нахождения главной асимптотики собственных значений исследуются следы степеней матрицы оператора в представлении чисел заполнения.

Заметим, что если число взаимодействующих квазичастиц в гамильтониане больше двух, то такой гамильтониан нельзя привести к диагональному виду с помощью канонического преобразования Боголюбова. Преобразованиями Боголюбова

называются линейные симплектические преобразования гильбертова пространства и порождаемые ими преобразования операторов, возникающих при представлении канонических коммутационных соотношений, и соответствующие унитарные преобразования пространства, в котором эти операторы действуют. В отличие от традиционно рассматриваемых квадратичных гамильтонианов, если порядок полинома выше двух, то, хотя при каждом фиксированном значении законов сохранения эрмитова матрица гамильтониана диагонализуется, соответствующее преобразование не является унитарным. Это означает, что квазичастицы (одного сорта, если система полностью интегрируема), в терминах которых гамильтониан диагонален, не являются бозонами В то же время собственные значения оператора числа квазичастиц совпадают со спектром гамильтониана. Возникшая проблема диагонализации гамильтонианов, нелинейных по операторам рождения и уничтожения квазичастиц, привела к рассмотрению неклассических коммутационных соотношений и их представлений в пространстве чисел заполнения. Появилась необходимость распространить представление когерентных состояний, развитое для бозонного поля, на случай более общих коммутационных соотношений. В насгоящей работе рассматривается построение переполненной системы векторов для неклассических коммутационных соотношений между операторами рождения и уничтожения. Выводятся формулы для ковариантных символов векторов и операторов в этом представлении, и доказывается существование меры в комплексной плоскости, с которой эти символы корректно определены. Неклассические коммутационные соотношения возникают во многих задачах квантовой оптики, что привело к большому количеству работ в области теории представлений квантовых алгебр. В настоящей работе рассматриваются когерентные состояния для квазибозонного представления неклассических коммутационных соотношений и доказывается свойство их минимальной неопределенности.

Другим важным результатом проводимого исследования гамильтонианов квантовой оптики явилось сопоставление полиномиальных квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений типа химической кинетики (и те, и другие имеют общую классификацию по числу имеющихся у них линейных инвариантов), что позволило построить первые дискретные модели уравнения Больцмана для смесей с правильным числом законов сохранения

Построение дискретных моделей кинетических уравнений является важной прикладной задачей. Одно из главных требований к таким моделям состоит в том, чтобы они обладали теми же законами сохранения, что и исходное кинетическое

уравнение, т е чтобы дискретизация не меняла микроскопическую динамику, лежащую в основе кинетического уравнения. Одним из основных кинетических уравнений, используемых при моделировании широкого класса задач газовой динамики, химической кинетики, некоторых задач квантовой статистической механики, является уравнение Больцмана. В последние годы исследования дискретных моделей уравнения Больцмана ведутся очень активно. В литературе широко обсуждаются модели для смесей, допускающие обмен энергией между разными компонентами, и построение таких моделей - актуальная проблема, имеющая большое прикладное значение.

Построение адекватной дискретной модели уравнения Больцмана хотя бы для случая двух компонент связано с преодолением трудности т.н. лишних инвариантов (например, энергии отдельных компонент), которые присутствуют в дискретной модели, но отсутствуют в исходном кинетическом уравнении При проведении численных расчетов лишние инварианты могут привести к неправильной гидродинамике, поскольку традиционно используемое при ее выводе локально-равновесное распределение будет в этом случае отличаться от максвелловского.

В настоящей работе исследуется класс кинетических уравнений типа химической кинетики, которые обобщают уравнение Больцмана на случай реакций более высоких порядков, чем парные столкновения. Обобщение понимается в том смысле, что для изучаемых уравнений, как и для уравнения Больцмана, справедлива Н-теорема. Нетривиальным результатом, полученным в настоящей работе, является построение определенного соответствия между кинетическими уравнениями из рассматриваемого класса и полиномиальными квантовыми гамильтонианами, описывающими процессы локального взаимодействия частиц в терминах операторов рождения и уничтожения. Именно, ссли каждому классическому акту столкновения, моделируемому кинетическим уравнением, поставить в соответствие квантовый гамильтониан, описывающий тот же процесс на квантовом уровне (как уничтожение частиц, вступающих в столкновение, и рождение продуктов этой реакции), то такой гамильтониан будет обладать теми же законами сохранения в терминах операторов числа частиц, что и кинетическое уравнение в терминах функций распределения.

Кинетическое уравнение и квантовый гамильтониан будем называть соответствующими друг другу, если законы сохранения для квантового гамильтониана в терминах операторов чисел заполнения те же самые, что и законы сохранения для кинетического уравнения в терминах плотностей распределения частиц данного типа.

Особую роль в кинетических уравнениях играют законы сохранения, линейные по плотностям частиц. В частности, для уравнения Больцмана именно они являются основными макроскопическими величинами при переходе к сплошной среде, когда выписываются уравнения гидродинамики относительно средних значений плотности, импульса и энергии. С другой стороны, для пространственно-однородного уравнения Больцмана эти законы сохранения полностью определяют качествешюе поведение системы, //-теорема обосновывает стремление системы к стационарному состоянию, параметры которого определяются соответствующими законами сохранения.

Аналогия, предлагаемая в настоящей работе в качестве принципа соответствия между законами сохранения для квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений позволяет написать обобщение дискретных моделей уравнения Больцмана как на случай распадов и рождений частиц, так и для включения в рассмотрение столкновений более высокого порядка (тройных и далее) Это обобщение выделяет класс уравнений химической кинетики, для которых также справедлива //-теорема.

Цель и задачи исследования. В диссертации исследуются проблемы построения классической и квантовой статистической механики для систем с локальным вырождением в фазовом пространстве, а также разрабатываются методы спектрального анализа квантовых гамильтонианов полиномиального типа, использующихся в различных моделях квантовой оптики.

Научная новизна. В диссертации рассмотрены проблемы построения классической и квантовой статистической механики для систем с локальным вырождением в фазовом пространстве, а также исследованы спектральные свойства квантовых гамильтонианов полиномиального типа, использующихся в различных моделях квантовой оптики. Проведенное исследование показало, что традиционная схема построения статистической механики для таких систем нуждается в некоторой коррекции принятого формализма Новизна настоящей диссертации в том, что в ней впервые проведено исследование особых точек в фазовом пространстве системы, в которых динамическая траектория не определена, и предложен способ продолжения траектории на основе принципа доопределения инвариантов движения на сингулярное множество. Для квантовых систем, которые описываются полиномиальными гамильтонианами, был предложен метод спектрального анализа на основе использования законов сохранения и метод исследования асимптотики спектра на инвариантных подпространствах. Эти методы позволили упростить анализ сложных моделей, применяющихся в квантовой оптике, а также провести аналогию с кинетическими уравнениями, обладающими похожими законами сохранения.

Научная и практическая ценность. Предложенное в работе обобщение статистической механики на системы с вырождением лагранжиана позволило рассмотреть такое важное с точки зрения практики приложение, как случай слабого релятивизма для систем с бинарным взаимодействием. Поскольку связи, накладываемые на слаборелятивистскую систему в точках вырождения, локальны, то квантование такой системы также может проводиться в рамках традиционного формализма, если доопределить в этих точках первые интегралы системы по непрерывности. Класс слаборелятивистских систем интересен тем, что он позволяет исследовать вопрос о правиле квантования (те. об упорядочении некоммутирующих операторов в произведении) именно там, где оно существенно уже на стадии решения уравнения Шредингера, а не только при построении статистических операторов системы. Взаимовлияние этих двух аспектов квантования в полной мере проявилось при выводе уравнения эволюции функции Вигнера для достаточно общего класса линейных квантований. Это - методологический аспект диссертации.

Другим направлением исследования явились полиномиальные квантовые гамильтонианы. Для них автором был предложен алгоритм построения пространства линейных (по операторам числа частиц) законов сохранения, что позволило значительно упростить исследование спектральных свойств таких операторов Сопоставление квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений, обладающих в некотором смысле одинаковыми законами сохранения, привело к классификации уравнений типа химической кинетики, для которых справедлива Н- теорема, а также к построению соответствующих дискретных моделей с правильным числом инвариантов. Эти результаты имеют большое прикладное значение, т к. гарантируют получение при численном расчете тех же макроскопических свойств, которыми обладает и исходное «точное» кинетическое уравнение

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на международных конференциях'

1. Международная конференция по квантовой оптике. Дубна, 1993.

2. International Conference on Representation theory and Computing Algebra. Kiev, 1997.

3. International Conference on Nonlinear equations in Many-Particle Systems. Oberwolfach,

1999.

4. TV Международная конференция по математическому моделированию. Москва,

2000.

Результаты исследований докладывались также на многих научных семинарах, среди которых:

1 Семинар по математической физике ИПМ РАН (рук В.В. Веденяпин, М.В Масленников);

2 Семинар по математической физике МИР АН (рук В.С Владимиров);

3. Семинар по квантовой теории поля МИР АН (рук. А. А. Славнов);

4. Семинар по теории функций на мехмате МГУ (рук О.Г Смольянов);

5 Семинар по теории вероятностей на мехмате МГУ (рук Б.М. Гуревич, В.И Оселедец);

6. Семинар кафедры квантовой химии на хим. фак-те МГУ (рук. Н.Ф. Степанов);

7. Семинар по теоретической физике в ИСАН, г. Троицк (рук. Ю.Е. Лозовик);

8. Семинар кафедры высшей математики МФТИ (рук Г.Н Яковлев);

9. Семинар по избранным задачам классической динамики на мехмате МГУ (рук. В.В. Козлов, Д.В. Трещев);

10 Семинар по математической физике МИР АН (рук. И.В. Волович); 11. Семинар кафедры теоретической физики МФТИ (рук. М.Г. Иванов).

Материалы диссертации были положены в основу курса лекций по квантовой кинетической теории, который читается автором с 1999 года в МФТИ для студентов старших курсов и аспирантов.

Публикации.

Все представленные в диссертации результаты являются новьми. Они опубликованы в 31 работе диссертанта в 1988 - 2003 годах. Из этих работ девять опубликованы диссертантом самостоятельно. Основные 25 публикаций представлены в автореферате.

Вклад автора в совместных работах.

В работах [1-3, 7, 8] автору принадлежит постановка задачи и метод исследования особых точек преобразования Лежандра слаборелятивистских систем, а также вывод уравнения Вигнера и исследование его зависимости от правила квантования. В работах [10, 11] автором получены уравнения слаборелятивистской вязкой гидродинамики, следующие из уравнений Больцмана и Власова В работах [12,13] автору принадлежит постановка задачи и формулировка метода исследования асимптотик спектра модельных гамильтонианов. В работах [15, 17] автору принадлежит метод построения асимптотики спектра полиномиальных квантовых гамильтонианов и полученные точные выражения для асимптотической функции распределения нулей В работе [18]

автором разработан метод построения ядра квантования для рассматриваемых систем и предложена классификация моделей по размерности инвариантного подпространства линейных законов сохранения в терминах числа частиц. В работах [16, 20, 24] автору принадлежит постановка задачи и нахождение явных решений, а также описание инвариантов рассматриваемых моделей.

Структура диссертации.

Диссертация «Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством» состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 156 наименований, расположенных в алфавитном порядке. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даеюя краткий обзор основных направлений исследований в области статистической механики классических и квантовых систем взаимодействующих частиц и формулируются проблемы, решению которых посвящена настоящая диссертация.

В первой главе рассматриваются динамические системы, имеющие непустое сингулярное множество в фазовом пространстве лагранжевых переменных. Для таких систем преобразование Лежандра имеет особые точки, в которых следует доопределить понятие траектории. Используя метод продолжения траектории через особые точки с помощью непрерывных первых интегралов динамической системы, можно строить статистическую механику таких систем на основе уравнения Лиувилля, справедливого в каждой из областей фазового пространства, 1де якобиан преобразования Лежандра отличен о г нуля. Пусть ¿(д, у) - лагранжиан системы N тел, <? = (я 1, ,Ялг) ~ совокупность пЫ координат частиц, каждая из которых принадлежит некоторой области ОсЯ", и у = (у1;. - совокупность

соответствующих скоростей, а - функция распределения системы. Тогда

отправным пунктом в построении статистической механики является система уравнений

(О

Первое уравнение системы (1) - уравнение Лиувилля, второе - уравнение движения Эйлера-Лагранжа. Видно, что уравнение Лиувилля определено только для тех точек

фазового пространства, в которых определено ускорение V®, для чего требуется

В качестве примеров, когда определитель 3 может обращаться в нуль, в работе рассматриваются два класса динамических систем: а) системы, описываемые квадратичными лагранжианами с высшими производными, для которых проведена классификация замкнутых траекторий на сфере, являющихся сингулярными решениями уравнений движения, и б) системы с запаздыванием взаимодействия в постньютоновом приближении, для которых дана классификация сингулярного множества и строятся равновесные функции распределения. Основные результаты первой главы состоят в следующем:

1.1. Получена классификация сингулярных множеств для слаборелятивистских систем. Показано, что в случае движения слаборелятивистской частицы во внешнем поле это множество представляется в виде прямой суммы двух множеств: сингулярного множества первого типа, отвечающего разрыву компоненты ускорения, направленной вдоль движения, и сингулярного множества второго типа, отвечающего разрыву нормальной компоненты ускорения. Проиллюстрируем это на следующем примере. Пусть лагранжиан зависит от модулей координаты и скорости:

/ \

невырожденность второго уравнения- 3 = <1е1--ж ф О

V •/ /

i = 1(с/,у\ д = |ч|, v = |у|. Тогда

1 ЗЬ . I 1 ЗЕ . -=--Ди +—д„,

дvlдvJ V Л УЛ

(2)

где Е = V— Л

-1 - энергия системы, а Д„ и Д,' - взаимно-ортогональные проекторы:

Д„ = е,е,, Д^ = - А 1}, е = V / V. В этом случае определитель У легко вычисляется.

Отсюда следует, что особыми точками являются нетривиальные (с ненулевым значением скорости) стационарные точки энергии и лагранжиана, причем последние существуют только в пространстве размерности больше 1. Стационарные точки энергии отвечают разрыву компоненты ускорения, касательной к траектории, а стационарные точки лагранжиана - разрыву его нормальной составляющей

На основе этой классификации определяются далее области фазового пространства, доступные для движения системы Для этого требуется построить продолжение траектории за сингулярную точку. Разрешая формально уравнения Эйлера-Лагранжа относительно ускорений, получаем

MaL „ = (4)

' \3Lld» и сЕ!д> ,J) 1 4 Из (4) следует, что в окрестности сингулярного множества ускорение стремится в бесконечность, если в этих точках <3. / Ду * О, / ¿3/ ^ 0. В частности, в той области

фазового пространства, где ^ > 0, в окрестности сингулярности ускорение имеет

/ Д>

направление, противоположное движению. Тогда постулируется, что траектория зеркально отражается от сингулярной точки, причем первые интегралы системы продолжены на сингулярное множество по непрерывности. Аналогично, если

^^ < 0, то траектория входит в область фазового пространства, имеющую другой (Ш.1 д/

знак определителя J. В случае, если терпит разрыв компонента ускорения, ортогональная скорости, то система закручивается на сингулярную поверхность. Эти соображения приводят к формулировке принципа продолжения сраектории' Предложение 1. Пусть динамическая система с лагранжианом L(q,v\ (<?,v)e у, имеет сингулярное множество Sq, на котором вырождается преобразование Лежандра. Если она обладает независимыми непрерывно дифференцируемыми в у инвариантами движения Ij,j = \,2,...,jm <nN, и = SD f| /, - множество общих точек и 1 ], то

5д достижимо тогда и только тогда, когда P|S/ Доступная область фазового

1

пространства системы ограничена поверхностями вырождепия якобиана J - 0, в окрестности которых нормальная составляющая ускорения направлена против движения. Точками отражения от Sq являются нетривиальные решения системы уравнений dq,/dvj = 0, где траектория, задаваемая системой уравнений I j [q, v) = const, имеет локальный максимум.

Таким образом, система уравнений (1) должна быть дополнена граничными условиями для функции распределения, описывающими ее эволюцию после попадания на сингулярную фазовую поверхность. Эти условия удобно записать в интегральном виде'

p{x,ts+0)= \p{x,x')p{x\ts-0)cb', (5)

где ядро Р(х, х') описывает процесс прохождения траектории через поверхность S(x). Особую поверхность будем считать гладкой, так что в каждой ее точке определен вектор нормали n = VS/|VS|, где градиент берется именно в фазовом пространстве размерности 2п. В ядре Р{х,х') должны быгь отражены правила прохождения особой поверхности' ядро отлично от пуля только на особой поверхности, т е в нем должен находиться фактор S(S(x')); оно должно сохранять пространственные положения частиц после прохождения, те. требуется наличие фактора <5(q-q'); сохранение первых интегралов системы обеспечивается введением <?(/(*)- /(*'))• Наконец, если мы рассматриваем зеркальное отражение траектории от поверхности S, то появляется множитель S(\ - 2n(x'n)). Т.к. в данном случае поверхность не поглощает систему, то

должно быть В итоге получаем

Р(х,х')= 6{s(x'))s{l{x) - ф'Мч - Ч'М* - 2п(х'п)). (6)

Далее предложенный метод применяется к слаборелятивис1ским системам, динамика которых задается лагранжианом вида

N

m,c2Jl-(v,/cY- У Ф„ 1 +

2с J 2с 2с

he

;=1 \<l<j<N

I

(7)

2 ■ 1 У 2 2с li:<JiN 6с 1<]<к

где через т, обозначены массы покоя частиц, \у = у,-\п,; = - единичные

векторы в направлении q!/ =qi -Чу, Фу - классический потенциал парного

взаимодействия, а 01} = дуФ'у /Ф,у - его логарифмическая производная. При значениях параметров / = 0, к = 1, Ь - 0 из (5) получается известный лагранжиан Дарвина а при к = 1, а = 3, Ь-1 - лагранжиан Фока-Фихтенгольца-Инфельда. Для этих систем в работе получены следующие основные результаты:

1.2. Выведены явные формулы для определителя преобразования Лежандра в случае двух взаимодействующих слаборелятивистских частиц. Определены условия, при

которых движение невырождено во всем фазовом пространстве. В часшости, рассмотрен случай двух заряженных тел с учетом гравитационного взаимодействия между ними.

1.3. Доказана теорема о нульмерности сингулярного множества постньютоновых систем, что позволяет на основе классификации этого множества перейти в регулярных областях фазового пространства к гамильтонову описанию. В этих областях проведено преобразование Лежандра и построены соответствующие гамильтонианы слаборелятивистских систем.

1.4. Построена точно решаемая одномерная модель слаборелятивистского газа, в которой термодинамические свойства системы существенно зависят от гого, принимается или нет во внимание ограничение доступной области движения в фазовом пространстве.

1.5. Проведено исследование движения, порождаемого лагранжианами, зависящими от высших производных. Для двух классов таких лагранжианов (модели с ограниченными ускорениями и полиномиальной модели) построены точные решения уравнений движения, а для квадратичных лагранжианов выделен класс сингулярных решений на сфере произвольной размерности и построены все билинейные инварианты движения.

1.6. Получено решение задачи Кеплера в слаборелятивистском случае с учетом ускорений в т.н. квадратичной модели. Показано, что влияние ускорения в регулярных финитных решениях сводится к поправкам для параметров прецессирующей эллиптической орбиты и к появлению ангармонических колебаний удвоенной и учетверенной классической частоты.

Во второй главе проводится обобщение метода цепочек Боголюбова на случай систем, рассмотренных в первой главе. Показаны существенные отличия, которые приобретает функциональная гипотеза, от классической ее формулировки как в использовании некоторых традиционных представлений (например, о локально-равновесном распределении), так и при выводе уравнений I идродинамики Основные результаты второй главы состоят в следующем:

2.1. Получены уравнения цепочки ББГКИ для случая многочастичного взаимодействия, зависящего от координат и импульсов тождесгвенных частиц. Выведено уравнение для первой неравновесной поправки к бинарной локально-равновесной функции распределения и получены некоторые его частные решения.

2.2. Проведена классификация сингулярного множества динамической системы на гидродинамическом уровне Показано, что система как целое обладает тремя типами

особых состояний, в окрестности которых нельзя использовать гипотезу о регулярности функций распределения по малому параметру макроскопической неоднородности, либо гипотезу о локально-равновесном приближении Эти особые состояния таковы:

- возможность вырождения связей между параметрами ру локально-равновесного распределения (плотность, импульс, температура) и макроскопическими гидродинамическими средними я** (плотность, скорость, энергия), т.е.

- возможная неразрешимость уравнений эйлеровой гидродинамики относительно временных производных параметров ру, в терминах которых записываются эти уравнения в локально-равновесном приближении;

- неоднозначность связи между средней скоростью и средним импульсом системы, следующая из возможности вырождения определителя 7 из главы I.

2.3. Для постньютоновых (т е слаборелятивисгских) систем в регулярных областях фазового пространства получены локально-равновесные функции распределения как решения соответствующей стационарной цепочки Боголюбова. Это - необходимый шаг для применения функциональной гипотезы Боголюбова к выводу уравнений гидродинамики. Предложен метод, позволяющий найти слаборелятивистские поправки к коэффициентам переноса, если известны соответствующие классические величины.

2.4. Выводятся слаборелятивистские уравнения Власова и Больцмана, на основе которых также может быть построена соответствующая гидродинамика Показаны отличия уравнений гидродинамики, следующей из цепочки, от гидродинамики, получаемой из этих кинетических уравнений.

2.5. Получено точное решение линеаризованного слаборелятивистского уравнения Власова, описывающего поведение системы на малых временах по сравнению с временем гидродинамической релаксации. Запаздывание взаимодействия в этом приближении приводит к тому, что дисперсионное уравнение, определяющее частоты собственных колебаний системы, из алгебраического становится интегральным уравнением Фредгольма с вырожденным ядром. Найденное решение применяется за!ем к нахождению поправок для слаборелятивистского электронного газа и для системы тяготеющих масс.

Третья глава посвящена проблеме квантования динамических систем, гамильтониан которых является произвольной функцией координат и импульсов.

Принципом соответствия между классическими и квантовыми системами называются условия, налагаемые на возможные двусторонние отношения между множествами функций {А} и операторов |Л}. Соответствие А -> А называется переходом к классическому пределу; при этом А называется символом оператора А. Соответствие А—>А называется квантованием. Для построения квантовой динамики по классической следует указать квантование функции Гамильтона. При этом, каково бы ни было квантование, потребуем выполнения обычного соответствия для операторов координаты и импульса:

ро-Й^. 1" МяТ. (8)

ас

Известно, что соответствие между операторами и символами операторов полностью определяется формулами, выражающими символы операторов рА, Ар, дА, Ад через символ оператора А. Квантование называется линейным, если эти формулы имеют вид линейных операторов с постоянными коэффициентами, например:

Л-о Л, Ад ащ + ф + р-^ + А-^А.

Пусть А - матричный элемент оператора Л, так что для всех функций ц> из некоторого гильбертова пространства выполняется

Ядром квантования к(д,р\х,у) называется обобщенная функция с точечным

носителем, связывающая матричный элемент оператора с его символом:

А{х,у)= \ад <1рА{д,р)к{д,р\х,у) (9)

Для класса линейных квантований, удовлетворяющих условию (8), в диссертации получено ядро квантования, что позволило с единых позиций описать квантовые системы с достаточно произвольным правилом симметризации произведений некоммутирующих операторов. Это ядро имеет вид

* =1 -СО \Ш>

где (Эк^) - некоторая произвольная (возможно, обобщенная) функция, равная нулю

со

вне отрезка [0, 1] и удовлетворяющая условию нормировки (1}Л= 1.

-оо

На основе квантования (10) в третьей главе получены квантовые обобщения цепочки статистических операторов для слаборелятивистских систем, рассматриваемых в главе I. Основные результаты главы III:

3.1. Для произвольного линейного квантования из рассматриваемого класса выведено уравнение эволюции квазивероятности для слаборелятивистских систем (уравнение Вигнера). Оно имеет вид

1

^(-Нксо)ехрО{1щ + а>р + ккш))с1Ыа>|(?(,")ехр.

О

(П)

Здесь есть функция Вигнера для квантования с функцией <2(0 - - /л),

¿Л^ + + // + Д = 1. (12)

Н(д, р) = ехр(% + ¡ар)<Ни1(» . Функция в имеет смысл характеристической функции распределения б(и) для ядра К:

1

0(у) = |2(»ехр(/»^. О

Полученные уравнения позволяют понять структуру интегрально-разностного оператора, определяющего эволюцию квазивероятности. Показано, что среди линейных эрмитовых квантований гамильтониана только для квантования Вейля выполняются следующие свойства' а) существует взаимно-однозначное соответствие между матрицей плотности системы и квазивероятностью; б) существует стационарное решение для квазивероятности в первом приближении по теории возмущений; в) существует равновесное распределение для квантового гармонического осциллятора. Эти результаты могут служить косвенным аргументом в пользу физической реализуемости именно этого квантования.

3.2. Для произвольного линейного квантования из рассматриваемого класса выведено уравнение эволюции маргинального распределения, и показано, что это распределение сохраняет свою неотрицательность только для квантования Вейля.

В четвертой главе исследуются квантовые гамильтонианы полиномиальною типа, классические символы которых также имеют сингулярное множество. Эти гамильтонианы, записанные в представлении вторичного квантования, являются основными моделями, используемыми в квантовой оптике для описания процессов взаимодействия излучения с веществом. Рассматриваются гамильтонианы вида

Я = Я„+ ^Ьара+аа~Р + кс. (13)

Здесь #о = Яо(«],...,йр) - оператор, диагональный в и - представлении, Ьар -

действительные коэффициенты, аа а"р, (а,/?) е./ а 21Р неотрицательные

целочисленные мультшшдексы, т.е. векторы из некоторого подмножества J целочисленной 2 р -мерной решетки , кс. означает эрмитово сопряжение. Для этих моделей в диссертации разработан метод, позволяющий выписать все линейные по операторам числа частиц законы сохранения, что существенно упрощает исследование спектра гамильтонианов. Основные результаты главы IV состоял в следующем:

4.1. Проведено исследование спектра гамильтонианов полиномиального типа, которые применяются в квантовой оптике для моделирования взаимодействия излучения с веществом. Дана классификация таких гамильтонианов по числу законов сохранения, линейных по операторам числа квазичастиц. Построена эффективная процедура нахождения всех линейных инвариантов и получены достаточные условия полной интегрируемости. Эта процедура основана на следующем предложении.

Предложение 2. Обозначим через множество векторов а-Р&2Р из (13), а через I - их линейную оболочку. Линейный по числу частиц оператор

04)

/1=1

коммутирует с гамильтонианом (13), если вектор ц = ортогонален линейной

оболочке Ь векторов а-Р, т.е принадлежит ортогональному дополнению в Яр.

Поскольку гамильтонианы вида (13) описывают локальные взаимные превращения квазичастиц, то законы сохранения их числа отвечают модельным физическим представлениям о процессе. Такие модели оказывается удобным классифицировать по размерности инвариантного подпространства, определяемого выражениями (14). Как следствие, аналогичная классификация имеет место и для

соответствующих классических систем. Практические действия сводятся к построению базиса в ортогональном дополнении LПосле этого свойства модели изучаются на указанном инвариантном подпространстве.

4.2. В случае полностью интегрируемых квантовых систем указанною выше класса исследована асимптотика спектра гамильтониана при больших числах заполнения Свойство полной интегрируемости является важным, т.к. оно позволяет изучать неограниченный, в принципе, оператор Гамильтона на одномерном конечном инвариантном подпространстве. Предложен метод нахождения главной асимптотики спектра на основе теоремы о спектральном радиусе ограниченных операторов. Получено аналитическое представление асимптотической функции распределения собственных значений гамильтониана Приведем некоторые результаты. Для простоты будем рассматривать в (13) вектор а с положительными компонентами на s

первых местах, а остальные компоненты равны нулю, а вектор [}, напротив, имеет первые s компонент нулевых, а остальные p-s - положительные. Это соответствует реакции взаимодействия s первых сортов частиц с p-s остальными:

ы

W-iiW. fr-r.fBwf'.

к=\ у=1

Законы сохранения такой системы имеют вид:

а3щ - a/cns =Nk= const, к = l,...,i -1;

Pp-sni+; ~Pjnp = = const, у = l,...,p-s-l; (15)

Pp-sns + as»p = N = const-Положим для простоты Nk=- 0, k = \,2,,..,p-2. Для подпространства, отвечающего выбору значения N в последнем выражении в (15), введем собственные значения

х^ матрицы оператора Я в представлении чисел заполнения. Метод анализа спектра гамильтониана состоит в том, что рассматриваются моменты нормированных собственных значений матрицы этого оператора, ограниченного на подпространство законов сохранения, в представлении чисел заполнения:

X(N)

W Н-2>4- 06)

Нечетные моменты этих нормированных величин стремятся к нулю при N -ню, а четные стремятся к следующему выражению:

Р2п'

(2 1 "г(И" + 1)Г(Ил + 1)

с(а,0) г^+^и+г)

(17)

где

г(М)

N-><*>

N

а г(Лг) есть число целых точек на отрезке, задаваемом системой законов сохранения (15) Для спектрального радиуса исследуемого оператора получаем из (17) выражение

Л = зир^^ = ЦшО«)1'" =

п-хю

ИнМи

(18)

Используя (17)-(18), можно получить выражение для фурье-образа предельной функции распределения нулей-

К оо /

р( о = |р(*)ехр(7.М)& = Хт^ТГ1"2*'""

-Я

(19)

где ./9(2) - функция Бесселя нулевого порядка Из (17) следует, что ряд в (19) абсолютно сходится при всех /, и р(1) является целой функцией. Согласно теореме Хелли о существовании предельной последовательности распределений, функция распределения нулей

N

PN(.S)

(20)

имеет предельную точку £>($), причем из (17) следует, что моменты функции имеют предел при N —и- со :

+00

= = Цт ^ =

—оо ЛГ-ХЮ

(21)

В нашем случае применима теорема Карлемана об однозначной восстановимое™ распределения по своим моментам. Поэтому существует предел (в слабом смысле)

28

?(*)= Нт

/У-хи

4.3. Построены собственные функции полиномиальных квантовых гамильтонианов в случае их полной интегрируемости. Показано, что собственные функции образуют систему ортогональных неклассических специальных полиномов, для которых получены рекуррентные соотношения Для исследования асимптотики собственных функций проводится процедура нормировки собственных значений гамильтониана, зависящая от порядка полинома. Интервал ортогональности системы собственных функций есть спектральный радиус оператора Гамильтона, а весовой функцией системы является асимптотическая функция распределения его собственных значений.

4.4. Построено представление когерентных состояний для неклассических коммутационных соотношений. Показано, что для произвольного квазибозонного правила коммутации существует взаимно-однозначное преобразование матричных элементов нормально упорядоченных операторов в пространстве Фока в комплекснозначные аналитические функции Введено лонятие обобщенно-переполненной системы векторов, порожденной заданным коммутационным соотношением канонически сопряженных операторов, и получены формулы действия операторов в этом базисе С помощью обобщенных когерентных состояний получено обобщение комплексной 3 -функции как контравараиантного символа единичного оператора.

Рассматриваются операторы рождения и уничтожения, коммутатор которых отличен от единичного оператора. Для простоты здесь будет рассмотрен случай частиц одного типа.

Когерентным состоянием называется собственный вектор | г) оператора уничтожения а~, отвечающий собственному значению г, г е С. Для случая Он имеет вид

(22)

г

1

геМ: |г|2<«= Нш%±и ШАЫ .

■г)= ---^ 1==

Л-»+о> Qn П-+-НО

(23)

Формула обращения имеет вид

Отсюда следует, что

\п)=^ \{z\n)\z)^}dKz) ■ (25)

м

Поэтому, если Л„=1, то состояния |г)} порождают неортогональное разбиение единицы, поскольку в этом случае (25) можно представить в виде

и=и £i»K"I=7 ii^JSTW) • (26)

- О пм ' V ' Таким образом, нахождение требуемой для этого меры dju сводится к решению проблемы моментов, т.е. к построению такой функции F{x), что R

Q„ = jx"F(x)dx, р(х) = F(x)jG(x). О

В общем случае явный вид меры d/J, обеспечивающей представление единичного оператора в виде (26), не известен. В то же время для использования представления когерентных состояний в конкретных задачах, например, в исследовании спектра гамильтониана, записанного в терминах операторов рождения и уничтожения, мера dfi, по которой проводится интегрирование в (25), должна быть известной, и, кроме того, степенные ряды, с помощью которых в этом представлении описываются векторы гильбертова пространства, должны сходиться в том же круге М, что и ряд, представляющий функцию G в (23). Эти ряды называются ковариантными символами векторов:

Введем понятие Л -преобразования вектор | р) е Н называется Л -преобразованием вектора |а)еН, если его компоненты в фоковском базисе имеют вид Рп =^апАп. Будем обозначать ею )/?) - |<*л) > а соответствующий ковариантный символ через p(z) = «д(г). Будем говорить, что система векторов |z)}, |z)e Н, ze М с С, где Н - сепарабельное гильбертово пространство и М -некоторое множество с мерой dju(z), называется Л-переполненной в Я, если для любых двух векторов из Я, ковариантные символы которых сходятся в М, справедлива формула

М«) = - \аА(г)/}{г^1л{г). (27)

пМ

При практическом использовании этого представления полезно следующее Предложение 3. Пусть в круге М: Ы2 < Л задана мера

(28)

Тогда Л -преобразование, определяемое в (24), не меняет радиуса сходимости ковариантных символов. *

Следствие этого предложения: пусть в М задана мера р = 1/л/О. Тогда для любой аналитической в М функции Л(г) существует ее интегральное представление через Л-преобразование:

°(И2) (29)

п п

Формула (29) дает обобщение комплексной 3 -функции, порожденной представлением когерентных состояний для неклассических коммутационных соотношений. 4.5. Показано, что кинетические уравнения типа химической кинетики можно классифицировать по линейным (в терминах функций распределения) законам сохранения аналогично тому, как это сделано для квантовых гамильтонианов Это обобщение выделяет класс уравнений химической кинетики, для которых справедлива Я - теорема, и устанавливает соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения». Это соответствие устанавливается из того, что квантовое уравнение для модели (13)

4" = М= У(ак -рк{ьа^а-Р-А.С.).

' * мм

и классическое уравнение химических реакций

имеют один и тот же набор законов сохранения, причем в последнем случае имеет место Я - теорема: существует функционал 5= ^ ("к 'п пк ~ пк ) > л™ которого

а

< 0 (30)

Указанное соответствие позволило предложить эффективную процедуру построения дискретных моделей уравнений химической кинетики для смесей без лишних инвариантов.

В заключении кратко подытоживаются основные результаты диссертации и обсуждаются возможные области их применения.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1 Построена классификация сингулярных множеств для слаборелятивистских систем с бинарным взаимодействием, на основе которой определяются области фазового пространства, доступные для движения системы. В этих областях проведено преобразование Лежандра и построены соответствующие гамильтонианы слаборелятивистских систем. Эти результаты отражены в работах [1,4, 6, 9, 11,14,21]. 2. Получены уравнения цепочки ББГКИ для случая многочастичного взаимодействия, зависящего от координат и импульсов тождественных частиц Выведено уравнение для первой неравновесной поправки к бинарной локально-равновесной функции распределения и получены некоторые его частные решения. Для слаборелятивистских систем в регулярных областях фазового пространства получены локально-равновесные функции распределения как решения соответствующей стационарной цепочки Боголюбова. Как следствие, найдены слаборелятивистские поправки к классическим коэффициешам переноса. Эти результаты отражены в работах [2, 3, 5,7, 8,10,16,24]. 3 Проведено исследование спектра гамильтонианов полиномиального типа, которые применяются в квантовой оптике для моделирования взаимодействия излучения с веществом Дана классификация таких гамильтонианов по числу законов сохранения, линейных по операторам числа квазичастиц, разработан метод нахождения всех линейных инвариантов и получены достаточные условия полной интегрируемости В случае полностью интегрируемых квантовых систем указанного выше класса исследована асимптотика спектра гамильтониана при больших числах заполнения и получено аналитическое представление асимптотической функции распределения собственных значений гамильтониана- интервал ортогональности системы собственных функций есть спектральный радиус оператора Гамильтона, а весовой функцией является асимптотическая функция распределения его собственных значений. Эти результаты отражены в работах [12, 13, 15, 17,21,22,25]. 4. Построено представление когерентных состояний для неклассичсских коммутационных соотношений, введено понятие обобщенно-переполненной системы векторов, порожденной заданным коммутационным соотношением канонически

сопряженных операторов, и получены формулы действия операторов в этом базисе Показано, что обобщепные когерентные состояния обладают свойством минимальной неопределенности. Эти результаты отражены в работах [20,25]

5 Показано, что кинетические уравнения типа химической кинетики можно классифицировать по линейным (в терминах функций распределения) законам сохранения аналогично тому, как это сделано для квантовых гамильтонианов. Это обобщение выделяет класс уравнений химической кинетики, для которых справедлива Я - теорема, и устанавливает соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения». Эти результаты отражены в работах [18,19, 23,25]

Список работ по теме диссертации

1. Орлов Ю.Н., Павлоцкий ИП Связь между слаборелятивистскими уравнениями Вигнера и Власова при различных квантованиях // ДАН СССР. 1988. Т298. № 4. С 837-840.

2. Orlov Yu. N., Pavlotsky I P. BBGKY Hierarchies and Vlasov Equation in Postgalilean Approximation//Physica A. 1988. V. 151. P. 318-340.

3 Orlov Yu. N., Pavlotsky I.P. Quantum BBGKY Hierarchies and Wigner Equation in Postgalilean Approximation//Physica A. 1989. V. 158. P. 607-618.

4 Орлов Ю H Метод кольцевых диаграмм в теории слаборелятивистской равновесной плазмы Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР М,1988 №179

5 Орлов Ю H Вывод уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. М.,1989. №36.

6. Орлов Ю.Н. Уравнения гидродинамики в постгалилеевом приближении. Препринт ИПМ АН СССР. М„ 1989. №89.

7. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. Равновесные цепочки ББГКИ в постгалилеевом приближении. // ДАН СССР. 1989. Т.304. № 2 С. 329-332

8. Орлов Ю Н., Павлоцкий И.П Уравнения слаборелятивистской вязкой гидродинамики//Мат Мод. 1989. Т 1 № 12. С 31-43.

9 Орлов Ю H Равновесные функции распределения в постгалилеевом приближении Препринт ИПМ АН СССР М., 1990. №42.

10 Orlov YuN, Pavlotsky I.P. The Postgalilean Equations of Hydrodynamics with Viscosity//Physica A. 1990. V. 167. P. 903-918.

11. Orlov Yu.N., Pavlotsky I.P. Equilibrium Correlation Function in Postgalilean Approximation of a Scalar Field // Physica A. 1992. V. 184. P.558-570.

12 Orlov YuN , Pavlotsky I.P , Tanatar В., Shumovsky S.A., Susiin V.M., Vcdenyapin V.V. One model of many-boson decay // J Egyptian Math. Soc., 1993, V. 1, P.53. 13. Диковский M.B., Орлов Ю.Н. Асимптотика спектра квантового ангармонического осциллятора Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН. М , 1995. №46.

14 Орлов Ю.Н Уравнения гидродинамики слаборелятивистской плазмы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН М, 1995, №73.

15 Orlov Yu.N., Vedenyapin V.V Special polynomials in problems of quantum optics. // Modern Phys. Lett. B. 1995. V.9. № 5. P. 291 - 298

16 Орлов Ю.Н, Павлоцкий ИП, Суслин В.М. Динамика систем с лагранжианами, зависящими от ускорения. Задача Кеплера. Препринт ИПМ РАН. М., 1995. №43.

17. Веденяпин В В , Орлов Ю.Н. Асимптотика спектра квантовых гамильтонианов. // Доклады РАН 1996. Т 351 №4 С.444-447.

18. Mingalev OV., Orlov YuN, Vedenyapin V V. Conservation laws for polynomial quantum Hamiltonians // Phys. Lett. A. 1996. V.223. P. 246 - 250

19 Веденяпин В В, Орлов Ю.Н О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана. // ТМФ. 1999. Т 121. №2. С 307-315

20. Орлов Ю Н. Представление когерентных состояний для неклассических коммутационных соотношений Препринт ИПМ им. М.В Келдыша РАН. М., 1998. №64.

21 Орлов Ю.Н., Суслин В.М. Траектории на сфере, порождаемые лагранжианами с высшими производными //Дифференциальные уравнения, 1999. Т.35. №12 С 16241629.

22 Орлов Ю.Н Линейное квантование динамических систем и квантовые кинетические уравнения' Препринт ИПМ им М В Келдыша РАН. М., 1999. №14.

23 Орлов Ю.Н О линейном квантовании интегрируемых динамических систем Сб. / Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М. МФТИ, 1999. С. 140-151.

24 Орлов Ю.Н. К выводу уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова.//ТМФ 2003 Т 134 №3. С 501-512

25. Орлов Ю.Н. Основы квантования вырожденных динамических систем. - Учебное пособие. М.: МФТИ, 2004.236 с. ISBN 5-7417-0248-1.

i

{

] I

s

1|

i I

J,

i f

í

(

И7778

ч

И. П. М. 3 а к а а № 74. Тираж 100 экз.

Предисловие

Введение

Глава I. Проблемы построения статистической механики для систем с непустым сингулярным множеством

§1.1. Уравнение Лиувилля в статистической механике

§1.2. Особые точки преобразования Лежандра

§ 1.3. Преобразование Лежандра слаборелятивистских систем

§ 1.4. Равновесные распределения для систем с вырождающейся массой

§1.5. Лагранжианы, зависящие от высших производных

Глава II. Функциональная гипотеза Боголюбова в слаборелятивистском случае

§2.1. Функциональная гипотеза

§2.2. Уравнения эволюции средних величин

§2.3. Локально-равновесные распределения для слаборелятивистских систем

§2.4. Уравнения гидродинамики первого приближения

§2.5. Вырождение гидродинамических связей

§2.6. Уравнения гидродинамики второго приближения

§2.7. Слаборелятивистское уравнение Власова

§2.8. Слаборелятивистское уравнение Больцмана

Глава III. Линейное квантование динамических систем и квантовые кинетические уравнения

§3.1. Линейное квантование динамических систем

§3.2. Квантовая цепочка ББГКИ

§3.3. Квантование вблизи сингулярного множества

§3.4. Функция Вигнера и правило квантования

§3.5. Особые свойства квантования Вейля

Глава IV. Метод линейных инвариантов в задаче спектрального анализа полиномиальных квантовых гамильтонианов

§4.1. Законы сохранения для квантовых полиномиальных гамильтонианов

§4.2. Асимптотика спектра при больших числах заполнения

§4.3. Специальные полиномы в задачах квантовой оптики

§4.4. Представления неклассических коммутационных соотношений

§4.5. Соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения»

Диссертация «Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством» состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 156 наименований, расположенных в алфавитном порядке. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Подпункты параграфов имеют тройную нумерацию, первым идет номер главы. Формулы внутри каждого параграфа имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Начало и окончание формулировок важных определений и теорем отмечаются соответственно знаками Т и ▲.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены проблемы построения классической и квантовой статистической механики для систем с локальным вырождением в фазовом пространстве, а также исследованы спектральные свойства квантовых гамильтонианов полиномиального типа, использующихся в различных моделях квантовой оптики. Проведенное исследование показало, что традиционная схема построения статистической механики для таких систем нуждается в некоторой коррекции принятого формализма. Предложенное в работе обобщение позволило рассмотреть такое важное с точки зрения практики приложение, как случай слабого релятивизма для систем с бинарным взаимодействием. Поскольку связи, накладываемые на слаборелятивистскую систему в точках вырождения, локальны, то квантование такой системы также может проводиться в рамках традиционного формализма, если доопределить в этих точках первые интегралы системы по непрерывности. Класс слаборелятивистских систем интересен тем, что он позволяет исследовать вопрос о правиле квантования (т.е. об упорядочении некоммутирующих операторов в произведении) именно там, где оно существенно уже на стадии решения уравнения Шредингера, а не только при построении статистических операторов системы. Взаимовлияние этих двух аспектов квантования в полной мере проявилось при выводе уравнения эволюции функции Вигнера для достаточно общего класса линейных квантований. Это - методологический аспект диссертации.

Другим направлением исследования явились полиномиальные квантовые гамильтонианы. Для них автором был предложен алгоритм построения пространства линейных (по операторам числа частиц) законов сохранения, что позволило значительно упростить исследование спектральных свойств таких операторов. Сопоставление квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений, обладающих в некотором смысле одинаковыми законами сохранения, привело к классификации уравнений типа химической кинетики, для которых справедлива Я - теорема, а также к построению соответствующих дискретных моделей с правильным числом инвариантов. Эти результаты имеют большое прикладное значение, т.к. гарантируют получение при численном расчете тех же макроскопических свойств, которыми обладает и исходное «точное» кинетическое уравнение.

Ниже приводятся основные результаты, полученные в диссертации. 1. Построена классификация сингулярных множеств для слаборелятивистских систем с бинарным взаимодействием. Показано, что в случае движения слаборелятивистской частицы во внешнем поле это множество представляется в виде прямой суммы двух множеств: сингулярного множества первого типа, отвечающего разрыву компоненты ускорения, направленной вдоль движения, и сингулярного множества второго типа, отвечающего разрыву нормальной компоненты ускорения. На основе этой классификации определяются области фазового пространства, доступные для движения системы.

2. Доказана теорема о нульмерности сингулярного множества постньютоновых систем, что позволяет на основе классификации этого множества перейти в регулярных областях фазового пространства к гамильтонову описанию. В этих областях проведено преобразование Лежандра и построены соответствующие гамильтонианы слаборелятивистских систем.

3. Проведено исследование движения, порождаемого лагранжианами, зависящими от высших производных. Для двух классов таких лагранжианов (модели с ограниченными ускорениями и полиномиальной модели) построены точные решения уравнений движения, а для квадратичных лагранжианов выделен класс сингулярных решений на сфере произвольной размерности и построены все билинейные инварианты движения. Получено также решение задачи Кеплера в слаборелятивистском случае с учетом ускорений в квадратичной модели. Показано, что влияние ускорения в регулярных финитных решениях сводится к поправкам для параметров прецессирующей эллиптической орбиты и к появлению ангармонических колебаний удвоенной и учетверенной классической частоты.

4. Получены уравнения цепочки ББГКИ для случая многочастичного взаимодействия, зависящего от координат и импульсов тождественных частиц. Выведено уравнение для первой неравновесной поправки к бинарной локально-равновесной функции распределения и получены некоторые его частные решения.

5. Проведена классификация сингулярного множества динамической системы на гидродинамическом уровне. Показано, что система как целое обладает тремя типами особых состояний, в окрестности которых нельзя использовать гипотезу о регулярности функций распределения по малому параметру макроскопической неоднородности. Для слаборелятивистских систем в регулярных областях фазового пространства получены локально-равновесные функции распределения как решения соответствующей стационарной цепочки Боголюбова. Предложен метод, позволяющий найти слаборелятивистские поправки к коэффициентам переноса, если известны соответствующие классические величины.

6. Выводятся слаборелятивистские уравнения Власова и Больцмана, на основе которых также может быть построена соответствующая гидродинамика. Получено точное решение линеаризованного слаборелятивистского уравнения Власова, описывающего поведение системы на малых временах по сравнению с временем гидродинамической релаксации. Запаздывание взаимодействия в этом приближении приводит к тому, что дисперсионное уравнение, определяющее частоты собственных колебаний системы, из алгебраического становится интегральным уравнением Фредгольма с вырожденным ядром. Найденное решение применяется затем к нахождению поправок для слаборелятивистского электронного газа и для системы тяготеющих масс.

7. Для произвольного линейного квантования из рассматриваемого класса квантований выведено уравнение эволюции квазивероятности для слаборелятивистских систем. Показано, что среди линейных эрмитовых квантований гамильтониана только для квантования Вейля выполняются следующие свойства: а) существует взаимно-однозначное соответствие между матрицей плотности системы и квазивероятностью; б) существует стационарное решение для квазивероятности в первом приближении по теории возмущений; в) существует равновесное распределение для квантового гармонического осциллятора. Эти результаты могут служить косвенным аргументом в пользу физической реализуемости именно этого квантования. Также выведено уравнение эволюции маргинального распределения и показано, что это распределение сохраняет свою неотрицательность только для квантования Вейля.

8. Проведено исследование спектра гамильтонианов полиномиального типа, которые применяются в квантовой оптике для моделирования взаимодействия излучения с веществом. Дана классификация таких гамильтонианов по числу законов сохранения, линейных по операторам числа квазичастиц. Построена эффективная процедура нахождения всех линейных инвариантов и получены достаточные условия полной интегрируемости. Как следствие, аналогичная классификация имеет место и для соответствующих классических систем.

9. В случае полностью интегрируемых квантовых систем указанного выше класса исследована асимптотика спектра гамильтониана при больших числах заполнения. Свойство полной интегрируемости является важным, т.к. оно позволяет изучать неограниченный, в принципе, оператор Гамильтона на одномерном конечном инвариантном подпространстве. Предложен метод нахождения главной асимптотики спектра на основе теоремы о спектральном радиусе ограниченных операторов. Получено аналитическое представление асимптотической функции распределения собственных значений гамильтониана.

10. Построены собственные функции полиномиальных квантовых гамильтонианов в случае их полной интегрируемости. Показано, что собственные функции образуют систему ортогональных неклассических специальных полиномов, для которых получены рекуррентные соотношения. Для исследования асимптотики собственных функций проводится процедура нормировки собственных значений гамильтониана, зависящая от порядка полинома. Интервал ортогональности системы собственных функций есть спектральный радиус оператора Гамильтона, а весовой функцией системы является асимптотическая функция распределения его собственных значений.

11. Построено представление когерентных состояний для неклассических коммутационных соотношений. Показано, что для произвольного квазибозонного правила коммутации существует взаимно-однозначное преобразование матричных элементов нормально упорядоченных операторов в пространстве Фока в комплекснозначные аналитические функции. Введено понятие обобщенно-переполненной системы векторов, порожденной заданным коммутационным соотношением канонически сопряженных операторов, и получены формулы действия операторов в этом базисе. С помощью обобщенных когерентных состояний получено обобщение комплексной 8 -функции как контравараиантного символа единичного оператора. Показано, что обобщенные когерентные состояния, как и традиционные когерентные состояния системы бозонов, обладают свойством минимальной неопределенности.

12. Показано, что кинетические уравнения типа химической кинетики можно классифицировать по линейным (в терминах функций распределения) законам сохранения аналогично тому, как это сделано для квантовых гамильтонианов. Это обобщение выделяет класс уравнений химической кинетики, для которых справедлива Н - теорема, и устанавливает соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения».

В заключение автор выражает глубокую благодарность академику B.C. Владимирову, на чьих семинарах автор имел возможность неоднократно выступать с докладами и обсуждать полученные результаты, а также академику A.M. Тер-Крикорову и члену-корреспонденту РАН Г.Н. Яковлеву, предоставивших автору возможность выступать на научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ. Автор благодарит профессоров А.В. Бобылева, Ю.Е. Лозовика и М.В. Масленникова за внимание к работе и многочисленные плодотворные дискуссии, а также своих коллег-соавторов проф. В.В. Веденяпина, проф. И.П. Павлоцкого и к.ф.-м.н. В.М. Суслина, без участия которых работа не могла бы состояться. Большую благодарность автор выражает также всем студентам и аспирантам МФТИ, общение с которыми во время чтения лекций по соответствующему спецкурсу несомненно способствовало улучшению качества изложения результатов. Часть результатов диссертации была получена в рамках гранта РФФИ № 01-01-00407, финансовая поддержка которого обеспечила необходимый технический уровень исследований.

192

1. Амбарцумян В.А. К вопросу о динамике открытых звездных скоплений. Избранные труды. Ереван, 1960.

2. Amossov S.A. Discrete kinetic models of relativistic Boltzmann equation for mixtures. // Physica A. 2001. V.301. P. 330-340.

3. Аптекарев А.И. Асимптотика ортогональных многочленов в окрестности концов интервала ортогональности. // Мат. сборник. 1992. Т. 183. №5.

4. Аптекарев А.И., Буяров В.В. и др. Асимптотика энтропийных интегралов для ортогональных многочленов.//Доклады РАН. 1996. Т.346. №4.

5. Arefieva I. Y., Parthasarathy R., Viswanathan К. S., Volovich I. V. Coherent states, dynamics and semiclassical limit on quantum groups. / SFU-HEP 108-93.

6. Arzelies H. Fluides relativistes. Paris, 1971.

7. Arzelies H. Nouvelles bases pour la thermodinamique relativiste. // Nucleus. 1965. V. 6. No. 4. P. 250.

8. Базаров И.П., Николаев П.Н. Теория систем многих частиц. М.: Изд-во МГУ, 1984.

9. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц. М.: Мир, 1967.

10. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1978.

11. Balescu R. Relativistic statistical thermodynamics. // Physica. 1968. V.40. No. 3. P. 309.

12. H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions. N.-Y., Toronto, London McGraw-Hill Book Company, Inc. 1953.

13. Беляев C.T., Будкер Г.И. Релятивистское кинетическое уравнение. // ДАН СССР. 1956. Т. 107. С. 807.

14. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986.

15. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. М.: Наука, 1968.

16. Блажиевский Л.Ф. Интегралы по путям в конфигурационном пространстве слаборелятивиской теории многих тел. // ТМФ. 1986. Т.66. №3. С. 409-421.

17. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1946.

18. Боголюбов Н.Н. Уравнения гидродинамики в статистической механике. Сб. трудов Института математики АН УССР. 1948. Т. 10. № 41.

19. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. М.: Наука, 1984.

20. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1990.

21. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998.

22. Вайслеб Э.Е., Самойленко Ю.С. Представление операторных соотношений неограниченными операторами и многомерные динамические системы. // Украинский математический журнал. 1990. Т.42. №8. С.1011 1019.

23. Вайслеб. Э.Е. Представление соотношений, связывающих набор коммутирующих самосопряженных операторов с одним несамосопряженным. // Украинский математический журнал. 1990. Т.42. № 9. С.1258 1262.

24. Vaisleb Е.Е., Samoilenko Yu.S. Representation of the relations AU=UF(A) by Unbounded Self-adjoint and Unitary Operators. // Selecta Mathematica Formaly Sovietica. 1994. V.13. No.l. P.35 54.

25. Vedenyapin V.V. Velocity Inductive Construction for Mixtures. // Transport Theory and Statistical Physics. 1999. V.28. No.7. C.727-742.

26. Веденяпин B.B., Амосов C.A. Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей. // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36. №7. С.925 929.

27. Веденяпин В.В., Мингалев О.В. Представления общих соотношений коммутации. Асимптотика спектра трех квантовых гамильтонианов. // Доклады РАН. 1997. Т.352. №2. С. 155158.

28. Веденяпин В.В., Мингалев И.В., Мингалев О.В. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана. // Математический сборник. 1993. Т.184. №11. С.21 38.

29. Веденяпин В.В., Мингалев О.В., Мингалев И.В. Представления общих соотношений коммутации. // ТМФ. 1997. Т.113. №3. С.369 383.

30. Веденяпин В.В., Орлов Ю.Н. Асимптотика спектра квантовых гамильтонианов. // Доклады РАН. 1996. Т.351. №4. С.444-447.

31. Веденяпин В.В., Орлов Ю.Н. О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана. // ТМФ. 1999. Т.121. №2. С.307 315.

32. Westera К., Cowley E.R. Self-cluster expansion for an anharmonic solid. // Phys.Rev. 1975. B11. №10. P. 4008-4016.

33. Власов A.A. Статистические функции распределения. M.: Наука, 1966.

34. Власов А.А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978.

35. Wigner Е.Р. Phys.Rev. 1932. V.40. Р.749.

36. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975.

37. Гайда Р.П. Квазирелятивистские системы взаимодействующих частиц. ЭЧАЯ. 1982. Т. 13. №2.

38. Гайда Р.П., Ключковский Ю.Б., Третяк В.И. Формы релятивистской динамики в классическом лагранжевом описании системы частиц. // ТМФ. 1983. Т.55. №1. С.88.

39. Gaida R.P., Tretyak V.I. Single-time form of Fokker-Plank relativistic dynamics. // Acta Phisica Polonica. V.B11.P.509.

40. Gallavotti G., Lanford O.E., Lebovitz J. L. Thermodynamic Limit of Time-Dependent Correlation Functions for One-Dimensional Systems. // JMP. 1970. V. 11. No9. P.2898-2905.

41. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. M.: Наука, 1966.

42. Glauber R.J. Physics of Quantum Electronics, eds. P.L. Kelley, B. Lax, P.E. Tannenvald. N.-Y.: McGraw-Hill, 1966.

43. Glauber R.J. Quantum Optics, ed. R.J. Glauber. N.-Y.: Academic Press, 1969.

44. Greenberg P.J. The Post-Newtonian equations of hydrodynamics for a thermally conducting viscous compressible fluids in general relativity. // Astrophys.J. 1971. V.164. No. 3. P. 569.

45. Гриффите Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М.: Мир, 1986.

46. Де Грот С.Р., Сатторп Л.Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982.

47. Де Гроот С.Р., ван Леувен В., ван Верт X. Релятивистская кинетическая теория. М.: Мир, 1983.

48. Darwin C.G. Phil. Mag. 1920. V.39. Р.357.

49. Диковский M.B., Орлов Ю.Н. Асимптотика спектра квантового ангармонического осциллятора. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1995. №46.

50. Доброхотов С.Ю., Шафаревич А.И. Квазиклассическое квантование инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых систем. Сб. / Топологические методы в теории гамильтоновых систем. М.: Факториал, 1998.

51. Dorfman J.R., Cohen E.G.D. // Phys. Lett. 1965. V.16. P. 124.

52. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко A.T. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.

53. Yvon J. La Therie Statistique des Fluides et l'Equation d'Etat. Act. scient. et. ind., No. 203. Hermann, Paris, 1935.

54. Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. Эволюция функциональной гипотезы. // ЭЧАЯ. 1987. Т. 18. №4.

55. Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. Нелокальные гидродинамические уравнения и преобразование ББГКИ-иерархии для твердых сфер. // ТМФ. 1999. Т. 120. №3. С. 394-399.

56. Caianiello E.R., Feoli A., Gasperini М. and Scarpetta G. Quantum Corrections to the Spacetime Metric from Geometric Phase Space quantization. // Int. J. of Theoretical Physics. 1990. V.29. No.2. P. 131-139.

57. Caianiello E.R., Gasperini M. and Scarpetta G. Phenomenological Concequence of a Geometric Model with Limited Proper Acceleration. // IL Nuovo Cimento. 1990. V. 105 B. No.3. P.259-278.

58. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

59. Карасев М.В., Маслов В.П. Асимптотическое и геометрическое квантование. //УМН. 1984. Т. 39. №6. С. 115-173.

60. Kennedy F.J. Approximately Relativistic Interactions. // AJP. 1972. V.40. P.63-74.

61. Kirkwood J.G., Maun E. K., Alder B.J. Radial Distribution Functions and the Equation of States of a Composed of Rigid Spherical Molecules. // J. Chem. Phys. 1950. V.18. No. 8. P. 1040-1047.

62. Климонтович Ю.Л. Кинетические уравнения для релятивистской плазмы. // ЖЭТФ. 1959. Т.37. С. 735.

63. Cohen Е. Fundamental Problems in Statistical Mechanics. North Holland, Amsterdam, 1966.

64. Козлов B.B. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995.

65. Колесников Е.К., Мануйлов А.С., Филиппов Б.В. Динамика пучков заряженных частиц в газоплазменных средах. Издательство СПбГУ, 2002.

66. Cornille Н., Cercignani С. A class of planar discrete velocity models for gas mixtures. // J. Stat. Phys. 2000. V.99. Nos 3/4. P.967-991.

67. Krizant J.E. and Havas P. Relativistic Corrections in the Statistical Mechanics of Interacting Particles. // Phys. Rev. 1962. V.128. No.6. P.2916-2924.

68. Currie D.G., Jordan T.F., Sudarschan E.C. Relativistic Invariance and Hamiltonian Theories of Interacting Particles. // Rev. Mod. Phys. 1963. V.35. P.350.

69. Лавенда Б. Статистическая физика. М.: Мир, 1999.

70. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.Н. Теория поля. М.: Наука, 1973.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, T.III. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.

72. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, T.V. Статистическая физика. 4.1. М.: Наука, 1976.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

74. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.Х: Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

75. Lapiedra R., Santos Е. Classical relativistic statistical mechanics: the case of a hot delute plasma. // Phys. Rev. D. 1981. V.23. No. 10. P.2181.

76. Lichnerowicz A., Marrot R. Compt. Rend., 1940, V.210. P. 759.

77. Лозовик Ю.Е., Никитков M.B. // ЖЭТФ. 1999. №10. С. 1440.

78. Yu.E. Losovik, A.V. Filinov. Tunneling times of wave packets: the method of quantum trajectories in the Wigner representation. / Workshop Kadanoff-Baym Equations. Rostock, October 20- 24,1999.

79. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Different realizations of the tomographic principle in quantum state measurement. // J. of Modern Optics. 1997. V.44. Nos. 11-12. P.2281-2292.

80. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Classical-Like Description of Quantum Dynamics by Means of Symplectic Tomography. // Found, of Phys. 1997. V. 27. No.6. P. 801-824.

81. Манько В.И. Когерентные состояния в квантовой теории. М.: Мир, 1972.

82. Манько В.И., Сафонов С.С. Затухающий квантовый осциллятор и классическое представление квантовой механики. // ТМФ. 1997. Т. 112. №3. С. 467-478.

83. Маслов В.П. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование. М.: Институт компьютерных исследований, 2001.

84. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и в квантовой теории поля. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

85. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, 1978.

86. Mingalev O.V., Orlov Yu.N., Vedenyapin V.V. Conservation laws for polynomial quantum Hamiltonians. // Phys. Lett. A. 1996. V.223. P. 246 250.

87. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

88. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. Связь между слаборелятивистскими уравнениями Вигнера и Власова при различных квантованиях //ДАН СССР. 1988. Т.298. № 4. С. 837-840.

89. Orlov Yu. N., Pavlotsky I.P. BBGKY Hierarchies and Vlasov Equation in Postgalilean Approximation//Physica A. 1988. V. 151. P. 318-340.

90. Orlov Yu. N., Pavlotsky I.P. Quantum BBGKY Hierarchies and Wigner Equation in Postgalilean Approximation // Physica A. 1989. V. 158. P. 607-618.

91. Орлов Ю.Н. Метод кольцевых диаграмм в теории слаборелятивистской равновесной плазмы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. М.,1988. №179.

92. Орлов Ю.Н. Вывод уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. М.,1989. №36.

93. Орлов Ю.Н. Уравнения гидродинамики в постгалилеевом приближении. Препринт ИПМ АН СССР. М., 1989. №89.

94. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. Равновесные цепочки ББГКИ в постгалилеевом приближении. //ДАН СССР. 1989. Т.304. № 2. С. 329-332

95. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. Уравнения слаборелятивистской вязкой гидродинамики // Мат. Мод. 1989. Т. 1. № 12. С. 31-43.

96. Orlov Yu.N., Pavlotsky I.P. The Postgalilean Equations of Hydrodynamics with Viscosity // Physica A. 1990. V. 167. P. 903-918.

97. Orlov Yu.N., Pavlotsky I.P. Equilibrium Correlation Function in Postgalilean Approximation of a Scalar Field // Physica A. 1992. V. 184. P.558-570.

98. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П., Суслин В.М. Динамика систем с лагранжианами, зависящими от ускорения. Движение в электрических и магнитных полях. Препринт ИПМ РАН. М., 1994. №39.

99. Орлов Ю.Н. Уравнения гидродинамики слаборелятивистской плазмы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1995, №73.

100. Orlov Yu.N., Vedenyapin V.V. Special polynomials in problems of quantum optics. // Modern Phys.Lett. B. 1995. V.9. № 5. P. 291 298.

101. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П., Суслин В.М. Динамика систем с лагранжианами, зависящими от ускорения. Задача Кеплера. Препринт ИПМ РАН. М., 1995. №43.

102. Орлов Ю.Н. Представление когерентных состояний для неклассических коммутационных соотношений. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1998. №64.

103. Орлов Ю.Н., Суслин В.М. Траектории на сфере, порождаемые лагранжианами с высшими производными. //Дифференциальные уравнения, 1999. Т.35. №12. С. 1624-1629.

104. Орлов Ю.Н. Линейное квантование динамических систем и квантовые кинетические уравнения: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1999. №14.

105. Орлов Ю.Н. О линейном квантовании интегрируемых динамических систем. Сб. / Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М., 1999, С. 140-151.

106. Орлов Ю.Н. К выводу уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова. // ТМФ. 2003. Т. 134. № 3. С. 501-512.

107. Ott Н. Lorentz-Transformation dr Warme und Temperatur. // Z.Physic. 1963. Bd.175. Num.1. S.70.

108. Павлоцкий И.П. Запаздывание взаимодействия в слаборелятивистской гидродинамике. // ДАН СССР. 1983. Т.269. №3. С.583-587.

109. Павлоцкий И.П. Введение в слаборелятивистскую статистическую механику. М.: Наука, 1987.

110. Pavlotsky I.P., Strianese М., Toscano R. Prolongation of the integral curve on the singular set via the first integral. // J. of Interdisciplinary Math. 1999. V.2. Nos.2-3. P.101-119.

111. Pavlotsky I.P., Vilasi G. Some peculiar properties of the relativistic oscillator in the post-Galilean approximation. // Physica A. 1995. V. 214. P. 68-81.

112. Parthasarathy R., Sridhar R. A Diagonal Representation of Quantum Density Matrix Using q-Boson Oscillator Coherent States. //J. Phys.A: Math. Gen. 1991. V.24. P.613-617.

113. Perelomov A.M. Generalized Coherent States and their Applications. Springer-Verlag, 1986.

114. Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений. М.: Мир, 1987.

115. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. М.: Мир, 1986.

116. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1983.

117. Radon J. Zum Problem von Lagrange. Hamburger Math. Einz. Teubner, Leipzig, 1928.

118. Rice S., Gray P. Statistical Mechanics of Simple Liquids. Willey-Interscience, N.-Y., 1965.

119. Resibois P. Electrolyte Theoiy. Harper&Row, N.-Y., 1968.

120. Рыков В.А. Макроскопические законы сохранения в кинетической теории. // ЖВМ и МФ. 1985. Т.25. № 12. С. 1902-1906.

121. Szego G. Orthogonal polynomials. N.-Y: The American Mathematical Society, 1959.

122. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971.

123. Славянов С.Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера. JI.: Издательство Ленинградского университета, 1990.

124. Streater R. Statistical Dynamics. London: Imperial College Press, 1995.

125. Stoler D. //Phys. Rev. Dl. 1970. P.3217.

126. Sewell G.L. Quantum Theory of Collective Phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1986.

127. Татарский В.И. //ЖЭТФ. 1971. T.61. С. 1822.

128. Татарский В.И. //ЖЭТФ. 1983. Т.84. С.526.

129. Трубников Б.А., Косачев В.В. Термодинамика слаборелятивистской плазмы. // ЖЭТФ. 1968. Т.54. №3. С.939.

130. Трубников Б.А., Косачев В.В. Релятивистское обобщение лагранжиана Дарвина. //ЖЭТФ. 1974. Т.66. №4. С. 1311-1315.

131. Trubnikov В.A., Kosachev V.V. Generalization of the methods of Bogolubov and Mayer for the case of Darwin's Lagrangian with velocity dependent pair interaction. //Nuclear Fusion Letters. 1974. V.14. P.435.

132. Walker A.G. Proc. Edinburgh Math. Soc., 1934. V.2. P. 238.

133. Фейнман P. Статистическая механика. M.: Мир, 1978.

134. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.

135. Feoli A. String dynamics in Rindler space in a model with maximal acceleration. // Nuclear Physics B. 1993. V. 396. P. 261-269.

136. Фихтенгольц И.Г. Лагранжева форма уравнений движения во втором приближении теории тяготения Эйнштейна. //ЖЭТФ. 1950. Т. 20. С.233.

137. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ГИФМЛ, 1961.

138. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.

139. Haar Тег D. Wergeland Н. Thermodynamics and Statistical Mechanics in Special Theoiy of Relativity. // Phys. Reports A, 1971. V. 1С, No 2.

140. Hall L. A theoiy of exact and approximate configuration invariant. // Physica D. 1983. V. 8. P. 90.

141. Холево A.C. Вероятностные аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1986.

142. Chandrasekhar S. Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics in General Relativity. // Phys. Rev. 1965. V.14. P.241.

143. Celeghini E., Rasetti M., Tarlini M. and Vitiello G. SU(1,1) Squeezed States as Damped Oscillators. // Mod. Phys. Lett. B. 1989. V.3. No. 16. P. 1213-1220.

144. Chapman S., Cowling T. G. The Mathematical Theory of Non-uniform gases. Cambridge, 1939.

145. Черников H.A. Релятивистский интеграл столкновений. //ДАН СССР. 1956. Т. 107. С.807.

146. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.

147. Cercignani С., Bobylev A.V. Discrete velocity models: the case of mixtures. // Transport Theory and Statistical Physics. 2000. V.29. Nos 1/2. P.209 216.

148. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, 1980.

149. Eckart С. // Phys.Rev. 1940. V. 58. Р.919.

150. Эмх Ж. Алгебраические методы в квантовой теории поля. М.: Мир, 1976.

151. Juttner F. Das Maxwellische Gezetz der Geschwindigkeitsverteilung und der Relativ Theorie. // Ann. Der Phys. 1911. Bd.34. S.856.

152. Juttner F. //Ann. Phys. Chem. 1911. V.34. P. 856.

153. Juttner F. // Zs. Phys. 1928. Bd. 47. S. 542.

154. Яремко Ю.Г. Релятивистская лагранжева динамика системы N частиц в терминах переменных центра масс. Препринт ИППМиМ АН Укр. ССР. 1988. №14.

155. Ярунин B.C. Низкотемпературная квазиклассика для квантовых макроскопических эффектов. //ТМФ. 1999. Т.119. №2. С. 308-331.