Теория резонансов в многоканальных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

□□30В335В

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

мотовилов

Александр Константинович

ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСОВ В МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность' 01 04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

4-2006-130

На правах рукописи УДК 530.145

Дубна 2006

003063356

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им Н Н Боголюбова Объединенного института ядерных исследований

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация Научно-исследовательский институт физики им В А Фока Санкт-Петербургского государственного университета

Защита диссертации состоится на заседании специализированного совета Д 720 001 01 в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований " / " 2006 г по адресу г Дубна Московской области, ОИЯИ, ЛТФ

Л Д Блохинцев Б В Данилин А А Шкаликов

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований

Автореферат разослан "

" Н-С^ТЦ^л. 20р6 г

Ученый секретарь совета, доктор физико-математических наук

С В Голоскоков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Резонансы многоканальных систем играют определяющую роль во многих задачах ядерной, атомной и молекулярной физики В более широком смысле резонансы представляют собой одно из самых интересных и интригующих явлений, наблюдаемых в процессах рассеяния, причем последние могут относиться не только к квантовой физике, но также к оптике, акустике, механике упругих сред и т д

Хорошо известно, что наличие у квантовой системы некоторого резонанса связано с возможностью возникновения и последующего распада так называемого метастабильного или квазистационарного состояния При этом мнимая часть энергии резонанса, называемая его полушириной, определяет экспоненциальную компоненту в функциональной зависимости вероятности распада такого состояния от времени

Основные проблемы, относящиеся к определению резонанса, наиболее отчетливо описаны Дж Хаулэндом (1974) и Б Саймоном (1978) в противоположность обычному спектру, резонансы не являются унитарным инвариантом квантово-механического гамильтониана, и, следовательно, невозможно дать удовлетворительное определение резонанса в терминах отдельно взятого оператора, действующего в абстрактном гильбертовом пространстве Рассмотрение резонансов всегда подразумевает явное или неявное выделение некоторых внешних структур, скажем, «свободного» или «невозмущенного» гамильтонианов, по отношению к которым и проявляются резонансы Еще одной проблемой, связанной с резонансами является тот факт, что отвечающие им (обобщенные) собственные функции, так называемые гамовские векторы, не допускают никакой удовлетворительной интерпретации в терминах исходного гильбертова пространства В лучшем случае такие «векторы» могут рассматриваться лишь как функционалы над некоторым плотным линейным подмножеством гильбертова пространства задачи

Общепринятая интерпретация резонансов в квантовой механике как комплексных полюсов матрицы рассеяния, аналитически продолженной на нефизические листы комплексной плоскости энергии, восходит к известной работе Г Гамова (1928), посвященной описанию а-распада тяжелых ядер Естественно, что такая интерпретация опирается на аппарат того или иного варианта теории рассеяния, в рамках которой происходит сравнение наблюдаемой динамики квантовой системы с некоторой ее «свободной» динамикой Спектр резонансов проявляется на фоне последней и, вообще говоря, зависит от ее выбора В этом смысле резонансы столь же относительны как относительна сама матрица рассеяния

Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в описании нестабильных состояний, теория резонансов в системах с многими каналами рассеяния все еще далека от завершения Одной из нерешенных фундаментальных проблем является строение матрицы рассеяния и резольвенты (а также Г-матрицы и других тесно связанных с ней объектов) на нефизических листах энергии в многоканальных задачах и, в частности, в задачах трех и большего числа частиц Поскольку и матрица рассеяния, и функция Грина являются аналитическими функциями, их значения на нефизических листах должны однозначно определяться непосредственно через значения на физическом листе Центральным здесь является вопрос о том, какие именно ключевые объекты, входящие в матрицу рассеяния и функцию Грина на физическом листе или из них образованные, задают местоположение резонансов на том или ином нефизическом листе При наличии ответа на этот вопрос задача поиска резонансов могла бы решаться напрямую, без проведения продолжений через непрерывный спектр, и исключительно в терминах физического листа

Еще более фундаментальной является проблема операторного смысла резонансов и гамовских собственных векторов Здесь мы имеем в виду вопрос о том, обычным спектром какого оператора являются резонансы той или иной задачи рассеяния и в каком именно гильбертовом пространстве может действовать этот заведомо несамоспряженный оператор, по сути долженствующий играть роль эффективного гамильтониана для резонансных состояний В частности, требуется, чтобы его собственные векторы, отвечающие резонансам, представляли собой если не полные гамовские векторы, то хотя бы их определяющие компоненты Имея на руках эффективный гамильтониан, можно было бы уже относительно легко обсуждать проблемы полноты и даже базисности резонансных состояний и/или их компонент, опираясь на хорошо известные факты из теории линейных операторов

Единственный вполне успешный пример операторной интерпретации резонансов предоставляет теория рассеяния Лакса-Филлипса А именно, в подходе Лакса-Филлипса полюса двухчастичной матрицы рассеяния на нефизическом листе ассоциируются с дискретным спектром генератора полугруппы, возникающей в результате окаймления эволюционной группы задачи проекторами на так называемое трансляционно-инвариантное подпространство На этом основании возникает возможность доказательства полноты и базисности резонансных состояний, по крайней мере, в трансляционно-инвариантном подпространстве Схема Лакса-Филлипса имеет, однако, достаточно жесткие ограничения на область ее применимости В частности, в случае уравнения Шредингера размерность конфигурационного пространст-

ва должна быть нечетной, что означает, что задача N тел уже при N = 3 не может рассматриваться в рамках этого подхода Кроме того, подход Лакса-Филлипса неприменим к многоканальным гамильтонианам при наличии у них хотя бы двух различных порогов непрерывного спектра В полной мере схему Лакса-Филлипса удается реализовать лишь в случаях, когда риманова поверхность матрицы рассеяния содержит не более двух листов комплексной плоскости энергии Поэтому очень важным представляется поиск альтернативных вариантов операторной интерпретации резонансов, к которым можно было бы обращаться в случае систем с многими каналами рассеяния

Наконец, актуальным является создание новых методов численных расчетов резонансов, дополняющих существующие методы или снимающих их ограничения, такие, например, как секториальность разрешенной области поиска резонансов в методе комплексного скейлинга и обусловленная этим принципиальная невозможность вычисления энергий виртуальных состояний в случае потенциалов юкавского или гауссовского типов

Целью диссертации является развитие теории резонансов в многоканальных системах по следующим направлениям

• операторная интерпретация резонансов в многоканальных системах произвольной природы,

• исследование областей голоморфности и описание строения Г-матриц, матриц рассеяния и функций Грина на нефизических листах римановой поверхности энергии в многоканальной задаче рассеяния с бинарными каналами и в задаче трех частиц,

• редукция задачи поиска полюсов матриц рассеяния на нефизических листах к решению уравнений, записывающихся исключительно в терминах значений Т- или 5-матриц на физическом листе,

• разработка методов численного расчета трехчастичных резонансов на основании дифференциальных уравнений Фаддеева

Научная новизна и практическая ценность диссертации

Первый круг результатов диссертации относится к задаче трех частиц с быстро убывающими парными взаимодействиями, а также к задаче рассеяния для матричного оператора Шредингера с бинарными каналами Главный аналитический результат для названных задач — явные представления для значений Т-матрицы на нефизических листах римановой поверхности энергии Основным достоинством этих представлений является то, что они

позволяют описать строение Г-матрицы на том или ином нефизическом листе в терминах ее же значений, но взятых на физическом листе, а затем найти аналогичные явные представления для аналитического продолжения матрицы рассеяния и резольвенты Все эти представления являются новыми и получены впервые Представления для Т-матрицы являются новыми уже для одноканального случая, то есть для задачи двух частиц

На основании анализа полученных явных представлений в диссертации установлено, что в роли ключевых объектов, рассматриваемых только на физическом листе энергии, но определяющих все нетривиальные сингулярности Г-матриц, матриц рассеяния и функций Грина на нефизических листах, выступают операторно-значные функции, имеющие смысл усеченных матриц рассеяния Установлено, в частности, что резонансами на том или ином нефизическом листе оказываются те значения энергии, при которых соответствующая усеченная матрица рассеяния имеет собственное число, равное нулю При этом роль компонент собственного вектора усеченной матрицы рассеяния, отвечающего нулевому собственному числу при резонансном значении энергии, играют амплитуды развала резонансного состояния. Нормировка такого собственного вектора на единицу фиксирует вероятности распада резонансного состояния по различным каналам и направлениям

Сформулированное утверждение по поводу ключевой роли усеченных матриц рассеяния, играемой ими при определении местоположения резо-нансов, является главным новым результатом диссертации, имеющим непосредственные практические приложения Во-первых, из этого утверждения следует возможность при поиске резонансов оставаться исключительно на физическом листе Во-вторых, оно означает, что для расчета резонансов можно использовать любой метод, позволяющий вычислять при комплексных энергиях на физическом листе амплитуды процессов, необходимые для построения соответствующих усеченных матриц рассеяния

В диссертации впервые предложено использовать для этой цели дифференциальные уравнения Фаддеева Новый подход к вычислению трехчастич-ных резонансов и виртуальных уровней на основании уравнений Фаддеева был детально разработан и практически реализован для нескольких конкретных трехчастичных систем

Второй круг результатов, включенных в диссертацию, имеет более абстрактный и, соответственно, более универсальный характер Эти результаты относятся уже к многоканальным задачам произвольной природы Отправной точкой является предположение о том, что гильбертово пространство задачи тем или иным способом разложено в ортогональную сумму двух подпространств и относительно этого разложения изучаемый гамильтониан Н имеет вид операторной 2 х 2-матрицы С точки зрения теории резонансов

наиболее интересной здесь является фешбаховская ситуация, когда спектр одной из диагональной блок-компонент самосопряженной операторной матрицы Н частично или полностью вложен в непрерывный спектр другой диагональной блок-компоненты

Главным новым результатом для указанной спектральной ситуации является операторная интерпретация резонансов А именно, установлено существование семейства несамосопряженных операторов, спектр каждого из которых — наряду с частью вещественного спектра гамильтониана Н — включает также и резонансы, порождаемые этим гамильтонианом на фоне заданного разбиения гильбертова пространства задачи на два ортогональных подпространства С аналитической точки зрения каждый из упомянутых несамосопряженных операторов представляет собой некоторый операторный корень одной из трансфер-функций (комплементов Шура), ассоциированных с рассматриваемым 2 х 2-матричным представлением гамильтониана Я Именно эти операторные корни и играют роль эффективных гамильтонианов для фешбаховского резонансного спектра

Наряду с результатами по операторной интерпретации резонансов диссертация содержит ряд новых фундаментальных результатов, относящихся к общей задаче внедиагональных возмущений спектральных подпространств абстрактного самосопряженного оператора Среди этих результатов — новые точные оценки на операторный угол поворота спектрального подпространства, отвечающего изолированной части спектра В частности, дано значительное обобщение апостериорной ©-теорема Дэвиса-Кахана, а также найдена оценка, имеющая смысл новой, уже априорной tg ©-теоремы

Кроме того, диссертация содержит ряд новых результатов, касающихся условий разрешимости операторного уравнения Риккати и оценок для нормы его решений

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1 В многоканальной задаче с бинарными каналами и в задаче трех частиц построены явные представления для Г-матриц, матриц рассеяния и ядер резольвент на нефизических листах энергии, которые не только раскрывают строение этих объектов, но и указывают на практические способы вычисления резонансов

2 Доказано, что резонансами на том или ином нефизическом листе являются те значения энергии, при которых ассоциированная с этим листом усеченная матрица рассеяния, рассматриваемая на физическом листе,

имеет собственное число нуль Установлено, что компоненты собственного вектора усеченной матрицы рассеяния, отвечающего нулевому собственному числу при резонансном значении энергии, имеют смысл амплитуд развала соответствующего нестабильного состояния

3 Предложен новый подход к вычислению трехчастичных резонансов и виртуальных уровней на основании дифференциальных уравнений Фаддеева Этот подход успешно применен к ряду конкретных трехчастичных систем

4 Впервые найдена операторная интерпретация резонансов для широкого класса многоканальных систем

5 Получен ряд новых оценок на операторный угол поворота спектрального подпространства самосопряженного оператора под действием вне-диагональных возмущений. Доказана расширенная версия апостериорной tg ©-теоремы Дэвиса-Кахана и найдена оптимальная оценка на операторный угол, имеющая смысл новой, уже априорной tg ©-теоремы Доказаны новые теоремы о существовании ограниченных решений операторного уравнения Риккати и найдены оценки для их норм

Апробация работы

Результаты, включенные в диссертацию, докладывались на семинарах в ЛТФ и ЛИТ ОИЯИ, в Московском и Санкт-Петербургском гос университетах, в университетах Бонна, Бохума и Регенсбурга (Германия), в Институте Макса Планка по динамике и самоорганизации (Геттинген, Германия) и Рейнской высшей технической школе (Аахен, Германия), в Варшавском университете (Польша), в университетах Миссури-Колумбия и Миссур д-Ролла (США), в Стокгольмском университете и Стокгольмской королевской высшей технической школе (Швеция), в Институте атомных и молекулярных наук Академии Синика (Тайбэй, Тайвань), Институте ядерных исследований Чешской АН (Ржеж, Чехия) и Университете Южной Африки (Претория, ЮАР), а также представлялись на различных международных конференциях и совещаниях, среди которых XIII Warsaw Symposium on Elementary Particle Physics (Kazimierz, Poland, 1990), International Workshop "Mathematical Aspects of the Scattering Theory and Applications" (St Petersburg, USSR, 1991), III International Congress on Industrial and Applied Mathematics (Hamburg, Germany, 1995), International Workshop on Operator Theory and Applications (Regensburg, Germany, 1995), IX International Conference on Computational Modeling and Computing m Physics (Dubna, Russia, 1996), XV International Conference on

Few-Body Problems m Physics (Gronmgen, the Netherlands, 1997), Mark Krein International Conference on Operator Theory and Applications (Odessa, Ukraine, 1997), International Conference "Differential Equations and Related Topics" (Moscow, Russia, 1998), XVI European Conference on Few-Body Problems in Physics (Autrans, France, 1998), International Conference "Mathematical Results in Quantum Mechanics (QMath7)" (Prague, Czech Republic, 1998), International Workshop on Schrodinger operators (Bonn, Germany, 1998), Workshop on Nuclear Reactions in Stars and in the Laboratory (Trento, Italy, 1999), The 1999 UAB-GIT International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics (Birmingham, Alabama, USA, 1999), XVI IUPAP International Conference on Few-Body Problems in Physics (Taipei, Taiwan, 2000), The 2002 UAB International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics (Birmingham, Alabama, USA, 2002), Workshop on Computational Physics dedicated to the memory of Stanislav Merkunev (St Petersburg, Russia, 2003), International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to I G Petrovskn (Moscow, Russia, 2004), XIX European Conference on Few-Body Problems in Physics (Gronmgen, The Netherlands, 2004), IV Workshop on the Dynamics and Structure of Critically Stable Quantum Few-Body Systems (Dresden, Germany, 2005), The 8th Workshop on Numerical Ranges and Numerical Radii (Bremen, Germany, 2006)

Публикации

В диссертации представлены результаты, опубликованные в 38 работах, список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и трех приложений Общий объем диссертации — 253 страницы Она содержит 12 таблиц, 21 рисунок и список литературы из 214 наименований

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается краткий обзор истории и современного состояния теории резонансов, очерчивается круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, и указываются ее цели Кроме того, здесь дается изложение основных результатов и формулируются положения диссертации, выносимые на защиту Заключительная часть Введения содержит сжатое описание структуры работы

Глава 1 посвящена описанию строения Г-матрицы, матриц рассеяния и резольвенты на нефизических листах римановой поверхности энергии в многоканальной задаче рассеяния с бинарными каналами

Раздел 1.1 является введением к этой главе В частности, в нем описывается структура главы и дается схематичное изложение ее результатов в целом

В Разделе 1.2 вводятся основные обозначения и определяется матричный оператор Шредингера в импульсном представлении сш(1<т<«>) бинарными каналами Все пороги Я,, г = 1,2, ,т, этих каналов считаются различными Здесь же описывается два типы рассматриваемых взаимодействий В координатном представлении первому типу взаимодействий соответствуют финитные потенциалы Второму типу отвечают потенциалы, убывающие в координатном представлении не медленнее чем экспоненциально В обоих случаях ядра потенциальных операторов в импульсном представлении должны быть голоморфны по каждой импульсной переменной либо во всем комплексном пространстве (для первого типа потенциалов), либо в некоторой комплексной цилиндрической окрестности соответствующего вещественного пространства (для второго типа) Кроме того, накладываются определенные условия на убывание ядер потенциалов по вещественным компонентам импульсных переменных Для первого типа потенциальных операторов накладываются дополнительные ограничения на рост их ядер вдоль мнимых компонент импульсов Большая часть Раздела 1 2 связана с исследованием уравнения Липпмана-Швингера для Г-матрицы Весь анализ этого уравнения проводится в импульсном представлении, что позволяет пользоваться формулами для аналитического продолжения интегралов типа Коши Устанавливается, что для обоих рассматриваемых типов потенциалов матричный интегральный оператор уравнения Липпмана-Швингера, погруженного в подходящее банахово пространство, допускает аналитическое продолжение на нефизические листы комплексной плоскости энергии как оператор-но-значная функция, значениями которой являются компактные операторы Одновременно описывается полная риманова поверхность задачи и выясняются области голоморфности компонент оператора Липпмана-Швингера на каждом ее листе

Как в многоканальной задаче рассеяния с бинарными каналами, так и в задаче трех частиц листы римановой поверхности энергии обозначаются через П;, где I — мультииндекс, образованный из индексов порогов непрерывного спектра Индекс порога указывает, в частности, на количество его обходов, которые необходимо совершить для того, чтобы попасть из точки на физическом листе в ту же точку на листе П/ По определению индекс порога, являющегося корневой точкой ветвления, может принимать только

два значения — 0 или 1 Если же порог является логарифмической точкой ветвления, как это имеет место в случае порога развала на три частицы, то его индекс может быть произвольным целым числом В этом случае индекс порога указывает не только на количество обходов вокруг него, но также и на их направление Физическому листу соответствуют нулевые значения всех компонент мультииндекса Поэтому в наших построениях физический лист всегда обозначается через По

В Разделе 1.3 проводится прямое решение уравнения Липпмана-Швин-гера для Г-матрицы, продолженного на нефизические листы энергии г Уже на промежуточных этапах процедуры решения уравнения для Г(г)|П; проявляется важная роль оператора, получаемого из полной матрицы рассеяния 5(г) на физическом листе по следующей формуле

ЗД =/+!($(*)-/)!,, г 6 П0> (1)

где I — тождественный оператор, а Ь и Ь — диагональные числовые матрицы, диагональные элементы которых задаются непосредственно в терминах компонент мультииндекса I рассматриваемого нефизического листа П/. При этом главная диагональ Ь попросту совпадает с мультииндексом / Главная диагональ Ь получается из главной диагонали Ь в результате замены единицей всех ее ненулевых элементов, отличающихся от единицы Тем самым переход от матрицы (8 — 1) к матрице ¿(5 — 1)Ь означает замену нулевым оператором всех элементов тех строк и столбцов (5 — /), номера которых отвечают нулевым значениям соответствующих компонент мультииндекса I

Операторно-значная функция (г), г € По, определяемая равенством (1) называется усеченной матрицей рассеяния, отвечающей нефизическому листу П/

В конечном счете решение уравнения Липпмана-Швингера для 7(г)|п приводит к формуле

(2)

п0

дающей явное представление для значений матрицы Г (г) на нефизическом листе П/ через ее же значения и значения усеченной матрицы рассеяния 5/(г) на физическом листе По Присутствующие в (2) диагональные операторные матрицы и .Г(г) осуществляют сужение ядер Г (г) на различные энергетические поверхности (первоначально определяемые при вещественных г > Я формулами типа |к|2 = г — Я, где к и Я — импульсная переменная и порог одного из каналов), соответственно по их первому и последнему импульсным аргументам Через А (г) обозначается некоторая целая матрично-

значная функция на По, значениями которой являются скалярные диагональные матрицы

В многоканальной задаче с т бинарными каналами усеченная матрица рассеяния 5; (г) представляет собой операторную т х т-матрицу вида

ад - / + 1/(г)Г(г)^(г)М(г), (3)

те она определяется непосредственно в терминах ядер матрицы Г (г), взятых на энергетических поверхностях по обеим импульсным переменным

Явное представление (2) является центральным результатом Главы 1 В качестве простейшей иллюстрации этого результата приведем соответствующую формулу для одноканального, т е двухчастичного случая, полагая, что частицы перемещаются в трехмерном пространстве и движение центра масс отделено В этом случае имеется только один нефизический лист П; Представление (2) для значений двухчастичной Т-матрицы г (г) на листе Щ имеет вид

'«|п = + *(*)/(*) ./(*)'(*)) д (4)

Все операторы, присутствующие в правой части (4), включая матрицу рассеяния ^(г), берутся при том же положении энергии z, что и в левой части, но на физическом листе Квадратный корень л/г соответствует арифметической ветви функции г1/2 Через J(z) обозначается оператор сужения на энергетическую поверхность, определяемую первоначально при неотрицательных I формулой \к\2 =z Это означает, что произведение J(z)t(z) в качестве ядра имеет полумассовую Г-матрицу 1(^/гк,к' к, к' € К3, г € По, причем на энергетической поверхности находится ее первый аргумент-импульс т/гк с единичным угловым вектором к, |/г| = 1 Наоборот, у ядра произведения /(г)./(г) на эт°й энергетической поверхности находится его второй аргумент-импульс Аналогом, а точнее, частным случаем Формулы (3), здесь является выражение для двухчастичной матрицы рассеяния

означающее в терминах ее ядра, что

= 8(к, к') - тиф.

где 8(к,к') — дельта-функция на единичной сфере 52

В Разделе 1.4 описывается аналитическое продолжение многоканальной матрицы рассеяния или, точнее, аналитическое продолжение двух ее возможных вариантов Для продолженных матриц рассеяния находятся их явные выражения на нефизических листах, в которых снова участвуют только Г-матрица и усеченная ^-матрица, взятые на физическом листе

В Разделе 1.5 аналогичные явные представления строятся для аналитического продолжения многоканальной резольвенты на различные нефизические листы Как в этом разделе, так и в Разделе 1 4, отправной точкой для построений являются явные представления для Г-матрицы (2)

Раздел 1.6 открывается утверждением о том, что резонансами на нефизическом листе П/ являются нули усеченных матриц рассеяния 5;(г), т е те точки г € По, где операторная матрица 5/(г) обладает собственным числом, равным нулю Это утверждение делается на том основании, что на нефизических листах нетривиальные (т е отличающиеся от таковых на По) сингулярности матриц рассеяния, Г-матрицы и резольвенты определяются особенностями соответствующих обратных усеченных матриц рассеяния 5/(г)-1 Остаток Раздела 1 6 посвящен разъяснению физического смысла собственных векторов усеченных матриц рассеяния, отвечающих нулевому собственному числу при резонансных значениях энергии г Здесь устанавливается, что компоненты всякого такого собственного вектора имеют смысл амплитуд развала соответствующего резонансного состояния по открытым для этого развала каналам В частности, в простейшем — двухчастичном — случае энергия г является резонансом на листе П], если существует функция (к), заданная на сфере 52 и не равная тождественно нулю, такая, что для той же самой энергии г на физическом листе выполняется равенство = О

Функция ¿г?(к) представляет собой амплитуду развала соответствующего резонансного состояния по различным направлениям к В этом случае можно построить гамовское решение у^Сж) уравнения Шредингера в координатном представлении, содержащее в своей асимптотике при больших значениях относительной координаты частиц жбК3 лишь уходящую сферическую волну с амплитудой ¿/(~х),

ехр^/*! \х\) х—>°° а;

^ е-1\/гМ ^

— ¿/(—х)-:—:-, х = х/\х\

3? I

В Главе 2 рассматривается задача возмущений спектральных подпространств линейного самосопряженного оператора, а также тесно связанное с этой задачей операторное уравнение Риккати Материал, представленный в данной главе, предваряет те результаты, которые будут относиться уже непосредственно к операторной интерпретации резонансов, порождаемых 2x2-матричными гамильтонианами

Раздел 2.1 является вводным В его первой части описывается постановка задачи о возмущении спектральных подпространств Здесь, в частности, принимается, что А - самосопряженный оператор в гильбертовом 9), а

V — его ограниченное самосопряженное возмущение Принимается также, что Со - изолированная часть спектра А, а — отвечающее ей спектральное подпространство Через <71 обозначается остальной спектр А и через — спектральное подпространство А, ассоциированное с После обсуждения общей задачи возмущений спектральных подпространств отмечается, что вращение спектрального подпространства 55о или П°Д действием возмущения V определяется внедиагональной частью этого возмущения относительно разбиения гильбертова пространства в виде

(5)

Диагональная часть V может лишь изменить спектр, но она никак не воздействует на положение инвариантных подпространств и 551 в ^ Поэтому ядром теории возмущений инвариантных и, в том числе, спектральных подпространств является анализ внедиагональных возмущений, те тех возмущений V, которые по отношению к разбиению (5) имеют вид

О В

в* о ' <6)

Все дальнейшее рассмотрение относится к внедиагональным V Части оператора А в спектральных подпространствах 55о и обозначаются соответственно через АонА\ Так что возмущенный оператор Н =Л + У приобретает 2 х 2-матричный вид

»-(22.)

Одной из уже точно установленных фундаментальных констант для задачи внедиагональных возмущений является константа с = у/Ъ/2 в условии

1М1 < (8)

гарантирующем незакрывание лакун между изолированными частями Оо и <7х спектра оператора А, отделенными друг от друга расстоянием с/ > О Константа с = \/3/2 относится к самому общему случаю задачи внедиагональных возмущений, когда не делается никаких предположений относительно взаимного расположения спектральных компонент Сто и С\

Значение другой фундаментальной константы для общего случая этой задачи, а именно, значение константы с в условии ||У|| < ей, гарантирующем, что операторный угол © поворота спектрального подпространства под действием внедиагонального возмущения V остается меньшим л/2, все еще неизвестно Известно лишь, что эта константа подчиняется условию

сж < с < л/3/2,

где

Зтг- \Лг2 + 32

с* =-, „ = 0 503288

л2 —4

Кроме того, в Разделе 2 1 разъясняется глубокая связь задачи внедиаго-нальных возмущений инвариантных подпространств с операторным уравнением Риккати вида

ХА0-А1Х+ХВХ = В*, (9)

а также с задачей факторизации операторных пучков типа

Mo(z)=Ao-z + B(z-Ai)-1B* (10)

Отмечается, что существование ограниченного решения X для операторного уравнения Риккати (9) равносильно утверждению о том, что операторный угол 0 поворота спектрального подпространства под действием внедиа-гонального возмущения подчиняется оценке ||©|| < я/2 Более того, в этом случае имеет место равенство

tgii©n = imi по

Известно, что условие (8) незакрывания лакун между спектральными множествами Со и С\ можно значительно ослабить в случае их специального взаимного положения Достаточно хорошо изучен случай, когда эти множества субординированы, скажем, supero < ínfaj Именно этот случай описывает знаменитая tg20-TeopeMa Дэвиса-Кахана, утверждающая, что каким бы большим ни было (ограниченное) внедиагональное возмущение V, интервал (supСо, inferí) всегда остается в резольвентном множестве оператора Я = А + V, а операторный угол поворота спектрального подпространства f)o не превышает величины \ arctg(^p-), те 0 при любых ||У|| остается меньшим 7г/4

В диссертации детально изучается другой случай специального взаимного положения спектральных компонент Со и Ci, а именно случай, когда

Со целиком лежит в конечной лакуне c¡ (12)

Одним из основных новых результатов Главы 2 является утверждение о том, что для спектральной ситуации (12) роль фундаментальной константы с в условии || V|| < cd незакрывания лакун между Со и c¡ играет число Более того, условие

imi < vid (в)

обеспечивает выполнение оценки 0 < к/2 для операторного угла поворота спектрального подпространства fio под действием внедиагонального возмущения V

В Разделе 2.2 формулируется более общее утверждение — Теорема 2 2 1 (i), по отношению к которому результат о фундаментальной роли константы л/2 для внедиагональной задачи возмущений в ситуации (12) является простым следствием Основным утверждением Теоремы 2 2 1 (i) является существование ограниченного решения уравнения Риккати (9) при более слабом нежели (13), но более детальном условии

||V|| < VdD, (14)

где D, D> 2d, — длина той конечной лакуны в спектральном множестве cri, которая целиком содержит множество Оо

В Разделе 2 2 формулируется еще одно важное утверждение (Теорема 2 2 2), из которого следует точная оценка на операторный угол поворота спектрального подпространства $)о под действием внедиагональных V А именно, если выполнены условия (12) и (13), то

«вЦ<Н

где 5 (8 > 0) — расстояние между возмущенным спектром Ао и невозмущенным спектром А] Этот результат — новая апостериорная тангенс-теорема, представляющая собой значительное обобщение фундаментальной оценки на операторный угол поворота спектрального подпространства, известной как tg 0-теорема Дэвиса-Кахана

Кроме того, в Разделе 2 2 формулируется утверждение о том, что при условии (14) операторно-значная функции (10), обычно называемая трансфер-функцией или комплементом Шура, допускает факторизацию вида

M0(z)=W(z)(Z-z), (15)

где W — операторно-значная функция, голоморфная и ограниченно-обратимая на резольвентном множестве оператора A i, a Z — ограниченный оператор со спектром в той лакуне множества cri, которая содержит спектральную компоненту сто Приводится также явное интегральное представление для решения X уравнения Риккати (9) в терминах факторизатора Z

В Разделе 2.3 дается сводка результатов по инвариантным граф-подпространствам, а также по тесно связанной с ними задаче блочной диагона-лизации операторных 2 х 2-матриц Главным результатом раздела является Теорема 2 3 5, в которой из факторизационной формулы (15) при весьма общих предположениях относительно компонент операторной матрицы (7) выводятся следствия о существовании решения X уравнения Риккати (9), о

представлении спектрального подпространства матрицы (7), ассоциированного со спектром X, в виде графика X и, наконец, о представлении самого факторизатора Ъ в виде

г=А0+вх

Кроме того, устанавливается, что множитель в (15) имеет вид

Раздел 2.4 содержит полное доказательство Теоремы 2 2 1 (1) В Разделе 2.5 дается полное доказательство апостерионой 1§0-теоремы (Теоремы 2 2 2)

В Разделе 2.6 даются априорные оценки для нормы решения X уравнения Риккати (9), существование которого было доказано при условиях (12) и (14) Поскольку спектральное подпространство оператора Н —А + У, являющееся результатом поворота Г)о, представляет собой график оператора X, оценки для ЦХЦ означают, в силу (11), также и оценки для ||0|| и, наоборот, из оценок для ||©|| следуют соответствующие оценки для ЦХЦ Грубая априорная оценка для ||Х|| и ||®||, справедливая при любых V, подчиняющихся (14) делается на основании апостериорной tg0-тeopeмы путем определения нижней границы для расстояния 8 между исходным спектральным множеством 01 и конечным спектральным множеством, возникающим из спектральной компоненты Со Еще одна априорная оценка, содержащаяся в Теореме 2 2 1 (и) и означающая, что при ||У|| < у/(1(0 — <1) оператор X является строгим сжатием, а ||ОЦ < я/4, делается с помощью 1§20-теоремы Дэвиса-Кахана

Доказательство гораздо более тонкой априорной оценки для ||Х|| и ||0|| при ||К|| < \/(1(0 — (I), содержащейся в Замечании 2 6 4, требует весьма значительного места Непосредственно в диссертации доказательство этой оценки не приводится и читатель отсылается к первоисточнику (статье [37])

Важным следствием оценки, упомянутой в Замечании 2 6 4, является точная оценка для 0,

справедливая при условии (12) для любых внедиагональных V, удовлетворяющих неравенству ||У|| <с1

Неравенство (17) представляет собой новую фундаментальную оценку в теории возмущений спектральных подпространств, имеющую смысл априорной tg0-тeopeмы

Раздел 2 6 заканчивается указанием на гипотезу о том, что точная оценка (17) справедлива и при й < ||У|| < урМ Основанием для этого предполо-

(16)

(17)

жения является наличие априорной tg 0-теоремы для собственных векторов (Теоремы 2 6 5) при всех значениях || V || € [0, \/2с1)

Глава 3 посвящена операторной интерпретации резонансов, порождаемых гамильтонианами произвольной природы Отправной точкой здесь является предположение о том, что гильбертово подпространство задачи 5} тем или иным способом разложено в ортогональную сумму (5) двух подпространств ^эо и Предполагается также, что относительно этого разложения исследуемый гамильтониан имеет вид операторной 2x2 матрицы (7) с самосопряженными Ао, и ограниченным В В отличие от Главы 2, где спектры диагональных компонент Ао и А\ не пересекаются, в данной главе рассматривается ситуация, когда спектр Ао частично или полностью вложен в непрерывный спектр А\ Именно такую спектральную ситуацию мы называем фешбаховской

Раздел 3.1 содержит постановку задачи, изложение основных идей ее анализа, а также сводку главных результатов Кроме того, даются литературные указания и описывается структура главы

В качестве невозмущенного гамильтониана рассматривается главная диагональ А = dlag(Ao,Al) матрицы Н

В Разделе 3.2 вводятся основные обозначения и формулируются рабочие гипотезы Центральной среди них является предположение о том, что операторно-значная функция

Кв(ц) = ВЕ1((-со,ц))В*, дем,

представляющая собой результат окаймления операторами В и В* спектральной меры Е1((—ооператора А\ для интервала (—допускает аналитическое продолжение на некоторые области А^сС, к = 1,2, , т, 1 < т < со Области при различных к считаются попарно непересекающимися Ввиду самосопряженности А1 каждая из них автоматически оказывается симметричной относительно вещественной оси

Еще одним важным предположением является гипотеза о том, что пересечение спектра Ао с непрерывным спектром А\ целиком попадает в объединение упомянутых т областей, а компоненты спектров Ао и Аь лежащие вне и?=1£>ь не пересекаются друг с другом

Предположение, сделанное по поводу аналитической продолжимости функции Кв{ц), позволяет ввести в рассмотрение 2т вариантов аналитического продолжения трансфер-функции (10), отвечающих тому или иному способу перехода через непрерывный спектр оператора Аь лежащий в областях О* Возникающие таким образом операторно-значные функции М^ (г) нумеруются мультииндексом 1 = ,/«), где каждая отдельная компонента 4

может принимать только значения —1 или +1, в соответствии с направлением перехода (сверху вниз или снизу вверх) через непрерывный спектр А\, совершаемого в области £)* Следует отметить, что непосредственно в диссертации для функций мЦ\г) используются более детальные обозначения, куда входят еще и контуры, ограничивающие области продолжения

По отношению к исходной трансфер-функции Мо значения функций взятые на соответствующих нижних и/или верхних половинах областей Дь отвечают уже нефизическим листам В зависимости от конкретной задачи, часть этих листов или даже все нефизические листы могут оказаться отож-дествимыми В общем случае происходит выход на 2т различных нефизических листов

Каждой из операторно-значных функций М^ (г) скалярной комплексной переменной г сопоставляется одноименная функция М^{7,) операторной переменной Z Функция М^ {2) обладает, в частности, тем свойством, что если у является собственным вектором оператора-аргумента 2отвечающим собственному числу г, т е 2 у/ = гу, то автоматически выполнено

мЦ\г)у = м$)ш

В Разделе 3.3 рассматривается конкретный пример, напрямую связанный с многоканальными операторами Шредингера, где реализуются все предположения и рабочие гипотезы, введенные в Разделе 3 2

Раздел 3.4 посвящен детальному исследованию нелинейных операторных уравнений

МЧ]{2) = 0 (18)

Здесь, в частности, формулируются условия на операторы В, обеспечивающие одновременную разрешимость всех 2т уравнений (18) Наряду с доказательством разрешимости (18) дается также и критерий единственности решения го для каждого из уравнений (18) Критерий единственности формулируется в спектральных терминах

В Разделе 3.5 устанавливается, что каждый из операторных корней является факторизатором соответствующей функции А именно, име-

ют место факторизационные формулы, аналогичные (15)

где — ограниченная и ограниченно-обратимая функция, голоморф-

ная в некоторой достаточно широкой и явно описанной окрестности б1 (Ао) спектра оператора Ао (Теорема 3 5 1), целиком содержащей спектр

г« Приводится явное интегральное представление для ТУ^ф в терминах корня

являющееся обобщением представления (16) на фешбаховский случай Доказывается, что спектр М^ в ¿?(Ао) в точности совпадает со спектром ее корня Более того, подобное утверждение относится и к каждому отдельному типу спектра В частности, резонансы — комплексные полюсы —

в ¿?(Ао) представляют собой точки обычного дискретного спектра В числе прочего устанавливается, что операторы и связаны преобразованием подобия

В Разделе 3.6 доказывается, что все 2т операторов

обладают одним

и тем же набором изолированных вещественных собственных значений Более того, и собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям, являются общими сразу для всех

г«

Как для резольвенты -г) , так и для обратной трансфер-функции каждое такое собственное значе-

ние порождает полюс первого порядка Указывается способ выбора системы линейно-независимых собственных векторов операторов

г('),

являющейся

базисом Рисса в замыкании линейной оболочки совокупности всех собственных векторов этих операторов, отвечающих изолированным вещественным значениям

В Разделе 3.7 подробно разбирается интересный для многих физических приложений случай, когда подпространство 5)о конечномерно В этом случае операторные корни

оказываются обычными скалярными п х «-матрицами некоторой конечной размерности п Особое внимание уделяется выяснению соотношений между собственными проекторами и собственными нильпо-тентами операторов , отвечающими резонансам Предлагается рецепт выбора базиса в ¿эо> содержащего наряду с собственными векторами 2^ для вещественных собственных значений также и корневые (собственные и присоединенные) векторы, отвечающие резонансам

В Разделе 3.8 рассматривается случай, когда подпространство йо бесконечномерно, а оператор А\ имеет компактную резольвент/ Формулируются условия на компоненты операторной матрицы (7), обеспечивающие полноту и базисность систем корневых векторов операторов

естественно включающих в себя также и резонансные векторы Даются подробные доказательства достаточности сформулированных условий.

Операторы 2^ играют важную классификационную роль по отношению к (как правило переполненной) системе корневых векторов аналитически продолженной трансфер-функции Мо Для того, чтобы получить базис в составленный из векторов этой системы, следует попросту выделить в ней базисный набор корневых векторов какого-либо одного отдельно взятого оператора

г«

В Разделе 3.9 рассматривается пример, представляющий собой обобще-

ние одной из известных моделей Фридрихса В этом примере Л о - оператор конечного ранга, а А\ — оператор умножения на независимую переменную Пример используется как простейшая иллюстрация основных результатов, полученных в Главе 3

Главной целью Главы 4 является построение явных представлений для аналитического продолжения Г-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина на нефизические листы энергии в задаче трех частиц В качестве основного инструмента для достижения этой цели выступают интегральные уравнения Фаддеева в импульсном пространстве Парные потенциалы, использующиеся в этой главе, представляют собой одноканальный вариант потенциальных операторов, описанных в Разделе 1 2

Раздел 4.1 содержит постановку задачи и описание структуры главы В Разделе 4.2 даются некоторые определения общего характера и вводятся основные обозначения, используемые на протяжении всей Главы 4 В частности, в этом разделе дается определение компонент Фаддеева Мар(г), а,Р — 1,2,3, трехчастичной Г-матрицы Каждый из двух используемых вариантов уравнений Фаддеева для этих компонент записывается в матричном виде как соответствующее замкнутое уравнение для блочно-операторной 3 х 3 -матрицы М{£), образованной из

В Разделе 4.3 дается описание аналитических свойств парных Г-матриц, знание которых необходимо при продолжении уравнений Фаддеева на нефизические листы энергии Здесь же проводится независимый от соответствующего материала Главы 1 вывод представления (4) для значений двухчастичной Г-матрицы на листе П1

Раздел 4.4 посвящен описанию свойств матрицы компонент Фаддеева М{£) и трехчастичных матриц рассеяния на физическом листе В числе прочего, выясняются границы тех областей на физическом листе, где полумассовые ядра компонент Фаддеева Мар(г), а также амплитуды, входящие в матрицы рассеяния, могут рассматриваться как обычные или обобщенные голоморфные функции энергии г Здесь же исследуются аналитические свойства ядер операторов, образованных из компонент матрицы М{£) и используемых в дальнейшем при построении явных представлений для М на нефизических листах

В Разделе 4.5 дается детальное описание той части 91 трехчастичной ри-мановой поверхности энергии, с которой мы имеем дело при построении явных представлений для фаддеевской матрицы М(г), а также при построении таких представлений для матриц рассеяния и функции Грина В 9Я включаются все «двухчастичные» листы, доступ к которым с физического листа возможен в результате обхода только парных порогов, а также два соседних «трехчастичных» листа, переход на которые происходит в результате одно-

кратного пересечения непрерывного спектра выше порога развала системы на три частицы

Используемые нами потенциалы таковы, что каждая двухчастичная подсистема может иметь лишь конечное число связанных состояний Это означает, что 9Я состоит из 2" +2 листов, где п — общее количество двухчастичных порогов

В Разделе 4.6 проводится аналитическое продолжение на нефизические листы поверхности свободных членов и ядер уравнений Фадцеева для матрицы М, а также их итераций Надо сказать, что продолжение уравнений Фаддеева, осуществимое лишь в смысле обобщенных функций, является значительно более сложной задачей нежели продолжение многоканального уравнения Липпмана-Швингера, рассматриваемого в Главе 1 Тем не менее, с помощью соответствующих представлений для парных Г-матриц (4), результат продолжения ядер, свободных членов и их итераций записывается в явных терминах, относящихся только к физическому листу

В Разделе 4.7 проводится прямое решение продолженных уравнений Фадцеева для матрицы М на каждом нефизическом листе П; поверхности в соответствующей области голоморфности ядер этих уравнений, их свободных членов и итераций Такое решение оказывается возможным лишь для тех точек г из этой области, где существует оператор 5/(г)-1, обратный к соответствующей усеченной матрице рассеяния 5/ (г) Последняя связана с полной трехчастичной матрицей рассеяния 5 (г) той же формулой (1), что и в случае задачи, рассматривающейся в Главе 1 Результат решения продолженных уравнений Фадцеева — явные представления для матрицы М(г)|П; в терминах операторов, образованных из ее компонент на физическом листе Эти представления имеют вид

(19)

По

где А (г) — некоторая целая функция на По, значениям которой являются скалярные диагональные матрицы Операторы <2/(г) и 0[ (г) явно выражаются через значения матрицы М(г) на физическом листе По Диагональные операторные матрицы 1(г) и осуществляют сужение ядер операторов (¿¡(г) и (2/ (г) на различные энергетические (массовые) поверхности соответственно по их первому и последнему импульсным аргументам, так что произведениям (¿¡^ и JQl соответствуют ядра операторов <2}(г) и 0.1{т) в их полумассовых вариантах Смысл обозначения Ь ровно тот же, что и в формулах (1) и (2) Ь — это диагональная числовая матрицы, главная диагональ которой в точности совпадает с мультииндексом I рассматриваемого листа П/ поверхности

Представления (19) — центральный результат Главы 4, раскрывающий (причем уже на уровне фадцеевских компонент) строение трехчастичной Т-матрицы на нефизических листах поверхности !Н Структура этих представлений в существенном аналогична структуре представлений (2) для аналитического продолжения Г-матрицы в многоканальной задаче рассеяния с бинарными каналами

В Разделах 4.8 и 4.9 представления (19) используются для получения аналогичных явных представлений соответственно для матриц рассеяния и для функции Грина

На основании явных представлений, найденных в Разделах 4 7-4 9, в Разделе 4.10 делается вывод, что трехчастичным резонансам на нефизическом листе П; поверхности соответствуют те точки г на физическом листе, для которых усеченная матрица рассеяния 5; (г) имеет собственное число нуль и тем самым уравнение = 0 обладает некоторым нетривиаль-

ным решением Отмечается, что компонентами собственного вектора $4 являются амплитуды развала соответствующего резонансного состояния по различным открытым каналам Кроме того, указывается, что для практического вычисления усеченных матриц рассеяния в задаче трех тел можно использовать дифференциальные уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве

Раздел заключается замечанием о том, что подход к исследованию строения Г-матриц, матриц рассеяния и функции Грина на нефизических листах, предложенный в диссертации, может быть распространен также и на системы с произвольным числом частиц Для достижения этой цели следует воспользоваться интегральными уравнениями Якубовского

Глава 5 посвящена разработке практического способа вычисления резо-нансов и виртуальных уровней конкретных трехчастичных систем на основании дифференциальных уравнений Фаддеева Одновременно обсуждаются методы и результаты расчетов связанных состояний и процессов рассеяния Раздел 5.1 является введением к Главе 5 Наряду с описанием структуры главы и литературными указаниями здесь дается краткое изложение результатов численных расчетов, проделанных для трехнуклонной системы ппр, системы трех бозонов с массами нуклона и системы трех атомов гелия 4Не Отмечается, что на протяжении последних 10-15 лет атомная система 4Нез находится в центре внимания как экспериментаторов, так и теоретиков-вычислителей С одной стороны, этот интерес вызван непрекращающимся бумом в исследованиях бозе-эйнштейновской конденсации в ультрахолодных газах, в том числе, и в газах 4Не С другой стороны, повышенный интерес обусловливается еще и тем, что тример 4Нез является одним из наиболее реалистических кандидатов на экспериментальное обнаружение эффекта Ефимова

В Разделе 5.2 дается описание практической части разработанной нами дифференциальной формулировки задачи рассеяния 2 —> 2,3 для системы трех частиц с твердым кором С точки зрения вычислительных приложений, использование этой формулировки подразумевает решение обычных дифференциальных уравнений Фаддеева во всем пространстве Е6 Эти уравнения, однако, дополняются краевыми условиями, требующими, чтобы сумма компонент Фаддеева волновой функции обращалась в нуль, когда расстояние между какими-либо двумя частицами оказывается равным сумме радиусов их коров При этом парные потенциалы внутри областей кора считаются нулевыми Предлагаемый подход может рассматриваться как надежное основание для расчетов тех трехчастичных систем, парные взаимодействия в которых имеют очень сильную отталкивательную компоненту на малых расстояниях К численным преимуществам нашего подхода относится фактическая замена аппроксимации суммы лапласиана и огромного потенциального члена внутри областей кора, характерной для традиционных методов, аппроксимацией лишь лапласиана Это обстоятельство приводит к значительному уменьшению вычислительных ошибок

Все наши численные результаты для системы трех атомов гелия 4Не получены именно путем решения дифференциальных уравнений Фаддеева с краевыми условиями, отвечающими замене гигантской отталкивательной компоненты в атом-атомном взаимодействии «потенциалом» твердого кора

Для расчетов системы ппр и системы трех бозонов с массами нуклона использовались дифференциальные уравнения Фаддеева в их стандартной версии

В Разделе 5.3 формулируются парциальные дифференциальные уравнения Фаддеева для системы трех тождественных бозонов с твердым кором, получающиеся как результат разложения соответствующих уравнений в К6 по бисферическому базису Описываются асимптотические краевые условия для парциальных уравнений, отвечающие процессам 2 —> 2,3, и приводятся старшие члены координатной асимптотики парциальных компонент Фаддеева волновых функций для связанных состояний

В Разделе 5.4 парциальные дифференциальные уравнения Фаддеева и краевые задачи для них в случае обычных потенциалов без твердого кора описываются как частный случай уравнений и краевых задач из Раздела 5 3 В Разделе 5.5 описываются детали применяемого нами вычислительного алгоритма Приводятся численные результаты по связанным состояниям и рассеянию в системе трех атомов 4Не, полученные в работах, представляемых в диссертации Отмечается, что результаты по энергиям связи основного и возбужденного состояний тримера 4Нез находятся в хорошем согласии

с результатами альтернативных расчетов Кроме того, отмечается, что расчеты фаз упругого рассеяния атома 4Не на димере 4Нег при энергиях как выше, так и ниже порога развала системы на три частицы были выполнены впервые именно в наших работах Эти результаты были подтверждены в единственном на данный момент альтернативном расчете фаз рассеяния, выполненном при энергиях ниже порога развала

В случае, когда трехчастичная система близка к выполнению условий возникновения эффекта Ефимова, длина рассеяния частицы на связанном состоянии пары частиц оказывается очень чувствительной к выбору параметров сетки, в особенности к величине радиуса области, на границе которой производится аппроксимация асимптотических краевых условий Поэтому заключительная часть раздела посвящена обсуждению вопросов, касающихся сходимости результатов по длине рассеяния атома 4Не на димере 4Нег

В Разделе 5.6 производится «комплексификация» краевых задач для парциальных уравнений Фаддеева, отвечающих процессам 2 —> 2,3 в трехбо-зонных системах типа 4Нез, с целью использования этих уравнений для вычисления аналитического продолжения амплитуд 2 —> 2 на физический лист энергии Главным результатом раздела является выяснение границ той области на физическом листе, куда продолжается парциальная матрица рассеяния 5о(г), отвечающая упругим процессам 2 —> 2, причем так, что возможно ее вычисление на основании парциальных уравнений Фаддеева В случае финитных парных потенциалов область П^ описывается неравенством

где £(1 — энергия (единственного) связанного состояния парной подсистемы В Разделе 5.7 обсуждаются свойства парциальной матрицы рассеяния 5о(г), отвечающей процессам 2 —> 2 Устанавливается, что ее нули определяют положение резонансов на нефизическом листе, связанном с физическим листом переходом через непрерывный спектр на интервале (£¿,0)

В Разделе 5.8 продолжается численное исследование системы трех атомов 4Не В первой части раздела вычисляется положение нулей парциальной матрицы рассеяния 5о(г) Для эт°й системы, отвечающей одному из реалистических атом-атомных потенциалов Обсуждается отрицательный результат поиска резонансов в разрешенной области П^ Во второй части раздела проверятся, что при увеличении силы межатомных взаимодействий энергия возбужденного состояния тримера 4Нез покидает физический лист и превращается в виртуальный уровень Именно такое нестандартное поведение энергии возбужденного состояния тримера при усилении межатомных взаимодействий указывает на ефимовскую природу этого состояния Кроме то-

го, здесь детально исследуется механизм превращения виртуальных уровней системы 4Нез в новые ефимовские уровни при ослаблении парных взаимодействий

В Разделе 5.9 рассматривается система трех тождественных бозонов с массами нуклона В качестве парных взаимодействий выбирается гауссов-ский потенциал с дополнительным отталкивательным членом, также имеющим гауссовскую форму В ¿-состоянии этой системы обнаруживается резонанс, траектория которого при уменьшении отталкивательного члена потенциала прослеживается вплоть до ее выхода на вещественную ось и превращения резонанса в виртуальный уровень

Наконец, в заключительном Разделе 5.10 проводится поиск резонансов и виртуальных уровней в трехнуклонной системе ппр при значениях полного орбитального момента = 0 и I. = 1 Резонансы и виртуальные уровни снова ищутся как нули на физическом листе соответствующих усеченных парциальных матриц рассеяния В качестве нуклон-нуклонных взаимодействий используется потенциал Мальфлье-Тжона МТ 1-Ш Особенно тщательно исследуется окрестность точек, рассматривавшихся в ряде экспериментальных работ как возможное местоположение резонансного состояния ядра 3Н Однако нуль обнаруживается лишь у дублетного варианта парциальной матрицы рассеяния ¿о(г), причем только в случае I. — 0 и только один Этот нуль отвечает хорошо известному виртуальному состоянию системы ппр с полным спином 1 /2

Приложения А и В содержат вспомогательные теоретико-операторные результаты, используемые в Главе 3

В Приложении С дается описание реалистических межатомных потенциалов, используемых в Главе 5 при проведении численных расчетов системы трех атомов 4Не

Результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в следующих работах:

[1] S Albeverio, К A Makarov, and А К Motovilov, Graph subspaces and the spectral shift function, Canadian Journal of Mathematics 55 3 (2003), 449-503

[2] V Hardt, R Mennicken, and А К Motovilov, Factorization theorem for the transfer function associated with a 2x2 operator matrix having unbounded couplings, J Operator Theory 48 1 (2002), 187-226

[3] V Hardt, R Mennicken, and А К Motovilov, Factorization theorem for the transfer function associated with an unbounded non-self-adjoint 2x2 operator matrix, Operator Theory Advances and Applications 142 (2003), 117-132

[4] E А Колганова, А К Мотовилов, Использование дифференциальных уравнений Фаддеева для расчетов трехчастичных резонансов, ЯФ 60 2 (1997), 235-244

[5] Е А Колганова, А К Мотовилов, О механизме возникновения ефимов-ских состояний в тримере гелия 4Не, ЯФ 62 7 (1999), 1253-1267.

[6] Е A Kolganova and А К Motovilov, Scattering and resonances in the 4He three-atomic system, Comput Phys Comm 126 (2000), 88—92.

[7] E A Kolganova and А К Motovilov, Three-body resonances in framework of the Faddeev configuration space approach, In1 Proc of the 9th Intern Conf on Computational Modelling and Computing in Physics (JINR, Dubna, 1997), pp 177-180, arXiv nucl-th/9702037

[8] E A Kolganova, А К Motovilov, and Y К Ho, Complex scaling of the Faddeev equations, J Comput Methods in Sciences and Engineering 2 No ls-2s (2002), 149-154

[9] E A Kolganova, А К Motovilov, and Y К Ho, Complex scaling of the Faddeev operator, Nucl Phys A 684 (1-4) (2001), 623-625

[10] E A Kolganova, А К Motovilov, and W Sandhas, Scattering length of the hehum-atom-helium-dimer collision, Phys Rev A 70 (2004), 052711(4)

[11] E A Kolganova, А К Motovilov, and S A Sofianos, Three-body configuration space calculations with hard-core potentials, J Phys В 31 (1998), 1279-1302

[12] E A Kolganova, А К Motovilov, and S A Sofianos, Ultralow energy scattering of a He atom off a He dimer, Phys Rev A 56 (1997), R1686-R1689

[13] V Kostrykin, К A Makarov, and А К Motovilov, On the existence of solutions to the operator Riccati equation and the tan © theorem, Integr Eq Oper Th 51 (2005), 121-140

[14] R Mennicken and А К Motovilov, Operator interpretation of resonances arising in spectral problems for 2x2 matrix Hamiltonians, Operator Theory Advances and Applications 108 (1999), 316-322

[15] R Mennicken and A K. Motovilov, Operator interpretation of resonances arising in spectral problems for 2x2 operator matrices, Math Nachr 201 (1999), 117-181

[16] R Mennicken and А К Motovilov, Operator interpretation of resonances generated by some operator matrices, Operator Theory Advances and Applications 118 (2000), 288-302

[17] P Менникен, А К Мотовилов, Операторная интерпретация резонан-сов, порождаемых (2х2)-матричными гамильтонианами, ТМФ 116 2 (1998), 163-181

[18] S Р Merkuriev and А К Motovilov, Faddeev equations for simple layer potential density, Math Phys 7 (1983), 497-503.

[19] С П Меркурьев, А К Мотовилов, С JI. Яковлев, Задача нескольких тел в модели граничных условий и обобщенные потенциалы, ТМФ 94 3 (1993), 435-447

[20] А К Мотовилов, Аналитическое продолжение матрицы рассеяния в многоканальной задаче, ТМФ 95 3 (1993), 427-438

[21] А К Motovilov, Analytic continuation of the scattering matrix m multichannel problem and the Lax-Phillips approach, ЯФ 56 7 (1993), 61-65

[22] А К Мотовилов, Дифференциальные уравнения для компонент волновой функции в задаче трех твердых сфер, Вести. Лениигр гос ун-та (сер физ хим) №22 (1983), 76-79

[23] А К Motovilov, Explicit representations for the T-matrix on unphysical energy sheets and resonances in two- and three-body systems, Few-Body Syst 38 (2006), 115-120

[24] А К Мотовилов, Исключение энергии из взаимодействий, зависящих от нее резольвентным образом, ТМФ 104 2 (1995), 281-303

[25] А К Motovilov, Potentials appearing after the removal of an energy-dependence and scattering by them, In Proc of the Intern Workshop "Mathematical Aspects of the Scattering Theory and Applications" (St Petersburg University, St Petersburg, 1991), pp 101-108

[26] А К Мотовилов, Переформулировка схемы Лакса-Филлипса в терминах стационарной теории рассеяния, ТМФ 98 2 (1994), 248-265

[27] А К Мотовилов, Представления для трехчастичной Т-матрщы на нефизических листах I, ТМФ 107 3 (1996), 450-477

[28] А К Мотовилов, Представления для трехчастичной Т-матрицы на нефизических листах II, ТМФ 107 3 (1996), 478-502

[29] А К Motovilov, Removal of the resolvent-like energy dependence from interactions and invariant subspaces of a total Hamiltoman, J Math Phys 36 12 (1995), 6647-6664

[30] А К Motovilov, Removal of the resolvent-like dependence on the spectral parameter from interactions, Zeitschnft fur Angewandte Mathematik und Mechanik 76 Suppl 2 (1996), 229-232

[31] А К Motovilov, Representations for the three-body T-matrix, scattering matrices and resolvent on unphysical energy sheets, Math Nachr 187 (1997), 147-210

[32] А К Мотовилов, Строение Т-матрицы и матрицы рассеяния на нефизических листах энергии в задаче трех квантовых части, ЭЧАЯ 32 7 (2001), 144-150

[33] А К Motovilov, The elimination of an energy from the energy-dependent potential, in "Physics of Elementary Interactions", edited by Z Ajduk, S Pokorski, and AKWroblewski (World Scientific, Singapore, 1990), pp 494-499

[34] А К Motovilov, The removal of an energy dependence from the interaction in two-body systems,! Math Phys 32 12 (1991), 3509-3518

[35] А К Motovilov and E A Kolganova, Structure of T- and S-matrices in unphysical sheets and resonances in three-body systems, Few-Body Syst Suppl 10 (1999), 75-84

[36] A K Motovilov, W Sandhas, S A Sofianos, and E A Kolganova, Binding energies and scattering observables in the 4He3 atomic system, Eur Phys J D 13 (2001), 33-41

[37] A K Motovilov and A V Selin, Some sharp norm estimates in the subspace perturbation problem, Integr Eq Oper Th (2006), DOI 10 1007/s00020-006-1437-1, published "Online First", arXiv math SP/0409558

[38] A K Motovilov, S A Sofianos, and E A Kolganova, Bound states and scattering processes in the 4He3 atomic system, Chem Phys Lett. 275 (1997), 168-172

FIo;iyHeHO 18 cenTH6pa 2006 r

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 19 09 2006 Формат 60 х 90/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 1,75 Уч-изд л 2,06 Тираж 100 экз Заказ № 55470

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г Дубна, Московская обл , ул Жолио-Кюри, 6 E-mail publish@jinr ru www jinr ru/publish/

Введение

1 Аналитическое продолжение матрицы рассеяния в многоканальной задаче с бинарными каналами

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Уравнение Липпмана-Швингера для Г-матрицы на римановой поверхности энергии

1.3 Явные представления для значений Г-матрицы на нефизических листах

1.4 Матрицы рассеяния и их аналитическое продолжение

1.5 Аналитическое продолжение резольвенты.

1.6 Физический смысл собственных векторов усеченных матриц рассеяния, отвечающих резонансам

2 Задача о возмущении спектральных подпространств и операторное уравнение Риккати

2.1 Сводка известных результатов. Связь задачи возмущений инвариантных подпространств с уравнением Риккати.

2.1.1 Оценки на поворот спектрального подпространства.

Случай общего положения.

2.1.2 Операторное уравнение Риккати.

2.1.

§(20)-теорема Дэвиса-Кахана.

2.1.4 Константа л/2.

2.2 Два важных результата, связанных с константой у/2.

2.3 Инвариантные граф-подпространства и блочная диагонализация

2.4 Существование решения уравнения Риккати.

2.5 Апостериорная tg0-тeopeмa.

2.6 Оценки для нормы решения уравнения Риккати.

3 Операторная интерпретация резонансов в спектральных задачах для

2 х 2-матричных гамильтонианов

3.1 Вводные замечания.

3.2 Аналитическое продолжение трансфер-функции

3.3 Пример, связанный с многоканальными операторами Шредингера

3.4 Основное уравнение. Решения

3.5 Факторизация трансфер-функции и ее непосредственные следствия

3.6 Некоторые свойства вещественных собственных чисел.

3.7 Операторы в случае конечномерного пространства ^о.

3.8 Базисность и полнота системы корневых векторов оператора го в случае бесконечномерного пространства ^о

3.9 Явно решаемая модель.

4 Строение Г-матрицы и матрицы рассеяния на нефизических листах энергии в задаче трех частиц

4.1 Вводные замечания.

4.2 Основные обозначения этой главы.

4.3 Аналитическое продолжение Г-матрицы и матрицы рассеяния в задаче двух частиц.

4.4 Матрица M(z) и трехчастичные матрицы рассеяния на физическом листе

4.4.1 Уравнения Фаддеева.

4.4.2 Матрицы рассеяния.

4.4.3 Аналитическое продолжение матриц AfPPJJ, Ji^YM и 5Г\\

4.4.4 Аналитическое продолжение матриц ЗоМ, MJq, JoMJJ, JoMWJJh Ji^TMJJ

4.5 Описание (части) трехчастичной римановой поверхности

4.6 Аналитическое продолжение уравнений Фадцеева на нефизические листы

4.7 Представления для компонент трехчастичной Г-матрицы.

4.8 Аналитическое продолжение матриц рассеяния.

4.9 Представления для функции Грина на нефизических листах.

4.10 Об использование дифференциальных уравнений Фадцеева для вычисления резонансов

5 Численные расчеты связанных состояний, рассеяния и резонансов в некоторых трехчастичных системах

5.1 Предварительные замечания.

5.2 Дифференциальные уравнения Фаддеева для системы трех частиц с твердым кором.

5.3 Парциальные дифференциальные уравнения Фаддеева для трех тождественных бозонов с твердым кором.

5.4 Парциальные дифференциальные уравнения Фаддеева в случае гладких потенциалов.

5.5 Некоторые численные результаты по связанным состояниям и рассеянию в системе трех атомов 4Не.

5.6 Области голоморфности парциальных компонент Фаддеева и парциальной матрицы рассеяния

5.7 Резонансы и виртуальные уровни как корни матрицы рассеяния So на физическом листе.

5.8 Результаты поиска резонансов для тримера 4Нез.

5.9 Резонансы в модельной трехбозонной системе.

5.10 Результаты поиска резонансов в системе трех нуклонов (ппр).

Резонансы многоканальных систем играют определяющую роль во многих задачах ядерной, атомной и молекулярной физики. В более широком смысле резонансы представляют собой одно из самых интересных и интригующих явлений, наблюдаемых в процессах рассеяния, причем последние могут относиться не только к квантовой физике, но также к оптике, акустике, радиофизике, механике упругих сред и т.д. Поэтому вопросы, связанные с изучением резонансов в конкретных системах, а также с определением самого понятия резонанса, на протяжении долгого времени привлекают внимание как физиков, так и математиков. Имея в виду, что литература по резонансам весьма обширна, в настоящем введении мы остановимся лишь на некоторых главных моментах истории рассматриваемого предмета и укажем работы, на которые будем опираться при проведении нашего исследования. Более полную историю можно найти, например, в обзорах, представленных в книгах [14, 24, 30, 52, 107, 167, 183, 184].

Основные проблемы, относящиеся к определению резонанса, наиболее отчетливо описаны Дж. Хаулэндом [79] и Б.Саймоном [202]: в противоположность обычному спектру, резонансы не являются унитарным инвариантом квантово-механического гамильтониана, и, следовательно, невозможно дать удовлетворительное определение резонанса в терминах отдельно взятого оператора, действующего в абстрактном гильбертовом пространстве. Рассмотрение резонансов всегда подразумевает явное или неявное выделение некоторых внешних структур, скажем, «свободного» или «невозмущенного» гамильтонианов, по отношению к которым и проявляются резонансы. Еще одной проблемой, связанной с резонансами является тот факт, что отвечающие им (обобщенные) собственные функции, так называемые гамовские векторы, не допускают никакой удовлетворительной интерпретации в терминах исходного гильбертова пространства.

Общепринятая интерпретация резонансов в квантовой механике как комплексных полюсов матрицы рассеяния, аналитически продолженной на пефизические листы комплексной плоскости энергии, восходит к известной работе Г. Гамова [60], посвященной описанию а-распада тяжелых ядер. Естественно, что такая интерпретация опирается на аппарат того или иного варианта теории рассеяния, в рамках которой происходит сравнение наблюдаемой динамики квантовой системы с некоторой ее «свободной» динамикой. Спектр резонансов проявляется на фоне последней и, вообще говоря, зависит от ее выбора. В этом смысле резонансы столь же относительны как относительна сама матрица рассеяиия.

В рамках теории рассеяния резонансы проявляют себя также и как полюса по энергии аналитически продолженных ядер волновых операторов (волновых функций рассеяния). Для случая сферически симметричных потенциалов интерпретация двухчастичных резонансов как полюсов аналитического продолжения матрицы рассеяния была обоснована и затем детально разработана на основании аппарата функций Йоста [85] (см., например, [14, 24, 167, 183]).

Как было отмечено Э. Титчмаршем [207], резонансы можно рассматривать также и как полюса аналитического продолжения функции Грина — ядра резольвенты гамильтониана (или матричных элементов резольвенты, вычисленных между подходящими состояниями, см. [183, 184]). В различных вариантах эта идея была реализована в работах [6, 8, 7, 20, 21, 73, 74, 80, 81, 83, 181, 199, 203] (см. также литературу, цитируемую в этих работах и книгах [9, 52, 183, 184]). Отметим, что выбор представления, в переменных которого строится функция Грина, автоматически задает внешнюю структуру, относительно которой вычисляются резонансы. Интерпретация резонансов как полюсов аналитического продолжения резольвенты послужила основой для создания теории возмущений для собственных значений точечного спектра, лежащих на непрерывном спектре. Как правило, под действием возмущения такие собственные значения превращаются в резонансы. К настоящему времени эта тематика хорошо изучена для различных классов гамильтонианов (см., например, [6, 9, 80, 83, 181]). В задаче двух частиц разработан вариант теории возмущений для резонансов, где в качестве малого параметра выступает радиус взаимодействия [7, 9].

В случае, когда потенциалы взаимодействия являются аналитическими функциями координат, эффективным средством численного исследования резонансов является метод комплексного скейлинга [20] (см. также [184, 202]), идея которого восходит к С.Лавлэйсу [120]. Преобразование комплексного скейлинга дает возможность поворачивать непрерывный спектр Л^-частичного оператора энергии таким образом, что приоткрываются определенные секторы на нефизических листах, соседних по отношению к физическому листу. За резонансы в методе комплексного скейлинга принимаются комплексные собственные числа преобразованного гамильтониана. За исключением задачи двух тел с достаточно произвольными быстроубывающими потенциалами, эквивалентность скейлинг-резонансов и резонансов в смысле теории рассеяния частично доказана лишь при N <4 и только для случая аналитических потенциалов, убывающих не медленнее чем экспоненциально [74]. На основании метода комплексного скейлинга получен ряд строгих результатов по поводу /V-частичных резонансов (см. статьи [20, 21, 74, 200, 203] и книгу [184]). Метод комплексного скейлинга весьма удобен для численной реализации. Поэтому он широко используется для практических расчетов резонансов, в особенности, в атомных и молекулярных системах [34, 82, 99]. Однако, что касается исследования строения аналитического продолжения исходной резольвенты Л^-частичного оператора энергии и, тем более, матрицы рассеяния, то здесь этот метод, уже по самой своей сути, предоставляет не слишком широкие возможности.

Хорошо известно, что наличие у квантовой системы резонансов тесно связано с возможностью возникновения и последующего распада так называемых метастабиль-ных или квазистационарных состояний. Мнимая часть резонанса, называемая его полушириной, определяет экспоненциальную компоненту в функциональной зависимости вероятности распада такого состояния от времени. Поэтому предметом многих работ явилось выяснение связи между аналитическими свойствами матрицы рассеяния на комплексной плоскости и пространственно-временным поведением волновых пакетов (по поводу соответствующих ссылок см., например, книги [30] и [52]). Широко обсуждалась также возможность в каком-либо смысле нормировать и ортогонализовывать обобщенные решения уравнения Шредингера, отвечающие резонансам (см., например, [8, 24, 61, 187]), с тем, чтобы в последующем устраивать разложения в ряд по га-мовским «векторам», аналогичные соответствующим разложениям в ряд по обычным собственным векторам. Известны также попытки (см. [15, 31, 174]) интерпретировать резонансы и соответствующие гамовские векторы для некоторых простых моделей в терминах оснащенных гильбертовых пространств [63].

Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в описании нестабильных состояний, теория резонансов в системах с многими каналами рассеяния все еще далека от завершения. Одной из нерешенных фундаментальных проблем является строение матрицы рассеяния и резольвенты (а также Г-матрицы и других тесно связанных с ней объектов) на нефизических листах энергии в многоканальных задачах и, в частности, в задачах трех и большего числа частиц. Поскольку и матрица рассеяния, и функция Грина являются аналитическими функциями, их значения на нефизических листах должны однозначно определяться непосредственно через значения на физическом листе. Центральным здесь является вопрос о том, какие именно ключевые объекты, входящие в матрицу рассеяния и функцию Грина на физическом листе или из них образованные, задают местоположение резонансов на том или ином нефизическом листе. При наличии ответа на этот вопрос задача поиска резонансов могла бы решаться напрямую, без проведения продолжений через непрерывный спектр, и исключительно в терминах физического листа.

Еще более фундаментальной является проблема операторного смысла резонансов и гамовских собственных векторов. Здесь мы имеем в виду вопрос о том, обычным спектром какого оператора являются резонансы той или иной задачи рассеяния и в каком именно гильбертовом пространстве может действовать этот заведомо несамоспряжен-иый оператор, по сути долженствующий играть роль эффективного гамильтониана для резонансных состояний. В частности, требуется, чтобы его собственные векторы, отвечающие резонансам, представляли собой если не полные гамовские векторы, то хотя бы их определяющие компоненты. Имея на руках эффективный гамильтониан, можно было бы уже относительно легко обсуждать проблемы полноты и даже базисности резонансных состояний и/или их компонент, опираясь на хорошо известные факты из теории линейных операторов.

Единственный вполне успешный пример операторной интерпретации резонансов предоставляет теория рассеяния Лакса-Филлипса [113] (по поводу дальнейшего развития схемы Лакса-Филлипса и ее приложений см. [2, 55, 176, 177,179, 183]). А именно, в подходе Лакса-Филлипса полюса двухчастичной матрицы рассеяния на нефизическом листе ассоциируются с дискретным спектром генератора полугруппы, возникающей в результате окаймления эволюционной группы задачи проекторами на так называемое трансляционно-инвариантное подпространство. На этом основании возникает возможность доказательства полноты и базисности резонансных состояний, по крайней мере, в трансляционно-инвариантном подпространстве [176]. Схема Лакса-Филлипса имеет, однако, достаточно жесткие ограничения на область ее применимости. В случае уравнения Шредингера размерность конфигурационного пространства должна быть нечетной, что означает, что задача N тел уже при N = 3 не может рассматриваться в рамках этого подхода. Кроме того, подход Лакса-Филлипса неприменим к многоканальным гамильтонианам при наличии у них хотя бы двух различных порогов непрерывного спектра. В полной мере схему Лакса-Филлипса удается реализовать лишь в случаях, когда риманова поверхность матрицы рассеяния содержит не более двух листов комплексной плоскости энергии (см. [55, 179]). Поэтому очень важным представляется поиск альтернативных вариантов операторной интерпретации резонансов, к которым можно было бы обращаться в случае систем с многими каналами рассеяния.

Наконец, актуальным является создание новых методов численных расчетов резонансов, дополняющих существующие методы или снимающих их ограничения, такие, например, как секториальность разрешенной области поиска резонансов в методе комплексного скейлинга и обусловленная этим принципиальная невозможность вычисления энергий виртуальных состояний в случае потенциалов юкавского или гауссовского типов.

Настоящая работа преследует две основные цели. Во-первых, мы хотим исследовать строение Г-матриц, матриц рассеяния и функций Грина на нефизических листах энергии в многоканальной задаче рассеяния с бинарными каналами и в задаче трех частиц. Мы хотим выделить те ключевые объекты, которые непосредственно «отвечают» за появление резонансов на том или ином нефизическом листе. Немного забегая вперед, скажем, что в роли таких объектов оказываются определенные усечения (т.е. некоторые подматрицы) полной матрицы рассеяния, взятой на физическом листе. Выяснив строение Г-матриц, матриц рассеяния и функций Грина, мы хотим предложить практические методы вычисления резонансов и, более того, применить эти методы к расчету резонансов в конкретных физических системах.

Во-вторых, для широкого класса многоканальных задач произвольной природы мы найдем операторную интерпретацию резонансов, отличную от операторной интерпретации в схеме Лакса-Филлипса. А именно, мы укажем эффективные несамосопряженные гамильтонианы, действующие на подпространстве полного гильбертова пространства задачи, спектром которых являются резонансы. Эти эффективные гамильтонианы представляют собой не что иное как операторные корни трансфер-функций (комплементов Шура), ассоциированных с соответствующим 2 х 2-матричным представлением гамильтониана. При этом компоненты резонансных решений полной задачи оказываются обычными собственными векторами эффективных гамильтонианов, что позволяет исследовать свойства полноты и базисности систем резонансных собственных и присоединенных векторов в подпространстве гильбертова пространства задачи, рассматривая совместно с собственными векторами, отвечающими вещественным энергиям.

Наряду с результатами по резонансам мы получим ряд результатов по оценке поворота спектральных подпространств, отвечающих изолированным частям спектра самосопряженного гамильтониана под действием внедиагональных возмущений (потенциалов). Естественным языком изложения этой части материала также является представление рассматриваемых операторов в виде операторных 2 х 2-матриц.

При исследовании системы трех частиц мы будем использовать как интегральные, так и дифференциальные уравнения Фадцеева [137]. Как известно, интегральные уравнения Фадцеева [53] и их варианты и модификации для различных типов взаимодействий дали возможность получить многие важные концептуальные и конструктивные результаты (см. [53, 64, 136, 137, 211]) для физического листа в задаче трех тел. В частности, подробно изучено строение резольвенты и оператора рассеяния, доказана полнота волновых операторов и исследованы координатные асимптотики волновых функций как в случае быстро убывающих, так и в случае кулоновских1 взаимодействий [53, 110, 136, 137]. Аналогичные результаты были получены также и в случае сингулярных взаимодействий, описываемых граничными условиями различных типов [109, 110, 123]. На основе уравнений Фадцеева были разработаны различные методы исследования конкретных физических систем [26, 110, 137, 196]. Совершенно по-другому обстоит дело в отношении нефизических листов. Здесь при решении кон

Отметим, что в 1980-1990-х гг. были разработаны и более абстрактные подходы [47,50,70,201,212] (см. также литературу, цитируемую в [47]) к доказательству асимптотической полноты М-частичных волновых операторов, не связанные со схемой Фаддеева-Якубовского [53, 137, 213]. В [47] существование и полнота волновых операторов были доказаны при произвольном N для случая парных взаимодействий, убывающих на бесконечности как г~р, р > \/3 — 1, т.е. существенно медленнее чем кулоновские потенциалы. кретных //-частичных задач обычно ограничиваются разработкой того или иного численного алгоритма для разыскания резонансов, находящихся на нефизических листах, соседних по отношению к физическому листу. Обзоры подходов к расчетам резонансов в ядерных системах трех частиц на основе уравнений Фаддеева можно найти в [107] и [130].

Значительная часть диссертации посвящена распространению фаддеевского подхода [53, 137] на исследование строения трехчастичных Г-матрицы, резольвенты и матриц рассеяния на нефизических листах плоскости энергии. Мы ограничиваемся случаем, когда все потенциалы взаимодействия убывают в координатном представлении не медленнее, чем экспоненциально. В задаче двух тел с такими взаимодействиями при построении теории резонансов можно с равной легкостью использовать как координатное, так и импульсное представление. Ясно, однако, что аналитическое продолжение на нефизические листы интегральных уравнений Фаддеева [53, 137] оказывается несравненно более трудной задачей, если использовать эти уравнения форме, отвечающей координатному пространству К6. Дело в том, что в этом пространстве в роли носителей взаимодействия выступают неограниченные (цилиндрические) области, вдоль которых парные потенциалы трансляционно-инвариантны и, следовательно, не убывают. Между тем аналитически продолженные ядра интегральных операторов уравнений Фаддеева оказываются экспоненциально возрастающими. Решения этих уравнений также должны экспоненциально возрастать. Названное обстоятельство приводит, вообще говоря, к расходимости интегралов и тем самым к потере смысла продолженных интегральных уравнений в координатном представлении. В импульсном же представлении интегральные члены могут рассматриваться как интегралы типа Коши, допускающие аналитическое продолжение в явных терминах. Поэтому по крайней мере в смысле обобщенных функций аналитическое продолжение уравнений Фаддеева оказывается вполне решаемой задачей. Такого рода продолжение 5-волновых уравнений Фаддеева на нефизические листы, соседние по отношению к физическому листу, уже проводилось в [172] (см. также [130]) в случае сепарабельных (конечномерных) потенциалов ранга 1. В настоящей работе мы строим продолжение уравнений для компонент Фаддеева трехчастичной Г-матрицы Г (г) в случае достаточно произвольных парных потенциалов не только на соседние нефизические листы, но также и на все те листы трехчастичной римановой поверхности, куда можно провести спектральный параметр (энергию г) в результате обхода двухчастичных порогов.

Однако перед тем как перейти к задаче трех частиц мы обращаемся к задаче рассеяния для многоканального (матричного) оператора Шредингера с бинарными каналами. Бинарность каналов означает, что в координатном представлении все потенциалы и операторы связи между каналами имеют ядра, которые быстро (точнее, не медленнее чем экспоненциально) убывают по всем направлениям. Поэтому по сложности исследования многоканальная задача с бинарными каналами не слишком сильно отличается от обычной задачи двух частиц. Однако наличие многих порогов рассеяния приводит в ней к многолистной структуре римановой поверхности энергии, аналогичной тому строению, которое уже на базовом уровне может иметь риманова поверхность в задаче трех частиц. Разумеется, многоканальная задача с бинарными каналами рассеяния представляет самостоятельный интерес. Для нас она интересна еще и тем, что на этом простом примере мы получаем возможность продемонстрировать основные моменты схемы вывода явных представлений для Г-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина на нефизических листах, которой мы будем придерживаться и в случае задачи трех тел. Кроме того, явные представления, отвечающие самому простому случаю задачи с бинарными каналами — задаче двух частиц, будут использоваться при работе с уравнениями Фаддеева. В качестве иллюстрации мы приведем представление для двухчастичной Т-матрицы г (г) на единственном для этого случая нефизическом листе, который будет обозначаться через П^ А именно, представление для /(г)¡П1 имеет следующий вид: г)|п, =*(г) + яЦ/5 '(г)/(г) ШГ'КгШ (0.0.1)

Все операторы, присутствующие в правой части равенства (0.0.1), включая матрицу рассеяния 5(г), берутся при том же положении энергии г, что и в левой части, но на физическом листе. Квадратный корень у/г соответствует арифметической ветви функции г1/2- Через ]{г) обозначается оператор сужения («посадки») на энергетическую поверхность. Это означает, что произведение j(z)t(z) в качестве ядра имеет полумассовую Г-матрицу, причем на энергетической поверхности находится ее первый аргумент-импульс. Наоборот, у ядра произведения (г) на энергетической поверхности находится его второй аргумент-импульс.

Из представления (0.0.1), в частности, вытекает, что после продолжения на Г^ двухчастичная матрица рассеяния дается формулой где § — инверсия на сфере единичного радиуса 52, т.е. (<?/)(к) = /(-к), к е 52. Следовательно, резонансы — комплексные полюса матрицы рассеяния на нефизическом листе П1 — представляют собой не что иное как нули самой этой матрицы, но на физическом листе По. Точнее, энергия г оказывается резонансом, если существует функция ¿2/, заданная на единичной сфере 82 и пе равная тождественно нулю, такая, что = 0. Функция (к) представляет собой амплитуду развала соответствующего резонансного состояния по различным направлениям к. В этом случае можно построить гамовское решение у^х) уравнения Шредингера в координатном представлении, содержащее в своей асимптотике при больших значениях относительной координаты частиц же!3 лишь уходящую сферическую волну с амплитудой ¿г/(—х),

Уп»(аО ~ -¡—¡—'х\ й-\у/г\х\ Я*{-х) ^ , х = х/\х\.

Наш центральный результат для случая трех частиц состоит в обосновании существования аналитического продолжения (в слабом смысле) компонент Фаддеева Мар(г), = 1,2,3, оператора Т(г) и построении явных (т.е. в терминах лишь физического листа) представлений для них на нефизических листах. Эти представления возникают как результат явного решения уравнений Фаддеева для матрицы М(г) = {Мар(г)}, продолженных на нефизические листы. Представления для М в существенном имеют следующий вид [по поводу деталей см. формулу (4.7.36)]:

0.0.2) где обозначение П/ используется для нефизических листов, которые нумеруются муль-тииидексом I ф 0, а Ь — для диагональной числовой матрицы, главная диагональ которой опеределяется через I. Оператор (¿¡(г) и «транспонированный» по отношению к ($1(1) оператор (¿¡(г) явно выражаются через матрицу М(г) на физическом листе По. Диагональная числовая матрица Л (г) является целой функцией энергии г £ С, где С -комплексная плоскость с разрезом по лучу, уходящему из минимальной энергии связи парных подсистем на Под 5;(г) [см. (4.4.25)] подразумевается некоторое усечение (зависящее от /) полной трехчастичной матрицы рассеяния 8(1). Операторы и осуществляют сужение ядер операторов ($1(1) и (¿¡(г) на различные энергетические (массовые) поверхности соответственно по их первому и последнему импульсным аргументам, так что произведениям О]^ и соответствуют ядра операторов 0/(г) и в их полумассовых вариантах.

Представления для аналитического продолжения трехчастичных матриц рассеяния и резольвенты следуют немедленно из представлений для М(г) |П/ [см. соответственно формулы (4.8.1) и (4.9.1)]. Из представлений (4.7.36), (4.8.1) и (4.9.1) вытекает, что все нетривиальные (т.е. отличающиеся от полюсов в точках дискретного спектра трехчас-тичного гамильтониана) сингулярности Г-матрицы, матриц рассеяния и резольвенты на нефизическом листе П/ имеют в точности то же местоположение и тот же характер, что и сингулярности обратной усеченной матрицы рассеяния Таким образом резонансы на листе П/, понимаемые как полюса аналитического продолжения Г-матрицы, матриц рассеяния и резольвенты на П/, представляют собой те значения энергии г, для которых матрица 5/(г), рассматриваемая на физическом листе, имеет нулевое собственное число. Разумеется, этот результат можно считать естественным обобщением на трехчастичный случай утверждения о том, что резонансы в задаче двух частиц суть нули матрицы рассеяния на физическом листе.

Практическое значение полученных явных представлений состоит в том, что из них следует возможность при поиске резонансов оставаться исключительно на физическом листе. При этом можно использовать любой метод, позволяющий вычислять при комплексных энергиях амплитуды процессов, необходимые для построения соответствующего усечения 5/(г) полной трехчастичной матрицы рассеяния. Резонансам на иефизи-ческом листе П/ соответствуют нули 5; (г) на физическом листе. Подходящим выбором для расчетов резонансов являются дифференциальные уравнения Фадцеева в конфигурационном пространстве. Например, для вычисления резонансов на нефизических листах, аналитическое продолжение на которые не требует обхода трехчастичного порога, достаточно иметь возможность решать лишь краевые задачи, отвечающие процессам 2 —► 2,3. Эта идея явилась основанием для создания подхода, используя который мы провели расчеты резонансов и виртуальных уровней в нескольких трехчастичных системах, включая ядерную систему ппр и систему трех атомов гелия 4Не. В числе прочего мы исследовали механизм превращения виртуальных состояний тримера гелия 4Нез в ефимовские состояния при изменении силы межатомного взаимодействия. Параллельно была получена серия новых результатов по связанным состояниям и рассеянию в системе 4Нез. В частности, нами были впервые вычислены фазы упругого рассеяния атома 4Не на димере 4Не2

Второй круг результатов, представленных в диссертации, имеет более абстрактный и, соответственно, более универсальный характер. Эти результаты относятся уже к гамильтонианам произвольной природы. Отправной точкой является предположение о том, что гильбертово подпространство задачи тем или иным способом разложено в ортогональную сумму $ =,фо®£>1 подпространств % и 5}] и относительно этого разложения исследуемый (самосопряженный) гамильтониан имеет вид

В частности, была рассмотрена ситуация фешбаховского типа, когда спектр диагональной компоненты Ло частично или полностью лежит на непрерывном спектре другой диагональной компоненты А[, а трансфер-функция (комплемент Шура) включающая «энергозависящий потенциал» Уо(г) = В(г—А\)~1В*, допускает аналитическое продолжение как операторно-значная функция через разрезы по непрерывному спектру оператора А] на пефизические листы римановой поверхности энергии г. Заметим, что те значения г на нефизических листах, где продолженная обратная трансфер-функция а следовательно, и продолженная резольвента (Я —г)-1 имеют полюса, являются резонансами.

Основным результатом для указанной спектральной ситуации явилось доказательство существования неэрмитовых операторов, чей спектр включает резонансы, а также исследование свойств полноты и базиспости собственных и присоединенных резонансных векторов трансфер-функции Мо(г).

Эта задача решается следующим образом. Сначала строится операторно-значпая функция Уо(%) на пространстве линейных операторов в 5эо> обладающая свойством Уо(2)у/ — Уо(г)у для произвольного собственного вектора у/ оператора-аргумента Ъ, отвечающего собственному числу г. Затем вводится нелинейное операторное уравнение и при определенных условиях доказывается его разрешимость. Решения 2 уравнения (0.0.3) представляют собой, в сущности, операторные корни трансфер-функции Мо, т.е. для них Мо(2) = 0. Далее, используя тот факт, что корневые (т.е. собственные и присоединенные) векторы решений 2 являются таковыми и для трансфер-функции Мо, мы доказываем полноту и даже базисность соответствующих подсистем корневых векторов трансфер-функции Мо. Эти подсистемы включают, в том числе, собственные и присоединенные векторы, отвечающие резонансам.

Кроме того, была рассмотрена нерезонансная спектральная ситуация, когда спектры (У (А о) и а (Л]) изолированы друг от друга, т.е.

Пусть Но - невозмущенный гамильтониан, получаемый из операторной матрицы Н при замене оператора В нулевым оператором, т.е. Но = diag(Ao,Al). Был поставлен естественный вопрос: насколько сильно изменяется спектральное подпространство о (или гамильтониана Но, когда оператор В становится нетривиальным и тем самым производится внедиагональное возмущение Но.

Мо(г)=Ао-г + Уо(г),

2 = Ао + \о{2)

0.0.3) = а151(а(А0),о-(А])) > 0.

0.0.4)

Ответ дается в терминах операторного угла 0 между исходным, и возмущенным, спектральными подпространствами. Напомним, что если Р - ортогональный проектор на а 0. - на 9)'0, то операторным углом между подпространствами и измеряемым относительно 5оо, называется неотрицательный оператор 0 = агсБШ где — тождественный оператор в (Естественность этого определения легко понять, рассматривая случай, когда оба подпространства 5оо и 5У0 — прямые на плоскости.)

Для нескольких вариантов взаимного положения спектральных множеств а(Ло) и о(А\) при условии (0.0.4) нам удалось получить оценки на норму 0 в терминах нормы возмущения В и расстояния Некоторые из полученных оценок являются точными.

Так, если спектр Ло целиком лежит в лакуне спектра А\ и ||Б|| < л/2с1, то выполняется оценка

•811011 <М где 8 — расстояние между возмущенным спектром Ло и невозмущенным спектром А\, причем 5 > 0. Это апостериорная тангенс-теорема, представляющая собой значительное обобщение известной 1д0-теоремы Дэвиса-Кахана [46].

Для той же спектральной ситуации, т.е. при условии, что спектр Ло целиком лежит в лакуне спектра Ль но при более жестком ограничении ||Б|| < с! установлено, что

1811911 < И.

Эта оценка представляет собой новую, априорную, тангенс-теорему (априорную, поскольку в оценке участвует расстояние (1 между исходными спектрами <т(Ло) и а(Л1)).

Из полученных результатов вытекают непосредственные следствия для операторного уравнения Риккати

ХАо-А^Х+ХВХ^В*. (0.0.5)

Действительно, известно, что условие 0 < ж¡2 гарантирует существование ограниченного решения X для этого уравнения (см. [103]). При этом ||Х|| = ||<Е>|| Таким образом, из апостериорной тангенс-теоремы следует разрешимость уравнения Риккати (0.0.5) для любых В таких, что ||5|| < \Jlcl, причем норма решения подчиняется неравенству ||Х|| < ||В||/5. Если к тому же ||В|| < с1, то из априорной тангенс-теоремы следует, что ||Х|| < \\В\\/с1.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

• В многоканальной задаче с бинарными каналами и в задаче трех частиц построены явные представления Г-матриц, матриц рассеяния и ядер резольвент на нефизических листах энергии, которые не только раскрывают строение этих объектов, но также и указывают на практические способы вычисления резонансов.

• Доказано, что резонансами на том или ином нефизическом листе являются те значения энергии, при которых ассоциированная с этим листом усеченная матрица рассеяния, рассматриваемая на физическом листе, имеет собственное число нуль. Установлено, что компоненты собственного вектора усеченной матрицы рассеяния, отвечающего нулевому собственному числу при резонансном значении энергии, имеют смысл амплитуд развала соответствующего нестабильного состояния.

• Предложен новый подход к вычислению трехчастичных резонаисов и виртуальных уровней на основании дифференциальных уравнений Фаддеева. Этот подход успешно применен к ряду конкретных трехчастичных систем.

• Впервые найдена операторная интерпретация резонансов для широкого класса многоканальных систем.

• Получен ряд новых оценок на операторный угол поворота спектрального подпространства самосопряженного оператора под действием внедиагональных возмущений. Доказана расширенная версия апостериорной tg0-TeopeMbi Дэвиса-Кахана и найдена оптимальная оценка на операторный угол, имеющая смысл новой, уже априорной tg0-TeopeMbi. Доказаны новые теоремы о существовании ограниченных решений операторного уравнения Риккати и найдены оценки для их норм.

Опишем структуру диссертации. Диссертация состоит из пяти глав и трех приложений. В первой главе исследуется строение Г-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина на нефизических листах энергии в многоканальной задаче с бинарными каналами. Вторая глава посвящена исследованию задачи внедиагональных возмущений спектральных подпространств, отвечающих изолированным частям спектра самосопряжен-, ного оператора. В третьей главе дается операторная интерпретация резонаисов, порождаемых некоторыми 2 х 2-матричными гамильтонианами. Здесь же доказывается ряд результатов, касающихся полноты и базисности систем собственных и присоединенных резонансных векторов. В четвертой главе описывается строение Г-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина на нефизических листах энергии в задаче трех частиц. В пятой главе приводятся результаты расчетов связанных состояний, рассеяния и резонансов в некоторых конкретных трехчастичных системах. Приложения А и В содержат вспомогательные результаты, используемые в третьей главе. Наконец, в Приложении С описываются реалистические межатомные Не-Не-потенциалы, которые использовались нами при проведении численных расчетов системы трех атомов 4Не.

Результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [10, 76, 77, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 102, 131, 132, 134, 139, 141, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156,157, 158, 159, 161, 163, 164, 165]. Эти результаты докладывались на семинарах в ЛТФ и ЛИТ ОИЯИ, в Московском и Санкт-Петербургском гос. университетах, в университетах Бонна, Бохума и Регенсбурга (Германия), Институте Макса Планка по динамике и самоорганизации (Геттинген, Германия), Рейнской высшей технической школе (Аахен, Германия), в Варшавском университете (Польша), в университетах Миссури-Колумбия и Миссури-Ролла (США), в Стокгольмском университете и Стокгольмской королевской высшей технической школе (Швеция), в Институте атомных и молекулярных наук Академии Синика (Тайпей, Тайвань), Институте ядерных исследований Чешской АН (Ржеж, Чехия) и Университете Южной Африки (Претория, ЮАР), а также представлялись на различных международных конференциях и совещаниях, среди которых: XIII Warsaw Symposium on Elementary Particle Physics (Kazimierz, Poland, 1990), International Workshop "Mathematical Aspects of the

Scattering Theory and Applications" (St. Petersburg, USSR, 1991), III International Congress on Industrial and Applied Mathematics (Hamburg, Germany, 1995), International Workshop on Operator Theory and Applications (Regensburg, Germany, 1995), IX International Conference on Computational Modeling and Computing in Physics (Dubna, Russia, 1996), XV International Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, the Netherlands, 1997), Mark Krein International Conference on Operator Theory and Applications (Odessa, Ukraine, 1997), International Conference "Differential Equations and Related Topics" (Moscow, Russia, 1998), XVI European Conference on Few-Body Problems in Physics (Au-trans, France, 1998), International Conference "Mathematical Results in Quantum Mechanics (QMath7)" (Prague, Czech Republic, 1998), International Workshop on Schrodinger operators (Bonn, Germany, 1998), Workshop on Nuclear Reactions in Stars and in the Laboratory (Trento, Italy, 1999), The 1999 UAB-GIT International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics (Birmingham, Alabama, USA, 1999), XVI IUPAP International Conference on Few-Body Problems in Physics (Taipei, Taiwan, 2000), The 2002 UAB International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics (Birmingham, Alabama, USA, 2002), Workshop on Computational Physics dedicated to the memory of Stanislav Merkuriev (St. Petersburg, Russia, 2003), International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to I. G. Petrovskii (Moscow, Russia, 2004), XIX European Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, The Netherlands, 2004), IV Workshop on the Dynamics and Structure of Critically Stable Quantum Few-Body Systems (Dresden, Germany, 2005), The 8th Workshop on Numerical Ranges and Numerical Radii (Bremen, Germany, 2006).

Условимся о некоторых обозначениях, используемых на протяжении всей работы.; Всюду под \Jz — Я, z £ С, А G М, будет пониматься главная ветвь функции (z — Я)1/2. х-»

В предположении, что к G К", через к обычно будет обозначаться единичный вектор в направлении к, к = щ. Обозначение Sn~l будет использоваться для единичной сферы в W1, к е Sn~ . На протяжении всей диссертации обозначение (•, •) используется для скалярного произведения в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Скалярное произведение в R" обозначается через (•,•). Обозначение (•, •) будет использоваться также и для билинейных форм от операторно-значных функций, когда будет идти речь об их аналитическом продолжении в обобщенном смысле (см., например, стр. 24 и 128). Обозначения р(Г) и о(Т) используются соответственно для резольвентного множества и спектра замкнутого оператора Т.

1. M. Abramowitz and 1. A. Stegun (Eds.), Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Tenth Printing (National Bureau of Standards, Washington, 1972).

2. В. M. Адамян, Невырожденные унитарные сцепления полуунитарных операторов, Фукц. анал. прил. 7:4 (1973), 1-16.

3. V. M. Adamjan and H. Langer, Spectral properties of a class of operator-valued functions, J. Operator Theory 33 (1995), 259-277.

4. V. Adamyan, H. Langer, R. Mennicken, and J. Saurer, Spectral components of self-adjoint block operator matrices with unbounded entries, Math. Nachr. 178 (1996), 43-80.

5. V. Adamyan, H. Langer, and C. Tretter, Existence and uniqueness of contractive solutions of some Riccati equations, J. Funct. Anal. 179 (2001), 448-473.

6. S. Albeverio, On bound states in the continuum of N-body systems and the virial theorem, Ann. Phys. 71 (1972), 167-276.

7. S. Albeverio and R. Hoegh-Krohn, Perturbation of resonances in quantum mechanics, J. Math. Anal. Appl. 101 (1984), 491-513.

8. S. Albeverio and R. Hoegh-Krohn, The resonance expansion for the Green s function of the Schrôdinger and wave equations, Lect. Notes Phys. 211 (1984), 105—127.

9. С. Альбеверио, Ф. Гестези, P. Хеэг-Крон, X. Хольден, Решаемые модели в квантовой механике (Мир, Москва, 1991).

10. S. Albeverio, К. A. Makarov, and А. К. Motovilov, Graph subspaces and the spectral shift function, Canadian Journal of Mathematics 55:3 (2003), 449-503.

11. S. Albeverio and A. K. Motovilov, Operator integrals with respect to a spectral measure and solutions to some operator equations, Fundam. Appl. Math, (to appear); arXiv: math.SP/0410577.

12. S. Albeverio, A. K. Motovilov, and A. V. Selin, The a priori tan0 theorem for eigenvectors, SIAM J. Matrix Anal. Appl. (to appear); arXiv: math.SP/0512545.

13. Д. В. Александров, E. Ю. Никольский, Б. Г. Новацкий, Д. H. Степанов, Возможное наблюдение возмущенного состояния ядра 3Я в реакции Н(6Не, а), Письма в ЖЭТФ 59 (1994), 301-304.

14. В. де Альфаро, Т. Редже, Потенциальное рассеяние (Мир, Москва, 1966).

15. I. Antoniou and S. Tasaki, Generalized spectral decompositions of mixing dynamical systems, Intern. J. Quant. Chem. 46 (1993), 425-474.

16. F. V. Atkinson, H. Langer, R. Mennicken, and A. A. Shkalikov, The essential spectrum of some matrix operators, Math. Nachr. 167 (1994), 5-20.

17. R. A. Aziz, F. R. W. McCourt, and С. С. K. Wong, A new determination of the ground state interatomic potential for He2, Mol. Phys. 61 (1987), 1487-1511.

18. R. A. Aziz, V. P. S. Nain, J. S. Carley, W. L. Taylor, and G. T. McConville, An accurate intermolecular potential for helium, J. Chem. Phys. 79 (1979), 4330-4342.

19. R. A. Aziz and M. J. Slaman, An examination of ab initio results for helium potential energy curve, J. Chem. Phys. 94 (1991), 8047-8053.

20. E. Balslev and J. M. Combes, Spectral properties of Schrodinger operators with dilation analytic interactions, Commun. Math. Phys. 22 (1971), 280-294.

21. E. Balslev and E. Skibsted, Boundedness of two and three-body resonances, Ann. Inst. H. Poincare 43 (1985), 369-397.

22. A. JI. Барабанов, Существует ли возбужденное состояние ядра 3Н? Письма в ЖЭТФ 61 (1995), 9-14.

23. R. N. Barnett and К. В. Whaley, Variational and diffusion Monte-Carlo techniques for quantum clusters, Phys. Rev. A 47 (1993), 4082-4098.

24. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике (Наука, Москва, 1966).

25. P. F. Bedaque, H.-W. Hammer, and U. van Kolck, The three-boson system with short-range interactions, Nucl. Phys. A 646 (1999), 444-466.

26. В. Б. Беляев, Лекции no теории малочастичных систем (Энергоатомиздат, Москва, 1986).

27. В. Б. Беляев, А. К. Мотовилов, Возмущение собственного числа, погруженного в непрерывный спектр, близколежащим резонансом, ТМФ 111 (1997), 77-95.

28. М. С. Бирман, М. 3. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (Изд-во Ленингр. ун-та, Ленинград, 1980).

29. D. Blume and С. Н. Greene, Monte Carlo hyperspherical description of helium cluster excited states, J. Chem. Phys. 112 (2000), 8053-8067.

30. А. Боум, Квантовая механика: основы и приложения (Мир, Москва, 1990).

31. A. Bohm, Resonance poles and Gamow vectors in the rigged Hilbert space formulation of quantum mechanics, J. Math. Phys. 22 (1981), 2813-2823.

32. E. Braaten and H.-W. Hammer, Universality in few-body systems with large scattering length, Physics Reports 428 (2006), 259-390.

33. E. Braaten and H.-W. Hammer, Universality in the three-body problem for 4He atoms, Phys. Rev. A 67 (2003), 042706(12).

34. E. Brandas and N. Elander (Eds.), Resonances: The Unifying Route Towards the Formulation of Dynamical Processes — Foundations and Applications in Nuclear, Atomic, and Molecular Physics, Lect. Notes Phys. 325 (Springer-Verlag, Berlin, 1989).

35. M. А. Браун, О связи квазипотепциального уравнения и уравнения Шредигера, ТМФ 72:3 (1987), 394-402.

36. В. С. Буслаев, Об асимптотическом поведении спектральных характеристик внешних краевых задач для оператора Шредингрера, Изв. АН СССР, сер. мат. 39 (1975), 149-235.

37. J. Carbonell, С. Gignoux, and S. P. Merkuriev, Faddeev calculations in configuration space with Carthesian coordinates, Few-Body Syst. 15 (1993), 15-23.

38. T. Cornelius and W. Glockle, Efimov states for three 4He atoms? J. Chem. Phys 85 (1986), 3906-3912.

39. Ю. JI. Далецкий, Об асимптотическом решении одного векторного дифференциального уравнения, ДАН СССР 92:5 (1953), 881-884.

40. Ju. L. Daleckii and М. G. Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Ba-nach Spaces, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 43 (AMS, Providence, Rhode Island, 1974).

41. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases, Rev. Mod. Phys. 71 (1999), 463-512.

42. R. F. Dashen, J. B. Healy, and I. J. Muzinich, Potential scattering with confined channels, Ann. Phys. 102 (1976), 1-70.

43. J. Daughtry, Isolated solutions of quadratic matrix equations, Linear Algebra Appl. 21 (1978), 89-94.

44. C. Davis, Separation of two linear subspaces, Acta Scient. Math. (Szeged) 19 (1958), 172-187.

45. C. Davis, The rotation of eigenvectors by a perturbation. II, J. Math. Anal. Appl. 11 (1965), 20-27.

46. C. Davis and W. M. Kahan, The rotation of eigenvectors by a perturbation. Ill, SIAM J. Numer. Anal. 7 (1970), 1-46.

47. J. Derezinski, Asymptotic completeness of long-range N-body quantum systems, Ann. Math. 138 (1993), 427^176.

48. V. Efimov, Energy levels of three resonantly interacting particles, Nucl. Phys. A 210 (1973), 157-188.

49. В. H. Ефимов, Г. Шульц, Модель граничных условий в задаче двух и трех частиц, ЭЧАЯ 7 (1976), 875-915.

50. V. Enss, Quantum scattering theory for two and three-body systems with potentials of short and long range, Lect. Notes Math. 1159 (1985), 39-176.

51. B. D. Esry, C. D. Lin, and С. H. Greene, Adiabatic hyperspherical study of the helium trimer, Phys. Rev. A 54 (1996), 394-401.

52. P. Exner, Open Quantum Systems and Feynman Integrals (D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1985).

53. JI. Д. Фаддеев, Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц, Тр. МИАН СССР 69 (1963), 1-125.

54. D. V. Fedorov, Е. Garrido, and A. S. Jensen, Complex scaling of the hyper-spheric coordinates and Faddeev equations, Few-Body Syst. 33:2-3 (2003), 153-171.56