Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа

Брусенцев, Александр Григорьевич

Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Брусенцев, Александр Григорьевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Белгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа»

Автореферат диссертации на тему "Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа"

На правах рукописи

Брусенцев Александр Григорьевич

САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ И ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Специальность 01.01.02 - « Дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Уфа - 2004

Работа выполнена в Белгородском государственном технологическом университете им. В.Г. Шухова

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Жислин Г.М., Доктор физико-математических наук, профессор Султанаев Я.Т., Доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов A.A..

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение математического института им. В.А. Стеклова РАН (ПОМИ).

Защита состоится 16 апреля 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра.

Автореферат разослан

г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук

Попенов С.В.

Щча!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена условиям самосопряжённности и некоторым вопросам спектрального анализа эллиптических дифференциальных операторов в пространствах ¿2(<Т) и

(СО \ где С - открытое множество в Я". Рассматриваются операторы, как второго, так и произвольного порядка, как являющиеся симметрическими, так и нет.

Несмотря на то, что вопросам самосопряжённости эллиптических операторов посвящено большое количество работ, здесь остается немало нерешенных проблем. Для симметрических операторов Ь ф =Сц{С))2 второго порядка общего вида вопрос о самосопряжённости

относительно хорошо изучен в случае . При наиболее

точные достаточные условия самосопряжённости известны лишь для оператора Шрёдингера в области С=я"\ V, где V - множество меры нуль того или иного частного вида. Так, известная теорема Кальфа-Вальтера-Шминке-Саймона относится к оператору Шредингера в области О-К"\ { б } и дает наименее жесткие из

1 Ьг2{ С) - пространство квадратично интегрируемых в

-компонентных вектор-функций; ¿2(С)= ¿2'( С). ? ~ - _

РОС •

Ь' ЕКД

(.)

гпобР'

известных условия самосопряжённости в терминах расстояния до 5G={ 0 }. Первые подобные результаты для п > 1 принадлежат К.Йоргенсу (1965), а сама теорема установлена Б. Саймоном (1973), обобщившим теоремы Г. Кальфа-И. Вальтера (1972) и У.-В. Шминке (1972). Для п= 1 подобная теорема принадлежит К. Фридрихсу (1936). Близость условий Фридрихса к необходимым отмечена Д. Сирсом (1949). Ряд аналогов теоремы Кальфа-Вальтера-Шминке-Саймона для некоторых видов множества V содержится в работах М. Комбескюр-Мулен и И. Жинибр (1975), М. Маеда (1981) и И.Д. Чуешов (1981). Для эллиптических операторов общего вида с произвольной областью G вопросы самосопряжённости изучались в работах Б. Гельвиг (1969) и Г.-В.Роде (1969), однако для оператора Шрёдингера при G=R"\ V они дают более слабые результаты.

В последнее время появился ряд работ, в которых исследуются условия самосопряжённости эллиптических операторов на римановых многообразиях. Однако и эти интересные результаты описанный выше пробел не заполняют.

Одной из целей настоящей работы является устранение этого пробела, то есть получение таких условий самосопряжённости для эллиптических операторов общего вида в произвольной области G, которые бы генерировали обобщения известных аналогов теоремы Кальфа-Вальтера-Шминке-Саймона.

Ещё одной проблемой является перенос на эллиптические операторы второго порядка в LßJ) известной теоремы Г. Вейля (1909) о самосопряжённости в существенном оператора Штурма-Лиувилля Lu=-(p(x)u')'+q(x)u, D=C"(R1) в L2(Rl) при р(х)> 0, q(x)> const. Этот классический результат не допускает простого переноса на многомерный случай, что показывают примеры, построенные в работах H.H.Уральцевой (1969) и С.А.Лаптева (1971). Тем не менее, известны многомерные аналоги теоремы Г. Вейля, относящиеся к довольно частным видам матрицы-функции А(х) старших коэффициентов эллиптического оператора (А. Девинатц (1977), Ф.С. Рофе-Бекетов (1989)). В диссертации установлено непосредственное многомерное обобщение теоремы Вейля, содержащее известные многомерные аналоги и, в отличие от них, относящееся к области G, которая может быть собственным подмножеством R".

A.Я. Повзнера (1953) о самосопряженности в существенном полуограниченного оператора Шрёдингера с непрерывным потенциалом q(x). В качестве гипотезы эта теорема была высказана И.М. Глазманом3, а также Ф. Реллихом, который доказал ее одномерный вариант еще в 1951г., а в своем докладе на Математическом конгрессе в Амстердаме (1954) предположил справедливость этого утверждения и в

» многомерном случае. Простое доказательство теоремы А.Я. Повзнера

было предложено Е. Вингольцем (1958). Одним из оснований упомянутой гипотезы явилась теорема Карлемана-Фридрихса (1934) о » самосопряжённости оператора Шрёдингера при ограниченности снизу

его потенциала (q(x)> const). Эта теорема сохраняется и для эллиптического оператора L=(-h)m+q(x), D=C*(R"), Im q(x)=Q, q(x)eC(R"), действующего в пространстве L2(R"). Поэтому естественно возникает вопрос о справедливости гипотезы Глазмана-Реллиха и для этого оператора.

В диссертации установлена несправедливость этой гипотезы при

т> 1. Точнее, приведен пример позитивного оператора М=—— +q(x)

ОЭ I 1

(Dl-C0 (R )) в L2(R ), имеющего ненулевые индексы дефекта. В этом примере минимальный оператор Т0(М), порожденный выражением М на полуоси (0,°о), имеет индексы дефекта (4,4). Тем самым одновременно » дан положительный ответ на вопрос, содержащийся в обзорном докладе

B.Н. Эверита на международной конференции в Упсале (1976), а также в обзоре P.M. Кауффмана, Т.Т.Рида и А. Цетла (1977) и работах В.Д. Эванса и А. Цетла (1977) и К.А. Мирзоева (1981), о возможности оператору Т0(М) иметь индексы дефекта (4,4).

В диссертации показано, что при m> 1 полуограниченность оператора L=(-A)"'+q(x) влечёт самосопряжённость в существенном

В своей статье 1953г. А.Я. Повзнер отмечает, что это

предположение было высказано И.М. Глазманом в частной беседе.

при некоторых дополнительных условиях на <7(х), исчезающих при т = 1.

Для несимметрических эллиптических операторов произвольного порядка общего вида в £2Г( Я") в диссертации рассмотрены некоторые вопросы качественного спектрального анализа. Приведены новые широкие классы эллиптических выражений £ произвольного порядка, для которых минимальный и максимальный операторы4 совпадают, установлены достаточные признаки чистой дискретности спектра, существования регулярной точки и отсутствия предельного (непрерывного) спектра таких операторов.

При исследовании спектра в данной работе существенную роль играет принцип расщепления, распространенный нами на эллиптические системы произвольного порядка, которые не являются, вообще говоря, ни формально самосопряженными, ни сильно эллиптическими. Как известно, принцип расщепления в случае скалярных сильно эллиптических выражений второго порядка был обоснован И.М. Глазманом (1954) и М.Ш. Бирманом (1954), а затем для высших порядков - Ф. Вольфом (1959). Описание классов выражений /,, для которых Ьт~ ¿м в настоящей работе производится с помощью неравенства Ц ¿ср |2 > Ц<р, ф) на вектор-функциях среС0м'л(/?"), где Цф, ф) - квадратичная форма одного из двух классов, которая в работе называется формой сравнения^ При этом на коэффициенты при производных выражения /,, но не на младшие коэффициенты, налагаются ограничения, также связанные с формой сравнения Цф, ф). Каждому из классов форм сравнения отвечает свой класс выражений I, для которых Ьт= 1М.

Цель работы.

1. Установление для эллиптических операторов второго порядка общего вида признаков самосопряжённости, охватывающих наименее жёсткие из известных условия для оператора Шрёдингера.

, аеГ » » + Ьм = (¿п ) , £ - сопряженное к I выражение, Ьт -замыкание

оператора, порожденного выражением I на множестве Сд' '(Ст) бесконечно гладких г-компонентных вектор-функций с компактным относительно О носителем.

2. Перенос на многомерный случай классической теоремы Г.Вейля о самосопряжённости оператора Штурма-Лиувилля.

3. Исследование вопроса о самосопряжённости в существенном полуограниченного оператора ¿=(-Д)"'+ц(х) при т> 1. Решение задачи

¿4

о возможности оператору —;), действующему в 12((0,оо)), с

сЬс

областью определения С"((0,со)) иметь индексы дефекта (4,4).

4. Описание широких классов линейных эллиптических систем произвольного порядка, для которых соответствующие минимальный Ьт и максимальный Ьм операторы совпадают.

5. Распространение принципа расщепления на эллиптические системы произвольного порядка, которые не являются ни формально-самосопряженными, ни сильно эллиптическими. Установление признаков чистой дискретности спектра, существования регулярной точки и отсутствия предельного спектра, соответствующих этим системам операторов.

Общая методика исследования. В работе используются методы функционального анализа, в частности, теория линейных операторов в гильбертовых пространствах, а также методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Метод исправляющих потенциалов и полученные с его помощью признаки самосопряженности для эллиптических операторов второго порядка общего вида, охватывающие как известные признаки для оператора Шрёдингера, так и ряд неизвестных ранее, в частности, для полного гамильтониана системы сильно взаимодействующих частиц.

2. Многомерное обобщение теоремы Г. Вейля о самосопряжённости оператора Штурма-Лиувилля, содержащее в качестве частных случаев известные многомерные аналоги и отличающееся от них, в частности, тем, что относится к области в, которая может быть собственным подмножеством Я".

3. Исследование связи между полуограниченностью и самосопряжённностью в существенном оператора £=(-А )"'+д(х), Б^С^Я") при т> 1. Решение задачи Эверита-Цетла о возможности

оператору —г + ч(х) на полуоси (0,со) быть квазирегулярным, то есть с!х

иметь индексы дефекта (4,4).

4. Описание широких классов формально несамосопряженных эллиптических систем произвольного порядка (не являющихся, вообще говоря, сильно эллиптическими), для которых соответствующие минимальный и максимальный операторы совпадают.

5. Распространение принципа расщепления на формально несамосопряженные эллиптические по Петровскому системы и его применение к изучению спектра таких систем.

Научная новизна. Для исследования самосопряжённности эллиптических операторов второго порядка общего вида в произвольном открытом множестве Ос/?" развит метод исправляющих потенциалов, согласно которому по матрице А(х) старших коэффициентов оператора Ь и области О строится такая функция цА{х), что из полуограниченности операторов I и Ь-цА{х) вытекает

самосопряжённность Ь. Предложен ряд конструкций для функции цЛ(х)^ называемой исправляющим потенциалом. Разработана специальная техника, которая позволяет при известном исправляющем потенциале доказывать критерии самосопряжённности, вообще говоря, неполуограниченного эллиптического оператора в терминах поведения его коэффициентов.

Выделено свойство симметрических операторов в абстрактном гильбертовом пространстве (свойство полумаксимальности), обладание которым необходимо и достаточно для самосопряженности в существенном полуограниченного оператора, и на основе наличия этого свойства исследована связь полуограниченности сильно эллиптического оператора с его самосопряжённостью в существенном.

При установлении многомерной теоремы Г. Вейля развит особый метод накрывающих семейств. Для эллиптических систем произвольного порядка общего вида получены новые признаки совпадения минимального и максимального операторов, обоснован принцип расщепления и получены новые признаки дискретности спектра таких систем.

Теоретическая и практическая ценность. В работе установлены важные для приложений условия самосопряженности эллиптических операторов второго порядка, которые в частном случае оператора Шрёдингера приводят к новым утверждениям, охватывающим ряд известных теорем. Получено прямое многомерное обобщение классической теоремы Г. Вейля о самосопряжённности оператора Штурма-Лиувилля. Исследована связь между полуограниченностью и самосопряжённностью двучленного эллиптического оператора порядка 2т, а в одномерном случае при т=2 дан положительный ответ на остававшийся долгое время нерешенным вопрос о возможности этому оператору иметь на полуоси (0,со) индексы дефекта (4,4). Установлены новые признаки совпадения минимального и максимального операторов, отвечающих несамосопряжённным эллиптическим системам произвольного порядка. Обоснован принцип расщепления для таких систем и с его помощью получен ряд новых теорем об их спектре. Некоторые результаты опубликованных по теме диссертации работ отражены в ряде монографий и обзоров других авторов.5

Личный вклад. Результаты диссертации принадлежат автору. Исключение составляет используемое в главе 4 представление оператора в частных производных в виде суперпозиции одномерных операций, полученное Ф.С. Рофе-Бекетовым и автором в [3,4].

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались автором на конференциях и семинарах, в том числе, на Международной конференции "Дифференциальные

5 Ряд результатов отражен в книге «Очерки развития математики в СССР», Киев, 1983г. и вошел в монографии М.О. Отелбаева «Оценки спектра оператора Штурма- Лиувилля», Алма-Ата, 1990 г. и Ф.С. Рофе-Бекетова и A.M. Холькина «Спектральный анализ дифференциальных операторов», Мариуполь, 2001г., а также в обзоры Ф.С. Рофе-Бекетова «Deficienci indices and properties of spectrum of some classes of differential operators», Lect. Notes, Math.-Springer.-1975.-N 448.-P.273-293; «Square-integrable solutions, self-adjoint extensions and spectrum of differential systems», Differential equations.-Proc. Intern. Conf. Equat.-Uppsala.-1977.-P.169-178; «On positive differential operators (deficiency indices, factorization, perturbations)», Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 97A, 247-257, 1984.

уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения И.Г.Петровского (Москва, май 2001г.), на Международной конференции по теории функций и математической физике, посвященной 100-летию Н.И.Ахиезера (Харьков, август 2001г.), на Международной конференции по функциональному анализу (Киев, август 2001г.), на Международной конференции «Обратные задачи и нелинейные уравнения» (Харьков, август 2002г.), на Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, июнь 2003г.), на семинарах в МГУ (руководители проф. А.Г. Костюченко и проф. A.A. Шкаликов), на Харьковском общегородском семинаре (руководитель акад. В,А. Марченко).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей и сделано 7 докладов на международных конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем работы - 222 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 рассматриваются скалярные эллиптические дифференциальные операторы второго порядка в пространстве L2(G), записываемые в следующих двух формах

IM = -V(4X)VM)+/[V(5(X)M)+(vm,S(X))]+<7(X)M, Dx =Cq (G); (1) Ми = (v - ib{xjf (a{x{v - ,b{x)) u)+ g{x) u, DM = С0Ю (G). (2)

Здесь A(x) - положительная эрмитова матрица-функция, b(x) -«-компонентная вектор-функция с вещественными компонентами, q(x) -вещественная функция, G - произвольное открытое множество в FC.

В §1.1 приведены локальные условия на коэффициенты операторов L и М, а также некоторые вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем. Коэффициенты операторов L и М удовлетворяют условиям

аи {х\ bj (х) е Lip^iG)- q[x) е Llloc{G),6 (3)

6 ^'Р /ос множество /--компонентных вектор-функций / (х),

определенных в G и удовлетворяющих условию|/ (x0+y)-f (хц)\ =

при которых эти операторы корректно определены.

Обозначим через DI<JC(L ) множество функций и е L2hc(G), для которых Lu е L2lM(G). В большинстве теорем глав 1 и 2 помимо условий (3) мы предполагаем коэффициенты оператора L имеющими такие локальные свойства, что выполнено

Условие Л. Для всякой функции и(х) е Dluc{L ) и любой ограниченной

области Q (Г2 с G) существует последовательность {ит }™=1 функций из (f(G), для которой м„,-> и в L2(Q) и

Hm Re(vLum,um) =Rt{y,Lu,u) 7

т->да 2V ' '

при любой вещественной функции y/eCo(Q).

Дифференциальное выражение М вида (2), всегда можно записать в форме выражения L вида (1) с той же матрицей А(х), но с другими Ь(х) и q(x), удовлетворяющими (3). В §1.1 приведены также условия на гладкость коэффициентов операторов L и М, при которых условие А выполнено автоматически.

В §1.2 изучаются условия, при которых полуограниченность оператора L вида (1) влечёт его самосопряжённость в существенном. Известная теорема Березанского показывает, что при весьма общих локальных условиях полуограниченность М влечёт самосопряжённость М, если локальное волновое возмущение, распространение которого описывается уравнением и„+Ми = 0, не может достигнуть границы

области G за конечное время (ГКСР-условие). В случае G=F? это последнее требование изучалось в ряде работ, где было показано, что оно равносильно полноте риманова многообразия R" с метрикой, определённой матрицей А'\х). Первым признаком самосопряжённости без условия полноты можно считать упомянутую выше теорему Г. Вейля для оператора Штурма - Лиувилля.

О (М) ПРИ |!—>0, для любой точки x0gG . При этом константа в О (•), вообще говоря, зависит от х0. Для функций из Lip^rJc (G) частные производные первого порядка существуют почти всюду в G.

73десь и ниже (•,•}, || • || - скалярное произведение и норма в бесконечномерном гильбертовом пространстве, а (•,•)> j ■ | - скалярное произведение и норма в унитарном пространстве Е (dim Е < оо).

В §1.2 вместо понятия полноты используется введенное в [7] понятие полумаксимального оператора.

Определение 1.2.1. Симметрический оператор Т в гильбертовом пространстве Н называется полумаксимальным, если для любого ueDj, такого, что Im ( Г* м, и ) = 0, найдется последовательность

{ик}^элементов Dr такая, что ик~+и в Н и

lim (Гк^идЛ = { Т* и, и).

fc-HO

Лемма 1.2.1. 1°. Если симметрический оператор Т полумаксимален, то его полуограниченность влечет за собой самосопряженность в существенном.

1 . Если Т — максимальный в существенном симметрический \

оператор, то он полумаксимален. *

3 . Полуограниченный симметрический оператор самосопряжен в существенном тогда и только тогда, когда он полумаксимален.

В §1.2 доказан признак полумаксимальности оператора L вида (1) (теорема 1.2.2). Из этой теоремы следует, что при локальных условиях, сформулированных в §1.1, для произвольных открытого множества Gcä" и матрицы-функции А(х) старших коэффициентов оператора L найдётся локально-ограниченная в G функция q/x), для которой из полуограниченности L~qA(x), вытекает полумаксимальность оператора L (последний может и не быть полуограниченным снизу). Функцию qA{x) мы и называем исправляющим потенциалом для А(х) в области g. Одну из конструкций исправляющего потенциала дает

Следствие 1.2.3. Пусть выполнено условие А. Если при некотором

К>0 и всех (р е Cq(G) выполнено неравенство

{Lcp^ + Klvf >J(^Vt7,Vn)\<pfdx, G

с функцией Т]{х) е IJp^^G), 0 < t](x) ->оо при x->dG8 такой, что при некотором С>0 почти всюду в G

8 Здесь и ниже условие g(x)->oo ПРИ хна функцию д(х) означает, что для любого N>0 найдется такой компакт 9? у с б, что прих£С\91л справедливо неравенство \§{х) | >И .

(АУ??Уг})<Се2'1, то оператор Ь самосопряжён в существенном.

Это утверждение содержит, как частный случай, известную теорему И.Вальтера (1969). Исправляющие потенциалы, которые могут быть неограниченными снизу, описывает

Следствие 1.2.4. Пусть г{т)>8>0 такая функция из С'([0; оо)), что г'(т)=о(г\т)) при т—>оо, а функция /и(х)е (<?) такова, что 0< ц(х)—>сс прих^дО. Пусть почти всюду в Б выполнено неравенство

(М*) ) т

(АУцУ/и)<С \г(т)с1т •ехр 2 ]г(г)Л-

< 0 V 0

с константами С, т> 0. Если при некоторых К, к>о, е>0 и всех (р е выполнено операторное неравенство

(Х^ + фЦ2 > рЫх))\е2 + Чи) - к]\<р\2 <3х,

то при условии А оператор Ь полумаксимален.

В §1.3 устанавливаются условия на вещественную функцию при которых оператор М вида (2) самосопряжён в существенном. При этом в формулировках теорем используется векторное поле

Теорема 1.3.1. Пусть А(х) и Ь(х)— соответственно позитивная

эрмитова матрица-функция размера пхп и вектор-функция с п вещественными компонентами, определенные в открытом множестве <7с/?". Пусть элементы А(х) и компоненты Ь(х) непрерывны в <3. Тогда

для любого векторного поля /(х) е Ыр^с{С) и для любой функции

ср(х) £ С('(С) справедливо неравенство

¡(а{у<Р-¡Ь<р\ч<р-¡Ь<р)ск> {(у/-[а-1/,/))н2сЬс.

С в

Из теоремы 1.3.1 и следствия 1.2.3 непосредственно следует Теорема 1.3.3. Пусть для Ь-М выполняется условие А. Если потенциал оператора М вида (2) при некотором К>О почти всюду в С удовлетворяет неравенству

q(x) > (AVц, Vrj)+ (A~lf,/)- Vf-K, с некоторой функцией r/(x) e Lip^c(G), 0 < tj(x)-> <x> при x-> dG такой, что выполнено условие (AV 77, V rj) < Ce2,}, и некоторым векторным полем f(x) е Lip^ (G), то оператор М самосопряжён в существенном.

Из теоремы 1.3.3 конкретным выбором функциональных параметров 7(х) и г\(х) в § 1.3 полнен ряд следствий. Приведем два из них.

Пусть G = [к е R",Xj >0, у = 1,и|. Рассмотрим в L2(G) оператор М

вида (2) с матрицей А(х) = diag^ , x\kl ,...,x2nk" j и с b,(x)e C'(G). Обозначим этот оператор через

Следствие 1.3.1. Если в операторе к (j = \,n) - любые

вещественные числа, а его потенциал q(x) е L^odG) и почти всюду в G удовлетворяет неравенству

-к,

с некоторым К> 0, то оператор самосопряжён в существенном. В области С={хеЯ": | х 11 < а 1 ,у-1,«} рассмотрим оператор М (2) с

матрицей A(x)=diag

f ( к2 ( 2Л

И И 1 хп 1 2

» • '9

V а1 j 1 а2) к ап)

и с bj(x) е

С'(С7). Обозначим этот оператор .

Следствие 1.3.3. Если в операторе к; (/—1,и ^-произвольные

вещественные числа, а его потенциал q(x) е ¿2/0с(С) и почти всюду в (7 удовлетворяет неравенству

ж- 3-2*. д(х)> £---У

к, <2 а.

г\~2+к,

с константой К >0, то оператор S^ самосопряжен в существенном.

В §1.4 показано, что при замене полуограниченности L некоторым операторным неравенством самосопряжённость L вытекает из самосопряжённости в существенном заведомо полуограниченного оператора (теорема 1.4.1). Эта теорема позволяет обобщить на неполуограниченные операторы теорему 1.3.3. Пусть функции r¡(x), v(x)

и векторное поле /(*) : G ■-> R" таковы, что

1) ф), v(x) е LiPm (G); fix) е Lip("\G);

¡ОС IOC

2) 0<t|(jc)-»oo при x->dG, v(x)>0;

3) почти всюду в G выполнены неравенства

(AV^V^Ce2"', (AVv,Vv)<C

при некотором 00.

Теорема 1.4.3. Пусть для L=M выполнено условие А. Если потенциал оператора M вида (2) при некоторых к, К>0 почти всюду в G удовлетворяет неравенству

q(x)>(AVr?, Vn) + (A-lf,f)-Vf-kv2-К,

где для функций Г|(х) и v(x) и векторного поля /(х) выполнены условия 1)-3), то оператор M самосопряжён в существенном.

§1.5 посвящен признакам самосопряженности оператора Шредингера. Все его результаты вытекают из теоремы 1.4.3 при соответствующем выборе функциональных параметров fix), r|(x), v(x). Рассмотрим оператор

Su = -(V - ¡b(x))2 и + q{x)u, Ds = Cq (G) в случае, когда G^R", b¡{x) е С1 (G). Оператор S является частным случаем оператора M при А(х) = 1„. Обозначим через 5 (х) регуляризованное расстояние точки х до множества R"\G. Под регуляризованным расстоянием мы понимаем функцию 8(х) е C2(G), удовлетворяющую неравенствам

Cidist(x, R'\G)< 5(х) < C2dist(x, R?\G), с некоторыми Сх, С2>0, а также условиям

|V£| < const; \AS\<COnSí(l + S) .

Такая функция всегда существует. При «/(х^сибцх. /?"\с7) еС2{<3) ниже считается, что 5(л:)=о'(х). Пусть а(х), v(x) - определённые в б функции, удовлетворяющие глобальному условию Липшица

а(х), \>(х) бЫр^О.9 (4)

Предположим, что

v (д;) > О, I а(х) Ысопя!, (5)

а также, что при некотором е > о

(6)

хеО/ 1

где = {х: х е- О; сШ^х, Л"\ в) < е }.

Теорема 1.5.1. Если потенциал оператора Б <7(х) е />2/ос(С) и почти всюду в в удовлетворяет неравенству

, 1 -а + а2 а „|2 А<5 ( 2 1

ц{х) > ~ I I + а-у~С{г

с константой С> О « функциями а(х), и §(*)<

удовлетворяющими условиям (4) - (6), то оператор 5 самосопряжен в существенном.

С каждой точкой я'0 дифференцируемого многообразия без края

Гс.ЯР размерности к свяжем декартову систему координат, в которой первые к координатных ортов находятся в касательном многообразии к Г в точке х0. Обозначим через К гС класс таких дифференцируемых многообразий ГсЯ" без края, что для любой точки х0еГ сфера радиуса г с центром в точке х0 вырезает из Г участок Гх , задаваемый в указанной системе координат с началом в х0 уравнениями

=/у(*1.*2.-,*а), } = к + \,п, где функциих2,,..., х^еС2(Я*) и при некотором С> О

Оа^(хьх2,...,хк)<С, у = Л + 1,к,

для всех мульгииндексов а, | а | < 2. При этом г и С не зависят от х0.

9 Ыр^Сг) - множество г-компонентных вектор-функций из (О),

для каждой из которых константа в О ( •), не зависит от х0.

Линейное многообразие принадлежит К г>с при любых г и С > 0 . Любое компактное многообразие без края класса С(2) принадлежит К г С при некоторых г, С.

Пусть область G такова, что

5G=Ur,, (7)

ieN

где N — не более чем счетное множество, a r,(i е N) - многообразия размерности 0 < к, < п - 1, принадлежащие классу К г С при некоторых, независящих от /, г и С > 0. Пусть также

у= inf distar, Г.)>0. (8)

ijeN '

l*J

Теорема 1.5.2. Пусть в области G вида (7), (8) потенциал оператора S q(x) = qi(x) + q%{.x), где q\(x) е L2]oc(G),

q2 (х) € L,„(G). Если при некоторых константах ¿(0 < £ и К > 0 и функции \<v(x)eLip¡(G)удовлетворяются неравенства

при любом ieN,0<dist(x, Г,)<в;

Я1{х)>-Км\х),

при х е pj{х eG-,dist{x,r,)> е], то оператор S самосопряжён в

isN

существенном.

Эта теорема является прямым обобщением результата Маеды (1981), в котором dG вида (7), (8) состоит из линейных многообразий, а константа К= 0.

положение ¿-той частицы характеризуется вектором x^eR™. Физический смысл имеет лишь случай т-3, но мы считаем т любым натуральным числом. Положение системы характеризуется отТУ-мерным

вектором -х = {х\, х2,..., хдг} б RmN. Обозначим через Rkу подпространство R^j = • * е = Xj |. Пусть область

0 = и Л*,,. (9)

К]

В пространстве (С/) рассмотрим оператор

н = 1Ь] {X))1 + ф) (10)

7=1

с областью определения Он=С$((3) Здесь константы а}> 0, V, -градиент по переменным ху = (х)

вещественные /я-компонентные вектор-функции из С1(0).

Теорема 1.5.3. Если потенциал оператора Н вида (9), (10) д(х) е ¿2/ос (О) и почти всюду в О удовлетворяет неравенству

j<k

т{ 4 - m){aj + ак) у(а] + ак) 4|х, — xJ |

-Kv2(x)

с константами у, К> 0 и функцией v{x) е Lipi(G), то оператор Н самосопряжён в существенном.

Как показывает построенный в §1.5 пример, уменьшение константы ш(4-от)/4 в теореме 1.5.3 невозможно, по крайней мере, для системы двух одинаковых частиц {N-2, а=а2) в случае b\ (xj) = 62 (*2)= 0.

Вопрос о самосопряжённости в существенном внутреннего гамильтониана системы одинаковых частиц с сильным двухчастичным взаимодействием изучался в работе М . Комбескюр-Мулен и И. Жинибр (1975), результат которой трудно сравним с теоремой 1.5.3. В отличие от этой работы теорема 1.5.3 охватывает системы различных по массе частиц, испытывающих многочастичное взаимодействие и находящихся во внешнем поле, в том числе и магнитном. При этом не исключается и кулоновское притяжение.

Глава 2 посвящена описанию некоторого класса операторов М вида

(2), для которого справедливо обобщение теоремы Г. Вейля. При этом в §§2.1 и 2.2, как и в главе 1, считаем выполненными локальные условия

(3) и условие А. Дополнительно позитивная матрица А(х) считается вещественной, а потенциал удовлетворяет почти всюду в g неравенству

q(x)> const. (11)

В §2.1 приводится формулировка многомерной теоремы Вейля и выводятся некоторые следствия из нее.

Рассмотрим область вида

G=G,xG2X...XG!a, к>\, (12)

где открытые множества Gj Е R"' (Zn =n). При xeG будем писать х={ х\ ,х2 ,...,хк }, где XjBGj. Основные ограничения относятся к множеству G\Q, где область

е=е,*е2х...*е*, ci3>

a Qf - ограниченные открытые множества в R."J, такие, что Q / cGr

Теорема 2.1.1. Пусть для определенной в G вида (12) симметрической позитивной матрицы-функции А(х) найдется такая область Q вида (13), что при х eG\Q А(х) имеет блочно-диагональный вид

A(x)=diag{aj (( Xj Щ ( х Д*=,, где хj б Gj\Q>h (•) - определенные в Rx положительные функции из

- такие функции из О ' (Gj \Qj) , что ¡>0 и 2 _

ц;(х7)-юо при Xj-tdGj, а В j (хj) - матрицы-функции размера с элементами из

Lip ^ (G/ \Qj), удовлетворяюгцие неравенствам

V(By V ц2у)> 0, почти всюду в Gj\Qj, (В;Уцг Уц,)< const, Xj е G^Q .

Тогда при выполнении условий (3) и условия А оператор М вида (2), (11) с такой матрицей А(х) самосопряжён в существенном в пространстве L2(G).

Теорема 2.1.1 содержит теорему Г. Вейля в качестве частного случая, что показывают два следствия.

10 С°Л)(П) - множество функций из Cl(Q), градиенты которых принадлежат Lip (Q).

Следствие 2.1 Л. Пусть С=/?" Если в операторе Мматрица Л(х) при | х|> N>0 имеет вид

А{.х)=<Иаё{ах{хх), а2(х2),..., а„(х„)}, где я (•) - положительные функции одной переменной из С1 {Я'), то при выполнении условий (3) и условия А оператор М(2), (11) самосопряжён в существенном.

Следствие 2.1.2. Пусть Если матрица А(х) в операторе М

при | х |> N > 0 имеет вид

А(х)=а(\1(х))1„,

где О < а( •) е С (Я ), функция ц (х)е такова, что

ц (х)—>оо при| х|—> оо и

Дц2(*)>0, 0<| Уц|<соп51, то при выполнении условий (3) и условия А оператор М (2), (11) самосопряжён в существенном.

Возможность в теореме 2.1.1 случая С */?" показывает

Следствие 2.1.4. Пусть область С является полосой в К2\ 0={хеЯ2-, -оо<лг,<оо, -к<хг<Н \,

в которой задана функция ¡1 (х)= .¡Х) - h In

*22

с константой

а 6 (0, 'Л ]. Если при \i(x)>N>0 матриг(а А(х) в операторе М имеет вид

А{х)= а(ц)

г2^ Х2

где 0 <а(-) е С'([0,со)), то при выполнении условий (3) и условия А оператор М(2), (II) самосопряжён в существенном.

В §2.2 для доказательства теоремы 2.1.1 строится особая конструкция накрывающего семейства.

Назовем семейство функций у(х,т), определенных в G, с параметром те [т0,оо) накрывающим область G, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1с) 0< у(х, т)е C(Gx[т0,со)) и при любом те [т0,°о)

\|/(х, т)е C0(G,)riC(' ')(supp4/);

2с) открытые множества QT=Int suppv|/(x,T) (Qr=suppv|/)

расширяются с ростом т, то есть: т?>т, => QT|cQt?. При этом для

любого компакта RcG при достаточно больших т Rc:Qx;

Зс) при любом те [т0,оо) 8QX состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых гиперповерхностей, причем для любой точки х е G\Q,o существует единственное значение т, при котором хедПх; 4с) условие Зс) определяет функцию

т=р(х)е L¿pl0(c'\G\n4);

5с) при каждом xeG

со

jV(x,x )ск = оо.

Ниже используется вектор-функция (Чу) |х=р(г), которая

понимается в смысле предельных значений Vна ЭОт из внутренности области £2Т.

Теорема 2.2.1. Пусть для оператора М выполнены условия (3) и условие А, а также существует накрывающее область G семейство, с которым симметрическая матрица А(х)>0 старших коэффициентов оператора Мудовлетворяет неравенствам

^х (Л^\|/)< Сц/, почти всюду в Q, (т > т0);

С, почти всюду в G\£2To

с некоторой константой С>0 Тогда оператор М вида (2), (11) самосопряжён в существенном.

Теорема 2.1.1 является следствием теоремы 2.2.1 при особом выборе накрывающего семейства.

В главе 3 изучается вопрос о полумаксимальности дифференциального оператора вида

¿ = (-A)"+ q(x), q(x) е C(R"), lm?(*) = 0, Z>£= C02m( Л"), (14) действующего в пространстве В §3.1 установлены

достаточные условия полумаксимальности этого оператора (теорема 3.1.1). Из теоремы 3.1.1 получен ряд простых следствий. Приведем одно из них, которое при т=1 переходит в теорему Повзнера.

Следствие 3.1.1. Если потенциап с/{х) оператора Iудовлетворяет неравенству д (х)>-К<2(\х\) с некоторой константой К> 0 и функцией 1 ¿6(0 £ С ([ 0, оо)), удовлетворяющей условиям.

-{т 1)/2и

(t)dt = oo;

dJ д~1/2т dtJ

^,-0-l)/2m --

Q <, const, j = 1, m,

то оператор L полумаксимален, а в случае его полуограниченности -самосопряжен в существенном.

В §3.2 строится пример, показывающий, что полуограниченности оператора L вида (14) для его самосопряженности в существенном недостаточно. Рассматривается оператор L (14) при т-2, п= 1, т.е. оператор, имеющий вид

М= — + <?(*), Аг= С^(Л'), (15)

где

<7(x) = v'v)-t 7(v")2+6v'v"' + 16(v')2 v" + 4(v')4, (16)

4 t

v(x)eC (Л ) - вещественная функция. Для оператора Мсправедливо следующее представление Ми= /, и, где

V —V + _1> V U II I 1

l=ele, lrele, 1= [2 v + (v ) ]. (17)

Обозначим через (т) минимальный замкнутый оператор, отвечающий дифференциальному выражению т на полуоси [ 0, оо ).

Предложение 3.2.1. Оператор М вида (15), (16) является позитивным оператором вL2(Rl) . При этом если оператор Т0(1), где I - дифференциальное выражение вида (17), имеет индексы дефекта (2,2) и | v (х )! < const, то оператор Т0 (М), где М - выражение вида (15), (16), имеет индексы дефекта (4,4).

Далее в §3.2 описан класс ограниченных функций v(x), для которых оператор Т0(1), отвечающий выражению I (17), имеет индексы дефекта (2,2). Тем самым дается положительный ответ на вопрос: может ли оператор Т0(М) для М вида (15) иметь индексы дефекта

(4,4), а также строится пример полуограниченного оператора вида (14) с ненулевыми индексами дефекта. Положим

у(*) = цФ(хт) (*>0),

где Ф (t) - вещественная периодическая функция периода 1 из С4 ( Я1),

причем Ф(0*const, а у >2 и ц - вещественные константы. В §3.2

доказана следующая

Лемма 3.2.4. Если при некотором у>2 1 -периодическая функция 2 1

Ф(Г)€ С (R ) удовлетворяет неравенству

1 /? О V 1/2

о 7 о

то найдется такое 5>0, при котором для каждого вещественного ц такого, что 0 < |ц| < 5, все решения уравнения

-2"-{2ц[Ф(*т)]" + Ц2[Ф(*т)]'2}* = 0

принадлежат L2 ([ 0, °о) ).

В главе 4 рассматривается дифференциальное выражение

1« = £ ав (*)/>"«11, (19)

где xeGcR", aQ(x) - квадратные матрицы порядка г, элементы которых суть комплекснозначные функции, и(х) - г-компонентная вектор-функция.

На коэффициенты ajx) наложены следующие условия гладкости ав(х)бСв+1 "'(<?), I a I <cr; аа(х) е Cm"{a+2-2a}(G), | а | =ст, а также условие эллиптичности

det( Уав(х)Г)^0

| ара

11 Здесь а -мультииндекс, Da = D?' =Д—,loci = Уа,.

idxj ]=i

npHxeG^etf",

В § 4.1 на рассматриваемые дифференциальные выражения распространяется принцип расщепления. Пусть L3 - произвольное замкнутое расширение минимального оператора Lm, отвечающего выражению (19) такое, что

cL3ciM, xeGQlf, а ¿слп- замыкание сужения L3 на функции, каждая из которых равна нулю в какой-либо окрестности ограниченной области Л такой, что Q с G. ¿слп - плотно заданный замкнутый оператор в пространстве ¿/(GVQ)-

Теорема 4.1.1. (принцип расщепления) Предельные спектры L} и 4Ш совпадают: C(Z,3)=C(L3cvn).

Для несамосопряженных сильно эллиптических операторов второго порядка другой подход к обоснованию принципа расщепления дан в работе И.И. Голичева (1971).

Всюду ниже рассматриваются операторы, порожденные эллиптической системой L в ¿^(R"). С помощью принципа расщепления в §4.1 доказана также

Теорема 4.1.2. Если L,„ имеет хотя бы одну регулярную точку, то его резольвента вполне непрерывна тогда и только тогда, когда

lim 1 inf IM} = 00.12 о)) ||ф|| j

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка эта теорема доказана В.В. Мартыновым (1968).

В § 4.2 выводится важное для дальнейшего представление выражений в частных производных в виде суперпозиции одномерных операций.

Через со обозначим единичную сферу в R? (<ö={r}eR": | r| | =1}), а через Эп-производную по направлению г|:

7=1 "Xj

12 Здесь С0"(Л",(ЛГ,оо)>- множество вектор-функций из Сц (Л"), носители которых лежат вне шара {х: \х\< /V] .

Пусть ц (с/ ©) - неотрицательная мера на оз. Обозначим через однородный полином степени | а |, определяемый (если это возможно при данной мере) системой равенств

Ш^мУа) = ~г5ар (Ур : Щ) = \а\). ш Р1-

Всякое дифференциальное выражение I (31) представимо в виде

(1иХ*)= I ^а^)дУпи{х)ц{с1(о) (20)

(О у=0

с некоторой неотрицательной конечной мерой р на ю. Причем матрицы (*> Л ) ( у = 1'°") могут быть выбраны непрерывно зависящими от г|, а аи(х, г|) - вовсе не зависящим от т|

«<>(*, = а0(х).

В качестве меры ц всегда может быть взята мера, сосредоточенная на множестве Леш, на котором ни один из однородных полиномов степени <а не обращается тождественно в нуль, и тогда можно положить

ау(х,т1) = (-1У V = О^сг.

И-

Ниже все функции, зависящие от г|, считаются непрерывными относительно совокупности входящих в них аргументов, а все условия, содержащие г|, считаются выполненными ц-почти всюду на со при какой-либо фиксированной для рассматриваемого оператора мере ц на со.

В § 4.4 дается описание двух классов дифференциальных выражений Ь, для которых ¿,„ =ЬМ, в терминах неравенств вида

11ф12 + сопб1(ф12> Цф,ф), (21)

где Цф, ф) - некоторая квадратичная форма (форма сравнения), и некоторых связей коэффициентов выражения Ь с коэффициентами этой формы. Первый из этих классов выражений связан со следующей формой сравнения

ц,к(ф,<р)= \{ъа"{х,ч)\дс'цц\2-Кд1<'(х)\у\2]у.^®)с1х, (22)

где константы е, К > 0, а скалярные функции а(х, г) ) > 0, 1 < <7 ( х) < ао удовлетворяют условиям

а(х, Г) )бС'(/?"). q~\x)&Ca(P!'y, (23)

| (т1,У,)[а(х, г|) q~\x)] | < С (ст > 1, при ст=1 это условие отпадает.); (24)

\д'п Я-°{х)\<Са\х,ч)д-(°-'\х), U= lö1); (25)

<СР{х) aJ{x,ri)q-(e-J\x) 0=1^), (26) где Р(х)~ функция из Ca(Rn) такая, что

О<Р(х)-+оо (| —>со). (27)

Заметим, что равенство q(x)=со на множестве положительной меры не исключается. Полагаем всюду 0-оо=0. В качестве области определения D4 формы LE к возьмем множество вектор-функций ФеСд'г таких, что suppфП{*:<7 (*) = «>}=0.

Теорема 4.4.1 Пусть форма 1_Е/:(ф, ф) (22) удовлетворяет условиям (23)-(26), а коэффициенты дифференциальной операции L (20) при хе (у: q(y)^co} - неравенствам

I а,(х,г|)| <Ca(x,t\)qa~\x), s = l,a.

Если при некоторых е, К, N> 0 для ф 6 Dq П Cq (R", (N, оо))

выполнено неравенство (21) с 1_(ф, ф)= Lt к(ф, ф), то минимальный и

максимальный операторы, отвечающие выражению L, совпадают и

для каждой вектор-функции и(х) е DL сходятся интегралы

\<?>(x,TÜq~2\x) \dJnu(x)\2 yL(d<s>)dx<co, j = 0, 1,..., а.

R"x(0

Заметим, что в случае, когда а(х,ri)= a(|x|), q{x)=q(\x\), условия (23) - (26) на коэффициенты формы 1_Е^(ф,ф) выполнены, если:

7 WOi'OH^Oi'if^'^C, j = 1,ег-1 (только при о>1); dt1

q^{t)bCa\t)q-a\t\ y =

dtJ

¡a-l(t)q-a+\t)dt = cc.

Второму из упомянутых классов выражений соответствует форма сравнения

[_Дф,ф)=£ \{£°{х,у))\ду\г + ?2\х) |ф|2МЛ>)Лс, (28)

где константа е>0, а скалярные функции И(х,ц), §(х)>0 обладают следующими свойствами:

й(*,л).£(*) 6 С\ЯУ, _ (29)

I <?п и°-\х)к\х,ц)] | <С8°-'+\х)И'-1(х,ц), 5 = 1,а-1 (30) ((30) требуем лишь при <т > 1 );

существует функция Р(х), удовлетворяющая условию (27), и константа 5 > 0 такие, что

Р(х)> 8\х), хе/г" (31)

и при | -»оо равномерно по г| из множества полной меры р на и

|3;Р(х)|/Р(х)и(х)/г',(х,л)]^0 (/=Г?). (32)

Теорема 4.4.2. Пусть форма Ц(ф,ф) (28) удовлетворяют условиям (29)-(32), а коэффициенты дифференциальной операции Ь (20) -неравенствам

К(*,П) \^СН\х,у\) 5=1,ст.

Если при некоторых с, ЛГ>0 для ф е С^ (/?",(//,»)) выполнено условие (21) с Ь(ф,ф)=ие(ф,ф), то минимальный и максимальный операторы, отвечающие выражению Ь, совпадают и для каждой вектор-функции и(х)е01^ сходятся интегралы

82аЛ *)|ЭУП и(х) I2 ц(Лв)<& < 00, Г Т^.

«"хсо

§§4.5,4.6 в качестве следствий из теорем 4.4.1, 4.4.2 получены достаточные призн гки равенства Ь„~ Ьм в терминах лишь коэффициентов

выражения 11. При этом неравенства типа (21) выполняются автоматически. Приведем некоторые из этих результатов.

Теорема 4.5.2. Пусть а(х, 11)= 1 и 1<д(х)<со удовлетворяет условиям (23) - (26), коэффициенты аа(х) выражения (19) при |а | =0 равномерно непрерывны в и={х: д(х)Ф<я} и прих е и

Б11р

¡¿И

|а|=ег

<с

(01=0,(7,

операторы, порожденные

Тогда, если при х е {/

то минимальный Ьт и максимальный /,.,

ш м

выражением Ь, совпадают.

Заметим, что в случае а(х,г|)=1, д(х)= <7(|*|) в теореме 4.5.2 условия (23) - (26) можно заменить следующими

I — Я (0|<7 Л1 о

Теорема 4.5.2 является обобщением результатов Ф. Браудера (1961)

и П. Гесса (1968), относящихся к выражениям с ограниченными

коэффициентами. Для сильно эллиптических скалярных операторов в

неограниченных областях родственный результат получен

В.И. Шевченко (1975). Первые результаты о существенной

самосопряженности эллиптических операторов высших порядков с

неограниченными коэффициентами установлены А.Г. Костюченко

(1968) в связи с исследованием распределения собственных значений

таких операторов. Наша теорема 4.5.4 выделяет из формально

самосопряженных, сильно эллиптических выражений класс,

качественно близкий к рассмотренному в работах А.Г. Костюченко.

Сформулируем также следствие из теоремы 4.4.2 полученное в § 4.6.

Подчиним функции И(х,ц), g(x) дополнительным условиям, кроме (29)-

(32). Пусть /г (х, г|) не зависит от г), т.е. И(х ,г\) = И(х). Предположим,

что существует функция Р{(х) е С (/?") такая, что 0 < Рх(х)

->00,

и для каждой константы М> 0 найдется такая константа С( М) > 0, что Л« ¿"'(у), Ш'Ъ) < С (М) (33)

прилг^еС*2^,*1 (12>т,), где т2-т'1 <М, а С]= {х: хеВ^, Рх(х)<х}. Кроме того, предположим, что найдутся такие константы с, С > 0 для которых при | х | >N>0

с8(х)Ь-\х)< (уедися^)/^*)- (34)

Обозначим через Ц х, ) символ или характеристический многочлен, отвечающий дифференциальному выражению 1(19):

а <сг

Теорема 4.6.1. Пусть функции Ь(х), g(x)> 0 удовлетворяют условиям (29) - (32) и (33), (34), а коэффициенты дифференциальной операции Ь (19) - соотношениям-

|ай (х)| < С8а~И(х)л1а1 (*), |а| = 0, а ;

дх

■аа(х)

01 яа+И(х)/г1«И(х)| (Ы —> оо), у= \,п \ |а| = 0, сг.

Тогда, если при некотором N > 0 выполнено неравенство

\йеИ(х,фЛ[Исг(х)\£\<Т+ё'Т(х)

где Е, е Я", е = сопз1>0, то минимальный и максимальный

операторы, отвечающие выражению I, совпадают.

В §4.7 устанавливаются критерии существования регулярной точки и чистой дискретности спектра оператора Ь,„. При этом мы ограничиваемся классом выражений теоремы 4.4.2. Достаточные условия существования регулярной точки несамосопряженного сильно эллиптического выражения второго порядка получены И.И. Голичевым (1971).

Наряду с формой сравнения 1Е(ф,ср) (28) рассмотрим квадратичную форму

Ы2ь,к = ¿./¿[р],

5 = 0

ЛЫ = 1 Ь(х)И2Чх,ф§2(ет-хНх)\д1п(р\2 ,

Я"хт

где 1 >Ь(х) - измеримая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при |х|->00.

Теорема 4.7.1. Пусть функции /г(х,г|), &(х)>0 удовлетворяют

условиям (29) - (32) и для коэффициентов дифференциальных +

выражений Ь, I (20) выполнены соответственно неравенства

[а*(х,т])\, |а (х,г])\<СИ' (х,^а~\х),

где хеЯ", л=1,<у Пусть также существует такое неограниченное множество Л точек комплексной плоскости, что при некоторых С, г > 0 для >.еЛ и 9 еС^'' (Я") имеют место неравенства

¡(¿-и)ф12>1е(ф,ф)-С[ф]2йо.1; К^-л/^ф^^ф.фЬад^.,

Тогда:

1°. Если g(x)> I и | а0(х) | < С¿*(х), то все точки множества Л, лежащие вне круга < /? при достаточно большом Я> О, являются регулярными для оператора /,,„= Ьм

2°. Если g(x)—(¡*|->°0, то спектр оператора Ьт=Ьм чисто дискретен (точнее, резольвента 1т вполне непрерывна) и в множестве Л может находиться лишь конечное число собственных значений. Одним из следствий теоремы 4.7.1 является

Теорема 4.7.2. Пусть функции Кх,ц) ~ И(х), #(х)>0 удовлетворяют условиям (29) - (32) и (33), (34), а коэффициенты дифференциальной операции I. вида (19)- соотношениям

(М^00)'

где |а| - 0,а; |/?| = 1,|а| при |а| >0; |р| =1 при |а|=0. Пусть также

существует такое неограниченное множество Л точек комплексной плоскости, что для X е Л; х, ^ е Я" выполнено неравенство | <1*(Цх, %) - XIг)| > е [ И°(х) £ ¡я +8а(х)]г

при некотором £ > 0. Тогда ■

1°. Если ^(х)> 1, то существует /?> 0 такое, что множество ЛП{Х: ¡л|> /?} состоит из регулярных точек оператора Ьт~Ьм.

2°. Если g(x)-*оо (|х| -»со), то спектр оператора ¿да= Ьм чисто

дискретен (его резольвента вполне непрерывна) и в множестве Л может находиться лишь конечное число собственных значений.

Отметим также, что теорема 4.7.2 тесно соприкасается с результатом В.В. Грушина (1971), полученным иным методом. В частности,

содержащийся в теореме В.В. Грушина признак чистой дискретности спектра полностью охватывается теоремой 4.7.2.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. Достаточные условия самосопряженности эллиптических операторов высших порядков // Сб. «Матфизика и функц. анализ». - ФТИНТ АН УССР. - Вып. 2. - 1971. -С. 12-25.

2. Брусенцев А.Г. Некоторые вопросы качественного спектрального анализа несамосопряженных эллиптических систем произвольного порядка // Сб. «Матфизика и функц. анализ». - ФТИНТ АН УССР. -Вып. 4. - 1973. - С.93 - 116

3. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженности эллиптических операторов высших порядков // «Функц. анализ и его приложения». - Т.7. - №4. - 1973. - С. 78 - 79.

4. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. Условия самосопряженности сильно эллиптических систем произвольного порядка // Матем. сб. -Т.95(137).-№1.-1974.-С. 108- 129.

5. Брусенцев А.Г. О спектре несамоспряженных эллиптических систем произвольного порядка // Дифференциальные уравнения. — 1976.-Т. 12. -№ 6. - С. 1040- 1051.

6. Брусенцев А.Г. О ^самосопряженности в существенном эллиптических операторов, не удовлетворяющих условию Титчмарша-Сирса // Сб. "Дифференциальные уравнения и некоторые методы функционального анализа".- Киев: "Наукова думка".- 1978,- С.47 - 58.

7. Брусенцев А.Г. О самосопряженности в существенном полуограниченных операторов высших порядков // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т.21. - №4. - С. 668 - 677.

8. Брусенцев А.Г. О самосопряженности в существенном полуограниченных эллиптических операторов второго порядка, не подчинённых условию полноты риманова многообразия // Мат. физ., анализ, геом. - 1995. -Т.2. - №2. - С. 152 - 167.

9. Брусенцев А.Г. Приграничное поведение потенциала эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном // Мат. физ., анализ, геом. - 1998. - Т.5. - №3/4. -С.149-165.

10. Брусенцев А.Г. Замечание о самосопряжённости в существенном неполуограниченных эллиптических операторов в L2(g). // Мат. физ., анализ, геом. - 1999. - Т.6. - №3/4. - С. 234 - 244.

11. Брусенцев А.Г. О самосопряжённости в существенном неполуограниченного оператора Шрёдингера с сильными сингулярностями потенциала // Дифференциальные уравнения. - 2002. -Т.38. - №10. - С. 1431 - 1433.

12. Брусенцев А.Г. Об одной теореме Г. Вейля для многомерного случая // Мат. физ., анализ, геом. - 2002.- Т. 9. - №2. - С. 224 - 232.

13. Брусенцев А.Г. Многомерная теорема Г Вейля и накрывающие семейства // Матем. заметки. - Т.73. - №1. - 2003. - С. 38 - 48.

14. Брусенцев А.Г. Самосопряженность эллиптических дифференциальных операторов в L2(G) и метод исправляющих потенциалов (обзорная статья) // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 28.01.03. № 163 - В 2003.-57с.

Результаты диссертации отражены также в следующих докладах на международных конференциях:

15. Брусенцев А.Г. О самосопряженности в существенном полуограниченных эллиптических операторов второго порядка // Тез. докладов междунар. конф., посвященной памяти академика М.П. Кравчука. - Киев. - 1992. - С. 24.

16. Брусенцев А.Г. Приграничное поведение потенциала и самосопряженность в существенном сингулярного эллиптического оператора второго порядка // Тез. докладов на совместном заседании семинара им. И.Г. Петровского и Московского Математического общества (XIX сессия). - УМН. - Т.53. - №4. - 1998. - С. 202.

17. Brusentzev A.G. About self-adjointness in essential of Schrodinger non-semibounded operator with strongly singular potential // Book of abstracts international conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated to the Centenary Anniversary of I.G. Petrovskii. -Moscow, MSU. - 2001. - P. 77.

18. Брусенцев А.Г. Об одной теореме Г. Вейля для многомерного случая // Тез. докладов междунар. конф. "Теория функций и математическая физика", посвященной 100-летию Н.И. Ахиезера. -Харьков.-2001.-С. 12.

19. Брусенцев А.Г. О неполуограниченном операторе Шрёдингера с сильно сингулярным потенциалом // Тез. докладов междунар. конф. по функциональному анализу. - Киев. - 2001. - С. 16.

20. Брусенцев А.Г. О замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле // Тез. докладов междунар. конф. «Обратные задачи и нелинейные уравнения». - Харьков, ХГУ -ФТИНТ. - 2002. - С. 15.

21.Brusentsev A.G. Characterisation of closure of compact functions set in Dirichlet generalized integral metric // Book of abstracts international conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics". - Moscow, RAS - MSU. - 2003. - P. 143 - 144.

Тираж 100. Заказ

Отпечатано в Белгородском государственном технологическом университете им. В.Г. Шухова 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, д. 46

РНБ Русский фонд

2006-4 291

É I

15 MAP 2004

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Брусенцев, Александр Григорьевич

СВОДКА ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА В L2(G) И

МЕТОД ИСПРАВЛЯЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ.

§1.1. Основные локальные условия.

§1.2. Построение исправляющих потенциалов.

§1.3. Приграничное поведение потенциала полуограниченного эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном.

§1.4. Самосопряженность в существенном неполуограниченных эллиптических операторов в Li{G).

§1.5. Случай оператора Шрёдингера.

ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНАЯ ТЕОРЕМА Г. ВЕЙЛЯ И ЗАМЫКАНИЕ

В МЕТРИКЕ ОБОБЩЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕ.

§2.1. Теорема Вейля для многомерного случая.

§2.2. Накрывающие семейства и самосопряжённость в существенном оператора М.

§2.3. О замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле.

ГЛАВА 3.0 САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В СУЩЕСТВЕННОМ ПОЛУОГРАНИЧЕ1И1ЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

§3.1. Условия иолумаксимальности двучленного эллиптического оператора порядка 2т.

§3.2. Пример позитивного опертора (~А)"'+ q(x) с ненулевыми индексами дефекта.

ГЛАВА 4. IШСАМ0С0ПРЯЖЕ1II1ЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА.

§ 4.1. Локальное строение области определения рассматриваемых операторов. Принцип расщепления.

§ 4.2. Операторы в частных производных как суперпозиция одномерных.

§ 4.3. Некоторые вспомогательные результаты.

§ 4.4. Основные теоремы о совпадении минимального и максимального операторов.

§ 4.5. Простейшие следствия из основных теорем о совпадении

Lm и ьм.

§ 4.6. Условия совпадения минимального и максимального операторов в терминах ограничений на символ дифференциального выражения.

§ 4.7. Критерии существования регулярной точки и дискретности спектра.

§4.8.0 «/-самосопряженности эллиптических операторов, не удовлетворяющих условиям Титчмарша-Сирса.

Введение диссертация по математике, на тему "Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа"

Работа посвящена условиям самосопряжённности и некоторым вопросам спектрального анализа эллиптических дифференциальных операторов в пространствах L2{G) и L2(G), где G - открытое множество в R". Рассматриваются оператор!,!, как второго, так и произвольного порядка, как являющиеся симметрическими, так и нет.

Эллиптические операторы играют исключительно важную роль в современной математике и физике, особенно в краевых задачах, квантовой механике и теории колебаний. Известно, например (см. [89, гл.8, §11]), что в квантовой механике физические соображения позволяют выбрать формальное выражение для гамильтониана как некоторого эллиптического оператора. При этом область определения не устанавливается. Обычно нетрудно найти область, па которой данное формальное выражение есть корректно определенный симметрический оператор. Одна из основных математических проблем состоит в доказательстве самосопряжённости в существенном полученного оператора, а если оператор не обладает этим свойством - в исследовании различных его самосопряжённых расширений. При этом одной из важнейших задач является нахождение точных и эффективных условий существенной самосопряженности. Несмотря на то, что вопросам самосопряжённости эллиптических операторов посвящено большое количество работ, здесь остается немало нерешенных проблем. Так, со для симметрических операторов L (D,=CQ (G)) второго порядка общего вида вопрос о самосопряжённости относительно хорошо изучен в случае G=R" (см., например, обзор [10]). При G*R" наиболее точные достаточные условия самосопряжённости известны лишь для оператора Шрёдиигера в области G=R"\V, где V - множество меры нуль того или иного частного вида. Так, известная теорема Кальфа-Вальтера-Шминке -Саймона (см. [89], теорема Х.ЗО) относится к оператору Шредингера в области G=R"\{ 0} и дасг наименее жесткие in известных условия самосопряжённости в терминах расстояния до dG= { 0}. Первые подобные результаты для п> 1 принадлежат Иоргенсу [135], а сама теорема установлена Саймоном [163], обобщившим теоремы Кальфа-Вальтера [141] и Шминке [157]. Для п= 1 подобная теорема принадлежит Фридрихсу [131] (см. также [89], теорема Х.10). Близость условий Фридрихса к необходимым отмечена Сирсом [160]. Ряд аналогов теоремы Кальфа-Вальтсра-Шминке-Саймоиа для некоторых видов множества К содержится в работах [122, 111, 112, 148]. Для эллиптических операторов общего вида с произвольной областью G вопросы самосопряжённости изучались в работах [135, 132, 155], однако для оператора Шрёдингера при G=R\V они дают значительно более слабые результаты, чем [122, 111, 112, 148].

В последнее время появился ряд работ (см., например, [79, 126, 161, 162], а также обзор [16] и монографию [124]), в которых исследуются условия самосопряжённости эллиптических операторов на римановых многообразиях. Однако и эти интересные результаты описанный выше пробел не заполняют.

Одной из целей настоящей работы является устранение этого пробела, то есть, получение таких условий самосопряжённости для эллиптических операторов общего вида в произвольной области G, которые бы генерировали обобщения известных аналогов теоремы Кальфа - Вальтера -Шминке-Саймона.

В работе при исследовании самосопряжённности эллиптических операторов второго порядка общего вида в произвольном открытом множестве G^R" обосновывается принцип, согласно которому по матрице Л(д) старших коэффициентов оператора L и области G всегда можно построить такую функцию q f(x), что из полуограниченности операторов L и

L-cj ,(х) вытекает самосопряжённность L. Предложен ряд конструкций для функции </.,(*), называемой исправляющим потенциалом. При этом для некоторых построенных ниже в конкретных примерах qA{x) при любом с>0 функции (1-с)7л(д-) исправляющими потенциалами уже не являются. Физически исправляющий потенциал gf(x)>0 играет роль добавочного потенциального барьера, удерживающего квантовую частицу в пределах области G, когда полуограниченный оператор энергии ИфН*.

В диссертации разработана также специальная техника, которая позволяет при известном исправляющем потенциале доказывать критерии самосоиряжённности, вообще говоря, неполуогранпченного эллиптического оператора в терминах поведения его коэффициентов. Полученные результаты не только охватывают теорему Кальфа-Вапьтера -Шминке-Саймона и ряд ее известных аналогов, но позволяют получать новые признаки самосопряженности для не изученных ранее операторов.

Ещё одной проблемой является перенос на эллиптические операторы второго порядка в G известной теоремы Г.Вейля [170] о самосопряжённости в существенном оператора Штурма-Лиувилля Lu = -(p(x)u)'+q(x)u,

Г I I

D;=C0 (R ) в L2(R ) при /;(*)>0, q(x)> const. Этот классический результат не допускает простого переноса на многомерный случай, что показывают примеры, построенные в работах [107, 59]. Тем не менее, известны многомерные аналоги теоремы Г. Вейля ([125, 95]), относящиеся к довольно частным видам матрицы-функции А(х) старших коэффициентов эллиптического оператора. В диссертации установлено непосредственное многомерное обобщение теоремы Вейля, содержащее известные многомерные аналоги и, в отличие от них, относящиеся к области G, которая может быть собственным подмножеством R".

Среди вопросов о самосопряжённости эллиптических операторов особую роль играет вопрос о связи полуограниченности сильно эллиптического оператора с его самосопряжённостью в существенном. В многомерном случае эта связь была обнаружена в известной теореме Л.Я. Повзнера [88] о самосопряженности в существенном полуограниченного оператора Шрёдингера с непрерывным потенциалом q(x). В качестве гипотезы эта теорема была высказана И.М. Глазманом\ а также Ф.Реллихом, который доказал и ее одномерный вариант в работе [150] , а в своем докладе на Математическом конгрессе в Амстердаме [151] предположил справедливость этого утверждения и в многомерном случае. Простое доказательство теоремы А.Я. Повзнера было предложено Е. Вингольцем [171]. Одним из оснований упомянутой гипотезы явилась теорема Карлемана-Фридрихса [120], [130] о самосопряжённости оператора Шрёдингера при ограниченности снизу его потенциала (q(x)>const). Теорема Карлемана-Фридрихса сохраняется и для эллиптического оператора L=(-A)"'+q(x), Dj = Cq(R"), lnu/(.v)=0, q(x)eC(R"), действующего в пространстве L2(R"). Поэтому естественно возникает вопрос о справедливости гипотезы Глазмана-Реллиха и для этого оператора.

В диссертации установлена несправедливость этой гипотезы при т> 1. d4

Точнее, приведен пример позитивного оператора М=—т + й{х) dx I I

Dj = C0(R )) в L2(R ), имеющего ненулевые индексы дефекта. В этом примере минимальный оператор Г0(М), порожденный выражением М на полуоси (0,оо) имеет индексы дефекта (4,4). Тем самым одновременно дан положительный ответ на вопрос, содержащийся в докладе В.Н.Эвсрита [128] на международной конференции в Упсале (1977) и в работах [147, 127, 69], о возможности оператору Т0(М) иметь индексы дефекта (4,4). В своей статье [88] А.Я.Повзнер отмечает, что это предположение было высказано И.М.Глазманом в частной беседе.

В диссертации показано, что при т> 1 полуограниченность оператора L=(-A)"'+q(x) влечёт самосопряжённость в существенном при некоторых дополнительных условиях на <?(*), исчезающих при т=\.

Для несимметрических эллиптических операторов произвольного f И порядка общего вида в L2(R ) в диссертации рассмотрены некоторые вопросы качественного спектрального анализа. Приведены новые широкие классы эллиптических выражений L произвольного порядка, для которых минимальный Lm и максимальный LM операторы совпадают, установлены достаточные признаки чистой дискретности спектра, существования регулярной точки и отсутствия предельного (называемого часто существенным, а иногда [37] и непрерывным) спектра таких операторов.

II|2- Цф.ф) на вектор-функциях <p "), где Ц<р,ф) - квадратичная форма одного из двух классов, которая в работе называется формой сравнения. При этом на коэффициенты при производных выражения L, но не на младшие коэффициенты, налагаются ограничения, также связанные с формой сравнения Цф,ф). Каждому из классов форм сравнения отвечает свой класс выражений L, для которых Lm=LSf. Для случая сильно эллиптических симметрических выражений подобные условия равенства Lm=LM получены в работах [29, 30]. Ряд признаков совпадения операторов Lm и LM для выражений высших порядков, которые были известны ранее и соответствующие литературные указания содержатся в монографиях И.М. Гельфаида и Г.П. Шилова [34], Ю.М. Березапского [6], в обзорной статье Р.Д. Алексаидряна, Ю.М. Березапского, В.А. Ильина, А.Г. Костючснко [2], а для одномерного случая - в книге М.А. 11аймарка [77].

Работа состоит из четырех глав. В главе 1 рассматриваются скалярные эллиптические дифференциальные операторы второго порядка в пространстве L2(G), записываемые в следующих двух формах

D/=C0°°(G); (0.1)

Mu = (V-ib(x))\A(x)(V-ib(x))u)+q(<x)u, D,rC^(G). (0.2) Здесь Л(х) - положительная эрмитова матрица-функция, Ь(х) - п-компонентная вектор-функция с вещественными компонентами, q(х) -вещественная функция, G - произвольное открытое множество в /?".

В §1.1 приведены локальные условия на коэффициенты операторов L и А/, а также некоторые вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем. Коэффициенты операторов L и Л/удовлетворяют условиям аи{х)Мх)е L//;^(G); q(x)eL2loc(G), (0.3) при которых эти операторы корректно определены. Обозначим через Dloc(L ) множество функций ueL2l„c(G), для которых LueL2loc(G). Помимо условий (0.3) мы предполагаем коэффициенты оператора L имеющими такие локальные свойства, что выполнено

Условие А. Для всякой функции u(x)eDloc(L ) и любой ограниченной области Q (Q с: G) существует последовательность 1 функций из 1

C~(G), для которой ?/,„-» // в L2(Q.) и

Г,in Re(\|/L?/„,,;/w)/j(n)=Re<\|/L?/,//)A2(n) при любой вещественной функции \|/ е C0(Q).

Дифференциальное выражение Л/ вида (0.2), всегда можно записать в форме выражения L вида (0.1) с той же матрицей Л(х), но с другими Ь{х) и q(x), удовлетворяющими (0.3). В §1.1 приведены также условия на гладкость коэффициентов операторов L и М, при которых условие А выполнено автоматически.

В § 1.2 изучаются условия, при которых полуограниченность оператора L вида (0.1) влечёт его самосопряжённость в существенном. Известная теорема Березанского [10] показывает, что при весьма общих локальных условиях полуограниченность М влечет самосопряжённость Л/, если локальное волновое возмущение, распространение которого описывается уравнением //",+ Ми = 0, не может достигнуть границы области G за конечное время (ГКСР-условие). В случае G=R" это последнее требование изучалось в ряде работ (см., например, [82, 94]) и, как показано в [94, 113] оно равносильно полноте риманова многообразия /?" с метрикой, определённой матрицей /Г'(*)- Это условие полноты является типичным для работ о самосопряжённости дифференциальных операторов на многообразиях (см., например, [79, 123, 113, 161, 162, 166]). Его нарушение может приводить к потере самосопряжённости в случае G=R", bj(x)=q(x) = 0 (см. [107, 59]) и даже в случае полуограниченного оператора Штурма-Лиувилля в А2(-оо,+оо) (см. [30], замечание 1). Первым признаком самосопряжённости без условия полноты можно считать теорему Г. Вейля [170] для оператора Штурма -Лиувилля, многомерные аналоги которой и ряд родственных результатов получены в [125, 95, 166].

В §1.2 вместо полноты используется введенное в [20] понятие полумаксимального оператора.

Определение 1.2.1. Симметрический оператор Т в гильбертовом пространстве II называется полумаксимспьным, если для любого ueDr♦ такого, что Im {Т* и, и) = 0, найдется последовательность {ик элементов Dr такая, что ик—>и в Н и

1 im (Тнк,ик) = (Т*и,и). к-ух>

Лемма 1.2.1. 1°. Если симметрический оператор Т полумаксимален, то его полуограниченность влечет за собой самосопряженность в существенном. 2°. Если Т - максимальный в существетюм симметрический оператор, то он полумаксимален. 3°. Полуограниченный симметрический оператор самосопряжен в существенном тогда и только тогда, когда он полумаксимален.

В §1.2 показано, что при локальных условиях, сформулированных в §1.1, для произвольных открытого множества GczR" и матрицы функции А(х) старших коэффициентов оператора L найдётся локально-ограниченная в G функция q t(x), для которой из полуограниченности L-qf(x), вытекает полумаксимальность оператора L (последний может и не быть полуограниченным снизу). Функцию qA(x) мы и называем исправляющим потощиалом для А(х) в области G. Для получения конструкций исправляющих потенциалов в §1.2 доказана особая теорема, для формулировки которой рассмотрим такие функции р(дг) и а(л)е Lip)H(G), что

0<p(.v)->oo при x->dG, 0<o(x)<const. (0.4)

Условие (0.4) на р(д-) означает, что для любого N> 0 найдется такой компакт дdС, что при .veG\(31,v справедливо неравенство p(*)>N .

Пусть почти всюду в G выполнено условие o2(AVp,Vp)+(AVo,VG)<Cp'"> c>2<tp, (0.5) где констанп,i С,/;/>0, ос>0. Введем функцию a.r.(^)=(a+c)ea(/iVp,Vp),/2+(//Va,Vo),/2, где константы а>0, с>0 произвольны, а с - основание натуральных логарифмов. Отвечающую оператору L вида (0.1) в пространстве L2(G) квадратичную форму

Цф,ф)= J[(/iV(p,V(p)-2 Im( Уф, ф b (д:))+дг(дг) |ф | ^ (0.6) G можно считать определенной при феС0(С)П Lip}j*(G). Очевидно, что при феС^(С) справедливо равенство 1(ф,ф)=(£ф,ф). Предположим, что для ^eCn(G) справедливо неравенство

L(a(p,acp)+Cl|| стФ ||2 + С2|| Ф ||2>|| £а>пФ ||2, (0.7) где константы С,,С2>0, с>0, а константа а совпадает с одноименной константой в (0.5). Условия (0.5), (0.7) могут быть удовлетворены для любого оператора L (например, при а(х) = 0).

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условие Л и условия (0.5), (0.7).

1° Если найдется функция ^(л)е Lip)^c{G) , 0<ji(;c)-»oo при x—>dG, для которой почти всюду в G a2(/iVp,Vp)>(/lVH,V^i), то оператор L полумаксимапен, а потому из полуограниченности L следует его самосопряжённость в существенном.

2°. Если в неравенстве (0.7) С2 = 0 и найдется ц(д:)е Lip^c(G), 0<ц(л-)—>оо прих—>дG, для которой mes{x: a2(/JVp,Vp) = 0; (/iVji,V^i)>0 } =0, то из полуограниченности L вытекает его самосопряжённость в существенном.

Одну из конструкций исправляющего потенциала дает

Следствие 1.2.1. Пусть rjOO, р(*)>0 - функции из Lip)xJc(G) такие, что р(д')-»оо при x—>DG и с константами С, т>0 почти всюду в G выполнено неравенство lVp,Vp)+(/l Vrj,Vr|)<Cp"'-e2;/. (0.8)

Если при некоторых К>0 и 5>0 и всех (p6C^°(G) выполнено операторное неравенство

L(p,(p)+^||(p||2>J[5(/iVp,Vp),/2+(^VT1,Vi1)1/2]2 |ф| 2dx с а также условие А, то оператор L самосопряжён в существенном.

Из следствия 1.2.1 вытекает более удобное для использования и содержащее результат [169]

Следствие 1.2.2. Пусть функция 0<0(т) е С( [0,оо)) такова, что

0(т)Л = оо. - £сли При некотором К> 0 и всех (peC^°(G) выполнено неравенство ф,(р>+К|| <р||2> J( 1+0(л))2|Ф | с, с функцией 1](Л')g Lip)H(G), 0<i](x)—>со при x->dG такой, что при константах С, т > О

1 +02(i"|))(/f Vr|,Vr|)<C 4(0

J0(t>/T V О т

0.9) то при выполнении условия А оператор L самосопряжён в существенном. Из следствия 1.2.2 и некоторых общих соображений вытекает Следствие 1.2.3. Пусть выполнено условие А. Если при некотором К>0 и всех <р еСц (G) выполнено неравенство а

L<p,<p>+tf|| ф И2^ J(^Vii,Vii) |<р 12<& с функцией ц(х)е Lip{,ll(G), 0<ц(х)->со при x->dG такой, что при некотором С> 0 почти всюду в G

AVii,VTI)<CC2\ (0.10) то оператор L самосопряжён в существенном.

Исправляющие потенциалы, которые могут быть неограниченными снизу, описывает

Следствие 1.2.4. Пусть г(т)>5>0 такая функция из с'([0; оо)), что г'( г)- o(r2(z)) при т->оо, а функция |.i(x) е Lip)H(G) такова, что 0 < jii (лг) —> оо при x->dG. Пусть почти всюду в G выполнено неравенство yiVyi,Vn)<C т г(т)с/т -ехр 2 |г(т)с/т

V о о

0.11) с константами С, т> 0. Если при некоторых К, к> 0, е>0 и всех cpeC^(G) выполнено операторное неравенство а то при условии А оператор L полумаксимален.

Отметим, что условия (0.8)—(0.11) не являются ограничениями на матрицу-функцию А(х) и всегда могут быть удовлетворены надлежащим выбором оценочных функции.

В §1.3 устанавливаются условия на вещественную функцию q(x), при которых оператор Л/ вида (0.2) самосопряжён в существенном. При этом в формулировках теорем используется векторное поле f(x): G->R".

Теорема 1.3.1. Пусть А(х) и Ь(х) - соответственно эрмитова позитивная матрица-функция размера пхп и вектор-функция с п вещественными компонентами, определенные в открытом множестве GciR '. Пусть элементы Л(*) и компоненты Ь(х) непрерывны в G. Тогда для любого векторного поля f(x)GLipj"J(G) и для любой функции cpGCj,1 (С)справедливо неравенство

• /Цуср - /Ьср)Уф - /bcp)dx2f(vf - {A~xfJ%fdx. . а с,

Неравенство теоремы 1.3.1 является многомерным обобщением известного неравенства Харди (см.[109], /§ 9.8). Различные многомерные аналоги неравенства Харди, содержащиеся в [89, 140, 136], являются следствиями теоремы 1.3.1 при конкретном выборе векторного поля /(.г). Как известно, неравенство Харди и его аналоги широко применяются в спектральном анализе дифференциальных операторов (см., например, [1], [43], [140]). Поэтому теорема 1.3.1 представляет самостоятельный интерес.

В главе 2 мы доказываем и используем более общие неравенства (теорема 2.3.1).'

Из теоремы 1.3.1 вытекает

Теорема 1.3.3. Пусть для L=M ' выполняется условие А. Если потенцией оператора М вида (0.2) при некотором Kz* 0 почти всюду в G удовлетворяет, неравенству

Ф) * (лvri,vn)+(л"7./) - v7- А', с некоторой функцией ц (x)EzLipj(])c(G), 0 :£ i] (л*) —» » npttx-^OG такой, что выполнено условие (0.10), и некоторым векторным полем I(x)EiLipj"^(G)f то оператор М самосопряжён в существенном.

Следующие два утверждения являются примерами применения теоремы 1.3.3 и выводятся выбором функциональных параметров г|(л) и f(x). Пусть G={xERn, Xj>0, j=\,n}. Рассмотрим в L2(G) оператор М вида

• "Ч 2k 2 к 1

0.2) с матрицей A(x)=diag{л:," 1,х2 2,.>хп "} и с bj(x)GC (G). Обозначим этот оператор через S . к)

Следствие 1.3.1. Если в операторе S kj(j = \,n) - любые вещественные числа, а его потенциал </(л)eL2loc(G) и почти всюду в G удовлетворяет неравенству

Ф) > s kj*W

--к; 4 J х~Ъ2к> - К, с некоторым К> 0, то оператор S самосопряжён в существенном.

В области G={xelf: \х j\<a j, j=\,n) рассмотрим оператор М (0.2) с матрицей A(x)=c/iag х,

2 VI а /

2 \ ч а2 j h а jl .2 n и с bj(x)eC (G). k)

Обозначим этот оператор Sa .

Следствие 1.3.3. Если в операторе S^' k. (J=\,n) - произвольные вещественные числа, а его потенциал q(x)eL2[oc(G) и почти всюду в G удовлетворяет неравенству z

3-2 к, kj<2

V aJJ

2 \~2*kj

-К с константой К> 0, то оператор Sа самосопряэ/сеи в существенном.

Следствия 1.3.2, 1.3.3 показывают, что при ограниченности в окрестности гран ищи потенциала q(x) самосопряженность может быть обеспечена вырождением главной части выражения па границе области. Отметим, что в обоих случаях минимальная степень вырождения равна 3/2.

Содержание теоремы 1.2.2 не ограничивается возможностью построения исправляющих потенциалов. Непосредственным применением этой теоремы в §1.3 получен признак полумаксимальности с ограничениями на потенциал q(x) на некоторой последовательности слоев. Это позволяет исследовать вопрос о самосопряженности полуограниченных операторов с осциллирующим у границы потенциалом. Осциллирующие потенциалы встречаются в теории рассеивания (см. [90], с.80).

В §1.4 показано, что при замене полуограниченности L некоторым операторным неравенством самосопряжённость Ъ вытекает из самосопряжённости в существенном заведомо полуограниченного оператора (теорема 1.4.1). Операторное неравенство в качестве одного из условий самосопряжённости неполуограниченного эллиптического оператора второго порядка впервые использовалось в [92], а высших порядков - в [30]. Теорема 1.4.1 является аналогом результатов, полученных в [92, 93, 98, 146, 80, 81, 121, 97, 140]. В этих работах при G = R" и некоторых дополнительных условиях самосопряжённость эллиптических операторов устанавливается при выполнении тех или иных операторных неравенств, а для соответствующих полуограниченных операторов может быть гарантирована автоматически. Теорема 1.4.1 позволяет обобщить на ненолуограниченные операторы теорему 1.3.3.

Пусть функции г|(д:), v(x) и векторное поле f(x):G-^R" таковы, что

1) ц(х), v(x) е Lip™(G); Дх) е Lip™{G);

2)0<v|(.v)->oo при x->dG, v(x)>0;

3) почти всюду в G выполнены неравенства

V^Vi^Ce2", (ЛVv,Vv)<C при некотором С>0.

Теорема 1.4.3. Пусть для L = M выполнено условие А. Если потенциал оператора М вида (0.2) при некоторых /с, К> 0 почти всюду в G удовлетворяет неравенству

4(x)>(AVn,Vn) + (A~lfJ)-Vf-kv2~K, где для функций ц (х) и v(.x) и векторного поля f(x) выполнены условия 1 )-3), то оператор А/ самосопряжён в существенном.

§1.5 посвящен признакам самосопряженности оператора Шредингера. Все его результаты вытекают из теоремы 1.4.3 при соответствующем выборе функциональных параметров /(*), r|(.r), v(a:). Рассмотрим оператор

Su = -(V-ib(x))2u+q(x)u, Ds= С0°°(G) в случае, когда G^r\ bj(x) е c\G). Оператор s является частным случаем оператора А/ при А(х) = /„. Обозначим через 8(х) регуляризованное расстояние точки д: до множества R"\G. Под регуляризованным расстоянием 2 мы понимаем функцию 5(.v)e С (G), удовлетворяющую неравенствам

С,dist(.v, R"\G)<5(л-)<C2dist(х, R"\G), с некоторыми С(, С2> 0, а также условиям

V5| < const', |Д5|<СО""'1+6).

Такая функция всегда существует и может быть построена, например, с помощью процедуры, описанной в [104, с.203]. При J(A) = dist(.v,/^"\G)eC2(G) ниже считается, что Ь(х)=с1(х). Пусть а(дг), у(дг) -определённые в G функции, удовлетворяющие глобальному условию Липшица a(x),v(x) eLiPi(G). (0.12)

Предположим, что v(x)> 0, | а(дг) | <со/75/, (0.13) а также, что при некотором с>0

7/?/|V5| > 0, (0.14) где ПЕ = {л*: л* g G; dist(.v, R"\G) < с}.

Теорема 1.5.1. Если потенциал оператора S q(x) е L2I(K(G) и почти всюду в G удовлетворяет неравенству 1 -а + а2, ,2 Ад J 2 П q(x)>---|V5| +а —-Cv2+о о v о с константой С>0 и функциями а(х), v(x) и 5(дг) , удовлетворяющими условиям (0.12)-(0.14), то оператор S самосопряжён в существенном.

С каждой точкой х0 дифференцируемого многообразия без края ГаЯ" размерности к свяжем декартову систему координат, в которой первые к координатных ортов находятся в касательном многообразии к Г в точке .х0.

Обозначим через Nr.c класс таких дифференцируемых многообразий rczRn без края, что для любой точки х0еГ сфера радиуса г с центром в точке д:0 вырезает из Г участок Гх задаваемый в указанной системе координат с началом вд*0 уравнениями

Xj=fj(X|>*2» ' **)» J = k +

2 к где функции/^л:,,.^,., хк)еС (R ) и при некотором С>0

D fj(xvx2,хк) <C,j=k + \,n для всех мультииндексов а, | а | <2. При этом г и С не зависят ot„y0.

Линейное многообразие принадлежит при любых г и С>0. Любое компактное многообразие без края класса С<2) принадлежит при некоторых г, С.

Пусть область G такова, что аС7=иГ,., (0.15)

6 л' где /V - не более чем счетное множество, a r.(ieN) - многообразия размерности 0<£,</?-1, принадлежащие классу К,при некоторых, независящих от /, г и С>0. Пусть также y= inf dist(r{ Г,)>0. (0.16) i./'CiV ' J

Теорема 1.5.2. Пусть в области G вида (0.15), (0.16) потенциал оператора S q(x) = q](x) + q2(x), где q^x) е L2loc(G), q2(x)eL30(G). Если при некоторых константах с (0 <с <у/2) и К>0 и функции 1 <v(jc)e Lipx(G) у'довлетворяются неравенства с(,) s - (" -*'X'lj- */ - 4)[rffafr, Г,Г - Г,)Г+ v'(4 при л/обол i ieN, 0 < dis t (х, Г.) < с; q,{x)>-Kv\x), при л е Р) {.ve G; dist(x, /",)>c}, то оператор S самосопряжён в с Л" существенном.

Эта теорема является прямым обобщением результата работы [148], в которой Г. - линейные многообразия, а константа К= 0.

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из N> 1 взаимодействующих частиц, для которых совмещение невозможно из-за действующих на малых расстояниях сил отталкивания. Пусть положение kтой частицы характеризуется вектором xk<=R"'. Физический смысл имеет лишь случай //7=3, но мы считаем т любым натуральным числом. Положение системы характеризуется ////V-мерным вектором х = {.х,,л:2,.,л:л,} е RmN. Обозначим через Rkj подпространство = Пусть область

G = R"'X\\jRkJ. (0.17) kj

В пространстве L2(G) рассмотрим оператор

I^-tajiVj-ibjix))2 +q(x) (0.18)

7 = 1 с областью определения Dn=C^(G). Здесь константы ау>0, Vy - градиент по переменным = {vl0),.v2(y),.,^/;i0)}, bj(x) - вещественные ткомпонентные вектор-функции из c'(G).

Теорема 1.5.3. Если потенциал оператора Н вида (0.17), (0.18) </(.г) е Llhc{G) и почти всюду в Gудовлетворяет неравенству

Ф) * z j<k \ т(4-т)(а,+ак) у(а;+ак) х j - хк

ГУ"**! у

-Kv2(x)

4. с константами у, К> 0 и функцией v(x)&Lipx(G), то оператор Н самосопряжён в существенном.

Как показывает построенный в §1.5 пример, уменьшение константы т(4-т)/4 в теореме 1.5.3 невозможно, но крайней мере, для системы двух одинаковых частиц (N=2, <7,=л2) в слУчас (-v,) = (-v2) = 0.

Вопрос о самосопряжённости в существенном внутреннего гамильтониана системы одинаковых частиц с сильным двухчастичным взаимодействием изучался в работе [122], результат которой трудно сравним с теоремой 1.5.3. В отличие от этой работы теорема 1.5.3 охватывает системы различных по массе частиц, испытывающих кулоновское притяжение и находящихся во внешнем поле, в том числе и магнитном.

Первое строгое определение самосопряженной реализации гамильтониана (полного и внутреннего) для системы из конечного числа частиц, взаимодействие которых описывается потенциалами без сильных сиигулярностей (например, кулоновскими), было дано Като [143]. Более общие результаты в этом направлении были установлены Штуммелем [164] и Икэбэ и Като [134]. Эти работы позволили перейти к исследованию спектральных свойств гамильтонианов систем типа атомов и молекул. Основополагающие результаты в этом направлении принадлежат Т. Като [144] и Г.М. Жислину [44] - [46]. Монографии [52], [91] отражают прогресс, достигнутый в этом направлении в последующие годы. Вопрос о самосопряженности гамильтонианов систем частиц с сильными сингулярностями потенциалов взаимодействия впервые рассматривался Иоргснсом [135]. Теорему 1.5.3 можно считать усилением этих результатов Иоргенса.

Квантово-механическая задача для N материальных точек на прямой, взаимодействующих с потенциалом, пропорциональным обратным квадратам расстояний, была изучена Калоджеро и Марчиоро [118, 119]. Калоджеро определил явные выражения для спектра в этой задаче.

Глава 2 посвящена описанию некоторого класса операторов М вида (0.2), для которого справедливо обобщение теоремы Г. Вейля [170]. При этом в §§2.1 и 2.2, как и в главе 1, считаем выполненными локальные условия (0.3) и условие Л. Дополнительно позитивная матрица Л(х) считается вещественной, а потенциал удовлетворяет почти всюду в G неравенству q(x)> const, (0.19)

В §2.1 приводится формулировка многомерной теоремы Вейля и выводятся некоторые следствия из нее. Рассмотрим область вида

G=G]xG2x.xGk, к> 1 , (0.20) где открытые множества GjQRn} (Znj=n). При xeG будем писать х= {Jc,,Лг2»• • •»}> г№ Xj € Gj. Основные ограничения относятся к множеству G\Q, где область

Q=Ql*Q2x.xQk, (0.21) a Q. - ограниченные открытые множества в R"1, такие, что Q.cGr j j j

Теорема 2.1.1. Пусть для определенной в G вида (0.20) симметрической позитивной матрицы-функции /1(.г) найдется такая область О вида (0.21), что при xeG\Q /!(*) имеет блочно-диагональный вид

A(x)=</iag {ау ( (хЩ (x ,)},, где ху e Gj\QJt a.(•)-определенные в Rl положительные функции из С'(/?'), Hj(Xj) -такие функции из CUX(Gj\Q.), что |V|.i .|>0 и ij(xj)->cо при x—ydGj, a Bj(Xj) - матрицы-функции размера пхпу с элементами из Lipxloc{Gj\Q J), удовлетворяющие неравенствам

V(/iy Vjii2y)>0, почти всюду в G.\Qr (DjVyij, S7\ij)<const, xj g Gj\Qj.

Тогда при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М вида (0.2), (0.19) с такой матрицей А(х) самосопряжён в существенном в пространстве L2(G).

Теорема 2.1.1 содержит теорему Г. Вейля п качестве частного случая, что показывают

Следствие 2.1.1. Пусть G=R". Если в операторе М матрица А(х) при |.v|>yV>0 имеет вид

A(x)-iliag {я, (х, ), а2 (х2),., ап (х„ )}, где ау(-) - положительные функции одной переменной из c\rX), то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

Следствие 2.1.2. Пусть G=R ". Если матрица А(х) в операторе М при |x|>vV>0 имеет вид

A(x)=a{yi(x))I п, где 0 <л(-)еС'(л'), функция p(.v)e (f(R"\{х: |x|<N}) такова, что р2 (д-) —» оо при J х | —> оо и

Др2(х)>0, 0< j Vp|<com7 , то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

Пусть снязная область GqR" является полным римановым многообразием с метрическим тензором В~\х), где симметрическая матрица-функция /1(х)>0. Рассмотрим семейство геодезических, проходящих через некоторую точку х0. Пусть эти геодезические не имеют точек пересечения (кроме x0). Они покрывают область G (см. [54, стр.167, теорема 4.2]). Если j - канонический параметр на геодезической, то в области G можно определит!» векторное поле где .v(.v) - геодезическая семейства, проходящая через точку .v. Это векторное поле будем называть центральным геодезическим потоком, исходящим из точки д*(). Обозначим также через г(х) - расстояние точки л* до х0 в метрике римаиова многообразия.

Следствие 2.1.3. Пусть связная область G является полным римановым многообразием с метрическим тензором В '(х), где позитивная матрица-функция В(х)е с'(<7). Пусть также существует исходящий из некоторой точки х0 центральный геодезический поток p(x)eC](G), удовлетворяющий неравенству

V/)(*)>--!-, xeG\{x0). г(х)

Если в операторе Мматрица А(х) при r(x)>N>0 имеет вид

А{х) = а(г{х))В{х), где 0 <а( •) е с'([0,оо)), то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

Возможность в теореме 2.1.1 случая G " показывает

Следстнис 2.1.4. Пусть облаешь G является полосой в R : <7= {д-е /?'; - оо<л*|<оо, - h <х2 < h }, в которой задана функция (лг)= /х,2 - И2 In

2 >

1-Ц А1/ с константой ае (0, х/г ]. /Тел// ///w > 0 матрица А (х) в операторе М имеет вид

А(х)= а( ц) О О 2 ^2 i-i л2/ у где 0 <<?(•) е С ([0,оо)), то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

В §2.2 для доказательства теоремы 2.1.1 строится особая конструкция и а кр ы ва I о i це го с е м с и ства.

Назовем семейство функций v|/(x, т), определенных в G, с параметром те [Tq,oo) накрываю1цим область G, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1с) 0<У|/(дг, т) е C(Gx[t0,co)) и при любом х е [х0,оо) л-, х)е C0(G)flC(l,,)(suppv|/);

2с) открытые множества QT=Int supp\|/(x, т) (QT=supp\|/) расширяются с ростом т, то есть: т2>т, => Qtcfit;!. При этом для любого компакта Rc-G при достаточно больших т Rcz Qt;

Зс) при любом х е [т0,оо) 5Qt состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых гиперповерхностей, причем для любой точки хе G\QTq существует единственное значение х, при котором л* е 3fiT

4с) условие Зс) определяет функцию

О), x=p(x)e/Jpfoc (G\QTo);

5с) при каждом xeG

Jv|/ (л% T)C/I=qo.

В дальнейшем используется вектор-функция (V^vj/) J х=р(т), которая понимается в смысле предельных значений Vri|/ на <3QT из внутренности области QT.

Теорема 2.2.1. Пусть для оператора М выполнены условия (0.3) н условие А, а также существует накрывающее область G семейство, с которым симметрическая матрица А(х)>0 старших коэффициентов оператора Мудовлетворяет неравенствам

Vx(A Vrv|/)<Cv|/, почти всюду в QT (т>т0); T=p(r),Vp)>-C, почти всюду в G\QTo с некоторой константой С>0. Тогда оператор М вида (0.2), (0.19) самосопря.жён в существенном.

Теорема 2.1.1 является следствием теоремы 2.2.1 при особом выборе накрывающего семейства.

В §2.3 рассматривается связанный с теоремой Г.Вейля вопрос о замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле.

В главе 3 изучается вопрос о полумаксимальиости дифференциального оператора вида

L = {-A)"'+ q(x), q(x)eC(R"), \mq(x) = 0, DA=CQ2"'(/?"), (0.22) действующего в пространстве L2(R"). В §3.1 установлены достаточные условия полумаксимальиости этого оператора (теорема 3.1.1). Из этой теорем!,i получен ряд следствий. Приведем одно из них, которое при //7=1 переходит в теорему Повзнера.

Следствие 3.1.1. Если потенциал q (.v) оператора L удовлетворяет неравенству q(x)>-KQ(\x\) с некоторой константой К>0 и функцией 1 < Q( t) е С2"'([ О, оо)), удовлетворяющей условиям. г -(/;/-I )/2w. . .

J Q U)dt= оо; dJ —^ — 1 / 2 hi dtJ

-о - I )/2m const, 7 = 1, /77, я оператор L полумаксимален, а в случае его полуограниченности -самосопряжен в сугцественном.

В §3.2 строится пример, показывающий, что полуограниченности оператора L вида (0.22) для его самосопряженности в существенном недостаточно.

Рассматривается оператор L (0.22) ири /// = 2, /7=1, т.е. оператор, имеющий вид

М- + </(лг), Dm=Cq(R1), (0.23) dх где q(x) =v(IV)+7(v")2+6vV" + 16(v')2 v"+4(v')\ (0.24)

4 i v(.v)eC (/? ) - вещественная функция. Для оператора Л/ справедливо с л е ду ю щее н р ед ста в л е н и е:

Ми = 1^/1и, где lx=elc~\ i;=e~vle\ 1 - [2 v'4 (у')2]. (0.25) dx

Обозначим через 7*0(т) минимальный замкнутый оператор, отвечающий дифференциальному выражению т на полуоси [0, оо).

Предложение 3.2.1. Оператор М вида (0.23), (0.24) является позитивным оператором в L2{R'). При этом если оператор Г0(/), где I — дифференциальное выражение вида (0.25), имеет индексы дефекта (2,2) и v(.v) | < const, то оператор Т0(М), где М - выражение вида (0.23), (0.24), имеет индексы дефекта (4,4).

Далее в §3.2 описан класс ограниченных функций v(x), для которых оператор Т0(1), отвечающий выражению / (0.25), имеет индексы дефекта (2,2). Тем самым попутно дается положительный ответ на вопрос: может ли оператор Т0(М) для М вида (0.23) иметь индексы дефекта (4,4). Положим v(x) = pO(jcY) (х>0), (0.26)

4 | где Ф(0 - вещественная периодическая функция периода I из С (R ), причем Ф(/)^ const, а у>2 и ц- вещественные константы. Справедлива следующая

Лемма 3.2.4. Если при некотором у>2 1 -периодическая функция Ф(0 е С2 (R1) удовлетворяет неравенству

J |ф'(0 (J |ф'(0 12dtf\ (0.27) о ' 4 Y -1 о ' то найдется такое 5>0, при котором для каждого вещественного р такого, что 0< |р| <5, все решения уравнения

-7"-{2р[Ф(хУ)]"+р2[ф(.ГГ)]'2}7 = 0 принадлежат L2 ( [ 0, оо) ).

Лемма 3.2.4 сводит задачу построения позитивного оператора М с ненулевыми индексами дефекта к построению 1-периодической функции О(/), удовлетворяющей условию (0.27). В качестве Ф(0 можно взять,

Т> 1 например, функцию из С (R ) вида

ПО ф(0= Jc.)r(| t-т I ) ^/IsinTtxIc/x,

-00 где coc( | t-т |) - бесконечно гладкое усредняющее ядро (см. [6], с. 39). Такая функция Ф(/) является 1-периодической и для любого у>2 при достаточно малом s>0 удовлетворяет условию (0.27).

Следствие 3.1.1 гарантирует нолумаксимальность оператора L при условии (лг)> — ATjл*|2(|*|>1). Наш пример показывает, что показатель степени 2т/(т- 1 ) нельзя увеличить, по крайней мере, при т= 2. В главе 4 рассматривается дифференциальное выражение

Lu=Yjaa^)Dnu , (0.28) а\<<т где хеСс/?", «(1(л*) - квадратные матрицы порядка г, элементы которых суть комплекснозначные функции, и{х) - /-компонентная вектор-функция.

11а коэффициенты a,t(.v) наложены следующие условия гладкости

M*)eC°+lal(G), |a|<a;aH(x)GCmax{o+2-2"}(G), | а | =а, а также условие эллиптичности det(2>a(*)Se)*0 а|=а при xeG, ^eR", Ul*0.

В §4.1 на рассматриваемые дифференциальные выражения распространяется принцип расщепления.

Пусть L3 - произвольное замкнутое расширение минимального оператора LJ);, отвечающего выражению (0.28) такое, что

Lm cL3cLw, xeGcR\ a L?CjXп- замкнутое сужение L3 на функции, каждая из которых равна нулю в какой-либо окрестности ограниченной области Q такой, 4toQczG. L3gxq -плотно заданный замкнутый оператор в пространстве L2( G\ Q)

Теорема 4.1.1. (принцип расщепления) Предельные спектры L3 и L3CX совпадают:

C(L3)=C(L];xn).

Для несамосопряженных сильно эллиптических операторов второго порядка другой подход к обоснованию принципа расщепления дан в работе И.И. Голичева [38].

Всюду ниже до конца введения рассматриваются операторы,

С помощью принципа расщепления в § 4.1 доказана также Теорема 4.1.2. Если Lm имеет хотя бы одну регулярную точку, то его резольвента вполне непрерывна тогда и только тогда, когда

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка теорема 4.1.2 доказана В.В.Мартыновым [68]. Эта теорема дает необходимые и достаточные условия чистой дискретности спектра оператора Lm при дополнительном предположении существования хотя бы одной регулярной точки. Это предположение существенно. Например, у оператора Lm, отвечающего выражению Lu = du/dx+xu (п = г=<з= 1), спектр состоит из собственных значений, покрывающих всю плоскость. Основное условие теоремы 4.1.2 для него, тем не менее, выполнено. Отметим, что теорема 4.1.2 применима к неполуограниченному самосопряженному оператору Lmy спектр которого может быть дискретным даже в случае оператора Штурма-Лиувилля (см. [116], [48]). В работе [105] изучались вопросы о спектре самосопряженных расширений неполуограниченного симметрического оператора Lm в одномерном случае при /*= 1.

В § 4.2 выводится важное для дальнейшего представление выражений в частных производных в виде суперпозиции одномерных операций. порожденные эллиптической системой L в L2r(R").

• = со.

Через (о обозначим единичную сферу в R

0={цеД": Iг| | = 1}, а через дп - производную по направлению rj:

К=(чУх)к =(fj4Jl?-)k,xeR,\ песо.

Пусть jli(г/со) — неотрицательная мера на со. Обозначим через /^'(ri) однородный полином степени | а |, определяемый (если это возможно при данной мере) системой равенств

J/£(n)nV№) = (VP :|р|) = |а|)

Всякое дифференциальное выражение L (0.28) представимо в виде о

Lu){x) = J и(хЖ<1со) (0.29) »=0 с некоторой неотрицательной конечной мерой р на со. Причем матрицы tfv(.v,v|) (v= 1,ст) могут быть выбраны непрерывно зависящими от r|, а я0(л-,11) - вовсе не зависящим от г| а0(х,ц) = а0(х).

В качестве меры р всегда может быть взята мера, сосредоточенная на множестве Qcco, на котором ни один из однородных полиномов степени <а не обращается тождественно в нуль, и тогда можно положить

M=v

Всюду ниже все функции, зависящие от г|, считаются непрерывными относительно совокупности входящих в них аргументов, а все условия, содержащие г|, считаются выполненными р-почти всюду па со при какой-либо фиксированной для рассматриваемого оператора мере р на со.

§ 4.3 носит вспомогательный характер. 13 § 4.4 лается описание двух классов дифференциальных выражении , для которых Lm =L\,, в терминах неравенств вида

II ^Ф Ц2 + const I ф ||2 > L(ф, ф), (0.30) где Цф,ф) - некоторая квадратичная форма (форма сравнения), и некоторых связей коэффициентов выражения L с коэффициентами этой формы. Первый из этих классов выражений связан со следующей формой сравнения

ЦЛ(Ф,Ф)= (0-31)

1{".х/-> где константы z,K>0, а скалярные функции я(л:,г|)>0, 1<<7(дс)<оо удовлетворяют условиям г,Л)еС'(/?"). q~l(x)eCn(R"y, (0.32)

4,V,)[a(x,4)q~\x)]\<C (о> 1 )'; (0.33) апУ q~°{x)\ <Са-\х,ц)д-{а~Л(х), (/=й0; (0.34) a4V(*)| <zcr(x)aj(xs\)q-ia-j\x) О-Г^), (0.35) где Р(х) - функция из Cn(R") такая, что

0</,(.v)->oo (|.v | —>оо). (0.36)

Заметим, что равенство q(x) = co на множестве положительной меры не исключается. Полагаем всюду 0-оо=0. В качестве области определения формы Ц.л', Dq возьмем множество вектор-функций ф таких, что supp<pf| {х:</(х) = оо }=0. Теорема 4.4.1 Пусть форма 1Е-/;(ф,ф) (0.31) удовлетворяет условиям (0.32)-(0.35), а коэффициенты дифференциальной операции L (0.29) при .ve {v: q(y)*<x>} — неравенствам as(x,i})\<Cas(x,4)qn~s(x), s = l,a.

При o=l условие (0.33) отпадает.

Цели при некоторых s:, A', Л'Х) для <р <?Д,Г) С„" (R", (/V, ад)) выполнено неравенство (0.30) с А(ф,ф)ггАг.л((Р,ф). то минимальный н максимальный операторы, отвечающие выражению L, совпадают, и для каждой вектор-функции и(х) е u сходятся интегралы

JV(.\V1)<f2J(x) |^//(.v)|2n((ho)(ix<co, где j-0, 1, . , ст.

Заметим, что в случае, когда я(,у,г|)=л(\х |), q(x)=q( |.v|), условия (0.32)-(0.35) на коэффициенты формы 1г.д(ф,ф) выполнены, если: сГ dt

-I

-К

ИОЧ (01 М0</ (О] ./'= 1,ст-1 (только при ст>1);

Г dt

- <i\t)} <Са~\()<Г V), 7 = 1,а; а \t)q~°*\t)dt = оо. о

Второму из упомянутых классов выражений соответствует форма сравнения к(Ф,Ф)=г. JI//2°(ami) р,"ф|2 + ^2я(дг) |ф |2]р(</(0)г/х, (0.37) где константа с>0, а скалярные функции //(.г,г|), £(.v)>0 обладают следующими свойствами: ami), x(x)eC\R"); (0.38) dnk°-\x)h\x,4)]\<Cza-S+\x)hs-\x,4), (0.39)

0.39) требуем лишь при ст> 1 ); существует функция /'(.г),удовлетворяющая условию (0.36), и константа 5>0 такие, что

П(х)>х(х), xeR" (0.40) п мри |.v| ->со равномерно по 1] из множсстна полной меры ц на <» <?,( Р( х) |Л\ у) [ д (.v) U ■'' (л Ml) J '-> 0 (/ = U )• (0.41)

Теорема 4.4.2. Пусть форма Lr(<p, <р) (0.37) удовлетворяют условиям

0.38)-(0.41), а коэффициенты дифференциальной операции L (0.29) -неравенствам as(л*, 1]) < С Ii\x,ц) s = \,g. ii

Если при некоторых с, N> 0 для ф е С0 (R , (/V, со)) выполнено условие (0.30) с 1(ф,ф)=1.г(ф,ф), то минимальный и максимальный операторы, отвечающие вы/)ажению L, совпадают и для каждой вектор-функции и(х) е D, ^ сходятся интегралы л.-» где j~\,G.

§§4.5,4.6 в качестве следствий из теорем 4.4.1, 4.4.2 получены достаточные признаки равенства /„,„ =/,Л/ в терминах лини, коэффициентов выражения L. При этом неравенства типа (0.30) выполняются автоматически. Приведем некоторые из этих результатов.

Теорема 4.5.2. Пусть а(х, Г|)=1 и 1<с/(.г)<оо удовлетворяет условиям (0.32)-(0.35), коэффициенты ап(х) выражения (0.28) при |а|=а равномерно непрерывны в U- {х: </(х) * со } и при х е U sup i'm f v1 с.

Тогда, если при х е U ап(х) <С<Г1"\х), |а|=0,а, то минимальный Lm и максимальный Lu операторы, порожденные выражением L, совпадают.

Заметим, что п случае а(х, 1])= 1, cj(x)=(j( \х |) и теореме 4.5.2 условия (0.32)-(0.35) можно заменить следующими

Теорема 4.5.2 является обобщением результатов Ф. Браудсра [117] и П. Гесса [133], относящихся к выражениям с ограниченными коэффициентами. Эта теорема аналогична теореме Титчмарша-Сирса [106, 60]. Для сильно эллиптических скалярных операторов в неограниченных областях родственный результат получен В.И.Шевченко [115]. В §4.5 установлены условия равенства Lm ~L\, с ограничениями на последовательности слоев, уходящих на бесконечность, аналогичные результатам работ [49, 35, 30].

Первые результаты о существенной самосопряженности эллиптических операторов высших порядков с неограниченными коэффициентами установлены А.Г. Коспоченко [56] в связи с исследованием распределения собственных значений таких операторов. Паша теорема 4.5.4 выделяет из формально самосопряженных, сильно эллиптических выражении класс, качественно близкий к рассмотренному в работах А.Г. Костюченко [55, 56].

Сформулируем также следствие из теоремы 4.4.2 полученное в §4.6. Подчиним функции /;(д-,г|), #(*) дополнительным условиям, кроме (0.38)—(0.41). Пусть //(д*,11) не зависит от ц, т.е. //(л,г|) = /?(*). Предположим, чю существует функция P]{x)eC2(Ji") такая, что 0</\(.v)—п-и для каждой константы Д/Х) найдется такая константа

I ' |\!-»/

С(Л/)>0, что гг о v)// оо» (у)<С{М)

-I

-1

0.42) прп л\геб7'\(7,Т| (т,>т2), где t2•!,"'<Л/, a G',T= {x:xgR\ P,(x)<z }. Кроме того, предположим, что найдутся такие константы с, С>() для которых при | -V | > Л'>0 cg(x)/i\x)< | V/>,Cv)l <Cg(x)If\x). (0.43)

Обозначим через Цх,^) символ или характеристический многочлен, отвечающий дифференциальному выражению L (0.28): ко

Теорема 4.6.1. Пусть функции h(x), £ ( .y ) > 0 удовлетворяют условиям (0.38)—(0.41) и (0.42), (0.43), а коэффициенты дифференциальной операции L (0.28) - соотношениям v)|<C/-H(.v)/;H(.v), |«|=0Я ох

М-*) 4nH"|f,(-v)//H"'(.v)) (|.v| —> со), j—\,n; |а| = 0,a.

Тогда, если при некотором N> 0 выполнено неравенство det/.(.v^)|>cL/;n(A-)Ur+/(.v)Jr, с?<)е |л* | >iV, % € R', г. = const >0, то минимальный и максимальный операторы, отвечающие выражению L совпадают.

В § 4.7 устанавливаются критерии существования регулярной точки и чистой дискретности спектра оператора L,„. При этом мы ограничиваемся классом выражений теоремы 4.4.2. Достаточные условия существования регулярной точки несамосопряженного сильно эллиптического выражения второю порядка получены в [39].

Наряду с формой сравнения 1,.(ф,ф) (0.37) рассмотрим квадратичную форму л-О где 1 > b ( л ) - измеримая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при |.v|—><■/).

Теорема 4.7.1. Пусть функции //(ami), ^(.v)>0 удовлетворяют условиям (0.38) - (0.41) и для коэффициентов дифференциальных выражений f

L, L (0.29) выполнены соответственно неравенства

Kf(.v,il))| , K(.v,ii))|<C/;v(AMl)/"?(.v), где xeli", 5=1,ст. Пусть также существует такое неограниченное .множество А точек комплексной плоскости, что при некоторых С, с> 0 для ХеА и ф е С„' (R") имеют место неравенства

-Н)ф||2>1г(Ф,Ф)-С[ф]2/,п.1;

11(//-а:/;)ф1Г>МФ,Ф)-С[Ф]2

Тогда:

1°. Если £(.\*)>1 и |а 0(л')| <Cg"(x) , то все точки множества А, лежащие вне круга |А.| <R при достаточно большом R>0, являются регулярными для оператора Lm~ Lu.

2°. Если &(л')->0° (|а|—>со), то спектр оператора Lti=Lu чисто дискретен (точнее, резольвента Lm вполне непрерывна) и в множестве А может находиться лишь конечное число собственных значений. Одним из следствии теоремы 4.7.1 является

Теорема 4.7.2. Пусть функции //(.\\r|) = //(.v), g(x)>0 удовлетворяют условиям (0.38) - (0.41) и (0.42), (0.43), а коэффициенты дифференциальной операции L вида (0.28)- соотношениям v)|<Cff'H"l(.v)/,H(.r), xeR'i Щ гг)с|сх| =0,а; |[*| = 1,|«| при |сх| >0; |Р|Н /;/;//1сх| = 0. Пусть также существует такое неограниченное множество А точек комплексной плоскости, что для X е Л ; л' , € R" выполнено неравенство dct(/-(.y,5 ) - * с I /,"(*) +ga(x)} при некотором с> 0.

Тогда: 1°. Если g(x)> 1, то существует R> 0 такое, что множество ЛП { А.: |Л| > R } состоит из регулярных точек оператора Lm - LX!.

2°. Если g(x)->oо ([л' [ —>оо). то спектр оператора Lm = LSf чисто дискретен (его резольвента вполне непрерывна) и в множестве Л может находиться лить конечное число собственных значений.

Заметим, что условия па производные коэффициентов alt(x) в теореме 4.7.2 нельзя ни отбросить, ни ослабить заменой о на О, как показывает пример самосопряженной одномерной системы Дирака вида

Ти = о 1 Y-ппсл

-I 0 du 1 2 — -I— Л dx 2

-cos л" — sin Л" v-sill.Yy COS.Yr J где у - вещественная константа, /•=2, /; = а=1. Нетрудно видеть, что выражение Т удовлетворяет при ()<у<3 условиям теоремы 4.7.2 с S(.y)=.y2+1, h(x) = 1 (P(x) = I\(x)= |д*|3 (|.y|>1)).Поэтому при 0<у<3 но теореме 4.7.2 спектр оператора Тт чисто дискретен. Можно показать, что при у-3 его спектр заполняет всю ось (-оо,оо). С другой стороны, за исключением требования — а0(х) - o(g2(х)), которое здесь выполняется dx лишь в ослабленной форме - при замене o(g(x)) на 0(g(.y)), все остальные условия теоремы 4.7.2 (вариант 2°) выполнены.

Отметим также, что теорема 4.7.2 тесно соприкасается с результатом В.В. Грушииа [40], полученным иным методом. В частности, содержащийся

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ 41 БИБЛИОТЕКА в теореме in [40] признак чистой дискретности спектра полностью охватывается теоремой '1.7.2.

Для выражения Л/=(-А) + Q(x) (/•= 1, а = 2///)с комилекснозначной функцией Q(x) в § 4.7 доказана чистая дискретность спектра оператора Мт при ослабленных, по отношению к теореме 4.7.2, условиях на регулярность поведения (?(.v) (теорема 4.7.3). Для выражения + с dx комплексным Q(x) условия дискретности спектра изучались в работах М.А. Наймарка [76], В.1>. Лидскго [64], Е.С. Пиргера [11], и А.Г. Алсницына [3]. Вытекающий из теоремы 4.7.3 для этого выражения признак дискретности спектра близок к полученному в работе А.Г. Алепицыпа [3].

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17-30] и неоднократно докладывались автором на конференциях и семинарах, в том числе, на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, май 2001г.), на Международной конференции но теории функции и математической физике, посвященной 100-летию I I.И. Ахиезера (Харьков, август 2001г.), на Международной конференции по функциональному анализу (Киев, август 2001г.), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (Москва, июнь 2003г.), на семинарах в МГУ (руководители проф. А.Г. Костюченко и проф. А.А. Шкаликов), па Харьковском общегородском семинаре (руководитель акад. В.А. Марченко).

Некоторые результаты опубликованных но теме диссертации работ отражены в ряде монографий и обзоров других авторов (в книге [86], в монографиях [85], [99] и обзорах [152-154]). Ч

ГЛАНД I. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ сильно ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА В L2(G) И МЕТОД ИСПРАВЛЯЮЩИХ

ПОТЕНЦИАЛОВ

В этой главе рассматриваются эллиптические дифференциальные операторы в пространстве L2(G), записываемые в следующих двух формах:

Li/ = -V(/f(*)Vw)+ /[V(6(jr)i#)+(Vw,6(*))]+fy(Jc)„, D,=C?(G). (1.0.1) Mu = (V-ib (x)HA(x)(V-ib (x))u)+cj(x)u, Du~Cq(G). (1.0.2) Здесь A(x) - положительная эрмитова матрица-функция, b(x) - n-компонснтпая вектор-функция с вещественными компонентами, q(x) -вещественная функция, G - произвольное открытое множество в R".

Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [21]-[24], [27].

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Брусенцев, Александр Григорьевич, Белгород

1. Агранович М.С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей // УМН.-2002.-Т.57.-ВЫП.5.-С.З-78.

2. Александрян Р.А. , Березанский Ю.М., Ильин В.А., Костюченко А.Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными. Дифф. уравн. с частными производными.- Труды симпозиума, поев. 60-летию ак. СЛ. Соболева.- М.: Наука-1970.

3. Аленицын А.Г. О возмущении несамосопряженного оператора Шредингера с дискретным спектром // Сб. «Проблемы матем. физики» -Изд. ЛГУ.-1971.- Вып.5.

4. Ахиезер И.И. Вариационное исчисление.- Харьков: изд."Вища школа".-1981.- 168с.

5. Ахиезер И.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-Т.2.-1978- Харьков: Изд. Харьков, гос. университста-1978- 286с.

6. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям. -Киев: Наукова думка-1965 800с.

7. Березанский Ю.М. Самосопряженность эллиптических операторов с сингулярным потенциалом // УМЖ .-1974.-Т.26.-№5.

8. Березанский Ю.М. Одно замечание относительно существенной самосопряженности степеней оператора // УМЖ .- 1974- Т.26 №6.

9. Березанский Ю.М Самосопряженные операторы бесконечного числа переменных.-Киев: "Наук. Думка" .- 1978.- 360с.

10. Березанский Ю.М. , Самойленко В.Г. Самосопряженность дифференциальных операторов с конечным и бесконечным числом неременных и эволюционные уравнения // Успехи мат. паук.- 1981.- Т.36.5.- С.3-56.

11. Биргер Е.С. О нссамосопряженном операторе -у"+р(х)у на оси (-оо,оо) // Докл. AII СССР.- 1970.- Т. 192.- № 4.- С.711-713.

12. Бирман М.Ш. О спектре сингулярных граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений // ДАН СССР .- 1954.— Т.97.- С.5-7.

13. З.Бирман М.Ш. О спектре сингулярных граничных задач // Матем. сб.-1961 .-Т.55- №2.-С. 125-174.М.Бирман М.Ш., Павлов Б.С. О полной непрерывности некоторых операторов вложения // Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр.-1961.-№1.-Вып. 1.-С.61-74.

14. Бойматов К.Х. О плотности финитных функций в весовых пространствах // Докл. АН СССР.- 1989 Т. 307.- № 6.- С. 1296-1299.

15. Браверман М., Милатович О., Шубин М. Существенная самосопряженность операторов тина Шрёдингера на многообразиях // Успехи мат. наук.-2002.-Т.57.-Вып.4.-С. 3-58.

16. Бруссицев А.Г. Некоторые вопросы качественного спектрального анализа несамосопряженных эллиптических систем произвольного порядка // в сб. «Матем. физика и фупкц. анализ».- ФТИНТ АН УССР.- 1973. -Вып.4.- С.93-116

17. Брусенцсв А.Г. О спектре несамоспряженных эллиптических систем произвольного порядка.- Дифф. уравнения- 1976- Т. 12- № 6.-С. 1040-1051.

18. Брусенцев А.Г. О J-самосопряженности в существенном эллиптических операторов, не удовлетворяющих условию Титчмарша-Сирса // Сб."Дифференциальные уравнения и некоторые методы функционального анализа".- Киев: "Наукова думка".- 1978.- С.47-58.

19. Брусенцев А.Г. О самосопряженности в существенномполуограниченных операторов высших порядков // Диффереиц. уравнения.- 1985.-Т.21.-№4,-С. 668-677.

20. Брусенцев А.Г. О самосопряженности в существенном полуограниченных эллиптических операторов второго порядка, не подчинённых условию полноты риманова многообразия // Мат. физ., анализ, геом.- 1995.-Т.2.-№2.- С. 152-167.

21. Брусенцев А.Г. Приграничное поведение потенциала эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном // Мат. физ., анализ, геом.- 1998.-Т.5.-№3/4.-С.149-165.

22. Брусенцев А.Г. Замечание о самосопряжённости в существенном неполуограниченных эллиптических операторов в L2(G). II Мат. физ., анализ, геом .- 1999.-Т.6.-№3/4.-С.234-244.

23. Брусенцев А.Г. О самосопряжённости в существенном неполуограниченного оператора Шрёдингера с сильными сингулярностями потенциала // Дифференц. уравнения.- 2002,- Т.38.- № 10.- С. 1431 -1433.

24. Брусенцев А.Г. Об одной теореме Г. Вейля для многомерного случая // Мат. физ., анализ, геом 2002- Т. 9.-№2 - С.224-232.

25. Брусенцев А.Г. Многомерная теорема Г. Вейля и накрывающие семейства // Матем. заметки.-Т.73.-№1.- 2003.-С.38-48.

26. Брусенцев А.Г. Самосопряженность эллиптических дифференциальных операторов в L2(G) и метод исправляющих потенциалов (обзорная статья) // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 28.01.03, №163-В 2003. 57с.

27. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. Достаточные условия самосопряженности эллиптических операторов высших порядков. в сб. «Матфизика и функц. анализ».- ФТИНТ АН УССР- 1971- Вып.2.-С. 12-25.

28. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженности эллиптических операторов высших порядков // Функц. анализ и его