Интегральные уравнения в классической равновесной статистической механике и методы их приближенного решения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

I. ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

§1. Частичные функции распределения. ^

§2. Разложение по физическим параметрам.

§3. Приближения, основанные на аппроксимации прямой корреляционной функции.

§4. Методы исследования интегральных уравнений для бинарной функции распределения. ^

II. ПОСТРОЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ПРОИЗВОДЯЩЕГО ФУНКЦИОНАЛА.

§5. Моделирование производящего функционала.

§6. Проекционный метод решения уравнения Боголюбова. ^

III. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ СИСТЕМ С ТВЕРДОЙ СЕРДЦЕВИНОЙ.

§7. Модель твердых сфер. ^

§8. Системы с модифицированным потенциалом Юкавы.

1У. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ

ФУНКЦИИ СИСТЕМ С ОБОБЩЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ МОРСА.

§9. Потенциалы типа Морса.

§10. Одномерные модели. ^

§11. Трехмерные системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Проведено асимптотическое разложение производящего функционала обобщенного пуассоновского распределения. В приближении, содержащем пять членов ряда, вычислены корреляционные функции и термодинамический потенциал сложной двухуровневой статистической системы, подчиняющейся в общем случае произвольной статистике, и простой одноуровневой системы для гиббсовской статистики.

2. Предложен проекционный метод решения уравнения Боголюбова для производящего функционала, который с физической точки зрения характеризуется последовательным учетом корреляций все более высокого порядка. Нулевое приближение проекционного метода приводит к известному уравнению Власова, первое - к замкнутой системе уравнений для унарной функции распределения и корреляционной функции второго порядка (уравнение типа свертки), второе к системе из трех уравнений для соответствующих корреляционных функций. Рассмотрено свойство мультипликативности для производящего функционала.

3. Исследованы свойства уравнений первого приближения. Показана близость решений вновь полученного уравнения для корреляционной функции и уравнения Перкуса-йевика.

Получено приближенное аналитическое решение уравнения типа свертки для корреляционной функции в случае модели твердых сфер, которое отличается от решения уравнения Перкусаг-Иевика лишь коэффициентами при степенях % . Найдено уравнение состояния (давление) для этой системы, которое хорошо согласуется с давлением, вычисленным по уравнению Перкуса-Йевика и методу молекулярной динамики.

5. Использован известный метод Бакстера для приближенного решения уравнения типа свертки в случае модели твердых сфер, который точно приводит к решению уравнения Перкуса-Йевика, а, следовательно, и давлению, вычисленному по этому уравнению. б. Для интегрального уравнения типа свертки найден эффективный алгоритм численного расчета систем, состоящих из твердых сфер, которые взаимодействуют посредством модифицированного потенциала Юкавы.

7. Введен обобщенный потенциал Морса, для которого исследованы условия устойчивости.

8. Получено аналитическое решение уравнения, которое следует из соотношения Орнштейна-Цернике при аппроксимации прямой корреляционной функции функцией Майера, для систем с обобщенным потенциалом Морса.

9. Получено аналитическое решение уравнения типа свертки для систем с обобщенным потенциалом Мэрса как в одномерном, так и трехмерном случаях. Найдены термическое и калорическое уравнения состояния для этих систем. А

10. Получено приближенное решение Сс точностью до ^ включительно) уравнения Перкуса-Йевика для систем с обобщенным потенциалом Морса в одномерном и трехмерном случаях. Найдены уравнения состояния для этих систем.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, зав.кафедрой высшей математики Тюменского государственного университета, доценту Георгию Ивановичу Назину за постановку задач и большую помощь в работе. Автор гокренне благодарен доктору физико-математических наук, зав.кафедрой теоретической физики, профессору Эдуарду Абрамовичу Аринштейну за ценные замечания, обсуждение результатов работы и полезные дискуссии. Автор благодарен кандидату физико-математических наук, с тар ему научному сотруднику института ядерных исследований АН УССР Василию Васильевичу Рязанову за плодотворное сотрудничество. Автор также искренне признателен сотрудникам кафедр теоретической физики и высшей математики Тюменского госуниверситета за ценные советы и постоянное внимание к его работе.

1. Боголюбов H.H. Избранные труды по статистической физике.-М.: изд. МГУ, 1979.- 343с.

2. Хилл Т. Статистическая механика.- М.: ИЛ, i960.- 485с.

3. Фишер И.З. Статистическая теория жидкости.- М.: Физматгиз, 1961.- 280с.

4. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.- М.: Мир, 1978, т.1.- 405с.

5. Крокстон К. Физика жидкого состояния.- М.: Мир, 1978,- 400с.у? я ¿H's^ffe ^¿■sf-tv-tte*, rfps.

6. Хггхкппп^ ¿Г. % ftc&f Jie^A&^'tj jz?- Яъръ-, /fSS,1. А JW-//J.9в //.j.ггъг, ¿тт., /SY? к J/SS, "-'/ж,

7. Базаров И.П., Котенок В.В. Метод Боголюбова в теории кристаллов с трехчастичным взаимодействием.- ТМФ, 1972, т.10, W2, с.275- 282.

8. Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика.- М.: Наука, 1982.- 584с.12. ЯХгхигт^. f. cPz^-uA^ftmrf 6, А JSY- У яг.

9. Назин Г.И. Предельные функции распределения в классической статистической физике.- ТМ$, 1974, т.21, о. 388- 401.jf. ¿Лею. к s^15. Лбглf. ^ ¿. I4f 7%^/SS-J^ AC'/S /¡¿¿¿'-¿У,16. ¿Г. >c./ gß;^

10. Назин Г.И. Предельные функции распределения систем с многочастичным взаимодействием в" классической статистической физике.- ТМ§, 1975, т.25, И, с.132- 140.

11. Назин Г.И. Интегродифференциальные уравнения для частичных функций распределения в классической статистической физике;-ТМФ, 1976, т.27, №3, 0.352-359.

12. Назин Г.И. Топологическая структура семейства решений уравнения Боголюбова.- ТМ§, 1980, т.42, $2, с.243- 251.

13. Назин Г.И. Описание гиббсовских случайных полей методом производящего функционала.- ТМ£, 1980, т.42, №3, 0.383- 390.

14. Криволалова В.В. Метод производящего функционала для решетчатых классических систем.- Дис. . канд. физ.- мат. наук.-Тюмень, 1983.- 81с.

15. Кондратов В.Д. Метод производящего функционала для квантовых систем.- Дис. . канд. физ.- мат. наук.- Тюмень, 1983.- 97с.

16. Рязанов В.В. Построение корреляционных функций с помощью производящего функционала.- Изв. ВУЗов, Физика, 1977, №3, с. 86- 92.-9824. Рязанов В.В. Построение корреляционных функций сложной статистической системы.- Изв. ВУЗов, Физика, 1978, Н1, с.129-130.

17. Рязанов В.В. Моделирование статистических систем. I. Общая характеристика метода.- УФ1, т.23, №6, с. 965- 972.

18. Рязанов В.В. Моделирование статистических систем. II. Двухуровневые системы.- У§1, т.23, №7, с. 1136- 1146.

19. Рязанов В.В. Описание статистических систем со сложной многоуровневой структурой.- В сб.: Физика жвдкого состояния, Киев, изд. КГУ, 1979, вып. 7, с. 118-123.

20. Рязанов В. В. О построении производящих функционалов в теории жидкого состояния.- В сб.: §изика жидкого состояния, Киев, изд. КГУ, 1980, вып.8, с. 95- 100.

21. Рязанов В.В. Асимптотическое разложение производящего функционала и описание жидкого состояния.- В сб.: Физика жидкого состояния, Киев, изд. КГУ, 1980, вып.8, с. 100- 105.

22. Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов.« 1ЭТФ, 1935, т.5, вып. 3-4, с. 211- 231.31. #е

23. Аринштейн Э.А. Явление кристаллизации в статистической физике.- ДАН СССР, 1957, т. 112, $4, с. 615- 618.

24. Аринштейн Э.А., Абросимов Б.Г. Приближенные уравнения для радиальной функции распределения.!.- Журн. структ. химии, 1968, т.9, №6, с. 1064- 1070.

25. Аринштейн Э.А. Вариационный принцип в статистической физике.-Дис. . док. физ.-мат. наук.- Томск, 1972.- 220с.

26. Абросимов Б.Г. Применение метода производящего функционалак нахождению уравнений для функций распределения.- Изв. ВУЗов,

27. Физика, 1975, Н, с. 132- 134.

28. Аринштейн Э.А. Функциональные преобразования в теории частичных функций распределения.- В сб.: Проблемы статистической физики, Тюмень, изд. ТГУ, 1976, с. 26- 50.

29. Абросимов Б.Г. Интегральные уравнения для функций распределения и различные замены функциональных переменных,

30. В сб.: Проблемы статистической физики, Тюмень, изд. ТГУ, 1976, с. 20- 25.

31. Абросимов Б.Г. Разложения по активности в теории реальных газов.- В сб. : Проблемы статистической физики, Тюмень, изд. ТГУ, 1976, с. 51- 61.

32. Рыжов В.Н., Тареева Е.Е. Об одном уравнении для радиальной функции распределения.- ДАН СССР, 1981, т.257, }Ь5, с. 11021104.

33. Климонтович ЮЛ. Интегральное уравнение для парной корреляционной функции плотных газов и плазмы.- Письма в ЮТФ, 1972, т.15, №8, с. 495- 497.- Я^е-у; ¿/с. /"¿ТР.-*

34. Гончар Н.С., Копыч И.М. Новый подход к вычислению радиальной функции распределения простых жидкостей.- Киев, 1979,- 17с.

35. С Препринт/ ИТФ: Р 79- 52 ).

36. Гончар Н.С., Копыч И.М. Новый подход к вычислению радиальной функции распределения простых жидкостей.- УФЕ, 1981, т.2б, М1, с. 1805- 1810.г/. К

37. Мартынов Г.А. Преобразование цепочки Боголюбова к точнойзамкнутой системе уравнений для унарной и бинарной функций распределения.I. Короткодействующий потенциал.- ТМ§, 1975, т.22, Н, с. 85- 96.

38. Мартынов Г.А., Саркисов Г.Н. Термодинамически согласованное уравнение теории жидкости.- ДАН CGGP, 1981, т.260,В6, с.1348-1349.

39. Блохин А.Л., Чалый A.B. Условие согласования вириального уравнения с уравнением сжимаемости и его связь с нелокальным производящим функционалом.- У§1, 1984, т.29, №4, с. 520-524.48. /? ТУ&гге&^&г ¿yieneUnp fst. f50« /Г, fiUzub/pe /f, 4

40. Сысоев В.М., Чалый A.B. Интегральные уравнения для радиальной функции распределения с эффективным учетом дальнодействия.- ТМ§, 1980, т.44, $2, с. 251- 262.

41. Сысоев В.М., Чалый A.B. Новые интегральные уравнения для радиальной функции распределения.- В сб.: Физика жидкого состояния, Киев, изд. КГУ, 1981, вып.9, с. 102-108.

42. ЛА-я^-г. А- А. ^'¿¿т^Ар-г-Агр??.г^г?. АЯ^г. Аеуг^ А^У, /г /'¿у, ".»¿А,у^г ^¿^¿г&А?. - уГ. АЛе^т.

43. АЪ^*., /Г¿¿г, м*/^ А ¿ааг ¿Г**.68. А&глх^ А А.

44. Гринштейн Я.Д., Абросимов Б.Г. Численное решение уравнения Перкуса- Йевика для жидкости о колодезным потенциалом, имеющий мягкий кор.- Изв. ВУЗов, Физика, 1983, с. 6- 10.70. ¿¿г**-^ А-К, /У. А^ту^г^^гг.к. J?:/ А. ¿Уел

45. А. А. ЯЯ-Р^ФА ^¿¿-гт-г^Аёеъ*¿А&гъ. ¿Ъ^Г; «У-?, А УЛГ- УЛГ.72. ЖЛ/.^Г. А г&ы ¿у ^е

46. АЪ^?., А ¿<Г/ А /?-<?/-Г Г? У.

47. Рязанов B.B., Каоимов H.G. Описание сложных статистических систем при помощи асимптотического разложения производящего функционала обобщенного пyacооновского распределения,- Изв. ВУЗов, Физика, 1981, МО, с. 128.

48. Сысоев В.М., Чалый A.B., Черненко Л.М. Парная корреляционная функция неизотропной жидкости вблизи критической точкив теории Перкуоа- Йевика.- ТМ§, 1975, т.22, Ш, с. 135- 141.

49. Касимов Н.С., Назин Г.И. Проекционный метод решения уравнения Боголюбова для производящего функционала в классической статистической физике.- Изв. ВУЗов, Физика, 1984, №4, с.95- 99.

50. Боголюбов H.H., ПетринаД.Я., Хацет Б.Н. Математическое описание равновесного состояния классических систем на основе формализма канонического ансамбля.- ТМ§, 1969, т.1, №2, с. 251- 274.

51. Глухих Н.В., Назин Г.И. Эквивалентность ансамблей Гиббсаи проблемы фазовых переходов в классической статистической физике.- ТМ§, 19 79, т.38, Ю, с. 423- 427.

52. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений.« М.: Наука, 1969.- 455с.

53. Власов А. А. Статистические функции распределения.- М.: Наука, 1966.- 356с.

54. Касимов Н.С. Аналитическое решение одного уравнения для парной корреляционной функции.- Изв. ВУЗов, Физика, 1984, №, с.28- 32.

55. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.- М.: Физматгиз, 19 63, ч Л.- 342с.

56. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты.- М.: Мир, 1971.- 367с.

57. Касимов Н.С., Назин Г.й. Аналитическое решение приближенного уравнения для парной корреляционной функции систем с обобщенным потенциалом Морса.- 'Оомень, 1984.- 14с.- Рукопись представлена Тюмен. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 13 янв. 1984, №329- 84.

58. Касимов Н.С. Аналитическое решение уравнения Перкуса- Йевика для разреженных систем с обобщенным потенциалом Морса.- У§1, 1984, т.29, №9, с. 1327- 1333.

59. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1976,- 576с.