Классические равновесные корреляционные и пуассоновские функции Грина в статистической механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШШИИЧЗСКИй ШГГПШТ имени З.А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи БШЕАНЯЕГ Гургея Оганесовяч

ЕЛЖСОТТВСКЖ РАВНОЯЭТННБ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И ПУАССОНОВСКШ • ФУНКЦИИ ГРИНА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

01.04.02 - теоретическая и ¡математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой стетни доктора физико-математических наук

ЫОСКВА 1991

Работа выполнена на кафедре алгебры л анализа Московского института электронного малинзстроения

Официальные оппоненты:

Доктор флзлко-шгеултЕческяз: наук,

профессор Д.Н»Зубарев.

Доктор »иЗ"ко-!.;атй!/лтлчес1С1г наук,.

профессор ! Ю.1.Елш,:оетоепч

Доктор физико-математических наук, . .

профессор В .ГЛ/лорозоБ

Ведуцая организация:

Институт физики конденсированных систем АН Украины, г.Львов

Зааита состоится " ДО " оЫ&Мл/А 1992 г. в часов

на заседание специализированного ^совета 1 0Q2.38.0I- при !Лате:^атзческо:; институте ек. В.А. Стеклова РАЕ (г. Москва,. 1Г75£6, ГСП-1, ул. Вавилова 42 )

С диссертацией может ознакомиться в библиотеке Г.1КРАЕ Автореферат разослан 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор фязяко-кагематическлх натк

А.К. Гущин -

- з -

Il l <" - -

)ТД'»л ' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

wp-пи** i

Актуальность темы. В настоящее время в статистической механике вез большее внимание. привлекают проблемы,, связанные с нвравЕсвзсны:.2 процессам в системах многих частиц. Од::гал из актуальных иапрагдзни! в этой области является изучение флуктуациокных явление и процессов переноса в слабонеравновесных состояниях на различных этапах приближения к равновесию..

Для описания динамики квантовых макроскопических систем около равновесного состояния предложено большое число различных методов. При этом универсальны.;, эффективным и широко используемым является метод (коммутаторных) двухвремеЕных температурных функций Грина, предложений впервые НЛ.Боголюбовык, С.В.Тябликовкм. В дальнейшем метод двухвремеЕных температурных.функций Грина был перенесен на классические системы H.H.Боголюбовым (мл. ) .Б.И.Садовниковым и достаточно широко использовался.

В рамках различных методов - методе H.H.Боголюбова, Каданова-Мартина,. Кори, Кубо, методе неравновесного статистического оператора (НСО) Д.Н.Зубарева и т.д.,- для квантовых систем установлена естественная связь между теорией неравновесных процессов и двухвременных температурных функций Грина. Выявлена связь между линеаризованные (как феноменологическими, так- и микрзскоштческлш) уравнениями для макроскопических переменных,., характеризующих неравновесное состоя--ние системы^ и уравнениями для соответствующих двухвременных температурных функций Грина. Эти методы* предложенные Н.Н.Боголюбовым, Кадановым-Мартиным,В.П.Калашниковым, В.Г.Морозовым и т.д., строятся на основе объединения теории линейной реакции и теории, неравновесны;: процессов..

Для квантовых двухвременных температурных функций Грина разработаны различные катоды построения бесконечных цепочек уравнений, методы их обрыва е. замыкания,, методы построения для них макроскопических, асимптотик и т.д. На основе разработанных методов для квантовых систем рассмотрены различные проблемы теории слабонеравнсваскых систем, исследованы спектры элементарных возбужденна, асимптотики корреляционных функций,.,их.спектральные интенсивности H т.д.

■ ',-Цель работы состоит в разработке на основе современных методов неравновесной статистическоЛ механики теории слабонеравновесных классических систем, теории классических равновесии корреляционных и луа-ссоновских фуикциЛ Грина, разработке методов построения уоавпзки": для равновесных корреляционных функция Грина на'основе различных кинетических уравнения, построения различных методов нахождения на их осно-

32 гадродакаьинзскях коррзляцзоЕних С-У^хд^З Грана "плотность- ллэт-ность" :i т.д. ... ' , ■

Научная 1ток:р;:а. Разработана теория слабонэравновгскчх ?лассз-чзсклх слсте:.:. Лостроеш лпне.Тнкз уравнения для канроскоютэских пе-решнзнх,. характвризуа-спс кесавкозесное состояние састзгли. Пострсзка теория линейно* реакции»

Разработала о&\гя тзор;щ равновзснкх классических коррзяяциоиккх а пуассонивсклх ¿ункцйЗ Грина- Для класспчзских корреляционных л пуас-соковскпх $ункца2 Грина построены цзшчкп уравпзнпЛ естественной* уга-версальпоЗ структуры, юзиоляэ'дзЗ эфлэктлвко строить различные изто-ды расцепления п залапсания. Введена приведенные корреляционные функции Грина (кассовые операторы), для них построены уравнения, универсально 3 структуры» Установлены тождества, связывающие классические равновесные корреляционные и приведенные корреляционные функции Грина.

Установлена тесная связь структуры линейных уравнений для макро-' скоплческях переменных и уравнений для соответствующих равновесных-корреляционных функций Грина. Обоснован обобщенный принцип. Онсагера при наличии врекенноп и пространственной дисперсии.

Разработана теория спектральных представлений, обсуждена пробле- ■ ма константы эргодичности для классических корреляционных и пуассонов-ских функций Грина.

На основе обобщенного принципа, Онсагера .достроено с поковдл) различных кинетических уравнений большое члсло уравненл": ( в кинетпчес- 1 soi.; прл5лл;:;енли) для сднохогяонзпткых шюгоксипонеитпых спстеы "для раЕПОгесних классических корреляционных (¡упкций Грина. Для этих ураь--нениЛ разработаны различные ¿:зтоды - мзтод Чехг.'.эна-Оцскага, различные г.:о:.:знт1:пз (проекционные) метода - построения глдродпнашческлх равновесных корреляционных ."уккцнЛ Грина "плотность-плотность" и т.д. Еедробное построение теории проведено во власоБскон, фоккер-планковс-ко-,:, больцмановско:.'. и энского веко;.: приближениях.

Проведено построение гпдродлнаютесклх корреляционных $ункцп2 Грила "плотность-плотность" л т.д. :,:эгодо:: 1зп;.:е;!а-Знскога в приближении Еавье-Зтокса Барнетта. На1дэны спзктры элементарных возбулгде-ннЛ и исследованы свойства спектральных интелсивлостзЗ равновесной корреляционной Супкцлп Грлна."плотность-плотность" и поперечной автокорреляционной (¡ушаш Грпг.а. . .

Развита об;;ая :.:зтсдика нахождения классических равновесных глд-родлнагдчеекпх 'корреляционных ¿ункций Грина 1:о^знткы;.п(арсз1Щлонкы;1з) -.¡етодами. Общая ызтодлка др~.:знзна для не.1ор:.:ального построения для пазтзекенпого газа уравнений для -^асслчзских разновесных гцдродапаш-ческих корреляционных функций ГРлка (стандарт^ ^т^тод^ Построены * -мятные систем уравнений с И 29 -ал основе

получена универсальная, каноническая система уравнена! для равнслзс-ных гидродинамических корреляционных функций Грина, Выявлена дрземле-ше Л -моментныз приближения при и. 4 29 ► Исследованы свойства гидродинамических ( поперечно! автокорреляционной функции Грина и функции Грина "плотность-плотность") равновесных корреляционных функция Грина для приемлемых л-моментных приближений ( и, -13,14,16,17, 21,25",25 ). Построены уравнения для классических равновесных гидродинамических корреляционных функций Грина модифицированным моментным методом в 13- и 14-моментных приближениях,, найдены эти функции и исследована поперечная автокорреляционная функция Грина.

Найдены гидродинамические корреляционные функции Грина для системы броуновских частиц в 13- и 14-моментных приближениях, исследовав ны их свойства»

Для системы твердых шариков со слабым взаимодействием построены -уравнения для гидродинамических равновесных, корреляционных, функций Грина в 13- к 14- моментных приближениях.-При. этом эти уравнения получены как стандартным момзнтным ыатадгм г так и момзнтным методом, учитывающим. самосогласованным образом эффекты среднего поля. Найдены явные выражения для гидродинамических равновесных корреляционных функций Гр:-на. . .

Научная.к шжтпчзская цениость работы. Результаты представленных в диссертации исследований могут быть использованы для решения широкого класса' задач и проблем статистической механика. Основой для прлложениЛ является решение проблем, представленных в длссертацяи-построение общей теории классических равновесных корреляционных и пуассокоЕскнх функций Грина,, обоснование обобщенного принципа Онсаге-ра и построение на его сснове уравнений для классических равновесных корреляционных и пуассоновских Функций Грина, построение общей методики (проекционных методов) нахождения гидродинамических корреляционных функций Грина»

В целом результаты диссертации развивают новое направление в теории равновесной л неравновесной классической статистической механики. Представляет интерес применение развитой общей теорлл к неформальному построению цепочек уравнений и нахокдеша с. их помощью различных равновесных корреляционных функций Грина для различных спстем-плстпых газовг плазмы, щцкостз и т.д.. ¡Интересно дальнейшее .развитие применения установленной и обоснованной в диссертации обобщенной гипотезы Онсахера для получения уравнений для различных равковесных корреляционных функций Грина ("кинетических") на основе'цздочки уравнений ЕЕГлЛ,. минуя непосрэдсвенное использование общего ггикроскопячес-кого подхода и/или кинетического уравнения, что позволит частично обойти проблему макроскопического расчета сложных, корреляционных функций,

участь эффекты запаздывания и нелокальности, рассмотреть различные системы'-газ, жидкость, плазму,, учесть внспие порядки по различным малым параметрам и т.д.

Воспользовавшись проекционными методами, на основе различных уравнений для равновесных корреляционных гидродинамических функций Грина ( как полученных в' диссертации,, так и тех, которые- могут быть подучены в рамках разработанных методов на основе различных других кинетических уравнений, не рассмотренных в диссертации) найти классические равновесные корреляционные гидродинамические функции Грина и исследовать их свойства. /

Перспективно в развитой в диссертации теории дальнейшее исследование модели твердых шариков,, привлекающей всеобщий интерес. Интересно провести численные исследования полученных выражений, а затем сравнить с результатами молекулярной дина\спш. В силу модзльности системы здесь возможно получение большого числа конкретных результатов, что может существенно расширить общие представления о неравновесных классических системах.

Представляет интерес развитые в диссертации для классических систем общие методы построения уравнений для равновесных корреляционных функций Грина перенести на квантовые системы.

Разработанные' в диссертации методы и полученные результаты могут быть использованы для интерпретации экспериментальных данных по статистическим характеристикам длинноволновых флуктуаций, рассеянию света, нейтронов и т.д. .

Для защиты выдвигаются следутл;ле основные результаты, полученные в диссертации.

1.Построена теория слабонеравновесных классических систем. Выведены линейные уравнения для макроскопических динамических переменных, характеризующих неравновесное состояние системы [I] .

2. Выведены уравнения для различных классических равновесных корреляционных и пуассояовсклх функций Грина такой структуры,, которая является естественной и универсальной с точки зрения линейной теории неравновесных процессов. Установление, что в классической статистической механике более естественно рассматривать и использовать корреляционные, а не пуассоновские функции Грина [г].

3. Введены приведенные равновесные корреляционные функции Грина (массовые операторы) и получена цепочка уравнений для них универсальной структуры [г] .

4. Установлены тождества,, связывание равновесные корреляцион-вые и приведенные корреляционные функции Грина [1,2] .

5. Обоснован обобщенный принцип Онсагера при наличии временной ж цространственной дисперсии [I] .

6. Построена теория линейной реакции' для классических слабонеравновесных систем. Найдено г что структура корреляционных функций ГриЕаг через которые выражаются импедансы, имеет универсальный вид, -тот, который определяется полученными универсальными уравнениями д.*я равновесных корреляционных функций Грана [¿]„

7. Построена теория спектральных представлений для равновесных корреляционных и пуассоновских функций Грина. Рассмотрена проблема константы эргодичности [1,3] . ■

8. Для однокомпонентных и многокомпонентных классических систем проведено построение уравнений для равновесных корреляционных функций Грина на основе различных кинетических уравнений (при использовании обобщенного принципа Онсагера). Для броуновских частиц — на основе кинетических уравнений Фоккера-Планка* Больцмана-Лоренца. Для ' пространственно неоднородной системы слабо взаимодействущих частиц — на основе кинетических уравнений Власова,, Власова-Ландау (марковских! пространственно локального, нелокального; немарковского пространственно. нелокального). Для разрешенного газа - на основе кинетических уравнений Еольцмака, Больцмана-Энскога, Энскога с "власовскими членами" членами, Райса-Оллнетта. Для умеренно плотной газовой смеси - на основе кинетического уравнения,, описывающего твердые шарики со слабым взаимодействием. Для различных систем - на основа модельных кинетических .уравнений ¡4,10, Л] .

Найдены классические равновесные корреляционные функции Грина для бинарной смеси в приближения среднего поля [10] . - ' '

ГО- Для разреженного газа ( на основе уравнения больцмановского типа проведено построение гидродинамических-равновесных корреляционных Функций Грина "плотность-плотность" и т.д. методом Чепмена-Энско-га в приближении Навье-Стокса и Барнетта. Исследованы свойства спектральной интенсивности равновесной корреляционной функции Грина "плотность-плотность'1 и поперечной автокорреляционной функции Грина [4] .

. 1Г. Развита общая методика нахождения классических равновесных гидродинамических корреляционных функций Грина моментным (проекционным) методом [5,12] ..

.12. Для разрежен-сго газа построены моментным методом системы уравнений для равновесных корреляционных гидродинамических функций Грина с И. 4 29 . Выявлены, приемлемые ' л -цементные, приближения с К 4 29 : И, =13,14,16,17,21,25,25 . Получена универсальная,каноническая система уравнений для равновесных гидродинамических корреляционных функций Грина [5,6] „ •■

13. Для приемлемых К. -мементнкх уравнений получены явные выражения для равновесных" гидродинамических корреляционных фуикций Грина. Найдены их спектральные интенсивности, спектры возбухдений_ [5-8] .

- е -

.. 14, Построены уравнения для равновесных гидродинамических корреляционных функций Грина модифицированным моментным методом в ЕВ- и ■ 14-момантных приближениях. Получены явные выражения для них и исследована поперечная автокорреляционная функция Грина [э] .

15. В 13- и 14 - моментных приближениях наедены'гидродинамические равновесные корреляционные функции Грина для системы броуновских частиц..Исследованы спектры возбуждений [ю] .

Ш. Для системы твердых шариков со слабым взаимодействием построены уравнения для гидродинамических равновесных корреляционных функций Грина в 13- и 14-моаентных приближениях как стандартным моментным методом, так и моментным методом,, учитывающим самосогласованным •брлэеы эффекты среднего поле. Найдены явные выражения для гидродина-моческих равновесных корреляционных функций Грина [Г2] .

Аппробация работы и публикации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре статистической механики Математического института им. В.А. Стеклова.

По теме диссертации опубликовано 12 работ,, перечень которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит иг зведёния, пяти глав и заключения, содержит 229 страниц машинописного текста, включая библиографический список литературы из 230 наименований на 21 странице и четыре приложения на 15 страницах; 3 таблицы, 13 рисунков.

' ОСНОВНСЗ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении формулируются цели диссертации и основные результаты,. кратко излагается содержание работы.

В первой главе "Постоение уравнений для классических равновесных корреляционных и пуассоновских функций Грина"' в рамках метода КСО ДШ.Зубарева ( и альтернативным методом ) проведено построение теории слабонзравновесных классических систем,, построена теория линейной реакции, развита теория классических равновесных корреляционных и пуассоновских функций Грина,, обоснован обобщенный принцип Онса-гера [Г,2] .

В §1 дан краткий обзор проблем и известных результатов как теории слабонеравнавесных классических систем, так и теории классических равновесных корреляционных и пуассоновских функций Грина.

3 §2 методом НСО построены линейные макроскопические уравнения для динамических переменных &Р г характеризующих неравновесное,..* состояние классической системы, например,, вида (здесь и далее Е = - инл£ - комплексная переменная,, и) р Ь - действительные переменные )

(Г) {<->+[< Т£ьВ*>-i«J*W^»'Lùb ^ о

( в (Г) Ь>о , 6-*о • после предельного термодинамического перехода),

Введены классические равновесные запаздывавшие (# = * г ХыЕ>о ), опережающие

,ЬпЕ<0 ) корреляционные«иА^Г»* ), пуас ооновские< mwb* kaiw»* . ), приведенные корреляционные «Мб*»6'* (<£ A(t)B'+»*E ) функции Грина

(2) ,

«е

индексу "I " - соответствует верхний знак и IwE >о „.а индексу "" о. " -'нижний знак и Iw.Е<0 „ 611) - функция 1евисайда. Используется "бескоординатная векторно-матричная" запись для.динамических величин и корреляционных функций, &Ï » и т.д. - вектор-столбцы с компонентами t> Рj , <tsPj ( j - дискретный или непрерывный индекс), , <ьГ+>+ и т.д. - эрмитово сопряженные векторы-строки, <АВ+> г < А1+)В+> и т.д. - корреляционные матрицы, ^ЕьРЪ"1 -матрица, обратная матрице <лРftЪ » - усреднение с равновесной, <•..^ - с неравновесной классической функцией распределения,, iL - оператор Лиувилдя, i L А = - ^ Н, -А} , ..,...} - скобка Пуассона, H - гамильтониан системы, ДА* А-<А>, J£ --iL¿>Р ». Jj= 0-P)iL , отсутствие индекса "с" у временной корреляционной функции означает,, что временная эволюция определяется оператором Ляувилля ( Atf)=elU А ), наличие se индекса "с" означает, что временная эволюция определяется приведенным оператором Лиувилля 0-3>>-iL ( Att)=CHC4-7)a А ), Г-= <•••>+- проекционный оператор Мори, Ас+= и т.д.

Введежы единые кусочно-аналитические функции Грина, их спектральные интенсивности, установлены тогдества, связывающие опережающие, и запаздывающие функции Грина.

В §3 в рамках метода ECO построены уравнения для классических корреляционных функций Грина д£(+) , <£ ¿Q + »* ,^bQCf)^»*,

« ûP г- например, . Е

(з) {iE+] слdtf =<<^Gf>jfc(tuQc+>)* ,

где AQ

- произвольная динамическая величина. В частности, если ,. то из (3) следует уравнение

В §4 развит альтернативный метод построения уравнений для классических равновесных корреляционных функций Грина , ,. где ь.А г ¿Е>ч произвольные динамические переменные ( в отличие от (3),(4)). ГГолучзно, например, уравнение

(5) iHbAabb^.t^ibV^;^

При надлелалем Енборз bh ' г ьВ>+ из (5) следует (3),(4).

В §5 получены уравнения для пуассоновскях функций Грина<<ьЩь£^, ^êAUÎ^WVe * 3 частности, получено следующее уравнение для пуас-с о но вс к о.1 функции Грина < bPcf)UP+^>| ( Ь= Vk^T » - постоянная Еолъцг.пна,. Т - температура)

(6) {tE + [<If} -

= ^ {[< Т^* j.

В §6 проведено обоснование обобщенной гипотезы Онсагера. Именно, показана справедливость утверждения: Пусть известна структура.ураЕнз-киЗ для макроскопических переданных <ьЕУ ■ (I) ( <дР+>",) ,. см. диссертация, (2.-35)), для кусочно-аналитической корреляционной функ-' цли Грина. (4). Тогда: а) если известна временная равно-'

веснач корреляционная функция Грина <bPWb£+> , то с помощью уравнения (1) мэлно получить уравнение для <а£У .(I) ( <лР4>-к> , (2.35)), б) если известна равновесная корреляционная функция <ьЕд£4> ,' то с помощью уравнения для (ï) ( <è.p+yw , (2.25)) молшо получить

уравнение (4) п на"1ти временную равновесную корреляционную функцию .

<ABftUP+'> -v

Обоснованное утвзрядекге физически означает, что затухание равно-зэсных флуктуацнй обусловлено лланердзсванннми (учитывающими эффекты . нелокаяьностл и запаздывания) уравнениями, описывающими эволюцию к равн'весию соответствующих макроскопических переменных. Данное утверждение естественно рассматривать как точную формулировку и микроскопическое обоснование (в рамках метода ECO) известной гипотезы Онсагера (высказанное га в рамках марковской,, лок&дъеой феноменологической термо динамики ).

Это утзергдениз ( а приведенный в диссерташш алгоритм) решает вопрос о построении в рамках развитой теории асимптотик для классичес-

них равновесных корреляционных и пуассановских функций Грина^ьВДьЕ^ ,

в смысле Н.Е. Боголюбова, Каданова-Мартина, причем не только на основе .феноменологических или микроскопических марковских,. локальных уравнений, но и на основе немарковских, нелокальных уравнений' для .

В §7 проведено альтернативным методом построение бесконечной цепочки уравнений для приведенных корреляционных функций Грина < л Ас Ш ь В>с+ 3>с'* (кассовых операторов - см. (З)-(б)). Для приведенных функций Грина получены уравнения вида (5), где "старые" приведенные функции стоят на месте корреляционных, на их месте - "новые" приведенные корреляционные функции Грина и т.д. Показано, чта структура уравнений цепочек на каждом к-ы шаге не только одна и таге,, но является естественной и удобной для построения' различных методов их обрыва и расцепления.

В §8 в рамках метода НСО проведено построение теории линейной реакции для классических слабонеравновесных систем. Найдено,, что если добавка к -гамильтониану системы,, обусловленная внешними силамиг имеет вид = - ^ (■£) , где - некоторый вектор-столбец дина-

мических переменных,. - вектор-строка. с-числовых функций

(внешних сил), й£ - вектор-строка динамических переменных,, характеризующих неравновесное состояние системы,. дО - вектор-строка произвольных динамических переменных,, то

(7) <>% 2рВ+ н |(*) , <= ^ .

Здесь импедансы (ш) „ М имевт вид ( + ° )

Показано,, что метод НСО задает естественную структуру для импедансов. В частности,' при ¿>В+ = лВ+ получаем из (8.) импеданс (и) ,, причем Ьи- „ что является большим. достоинством

теории,так как ¿"^(О совпадает с изотермическим импедансом.

Проведено сравнение построенной теории с теорией лине£ной реакции Куба. Показаног что импеданса Кубо имеют вид. ( г-» о .)

(9) , .

На основе уравнений,, постоенных в предыдущих параграфах диссертации, показано,, чта пыпедансы теории Кубо (9) и инпздансы (8) совпадает

между собой, но теория Кубо ничем не фиксирует их структуру. .'

В §Э показано,, как. можза методам ЕСО б рамках теории линейной реакции получить уравнения для классических разновесных корреляционных функций Грина, ЕолучеЕше в §4 адьтернативЕык методом.

В §10 выведены различные тождества,, связыващде классические равновесные корреляционные и приведенные корреляционные • функции Грина. Эти' тождества предлагается использовать для разработки эффективных методов замыкания бесконечных цепочек уравнений. Например, получено следующее тождество

3 §11 обсуждается проблема константы эргодичности для классических равновесных корреляционных функций. Суть проблемы (как в классическом,- тах и квантовом случаях) заключается б'том,, что при традиционно принятом методе нахождения спектральной интенсивности 1(У) корреляционной функции с помощью спектральной интенсивности пуассоновс-всой (коммутаторной) функции Грина 11«) . появляется член, имеющий .

-особенность при ш=о ,. то есть 1(») • имеет вид 1(ы)= Т(ю)+ +С *Ьг где С - некоторая константа - "константа эргодичности". Для обсуадэния проблемы константы эргодичности построена теория спектральных представлений для классических равновесиях корреляционных л ; пуассонозсхих ф.ункций Грина. Выявлены математические причины появле- ' кия константы эргодичности, трудности с ней связанные. Показано.,, что эти трудности обусловлены традиционно принятым методом нахождения спектральных интансивностей корреляционных функций а их можно преодолеть в рамках развитой теории,, если использовать для нахождения равновесных корреляционных функций Грина уравнения вида (4) и , затем,, на их основе находить спектральные интенсивности соответствующих корреляционных функций. Проведено подробное рассмотрение проблемы константы эргодичности в приближении среднего поля.

Во йтстоЗ глазе "Построение уравнений для классических равновесных корреляшюнкцх функций Грлна на основе кинетических уравнений", использовав установленный в диссертации обобщенный принц :п Оксагара, на основе кинетических уравнений для однокомлонектных и ..зюгокомао-нентных систем построены уравнения для классических рахмозесных корреляционных функций Грина вида

(Ю) - ,

N

где ьВ = £ , (^ , ^ ) - координаты и

скорости ] -Л частица, N - число частиц с::сте;л»,. ~ дзлма-

функцпя Дирака [ГСДГ] .

— Ю -

В. §12, описана используемая для псст-оекия уравнений для (1С) процедура» Именно, линеаризуя соответствующее кинетическое (антикпнетл-чзское) уравнение,, совершается преобразование Фурье по к , и; ( то есть отроется 'уравнение Еида. (I) для < ь £(.£,<?) ) и по нему восстанавливается уравнение вида (4) для запаздывающей (сперегалдзй) корреляционной функции Грина Çrx'°~ (t, (10).

В §13 проведено построение уравнений для классических раЕНо-ес-ивх корреляционных функций Грина Е) дак однасс^-

иентнкх систем при использовании следую^« кинетических уравнений: (марковских) i склера-Планка, Больцг/ана-Лоренца, Экскога-ХбтЙЕ^'- (для броуновских частип),, Власова-Ландау, Бслыдлаиа, Больцмана-Энсксга,. ' Зкскога, Райса-Оллнетта,, модельного кинетического уравнения, (кемар-ковсксно) уразнзЕия Власова-Ландау ( в форме Д.К.Зубарева, Новикова) .

Касример,. для система броуновских часиц получено для ь-оледушее уравнение ( Iw-E^o )

Здесь г - коэффициент трения и масса броуновской частицы,, 1 Isil -- объем системы, и „ - каковадловская

функция распределения,, к, - плотность.

На основе кинетического уравнения Больцмана для G по-

лучена следующее уравнение

(12) (E-^-iLO^V^itt)« ,

Здесь hM -Фурье-образ парной корредпдаояасй функции* SotW-ДоО - структурный фактор оистеш,. K»|i(| , L имеет вид,

(13) Ц { j

I С^е)! ffi^E) ■ ёЪЛК)

I; fty f : ' '

еде х» + 1 „ Xm.Е">о - для запаздаваицай, та-* ,

- для опережающей корреляционной фушздш Грина, (vj , % ), (и/ ) - спорости до и после соударения, характеризуемого.прицельным расстоянием 4 я ааьыутальннм углом tf. h ►

Остальные ¡¿слученные в §13 уравнения для (у ' ) здесь пра-

во дитв не будем.

В §14 проведено построение уравнений для классических равновесных корреляционных функций Грина вида (ГО) (рм,рцД>Е) ( а , ^ индексы сорта частиц,, ,. - импульсы частиц сортов й ,Л ) для многокомпонентных систем при использовании следующих систем кинетических уравнений г. (марковских) Власова (приближение среднего поля), Власова-1андау, Больцмана,, Больцмана-Энскога,. модифицированных уравнений Энскога,, систе. л уравнений для умеренна плотной, смеси ¡париков со "слабым" взаимодействием,. ?оккера—Планка (для броуновских частиц), (нзыарковских) Власова-Ландау (в форме Д.Н.Зубарева, М.К. Новикова). ,

Во всех рассмотренных случаях уравнения для залазднвавдих корреляционных функций Грина Са1 ,р«д'> £> Е) имеют вид

(14) (Е- Е) ^(р) ^ (£.

Здесь , ( афЕ )- фурве-образы парных равновесных'

корреляционных функций распределения, ^"ДадОО,, М - й М

( ) - парциальные структурные факторк, (£ср„л= нл , ^Рх")

- каксвелловская функция распределения,^ , - плотность, масса частиц а-го сорта, . (. - число компонент, - символ Кронекера. В приближении среднего паля (микроскопический подход) имеем

<*> = , с;-о,

где Сае (") - Фурье-образ прямой корреляционной функции (в приближении Власова С44и^--4>с«С^/к6Т ; для шариков в приближении Больц-мала-Знскога С44о)г С^ООг-^ л » , в*-

- диаметр шарика о. -го сорта; для смеси шариков со слабым взаимодействием Сае (и) г Фав - Зурье-образ слабого регулярного взаимодействия).

При использовании,, например,.немарковского уравнения Власова-Ландау (в форма Л.Н.Зубарева, .МЛ). Новикова) имеем

где - л

Остальные полученные в §14 уравнения- для 1»а{ Сраьк, t ) ■ здесь приводить на будет».

Найдены классические равновесные корреляционные функции Грина G-j'g Cfaoffa» для бинарной системы в приближении среднего поля .

(см. (15)). С их помощью получены выражения для равновесных корреляционных функций. Грина "плотность-плотность", найдены их спектральные интенсивности, яв»ше выражения для парных равновесных корреляционных функций распределения , 11«(к) . В качестве частных случаев

рассмотрены плазма,, смесь шариков '( в приближении Больцмана-Энскога), исследованы.спектры элементарных возбуждений.

В третьей главе "Построение классических гидродинамических, корреляционных функций Грина методом Чепмена-Энскога"' на. основе уравне- . ния (12),(13) в приближении Навье-Стокса и Барнетта методом Чепмена-Энскога находятся равновесные гидродинамические корреляционные функции Грина "Платность-плотность"1,, "поток-поток" и т.д., их спектральные интенсивности,, спектры возбуждений ^4-] .

В §15 кратко описана постановка задачи, ее актуальность. В §16 вводятся равновесные корреляционные гидродинамические функции: Грина

(17) 1 .{tf, 0.А jtffy , tt^tftffr .

Здесь

аз) ,

набор ортоноршрованных с весом функций ( ),

(19) |tniT,Eb KG-C^v^E)^^)

индексы опускаем... Очевидно, что если ?>Е ) опреде-

лена-с помощью функции, 'tp (?) „ то р(?,Е) будет представлять гидродинамическую корреляционную функцию Грина "плотность-плотность" и т.д..

- ■. Для ^ (?,!>-, Е) с помощью уравнения (12) получено уравне-

ние ( 1*Е*0 )

(20) L| = $ ,

где <${?>*■)= = i1^ < ^. Показано, что для

уравнения (20) приманим метод. Чепмена-Знсксгс и получе' л замкнутая система уравнений для корреляционных гидродинамических функций Грина (как оказалось, универсального типа, Tr+-i , 1*Е>о - для запаздгшак-щих, "С =-4 , 1ш. В <о - для опережающих)

3 рамках метода Чепмена-Зкскога найдены коэффициенты (22) в приближениях Назье-Стокса и Барнетта. л сследоЕанс дисперсионное уравнение система (21) и установлено Р что приближение Еавье-Стонса приме-кимо при любых К , а Барнетта - только при К , ыэкьппх величины порядка Ус > где { - длина свободного пробега- На модели твердых н:а;:пков установлено, что если при расчета:-:, входящих в (22) велл-ч'1Н Ъ г I) ,. и)* (#= рр, р, ) учитывать большее число полиномов Хаггера, то область применимости ( по ) приближения Барнетта расширяется. Результаты расчетов для модели твердых шариков приведены в приложении I. При малых к. получены явные выражения для спектров возбуждений системы в приближении Павье-Стокса и Барнетта.

3 §17 на основе' системы уравнении (21) в црцбдсаении Навье-Сток-са. Глрнетта получены явные выражения для корреляционных гидродинамических "ункцпй Грина "плотность-плотность" и т.д.

В §18 найдена ( в приближена! Навье-Стокса, Барнетта) спектральная интенсивность гидродинамичасксЛ корреляционно.; функции Грина "плотность-плотность" :: проведено исследование ее свойств. Установлено г в частности,, что с ростом К е приближении Барнетта (по сравнения с приближеннее Навье-Стокса) центральная линия (релеевский пик) сужается,. а ее амплитуда уменьшается, соковые линии (дуплет ;.;аидельш-тама-Бр;ольека) отвдвигаится от центральное, уаиряатся, а их амшшту-ды возрастал?. Зги. эффекты,. по-видимому", можно было сы эксперименталъ-но проверить современными спектроскопические методами.

В четвертой глазе "Построение классических гидродикаютесклх корреляционных ^уницц-Т Грина прсе пленным (момэнтнш.:) .методом" разработаны на основе уравнения типа (2С) различные варианты нахождения гидродинамических равновесных функций Грина вида (17) проекционным (моментннм) методом,, которые затем практически реализованы для урав-нэний (П),(Г2)Ч13),(14) [5-9,12] .

В §19 кратко описана постановка задачи, es актуальность, методы решения и возможные применения.

. В §20 на основе уравнения типа (20) разработана общая методика построения классических корреляционных гидродинамических функций Грина проекционными(моментными) методами. Уравнение (20) рассматривается как уравнение в пространстве функций Lj_ (с весом ). В этом

пространстве вводятся проекционные операторы.. £ , й „В - проектор на подпространство функций (-18), Q • - проектор на подпространство функций, ортогональных. (18). С помощью проекционных операторов £ , Q уравнение (20") сводится к виду ( Q = о )

(23) (E-R?)J+ (PL2 + QLP)Pj + (PLQ+QLQ)Qíj - <Р ,

(24) (E-B¡$f+PL£)j ч (eLQ-K»Q)Q3 = Py >

(25) (E-'Q¡?£Q+QLQ)Q| -f = o.

Предложено несколько методов нахождения гидродинамических функций Грина,, т.е.. Bíj. »• шомзнтный метод,, метод, кинетических моделей, несколько новых модифицированных моментных методов, в частности, метод,, объединяющий два пре,даущих'и т.д.

Моментный метод''сводится к совместному рассмотрению уравнений

(24) „(25), с помощью которых, находится рл. ( I - единичный оператор)

(26) ?^[l-PKvbPLP+(?i<?Q-PLQ)(F-Q«ÍQ+QLQy(QLP-Q^P)]"'lplí' .

■ Модифицированный (новый) моментный метод, объединяющий метод моментов и метод кинетических моделей, соответствует подходу, когда из уравнения (25) находят Q^ , подставляют в (23), (23) умножают на

(E-i??)"1 , а затем, действуя оператором 2 , получают в виде ' - 1

(27) Р^ =[3+P(E-^J1[LP+LQ (E-QftQ +QLQ) COKÍÍ-QLB)]]" №¡<¿)"V.

Предложено еще несколько других (новых) модифицированных моментных методой. '

■С формальной точки зрения различные мяментные метода и выражения

(25),(27) и т.д. являются эквивалентными. Однако при их практическом использовании необходимо произвести редукцию к п. -мерному пространству, что, естественно,, приводит к неэквивалентным выражениям для гидро-

динамических корреляционных функций Грина . Так как корреля-

ционные функции Грина должны обладать определенными аналитические свойствами, то не всякая редукция к и -мерному пространству приемлема. Именно наличие определенных аналитических свойств у полученных функций Грина является критерием удовлетворительности совершаемых приближений ( в рамках любой из схем) при получении■конкретных результатов. ' -

В §21 проведено на основе уравнения (12; неформальное построение для разреженного газа уравнений для классических корреляционных гидродинамических функций(Грипа (Г7) даментным методом. Для этого построена полная ортогональная (с весам (?) ) система функций, в , включающая функции (18) и обеспечивающая выполнение ^

условия = о . Получена бесконечная система уравнений ( т.е. система уравнений (24),(25)) к совершена редукция к и,-мерным системам уравнений с И. 4 29 . Для всех ц-моментных систем с

К- 4 29 получены замкнутые 5-ти моментные системы уравнений для величин |> г а , 6 (Г7) и показаног что все они имеют универсальный вид (21) . Приведены явные выражения для величин (22), в них входящих.

На основе аналитических свойств функций Грина с привлечением результатов молекулярной динамики произведен отбор приемлемых И-ио-ментных приближений с И. ^ 29 . Установлено, что приемлемыми при любых цептрально-слммзтричных потенциалах взаимодействия являются приближения с И -Го,14,16',17,21,25,26, приемлемость 21+ * 22 , 29 - цементных при б л." .зякй удалось показать только для максвелловских моле- -кул и твердых шариков. Результаты этих исследований сведены в таблице 3 приложения 2 .

3 §22 проведено исследование свойств гидродинамических корреляционных функций Грина для приемлемых к-моментных приближений при Кб 29 . .

Получены явные выражения для гидродинамических корреляционных функций Грина в ГЗ- и 14-моментных приближениях. Найдены спектральные интенсивности поперечной автокорреляционной функции Грина и исследованы их свойства. Исследовано поведение полюсов поперечных автокорреляционных функций Грина для всех волновых векторов. Результаты этих исследований представлены в приложении о на. рис.I. Проведено сравнение пплученных результатов с результатами молекулярной динамики. Приведены явные выражения для полюсов при. К-»0 и 00 . Найдены спектральные интенсивности корреляционных функций Грина "^тность-плот-нзсть" и псследсванн их СЕе":сп:а . Исследовано поведение полюсов корреляционно" Тутшции Грина "плотность-плотность" для всех еолноеых векторов. Результаты этих исследований представлены з приложении Е- на

рас. 2,3,.4. Приведено явгаз выракекия дая полэсов при к-»о и .

Получены яеныз выражения для автокорреляционных функций Грииа для приемлемых п. -мрмектных приблазензЗ с и. =16.,17,21,25,2с . Найдены их спектральные интенсивности и исследованы их свойства. Исследовано поведение полюсов автокорреляционных функций Грина для всех волиевых векторов к. . Результаты этих исследований представлены в приложении С на рис..5,6,7. Приведены явные выражения для полюсов при *-> о , Ж И-» 00

Получены явные выражения для' гидродинамических корреляционных Функций Грина "плотность-плотность" для приемлемых и- -мементных приближений с И-=16,17,21,25,26. Исследованы свойства, их спектральных иьтеясивностей. Исследовано поведение полюсов гидродинамических корреляционных функций Грина "плотность-плотность" при всех к . Результаты этих исследований представлены в приложении 3 на рис.8,9,10. Приведены явные выражения дли полюсов при К->о и и«

Модель твердых шариков использована для определения численных значении величин, входягдх в выражения для полюсов. Проведена сравнение с результатами молекулярной динамики.

В §23 проведено построение уравнений для классических корреляционных функций Грина кодифицированным моментным методом ( см. (23)-(24),.(27)) в 13- и 14-моментных приближениях,, найдены их явныэ выражения, исследована поперечная автокорреляционная функция Грипа.

Показано, что в кодифицированном моментном методе в 13- и 14-мо-мзнтных приближениях гидродинамические корреляционные, функции Грина (17) удовлетворяют универсальной системе уравнений (21). Получены явные выражения для величин (22), для гидродинамических корреляционных функций Грина (т.е. величин (27)). Установлено,, что в отличии от цементного метода,, где гидродинамические корреляционные функции Грина имеют только полюсные особенности, в модифицированном моментном методе функции Грина имеют наряду с полюсными особенностями точки ветвления и т.д.

. Исследованы свойства поперечной автокорреляционной функции Грина, полученной модифицированным моментным методом в 13- и 14-мсментном приближении. Найдена спектральная интенсивность и исследованы ее свойства, получено дисперсионное уравнение.

В $24 проведено построение уравнений для классических корреляционных функций Грина для системы броуновских частиц в 13- и 14- момен-тннх приближениях. . ■ - - - .

На основе уравнения (II) моментным методом в 13- и 14-мокентных приближениях показано, что гидродинамические корреляционные функции Грина (17) удовлетворяют, универсальной система уравнений (21) с тем. отличлем , что Е в уравнениях для 9 , и, меняется, соответственна, на = „ Ф = . Получены явные выражения для величин (22),

лая шдрсдика.пческлх корреляционных функций Грина (т.е. величины

(27)). Найдены спектральные интенсивности корреляционной функции Грина "плотность-плотность" и поперечной автокорреляционной функции Грина,- исследованы их свойства. Исследовано поведение полюсов поперечной автокорреляционной функции Грйна и корреляционной функции Грина "йлотность-плогность" при всех волновых векторах. Результаты этих исследований представлены в приложении 4 на рис. Г1,12,13. Приведены явные выражения для полюсов при К-»о и к-»00

В главе 5 "Классические равновесные гидродинамические корреляционные функции Грина д н системы твердых шариков со слабым взаимодействием'" Г2 в 13-и 14-моментных приближениях как стандартным момен-тным методом так и моментным методом, учитывающим самосогласованным образом эффекты среднего поля, получены уравнения для равновесных гидродинамических корреляционных функций Грина (17) для систем твердых ■ шариков со слабым взаимодействием на основе уравнения для запаздывающей корреляционной функции Грина

(28) (е-киП ¡г^Г^гЫ^

Здесь

- Фурье-образ потенциала слабого взаимодействия, С'^М - Фурье-образ прямой корреляционной функции для модели твердых шариков ( в нулевом приближении по плотности),

(29) гд^иУ-^И^

(30) ^^^.^а^^^^^бС^е) {

О- - диаметр шарика_, , в - единичный вектор, направленный

вдоль линии апсид, =

В §25" праведен обзор актуальных проблем, связанных с моделью твердых шариков со слабым взаимодействием, ее применением для решетя различных вопросов теории плотных газов и т.д.

- 2Г -

В §26" на основе уравнения (2Я) проведено построение уравнений тгля равновесных корреляционных функций Грина как стандартным момен-тным методом,., так и моментяым методом,, учитывающим самосогласованным образом эффекты срелнего поля т! 15- и 14- моментных приближениях» Проведен расчет необходимых матричных элементов для ,, „ получена 1Р- и Г4-шментяая система уравнений.

В §27 показано, что с помощью полученной 13- (Г4-) моментной системы уравнений для равновесных гидродинамических корреляционных функций Грина (17) получается универсальная система уравнений (21) с тем отличием, что Е в уравнениях для & „ <*- меняется, соответственно,. на. „ ф= 0,ц. ,явно вычислены входящие в нее величины (22). На основе 5-ыомзнтнай системы уравнений (21) по- -лучены явные выражения для равновесных корреляционных гидродинамических функций Грина. Показано г что >при учете самосогласованны!.», образом. ■ эффектов среднего поля у гидродинамических корреляционных функций Грина имеются наряду с полюсными особенностями и более сложные - точки ветвления и т.д. Проведена исследование полюсных особенностей поперечной автокорреляционной функции Грина при малых к

В Заключении дано краткое обсуждение результатов,, полученных в диссертации, которые представляются наиболее перспективнш/л и могут быть использованы для решения различных задач и проблем классической статистической механики. В четыре Приложения вынесены таблицы и рисунки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Балабанян Г.О. Построение методом неравновесного статистического оператора для классических систем уравнений и макроскопических асимптотик для равновесных.корреляционных и гриновских функций. /Аеор. и мат. физ. - 1989. - 1.80,И. - С.118-137.

2. Балабанян Г.О. Построение теории линейной реакции для классических систем методом неравновесного статистического оператора.

. /Деор. и .таг. физ. - 1989. - 1.80,йЗ. - 0.452-460.

3. Балабанян Г.О. К вопросу о константе эргодичности в теории классических функций Грина. //Теор... и мат. физ. - 1990..- Т.84',КЗ. -

' С.459-473...

4. Балабанян Г.О. Построение ва основе кинетического уравнения Боль-цмана гидродинамических асимптотик классических равновесных корреляционных функций Грина. /Аеор. и мат. физ. - 1990. - Г.82,

. Я. - С„117-132.

5. Балабанян Г.О. Построение на основе кинетического уравнения Боль-цмана обобщенных гидродинамических асимптотик классических равно-

взоных. корреляционных функций Грина./Деор. и кат., физ. - 1990.

- Т.82,:«2. - С.2Б7-Б03.

6. Балабанян Г.О. Классические равновесные обобщенные гидродинаш-ческае корреляционные функции Грина. I. /Деор. а-мат. физ. -1990. - 1.82,33. - С.450—165.

7. Балабанян Г.О. Классические равновесные обобщенные гидродинамические корреляционные функции Грина. II. Поперечная.аатокорре-. ляционная функция Грина. /Деор. и мат. Флз. - 19Э0. - Т.БЗ.-'й.-

- С.311-319.

с. Балабанян Г.О,. Классические равновесные обобщенные гидродинамические корреляционные 'функция Грина. III. Корреляционная функ-цияТрина "плотность-плотность" ./Деор. и мат. физ. -1390. -Т.оо,"Г. - С.■102-114.

9. Балабанян Г.О, Классические раваовеснне.обобщенные гидродинамические корреляционные функции' Грина. 1У. /Деор. и мат. физ. -Г-21. - Т.За.-'З. - С.430-473.

10. Балабанян Г.О. Построение уравнений для классических равновесных ксрреляцлонны:: функций Грина на' основз кинетических уравне-. ний. 1.//Теор. и мат. физ. - 1991. -Т.88,й2. - С.225-246.

1Г. Балабанян Г.О. Построение уравнений для классических равновесных корреляционных функций Грина на основе кинетических уравнений. II. // Теор. и мат. физ. - 1991. - Т.89,£1. - С.125-143.

12. Балабанян Г.О. Классические равновесные гидродинамические корреляционные функции Грина для системы твердых шариков се слабым взаимодействием. // 1еор. и мат. физ. - 1991. - Т.89,]£3. -С.446-464.