Функции Грина в неравновесных моделях статистической механики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

17-2012-112 На правах рукописи УДК531.19

ПОГОСЯН Сергей Суренович

ФУНКЦИИ ГРИНА В НЕРАВНОВЕСНЫХ МОДЕЛЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ДЕК 2012

Дубна 2012

005056244

005056244

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители: доктор физико-математических наук

(главный научный сотрудник ЛТФ ОИЯИ) профессор В.Б. Приезжев

кандидат физико-математических наук (старший научный сотрудник ЛТФ ОИЯИ)

A.M. Поволоцкий

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

(начальник сектора ЛТФ ОИЯИ) профессор Й. Бранков

доктор физико-математических наук (Санкт-Петербургское отделение МИАН им. В.А. Стеклова)

профессор Н.М. Боголюбов

Ведущая организация: Петербургский институт ядерной физики

им. Б.П. Константинова РАН, Гатчина

Защита состоится " /2, " 2012 г. в /3^ ч. 00 мин. на заседании

диссертационного совета Д 720.001.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, 141980, г. Дубна, Московская область, ул. Жолио-Кюри, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛТФ ОИЯИ.

Автореферат разослан " -б " Ми'Лс^л 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы.

Решеточные модели играют важную роль во многих областях теоретической физики, например, в статистической механике, квантовой теории поля, гидродинамике и т.д. Особый интерес представляют точно решаемые решеточные модели, которые позволяют обнаружить критические явления в системах. Такое критическое поведение трудно исследовать численно или какими-то приближенными методами. Одним из важнейших примеров точно решаемых моделей в равновесной статистической механике является двумерная модель Изинга, решение которой было впервые дано Онсагером в 1944 году. Она описывается относительно простым гамильтонианом с короткодействующими взаимодействиями между частицами, и в ней может возникнуть фазовый переход второго рода.

В последние десятилетия большое внимание уделялось исследованиям неравновесных фазовых переходов, часто встречающихся в неравновесной статистической физике. Они могут возникать даже в простейших одномерных многочастичных системах с нетривиальной динамикой. Примерами таких систем являются: кинетический процесс биополимеризации, движение транспорта по длинному шоссе, подвижный решеточный газ, самоорганизованная критичность, растущие поверхности и т.д. Большинство явлений, встречающихся в таких системах, невозможно описать в рамках теории среднего поля. Эти системы можно смоделировать с помощью одномерных многочастичных процессов, в частности, полностью асимметричного процесса с простым исключением (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, TASEP). TASEP является стохастической системой взаимодействующих частиц и служит парадигматической моделью для неравновесной статистической механики, как двумерная модель Изинга в равновесной статистической механике. Для конечного числа частиц его динамика описывается с помощью основного кинетического уравнения.

Динамические правила системы определяют вероятности переходов для марковских цепей, построенных на множестве конфигураций частиц.

Задав начальные условия, можно узнать вероятности различных событий, происходящих в ходе эволюции Маркова. Динамика модели ТАБЕР в дискретном времени характеризуется законом обновления состояния на каждом временном шаге. На одномерной решетке с дискретным временем наиболее важными случаями являются модели с обратным последовательным, параллельным и параллельно-подрешеточным обновлениями.

Общим свойством этих правил обновления является короткодействующее отталкивание между частицами за счет условия исключения. Второе важное свойство указанных обновлений - это их "решаемость", т.е. основное кинетическое уравнение может быть решено с помощью анзаца Бете и функция Грина, т.е. решение основного кинетического уравнения с заданными начальными координатами частиц, может быть аналитически вычислена явным образом.

Для случая ТАБЕР с непрерывным временем, а также с обратным последовательным и параллельным обновлениями, функции Грина были найдены ранее в виде определителя матрицы. Такое представление дает возможность прямого вывода распределения потока частиц и детального анализа динамических свойств ТАБЕР.

С помощью функции Грина можно исследовать многочастичные корреляционные функции, т.е. вероятности нахождения нескольких фиксированных частиц в данных пространственно-временных точках. Первый точный результат для корреляционных функций в ТАБЕР был получен в работе Йоханссона, где рассматривалась эволюция ТАБЕР с параллельным обновлением и ступенчатым начальным условием. В дальнейшем этот результат был обобщен для обратно-последовательного обновления и плоского начального условия. Связь ТАБЕР с теорией детерминантных точечных процессов позволила также рассчитать многочастичные корреляционные функции. В общем случае результат может быть представлен в виде определителя Фредгольма оператора с некоторым интегральным ядром. Асимптотический анализ ядра представляет особый интерес, так как позволяет изучать скейлинговый предел корреляционных функций, которые дают универсальные скейлинговые функции класса Кардара-Паризи-Жанга.

С 1960-х годов переход спираль-клубок в биополимерах был предметом интенсивных теоретических исследований и активно исследуется до сих пор. Есть две основные причины, из-за которых интерес к этой проблеме не убывает. С биологической точки зрения переход спираль-клубок связан с такими важными генетическими процессами, как транскрипция и трансляция. С другой стороны, с точки зрения физики, ДНК, состоящая из двух цепей, является примером квазиодномерной системы с дальнодей-ствующими корреляциями. Для описания перехода спираль-клубок обычно применяются теоретические модели, основанные на одномерных Изинго-подобных моделях или используется аналогия между поведением полимера и квантово-механической частицы в потенциальной яме. Многие теоретические конструкции включают возможность формирования петель. В большинстве теорий рассматриваются топологические проблемы образования петель в термодинамическом пределе или в приближении среднего поля. В настоящее время существуют много работ по теории перехода спираль-клубок в гомополимерах, в частности в ДНК, где учитывается влияние молекул воды, ионов, межмолекулярных взаимодействий лигандов и неоднородности цепочки. Тем не менее, до сих пор открытым остается вопрос о "минимальной" модели перехода спираль-клубок в гомополинуклеотидах, основанной только на фундаментальных свойствах двухцепочечной структуры. Существуют несколько работ, посвященных этой проблеме, а также разработана модель перехода спираль-клубок для двухцепочечной гомо-полимерной ДНК. Эта модель описывает общие свойства системы, такие как большое количество внутренних состояний вращения, энергию дополнительных связей и ограничения на конформационные возможности цепи, возникающие в связи с образованием водородной связи в двухцепочечной системе. Обычно такое ограничение описывается через отношение статистических сумм полимера в состоянии петли и в состоянии открытой цепи. Эта величина рассматривается во многих полуэмпирических теориях среднего поля при модификации теории Штокмайера для достаточно длинных цепей. Статистическая сумма и свободная энергия были рассчитаны путем решения характеристического уравнения, которое связывает длину петли с энергией образования водородной связи.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является развитие уже существующих и создание новых аналитических методов исследования неравновесных моделей статистической механики. Научная новизна и практическая ценность.

С помощью найденных функций Грина для моделей ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением и ТАБЕР с обобщенными правилами обновления можно исследовать одночастичные или многочастичные корреляционные функции.

Разработанный метод обобщенных функций Грина позволяет рассматривать многокаскадный процесс и расширить область применимости полученных корреляционных функций.

Моделирование двухцепочечного биополимера с помощью двумерного случайного блуждания одной частицы на квадратной решетке позволило проводить новые исследования фазового перехода спираль-клубок. На защиту выдвигаются следующие результаты;

• Показано, что модель ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением эквивалентна модели ТАБЕР с обратной последовательной динамикой, в которой частицы начинают и заканчивают движение в различные моменты времени. С помощью этого соответствия получены функции Грина для ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением для различных начальных и конечных условий.

• Обобщены правила обновления положений частиц полностью асимметричного процесса с исключенным объемом в дискретном времени. Введен новый параметр взаимодействия между частицами и с помощью анзаца Бете решено кинетическое уравнение модели для конечного числа частиц на бесконечной решетке. Нестационарное решение для произвольных начальных условий представлено в виде детерминанта.

• Исследованы совместные вероятности выходов частиц модели ТАБЕР из множеств с заданной пространственно-временной струк-

турой. Вероятности выходов частиц из последовательности обобщенных границ получены в виде определителя Фредгольма. Показано, что искомая вероятность в скейлинговом пределе асимптотически сходится к универсальному процессу Эйри-2.

• С помощью двумерного случайного блуждания на квадратной решетке исследована математическая модель двухцепочечного биополимера. Учтены два конкурирующих взаимодействия мономеров в цепях и доказано существование полностью денатурированных состояний полимера при конечных температурах.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на:

• International Conference Quantum Theory and Symmetries (QTS-7) 2011, Prague, Czech Republic.

• XV научной конференции молодых ученых и специалистов 2011, ОИЯИ, Дубна.

• I школе-конференции молодых ученых и специалистов 2012, Алушта, Украина.

• Семинаре отдела " Статистическая механика" Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Дубна.

Публикации.

Диссертация написана на основании содержания работ [1-5].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем

диссертации 108 страниц машинописного текста, включая 19 рисунков и

список литературы из 85 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор основных работ и результатов по теме точно решаемых решеточных моделей в статистической механике. Там же кратко описаны основные результаты, составляющие данную диссертацию.

В первой главе "ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением" описаны свойства модели ТАБЕР и исследована модель ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением, в которой в нечетные моменты времени обновляются положения частиц, находящихся в четных узлах, а в четные моменты времени могут двигаться частицы, стоящие в нечетных узлах.

Полностью асимметричный процесс с исключенным объемом представляет собой марковский процесс, и его динамика описывается системой уравнений Маркова, которая называется основным кинетическим уравнением. Для того, чтобы решить кинетические уравнения, нужно привести трансфер-матрицу к диагональному виду. Метод анзаца Бете дает возможность изучать динамические свойства ТАБЕР. В частности, задавая начальные условия, можно решить кинетические уравнения и получить функцию Грина в виде детерминанта. Такое аналитическое вычисление с помощью анзаца Бете впервые было выполнено Шутцем для ТАБЕР с непрерывным временем, а в дальнейшем такой подход был развит для моделей с дискретным временем, в частности, для обратного последовательного и параллельного обновлений, где была использована также геометрическая интерпретация анзаца Бете, основанная на комбинаторном анализе траекторий частиц.

Для того, чтобы найти функцию Грина для ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением, рассмотрено множество дискретных пространственно-временных траекторий на решетке с шахматной структурой. С помощью двух последовательных отображений траекторий показано, что модель эквивалентна модели ТАБЕР с обратной последовательной динамикой, в которой частицы начинают и заканчивают движение в разные моменты времени. Используя выражение для функции Грина ТАБЕР с

обратным последовательным обновлением, получена точная детерминант-ная формула функции Грина для ТАБЕР с параллельной подрешеточной динамикой при различных начальных и конечных условий.

Функция Грина для параллельной подрешеточной динамики однородна по координатам частиц, симметрична по отношению к преобразованию частица-дырка и имеет относительно простую аналитическую форму. С другой стороны, она содержит более сложную временную зависимость, которая включает начальные и конечные координаты под знаком функции округления, что может привести к усложнению многочастичных корреляционных функций.

Во второй главе "ТАБЕР с обобщенным правилом обновления" введено обобщенное правило обновления для модели ТАБЕР на бесконечной одномерной решетке и аналитически вычислена функция Грина.

За счет обобщения изменяется свойство короткодействующего отталкивания между частицами, но модель остается точно решаемой. Помимо условия исключения, допускается притяжение между соседними частицами, которое меняет эволюцию системы коренным образом. В частности, вводится параметр взаимодействия между частицами, и, в зависимости от его значения, можно получить либо притяжение, либо дополнительное отталкивание между частицами. Два частных значения этого параметра соответствуют предельным случаям ТАБЕР с параллельным и обратным последовательным обновлениями. В случае притяжения поток частиц имеет тенденцию к образованию скоплений частиц, которая не характерна для известных видов обновления. В этом случае система демонстрирует коллективное поведение, которое типично для автомобильного трафика.

Для описания динамики модели используется принцип обратного последовательного обновления: в данный момент времени положения частиц обновляются справа налево и рассматриваются ситуации, когда две частицы встречаются в соседних узлах в начале временного шага. Правая частица такого кластера (в том числе и изолированная частица) двигается с вероятностью р и остается на месте с вероятностью 1 — р. Если правая частица пары не двигается в течение данного временного шага, то левая частица остается на месте с вероятностью 1. Если же правая частица дела-

ет шаг, то следующая частица прыгает с вероятностью (1 + и)р или стоит с вероятностью 1 — (1 4- и)р. Естественным ограничением параметра и являются неравенства 0 < (1 + и) < 1 /р. Для и = О имеем обычный ТАБЕР с обратным последовательным обновлением, а для V — — 1 получаем ТАБЕР с параллельным обновлением.

В начале главы с помощью анзаца Бете дано нестационарное решение основного кинетического уравнения, когда имеется кластер, состоящий из двух частиц. В конце главы приведено общее доказательство анзаца Бете для кластера из N частиц. В последнем случае при аналитических вычислениях использована математическая индукция. При произвольных начальных условиях показано, что функцию Грина можно представить в детерминантной форме. Решение обобщает известные результаты для обратной последовательной и параллельной динамики и совпадает с ними при вышеуказанных значениях параметра взаимодействия.

В третьей главе "Разновременные корреляционные функции" исследованы совместные вероятности выходов частиц модели ТАБЕР из множеств с заданной пространственно -временной структурой.

Многочастичные корреляционные функции могут быть исследованы с помощью рассмотрения ТАБЕР как вероятностной меры на совокупности взаимодействующих решеточных путей. Эти пути описывают динамику распространения частиц на пространственно-временной плоскости. Когда путь идет вниз, это соответствует тому, что частица стоит на месте, а когда вниз-вправо, то частица делает шаг. В таком представлении корреляционные функции дают маргинальную вероятность прохождения путей, соответствующих заданным частицам, через определенные точки или ребра решетки.

В третьей главе диссертации вычислена вероятность того, что траектории выбранных частиц содержат заданные точки или ребра. Такое вычисление является обобщением известных результатов для пространственно-временных корреляционных функций ТАБЕР, которые соответствуют выходам из множества, ограниченного прямыми вертикальными или горизонтальными линиями. Применение обобщенных функций Грина позволяет полностью избавиться от условия временной упорядоченности, которое

возникало в работах других авторов, и остается только пространственно-подобное упорядочение координат частиц. Для расширения области пространственно-временных конфигураций, рассмотрены границы в наиболее общем виде. Они представлены в виде ломаных линий, идущих с северо-востока на юго-запад единичными вертикальными или горизонтальными шагами. Каждая из границ делит пространственно-временную плоскость на две части. Такая конструкция границ позволяет избавиться от любого ограничения временной упорядоченности и дает возможность рассматривать вероятности того, что частицы покидают части плоскости, ограниченные границами, выходя из данных точек границ.

Вероятности выходов частиц из последовательности обобщенных границ получены в виде определителя Фредгольма. После получения выражения для вероятности выходов из границ, в третьей главе диссертации выполнен также асимптотический анализ ядра определителя Фредгольма. Решеточные границы использованы в качестве приближения гладких кривых на пространственно-временной плоскости, а выбранные точки рассмотрены в непосредственной близости от гладкого пути, пересекающего эти кривые. Основной вывод, который следует из этого анализа состоит в том, что поведение вероятностной функции выходов на большом масштабе является универсальным, пока рассматриваемый путь не нарушает ограничения на условие пространственно-подобности. Флуктуации обобщенных координат выходов частиц, распространяющихся с начальным условием в виде ступеньки, описываются ансамблем Эйри-2 так же, как в чисто пространственном случае.

В четвертой главе "Биополимеры и двумерные случайные блуждания" исследована математическая модель двухцепочечного биополимера с помощью двумерного случайного блуждания на квадратной решетке.

Структура гомополинуклеотида, в частности ДНК, описывается с помощью последовательных областей, которые имеют вид спирали или клубка. Спиральные области, которые по существу являются одномерными, стабилизируются водородными связями и ароматическими взаимодействиями. Будем предполагать, что водородные связи могут формироваться только между основаниями, имеющими одинаковые номера, т.е. все пет-

ли симметричны. Молекула ДНК рассматривается в виде двух случайных цепей, которые имеют одинаковые начальные точки. Комплементарные пары азотных оснований в состоянии создать водородные связи и каждому такому соединению соответствует пересечение двух случайных цепей. Отсутствие меандров обеспечивает исключение трехмерных узлов и дополнительных пар в основании внутри петель.

Расстояние между основаниями описывается положением частицы, блуждающей по двумерной решетке в дискретном времени. Вначале, для удобства, рассмотрено простое случайное блуждание частицы на квадратной решетке. В простом двумерном случайном блуждании предполагается, что частица в каждый временной шаг обязательно перемещается налево, направо, вверх или вниз с равными вероятностями. Каждый раз, когда частица проходит через начало координат, общая вероятность траектории умножается на статистический вес к, что соответствует статистическому весу формирования пар в основании. Вероятность возврата частицы в начало координат после N шагов, т.е. статистическая сумма полимера, состоящего из двух цепочек, связанных между собой первыми и последними мономерами, записывается с помощью производящей функции первых возвратов в начало координат. В диссертации проведен асимптотический анализ статистической суммы путем вычисления контурных интегралов на комплексной плоскости. Получены средняя энергия и спиральность полимера при к > 1 и к < 1.

В диссертации также обобщена модель простого случайного блуждания, в которой частица может оставаться в начале координат в течение нескольких временных шагов. С помощью такого обобщения можно рассмотреть два вида образования водородных связей. Первый вид возникает при непосредственном контакте между полимерными цепями, который приводит к возникновению одной водородной связи при последующей свободной эволюции обоих полимеров. Это контактное взаимодействие компенсируется короткодействующим межмолекулярным отталкиванием. Вторым видом является формирование последовательностей водородных связей. Этот случай соответствует прилипанию полимерных цепей в спиральной фазе, когда межмолекулярное отталкивание подавлено. Энергия

такой связи состоит из двух слагаемых - энергии водородной связи и энергии ароматического взаимодействия между соседними парами азотистых оснований в области спирального состояния ДНК. Соответственно, полный статистический вес траектории случайного блуждания умножается на при посещении частицы начала координат и на кг, когда частица не выходит из него в данный момент времени.

Температурное поведение системы можно получить, рассматривая сингулярности подынтегрального выражения для статистической суммы. В зависимости от параметров модели критическая температура Тс может существовать там, где поведение меняется сингулярным образом. Учтены два конкурирующих взаимодействия мономеров в цепях и получены полностью денатурированные состояния полимера при конечных температурах. Спи-ральность полностью исчезает, когда температура превосходит критическую Тс. Отметим, что в случае простого случайного блуждания при к > 1, степень спиральности стремится к нулю только при больших температурах. Можно заключить, что модель случайного блуждания с остановками в начале координат описывает резкий переход от спирального состояния в клубок. Такое же поведение наблюдается для средней энергии.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые и выносятся на защиту.

Литература

[1] S.S. Poghosyan, V.B. Priezzhev and G.M. Schiitz,

Green functions for the TASEP with sublattice parallel update, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, Vol. 2010, No.

04, P04022, pp. 1-8 (2010).

[2] A.E. Derbyshev, S.S. Poghosyan, A.M. Povolotsky and V.B. Priezzhev, The totally asymmetric exclusion process with generalized update, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, Vol. 2012, No.

05, P05014, pp. 1-13 (2012).

[3] S.S. Poghosyan, A.M. Povolotsky and V.B. Priezzhev, Universal exit probabilities in the TASEP,

Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, Vol. 2012, No. 08, P08013, pp. 1-37 (2012).

[4] G.N. Hayrapetyan, E.Sh. Mamasakhlisov, Vl.V. Papoyan and S.S. Poghosyan,

The melting phenomenon in random-walk model of DNA, Physics of Atomic Nuclei, Vol. 75, No. 10, pp. 1268-1271 (2012).

[5] G.N. Hayrapetyan, V.F. Morozov, Vl.V. Papoyan, S.S. Poghosyan and V.B. Priezzhev,

The helix-coil transition in a double-stranded polynucleotide and the two-dimensional random walk,

Modern Physics Letters B, Vol. 26, No. 13, pp. 1250083-1 - 1250083-15 (2012).

Получено 1 ноября 2012 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 06.11.2012. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ № 57821.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением

1.1 Марковские уравнения для ТАБЕР.

1.2 Основные свойства динамики подрешеточного обновления.

1.3 Функции Грина для различных начальных и конечных условий

1.4 Обсуждение.

2 ТАБЕР с обобщенным правилом обновления

2.1 Основные обозначения и определение правила обновления.

2.2 Решение с помощью аналитического анзаца Бете.

2.3 Индукция для трех и более частиц.

3 Разновременные корреляционные функции

3.1 Основные определения и метод решения.

3.2 Асимптотический предел корреляционных функций.

3.3 Метод обобщенных функций Грина и детерминантные точечные процессы

3.4 Многокаскадный процесс и многочастичные корреляционные функции

3.5 Асимптотический анализ корреляционного ядра

4 Биополимеры и двумерные случайные блуждания

4.1 Формулировка математической модели биополимера.

4.2 Моделирование биополимера с помощью двумерного случайного блуждания частицы.

4.3 Случайные блуждания с остановками в начале координат.

4.4 Вычисление асимптотического выражения термодинамических величин

4.5 Обсуждение результатов.

Решеточные модели играют важную роль во многих областях теоретической физики, например в статистической механике, квантовой теории поля, гидродинамике и т.д. Особый интерес представляют точно решаемые решеточные модели, которые позволяют обнаружить критические явления в системах. Такое критическое поведение трудно исследовать численно или какими-то приближенными методами. Одним из важнейших примеров точно решаемых моделей в равновесной статистической механике является двумерная модель Изинга, решение которой было впервые дано Он-сагером в 1944 году [1]. Она описывается относительно простым гамильтонианом с короткодействующими взаимодействиями между частицами, и в ней может возникнуть фазовый переход второго рода.

В последние десятилетия большой интерес представляет исследование неравновесных фазовых переходов, которые часто встречаются в неравновесной статистической физике. Они могут возникать даже в простейших одномерных многочастичных системах с нетривиальной динамикой. Примерами таких систем являются: кинетический процесс биополимеризации (kinetics of biopolymerization) [2], движение транспорта по одномерной дороге (traffic flow) [3], решеточный газ во внешнем поле (driven lattice gas) [4], самоорганизованная критичность (self-organized criticality) [5], растущие поверхности (growing interfaces) [6] и т.д. Большинство явлений, встречающихся в таких системах, невозможно описать в пределах теории среднего поля. Эти системы можно смоделировать с помощью одномерных многочастичных процессов, например, полностью асимметричного процесса с простым исключением (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, TASEP). TASEP является стохастической системой взаимодействующих частиц, и служит парадигматической моделью для неравновесной статистической механики [8,9,46], как двумерная модель Изинга в равновесной статистической механике. Динамика данной модели решеточного газа характеризуется законом обновления состояния на каждом шаге дискретного времени. Для одномерной решетки с дискретным временем наиболее важными случаями являются обратное последовательное, параллельное и параллельное подрешеточное обновления [10]. Для конечного числа частиц динамика системы может быть определена с помощью основного кинетического уравнения (Master equation) вида

P(x,i + l) = ]TpXiX,P(x,,i), (1) х' где х = {х{} описывает положения частиц, a pXiX/ является вероятностью перехода от конфигурации х' к конфигурации х в течение одного временного шага. Эта вероятность перехода различна для различных видов обновления. Для обратного последовательного обновления каждая частица может сделать один шаг направо с вероятностью р, если передний узел свободен в начале временного шага или становится свободным в конце временного шага (из-за движения передней частицы). Для параллельного обновления движение частицы направо разрешено, только если передний узел является свободным в начале временного шага. Производя итерации рекуррентных уравнений (1), можно получить решение основного кинетического уравнения для любой заданной начальной конфигурации х°, т. е. найти условную вероятность конфигурации х в момент времени t, при условии, что в начальный момент времени частицы находились в конфигурации х°. Динамика данного стохастического многочастичного процесса имеет естественную интерпретацию в теоретико-полевых терминах [9,11], где конкретные реализации процесса соответствуют величинам теории поля в представлении путей интегралов по траекториям. Поэтому, по аналогии с соответствующей терминологией теории поля, мы называем такую условную вероятность перехода функцией Грина. Для первых двух случаев, т. е. для обратного последовательного и параллельного обновлений, функции Грина переходов были найдены путем решения основного кинетического уравнения для системы, заданной на бесконечной решетке [16,24,28]. Функция Грина имеет детерминантное представление, аналогичное тому, которое впервые было получено для случая непрерывного времени [23], где частицы прыгали независимо друг от друга после экспоненциально распределенного случайного времени с фиксированным средним, равным 1 [8,9,46]. Такое представление дает возможность вывести распределение потока частиц [14-16], и провести детальный анализ динамических свойств TASEP и других моделей, см., например, [17-20], в том числе частично асимметричного процесса с простым исключением (Partially Asymmetric Simple Exclusion Process, PASEP), где частицы могут прыгать в обоих направлениях [21,22].

Третий тип обновления с дискретным временем - это подрешеточное параллельное, которое впервые было рассмотрено в работах [25,26] и впоследствии изучалось для различных приложений как аналитически, так и численно [10,27]. В первой главе диссертации рассмотрен такой вид обновления, когда в нечетные моменты времени обновляются положения частиц, находящихся в четных узлах, а в четные моменты времени могут прыгать частицы, стоящие в нечетных узлах. С помощью двух последовательных отображений показано, что модель эквивалентна модели TASEP с обратной последовательной динамикой, в которой частицы начинают движение в различные моменты времени. Получена точная детерминантная формула для функции Грина для различных начальных и конечных условий [34].

Общим свойством правил обновления, перечисленных выше, является короткодействующее отталкивание между частицами за счет условия исключения. На больших масштабах плотность частиц распространяется в соответствии с уравнением непрерывности [29]. Флуктуации плотности потока частиц на соответствующем масштабе являются предметом интенсивных исследований в течение последних двух десятилетий [30-32]. Второе важное свойство указанных обновлений - это их "решаемость", т.е. основное уравнение (1) может быть решено с помощью анзаца Бете и функция Грина может быть вычислена явным образом [23,33]. Вторая глава диссертации также посвящена модели TASEP на бесконечной одномерной решетке, для которой введено обобщенное правило обновления. За счет такого обобщения изменяется первое свойство и сохраняется второе, то есть, помимо условия исключения допускается притяжение между соседними частицами, которое меняет эволюцию системы коренным образом. В частности, вводится параметр взаимодействия между частицами и в зависимости от его значения можно получить либо притяжение, либо дополнительное отталкивание между частицами. В диссертации дано решение основного кинетического уравнения при произвольных начальных условиях и найдена функция Грина в детерминантной форме, как это сделано в работах [24,28,34] для других правил обновления. Полученное решение обобщает известные результаты для обратной последовательной и параллельной динамики и совпадает с ними для частных значений параметров взаимодействия. Вторая глава диссертация организована следующим образом. В первом разделе сформулирована модель и определены основные понятия, необходимые для решения. Во втором разделе объяснены особенности основного кинетического уравнения для обобщенного вида обновления и дано преобразование оператора эволюции в форме, пригодной для анзаца Бете. Решая основное кинетическое уравнение при произвольных начальных условиях, можно получить детерминантное выражение для функции Грина. В третьем разделе приведено доказательство анзаца Бете в общем случае для N частиц.

Динамические правила системы определяют вероятности переходов для Марковских цепей, построенных на множестве конфигураций частиц. Учитывая начальные условия, можно узнать вероятности различных событий, происходящих в ходе эволюции Маркова. В третьей главе диссертации рассмотрены многочастичные корреляционные функции, т.е. вероятности нахождения нескольких фиксированных частиц в данных пространственно-временных точках.

Первый точный результат для корреляционных функций в TASEP был получен в работе Йоханссона [14], где рассматривается эволюция TASEP с параллельным обновлением и ступенчатым начальным условием (step initial condition), Z<o, (2) и получено распределение Pt(xn > М — N) расстояния, пройденного N-й частицей за время t, где координаты частиц (жь> Х2, > .) определяют состояние системы. В дальнейшем этот результат был обобщен для обратно-последовательного обновления [16] и плоского начального условия (flat initial condition) [15]. Связь TASEP с теорией детерминантных точечных процессов (determinantal point processes) обнаруженная в [17,19] позволила также рассчитать многочастичные корреляционные функции, то есть распределение Pt(xni > ai,. хПт > ат) положений т фиксированных частиц в данный момент времени t, где 1 < ni <,••• <,пт целые числа, нумерующие выбранные частицы. Многочастичные корреляционные функции были изучены при различных начальных условиях в ряде работ [19,43,44]. В общем случае результат может быть представлен в виде определителя Фредгольма оператоpa с некоторым интегральным ядром. Асимптотический анализ ядра представляет особый интерес, так как позволяет изучать скейлинговый предел корреляционных функций, которые дают универсальные скейлинговые функции класса универсальности Кардара-Паризи-Жанга (Kardar-Parisi-Zhang universality class) [6].

Существует закон больших чисел, который предполагает, что стохастическая эволюция TASEP стремится к детерминистическому пределу [29]. В частности, если измерять координату хп n-й частицы в момент времени t, детерминистическая связь между нормированными переменными и = n/L,u) = t/L,j = (хп + n)/L (3) выполняется с вероятностью единица, когда L оо. Явный вид этой связи можно найти из гидродинамического закона сохранения для плотности частиц р dtp + dxj = 0, (4) где j = j(p) - это стационарный ток частиц, который является функцией плотности и в общем случае зависит от модели. Для обратного последовательного обновления ток имеет вид л»-^. О» который вместе с (4) и (2) дает соотношение рй - y/qü - у/у = 0 (6) в диапазоне —p/q < (7 — и) /и < р. Точное вычисление корреляционных функций позволяет исследовать флуктуации случайных величин вблизи их средних значений, заданных на детерминистической шкале. Допустим, даны и и и, и обозначим через 7(и, и) нормированную координату частицы. Тогда отклонение 5хп = хп — L(j(uj,i/) — и) координаты хп имеет масштаб, характерный для флук-туаций KPZ,

6xn~La, а = 1/3. (7)

Распределение нормированной переменной s = к'1 lim SxnL~a, (8) х L-*oo v ' является универсальной функцией класса КР2, зависящей только от формы начального профиля макроскопической плотности. Отметим, что зависимость от модели включена только в одну неуниверсальную постоянную кх. Примерами распределений, полученными из асимптотического анализа одноточечной корреляционной функции, являются знаменитые функции Трейси-Видома Р\ и F2 для плоского и ступенчатого начальных условий соответственно. Эти функции хорошо известны из теории случайных матриц, где они возникают в качестве распределений наибольших собственных значений в ортогональном и унитарном гауссовых ансамблях [47]. Их присутствие есть универсальное свойство класса КРЪ. Кроме того, изучение многоточечных распределений показывает, что флуктуации координат различных частиц, например, хП1 и хП2, остаются нетривиально скоррелированными случайными величинами на масштабах

Это второй степенной закон, характеризующий класс KPZ. Критические индексы а = 1/3 и /3 = 2/3 называются флуктуационным и корреляционным индексами соответственно. После соответствующего масштабирования по числу частиц можно получить однопараметрическое семейство коррелированных случайных величин: где кп - другая неуниверсальная константа. Для случаев плоского и ступенчатого начальных условий совместное распределение этих переменных определяет универсальные ансамбли Эйри-1 [17] и Эйри-2 [48], для которых одноточечными распределениями являются Fl и F2.

До сих пор мы рассматривали только пространственные корреляции между положениями различных частиц в фиксированный момент времени. Однако, как правило, можно рассмотреть совместные вероятностные распределения событий, связанных с различными частицами, позициями и моментами времени в ходе эволюции ТАБЕР. Мы будем называть такие распределения пространственно-временными корреляционными функциями. Примером такой функции является распределение положений фиксированной частицы в различные моменты времени, которое было рассмотрено в [49]. В работах [20,50] изучалась более общая корреляционная функция - распределение Р(хП1(Ь 1) > щ,. ,хПт(1т) > ат) положений фиксированных

1«! — п2| ~ = 2/3.

9)

- V + и!/ 1кп) -V- иЬР 1кп)

10) частиц хП1,., хПт с номерами т < ••• < пт (11) в моменты времени где на множество пространственно-временных точек накладывалось ограничение к > и+х, ¡Г Щ < щ+1, (12) и > а щ = 1, (13) т.е. временные координаты не должны были возрастать с ростом номера частицы и наоборот. Такое расположение моментов времени было названо авторами пространственно-подобным [20, 50]. Другим примером пространственно-временной функции является корреляционная функция токов частиц, которая недавно была получена в работе [51]. Это вероятностное распределение Р(£П1 < а < ат) моментов времени £П1,., ЬПт, в которые т выбранных частиц с номерами щ <,.,< пт (14) прыгают из соответствующих узлов хП1,., хПт, выбранных из множества х{ = х - г + N : г = 1,., пт}, (15) для данного х € N > пт и начальной конфигурации х® = 1 — г, г € N. В связи с тем, что пространственно-временные траектории частиц не пересекаются, доступный для динамики диапазон моментов времени удовлетворяет неравенствам

1П1<---<1Пт. (16)

Временные упорядочения (12,13) и (14,16) противоположны друг другу, и имеют разное происхождение. В работах [20,49,50] числа частиц щ,П2,■■■ и моменты времени ¿П1, £Пг,. фиксированы, а координаты частиц хП1, хП2,. являются случайными величинами. В случае корреляции токов [51] моменты времени являются случайными, в то время как координаты частиц хщ и числа щ связаны фиксированным соотношением. Таким образом, в отличие от ограничений (12,13), неравенства (16) являются не внешним ограничением, а следствием динамики: они показывают ту пространственно-временную область, которая может быть достигнута с ненулевой вероятностью во время случайного процесса. Однако в скейлинговом пределе не важно, какая переменная выбирается случайной. Тогда пространственные и временные координаты, а также номера частиц становятся эквивалентными за счет разделения флуктуационных и корреляционных шкал. Действительно, когда мы фиксируем значения двух любых параметров п, х, £ на больших масштабах, значение третьего однозначно определяется в том же порядке из детерминистического соотношения (6). Другими словами, сначала мы фиксируем точку на двумерной поверхности в трехмерном пространстве, которая определяется соотношением (6), затем мы представляем флуктуации в окрестности данной точки с помощью бесконечно малого вектора, направленного по нормали к поверхности, который может быть спроецирован на одно из трех направлений п, х, Ь или на любое другое направление в трехмерном пространстве. Выбор направления влияет только на постоянные величины, зависящие от угла, которые определяют шкалу флуктуаций, в то время как функциональная форма распределений является универсальной. Кроме того, корреляционные функции флуктуаций, связанные с различными точками поверхности, также универсальны, когда точки находятся на расстоянии порядка корреляционного масштаба Универсальность выполняется, когда взаимное расположение точек меняется в широких пределах. Действительно, предельные пространственные и временные корреляционные функции [20,49-51] для областей (12,13) и (14,16), соответственно, дают корреляции типа Эйри-2 для ступенчатого начального условия. Область применимости универсальности по отношению к выбору точек в корреляционной функции была выяснена Феррари в [52], чьи аргументы были основаны на обнаруженном им явлении медленной декорреляции. Он показал, что в скейлинговом пределе корреляции могут быть двух видов в зависимости от того, является ли рассматриваемая конфигурация точек пространственно-подобной или временно-подобной. Корреляции для пространственно-подобных конфигураций, с точностью до неуниверсального скей-лингового коэффициента, имеют такой же вид, что и чисто пространственные корреляции. В частности, когда расстояние между точками становится порядка Л/73, флуктуации в этих точках описываются ансамблями Эйри-1, Эйри-2 и т.д., в зависимости от начальных условий, так же как в чисто пространственном случае. Однако если конфигурация точек временно-подобная, флуктуации, измеренные на масштабе Nа, остаются полностью скоррелированными, т.е. тождественными до тех пор, пока расстояние между точками не станет порядка N, которое много больше, чем Определения пространственно-подобных и временно-подобных конфигураций точек, использовавшиеся в работе [52] для модели полинуклеарного роста (polynuclear growth, PNG) и обобщенные Корвином, Феррари и ITe4e(Corwin, Ferrari and Peche, CFP) [53] для целого ряда других моделей, включая TASEP, были, однако, отличны от определений, принятых в работах [20,50]. Для того чтобы правильно классифицировать полученные результаты, напомним основные идеи CFP. Их формулировка изложена на языке перколяции последнего посещения [14], которая может быть непосредственно отображена на TASEP, а также на другие математические модели [53]. Обозначим через 1R+ первый квадрант IR2. Каждой точке R2 с целыми положительными координатами (i,j) G № f") R+ припишем геометрически распределенные случайные величины Tij,

Каждая реализация эволюции ТАЭЕР полностью определяется набором величин Т^, задающих время ожидания г-й частицы, прежде чем совершить й шаг после того, как ей было разрешено двигаться. Обозначим также направленный решеточный путь решетки, который начинается в точке (х1,ух), делает единичные шаги либо вверх (г,]) —> (г,] + 1), либо вправо [г,]) —> (г + 1,]) и заканчивается в точке (а^э»2/г) через П(Х1,у1)-+(х2,у2)- Сумма элементов Т^ по данному пути называется временем последнего посещения. Как было показано Йоханссоном для ТАБЕР с параллельным обновлением [14], максимальное значение времени последнего посещения на множестве путей, выходящих из (1,1) и заканчивающихся в (п,тп), связано с временем 1п(т), которое требуется, чтобы п-я частица сделала т шагов, = Тп,т+п. В случае ТАБЕР с обратным последовательным обновлением эти два времени просто равны друг другу, ¿„(т) = Тп,т- Отметим, что другие модели также можно свести к предельным случаям перколяции последнего посещения. В пределе д —У 1 после перемасштабирования времени £ —» £(1 — д) получаем экспоненциальное

P(T,J = 0 = 9г(1 - ч)

17)

18) распределение времен ожидания, которое определяет TASEP с непрерывным временем. В противоположном пределе q 0 первый квадрант заполнен в основном нулями, а единицы изредка появляются с вероятностью q. После перехода к непрерывному пределу и перемасштабирования координат {х, у) —> (qx,qy), распределение единиц на фоне нулей становится пуассоновским процессом в первом квадранте, который, в свою очередь, может быть использован для определения PNG [48, 54]. При данных (n,m), вероятностное распределение времени ожидания (17) индуцирует распределение Р{Тп,т < <*) ДЛЯ времени последнего посещения 7п,т- Совместные распределения P(Tni,mi < О-Ъ • • • i%k,mk < fljfc) времен последних посещений для к различных точек (ni,mi),., (щ,тк), называются fc-точечными корреляционными функциями.

Согласно CFP, двухточечная конфигурация ((пь mi), (^г,^)) является временно-подобной, если точки могут быть соединены ориентированным путем П(ni,mi)->(n2,m2)) и пространственно-подобной в противном случае. Предположим, что щ < П2. Очевидно, условие того, чтобы конфигурация была временно-подобной, имеет вид mi < 7712 Щ < П2, (19)

Ш! < т2 щ = п2.

Напомним, что в TASEP со ступенчатым начальным условием, частица под номером п начинает движение из начального положения х° = — п + 1, а ее пространственная координата после m шагов будет равна хп = тп — п + 1. Тогда требование, чтобы конфигурация точек была пространственно-подобной, противоположное к (19), может быть записано в виде

Xi < Xj , если i > j. (20)

Это условие того, что медленной декорреляции не происходит, и соответственно, универсальность сохраняется. Можно увидеть, что точки (15) конечной конфигурации в корреляционной функции токов удовлетворяют соотношениям (20). Из-за того, что в связи с тем, что траектории частиц не пересекаются, эти условия выполняются автоматически, когда моменты времени выбираются из области (12,13).

Поэтому конфигурация точек, рассмотренная в [20,49-51] является пространственно-подобной по классификации CFP. Однако, в комплементарной области присутствуют оба типа предельного поведения. Таким образом, разделение на временно-подобные и пространственно-подобные конфигурации, предложенные CFP, более уместно, при изучении различных видов универсального поведения корреляционных функций. По этой причине мы будем пользоваться их терминологией, в которой пространственно-подобные конфигурации в TASEP определяются условием (20), а временно-подобные - противоположным условием (19). Корреляционные функции токов, вычисленные в [51], являются примером пространственно-подобных корреляций вне области, изученной в [20,50]. Фактически, первый результат по пространственно-подобным корреляциям был получен в работе [54], в которой универсальность скейлингового предела была доказана в рамках модели PNG во всей пространственно-подобной области. Однако микроскопическое рассмотрение в контексте TASEP было ограничено условиями (12, 13) в [20,49-51] и (14,16) в [51], где пространственные координаты были зафиксированы неравенствами (15). Целью третьей главы диссертации является расширение микроскопического вывода корреляционных функций TASEP для остальной части пространственно-подобной области, которая еще не была охвачена в предыдущих работах. Временно-подобная область пока остается за пределами применимости имеющихся методов.

С 1960-х годов переход спираль-клубок в биополимерах был предметом интенсивных теоретических исследований [61-74] и активно исследуется до сих пор. Есть две основные причины, из-за которых интерес к этой проблеме не убывает. С биологической точки зрения переход спираль-клубок связан с такими важными генетическими процессами, как транскрипция и трансляция. С другой стороны, с точки зрения физики, ДНК, состоящая из двух цепей, является примером квазиодномерной системы с дальнодействующими корреляциями. Для описания перехода спираль-клубок обычно применяются теоретические модели, основанные на одномерных Изинго-подобных моделях [64-67,75] или используется аналогия между поведением полимера и квантово-механической частицы в потенциальной яме [72,73]. Многие теоретические конструкции включают возможность формирования петель (loop factor). В частности, работы [68-70] посвящены детальному изучению топологических проблем, связанных с петлями, а в работе [74] учтены взаимодействия исключенного объема внутри денатурированной петли, где было показано возникновение фазовых переходов разного рода в зависимости от значения показателя петли. В большинстве теорий рассматриваются топологические проблемы образования петель в термодинамическом пределе или в приближении среднего поля. В настоящее время существуют много работ по теории перехода спираль-клубок в гомополиме-рах, в частности в ДНК, где учитывается влияние молекул воды, ионов, межмолекулярных взаимодействий лигандов и неоднородности цепочки. Тем не менее, до сих пор открытым остается вопрос о "минимальной" модели перехода спираль-клубок в гомополинуклеотидах, основанной только на фундаментальных свойствах двухце-почечной структуры. Четвертая глава диссертации посвящена основным свойствам структуры цепи биополимера и ее конформационным возможностям. Существуют несколько работ, посвященных этой проблеме [70-73], а также была разработана модель перехода спираль-клубок для двухцепочечной гомополимерной ДНК [77]. Эта модель описывает общие свойства системы, такие как большое количество внутренних состояний вращения, энергия дополнительных связей и ограничения на кон-формационные возможности цепи, возникающие в связи с образованием водородной связи в двухцепочечной системе. Обычно такое ограничение описывается через отношение статистических сумм полимера в состоянии петли к открытой цепи. Эта величина рассматривается во многих полуэмпирических теориях среднего поля [69-71] при модификации теории Штокмайера для достаточно длинных цепей. Статистическая сумма и свободная энергия были рассчитаны в работе [77], где решалось характеристическое уравнение, которое связывало длину петли с энергией образования водородной связи. В [77] авторы учитывали только образования коротких петель (петлевая длина менее одной молекулярной цепочки) и пренебрегли влиянием длинных петель. Такой подход позволил выявить влияние взаимодействий ближнего порядка на переход спираль-клубок в биополимере. Было показано, что характеристическое уравнение такой модели сводится к обобщенной модели полипептидной цепи (generalized model of polypeptide chain, GMPC), введенной в работах [77-79]. Таким образом, можно прийти к выводу, что GMPC может быть применена к двухцепочечной структуре, если пренебречь влиянием крупных петель. Целью четвертой главы диссертации является обобщение результатов работы [77] на случай петель произвольной длины. Относительное расстояние между соответствующими мономерами двух полимерных цепей смоделировано с помощью двумерного случайного блуждания на квадратной решетке. Возврат случайного блуждания в исходное положение описывает образование водородных связей между комплементарными единицами. Учитывая два конкурирующих взаимодействия мономеров в цепях, можно получить полностью денатурированные состояния при конечных температурах.

Данная диссертация написана на основании содержания работ [34-38].

Заключение

На защиту выдвигаются следующие результаты:

• Показано, что модель TASEP с параллельным подрешеточным обновлением эквивалентна модели TASEP с обратной последовательной динамикой, в которой частицы начинают и заканчивают движение в различные моменты времени. С помощью этого соответствия получены функции Грина для TASEP с параллельным подрешеточным обновлением для различных начальных и конечных условий.

• Обобщены правила обновления положений частиц полностью асимметричного процесса с исключенным объемом в дискретном времени. Введен новый параметр взаимодействия между частицами и с помощью анзаца Бете решено кинетическое уравнение модели для конечного числа частиц на бесконечной решетке. Нестационарное решение для произвольных начальных условий представлено в виде детерминанта.

• Исследованы совместные вероятности выходов частиц модели TASEP из множеств с заданной пространственно-временной структурой. Вероятности выходов частиц из последовательности обобщенных границ получены в виде определителя Фредгольма. Показано, что искомая вероятность в скейлинговом пределе асимптотически сходится к универсальному процессу Эйри-2.

• С помощью двумерного случайного блуждания на квадратной решетке исследована математическая модель двухцепочечного биополимера. Учтены два конкурирующих взаимодействия мономеров в цепях и доказано существование полностью денатурированных состояний полимера при конечных температурах.

1. L. Onsager, Phys. Rev. 56, 117-149 (1944).

2. C.T. MacDonald, J.H. Gibbs and A.C. Pipkin, Biopolymers 6, 1 (1968).

3. M. Schuckenberg, A. Schadschneider, К. Nagel and N. Ito, Phys. Rev. E 51, 29392949 (1995).

4. B. Schmittmann, R. Zia, Statistical Mechanics of Driven Diffusive Systems, in Phase transitions and critical phenomena , edited by C. Domb and J.L. Lebowitz, volume 17, Academic Press (1995).

5. P. Bäk, C. Tang and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. Lett. 59, 381 (1987); Phys. Rev. A 38, 356 (1988).

6. M. Kardar, G. Parisi and Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 56, 889 (1986).

7. H. Spohn, Large Scale Dynamics of Interacting Particles, Springer Verlag (1991).

8. T.M. Ligget, Stochastic interacting systems: contact, voter and exclusion processes, Springer Verlag (1999).

9. G.M. Schütz, Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by C. Domb and J.L. Lebowitz, Vol. 19, Academic press, London (2001).

10. N. Rajewsky, L. Santen, A. Schadenschneider and M. Schreckenberg, J. Stat. Phys. 92, 151 (1998).

11. D.C. Mattis and M.L. Glasser, Rev. Mod. Phys. 70, 979 (1998).

12. D. Kandel, E. Domany and B. Nienhuis, J. Phys. A 23, L755 (1990).

13. A. Honecker and I. Peschel, J. Stat. Phys. 88, 319 (1997).

14. K. Johansson, Commun. Math. Phys. 209, 437 (2000).

15. T. Nagao and T. Sasamoto, Nucl. Phys. B 699, 487 (2004).

16. A. Räkos, G.M. Schütz, J. Stat. Phys. 118, 511 (2005).

17. T. Sasamoto, J. Phys. A : Math. Gen. 38, L549 (2005).

18. T. Sasamoto, J. Stat. Mech. P07007 (2007).

19. A. Borodin, P.L. Ferrari, M. Prähofer and T. Sasamoto, J. Stat. Phys. 129, 1055 (2007).

20. A. Borodin and P.L. Ferrari, Electr. J. Prob. 13, 1380 (2008).

21. C.A. Tracy and H. Widom, Commun. Math. Phys. 279, 815 (2008).

22. C.A. Tracy and H. Widom, J. Stat. Phys. 132, 291 (2008).

23. G.M. Schütz, J. Stat. Phys. 88, 427 (1997).

24. A.M. Povolotsky and V.B. Priezzhev, J. Stat. Mech. P07002 (2006).

25. G.M. Schütz, J. Stat. Phys. 71, 471 (1993).

26. G.M. Schütz, Phys. Rev. E 47, 4265 (1993).

27. F.H. Jafarpour, F.E. Ghafari and S.R. Masharian, J. Phys. A: Math. Gen. 38, 4579 (2005).

28. J. Brankov, V.B. Priezzhev and R. V. Shelest, Phys. Rev. E 69, 066136 (2004).

29. H. Rost, Prob. Theory Relat. Fields 58, 41 (1981).

30. B. Derrida, J. Stat. Mech. P07023 (2007).

31. M. Prähofer and H. Spohn, In and Out of Equilibrium (Progress in Probability vol 51), edited by V Sidoravicius (Boston, MA: Birkhäuser) pp 185-204 (2002).

32. G. Ben Arous and I. Corwin, Ann. Probab. 39, 104 (2011).

33. L.H. Gwa and H. Spohn, Phys. Rev. Lett. 68, 725 (1992).

34. S.S. Poghosyan, V.B. Priezzhev and G.M. Schütz,

35. Green functions for the TASEP with sublattice parallel update,

36. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, Vol. 2010, No. 04, P04022,pp. 1-8 (2010).

37. A.E. Derbyshev, S.S. Poghosyan, A.M. Povolotsky and V.B. Priezzhev, The totally asymmetric exclusion process with generalized update,

38. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, Vol. 2012, No. 05, P05014, pp. 1-13 (2012).

39. S.S. Poghosyan, A.M. Povolotsky and V.B. Priezzhev, Universal exit probabilities in the TASEP,

40. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, Vol. 2012, No. 08, P08013, pp. 1-37 (2012).

41. G.N. Hayrapetyan, E.Sh. Mamasakhlisov, VI.V. Papoyan and S.S. Poghosyan, The melting phenomenon in random-walk model of DNA,

42. Physics of Atomic Nuclei, Vol. 75, No. 10, pp. 1268-1271 (2012).

43. G.N. Hayrapetyan, V.F. Morozov, Vl.V. Papoyan, S.S. Poghosyan and V.B. Priezzhev,

44. The helix-coil transition in a double-stranded polynucleotide and the two-dimensional random walk,

45. Modern Physics Letters B, Vol. 26, No. 13, pp. 1250083-1 1250083-15 (2012).

46. B. Derrida and J.L. Lebowitz, Phys. Rev. Lett. 80, 209 (1998).

47. B. Derrida, J.L. Lebowitz and E.R. Speer, J. Stat. Phys. 110, 775 (2003).

48. D. Dhar, Phase Transit. 9 51 (1987).

49. D. Kim, Phys. Rev. E 52, 3512 (1995).

50. A. Borodin, P.L. Ferrari and M. Prähofer, Int. Math. Res. Papers 2007, rpm002 (2007).

51. A. Borodin, P.L. Ferrari and T. Sasamoto, Comm. Pure Appl. Math. 61,1603 (2008).

52. C.A. Tracy and H. Widom, Comm. Math. Phys. 159, 151 (1994).

53. H. Spohn, Large Scale Dynamics of Interacting Particles, Springer Verlag (1991).

54. M.L. Mehta, Random matrices, 2nd ed., Academic Press, New York (1991).

55. M. Prähofer and H. Spohn, J. Stat. Phys. 115, 255 (2004).

56. T. Imamura and T. Sasamoto, J. Stat. Phys. 128, 799 (2007).

57. A. Borodin, P.L. Ferrari and T. Sasamoto, Comm. Math. Phys. 283, 417 (2008).

58. A.M. Povolotsky, V.B. Priezzhev and G.M. Schütz, J. Stat. Phys. 142, 754 (2011).

59. P.L. Ferrari, J. Stat. Mech. P07022 (2008).

60. I. Corwin, P.L. Ferrari and S. Péché, Ann. Inst. H. Poincare' Probab. Statist. 48, 134 (2012).

61. P. Krapivsky, S. Redner and E. Ben-Naim, Kinetic view on statistical physics, Cambridge University Press (2010).

62. V.B. Priezzhev, Pramana-J. Phys. 64, 915 (2005).

63. S. Karlin and G. McGregor, Pacific J. Math. 9, 1141 (1959).

64. B. Lindström, Bull. London Math. Soc. 5, 85 (1973).

65. I.M. Gessel and X. Viennot, Adv. Math. 58, 300 (1985).

66. K. Johansson, Comm. Math. Phys. 242, 277 (2003).

67. A.Yu. Grosberg and A.R. Khokhlov, Statistical Physics of Macromolecules, AIP Press, New-York, 341 (1994).

68. C.R. Cantor and T.R. Shimmel, Biophysical Chemistry, Freeman and Co., San-Francisco 3, 537 (1980).

69. P.J. Flory, Statistical Mechanics of Chain Molecules, Interscience, New-York 440 (1969).

70. J.A. Schellman, The stability of hydrogen bonded peptide structures in aqueous solution, Compt. Trev. Lab. Carlsburg Ser. Chim. 29, 223 (1955).

71. J.H. Gibbs and E.A. Di Marzio, J. Chem. Phys. 30, 271 (1959).

72. T.L. Hill, J.Chem.Phys. 30, 383 (1959).

73. B.H. Zimm, P. Doty and K. Iso, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 45, 1601 (1959).

74. Sh. Lifson and A. Roig, J. Chem. Phys. 34, 1963 (1961).

75. R.M. Wartell and A.S. Benight, Physics Reports, 126, 67 (1985).

76. M.D. Frank-Kamenetskii, Journal of Molecular Structure: THEOCHEM, 336, 235 (1995).

77. M.D. Frank-Kamenetskii, Physics Reports 288, 13 (1998).

78. M. Peyrard and A.R. Bishop, Phys. Rev. Lett. 62, 2755 (1989).

79. D. Cule and T. Hwa, Phys. Rev. Lett. 79, 2375 (1997).

80. Y. Kafri, D. Mukamel and L. Peliti, Phys. Rev. Lett., 85, 4988 (2000); Eur. Phys. J. B 27, 135 (2002).

81. A.V. Badasyan, A. Giacometti, Y.Sh. Mamasakhlisov, V.F. Morozov and A.S. Benight, Phys. Rev. E 81, 021921 (2010).

82. C. Richard and A.J. Guttmann, J. Stat. Phys. 115, 925 (2004).

83. V.F. Morozov, E.Sh. Mamasakhlisov, Sh.A. Hayryan and Chin-Kun Hu, Physica A 281, 51 (2000).

84. N.S. Ananikyan, Sh.A. Hayryan, E.Sh. Mamasakhlisov and V.F. Morozov, Biopolymers 30, 357 (1990).

85. Sh.A. Hayryan, E.Sh. Mamasakhlisov and V.F. Morozov, Biopolymers 35 75 (1995).

86. D. Poland and H.A. Scheraga, J. Chem. Phys. 45, 1456 (1966); 45, 1464 (1966).

87. G.N. Hayrapetyan, Y.Sh. Mamasakhlisov, V.F. Morozov, Vl.V. Papoyan and V.B. Priezzhev, J. Contemp. Phys. 46, 242 (2011).

88. E. Beckenbach, Applied combinatorial mathematics, John Wiley and sons, Inc., New York, London, Sydney (1964).

89. S.N Majumdar, Physica A 169, 207 (1990).

90. R.J. Rubin, J. Chem. Phys. 43, 2392 (1965).

91. Yu.P. Blagoi, V.A. Sorokin, V.A. Valkeev, G.O. Gladchenko, S.A. Khomenko and V.L. Galkin, Biopolymers 18, 2279 (1979).