Моделирование необратимых процессов в неравновесных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

00460239(

САЙХАНОВ Муса Баудинович

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМАХ

01.04.14-теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 0 МАЙ 2010

Москва-2010

004602397

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится

Об

член-корреспондент РАЕН, доктор физико-математических наук, профессор В.И. Алтухов.

доктор физико-математических наук,

профессор

B.C. Воробьёв;

доктор физико-математических наук,

профессор

В.А. Созаев.

Институт химической физики им. H.H. Семёнова РАН, г. Москва.

2010 г. в мин. на заседании

диссертационного совета Д002.110.02 в Учреждении Российской академии наук Объединенный институт высоких температур РАН по адресу: Россия, 127412, г. Москва, ул. Ижорская, 13, стр. 2, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИВТ РАН.

•ЛО. 0 If -

Автореферат разослан"

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

А.Л. Хомкин

© Учреждение Российской академии наук Объединённый институт высоких температур РАН, 2010

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы

Работа посвящена одной из проблем современной теории неравновесных макроскопических систем - моделированию необратимых процессов в неравновесных системах. Для слабо неравновесных линейных систем эта проблема успешно решена на основе локально-равновесной термодинамики (ЛРТ) Онзагера-Пригожина. Несомненным достижением этой теории является формулировка второго начала для открытой системы, позволившая на основе идеи локального термодинамического равновесия получить ряд новых результатов до этого неизвестных в термодинамике. К их числу относятся: соотношения взаимности Онзагера, принцип минимального производства энтропии Пригожина, определение стационарного состояния по Грооту, универсальный критерий эволюции Гленсдорфа-Пригожина и другие. Отдельно следует сказать о термодинамической теории устойчивости Гленсдорфа-Пригожина, положившей начало математическому исследованию неравновесных систем с помощью функций Ляпунова. Как известно, вблизи равновесного состояния таковой является второй дифференциал энтропии.

Однако попытки обобщения указанных результатов на случай сильно неравновесных нестационарных систем в рамках ЛРТ не приводят к успеху. Причина этого состоит в необходимости адекватного учета кинетического аспекта, который не удается осуществить только лишь на основе локально-равновесной модели. Дело в том, что энергетический спектр сильно неравновесной системы является неоднородным, так что энергетические уровни объединяются в энергетические слои с близкими значениями энергий. Сами же энергетические слои соответствуют реальным квазиравновесным подсистемам и для сильнонеравновесных систем могут заметно отстоять друг от друга по энергетической шкале. При этом кинетические процессы обусловлены взаимодействием квазиравновесных подсистем, должный учет которого возможен лишь на уровне моделирования всей неравновесной системы.

В связи с этим в диссертации осуществлено построение функционала полного производства энтропии р = р(ах1,...,ах", ,У,',...,Л'™)1 соответствующего глобальному (на уровне всей неравновесной системы) моделированию. Особенностью этого функционала является то, что на локальном уровне в качестве определяющих характеристик необратимого процесса, наряду с параметрами отклонений АА7 = Х{ -Аг/е'((,у-номера необратимого процесса и квазиравновесной подсистемы) термодинамических сил от их значений в равновесном состоянии, вводятся также скорости Л"/ изменения этих отклонений. Это дает возможность адекватного учета нестационарного аспекта неравновесной системы, который не удается осуществить в рамках ЛРТ. Другое преимущество данного функционала

состоит в том, что он одновременно позволяет осуществить (через полное производство энтропии, «проквантованное» по энергетическим слоям) теоретическое описание и на глобальном уровне. Минимизация изменения вышеуказанного функционала на рассматриваемом временном интервале приводит к формулировке принципа, являющегося обобщением принципа минимального производства энтропии на нестационарный случай.

Применение данной теоретической модели к различным неравновесным, в том числе нелинейным, системам позволяет получить результаты, которые затруднительно получить на основе известных в настоящее время подходов.

2. Цели и задачи диссертационной работы

• Кинетическое моделирование (КМ) нестационарных неравновесных систем на основе квантования необратимых процессов.

• Применение КМ для исследования нестационарных неизотермических систем:

а) магнитной спин-решеточной релаксации;

в) термической релаксации в сильно неравновесной двухтемпературной плазме;

б) теплового взрыва в неравновесном газе;

г) расстеклования стеклообразного селена.

3. Научная новизна работы

1. На основе анализа квантового характера необратимости разработана двухуровневая теоретическая модель описания неравновесных систем. Одновременное описание неравновесной системы на локальном (квазиравновесная подсистема) и глобальном (вся система) уровнях достигается за счет макроскопического (крупнозернистого) квантования необратимого процесса.

2. Осуществлено построение функционала полного производства энтропии, прокван-тованного по энергетическим слоям, соответствующим локально-равновесным подсистемам. Исследованы математические и физические свойства этого функционала, в том числе, в обобщенном виде воспроизведены основные результаты термодинамической теории Гленсдорфа-Пригожина.

3. Сформулирован, обобщенный на нестационарный случай, критерий эволюции неравновесной системы.

4. В представлении КМ исследована инерционность необратимого процесса по отношению к возмущениям ее неравновесных и нестационарных параметров вблизи равновесного и стационарного состояний.

5. На основе инерционных свойств необратимого процесса и проквантованного функционала полного производства энтропии сформулирован вариационный принцип для эволюции нестационарной неравновесной системы.

6. Осуществлено успешное применение этого вариационного принципа к конкретным неизотермическим системам, в том числе сильно неравновесным.

4. Научная и практическая ценность работы

На основе КМ осуществлено построение последовательной макроскопической теории для исследования неравновесных нестационарных систем, которая, будучи логическим продолжением и обобщением неравновесной термодинамики, имеет предельно общий характер. При этом перспективность ГКМ в смысле возможной глубины исследования достигается за счет того, что оно разработано с учетом квантовой природы необратимости. В практическом отношении наличие закона для эволюции неравновесных нестационарных систем является весьма значимым с точки зрения понимания и управления ими.

5. Защищаемые положения

1. Построение двухуровневой глобально-кинетической модели неравновесной системы и соответствующего ей функционала полного производства энтропии.

2. Результаты исследования устойчивости и инерционности неравновесной нестационарной системы в глобально-кинетическом представлении.

3. Формулировка вариационного принципа для эволюции нестационарной неравновесной системы на основе исследования инерционных свойств необратимого процесса.

4. Результаты применения кинетического моделирования для исследования нестационарных неизотермических систем.

6. Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на XI Всероссийской конференции по теплофизическим свойствам веществ (С.Петербург, 2005), на научно-практической конференции "Вузовская наука в условиях рыночных отношений" (Грозный, 2003); на Всесоюзной конференции по электрографии (Москва, 1988); на научных семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ, кафедры статистической физики С-Пб. ГУ, НИИ химической физики им H.H. Семенова (Черноголовка), физического факультета КБГУ (Нальчик), физического факультета ЧГУ (Грозный).

Основное содержание диссертации опубликовано в 13 работах, в которых автору принадлежит постановка задач, разработка методов их решения и применение этих методов для исследования конкретных неравновесных систем. Список работ приводится в конце автореферата.

7. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 112 наименований. Диссертация содержит 167 страниц текста и 3 рисунка.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследований, формулируются цели и задачи, изложены научная новизна и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена обзору локально-равновесной термодинамики, поскольку КМ не исключает концепции локального равновесия. Напротив, оно представляет собой дальнейшее развитие и обобщение этой концепции на квантовом уровне рассмотрения. В данную главу вошли основные результаты линейной и нелинейной неравновесной термодинамики, ставшие в настоящее время классическими. В частности, в разделе 1.1 принцип локального равновесия в термодинамике необратимых процессов формулируется как возможность разбиения неравновесной системы на достаточно малые, все еще макроскопические области, которые рассматриваются как квазиравновесные. Отмечается, что сама возможность разбиения с микроскопической точки зрения обусловлена конкурирующими взаимодействиями ее элементов (молекул, атомов, электронов, спинов и т. д.).

Показано, что изменение энтропии s[u(r,t),v(r,t),cl(r,t),...,cq(r,t)] единицы массы сплошной среды определяется соотношением

äs = -äi + £-&-Y&-Sck, (1)

где u(r,t),v(r,t),ck(r,t) - соответственно локальная плотность внутренней энергии, удельный объем и локальные концентрации компонентов системы, являющиеся функциями пространственных координат г(х,у,:) и времени t\ Т, р, цк~ аналогичные локальные параметры интенсивных термодинамических величин.

В разделе 1.2 дается формулировка второго начала для открытой неравновесной системы через локальное а и полное Р производство энтропии, то есть через возникновение энтропии в единице объема и во всей системе за единицу времени. Локальное производство энтропии сг, также как и полное производство энтропии Pt для необратимого процесса является положительной величиной:

ег>0,

(2)

р= ^айУ= 0.

(3)

V V '

В разделах 1.3 и 1.4 соответственно рассмотрены уравнения баланса основных величин и обобщающее уравнение баланса энтропии в дифференциальной форме.

Линейная теория Онзагера, разработанная для слабо неравновесных термодинамических систем на основе теории флуктуаций, рассматривается в разделе 1.5. Ключевая идея этой теории состоит в том, что поведение неравновесной системы на феноменологическом уровне является результатом усреднения корреляций флуктуирующих параметров в разные моменты времени. Разработка этой идеи осуществляется на основе: 1) принципа микроскопической обратимости; 2) термодинамической теории равновесных флуктуаций; 3) постулате о связи между спонтанными флуктуациями и необратимыми процессами переноса; 4) линейного характера феноменологических уравнений переноса.

Основными результатами неравновесной теории Онзагера являются: 1) корректное определение обобщенных термодинамических сил Х( и потоков Ji и установление линейной зависимости между ними, выражающееся соотношениями

где 1у - так называемые феноменологические или кинетические коэффициенты; 2) установление соотношения взаимности для кинетических коэффициентов

В разделе 1.6 рассмотрена теорема Пригожина о минимальном производстве энтропии в стационарном состоянии вблизи равновесия и приведено определение стационарного состояния по Грооту.

Значительную часть обзора (разделы 1.7-1.9) составляет теория термодинамической устойчивости Гленсдорфа-Пригожина, в которой существенное значение играет второй дифференциал энтропии <525, являющийся функцией Ляпунова для изолированных и замкнутых систем вблизи равновесного состояния. Это означает, что для термодинамической устойчивости состояния временная производная второго дифференциала положительна, в то время как сам он отрицателен:

(4)

)

(5)

1 д

II

<525 < 0, (7)"

где р - полное производство энтропии. С физической точки зрения термодинамическая устойчивость в рассмотренных выше случаях обеспечивается диссипативными процессами, поэтому второй дифференциал энтропии 5г8 с этой точки зрения является одновременно и количественной мерой указанной диссипации.

Второй дифференциал энтропии 325 остается функцией Ляпунова и в случае произвольных отклонений системы от равновесного состояния, если сохраняется устойчивость в локальном масштабе. При этом для состояний системы далеких от равновесия претерпевает изменение достаточное условие того, что второй дифференциал энтропии 51 £ является функцией Ляпунова. Это обусловлено тем, что в сильно неравновесных системах существенную роль играют кинетические характеристики, так что отклонение термодинамических параметров системы следует рассматривать не только по отношению к равновесному состоянию, но также и стационарному. Соответственно, производная ¿>25 по времени оказывается связанной не с полным производством энтропии р , а, с вызванным возмущением по отношению к стационарному состоянию, избыточным производством энтропии

= (8)

где <£/,,<!¡X, - отклонения величин .1,,от их значений в стационарном состоянии.

Причем временная производная не имеет обычно строгого знака неравенства, так что может и не быть функцией Ляпунова. Временная зависимость второго дифференциала энтропии для устойчивого состояния (3,<5г5 > 0), неустойчивого (Э,<525 < 0) и нейтрального = 0) изображена на

рис. 1.

Нейтральное состояние устойчивости соответствует границе устойчивости, когда второй дифференциал энтропии перестает зависеть от времени, и процесс становится обратимым.

Поведение неравновесной системы в области неустойчивого состояния существенно отличается от поведения в области устойчивого состояния. В этом случае приток энергии и частиц в систему настолько значителен, что их распределение в системе через диссипативный процесс оказывается недостаточным. Это приводит к возник-

энтропии второго порядка (5г5) для неравновесной системы в устойчивом (Э,^25'>0), неустойчивом (Э,с?25<0)и нейтральном = 0) состояниях

новению диссипативных структур, движение частиц в которых когерентно (упорядочено).

В заключительной части обзора (раздел 1.10) рассматривается критерий эволюции неравновесной системы и связанная с ним концепция локального потенциала. Оба этих вопроса относятся к нелинейной неравновесной термодинамике и являются попыткой формулировки в ее рамках универсального управляющего закона для неравновесных систем. По существу, критерий эволюции, сформулированный Гленсдорфом и Пригожиным, есть попытка обобщения принципа минимального производства энтропии на случай нелинейных процессов, имеющих место в сильно неравновесных системах.

Согласно этому критерию эволюция любой неравновесной системы с фиксированными граничными условиями при существовании в ней локального равновесия всегда происходит в направлении убывания полного производства энтропии, обусловленного изменением термодинамических сил. Математически это выражается следующим неравенством общего характера

В нелинейной области дифференциальная форма дхР не является полным дифференциалом, а временная производная дхР/д1 не обладает экстремальными свойствами. Однако, согласно концепции локального потенциала, в локальной (по интенсивному параметру) области, а именно: для состояний сильно неравновесной системы близких к стационарному состоянию, указанные свойства у данных величин могут появиться.

В результате, в рамках термодинамического описания возможно введение локального потенциала, но невозможно введение глобального. Причина этого заключается в том, что само термодинамическое описание недостаточно для этой цели. В частности, в рамках ЛРТ не удается должным образом учесть взаимодействие локально-равновесных областей неравновесной системы, что указывает на необходимость перейти на более глубокий уровень описания неравновесной системы.

Вторая глава посвящена макроскопическому квантованию неравновесной системы и построению на его основе двухуровневой теоретической модели необратимого процесса. Наиболее естественное воплощение этой идеи удается осуществить на основе второго начала термодинамики, исходя из анализа квантовостатистического определения энтропии и структуры энергетического спектра неравновесной системы.

В большей части данной главы (разделы 2.1-2.5) излагаются результаты, полученные на основе анализа квантовостатистического аспекта равновесной и неравновесной системы.

Сформулированный в разделе 1.10 критерий эволюции неравновесной системы относится к глобальному уровню ее описания. Подходы, используемые на этом этапе описания неравновесной системы, могут значительно отличаться друг от друга в зависимости от уровня описания (термодинамический, статистический, кинетический и т.д.), степени сложности, отклонения от равновесного состояния и других факторов. Однако несомненно, что все эти факторы, в том или ином виде, должны учитывать необратимый аспект неравновесной системы. Дело в том, что необратимый процесс неразрывно связан с неравновесной эволюцией системы и, как бы, «конструирует» ее изнутри. Причем необратимость появляется всякий раз на этапе перехода от микроскопического описания неравновесной системы к ее макроскопическому описанию. С физической точки зрения здесь речь идет о наличии в неравновесной системе диссипативных процессов, которые в случае слабо неравновесной системы способствуют ее переходу в равновесное состояние, в случае же сильно неравновесной могут порождать диссипативные структуры.

С этой точки зрения полезным при рассмотрении вопроса о квантовом характере необратимости является анализ динамики энергетических уровней неравновесной системы. При этом количественной характеристикой взаимного расположения энергетических уровней является их густота, которая для равновесной изолированной системы имеет вид

й(£) = Д£/ДГ=Д£ехр!-5'(£/^)], (10)

где АЕ, АГ - соответственно интервал энергии, характеризующий ширину распределения вероятностей по различным значениям энергии Е системы, и статистический вес; кв - постоянная Больцмана.

Равенство (10) остается справедливым также и в случае неравновесной системы, но с тем существенным отличием, что энтропия 5' этой системы уже не является функцией полной энергии Е. Поскольку согласно второму началу имеет место соотношение:

(11)

где £ - энтропия системы в равновесном состоянии, то, с учетом (10), получаем также аналогичное соотношение и для соответствующих параметров густоты:

¡У>Э. (12)

Таким образом, параметр густоты уровней неравновесной системы по мере её приближения к равновесному состоянию должен возрастать, причем в равновесном состоянии он достигает минимального значения.

С микроскопической точки зрения неравенство (12) обусловлено изменением структуры энергетического спектра неравновесной системы при необратимом процессе.

В разделе 2.5, исходя из дискретно-непрерывной картины расположения энергетических уровней в неравновесной системе, получена формула для вычисления времени г'(у = 1 ,...,т) установления локально равновесного состояния в у-й подсистеме. Порядок величины г' можно оценить исходя из критерия неразличимости квантовых состояний в энергетическом слое у. Энергетические уровни у-го слоя становятся неразличимыми с того момента, когда неопределенность Д£/ каждого из них становится равной среднему расстоянию й1 между ними в этом слое:

Д£/ = £>\ (13)

где = ДГ'- статистический вес у-го слоя. Тогда из соотношений

неопределенности

ДЕ>к=±-, (14)

г'

и среднего расстояния между энергетическими уровнями у-го слоя

ас)

О' = — = ДЕ'ехр[-5'(Еу)], (15)

ДГ^

(Д£',£•'(£') - интервал энергии и энтропия подсистемы у), с учетом (13), находим:

г> =— ехр^^Е')]- (16)

Д Е'

Если внести возмущение на уровне у-го энергетического слоя, то время «успокоения», то есть время перехода частиц данного слоя в равновесное состояние вычисляется по формуле (16).

В разделе 2.6 осуществлено построение теоретической модели неравновесной системы, исходя из анализа квантовостатистического характера необратимого процесса в ней. Эта модель должна учитывать динамику энергетического спектра неравновесной системы в локальном и глобальном масштабах, и, следовательно, является двухуровневой.

Первый уровень описания соответствует рассмотрению квазиравновесных подсистем неравновесной системы. Причем квазиравновесные подсистемы идентифицируются по критерию близости энергетических уровней. Квазиравновесный характер данных подсистем позволяет использовать для их описания аппарат неравновесной статистической термодинамики.

Второй уровень должен учитывать изменение энергетического спектра неравновесной системы в глобальном масштабе и соответствует кинетическому

моделированию. В первом приближении его целесообразно осуществлять на основе макроскопических глобальных и локальных параметров исходя из основных положений неравновесной термодинамики. Поведение неравновесной системы на этом этапе является детерминированным, что и должно найти адекватное отражение при ее моделировании.

При выборе физически значимых глобальных и локальных параметров неравновесной системы следует исходить из того, что, во-первых, они должны быть определяющими параметрами необратимого процесса, а во-вторых, должны быть наблюдаемыми величинами.

На локальном уровне рассмотрения весьма полезным при выборе указанных параметров является уравнение Гиббса, которое в энтропийном представлении для у-й подсистемы имеет вид:

квР> = кв£х№ = рЁ1 + + , (17)

; к

где Р1 = ^ - поток энтропии в подсистему ] за единицу времени; Х{ = р',р'р\р'ц{ и J{ = Ё\У',Ы[ - соответственно, интенсивные и экстенсивные параметры данной подсистемы; Р' ,¥' - локальные

параметры обратной температуры, давления, химического потенциала, энергии, объема и числа частиц к- го компонента. Из трех параметров Р1 ,Х/ и .// в (17) определяющими в смысле необратимого процесса в неравновесной системе являются первые два, но предпочтительней параметр X/, поскольку является наблюдаемой величиной. Определяющим параметром необратимости на глобальном уровне является либо энтропия 5 (для слабо неравновесных систем), либо производство энтропии Р (для сильно неравновесных систем). Поскольку в дальнейшем будут в основном исследоваться сильно неравновесные системы, то наш выбор падает на вторую величину, которую, однако, необходимо модифицировать с учетом квантового характера необратимости. Действительно, в континуальной неравновесной термодинамике второе начало на глобальном уровне выражается положительностью полного производства энтропии

Р = \ЫУ> 0.

У

Однако, поскольку величина Р соответствуют гидродинамическому этапу описания неравновесной системы (модели сплошной среды), то она не может быть использована напрямую в предлагаемой нами модели. Прежде всего, необходимо осуществить её квантование с учетом дискретно-непрерывной структуры энергетического спектра неравновесной системы. В частности, речь идет об установлении связи между определяющими характеристиками необратимого процесса на локальном уровне (подсистема у) и глобальном (вся неравновесная

система). При этом в качестве определяющих локальных параметров целесообразно использовать термодинамические силы X/ (здесь - номера необратимого процесса и квазиравновесной подсистемы). В равновесном состоянии эти параметры становятся равными друг другу, что выражается равенствами

ЛЛ7 = 0, (18)

где ДЛу - отклонения параметров X/ от их равновесных значений X"4.

Равенства (18) определяют равновесное состояние системы как стандартную точку, являющуюся аттрактором для устойчивых состояний неравновесной системы. Другой стандартной точкой для неравновесной системы, как известно, является стационарное состояние. Математически корректное определение этой точки может быть осуществлено только за счет введения на локальном уровне второй группы параметров, характеризующих соответственно нестационарный аспект необратимого процесса. Речь идет о группе «скоростных» параметров X/, равных нулю для стационарных состояний и отличных от нуля для нестационарных. В первом случае эти параметры дают аналогичное соотношению (18) определение стационарного состояния, являющегося аттрактором для нестационарных состояний

Д7 =0, (19)

во втором же являются локальными характеристиками нестационарности.

Использование в качестве локальных характеристик неравновесной системы величин ДА"/, Х{ позволяет «проквантовать» полное производство энтропии Р по грубой энергетической шкале (по энергетическим слоям). Математически это означает установление связи между локальными параметрами неравновесности АХ/ и нестационарности Х{ и полным производством энтропии Р всей неравновесной системы, выражаемой функционалом

Р = Р(АХ!,...,АХ/,...,АХ?,Х1.....Х/,...,Х?). (20)

Данный функционал полностью соответствует указанной выше модели необратимого процесса, поскольку через параметры АХ/, X/ и Р на локальном и глобальном уровнях учитывает оба его важнейших аспекта - неравновесный и нестационарный.

В разделах 2.7 и 2.8 рассмотрена возможность введения скалярной кривизны гиперповерхности Р = Р(ЛХ},...,ЛХ",Х},...,Х'^, как глобальной характеристики неравновесности макроскопической системы.

В третьей главе на основе, разработанной во второй главе теоретической модели, анализируются такие фундаментальные аспекты неравновесной системы как ее термодинамическая и кинетическая устойчивость и инерционность. Эти аспекты непосредственно связаны с минимальными свойствами функционала

полного производства энтропии р(аХ}т...,ЛХ", x},..., х^), изучение которых вначале (раздел 3.1) осуществляется с рассмотрения неравновесной системы вблизи равновесного состояния. В частности, показано, что для неизотермической системы при ее термической релаксации функционал р{р\ /?', рт) обладает минимальными свойствами в равновесном и стационарном состояниях. Тем самым на этом примере в представлении кинетического моделирования дана интерпретация теоремы Пригожина. Затем в разделе 3.2 полученные результаты обобщены на случай п одновременно идущих в неравновесной системе необратимых процессов.

Для состояний неравновесной системы близких к равновесному состоянию функционал полного производства энтропии может быть непосредственно использован в качестве функции Ляпунова, то есть

АР =P(AXI,...,AX/,...,AXZ,XI,...,X/,...,X:). (21)

Это следует из того, что, во-первых, согласно теореме Пригожина о минимальном производстве энтропии, в указанных состояниях достигается минимум Р, а во-вторых, в соответствии со вторым началом и критерием эволюции для неравновесных систем, справедливы неравенства:

р>0, (22)

(23)

St

где dtfPldt - временное изменение P, обусловленное изменением локальных параметров X = {ЛУ/= {X/}.

Однако для сильно неравновесных систем функционал полного производства энтропии не является функцией Ляпунова по той причине, что в этом случае не выполняется необходимое условие минимума Р в стационарном состоянии, хотя условия (22) и (23), по-прежнему, имеют место. Как известно, в этом случае в качестве функции Ляпунова может служить избыточное производство энтропии, которое в глобально-кинетической интерпретации имеет вид:

SnP = P-P" , (24)

где Р, Р- текущее (АХ/ * 0,Х/ # 0) и стационарное (АХ/ 0,Х/ = 0) значения полного производства энтропии.

Поскольку в стационарном состоянии имеет место равенство

Psl = P(AX{S',...,AX/S',...,AX™') = const, (25)

то из соотношений (23) и (24) имеем обобщенный на нестационарный случай критерий эволюции:

— SyyP< 0.

dt X*

Вопрос о том, является ли функционал S^P функцией Ляпунова, зависит от знака этого функционала. При положительном знаке этого функционала (ß^P > 0) мы действительно имеем дело с функцией Ляпунова Дr=SXjCP. Если же S^P < 0, то система неустойчива и данный функционал функцией Ляпунова не является.

В разделе 3.3 рассмотрены локальные критерии кинетической устойчивости нестационарной системы вблизи стационарного состояния. Показано, что положительность второго дифференциала полного производства энтропии Vlö2P в глобально кинетическом представлении приводит к локальным критериям устойчивости, выражаемым неравенствами

где

Д, >0, Д2>0.....Дт >0,

Рп Р\2

(29)

рг\

Рп

Ри PIг • Р1 т

Рп р;2 ■ ■ PL

с Р'т 2 ■ Р' nun

Соотношения (29) дают нам критерии устойчивости сильно неравновесной слабо нестационарной неизотермической системы через кинетические коэффициенты Р'ч вблизи стационарного состояния. Очевидно, что для кинетически неустойчивой неизотермической системы знаки неравенств в соотношениях (29) следует изменить на обратные.

Показано, что основной вклад в изменение полного производства энтропии в состоянии нейтральной устойчивости (5гР- 0) происходит за счет первого дифференциала (¿Р»М262Р). Это означает, что избыточное производство энтропии сводится к первому дифференциалу, т.е. к линейной зависимости от скоростей изменения локальных обратных температур:

<5р = 2>Ж. (30)

SßP-

где Р,=(дР1др\ч,г=\,.../п.

Инерционность необратимого процесса в неравновесной нестационарной системе изучается в разделах 3.4-3.5. Само понятие инерционности необратимого процесса было введено в неравновесную термодинамику Пригожиным как свойство «инерции» неравновесных систем вблизи равновесного состояния. Пригожин поясняет, что если заданные граничные условия мешают системе достичь термодинамического равновесия с нулевым производством энтропии, то система переходит в состояние «наименьшей диссипации» - стационарное состояние.

Количественной мерой диссипации энергии в локально-равновесной теории Гленсдорфа-Пригожина является второй дифференциал энтропии , представляющий собой функцию Ляпунова (л , = 1/2525') для состояний неравновесной системы близких к равновесному состоянию. Последнее обусловлено тем, что в равновесном состоянии второй дифференциал 1/2й'2.У достигает максимума (первая часть второго начала) и знак временной производной второго дифференциал \128г5 противоположен его собственному знаку.

Действительно, соотношение (31) является достаточным условием максимума энтропии в равновесном состоянии (so = const = max). Соотношение же (32) следует из необходимого условия максимума энтропии (6S = 0) и второй части второго начала (P=dlSldt>0). Таким образом, функция Ляпунова А, объединяет первую (Ж = 0, <52S<0) и вторую (Р = \/2d,S2S > 0) части второго начала и, тем самым, дает четкий критерий устойчивости неравновесных систем. Более того, в рамках онзагеровской линейной теории взаимодействия необратимых процессов соотношение (32) устанавливает связь между вторым началом и инерционностью неравновесных систем. Этот результат следует из принципа Ле Шателье и рассмотрен Квасниковым в его известной книге по неравновесной статистической термодинамике.

Дальнейшее обобщение приведенных результатов связано с исследованием инерционности необратимого процесса, обусловленного не только неравновесным характером системы, но также и нестационарным. Для этого необходимо применить КМ и использовать функционал полного производства энтропии (20), содержащего локальные неравновесные и нестационарные характеристики АХ/ и X/. Причем в глобально-кинетической модели мерой диссипации энергии является либо второй дифференциал 1/2ЗгР полного производства энтропии для состояний близких к равновесному состоянию, либо второй дифференциал избыточного производства энтропии 1 / 2ô1SXj(P для состояний далеких от равновесия.

В заключительном разделе 3.6 на основе результатов полученных в предшествующих разделах 3.1-3.5 дается формулировка вариационного принципа для эволюции неравновесной нестационарной системы. Рассмотренные в разделах 3.1-3.5 аспекты устойчивости и инерционности позволяют осуществить формулировку вариационного принципа для неравновесной нестационарной системы через минимальные свойства самого функционала производства энтропии

-г2лчо,

(31)

2

(32)

(слабо неравновесная линейная система) или через

минимальные свойства избыточного производства энтропии SP^ (сильнонеравновесная нелинейная система).

Для нестационарной системы избыточное производство энтропии имеет геодезический характер, поскольку с ним связана инерционность диссипативного процесса. Тогда, поскольку выражение для избыточного производства энтропии имеет вид

ä^p = ]d-jrdt' (33)

искомое вариационное уравнение можно записать в виде

S(StfP) = 0. (34)

С учетом соотношения (34), уравнение (33) можно также записать в виде более удобном для практических приложений

ЛдууР , „

Я №f-dt=0, (35)

а

где /, и t2 - моменты начала и конца нестационарного процесса.

Уравнение (35) является управляющим уравнением для любых необратимых процессов, в том числе, одновременно идущих в неравновесной нестационарной системе. При этом, как и при решении уравнений математической физики (уравнение теплопроводности, диффузии и т. д.), его необходимо рассматривать совместно с уравнениями соответствующими начальным и граничным условиям неравновесной системы. Для сильно неравновесных нестационарных систем вариационное уравнение (35) приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными, поскольку кинетические коэффициенты, которые появляются при варьировании интеграла в левой части этого уравнения, не являются постоянными, а зависят от параметров термодинамических сил X/ и скоростей их изменения X/.

В четвертой главе рассматривается возможность использования КМ для исследования неравновесных нестационарных систем. С этой целью рассмотрено четыре неизотермических системы, хорошо изученных в экспериментальной и теоретической физике.

Так, например, в разделе 4.1 произведено КМ слабо неравновесной неизотермической системы. С этой целью осуществлено разложение функционала производства энтропии Р(Aß\...,Aß'",ß\...,ß"t) по малым параметрам Aß' и ß' в соответствующих стандартных точках (AßJ = 0,ßJ =0). С учетом того, что вблизи равновесного состояния первый дифференциал производства энтропии SP равен

нулю, а второй 1/232Р "обеспечивает" устойчивую диссипацию энергии, это разложение дает:

р = = + КР'Р' )• (36)

ЭР

rReP-=Ww

.Л'- 52р

дР'ЪР'

- неравновесные и нестационарные коэффициенты

разложения; /,у = 1,..., /п .

В нестационарном случае изменение Р обусловлено временным изменением "координат" Д/У, и "скоростей" р'. Поэтому вычисление скорости изменения производства энтропии дВдР!Ы следует осуществлять исходя из соотношения (36):

дРцр _ 1 а

S^^P^HP1 + Fvfi,pJ)- (37)

dt 2 dt

Тогда с учетом (37) вариационное уравнение (35) имеет вид:

sf-^t = |1(Р„/?'<?А' + P'P'SP' )dt = 0, (38)

О dt О ¡J

где г - время установления полного равновесия в системе.

Решение дифференциального уравнения (38) приводит к экспоненциальной зависимости обратной температуры от времени

ft'iihf!' (f)=ifi' (0)-/?'(0))ехр(- (39)

где P' (о), P'(t) - начальные обратные температуры подсистем.

Соотношение (39), полученное при условии что параметры АР и р малы, согласуется с аналогичными соотношениями, найденными другими методами. Например, при рассмотрении спин-решеточной релаксации в магнитных кристаллах в приближении спиновой температуры, когда время спин-решеточной релаксации значительно превосходит время установления равновесия в спиновой подсистеме (7"] = Tsp» ts) и рассмотрении решетки кристалла как термостата (Т = кв! р = const), получена формула временной зависимости обратной температуры Д(г) спиновой подсистемы

А-/* = (Д(О)-0)ехрН/Г,,), (40)

где р,(0) - начальное значение Д(/). Соотношение (40) совпадает с (39), если в качестве /, J подсистем выбрать соответственно подсистему спинов и кристалл-лическую решетку, полагая Р1 = Р, JaZ = T~J.

ч>'

В разделе 4.2 рассмотрена временная зависимость температуры перегретых электронов в сильно неравновесной нестационарной плазме.

В данном разделе рассмотрен частный случай сильно неравновесной неизотермической системы, а именно; квазистационарная двухтемпературная плазма, для которой нестационарные параметры /?'(у = 1,2) малы, что позволяет разложить по ним в ряд полное производство энтропии Р(р1,р1,р,р) в стандартной точке Р1 =0, соответствующей стационарному состоянию. При этом необходимо исходить из того, что в данном случае определяющим макроскопическим параметром является не само производство энтропии, а избыточное производство энтропии ёрР, обусловленное возмущением стационарной системы

где

д2Р

а/гэ/?'

^ ^ Л//

• коэффициенты разложения Р по малым параметрам рк

(41)

Это возмущение создается, например, наложением на стационарный разряд дополнительного импульса напряжения. Причем, поскольку теплоемкость электронов значительно меньше теплоемкости ионов (Се«С)), последние для квазистационарной системы можно рассматривать как термостат, полагая их температуру постоянной (Т'=Т = const). В результате, приходим к однотемпературному приближению, для которого функционал производства энтропии имеет вид

P = P(Pe(t),pe(t)),

(42)

где pe(t) = \ITL'(t)-

\

1

обратная температура перегретых электронов.

Используя соотношение (41) и вариации-онное уравнение (35), осуществлено кинетическое моделирование нестационарного процесса в данной системе в полном объеме. Во-первых, его "дерево" состоит из двух четко различимых этапов, соответствующих экспериментальной кривой временного изменения температуры горячих электронов плазмы (рис. 2).

Один из них связан с поступлением в систему возмущающей энергии (участок возрастания температуры электронов на кривой Ге(0). Он определяется первым дифференциалом производства энтропии ЗР, линейным по 0е. Второй этап соответствует рассеянию энергии в системе (участок спада температуры Гс(0) и определяется вторым дифференциалом 1/232Р, квадратичным по . Иначе говоря, нестационарный процесс обусловлен "конкуренцией" первого (ЗР) и

2 4-

V

I, шеек

50

100

Рис. 2. Временная зависимость Те(1) в условиях: Те0(1) = 2120 К; £„ = = 1,2 В/см:

1 - = 2,8 В/см, = 7,5 А; 2 -3,6 В/см, 16,0 А

второго (\1232Р) дифференциалов, "ответственных" за процессы переноса и распределения энергии в системе.

Максимум на кривой временного изменения температуры Те(1) определяется из условия непрерывности необратимого процесса при переходе от линейного переноса энергии к её рассеянию (диссипации). Это условие выражается термодинамическим уравнением

5Р^~д2 Р, (43)

которое приводит к равенству Т' (0 = 0.

На этапе тепловой релаксации определяющим является уравнение (35), которое, с учетом равенства

а 2 а

приобретает вид

]р«Р'ёР"Л1 = 0, (44)

где г- время тепловой релаксации. Ограничивающее условие, налагаемое на параметры 01 и /Г, состоит в конечности возмущающей энергии поступившей в систему и может быть записано в виде

} Ё'Л = || Р'с ^-¿и = со™!. (45)

О 20 Р

Совместное решение уравнений (44) и (45) методом неопределенных множителей приводит к следующей формуле для температуры горячих электронов на этапе тепловой релаксации плазмы

Г(() = Г

, Л7*(0) , ч

1--—ехр (-си)

7*( 0)

(46)

где Л7"е (0) = Тс(0) - Т" , Т" =Ге(г). Расчеты показывают соответствие формулы (46) экспериментально полученной кривой (см. рис. 2) временной зависимости температуры горячих электронов сильно неравновесной плазмы на этапе тепловой релаксации.

В разделе 4.3 осуществляется кинетическое моделирование на границе тепловой устойчивости неизотермической системы.

Уравнение (30) позволяет осуществить кинетическое моделирование теплового взрыва в неравновесном газе. В частности, в квазистационарном приближении получено соотношение, указывающее на взрывной характер

возрастания температуры на поступательных степенях свободы при возрастании избыточной энергии 5ЕГ на колебательных степенях свободы.

Кроме того, в разделе 4.4 уравнение (30) использовано для интерпретации участка расстеклования на кривой температурной зависимости теплоемкости халько-генидных стекол.

Типичная кривая температурной зависимости неравновесной теплоемкости Ср(Т) халькогенидного стекла, являющегося «замороженной» силь-

но неравновесной системой, представлена на рис. 3 и содержит участок аЬ, соответствующий обратимому фазовому переходу стекла в переохлажденную жидкость.

Из соотношения (30) получена аналитическая зависимость Ср(Т) на участке аЬ, которая хорошо согласуется с экспериментальной кривой на том же участке.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Осуществлено построение двухуровневой теоретической модели нестационарной неравновесной системы. Показано, что на локальном уровне группа параметров отклонений термодинамических сил от равновесия {ДА"/} характеризует неравновесный аспект системы, а группа параметров скоростей изменения термодинамических сил {л*/} - нестационарный.

2. Показано, что вблизи равновесия функционал полного производства энтропии неизотермической системы ?(/?',...,/?"', /?',..., /Г1) при ее термической релаксации обладает минимальными свойствами в равновесном и стационарном состояниях.

3. Показано, что в качестве функции Ляпунова для слабо неравновесной системы может быть использован функционал полного производства энтропии Р, а для сильно неравновесной - функционал избыточного производства энтропии

8хХР = Р-Р".

4. Получен обобщенный на нестационарный случай критерий эволюции неравновесной системы.

с Л* '•«Г~к

1200

Ж

oL

/

Ь 1

300

320

m

360

380 i, К

Рис. 3. Кривая Ср(Т) температурной зависимости теплоемкости стекловидного селена: 1 - скорость охлаждения расплава 5 "Смин , = = 43 "С , = 65 °С; 2 - 1 "Смин = 49 °С,

'S 2

: 63 "С

5. В представлении кинетического моделирования через функции Ляпунова для равновесного (ар = 1/2$2р} и стационарного (А/. = М2£26Р} состояний установлена связь между вторым началом и инерционностью необратимого процесса для нестационарной неравновесной системы.

6. Получено вариационное уравнение эволюции любых нестационарных неравновесных систем, в том числе, с несколькими одновременно идущими необратимыми процессами.

7. Для слабо неравновесной неизотермической системы получена формула температурной релаксации, которая совпадает с аналогичной формулой для спин-решеточной релаксации.

8. На основе кинетического моделирования выведена формула для временной зависимости температуры горячих электронов при тепловой релаксации двухтемпературной плазмы.

9. Показано, что в нейтральном состоянии устойчивости доминирующий вклад в изменение энтропии в системе осуществляется за счет первого дифференциала 8Р. Осуществлено кинетическое моделирование теплового взрыва в неравновесном газе.

10. Дано теоретическое объяснение хода температурной зависимости теплоёмкости селенового стекла.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИСССЕРТАЦИИ

1. Сайханов М.Б., Алтухов В.И., Авторханов У.А. Особенности тепловых свойств селена вблизи температуры стеклования // Тез. докл. Всесоюзной конфер. по электрографии (г. Москва, 24-27 октября 1988г.). Часть II. М., 1988. С. 55.

2. Сайханов М.Б. Геометрическое моделирование квантовых процессов // ВИНИТИ РАН, №2450-В95. М„ 1995.

3. Сайханов М.Б. Геометрическое моделирование в статистической теории необратимых квантовых процессов II ВИНИТИ РАН, №2450-В98. М., 1998.

4. Сайханов М.Б., Караева С.З. О предельных состояниях в термодинамике и квантовой механике // Сб., поев. 60-летию ЧГУ. Грозный, 1998.

5. Сайханов М.Б. Геометрическое моделирование в статистической теории необратимых квантовых процессов // Сб., поев. 60-летию ЧГУ. Грозный, 1998.

6. Сайханов М.Б. Квантовая кинетика сильно неравновесных многотемпературных систем II ВИНИТИ РАН №3981-В99. М„ 1999.

7. Сайханов М.Б. О кинетической устойчивости неравновесных систем // Сб. матер, конф. «Вузовская наука в условиях рыночных отношений». Грозный, 2005. С. 36.

8. Сайханов М.Б. О моделировании необратимых процессов в неравновесных системах II Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2002. № 4. С. 10.

9. Сайханов М.Б. О термодинамической и кинетической устойчивости неравновесных систем //Журнал физической химии. 2006. Т. 80, № 7. С.1330.

10. Сайханов М.Б. Моделирование необратимых процессов в неизотермических системах II Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44, № 6. С. 877.

11 .Сайханов М.Б. Моделирование необратимых процессов в неравновесных системах II Сб. матер. XI Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ. Т. 2. С.-Пб., 2005. С. 54.

12. Сайханов М.Б. Второе начало и инерционность необратимого процесса // Сб. научн. трудов КНИИ РАН. - Нальчик: Эль-Фа, 2007. С. 13-20.

13. Сайханов М.Б. О квантовостатистическом критерии равновесия и устойчивости макроскопической системы // Сб. научн. трудов КНИИ РАН. Вып. 2. М.: КомТехпринт, 2009.

САЙХАНОВ Муса Баудинович

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМАХ

Автореферат

Подписано в печать 18.03.2010 Печать офсетная Тираж 100 экз.

Уч.-изд.п. 1,44 Заказ № 32

Формат 60x84/16 Усп.-леч.л. 1,32 Бесплатно

ОИВТ РАН. 125412, Москва, Ижорскаяул., 13, стр.2

Введение

ГЛАВА 1. Локально-равновесная теория неравновесной системы.

1Л. Локальное равновесие и уравнение Гиббса.

1.2. Второе начало для открытой неравновесной системы.

1.3. Уравнения баланса массы, импульса и энергии.

1.4. Уравнение баланса энтропии.

1.5. Теория Онзагера.

1.6. Стационарные состояния и теорема Пригожина.

1.7. О геометрическом смысле второго дифференциала энтропии для слабо неравновесной системы.

1.8. Вычисление второго дифференциала энтропии.

1.9. Термодинамическая устойчивость неравновесной системы.

1.10. Критерий эволюции и локальный потенциал.

Выводы к первой главе.

ГЛАВА 2. Квантование неравновесной системы.

2.1. Необратимость и квантовостатистическое определение энтропии.

2.2. Квантовостатистический критерий равновесия и устойчивости макроскопической системы.

2.3. Необратимость и энергетические уровни.

2.4. Локальные квантовостатистические параметры энтропии и температуры.

2.5. Вычисление локального времени релаксации.

2.6. Построение двухуровневой модели.

2.7. Кинетика переходов и скалярная кривизна.

2.8. Пример вычисление кинетической скалярной кривизны.

Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3. Устойчивость и инерционность неравновесной системы.

3.1. Теорема Пригожина и устойчивость неизотермической системы.

3.2. Критерий эволюции нестационарной системы.

3.3. Локальные критерии кинетической устойчивости сильно неравновесной нестационарной системы.

3.4. Инерционность и второй дифференциал энтропии.

3.5. Исследование инерционности нестационарной системы.

3.6. Формулировка вариационного принципа для эволюции нестационарной системы.

Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4. Глобально-кинетическое моделирование неизотермических систем.

4.1. Температурная релаксация слабо неравновесной неизотермической системы.

4.2. Температурная релаксация сильно неравновесной нестационарной плазмы.

4.3. Кинетическое моделирование на границе тепловой устойчивости.

4.4. Температурная зависимость теплоемкости селенового стекла.

Выводы к четвертой главе.

а ведь к природе молено подойти, не рассматривая её отдельные куски, но попытаться, э/сивую и действенную, представить ее себе, идя отдельно к отдельным частям»

Иоганн Вольфганг Гёте

Одной из актуальных задач современной теоретической физики является построение общей теории неравновесных макроскопических систем, в том числе, сильно неравновесных нестационарных систем [32, 52, 65]. Как известно, наиболее значимые результаты в этом направлении были получены сравнительно недавно на основе неравновесной термодинамики, в рамках которой была дана формулировка второго начала термодинамики для открытой системы [62]. Именно эта формулировка совместно с идеей локального равновесия, введенной Пригожиным, позволила получить принципиально новые результаты, неизвестные в равновесной термодинамике. К их числу относятся, например, соотношения взаимности Онзагера, принцип минимального производства энтропии Пригожина, обобщенное определение стационарного состояния де Гроота, критерий эволюции неравновесной системы и другие [22]. При этом следует отметить, что не вызывающими сомнения и общепринятыми среди этих результатов являются, как правило, те, которые были получены для слабо неравновесной системы. В частности, принцип минимального производства энтропии можно рассматривать как управляющий закон для состояний термодинамической системы, близких к равновесию [63, 65]. Однако многочисленные и длительные по времени попытки обобщения этого принципа на случай сильно неравновесной системы в рамках термодинамического рассмотрения так и не увенчались успехом [22].

Основной задачей данного исследования является попытка сформулировать такой общий закон (вариационный принцип), который был бы управляющим для любых, в том числе, нелинейных неравновесных систем. Результаты исследований, проведенных с этой целью, показали, что эта задача на данном этапе развития физики является разрешимой, хотя для этого, вне всяких сомнений, требуются новые подходы и неординарные решения.

Решающий шаг состоит в переходе на глобальный уровень описания неравновесной системы, основанием для которого служит необходимость более полного учета ее кинетического аспекта, связанного с взаимодействием квазиравновесных подсистем [76, 77]. При этом реализация этой программы осуществляется, так же как и в теории Онзагера-Пригожина, на основе дальнейшей разработки второго начала, в том числе, его обобщения на нестационарный случай, и собственно концепции необратимости [74, 75]. Анализ квантовостатистического определения энтропии, динамики структуры энергетических уровней неравновесной системы приводит к двухуровневой глобально-кинетической модели, позволяющей осуществить теоретическое описание одновременно на уровне локально-равновесных подсистем и на уровне их взаимодействия между собой. При этом идентификация квазиравновесной подсистемы осуществляется по близости энергетических уровней элементов (молекул, атомов, электронов, спинов и т.д.) неравновесной системы, которая обеспечивается за счет их избирательного взаимодействия. С физической точки зрения, энергетический спектр квазиравновесной подсистемы, являющейся все еще макроскопической, можно считать непрерывным [40]. В то же время, дискретность энергетического спектра неравновесной системы обеспечивается тем, что энергетические ниши (слои) квазиравновесных подсистем могут довольно значительно отстоять друг от друга [53].

Затем осуществляется построение функционала полного производства энтропии соответствующего выбранной теоретической модели. Особенностью этого функционала является то, что на локальном уровне в качестве определяющих характеристик необратимого процесса, наряду с параметрами отклонений /SXJt -Xj -Xjeq (здесь i,j - номера необратимого процесса и квазиравновесной подсистемы) термодинамических сил от их значений в равновесном состоянии, вводятся также скорости XJt изменения этих отклонений. Это дает возможность адекватного учета нестационарного аспекта неравновесной системы, который не удается осуществить в рамках термодинамического подхода Онзагера-Пригожина [77]. Другое важное преимущество данного функционала состоит в том, что он одновременно позволяет осуществить (через полное производство энтропии, «проквантованное» по энергетическим слоям) теоретическое описание и на глобальном уровне [74]. В результате, предложенная модель в полной мере соответствует тезису Пригожина о необходимости учета конструктивной роли необратимого процесса при описании эволюции неравновесной системы [65, 66].

Вышеуказанный функционал полного производства энтропии позволяет провести более глубокие исследования устойчивости и инерционности неравновесной системы, в том числе, в отношении ее нестационарного аспекта. В частности, для неравновесной системы впервые дано четкое определение второй стандартной точки, то есть стационарного состояния, как аттрактора по отношению к ее нестационарным состояниям [77]. Также в предложенной модели рассмотрена теорема Пригожина о минимальном производстве энтропии и получены условия стационарности неравновесной системы на локальном уровне. Осуществлено обобщение критерия эволюции на нестационарный случай и показано, что вблизи равновесного состояния в качестве функции Ляпунова может служить сам является избыточное (по отношению к стационарному состоянию) производство энтропии ЗР^-Р-Р"' [77]. Показано, что инерционность необратимого процесса определяется вторым дифференциалом полного производства энтропии \/2S2P, с физической точки зрения характеризующего рассеяние (диссипацию) энергии в неравновесной системе [72]. Получены соотношения, определяющие инерционность системы по отношению к возмущениям равновесного и стационарного состояний на локальном уровне рассмотрения.

Все это, а также представление функционала полного производства энтропии в виде гиперповерхности Р~ p(AX},.,AX™,Xj,.,X™) в (2тп + \)~ мерном пространстве, образуемого параметрами позволяют сформулировать вариационный принцип для нестационарной неравновесной системы [74]. При этом в качестве физической основы для этой формулировки используется введенная в рамках теории термодинамической устойчивости Гленсдорфа-Пригожина идея о минимальности избыточного производства энтропии для сильно неравновесной, в том числе и нестационарной, системы. Сначала вариационный принцип формулируется для сильно неравновесной квазистационарной системы, затем дается. его обобщение на случай произвольной нестационарной системы.

Следует отметить, что всесторонняя теоретическая разработка данного направления исследований предполагает использование, во-первых, полевых методов, в том числе, римановой геометрии для исследования геодезических характеристик гиперповерхности, а, во-вторых, топологических методов, поскольку размерность последней при эволюции неравновесной системы может изменяться. При этом функционал время как вдали от него таковой структурный аспект неравновесной системы, в том числе, возникновение в ней диссипативных структур, совершенно неотъемлемым образом (через исходную глобально-кинетическую модель) связан именно с топологическими свойствами гиперповерхности и требует самостоятельного исследования. Что касается полевых методов, то они уже были существенно использованы при формулировке вариационного принципа для нестационарной системы [74].

Проверка глобально-кинетической модели и соответствующего ей вариационного принципа осуществлялась для конкретных неравновесных систем, исследование которых ранее было проведено теоретическими или экспериментальными методами. Надо отметить, что результаты, полученные на основе глобально-кинетического моделирования (ГКМ), полностью совпадают с ранее полученными данными [74]. В то же время среди них есть и такие результаты, которые теоретически удается получить только на основе глобально-кинетического моделирования.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложений и заключения. Первая глава является обзорной и посвящена рассмотрению локально-равновесной термодинамики неравновесных систем. Необходимость ее написания была связана с тем, что глобально-кинетическое моделирование неравновесных систем не исключает концепции локального равновесия. Напротив, оно представляет собой дальнейшее развитие и обобщение этой концепции на глобальном уровне рассмотрения.

Выводы к четвертой главе

1. Для слабо неравновесной неизотермической системы на основе ГКМ получена формула температурной релаксации, которая идентична аналогичной квантовостатистической формуле для спин-решеточной релаксации.

2. На основе сформулированного в разделе 3.6 вариационного принципа для нестационарных сильно неравновесных систем выведена формула для временной зависимости температуры горячих электронов при тепловой релаксации двухтемпературной плазмы, хорошо согласующаяся с экспериментальными данными.

3. На примере нестационарной неизотермической системы показано, что в нейтральном состоянии устойчивости доминирующий вклад в изменение энтропии в системе осуществляется за счет первого дифференциала SP, обусловленного процессами переноса (потоками) между ее квазиравновесными подсистемами.

4. Исходя из линейной зависимости первого дифференциала S'-P'vp' + Р^р от скоростей изменения обратных температур колебательной и поступательной степеней свободы, осуществлено кинетическое моделирование теплового взрыва в неравновесном газе.

5. Показано, что на кривой температурной зависимости теплоемкости селенового стекла участок, на котором происходит обратимый фазовый переход стекло - переохлажденная жидкость, в термодинамическом отношении соответствует состоянию нейтральной устойчивости. На этой основе дано теоретическое объяснение хода температурной зависимости данного участка.

Заключение

Полученные в данной диссертационной работе результаты по кинетическому моделированию неравновесных систем позволяют подвести некоторые итоги. Прежде всего, необходимо отметить, что переход на глобальный уровень описания неравновесной системы представляется неизбежным аналогично тому, как, в свое время, было неизбежным её локально-равновесное описание [22, 23]. При этом последнее остается значимым и в новой теоретической схеме, основной акцент в которой делается на кинетический аспект неравновесной системы [74, 76, 77].

Следует отметить, что построение этой теоретической схемы было достигнуто исходя из квантовой модели, позволившей естественным образом объединить локальное и глобальное описание неравновесной системы. С методологической точки зрения является ценным и то, что это построение осуществлялось (так же как и в теориях Онзагера и Пригожина) на основе второго начала, позволившего преодолеть, в том числе, и основные затруднения термодинамической теории Гленсдорфа-Пригожина, возникавшие при попытке выйти на кинетический уровень описания [22, 77].

Наиболее значимым теоретическим результатом диссертационной работы является формулировка вариационного принципа для неравновесной нестационарной системы. Эта проблема, как известно, возникла сразу после формулировки Пригожиным в 1947 году принципа минимального производства энтропии для слабо неравновесных стационарных систем. Обобщение этого принципа на случай сильно неравновесных нестационарных систем не удавалось осуществить в течение почти 60 лет [63, 65, 66].

В данной работе приводится сначала формулировка вариационного принципа для нестационарных неизотермических систем, а затем осуществляется его обобщение на случай любых неравновесных нестационарных систем. Его проверка осуществлялась при рассмотрении конкретных неизотермических систем (спин-решеточная термическая релаксация, сильно неравновесная нестационарная плазма, неравновесный газ на границе тепловой устойчивости, неравновесная теплоемкость халькогенидных стекол и т.д.) и дала обнадеживающие результаты. Полученные результаты опубликованы и докладывались на научных семинарах (МГУ, СПбГУ, Черноголовка, КБГУ, ЧТУ), а также на Всероссийской конференции (РКТС-11, С.-Петербург, 2005) и региональных (КБГУ, ЧГУ) конференциях. Кроме того, резюме проведенных исследований было отправлено для ознакомления Пригожину (2002), проявившего заинтересованное отношение.

В то же время, совершенно очевидна необходимость дальнейшей разработки этих исследований как в плане дальнейшего развития ГКМ, так и в плане использования уже достигнутых теоретических результатов для решения практических задач. Так, например, в теоретическом аспекте необходимо рассмотреть возможность ГКМ неравновесной системы на уровне статистического описания её квазиравновесных подсистем. В частности, в этом отношении перспективными представляются метод s — частичных функций ББГКИ и метод статистического оператора Зубарева [9, 25, 96], квантовая теория неунитарных преобразований Пригожина [65, 103, 109]. Необходимы также исследования квантово-кинетических и топологических свойств неравновесной системы, которые изначально (по построению) присутствуют в глобально-кинетической модели [27, 33, 76].

В практическом отношении ГКМ представляется перспективным при изучении любых неравновесных нестационарных процессов: в астрофизике, медицине, в современных технологиях, в атмосфере и на поверхности Земли и т.д. Несомненно, что ГКМ является полезным также при исследовании экстремальных состояний и неравновесного поверхностного слоя в многокомпонентных металлических сплавах и полимерах. В целом оно необходимо для более глубокого понимания любых неравновесных физико-химических процессов, применяемых для создания новых материалов и изделий, в том числе, на уровне современных нанотехнологий.

1. Абдулаев Г.Б., Абдилов Д.Т. Физика селена. - Баку, 1975.

2. Александров И.В. Теория магнитной релаксации. М.: Наука, 1975. — 399 с.

3. Баблоянц А. Молекулы, динамика и жизнь. М.: Мир, 1990. — 373с.

4. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. М.: Изд-во МГУ, 1989. — 240 с.

5. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Под ред. Д.Н. Зубарева и Ю.Л. Климонтовича. Т. 1. - М.: Мир, 1978. -405 с.

6. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц / Пер. с англ.; Под ред. А.А. Рухадзе. М.: Мир, 1967. - 514 с.

7. Белов К.П., Никитин С.А. Магнитокалорические эффекты в редкоземельных магнетиках // В сб. "Магнитные свойства кристаллических и аморфных сред". — Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1989.

8. Биберман Л.М., Воробьев B.C., Якубов И.Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. -М.: Наука, 1982. с. 375.

9. Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. Учебное пособие для университетов. М.: Высшая школа, 1975. -352 с.

10. Ю.Боголюбов Н.Н. Разложение по степеням малого параметра в теории статистического равновесия. Кинетические уравнения // ЖЭТФ -1946-Т. 16.-Вып. 8.-С. 681-691.

11. Бонч-Бруевич В.Л. Успехи физических наук. 1983. - Т. 140. — Вып. 4. -583 с.

12. Быстрай Г.П. Применение прямого метода Ляпунова в термодинамике необратимых процессов // Метод функций A.M. Ляпунова в современной математике: Тез. докл. Всесоюзн. научн. конф. — Харьков, 1986. С. 117.

13. Вакс В.Г. Кинетические явления в упорядочивающихся сплавах // Соросовский образовательный журнал. 1997. — № 8. - С. 105-115.

14. Вашман А.А., Пронин И.С. Ядерная магнитная релаксация и ее применение в химической физике. — М.: Наука, 1979. — 235 с.

15. Второе начало термодинамики. Сб. работ / Под ред. и с предисл. А.К. Тимирязева. М.-Л.: ГТТИ, 1934. -311 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001.-264 с.

17. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. — М.: Физматлит, 1961. -228 с.

18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. 63

19. Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики. М.: Высшая школа, 1981. —354 с.

20. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика / Под ред. Д.Н. Зубарева. М.: Наука, 1982. -584 с.

21. Гинзбург С.Л. Современные проблемы физики: Необратимые явления в спиновых стеклах. М.: Наука, 1989. - 149 с.

22. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / Пер с англ.; Под ред. Ю.А. Чизмаджева. -М.: УРСС, 2003.-280 с.

23. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика / Пер с англ.; Под ред. В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. - 304 с.

24. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела / Под ред. В.З. Кресина и Б.М. Струнина. М.: Мир, 1975.-382 с.

25. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов / Пер. с англ.; Под ред. В.Г. Морозова. -T.l.-М.: Физматлит, 2002.-431 с.

26. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов / Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: Мир, 1990. -607 с.

27. Карасев М.В., Маслов В.П. Асимптотическое и геометрическое квантование // Успехи математических наук. 1984. - Т. 39. - Вып. 6(240).-С. 115-173.

28. Карери Дж. Порядок и беспорядок в структуре материи. М.: Мир, 1985.

29. Квасников И. А., Шелест А.В. Некоторые вопросы кинетики модельной системы, допускающей точное решение. — Киев, 1969. — 12 с. (Препринт ИТФ: 69).

30. Квасников И.А.Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 559 с.

31. Киттель И. Статистическая термодинамика / Пер. с англ. А.А. Гусева. М.: Физматлит, 1963. - 696 с.

32. Климонтович Ю.Л. Проблемы статистической теории открытых систем: критерии относительной степени упорядоченности состояний в процессах самоорганизации // Успехи физических наук. — 1989. — Т. 158.-Вып. 1.-С. 59-91.

33. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов / Отв. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Наука, 1987. - 304 с.

34. Кубо Р. Достижения статистической механики // В книге "Перспективы квантовой физики". — Киев: Наукова думка. С. 129.

35. Кубо Р. Термодинамика / Под ред. Д.Н. Зубарева. М.: Мир, 1968. -304 с.

36. Кузнецова О.В. История обоснования статистической механики / Отв. ред. Л.С. Полак. -М.: Наука, 1988. 183 с.

37. Ла-Саль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Пер. с англ.; Под. ред. Ф.Р. Гантмахера. М.: Мир, 1964. -168 с.

38. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1: Механика. - М.: Наука, 1973. - 207 с.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — Т. 2.: Теория поля. М.: Наука, 1988. - 509 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Статистическая физика. Т. V. - Ч. 1. - М.: Наука, 1976. - 583 с.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения (впервые опубликована в 1892 г.). -М.: Гостехиздат, 1950.

42. Майоров С.А. Столкновительный нагрев электронов при фокусировке в газе сверхмощного и сверхкороткого лазерного импульса // Физика плазмы. Т. 27. - № 4. 2001. - С. 311-320.

43. Майоров С.А. Функция распределения в двухтемпературной плазме с холодными ионами // Т. 26. № 10. 2000. - С. 974-976.

44. Маневич Л.И. Обратимость и стрела времени: между порядком и хаосом. Часть 1. Феноменология необратимости // Соросовский образовательный журнал. 1997. №11. - С. 64-69.

45. Маслов В.П., Назайкинский В.Е. Туннельный канонический оператор в термодинамике // Функциональный анализ и его приложения. Т. 40. 2006 - Вып. 3. - С. 12-29.

46. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивого движения. М.: Наука, 1987.

47. Мэтьюз ДЖ., Уокер Р. Математические методы физики / Пер. с англ. В.П. Крайнова. М.: Атомиздат, 1972. - 399 с.

48. Нарат А. Ядерный магнитный резонанс в магнетиках и металлах // В сб. "Сверхтонкие взаимодействия в твердых телах" / Пер. с англ.; Под ред. Е.А. Турова. М.: Мир, 1970. - С. 163-235.

49. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979. 511с.

50. Новичков Д.Н., Глебов В.В. Экспериментальные исследования нестационарного процесса в неравновесной плазме смеси цезия с аргоном // Теплофизика высоких температур. — 1970. — Т. 8. № 4. С. 695.

51. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М.: Изд-во МГУ, 1974. 569 с.

52. Осипов А.И. Термодинамика вчера, сегодня, завтра. Часть 2. Неравновесная термодинамика // Соросовский образовательный журнал. 1999. №4. - С. 91-97.

53. Осипов А.И., Уваров А.В. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике // Успехи физических наук. 1992. - Т. 162. № 11. - с. 1 -42.

54. Осипов А.И., Уваров А.В. Неравновесный газ: проблемы устойчивости // Успехи физических наук. 1996. - Т. 166. № 6. - С. 639-650.

55. Осипов А.И., Уваров А.В. Физика неравновесного газа // Природа. -2001. №10.-С. 1-10.

56. Паули В. Н-теорема с точки зрения новой квантовой механики // Сб. трудов по квантовой теории / Под ред. Я.А. Смородинского. — М.: Наука, 1975. С. 663-679.

57. Паули В. Теория относительности / Пер. с нем.; Под ред. В.Л. Гинзбурга и В.П. Фролова. М.: Наука, 1983. - 336 с.

58. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики / Пер. с болгар. -М.: Мир, 1986. 285 с.

59. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 279 с.

60. Планк М. О статистическом определении энтропии // Избранные труды. М.: Наука, 1975.

61. Постников М.М. Лекции по геометрии: Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979. — 312 с.

62. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов / Пер с англ.; Под ред. Н.С.Акулова. Москва-Ижевск: Динамика, 2001.- 159 с.

63. Пригожин И. Время, структура и флуктуации // Успехи физических наук. 1980.-Т. 131.-Вып. 2. - С. 185-207.

64. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика / Пер. с англ.; Под ред. Д.Н. Зубарева. Изд. 2-е. М.: Едиториал УРСС, 2005. - 312с.

65. Пригожин И. От существующего к возникающему / Пер. с англ.; Под ред. Ю.Л. Климонтовича. М.: Наука, 1985. - 327 с.

66. Пригожин И. Постижение реальности: Выступление в Свободном университете Брюсселя 13 ноября 1997 года // Природа. 1998. №6. — с. 3-11.

67. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса / Пер. с англ.; Под общей ред. В.И. Аршинова, Ю.Л. Климонтовича и Ю.В. Сачкова. М.: Прогресс, 1986.-431 с.

68. Пуанкаре А. О науке / Пер. с франц.; Под ред. Л.С. Понтрягина. М.: Наука, 1990.-376 с.

69. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии // Сб. статей посвящ. 100-летию со дня рождения А. Эйнштейна "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". 1979. - М.: Мир. - С. 18-33.

70. Рюэль Д. Статистическая механика: строгие результаты / Пер с англ.; Под ред. Р.А. Милноса. -М.: Мир, 1971.-367 с.

71. С. де Гроот. Термодинамика необратимых процессов / Пер с англ. — М.: ГИТТЛ, 1956.-281 с.

72. Сайханов М.Б. Второе начало и инерционность необратимого процесса // Сб. научн. трудов КНИИ РАН. Нальчик: Эль-Фа, 2007 -С. 13-20.

73. Сайханов М.Б. Квантовая кинетика сильно неравновесных систем. — ВИНИТИ РАН. Москва, 1999. № 3981-В99.-С. 36.

74. Сайханов М.Б. Моделирование необратимых процессов в неизотермических системах // Теплофизика высоких температур. — 2006. Т. 44. № 6. - С. 877-884.

75. Сайханов М.Б. Моделирование необратимых процессов в неравновесных системах // Тепло физические свойства веществ и материалов: Тез. докл. XI Российск. конф. по тепловым свойствам вещества 4-7 октября 2005 г. Санкт-Петербург, 2005. - С. 54.

76. Сайханов М.Б. О моделировании необратимых процессов в неравновесных системах // Вестник МГУ. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. №4. с. 10-13.

77. Сайханов М.Б. О термодинамической и кинетической устойчивости неравновесных систем // Журнал физической химии. 2006. - Т. 80. №7.-С. 1330-1332.

78. Сайханов М.Б., Алтухов В.И., Авторханов У.А. Особенности тепловых свойств селена вблизи температуры стеклования // Электрография — 88: Тез. докл. Всесоюзн. научн. конф. 24-27 октября 1988 г. 4.1. Москва, 1988. - С. 55.

79. Сайханов М.Б., Караева С.З. О предельных состояниях в термодинамике и квантовой механике // Тез. докл. в сб., посвящ. 60-летию ЧТУ. Грозный, 1998.

80. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматлит, 1962.-284 с.

81. Семенченко В.К. Избранные главы теоретической физики. М.: Просвещение, 1960.

82. Соболев C.JI. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физических наук. 1997. - Т. 167. № 10. - С. 1095-1106.

83. Соколов И.В. Электроны малых энергий в квазистационарной неравновесной плазме имеют температуру ионов // Физика плазмы. — 1999. Т. 25. № 6. - С. 562-567.

84. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебное пособие. 5-е издание. — М.: Наука, 1977.

85. Толмачев В.В., Головин A.M., Потапов B.C. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 232 с.

86. Уваров А.В., Осипов А.И., Юнис С.М. Тепловая неустойчивость неравновесного газа. Физическая гидродинамика. М., 1994. - 7 с. (Препринт физического факультета МГУ N16/1995).

87. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: КомКнига, 2007. 240 с.

88. Фирц М. Статистическая механика // В книге "Теоретическая физика 20 века". -М.: Изд. иностр. лит. , 1962.

89. Фоменко А.Т. Вариационные методы в топологии. — М.: Наука, 1982.

90. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике / Отв. ред. Р.И. Солоухин. М.: Наука 1987. - 491 с.

91. Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механику / Под ред. Д.Н. Зубарева и Н.М. Плакиды. М.: Мир, 1969. - 207 с.

92. Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов / Пер. с нем.; Под ред. А.В. Лыкова, М.: Мир, 1967. 544с.

93. Хилл Т. Статистическая механика / Под ред. С.В. Тябликова. М., 1960.-485 с.

94. Хильдебрант С. Краевые задачи для минимальных поверхностей // В книге "Минимальные поверхности" / Пер. с англ.; Под ред. Р. Оссермана. М.: Физматлит, 2003. - С. 208-306.

95. Хоник В.А. Стекла: структура и структурные превращения // Соросовский образовательный журнал. 2001. - Т. 7. № 3. — С. 95102.

96. Шелест А.В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990. — с. 158.

97. Шеффильд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в плазме / Пер. с англ.; Под ред. JI.H. Пятницкого. М.: Атомиздат, 1978. — 280с.

98. Шредингер Э. Каноническое распределение квантовомеханических амплитуд // Избранные труды. М.: Наука, 1976.

99. Шульц М.М. Стекло: структура, свойства, применение // Соросовский образовательный журнал. — 1996. — С. 1-9.

100. Эсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.-218 с.

101. Abragam A., Proctor W.G. Spin Temperature // Phys. Rev. 1958. - V. 109.-N. 5.-P. 1441-1458.

102. Andrew K. Entropy // Am. J. Phys. 1984. - V. 52. - No. 6. - P. 492496.

103. Coveney Peter V. The second law of thermodynamics: entropy, irreversibility and dynamics // Nature. 1988. - V. 333. - P. 409-415.

104. Cutzow J., Schmelzer I. The Vitreous State: Thermodynamics, Structure, Rheology and Crystallization. Berlin-Heidelberg: Springtr, 1995. — 439p.

105. Daems D. and Nicolis G. Entropy production and phase space volume contraction // Phys. Rev. E. 1999. - V. 59. -N. 4. - C. 4000-4006. 100

106. Glansdorff P. Prigogine I. Sur les proprieties differentielles de la production d'entropie // Physica. 1954. - V. XX. - P. 773-780.

107. Misawa M., Suzuki R. Phys. Soc. Japan. - 1978. - V. 44. - № 5.

108. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes // Phys. Rev. — 1931 V. 37. - P. 405; V. 38. - P. 2265.

109. Petrovsky Т., Ordonez G., Prigogine I. Quantum transitions and nonlocality // Phys. Rev. A. 2000. - V. 62. -N. 042106. - P. 15.

110. Phillips J.S. Physics Today. - 1982. - February. - P. 27.

111. Ruppeiner G., Phys. Rev. 1979. - A 20. - P. 1607.

112. Woo H.-J. Variational formulation of nonequilibrium thermodynamics for hydrodynamic pattern formations // Phys. Rev. E. 2002. - V. 66. -N066104.-P. 5.

113. Локальная и субстанциональная формы уравнений баланса

114. А = ± \padV« = + \aadV*. (П.1.1)dt у0 у0 ot у0

115. V • (pav) = pv ■ Va , (П.1.8)приходим к локальному уравнению баланса (П. 1.3). Аналогичным образом из локального уравнения баланса (П. 1.3) выводится субстанциональное уравнение (П. 1.5).

116. Следует также отметить, что если производство сга величины А равно нулю, то локальные и субстанциональные уравнения баланса (П. 1.3) и (П. 1.5) становятся соответствующими (т.е. локальными и субстанциональными) законами сохранения этих величин.

117. Доказательство соотношений взаимности

118. Вычисление интеграла по переменной а, для значений j ф i приводит к соотношениюdwа для значений j -i к соотношениюcHvа, = а> Ч«,=±оо \W<i(X. = 1 • (П.2.4)

119. В соотношении (П.2.4) учтено условие нормировкиwdav.dan -1. (П.2.5)

120. В результате, приходим к следующему значению искомого среднего через 8 функцию Кронекераа,Х^-к8ц. (П.2.6)

121. Аналогично находим выражения средних произведений термодинамических сил и отклонений 71.:1. X.X^-kg^, (П.2.7)aiaj ~ kglj • (П.2.8)

122. Математическую формулировку свойства микроскопической обратимости удается осуществить через временные корреляционные функции а отклонений в моменты времени t и t+т в виде следующего равенства:0* (t + v) = а,(0а.(t — т). (П.2.9)

123. В силу эргодичности случайного процесса замена переменных t—r—>t в правой части равенства (П.2.9) не влияет на результат усреднения, так что справедливо равенствоц (/)«, it+г) = at (t + r)a. (t). (П.2.12)

124. Почленно складывая затем равенства (П.2.9) и (П.2.12), получимa, (t)aJ (t+г) = (Xj (t)a, (t+т). (П.2.13)

125. С другой стороны, умножая обе части равенства (П. 1.12) на переменную at(t) и производя усреднение полученных произведений,находим£ = kLj. (П 2 л 4)т ш

126. Аналогично получаем равенствог

127. Отсюда, с учетом соотношений (П.2.14) и (П.2.15), из соотношения (П.2.13), которое можно записать также в видеa, (i)ccj (t + г) а, (tty (t) = (t)a, (t + т) - at (/)«, (О, (П.2.16) получаем соотношения взаимности (1.5.2).

128. Определение устойчивости по Ляпунову

129. Будем полагать также, что начальные решения дифференциальных уравнений задаются при значении параметра t -10, то естьх° = (х°,.,хя°) = *„(/„). (П.3.3)

130. Если, к тому же, для малых возмущений, определяемых неравенством (П.3.5), при неограниченном возрастании tзс(0-Зс°(0|->О, (П.3.6)то решение (П.3.1) называется асимптотически устойчивым 59.

131. Расчёт температуры перегретых электронов в двухтемпературнойквазистационарной плазме1. Исходные формулы:1. Д/Г=Л/Г(0 У", (П.4.1)1. T{t) = Te1. А Г(0) , чп11.-—exp(-af)1. Г( 0) ^1. П.4.2)

132. Коэффициент а находим, дифференцируя по t левую и правую части (П.4.1) и полагая t = 0:1. П.4.3)а=Ш=т-(о) т:д/?е(о) ге(о)дге(о)' v ' ' '

133. Исходные данные (смотри рис.2, кривая 1):

134. Гс(о)=2917/:, Т^252%К, Те (о) = -2,23-107 К/сек; а = 0,497-105 се/с"1; АГ(0)/Г(0) = 0ДЗЗ.