Решение обратной задачи динамики в ОТО по алгебрам первых интегралов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. .3стр.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В ОТО И ЕЁ ПРОИЗВОЛ

§1.1. Алгебра интегралов движения

§1.2. Произвол решения обратной задачи

§1.3. Системы определяющих уравнений для линейных и квадратичных интегралов в ОТО.

§1.4. Связь обратной задачи с задачей моделирования физических полей.

§1.5. Инфинитезимальная биколлинеация в псевдоримановых пространствах и и приближённое отображение мировых линий. .41"?

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ ДВИЖЕНИЯ

§2.1. Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов заряженных частиц в конфигурационном пространстве.52 ?

§2.2. Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов заряженных частиц в зарядовом про странстве.бб

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

§3.1. Соотношение междзу линейными и квадра тичными интегралами движения.71 ?

§3.2. Методы решения обра тной задачи по квадратичному интегралу.74 г

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В СЛУЧАЕ ПОЛНОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

§4.1. Разделение переменных в случае измерений.79 ,у.»

§4.2. Разделение переменных в случае четырёх измерений.

Краткий исторический обзор. В классической механике интерес к решению обратной задачи динамики непрерывно возрастал с момента первой её постановки и решения Ньютоном [52,с.12] и в особенности в наши дни, по мере развития техники и космонавтики. Многочисленные исследования обратной задачи в классической механике подитоживает монография [ 17] . Автор монографии считает, что впервые выделил класс обратных задач Г.К.Суслов в 1890 году. [71] Под обратной задачей в классической механике понимается задача определения активных сил и моментов, приложенных к механической системе и дополнительно наложенных на неё связей, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой механической системы [17,с.7] . Свойства движения могут задаваться различным способом. Наиболее изучены в классической механике обратные задачи, когда свойства движения заданы в виде интегрального многообразия Е :

6а еЕ °° 6а (Хк, Х\ I ) - С а , Са= Со«*, /С-М, а=1Д Такие обратные задачи ставятся в следующих вариантах.

1. Построить систему уравнений движения

ХК=УК(Х\ Х\ I) .

2. Восстановить уравнения движения структура которых известна, но неизвестны параметры 77^ .

3. Замкнуть систему уравнений

Уо(Х\ хк, иг, иг, I) А построением замыкающих уравнений иг=\Л(Хк, Х\ VI пг, I), = г=ЯТй.

Обратная задача в первом варианте была поставлена и решена академиком Еругиным Н.П. [32] . Необходимые условия осуществимости движения с заданным многообразием £ записываются в виде дб дб а -у. I дб а

- ттгУк = U <» dl эх1 эх

Здесь функции Cj) произвольные в случае С а = О и обращающиеся в нуль на интегральном многообразии в случае Са t О . Аналогичные уравнения возникают во втором и третьем вариантах. [17,с.2 8]

Как наличие функций так и ситуация, при которой число интегралов m меньше числа уравнений п , позволяют решать обратную задачу с большим произволом, в рамках которого можно накладывать дополнительные условия. Например, подчинить силовые функции полевым уравнениям или наложить условия устойчивости движения и его оптимальности. [17,с.12],[l8,I9],[iö], [ 9] ,[54]

В ОТО обратные задачи пробных частиц относятся ко второму варианту. Так как, приняв гипотезу геодезических или форму сил Лоренца, действующих на заряженные частицы, мы получаем общую конструкцию уравнений движения. Неизвестными будут компоненты метрического тензора (^дк; и бивектора электромагнитного поля , либо вектор- потенциала ßi в той или иной калибровке. [ЗЗ] , [62j,[64]

Обратная задача динамики отличается от проблемы измерений или проблемы наблюдаемых, которые рассматривались Килмистером С. [45,с.89-99], Владимировым Ю.С. [14] , Арифовым Л.Я. [7,с.50-57] и в других работах, где основной задачей является выбор способа задания координат или систем отсчёта в общей теории относительности.

В работе [7,с.50-57] показано, что между координатами десяти независимых событий ( не лежащих на одной изотропной гиперповерхности) Ма. , «=1,10 в пространстве ОТО задаваемых в малой окрестности точки наблюдателя Мо, - (сИх1)а » ¿=^3" , интервалами между Мо и Ма,~ и значениями метрического тензора в точке Мо имеется связь: й £2 £2 а 1 [ и*1)* + «(с(1!Ь г^х'йх1^ (с1х%(с1х% ^(¿х'Ь^х*)! а =±.(еа-И— + (ах°)е

П = 1 (е? -ег (¿^Ь ^

О ,1 (ед г (с(зс2)э | п 1 (е^ I? ■ | о I

31= г

-(и еа=±1. (2)

Из формул (2) видно, что при фиксированных интервалах |а и значениях компонент ^¿к > для введения координат (¿Х1) а остаётся большой произвол. Однозначный выбор координат по каким либо дополнительным условиям физического или математического характера - нетривиальная задача, и в настоящее время не решена до конца в виду того, что дополнительные условия можно полагать в самых разнообразных вариантах.

При решении обратной задачи динамики считается, что каким-либо образом проведена арифметизация точек пространства Vv и введена координаты в конечной области G , включающую точку наблюдателя Л0, и в этих координатах заданы свойства движения. В диссертации рассматривается точечная пробная частица, обладающая динамическим,а не стохастическим характером движения, и полагается, что ее свойства движения заданы конечным числом первых интегралов движения, записанных во введенных координатах. Причём для упрощения решения обратной задачи можно провести преобразования координат, приводящие интегралы движения к каноническому виду, а затем осуществить обратные преобразования.

В ОТО обратная задача динамики была впервые поставлена академиком Седовым Л.И', как навигационная задача. Свойства движения задавались в виде отклонений подвижного репера.базы относительно неподвижного, связанного с системой гироскопов. Определяются компоненты метрического тензора ^¿к . С62J

Предложение приближенного определения метрического тензора QiK(cc) пространства ОТО по полям Якоби взаимного отклонения потока геодезических, исходящих из одной точки, было высказано в работеL I ]

Сингатуллиным P.C. решена обратная задача в статических пространствах §ока по вторым интегралам движения и по заданному полю скоростей. [64] , [65] , [63]

К особому классу обратных задач динамики относится задача определения силовых полей, которые допускают разделение переменных в уравнении движения в форме Гамильтона-Якоби. Они решались ещё Штеккелем [103-105] и получили полное решение в классической механике в работе Яров- Ярового [81] .В ОТО квадратичная форма гамильтониана не является положительно определенной. Ввиду чего возникают новые случаи, найденные различными авторами [76] , [108] , [83] , ив нашей работе [35,36] . В работах [36] , [ЗЗ], [78] заданными считаются полный интеграл действия 5(ОС, Д р), либо обобщенный импульс Р;(х), который,вообще говоря, является " ненаблюдаемой" величиной. Однако, математически проще исследовать симметрию уравнений Гамильтона-Якоби, полученные в этих работах решения позволяют находить волновые функции уравнений, для которых уравнение Гамильтона-Якоби является характеристическим,[50], например, уравнения Клейна-Гордона и Дирака в ОТО. Этой задаче посвящены многочисленные исследования. [74] , [8] , [84] , [49]

Ценность методов обратной задачи динамики состоит в частности в том, что они не требуют привлечения полевых уравнений. Это обстоятельство позволяет находить пространства ОТО, подчиненные как теории тяготения Эйнштейна, так и различным неэйнштейновским теориям гравитационных полей, если уравнения движения основываются на гипотезе геодезических или имеют подобную конструкцию, а подчинение полевым уравнениям укладывается в рамки произвола решения обратной задачи. Так в работах [10,9] , [54] найдены вакуумные и электровакуумные поля тяготения Эйнштейна, допускающие разделение переменных в функции действия 8 .

В рамках неоднозначности решения обратной задачи динамики в ОТО А.З. Петровым ставилась задача геодезического и квазигеодезического моделирования гравитационных и' электромагнитных полей

56 - 58] , хотя в этих работах обратная задача в общей постановке не рассматривалась. В нашей работе [66] поля тяготения моделируются произвольными силами в плоском трёхмерном пространстве и находится конструкция этих сил, а в работе [67] даётся обобщение задачи моделирования и выдвигается задача инфинитези-мальной биколлинеации.

Известно, что интегралы движения образуют алгебру относительно скобки Цуассона. [27,с.318-321 ]

Корректная постановка обратной задачи динамики по интегралам движения требует , чтобы заданные интегралы образовывали замкнутый идеал алгебры. [ 33 ]

Впервые в мех анике вывод интегралов движения из законов симметрии предложил Якоби в 1884 году [79,с.54] . Клейн первым обратил внимание на теоретико-групповой характер законов сохранения, в частности, при изучении уравнений ОТО. [93] Эмми Нётер в 1918 году доказывает первую, а затем вт орую теоремы, в которых конструктивным образом строятся интегралы движения Лагранжевых систем по законам симметрии функции Лагранжа. [1011

Первая теорема Нётер гласит, что всякому конечно-параметрическому (зависящему от 8 постоянных параметров) непрерывному преобразованию динамических величин И;(ОС) и одновременно координат по формулам

X* —* Хк = Хк + Хк, Л

ЫкСх) —Ык(х) =ик(х) - ¿Ык

3)

Хп йл*,

П = 1 П-1 где С^СО11 независимые постоянные параметры, обращающему в нуль вариацию действия динамической системы с функцией Лагранжа ЦК(ЭС) IX* е(СС)) соответствует 5 интегралов движеб

4)

Здесь интегрирование ведется по пространственной гиперповерхности б' и фактически не зависит от неё, а

Во второй теореме Нётер считается, что параметры X* и Vin зависят от координат, но как и в первом случае преобразования (3) образуют группу.

Интегралы движения вида (4) называются Нётеровскими.

Среди многочисленных попыток дальнейшего обобщения теоремы Нётер отметим следующие, Добронравов В.В.

26, c.151-152,15S-I6l] вводит преобразования, параметры которого зависят не только от координат Хк ,но и от скоростей X* . Исходя из инвариантности действия механической системы относительно таких преобразований он получает обобщённо-нётеровские интегралы движения и для интегралов такой конструкции доказывает обратную теорему. То есть для обобщённо-нётеровских интегралов движения находит преобразования, оставляющие действие системы инвариантным. Но алгебраическая природа этих преобразований и интегралов не выяснена. Кроме того, механические системы могут обладать и нёнётеровскими интегралами движения. Например - вектор Лапласа-Рунге- Ленца [47.0.33] д = гЬ/П - ~ •

Алгебраические свойства этих интегралов приводятся в монографии.^, с.322 ]

Ибрагимов Н.Х. [39] и Шаповалов В.Н. [73] обобщают теорему Нётер для преобразований, образующих группы Ли-Беклунда, параметры которых могут содержать производные динамических величин любого порядка.

Ибрагимов Н.Х. [40] , а также Кандотти и другие [83] показали, что инвариантность экстремальных значений функции действия системы является не только достаточным,.но и необходимым условием существования нётеровских интегралов.

Ибрагимов Н.Х. показал, что и вектору Лапласа-Рунге-Ленца соответствует однопараметрическая группа преобразований Ли-Беклун-да на траекториях движения частиц. [41,с.255-256 ]

Однако, вопрос о том, что каждому ли интегралу движения,включая ненётеровские интегралы, соответствует преобразование Ли-Беклунда, остаётся открытым.

Актуальность темы. В предлагаемой работе,рассматривается обратная задача динамики пробных частиц в ОТО. Работа объединяет и систематизирует многочисленные исследования симметрии полей тяготения и электромагнитных полей, устанавливая их отношение к решению обратной задачи динамики в ОТО. Выделены различные варианты решения в зависимости от вида интегралов движения в полях особой симметрии. Результаты могут найти применение в различных областях физики, механики и техники.

В космологии - для определения полей тяготения и отделения электромагнитных полей по интегралам пробных частиц, подобно тому как Ньютон нашёл вид силы тяготения по интегралам Кеплера. [52]

В матфизике - для построения волновых функций квантовых частиц. [50] , [8]

В механике - для моделирования программированного движения. Здесь программа движения задается интегралами движения, f 63 J , [20] , [19]

В технике - для конструирования приборов и узлов машин. [22]

Целью работы является разработка алгебраического подхода к обратным задачам динамики, получение уравнений для решения обратной задачи динамики пробных частиц в ОТО по интегралам движе

- иния и их решение для различных алгебр линейных и квадратичных интегралов движения. .

Метод исследований основан на групповом подходе к исследованию уравнения движения, разработанном С.Ли [97] , Л.В.Овсянниковым [53] , Н.Х. Ибрагимовым [38] , В.Н.Шаповаловым [73] . Этот подход является естественным и самым общим в том смысле, что любому интегралу движения пробной частицы в ОТО соответствует некоторый вектор группы преобразований Ли-Беклунда [33,34] , а для отыскания многообразия, состоящего из уравнения движения и его дифференциальных следствий любого порядка, необходимо знать касательные к этому многообразию вектора группы Ли-Беклунда, которые выражаются, в нашем случае, через интегралы движения.

Заметим, что другие возможные подходы, как правило, приводят к другим системам уравнений. [67] , [бб] , [51] , [2]

Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту.

I. Дан алгебраический подход к решению обратной задачи динамики пробной заряженной частицы в ОТО.

П. Получены уравнения для решения обратной задачи динамики пробных частиц по интегралам движения применительно к ОТО. В одних случаях это известные уравнения [77, с.84-86 ] , [74] в других, когда заряд является линейным интегралом, возникают новые системы уравнений. [34]

Ш. Дана классификация электромагнитного поля по алгебрам линейных интегралов.

1У. Указаны форцулы зарядовых преобразований метрического тензора (^¿к и вектора /?с электромагнитного поля, сохраняющие алгебру интегралов движения в специальных случаях, когда заряд является линейным интегралом движения.

- 12 t . . . , У. Указана возможность решения обратной задачи по квадратичному. интегралу в рядах и связь линейных , и квадштичных интегралов движения, упрощающая решение обратной задачи по квадратичным интегралам.

УХ. Приведено решение обратной задачи по.заданному обобщенному импульсу в том случае, когда задана алгебра взаимно коммутирующих линейных и квадратичных интегралов движения, в. случае полного разделения переменных. В отличие от решения 3.ТТ.Шаповалова для свободной частицы в Римановом пространстве [76] рассматрива-ется^движениезаряженной частицы в ОТО1.

Теоретическое значение. Указана связь различных геометрических задач с обратной задачей динамики в ОТО. Получены новые уравне--ния,раскрывающие симметрию пространств и электромагнитных полей, когда заряд пробной частицы ^ является линейным интегралом движения*

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались, и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

X . На семинатэе кафедры теории относительности, и гравитации Казанского университета ( руководитель проф. В.Р.Кайгородов -июль.X973 г, декабрь T98Q г., ноябрь 1982 г.).

2. На объдиненном семинаре кафедры теоретической физики и лаборатории антиферромагнетиков и ферритов.Башкирского государственного университета ( руководитель прогб. МЛ. %рзетдинов -ноябрь Х980 г., март Х98Х г., ноябрь 19р2 г.).

3. На П-ой научно-rпрактической конференции молодых учёных С Уфа, апрель Х98П г.).

На семинаре Отдела физики и математики БЗДН СССР )( рук. гпзо^. Н.Х. Ибрагимов, декабрь.Х982 г., рук.проф". В.И. Хвостенко, ноябрь Х9^Х г., ноябрь 1982 г.).

5. На семинаре кафедры теоретической и экспериментальной, фи-. зикй Башкирского педагогического института (рук. канд. физ.мат. наук, доц. Р-С. Сингатуллин, февраль 1980 г., март 1981 г., декабрь 1982 г.).

6. На итоговых научных конференциях Башкирского педагогического института ( январь 1979 г., январь 1980 г., февраль 1981 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь статей . Из них работа [37] выполнена совместно.с.Н.С.Шавохиной, работы [36,б7,бб] выполнялись совместно с Р.С.Сингатуллиннм, работа [Э5] выполнена совместно с М.В.Головиным. Работы [зз] , [з^] являются, самостоятельными исследованиями автора'.

Объем работы. Диссертация состоит из введения,четырех глав, заключения, списка, литературы и. изложена на страницах ма

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ.

В диссертации даётся и исследуется алгебраический подход к решению обратной задачи динамики пробной заряженной частицы в ОТО. Анализируется произвол определения первых интегралов движения пробных заряженных частиц в ОТО и их отличие от интегралов движения свободных частиц.

Принимается предположение, которое в случае полного разделения переменных в функции действия строго доказывается, о том, что гамильтоновы системы с квадрат ичной по обобщенным импульсам функцией Гамильтона не могут иметь независимых интегралов движения со степенями обобщенного импульса выше второй. Также накладывается ограничение на произвол определения собственного времени пробной частицы Т . Считается, что зависимость функции действия пробной частицы от её собственного времени Т класса С"1 .

В этих предположениях алгебраический подход к обратным задачам приводит к основополагающему для решения обратных задач динамики уравнению Еругина Н.П., детализированному для пробной частицы в ОТО.

В свою очередь оно распадается на системы уравнений, справедливых для той или иной алгебры интегралов движения пробной частицы, которые определяют ту или иную симметрию гравитационных и электромагнитных полей.

Указано отношение различных задач, выявляющих симметрии изометрических, гомотетичных, проективных движений, геодезического и квазигеодезического моделирования гравитационных и электромагнитных полей к решению обратной задачи динамики. Тем самым подчеркивается практическая значимость этих, рассматриваемых ранее задач.

Дается полная классификация электромагнитных полей по допустимым алгебрам линейных интегралов движения пробной заряженной частицы в ОТО.

Вводится и анализируется зарядовое преобразование электромагнитных и гравитационных полей, сохраняющее алгебру интегралов движения при условии, что заряд пробной частицы является линейным интегралом движения. Последнее условие выступает как достаточное, тогда как в подходе Калуцы-Эйнштейна это условие является необходимым следствием.

Заряд - линейный интеграл движения выступает достаточным условием и в других задачах, выявляющих особые симметрии. В частное-ти в диссертации анализируется симметрия гравитационной силы, действующей на пробную частицу с точки зрения вспомогательного трёхмерного евклидова пространства Е3 . Показано, что в случае, когда заряд является линейным интегралом движения в Е3 , трехмерная сила гравитации может иметь характер силы Лоренца. То есть быть линейной по скорости.

В другом случае, в пространствах, где заряд будет линейным интегралом движения в четырехмерном пространстве ОТО, возможны групповые преобразования, которые в диссертации названы биколли-неацией.

В диссертации доказывается теорема о связи линейных и квадратичных интегралов движения, пробной частицы, которая упрощает решение обратной задачи по квадратичным интегралам, так как линейные интегралы искомого пространства, найденные при помощи квадратичного интеграла частично определяют симметрию искомого . пространства и электромагнитного поля. По квадратичному интегралу остаётся доопределить метрический тензор и вектор электромагнитного поля.

Указывается способ приближенного определения метрики искомого пространства по квадратичному интегралу движения.

Пространства, которые не допускают линейных интегралов движения, допускают полный набор взаимно-коммутирующих квадратичных интегралов движения, а значит относятся к Штеккелевым пространствам.

Найдены все Штеккелевы пространства и электромагнитные поля в них. К такому классу относятся многие известные решения. В частности, метрика Шварцшильда, метрика Районера-Нордстрема, которые в диссертации рассматриваются как примеры решения обратной задачи. В частности указано, что утверждение о том, что в метрике Шварцшильда не существует независимых интегралов движения порядка выше второго, вытекает из условия полного разделения переменных в функции действия пробной частицы в пространстве Шварцшильда.

В диссертации рассматриваются первые интегралы движения, линейные и квадратичные по обобщенному импульсу пробной частицы. Л ля многочисленных практических приложений обратной задачи динамики задаются вторые интегралы движения и первые интегралы, которые считаются заданными или вычисляются по вторым интегралам как линейные или квадратичные выражения по скорости пробной частицы. Что бы применить полученные в диссертации результаты для практических целей нужно знать формулы обратных преобразований Лежандра Ц4= . Эти формулы можно записать только после ре

Рр1 шения обратной задачи и определения метрического тензора (^¿кСЗС)«

В обратной задаче метрический тензор находится с некоторым произволом. Поэтому обратные задачи динамики по интегралам движения заданных через обобщенный импульс и скорость пробной частицы не равноценны.

Диссертация нацеливает на дальнейшее исследование квадратичного интеграла, симметрии пространств в которых один или несколько зарядов являются линейными интегралами движения, гомотетичных и проективных движений для решения обратной задачи динамики в целях практического применения решений обрат ной задачи динамики в космологии, матфизпсе, механике, баллистике, конструировании релятивистских приборов и машин.

1. АЛЕКСАНДРОВ А .Н., ПИРАГАС К.А. Геодезическая структура. 1. Взаимная динамика геодезических. Tffi?, т.38, 1979, Н, с.71-83.

2. АМЙНОВА A.B. Проективные группы в пространствах-временах, допускающих два постоянных векторных поля. Сб. Гравитация и теория относительности, вып.10, Казань, изд. КГУ, 19 76, с.9-23.

3. АМИНОВА A.B. Проективные группы в полях тяготения. I), 2) Сб. Гравитация и теория относительности, вып. 8, Казань, изд. КГУ, 1971, с.3-20.

4. АМЙНОВА S.B. Проективные преобразования некоторых римановых пространств. Сб. Гравитация и теория относительности, вып. 7, Казань, изд. КГУ, 1970.

5. АМИНОВА A.B. О полях тяготения, допускающих группы проективных движений. ДАН СССР, т.197, 1971 , Щ

6. АНТОНОВ В.И., ВЛАДИМИРОВ ГО.С. Тезисы докладов 3-й Советской гравитационной конференции. Ереван, ЁГУ, 1972, с.19.

7. АРИФОВ Л1.ff. Общая теория относительности и тяготения. Ташкент, ФАН, 1983.

8. БАГРОВ В.Г., ГИТМАН Д.М., ТЕРНОВ B.C., ШАПОВАЛОВ В.Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений; Новосибирск, Наука, 1982.

9. БАГРОВ В.Г., ОБУХОВ В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна- Максвелла1. Изв.ВУЗов, Физика, 1981, № 12,с.33-36.

10. БАГРОВ В.Г., ОБУХОВ В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. Изд.ВУЗов. Физика, 1982, № 4, с.13-17.

11. БВРГМАН Г.Г. Введение в теорию относительности. Пер. с англ. М.,Иностр.лит., 1947.

12. БИЛЯЛОВ Р.Ф. Конформные группы преобразований в полях тяготения. ДАН СССР, т.152, 1963, № 3, с.570-572.

13. БИЛЯЛОВ Р.Ф. Об обобщении одной теоремы для групп движений на случай групп конформных преобразований. Тезисы доклада на итоговой научной аспирантской конф., 1962, Казань, изд. КГУ, с.69-100.

14. ВЛАДИМИРОВ Ю.С. Системы отсчёта в теории гравитации. М.,3нер-гоиздат, 198 2.

15. ВЛАДИМИРОВ Ю .С., АНТОНОВА В.И. В сб. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып.7, М., Атомиздат, 1977, с.162.

16. ВЛАДИМИРОВ Ю.С., ПОПОВ А.Д. Некоторые точные решения 5-мерной теории поля. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып.13, 1983, М. ,Знергоиздат.

17. ГАЛИУЛЛИН A.C. Обратные задачи динамики. М., Наука, 1981.

18. ГАЛИУЛЛИН A.C. Обратные задачи динамики и задачи управления движениями систем. Диф.уравнения, 1972, № 9, с.15-21.

19. ГАЛИУЛЛИН AwC., МУХАМЕТЗЯНОВ И.А., МУХАРЛЯМОВ Р.Г., ФУРАСОВ В.Д. Построение систем программного движения. М.,Наука, 1971.

20. ГАНТМАХЕР §.Р., ЛЕВИН Л.М. Теория полёта неуправляемых ракет. М., Физматгиз, 1959.

21. РОЛИКОВ В.И. О движении пробных частиц в общей теории относительности. Тезисы доклада на итоговой научной аспр. конф. , 1962, Казань, КГУ, 1962, с.100 -103.

22. ДОБРОВОЛЬСКИЙ В.А. Почти проективное отображение полей тяготения. Вырожденный случай. Сб. Гравитация и теория относительности, Казань, КГУ, 1941, вып.8, с1.65-90.

23. ДОБРОВОЛЬСКИЙ В.А. Один пример моделирования полей. Сб. Гравитация и теория относительности. Вып. 4,5, Казань, КГУ, 1968, с.241-243.

24. ДОБРОНРАВОВ В.В. Основы аналитиаеской механики. М., Выс.школа, 1976.

25. ДУБРОВИН Б.А ., НОВИКОВ С.П., ФОМЕНКО А.Т. Современная геометрия, М., Наука, 1979.

26. ЕГОРОВ И.П. Движения и гомотетии в римановых пространствах. Труды 2-ой науч. конф. Пед.инст. Поволжья, вып.1 , Куйбышев, 1962.

27. ЕГОРОВ И.П. О коллинеации пространств проективной связности. ДАН СССР, т.61, $ 4, 1948.

28. ЕГОРОВ И.П. Коллинеации пространств проективной связности. ДАН СССР, т;80, f. 5, 1951.

29. ЕГОРОВ И.П. К усилению теоремы ?убини о порядке групп движений римановых пространств. ДАН СССР, т.61, 1948, № 4.

30. ЕРУГИН Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. ПММ, 1952, вып.2, т.16, с.658-670.

31. ЗАХАРОВ A.B. Алгебра интегралов движения и обратная задача динамики пробных заряженных частиц в ОТО. Сб. Геометрия обобщённых пространств. Уфа, Б ГПИ, Х982, с.88-1 01.

32. ЗАХАРОВ A.B. Алгебраическая классификация решений обратной 'задачи динамики пробной частицы в ОТО. Деп. ВИНИТИ № 3269 -83, БГПИ, 19 83, с.36.

33. ЗАХАРОВ A.B., ГОЛОВИН М.В. Гамильтонова структура П мерного псевдориманового пространства Vn с векторным полем fti . Тезисы докл. 2-ой научной практич.конф. молодых учёных

34. БФАН СССР, Уфа, I 980, с.53.

35. ЗАХАРОВ A.B., СИНГАТУЛЛИН P.C. Структура обобщённого импульса пробной заряженной частицы и обратная задача в ОТО. Изв. ВУЗов Физика, 1981, № 7, с.60-64.

36. ЗАХАРОВ A.B., ШАВОХИНА Н.С. Предельный переход в методе инвариантного ящика. Сб. Гравитация и теория относительности. Вып. 10,11, КГУ, 1975, с.237-250.

37. ИБРАГИМОВ Н.Х. К теории групп преобразований Ли-Беклунда. Мат, сб.,т.109, вып. 2, М., Наука, 1979, с.229-253.

38. ИБРАГИМОВ Н.Х'. Тождество Нетер. Сб. Динамика сплошной среды, вып. 39., Новосибирск, 1979, с.26-32.

39. ИБРАГИМОВ Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения. TMS, T.I, 3, 1969, с. 350-359.

40. ИБРАГИМОВ Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М., Наука, I 983.

41. КАДЫШЕВСКИЙ В.Г. Теория поля и кривое импульсное пространство. Кн. Проблемы теоретической физики. М., Наука, 19 72, с.52-73.

42. КАЛУЦА Т. К проблеме объединения физики. Кн. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М., Мир, 1979, с.529.

43. ИГНАТЬЕВ Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования. Изв. ВУЗов., Физика, 1982, № 4, с.92-96.

44. КИЛМИСТЕР С. Алгебраические подходы к общей теории относительности. Кн. Гравитация. Проблемы, перспективы.,Киев, Наукова думка, 1972, с.84-92.

45. КЛЕЙН Ф. Высшая геометрия. М., Гостехиздат, 1939 .

46. ЛАНДАУ Л.Д., ЛИФШЩ Е.М. Механика. М., Наука, 19 65.

47. ЛАНДАУ Л.Д., ЛИФШИЦ Е.М. Теория поля. М., Наука, 1973.

48. МАСЛОВ В.П., ФЕДОРЮК М.В. Канонический оператор. Итоги науки. М., ВИНИТИ, 1973, с. 85-167.

49. МИЩЕНКО A.C., СТЕРШИ Б.Ю., ШАТАЛОВ В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М., Наука, 1973.

50. МУХАМЕДОВ А'.М. О свойствах симметрии движения заряженных тел в ОТО. Изв. ВУЗов, Физика, 1982, № 4, с.89-92.

51. НЫСТОН И. Математические начала натуральной философии. Собр. соч. акад. А .Н.Крылова. М,Л., АН СССР, 1936.

52. ОВСЯННИКОВ Л;.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М., Наука, I 978.

53. ОБУХОВ В .В. О некоторых классах точных решений уравнения Эйнштейна. Изв.ВУЗов, Физика,.1978, № 5, с.56-59 .

54. ПЕТРОВ А.З. Новые методы в общей теории относительности. М., Наука, 1966.56". ПЕТРОВ А.З. Моделирование физических полей. Сб. Гравитация и теория относительности. Казань, КГУ, 1968, № 4,5, с.3-21.

55. ПЕТРОВ А.З. Орбиты планет и фотонов в гравитационном поле Солнца в теории наблюдаемых'. Сб. Гравитация и теория относительности. Казань, КГУ, 1968, J6 4,5, с.22-43.

56. ПЕТРОВ А.З. О выборочном моделировании поля тяготения Солнца. ДАН СССР, т.190, 1970, )Ь 2, с.305-308.

57. РОСЛЫЙ A.A. Точные электровакуумные решения, найденные при помощи 5-мерия. Сб. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 13, М., Энергия, 1983, с.36-41.

58. СИНГАТУЛЛИН P.C. Построение электрических и магнитных полейпо заданным релятивистским траекториям зарядов. ДАН СССР, 1981,т.261, f- 6, 0.1339-1342.

59. СИНГАТУЛЛИН P.C. Построение метрики риманова пространства времени по заданным свойствам движения пробных частиц. ДАН СССР, 1978, т.242, К 2, с. 320 -323.

60. СИНГАТУЛЛИН Р-.С. Обратные задачи общерелятивистской механики пробных тел и их приложение к ОТО. Изв; ВУЗовт. Физика, 1980, № 10, с. 23-29.

61. СИНГАТУЛЛИН P.C., ЗАХАРОВ A.B., ФИНОГЕНТОВ В.Н. Отображение траекторий пробных тел и фотонов в пространстве ОТО \/ц на евклидово пространство Е3 . Сб. Геометрия'. Л., ЛГПИ, 1976, вып.5, с. II 6-I231.

62. СИНЮНЮВ Н.С. Об инвариантном преобразовании римановых пространств с общими геодезическими. ДАН СССР, 137, № 6, i960,с. I3I2-I3I4.

63. СОЛОДОВНИКОВ A.C. Проективные преобразования римановых пространств. УМН, т.II, вып.4, (70), 1956.

64. СУСЛОВ Г;К. О силовой функции, допускающей данные интегралы.1. Киев, 1890.

65. ФОК В.А. Теория пространства, времени, тяготения. М., Физмат-гиз, 1961.

66. ШАПОВАЛОВ В.Н. Симметрия дифференциальных уравнений. Изв.- но

67. ВУЗов. Физика, 19 77, № б, с.57-64.

68. ШАПОВАЛОВ В.Н. К симметрии линейного уравнения 2-го порядка непараболического типа. Изв. ВУЗов. Физика, 1975, fê 5, с.72-75.

69. ШАПОВАЛОВ В.Н., ЭЮ1Е Г.Г. Полные наборы и интегрирование линейной сист емы 1-го порядка. Изв.ВУЗов. Физика, 1974, № 2, с.83-92.

70. ШАПОВАЛОВ В-.Н. Симметрия и интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби свободной частицы в римановом пространстве. Изв. Вузов. Физика, 1978, № 6, с".8 4-86.

71. ЭЙЗЕНХАРТ Л.Г. Риманова геометрия. М., Иностр. лит., 1948.

72. ЭЙНШТЕЙН А. Собрание научных трудов А. Эйнштейна.-,т.2, М., Наука, 1966.

73. ЯКОБИ К. Лекции по динамике. М., Л., ОНТИ, 1936.

74. ЯНО К.,БОХНЕР С. Кривизна и числа Бетти. М., Иностр. лит. 1957.

75. ЯРОВ-ЯРОВОЙ U.C. Об интегрировании уравнения Гамильтона -- Якоби методом разделения переменных. ПММ, 1963, т.27, вып.6, &¿ 9 73-987.

76. ЯФАРОВ Ш.А. Дробный интеграл геодезических линий в пространствах аффинной связности. Сб. мат. журнал, Наука, 1977, с.1203, Деп. ВИНИТИ, № 722-77.3зр. Bernardin! С.Charge spuce.I.ûne particle .LTuovo ciia. ,1^32. A '/6,11 4,p.293

77. Вoyer C.R.Kalnins E.G, ,I.Iilier W.J". Separable Coordinates for four-Diiaensional Eiemanian Spaces Xormun.niathea.Physics. A 59,197З,p.¿35 Ô302.

78. De Broglie L. I Phys.et radium,I927,sèr.V1,V,Vlll,H 2,p.65.

79. Collinson G.P. Special guadratic first integrals of geodesies. J.Phys.A. Gener.Phys. 1971» PP-755-760.

80. Candotti E.,Palmieri C.,Vitale B. On the inversion of Hoethers theorem in the Lagrangian formalism.Nouvo cimento, vol. 70 A.,1970,pp.233-246.

81. Eddington A.S. Proc.Poy.Sos., 1921, vol. A 99. p.104

82. Foch V.A. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Z. Phys.1. Bd.98,1935, S.145-154.

83. Poch V.A. Z. Phys., Bd. 149. 1957, S.329.

84. Hoyle F.,Narlikar J.V. Proc.Roy. Soc.,1964,vol.A 282.p.l9l.

85. Klein P. Uber die Differetialgesetze iur die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinischen Gravitationstheorie. Kgl.Gess.V/iss.,Nachr. Göttingen Hath.-Phys. Kl. 1918, S. 665-695.

86. Klein F. Z. Phys.,1926,Bd.37,S.895.

87. Klein F. Z. Phys.,1927,Bd,46, S. 188.

88. Kramer D. Acta.Phys.Polon.,1971,vol. B 2 . p.807. 97» Li. S.,Engel P. Theorie der Transformationsgruppen,Leipzig: Tenbner,Bd 3,1893.

89. Handel H. Z. Phys.,1926,Bd 39,S. 136.99. lüannff S.S. »Nedjalkow I.P.,Nikolow O.N. On an inreers problem of the relativistic dynamics of a material point in post-newtonian approEimation.Dokl.Bolg. AN.1978,vol.31, 4,S.405-4©8.

90. Mc.lntosh C.B., Halford tf.D. Determination of the metrictensor. J.Phys.A: Liath.and.Gen. ,1981,v.14,9.pp. 233I-2338.

91. Noether E. Invariante variationsproblene.Nachr.Kgl.gess.

92. V/iss. Köttingen,Math.-Phys. Kl. I9I8. S. 235-257.

93. Olive D. The electric and magnetic charges as eirfcra components of four-momentum. Hucl.Phys. B.153,1>2,1979, p.1-12.

94. Stackel P. Habilitationsschrifte,Halle,1892.

95. Stackel P. Math.Ann. 1893,v.42,p.537

96. Stackel P. Confrfces. Eendus.1893,v.116,pp.485,1284.

97. Schmutzer E. Z. Phys. 1957. Bd. 149, S. 32p.

98. Thomas T.Y. Proc.Nath.Acad.Sci,1946, V.J2., p.10-15.108. t'/oodhouse IT.LI.J. Killing tensors and the separation of the Hamilton-Jacobi eguations. Comm.math. Phys. 1968, 10,p.280-310.