Симметрии и интегралы нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

\ и ••■

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И 1.ГОШШИ

На правах рукописи

ВЕЕР АНАТОЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

СГМЗТИЙ И ШТЕГРАШ НЗШ2ПШХ ДЙЭ9ЕРЙЩАЛШЯ ГРАЁИЕНКЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учэной стогони доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1994

Работа выполнена в Институте механики Уфимского научного цэнтрд Российской Академии наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Келикин; доктор Зизизю-ыетематичеокт наук С.В.иодэвко!

доктор физико-математических наук А.В.Шаайдав.

Ведущая оргашиащя: Институт гидродинамики Сибирского Отдаления РАН.

Защита состоится "/$" Щ-оиЗ 1994 г. в/М чаоав иа ааавдахош Специализированного совета Д 002.ОТ.О! по занята дио-.оортецаЗ на соискание ученой степени доктора паук при Института иатаматш и мэханшш Уральского Отделения РАН по адресу; 620219, г.Екатеринбург, ГСП-384, ул. О.Кавалавской, 16.

О диссертацией мозшо ознакомится в библиотеке Института математики и ыохвнкки Уральского Отделения РАН.

, Автореферат разослан *ЗР* ¡ХШЗ^ 1994 года.

Учений секретарь. Специализированного совета

к.ф,- м.н.

М-

М.И.Гусев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность текы. Теория симметрия (групповой анализ) дифференциальных уравнений является областью математически знаний, окончательно оформившаяся в последнее время. Предметом этого математического направления является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускаюцих эти группы дифференциальных уравнений. Систематическое применение таких груш для исследования дифференциальных уравнений, начэточ л обоснованное во второй половина проалого столетия С.Ли, А.Беклулдом, продол-кили и углубили Е.Картон, Г.Биргоф, Л.С.Понтрягкн, Н.Г.Чеботарев, Л.Н.Эйзенхарг, Л.В.Овсянников, Н.Х.Ибрагимов, А.И.Виноградов, Ж.Помаре и другиэ. Новый импульс своего развития групповой анализ дифференциальных уравнений получил в 70-е года. Это произошло благодаря тому, что наряду с классическими группами Ли точечных и контактных преобразований, используютс расширения этих понятий - группы Ли-Беклунда или высшие симметрии, введенные Н.Х.Ибрагимовым, и преобразования Беклундэ, которые позволяют интегрировать нелинейные дифференциальные уравнения. С высшими симметриями как правило, мокно связать шсслта законы сохранения. Высшие симметрии и законы сохранения являются важными внутренними свойствами уравнения - они чрезвычайно полезны как при построении точных решений, так и для качественного понимания поведения решения в целом. Ценность такого расширения обусловлена также наличием связи между свойством интегрируемости нелинейных уравнений методом обратной задачи теория рассеяния и существованием у этих уравнений высших симметрия. Оказалось, что точно рвг-шаемые дифференциальные уравнения имеют .бесконечную алгебру высших локальных симметрия. Это позволило рассматривать наличие у уравнения бесконечной алгебры симметрия в качестве отличительного признака интегрируемости. В силу этих причин в групповом анализе возникло научное направление, которое можно назвать так " Симметрийныв метода классификации интегрируемых нелинейных уравнений Таким образом актуальной является задача о классификации дифференциальных уравнений, допускающих бесконечную алгебру симметрий.

Целью данной работы является: групповая классификация интегрируем!« полулинейных гиперболических уравнений и полное описание допускаемой груши преобразований;, исследование связи меаду сиыметриями и законами сохранения 5 тостроеше точных ращений дифференциальных уравнений.

Методика исследования. 8адата, рассмотренные в диссертации, решаются с помощью использования теории групп преобразований ЛиБо клунда и алгебр Ли дифференциальных операторов. Применяется язык близкий к доЩаренциальноЙ алгебре, используемый в групповом анализе дшМеренциадыщх уравнений. Основными понятиями являются критерий инвариантности многообразия относительно действия группы, касательные и почти обратимые преобразования, заданные дифференциальными уравнениями.

Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносится на ващиту:

1. Полные списки моделей Клейна-Гордона и их обобщений, обладающих высшими оимметриями. Описание допускаемой группы преоб- . разований;

2. Классификация квазилинейных гиперболических уравнений инвариантных относительно группы преобразований Лит-Беклунда, содержащей произвольные функции;

3. Общие решения линейных гиперболических уравнений, связанных о уравнением Лиувидля;

4.'Исследование характеристических и полных .алгебр стаци-вльшх квадратичных систем дифференциальных уравнений и полное . описание на их основе алгебр Ли-Баклунда;

Б. Необходимые условия полной интегрируемости двумерных динамических систем уравнений. Сгшски частично интегрируемых и ин-тегрируешх в квадратурах таких уравнений;

6. Полнее описание алгебр Аи-Беклуида и-законов сохранения уравнений описьшавдк волнавыа процессы, а именно уравнений генерации второй гармоники, системы уравнений п - волн и системы нелинейных уревуашщ Шредингера;

7, Прилогкшш касатальных и почти обратимых, преобразований к построению ранений краевых вадач для интегрируемых аволвдион-

ннх уравнений второго порядка.

Основные результата и выводы работы являются новыми.

Апробация работа. Основные результата диссертации были доложены на семинарах: теоретического отдела Института гидродинамики Сибирского отдаления РАН под руководством академика Л.В.Овсянникова, Института математики я механики Уральского отделения РАН под руководством вкадамика А.Ф.Сидорова, Института механики Уфимского научного центра РАН.

Отдельные результаты работы были доложены на конференциях и семинарах:

- Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (Новосибирск,1979);

- Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Иркутск, 1981 ; Миасс,1985; Тамбов, 1987; Куйбншф,1989); -Уральских региональных конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям (Магнитогорск,1984; Пермь,1986; Уфа,1386);

- VII международном конгрессе по водородной энергетика (Москва, 1939);

- IV международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Руссе ,1989);

- Межгосударственной нвучно-мэтодичвскоЯ конференции "Герценов-скиэ чтения" (Ленинград,1991);

- I, 1Х-Х1 межгосударственных коллоквиумах "Современный групповой анализ: метода и приложения"(Уфа, 1983,199Г ;Ниюшй-Новгород, 1992; Самара,1993);

а также на семинарах МГУ им. М.В.Ломоносова, Института теоретической физики АН РАЯ, Института математики к механики УАН, Института математики с вы числительным цэнтром Уфимского научного центра РАН.

Публикация. Основные результата диссертаций опубликованы в работах 11-211.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Текст разбит па 24 параграфа, а крупные параграфы разделены на пункты. Общий объем работы составляет 236 страниц, библиографий содержат 82 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность теми, диссертации, кратко изложено содержание работы по главам и параграфам, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава посвящена групповой классификации специальных классов уравнений вида:

и^ « (1)

и задаче о полном описании алгебры Ли-Беклуида.

В §1 доказано распадение группы преобразований Ли-Беклунда (симметрии) по характеристическим направлениям (лемма 1.1), описано ядро оператора 0 (В-полная производная по переменной у) в алгебра f аналитических функций , каждая из которых зависит от конечного числа переменных х, у, и, и,, г^,..., ^.....где

и^.,» Ои^, й^я и0« й0= и, к = О, 1, г.... (лемма. 1.2.). Перечислены уравнения

и = а(х,у,и) (2)

лу

, обладающие нетривиальными х-интегралами:

Теорема 1.1. Уравнения (2) для которых кег5 / {<р(х)> точечными преобразованиями приводятся к одному иа следующих

и^ - а(х,у), (3)

и ' = 6й, ' (4)

ху

иху = Р(*»У>и + Ч<3.У)- • <Б>

При этом интеграл уравнения (3) ц = и^ ]ас1у, для уравнения (4)

м ш и - и?/2 , а интеграл и уравнения (Б) задается формулой * 1 га-1

* = Лп + Р0(ЗЕ'У) f 2,Рк(1,у)ик • где р, q, р0, р1,...,рт1 - решение системы уравнений

5рптк„ ♦Ь^-А^/р* = 0. к=0,1,2.....т-2,

ю-1 т-1-1 _ и-1 т-1-1

¿^В Р =0. ВРо + Р.-!11 Ч " Рш=1-

В §2 рассматривается групповая классификация уравнений Клейна-Гордона

ихзг=а(и). (6)

Обозначим через ( Г^) - линейное пространство симметрия

уравнения (6) зависящих лишь от переменных и,,^,... (й1 ,¡3^,... )•

При кегВ = сопзЬ ими доказано, «то пространство сшмотрий Г уравнения (6) является прямой- суммой подпространств fх и Т я любая симметрия 1(1Ц ,и2>• ■ -ип) из Гг порядка п по модулю симметрии меньших порядков является обобщенно-однородной функцией степени п (степень однородности и^ равна к) (лемма 2.1). Основным результатом этого параграфа является утверждение:

■ Теореаа 2.1. Пусть кегБ = сопа1, а Ф и. Тогда уравнение (6) допускающее нетривиальную группу Ли-Беклунда с помощью точечных преобразований приводится к одному из стандартных видов:

и = еи + е"и (7)

*у

и = еи + еГ2и. .(8)

Доказательство теоремы основано на утверждении леммы.2.1.

Уравнение (7) имеет нетривиальную! симметрию

(3> з

Г = и3 - и*/2, .

а уравнение (8) обладает симметрией

С5 ' ? ? ' '

Г = и5 + - Ц,и3 - и,и|) + и^ . (9)

В §3 исследуются алгебры Ли-Беклунда уравнений Клейна^ Гордона (6). Как следует из результатов §§1,2 правея часть а(и) уравнения (6), допускающего нетривиальную группу преобразований Ли-Беклунда, приводится к одному из стандартных видов :

0. и, еи, еи+еи, еи+е"ги.

Алгебра Ли-Беклунда волнового уравнения изгу.=0 задается формулой

1=си +• «риц,!^.....ип) + ф^.йд.....йи), с=сопзг,

а любой элемент алгебры уравнения и = и

1-оои+к2/дайк»'п>,'г.....

где ск, ск - постоянные.

Леша 3.1. Симметрии уравнения Лиубилля (4) вычисляются по формуле

1 = (ГН-и^Ми, я,,...) + (Б+и^Щй, *,,,...)«

где и = о, - и^/2 (« = й - П|/2 .), Ь (Н ) - произвольная функция своих аргументов.

Описание алгебр Ли-Беклунда, допускаемых уравнениями (7) и (8) основано на коммутативности этих алгебр (теорема 3.1).

<п)

Теорема 3.2. Алгебра симметрии Г(1ц,иг,...,ип) уравнения (7) совпадает с алгеброй симметрии модифицировашого уравнения Кортевега-де Фриза •

п. = и - и3/2

1 хаос х

и вычисляется по рекуррентной формуле

(п+2) _ „ .. <п) (1)

Г = (1)г - и; * и^"1!^) 1 , Г = и, , п = 1,3,5,---- (10)

Полная алгебра Га симмэтрий уравнения (7) Га = ^ + fy . Здесь Гх вычисляется по формуле (10), Гу получается из заменой и^м й^., к=1,2,3,... .

Алгебра, допускаемая уравнением (8) совпадает с алгеброй Ли-Беклунда эволюционного уравнения

' гц = и5 + 5(и2и3 - и^ц, - и^) + и^ (11)

заданного симметрией (Э). В этом случае вопрос решает замена т = -и2 -

переводящая (11) в уравнение

т = -и2-'и^, (12)

т^.' = у5 + 5(7 т3 + + у2?, >. (13)

Построение алгебры, допускаемой уравнением (13), осуществляется с помощью оператора рекурренции

Ъ = (Бг + 4у 1 27,11"')(Вг + у) V (дг + и,) Б-1

который нвили В.В.Соколов и ^.Б.ИаОат .

Отметим, что земену (12) кашли Н.Х.Ибрагимов и А.Б.Шабат. ' С другой стороны "метод спуска", предложенный в работах

А.Н.Лезнова и А.Б.Шабата, позволяет регуляртам способом описать алгебру симметрия уравнения (8).

Теорема 3.3. Коммутативная подалгебра f , допускаемая урав-

(1+бк) (5+бк)

нением (8), полностью исчерпывается элементами- f и î , к=0,1,2.....Эти С1М'втр;ш вычисляются по рекуррентным формулам

и+<5(ю1)) o-teic) (5+6(k+1 )) (5 + 6k)

I = I 1 I = I Г k=0,1.2,..... :

• где

X=(D-u1-2u1D"1u1)(B-u1)D(D+u1)(D+ur2ulD"1u1)D , (1) (б)

f = Uj, a î определяется формулой (9).

В }Н,5 рассматривается задача о перечислении ecqi нэлшей-ных систем уравнений

ux = p(u,7), уу = q(u,v) , (14)

обладающих нетривиальными сишетрмями. Класскфшшет проводится с точностью до замен и <-> <p(u), v <-> ф(у), не манящих вид системы.

Отметим", что система (14-) эквивалентна уравнению V = afu.îi^ïu^ + b(u.ux).

В §4 проведен анализ первых Г и D - условий существования симметрий уравнений (14). Эти В - условия имеют вид Db + Dqv =0, Db1 + Ш. = 0 .

Db, + Шэ + Da. - t),Dq = Q , 2 1 1

где A = pvqu , a1 = pu Л - qu Dpv, a D - условия получаются из

D.- условий заменой D ♦-» Б, у « u , р « q , Основным результатом является:

Taopeua 4.1. Пусть рцру * d и выполнены.первые три D и D -- условия. Тогда функции р и q удовлетворяют условиям-

Puuu + *'Р + 2,Pu= <W + ФЧ + 2<^у = 0 • (15) Здесь I(u) и $(v) - произвольные функции.

Теорема 4.1. сводит клаосификвционную задачу к определению функций одного переменного. Действительно, в силу первого из уравнений (1Б) р « (a¡<f + a2q> + Од)/tf•, где ф и а1? 1 - 1, 2, 3 - произвольные функции перемещай«; и и y соответственно. Аналогичная формула справедлива для функции q. Замена

и *-» ф(и), v « <!)(»■), р *-* tp'p, q i|>'q (16)

приводит сиотему (И), удовлетворяющую условиям (1Б) к виду u* = ai Wv2* + а3<у> • vy - а, (и)т2 + а2(и)т + а3(и>;

Основной реэультат классификации формулируетсК слудунцим образом:

Теорема 6.1, Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Тогда сис-; тема уравнений (14) эквивалентна с точностью до ваменн (16) одной из сиотем:

U X и а 1л Y , Y У = u ,

Цх е^ + е-27 , Y У = u >

U X - в1л V , V У гг Bin u ,

\ = а(т) . V У = eu ,

u X = Ur т У = u/ + 1,

ii X = т , Y У = еЛг + e2u

U X = UV + 1 . , цу = UV + 1

Во второй главе рассматривается классификация уравнений (1) (Эа/Ох = За/О;/ - 0) инвариантных относительно группы преобразований Ли-Беклунда, содержащей произвольные функции. С этим свя-

занв возмояность их полного и частичного интегрирования.

Для кеядсго дифференциального уравнения, допускающего сЗэс-конечную алгебру Ли-Беклунда", определимое ( линеаризованное ) уравнение имеет .либо счетную серию частил реютай, либо мокно построить формулу для решения содержащую произвольные функции.

По-видимому с каждым таким уравнением связана целое семейство линейных уравнений допускающих полное пли частичное интегрирование .

В качестве примера перечислены линэйлнэ уравнения

т = а(и,и ,и )у + Ь(и,и ,и )у + о(и,и ,и )т (17)

А/ * ; л 7 / луд

интегрируемые в алгебре функций Г , зидпансй уравнением Лиувилля На уравнения

и ~е ху

V = a(U'Ux'Ur) • (18)

исследуемые в этой главе накладываются слодугацио условия: существование симметрия сколь угодно большого порядка по обоим характеристическим направлениям'и нетривиалькость ядер операторов

D и Б в алгебре f.

В §6 получеш необходимые условия существования симметрия.

Так первое и второе TS - условия записываются в виде '

а е Imü, X е ImD ( А = а + а а- ). ui ui ui U1 ■

Числа lc1 = min ord'p , au = Dcp и 11 = min ordfp, X = üp будем

называть соответственно порядками первого и второго D - условия. Аналогично определяются порядки первых двух Г - условий. Будем говорить, что уравнение (18) принадлежит классу

»(к,,11;kg,l2), если порядки его первых D и D - условий равны соответственно k1 и а вторых 11 и 1г

Определение^ Уравнение (18) называется уравнением Лиувилля

типа (N,N), N.R = 0,1,2,..., если это уравнение обладает симмет-риями вида

к n

Г = £ Г1Г + 2 Г .

к=о К к=о К

Здесь *0,?0-симметрии минимального порядка, а произвольная

функция из кегЮ (кегБ).

Например, уравнение Лиувилля и = ец является уравнением типа (1,1) (см. лемму 3.11).

Проведен анализ первых двух Б -условий (лемма 6.1. и 6.2.). В §7 шречислеш уравниния класса Н(к1,1, ;к2Д2) при к^1, 1-1,2.

Гесреиа 7.1. Любое уравнение (18) из класса М(к,,11,кг,12), К.^1, 1=1,2 с точностью до преобразований и 1(и) приводится к одному из слэдугацих:'

и = еси <|>(и ), с = 0,1 , ■ (20)

згу- т У

и = еи (1+и )(1+и ) , (21)

л/ * У

и = (1)(и ) (1 +и ) , (22)

ху т у' х

ижг " "ч<и("ас>Ф<и"у>' Ф + " сиу' Ф 51(1) = 5и*- (23)

где функция ц(и) и нозтоянныэ с, с1 и с, с1 определяются либо из уравнений

Ч'+ + а?Ч = а3Ч2' Ч * (ти+РГ1, а1=сопзг, 1=1,2,3,

сс(с1+а)=чю11, -сс-сс1 (с14а)=а1 ,

сс^+а)--«^, -сс-сс1 (с1+а)=а1 , (24)

-с (с +а)=а, , -с1(с1+а)=а5 , с1с=-ая3, с1с=-аа3,

либо /и и

с1с-а-сс(с1+а) , -с (с1+а)=-1+сс+сс1(с1+а), " _ (25)

о 10=5-00(0,45) ,'-с1 (с1+а)=-1+сс+сс1 (с^а) .

В §8 проведано полное описание бесконечномерных алгебр Ли-Беклунда допускаемых уравнениями (19) - (22), ((23), (24)) и ((23), (25)).

Уравнение (19) для которого kerD t const приводится к виду u = -u w / w , (26)

ХУ X U U

у

где функция w = w(u,uy) определяется из соотношения

= aQ(w) +■ an(w)u + a2(w)u2 (лемма 8.1) . Теорема Q.1. Уравнение (26) является уравнением Лиувилля типа (0,0) при Uy = aQ(w) (Cj+CgU+o^), ci = const , 1=1, 2, 3; типа (0,1) для uy = a, (w) (c^u) + aa(w)(u2-c^), t const/

uy = agiwXI+CjU) 4 a2(w) (li/c^u2), aQ/a2- * const ,

uy ="a0(w)(1-c^u2)+al (wXu+c^2), a(3/a1 ф const и типа (0,2), если aQ, a] и a2 - линейно независимые функции.

Уравнение (20) при с = О имвэт интеграл w = й2 / ф!^). Обозначим через q(a) функцию обратную к а(иу), где а(иу)-

парвообразная функции 1/ Ф(иу). Если kerD Ф const для уравнения (20) (с=0), го q(a) - квазиполином (лемма 8.2). Леше 8.3. Пусть q(a) - квазиполином порядка Nfl

(q<N+1)= 2 с q(1)). Если с ^ 0, то уравнение (20) (с=0) являет-1=0 и

ся уравнением Лиувилля типа (N,0), а при cQ=0 типа (N-1,0).

Уравнения (20) при с=1 сводятся к одному из следующих:

ц = еи, и = u еи и и = еи(иг-4)1/г . ху ху X ху v X

Алгебра симметрий последнего вычисляется по формулам:

f = lu1 - (u^ -4)1/г/'ы Dlw + (й, f D)w ,

где и = (i^-u^K) (и^-4)~1/г и б = Ug- x?xJZ - е2и/2 минимальные элементы из KerD и kerD соответсвенно.

Для уравнения (21) kerD = const.

Teopeua 8.2. Уравнение (22) (ф и 1» иу) является уравнением типа Лиувилля лишь в следующих случаях:

uiy = (1+иж)(1 + (иу - с)*)"*, с^О , (27)

u^ - 2(1+их)(иу - с)1/й, (28)

u*y = 0+V(1+V • (29)

При втом уравнения (27) и (28) иыеют тип (0,2), а (29) является уравнением типа (0,0).

Уравнение (23) при ф = iw-1 приводится к одному из уравнений (19)-(22), либо к уравнениям вида

и^ = (еи-1)-1(1+их)(1+иу), (30)

иху = (Них)ф(иу)/и, ф ф' + (0-1 )ф = сиу. (31)

Для уравнений (30) и (31) при ф = c^l+u^) kerD =■- conat, а при с?Ю, для уравнения (31) kerD = conat. . '

Теорема 8.3. Любое уравнение (23) из класса Ы(к(,1,¡kg.lg), • , 1=1,2 для которого ф' 'ф* V0 сводится к одному из следующих

** (1+ц2)1/Е(1+ц^)1/г/с08 u , (32)

ху ж у

ижу= Ф(их)Ф(Ч)г)/и, фф'-С ^0=11/0, фф'+стф=сцу. (33)

Уравнение (32) и (33) являются уравнениями Лиувилля типа (1,1), их симметрии вычисляются соответственно по формулам :

1 = (u,-^"1 (1+u^)1/2D)w +iQ1-w"1(1+Q^)1/2D3w, ( и= и2(1+и^)"1/г - (1+u*)1/2tgu , й = й2(1+й2'Г1/г - (1+Q2)1/2tgu )

1 »= (и,- сфиГ11))* + ¡pGT1D/c)w ( ы = + си~1ф, ы = + ф/си ).

Для полного исследования уравнений (18) требуотся рассмотреть уравнения из М(к:1,1,где >2 и уравнения (23) принадлежащие классу М(1,2;1,2).

Результатом §9 является утверждение:

Теорема 9.1. Уравнения П8) из М(к( ,1, ,К,,12) при и

уравнения (23) из Й(1,2;1,2) не являются уравнениями Лиувилля

типа (H.N) для N = 0,1,2,3 и любого N.

По-видимому, теорема 9.1, справедлива для любого И. Из теоремы 9.1. следует, что такие уравнения не имеют нетривиальных симметрий порядка п, содержащих произвольные функции для п<7.

Симметричный подход рассматриваемый в этой главе, позволяет описать и уравнения (1) с бесконечной алгеброй симметрия. Такими уравнениями являются, например,

и = -2 (u и )1/2/(х+у) (34)

ху ■ К у' " '

и

U*y = (1- M»tux))(1- ф(иу))/(х*у) , ф* (1—ф) = ф (35) алгебры симмэтрий которых вычисляются по формулам

1 - си + (1-2 (Ut) + (1-21^ )1/г ü~1D)v)

и

f = (1 + (1-ф(и, ))w_1D)w + (1 + (1-ф(й1 ))Q~1D)w

соответственно. Здесь c=ecmt, w(w) - произвольная функция переменных x,u,u ,...(у.Э.й,,...) и для уравнения (34)

ш = ^и-'^+гиу2 (х+у)-'. , ы = о2а71/г+го^/г(х+у)-1, a для (35) "

и = 0,(1-4)101, )Г1+(ф(и,Н )(х+у)-1 ,

ü 0,(1-4(5, ))-1+(ф(й, )-1 )(х+у)"1.

Уравнэ!шя (34) И (35) были сообщены автору Звягиным U.V. Решение определяющего урввнения для уравнения типа Лиувилля содержит две произвольные функции из алгебры f. С какдам таким

1S

уравнением связано целое семейство линейных уравнений для которых можно построить формулу общего решения не содержащую квадратур. Так, если и-решение уравнения Лиувилля и =еи, то уравнение

эсу

V = п(п+1)уеи/2 , п=1,2,... (36)

ху

интегрируемо в влгебре Г. Решение уравниния (36) задается формулой

т = [ П (0+1и. )1ср ^ С П (Б+1й. )]<р , 1=1 1 1=1 1

которую построили А.Н.Лезнов и А.Б.Шабат. Здесь <|>(ф)- произвольная функция переменных ы,^,... (5,5,,...), ы = и^ - и^/2 (ы = = й^ - й^/2). Поэтому естественным образом возникает задача о перечислении линейных уравнений "интегрируемых" в алгебре функций Г, задаваемой уравнением с нетривиальной алгеброй Ли-Бэклун-Да. • .

В §10 рассматривается задача о перечислении уравнений (17) интэгрируешх в алгебре Г, заданной уравнением Лиувилля.

Определение 2. Уравнение (17)' называется интегрируемым в алгебре Т, если оно обладает решениями вида

V - ¡С V? + Б .

к=0 К и к=0 К к

где я(й)-произвольная функция из кегБ (кегБ), а ??к=Вки .

Введем обозначения А = Вс-а-Ьс, А = БЬ-а-Ьс ( функции А и А

называются инвариантами Лапласа уравнения (17)). Если АА/0 , то либо

либо либо

с=С(Аи1+)3(и)), Ъ=ША и^рси)], (37)

с=Ш1п(и +Л.(и).)+А1и1+р(и)]> Ь=ВГ1п(й, Д(и))+Х1й1+р(и)3,

с=С(Х1и1+р(и)), Ь=В!Я1и1+Э(и)+1п(и1+Х(и))]

(лемма 10.2).

Одним из результатов данного параграфа является

Теорпиа 10.2. Интегрируемо в алгебре Г уравнения (17), коэффициента которых определяются соотношениями (37), приводятся к виду

V +СКт(ш-1)(к-1)1и и т/4 +т(к-1)и V /2 +к(п-1)иV /2 =0, (38)

зсу эс у А 7 ух

к,т=1,2,... . Решения уравнений (38) вычисляются то формулам

У = е<1-т)ки/а|" ™п' ^(^(к-щ)^)^)!» +

+- е(1 -Юти/г Г 1У(П+(1+(га-1с)/2)и )1я . •■1=1 7 *

Здесь 1»(й) - произвольная функция из КогБ (ГГягЗ) .

В главе 3 изучаются специальные классы систем уравнений ви- '

да

Р(Р.Ч). Чу= С(р,4). (39)

Здесь р=(р1.Р2,...,рп) , Ч=(Ч\Ч?...,Чга) , Р?..., Рп) ,

0=(С] йг,... , О"1) .

Обозначим через Г алгебру аналитических, функций, зависящих • от конечного числа переменных р^, р., ,4., ,рг,ч21... .р^.ч^,...;

Рк+,=5рк, ,, р0»р, К = 0,1,2.....Напомним, что

набор функций t,g, с Г называют симметрией системы. (39), если уравнения

Р-1 = Чт = 8

совместш с ней.

В §11 получено следующее представление симметрии: Леша 11.1. Любая симметрия (Г,е) из алгебры функций Т представима в форме

• Р,.....Рг) + *а(Р. Ч. Ч,.....ч:).

8=8, (Ч- Р> Р,.....Рк> + Ч,.---.Чв). аЯИ, г*к+1.

Многие известные примеры интегрируемых уравнений являются

частным случаем так называемых квадратичшх систем: .

Р* = ч1; - ¿у . (40)

Здесь с*к, с*, и а* - постоянные, 1=1,2.....п, к=1,2, —ш.

Например, уравнение Лиувилля и^ = еи можно записать в виде

Рх = РЧ< Ч7 *= Р (Р=еи, (41)

Уравнение синус-Гордон и^ = еи + и~и допускает запись

Р* - Р(Ч. Р* - -Р2Ч . Чу = Р'+Р2 (42)

(р'= еи, рг= е"и. Ч = и^.),

в система уравнений

и = ае2и + еи те , у = еи v» , и = еи v ху ' х 'у

посла обозначений р1=еги, рг=еиу, я1«*! принимает квадратичный вид

Р2=2Р1Ч1. Рх= РгЧ1+Р1Ч2. Чу= ор1+ргЧг. р2. (43) Существование бесконечной алгебры Ли-Баклунда допускаемой системой уравнений (40) тесно связано с структурой характеристической алгеброй Ли. Введем определение этой алгебры являющееся непосредственным обобщением соответовующего понятия из работы А.Н.Лэзюва, В.Г.Смирнова к А.Б.Шабата. Через Ах(Ау) обозначим подалгебру алгебры Г функций, зависящих от переменных

_ - п

(р.р,,...). Если функция 1 £ А , то очевидно, И! = 1п + £ Р 1н, ' к л=1 3

где Х^е Ах, 3=0,1,...,п. Отображения определяемые равенствами У^Г = Г1 являются дифференцированиями алгебры Ах. Точно также задаются дифференцирования Х^ алгебры Ау.

Определение 3.' Порожденная образующими подалгебра Ьх алгебры Бег Аи называется характеристической • алгеброй системы (40) вдоль х.

Аналогично определяется характеристическая алгебра Ли Ьу .

Определение 4. Пусть алгебра Ли Е, порожденная образущими

веданными соотношенияш

л..

•V!1 - Г]^, [2^1 - - Е ,

1=1 (44)

[Х0,у0] = о . 1X^1 = •

1=1,2.....п , 1=1,2.....га , как векторное пространство является

прямой суммой Е = Ь + Ь своих подалгебр, порожденных образу-

2С У

щими УАи соотпетсвевно. Если соответствия ^ (У^ У±)

порождают изоморЗизкн алгебр Ли •» -» Ь^), то алгебра Ь

называется полной алгеброй квадратичной скстога Соотношения (44) ^вккзвалантш равенству

[В х0 ц* В + У0 +Р1 Уд.1 = П , (45)

если являются решениями система (40). С другое стороны со-

отношения , (44) и (45) при условии линейной нэзвшсгмости элементов X . Т порождают систему (40). В этом случае "равнение (45) называют представлением нулевой кривизны (Ь - А - парой) для системы (40).

.В §12 для систем уравнений (41), (42) и (43) описана характеристические и полные алгебры. Тек, например, полная алгебра системы уравнений (43) (а = 4/9) изоморх|ка алгебре Вирасо-ро, которая задается соотношениями

Се1,в;}] = (3-1)е1+г 1 = 0,*1,?2.....

Представление нулевой кривизны (45) для этой системы имеет вид

Ш + 2Х.геа/3 +qгЛe1 , 5 - рге /2А. -р'е_г/6Л2] = 0. (46)

Для системы уравнений (43) при а = 4/9 в работа А.Н.Лезно-ва, Д.А.Лэйтеса и М.В.Савельева получено представление нулевой кривизны в алгебре Вирвсоро. Точнее говоря, система (43) при \ = 4/9 является следствием недоопредэленной системы уравнений вытекающих из представления нулевой кривизны.

Формула (46) дает иное представление нулевой кривизны, эквивалентное данной системе.

Пусть 3-линейное пространство симметрия, а ) подмно-

жество симметрия

' - *0 + Е В (I. 5 - 8о + Е чХ) . 1=1 \ 1=1

для которых е е

В §13 "методом спуска" проведано построение пространств

симматрий и Б системы (43) и уравнений

V Р7' Чж= Щ, р2, 7у= и2. (47)

В частном случае при р=и*. ч=>т* система (47) является редукцией систеш "трех еолн" и в шлинэйнод оптике она описывает генерацию второй гармоники в нелинейной среде.

'Так симметрии Г1, gi, 1=1,2 системы уравнений (43) из пространства Бу вычисляются по формулам

Г1= бр^П, 12= Вр21г . , е'= (ар1+ ягр2Ж, в2» рг1г , где й- произвольная функция из кегБ. При а отличных от 0 и 1 ядро оператора В в Ау тривиально кегВ=сопа1;; при а=0 кегБ состоит из произвольных функций вависящих от конечного набора переменных

и.и,,»гг.....* ~ р}/гр'- (р2)2/гр1, 5», «г= б2*,...,

»п= ¡"я,...), а при а = 1 кегБ - вта функции переменных ы, ы1,. с^...-. (ш = р2/ (р1)1/г- 3р11рг/ 2(р1)3/£>(рг)3/3(р1)3/2, 0),= Вы,

Ыг= В2Ш.....(1^= б^Ш, . . . ) .

В §14 рассматривается частный случай систем (39):

и^» Р(и), (их= V, Р(и)) , (48)

и » (и1,и2,....и"), ? = (Р1,Гг,...<Рп). Интегрируемость этой системы определяется свойствами характеристической алгебры Ли задаваемой векторным полам Р(и). Так в работе А.БЛабате к Р.И.Ямилова приведены все акспоненциальные системы вида

= ет\ т1- £ в ик, 1=1.2.....п (49)

** к=1 1К

для которых характеристическая алгебра конечномерно. Для конечномерной алгебры матрица А = (а1;)) эквивалентна одной из матриц Картвна прстой алгебры Ли. Известно, что если А-мптрица Картана, то система (49) интегрируется в квадратурах.

С другой стороны конечномерность характеристической алгебрн связана с существованием преобразований Ли-Бэклунда (интегралов) N=»•(1^ ,иа,...), переводящих решения системы (49) в решения характеристического уравнения Ш = 0.

Связь между интегралами и симметриями устанавливается в следующем предложении:

Теореиа 14.1. Пусть и - интеграл системы уравнений (48). Если правая часть Р(и) этой системы удовлетворяет соотношению

(ЗР/0и)С = С(бР/би)т, (50)

то формула

1 = (В_1е»/еи', В-'бте/би2.....Б"1е'д/5ип)С"1 (51)

задает симметрию системы (48). Здесь (ЭР/ди) - матрица ЯкОби, (ОТ/би)1'- транспонированная к ней, а С - произвольная постоянная матрица для которой йеИ /0.

При п = 1 лишь одно нелинейное уравнение Лиувилля и = еи

имеет интегралы, которые задаются формулой V» = <р(и,1)ш,СгЦ),...). Здесь и = иг-и2/2, а <р - произвольная функция. Формула (51) принимает вид

Г = В"1 (б-л/би) = (Б + и, )(-бф/бы + и бф/Зш,- Огв<р/выг+...).

Определеннее. Интегралы да11, к=1,2,... ,ш системы уравнений (48) образуют базис интегралов этой системы, если я*, И2»5',... к=1,2,...т функционально независимы и любой интеграл

№ есть функция от конечного числа интегралов В1»*, 1=0,1,2.....

к=1,2,...,ш.

Определение 6. Система (48) называется системой уравнений типа Лиувилля, если существует базис интегралов содержащий ровно п элементов.

Теорема 14.Z. Для того, чтобы система уравнений (49) являлась системой типа Лиувилля необходимо, чтобы векторное F(u) Удовлетворяло системе уравнений в частных производных

д/ви*-Ци.) = CdF(u) , 1=1,2,;.. ,п ,

где С1- постоянные матрицы.

В §16 рассматривается задача о перечислении систем уравнений (48; при п=2:

u^ a(u,v),. 7^= b(u,v) (52)

(и1= и ,иг= v , F1(и' ,иг) = a(u,v), Гг(и1,иг) = b(u,v>),

имеющих интегралы w = «(u, ,v1.Ug,т2, ..um.vm) ■ Напомним, что я - решение характеристического уравнения

■ № = О (53)

Классификация'уравнений (52) проводится с точностью до линейных преобразований переменных u,v. При га = 2 уравнение (63) может иметь одно, два или три функционально независимых решения. Все уравнения (52) (за исключением вырожденного случая, указанного в приводимом ниже замечании), для которых эти возможности реализуются, перечислены в следующей теореме:

Теорема 15.1. Уравнения (52), для которых существует решение w(u1,v1,мг ,v2) / const уравнения (53), имеют вид

и^ Ф(Ли+ру)еЯт, v = ®*au+pv-)eU, . (54)

где Ф - произвольная функция, Ф'- ее производная, X и р -комплексные параметры; при этом

w = а,- ру^/2 .

Система уравнений (54) обладает нетривиальной группой Ли-Беклун-да , содержащей две произвольные функции. Симметрии из f задаются формулами

I1 = <-рл~г1+и, )!))«?,*»,,...), 1г = (A.-1IH-v1)(|)(w.w1,..0 (55)

с произвольной функцией ф, а соответствующие симметрии, связанные с у-характеристикой, дают вторую произвольную функцию.

Замечание. Кроме общего случая (54), уравнение (53) имеет нетривиальное решение w = - u®/2 для вырожденной системы

и = е" , v = b(u,y)

згу

о произвольной функцией b(u,v).

Формулы (65) задают наиболее широкую алгебру Ли-Беклунда, допускемую уравнениями (54) при произвольной функции Ф. Имеются функции Ф специального вида, когда алгебра расширяется: при линейной функции Ф, т.е. для уравнений

(u+^Tie*", ev (56)

и только в этом случав уравнение (63) имеет два независимых решения w порядка 2. Уранениэ (63).имеет три независимых решения; порядка 2 только при Ф = const.

Известная в нелинейной оптике система уравнений

u = c,eu+c_ev, v = c_eu+c.ev , c^const (57)

1 2 ' ху 3 4-1

содержится среди уравнений (64). При специальном . выборе коэффициентов с1=с1=-2сг=-2с3 группа, допускаемая системой (67) расширяется, таи как при указанном выборе коеффициэнтов уравнение (53) имеет решение порядка 3, функционально независимое с интегралом второго порядка я и его производной Dw и следовательно является системой типа Лиувилля.

Список всех невыроидэнных систем уравнений (62) типа Лиу-вилля приводится в следующей теореме.

Теореиа 15.2. Полный список систем уравнена (52) типа Лиу-вилля исчерпывается следующими уравнениями

u = e-2U+7, v = e"Pu-2V , (58).

эту ' ху ' s '

где р=-1,-2,-3.

Соотношение (60) выполняется для системы (58) с матрицей

0-(с±1). где с,г = с21, = -2сг1, рсгг=2с)г.

Следовательно, симметрии системы (58) определяются ев интегралами по формуле (51 ).

Для любого параметра (3 система (58) млеет интеграл

u = "г - VP " U1V1 ui - Vi/P •

При р = -1 ,-2,-3 эта система имеет дополнительный интеграл. 'Гьк при р = -1 этот интеграл w вычислявтоя го формуле

н = из +■ 211,112 - и,уг + и^у, - ,

а для р=-2

w = ид + 4и,и3 + UgOUg+fiu^) + и* - 2и^и - ги^, - г^ы .

Система уравнений (54) при любой правой части имеет решение следующего вида :

и = ф(р) - рг21п(рхру) , у.» ф(р) + АГ11п(рхру),

где функции ф, ф находятся из дифференциальных уравнений

<р" = е^ Ф<Лхр+р41), ф"= е ^ Ф' (Л.ф+рф) ,

ар- решение волнового уравнения рху = 0 .

Среди сиотем уравнений вида (62) уравнения (Б6) и только они допускают полное интегрирование с помощью преобразований Ли-Беклунда первого порядка общего вида. Соответсвуюцая формула имеет вид

u+pv = (Р^<1х+Р/РхУг - pSq. v = ln(2(qxqy)/qa. (59)

Формула (БЭ) задает представление общего решения системы (66) через решения р и q волнового уравнения.

Системы урвншшй (6В) интегрируемы в квадратурах.

'Глава 4 посвящена законам сохранения и симметриям уравнений, огшсыващих волновые процессы. Показано как получать законы сохранения, используя асимптотическое разложение решений линейных дифференциальных уравнений. Исследованы о групповой точки зрения уравнения генерации второй гармоники, уравнения n-волн и система нелинейных уравнений Шредингера.

Б &16 описываются законы сохранения для уравнения

u..-u +ain и = О ' (60)

■ tt XX

Уравнение (60) принадлежит классу уравнений, интегрируемых методом обратной задачи теории рассеяния. Используя теорию обратных задач, можно доказать существование счетного набора законов сохранения для решений, стремящихся к нулю при х,-» too. Для уравне-

ння Кортеввга-де 1>риза

чач +уу = о

Ь гхзс я

законы сохранения

0/дХ Тк = а/Зх ^ , к=1,2,..., (61)

где Тк и ^ есть полиномы от вЧ/дх1, 1=0,1,2.....к, были получены в работа П.М.Миуры, К.С.Гарднера и М.Д.Крускала баз требования убывания на бесконечности функции v и ее проиводных. в этом параграфе для уравнения (60) получены соотношения типа (61) при одном естественном условии гладкости решения u(x,t). А именно, пусть u(x,t) - paneras уравнения (60), определенное в окрэ-стности точки (x0,t0). Тогда в этой окрестности функция u(x,t) удовлетворяет цепочке уравнений

О/ОХ Рк = д/дх qk , К=1,2,... (62)

Для вычисления pfc и qk указаны рекуррентные (, рмулы (тоо-рема 16.2.)- Равенства (62) для к«=1,2,3 имеют вид

д/ВХ (р2- | coa u)) = 9/8х (рг+ 1 Coa u),

а/дх (ррх) = а/9х( ррх+- 1 psin и), • 0/ОХ (ррхз! 1- ipucosu + 1ргсози- 1р4 + ipxsirm + |бз1пги) = 9/дх (ррхз, + ipu^cosu + ip?coau- jp4 - Ip^alnu - j6sln2u) ,

. p - -<w/2-

Доказательство существования законов сохранения еидз (62)' для уравнения (GO) основано на асимптотическом разложшпга решений линейных дифференциальных уравнений

д/дх ф = (ЛГ/2 f УР/2 0/8Х)ф,

а/ах ф = (mv2 + тр/2 - атж

г1 01 ГО р") fcosu sinu ■)

ЗдеА Т = ^j, Р = [р oj- Q = [slnu -сози j •

В §17 изучается алгебра Ли-Беклунда, допускаемая системой уравнений:

а = то*, г = иг. . (63)

т у

Символ * обозначает комплексное сопряжение. Для этого рассматривается, система уравнений (47). Алгебра Ли-Беклунда системы (47) определяется из уравнений

ИГ = 7(р+рв, 1Хр = qf+uф ,

Dg = г\х1, бф = 2рф , где Г, g, ф и ф - функции переменных и, V, р, ч, и,, р,. V ,

41.....ип< Рп- V .....здась и^ - б^, рк+1 = 5рк,

\+1 - »V Чк+1 = *=0,1,2.....и0=и, р0=р, У0=У, д0=Ч.

Теорема 17.1. Пространство симметрии Б системы уравнений (47) равно прямой сумме своих подпространств и Бу. Симметрии из Бу вычисляются по формулам.

Г = (гШ+ги^Ф, ф = (р5+2р,)ф, ф = 2ргФ, в = 2игФ , (64)

где Ф - произвольная функция переменных ш.бм.б2^... (ш^р-ир,), а симметрии из по рекуррентным формулам

^ = -10^+ 2ШГ1(уфп + ч^),

. <1^1 = ^п " 21ЧВ-1(тфп 4 о^), (65)

1п= 1/2и , фп=1/^р 5фп , п=0,1,2,...,

«о " 17• Фо = "1Ч-Алгебра сш.;штриЯ Зу имеет ту же структуру, что и алгебра, допускаемая уравнени&м Лиувилля. Так как после замены и = ехр и, р = ехр р, у = у, q = q формулы (64) для вычисления 1 и ср примут вид .

Г = (В^и, )Ф, Ф - (Б^р, )Ф, которые отличаются от соотпетсвущой формулы для вычисления сим-

мэтрий уравнения u^ = е11 лишь видом интеграла со.

Элементы (gjj.ijj) вычисленные по формулам (G5) задают алгебру Ли-Беклунда системы нелинейных уравнений Шредингера

l7t = ук* " 2y2(i • ~lqt = ч» - 2ч2у •

При p=u*, q=v*, Ф=Ф* алгебра системы уравнений (47) задает алгебру Ли-Беклунда, допускаемую исходной системой (63). В §18 для уравнений п-волн

(a/at + -rp4ö/3i)upq = е <*рк - \Ч)"РЛЧ. (бб)

. Кгр■q

где 1 = (b -Ь )/(а -а ), а /а при p^q, и =0 и системы не-pq pq pq p

линейных уравнений Шредингера

(i8/at+ö2/öx2+ae V и. v. )и =0, (-lö/at+S2/öx24ae V u v, )v =0, (67) к=1 р к=1 Р p,q = 1,2,...п, как и в §16 проведено доказательство существования бесконечной серии законов сохранения, основанного на асимптотическом разложении решений линейных дифференциальных уравнений, не связанного с обратной задачей теории рассеяния.

В §19 проведено полное описание алгебр Ли-Бэклунда систем уравнений (66) и (67).

Теорема 19.2. Алгебра Ли-Беклунда , допускаемая системой уравнений п-волн (66) коммутативна и вычисляется по следующим рекуррентным формулам:

(ш) (m-1 ) г (m-1 ) im-1 )' ■■

fir D fu /(vv ^(JluikV(vaj)" ^ fik <«а1-ч>]

r (m-1 ) (m-1 )

+ JiD + uwtki,/(Vai) "

. (m-1 ) (m-1 )

- J/(ÜA+ Vjk )/(vVJ •

(о) (o) (0)

и=1'2.....где IJk=-uJk, ipp=0. p.q.3-1.2.....n;

Ф к, к=1,2.....п-1.

При этом симметрия порядка ш по модулю симдатрий меньшего порядка есть обобщенно однородный многочлен степени ш+1 С степень однородности переменной и^ полагается равной к+1). ■ Для уравнений (67) справедливо предложение : Теорема 19.3. Алгебра Лн-Беклунда слотами нелинейных уравнений Щредингера (67) коммутативна, ее елементы порядка т>1 вычисляются по рекуррентным формулам:

(т+1 ) (т) л г 1 (т) (т) , (го) (ш)

и = V I + иА>]-

(п>+1 ) (ш) п Г , (го) (т) , (т) (т) -.

' ■ П +1 ЬВ (иА+ № + V3 ТЛ>]'

(О) (О)

где ^»-и.,. Ф^з» 3=1,2,...,п; ш=1,2.....

В нулевом порядке существует пг линейно независимых элементов алгебр], которые имеют вид:

(о) (о) (о) (о)

*} =и1' V0, Фр = кV 3 , р и 1, 3=1,2,...п.

В $20 . установлено Взаимно-однозначное соответствие между алгебрами Ли законов сохранения и алгебрами Ли-Беклунда систем уравнений (6в) и (67) (теорема 20.1.) и доказано утверждение :

Теореме 20.2, На многообразии 11 заданным системой уравнений п- волн (66), су|цаствувг система координат, в которой алгебра

Ли-Беклунда является прямой суммой своих подалгебр Г1, Тг.....

Сп_(. Эти подалгебры т являются коммутативными и каждая из них 'совпадает с алгеброй Ли-Беклунда, допускаемой системой нелинейных уравнений Шредингера типа (67).

Пятая глав-; посвящена краевым задачам .для интегрируемых эволюционных уравнений второго порядка. Известно, что касательные преобразования .

х = Г(У,7,У), и = У(у.у.у) (68)

¥ V

полностью исчерпывают обратимые преобразования типа

' ля // Докл. iH СССР. - 1979. - Т. 249, N 1. - С. 26-29.

5. Кибэр A.B. Полное описание алгебры Лл-Бэклунда для уравнений генерации второй гармошки // Динамика неоднородной жидкости. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, i960. -В.44. - С. 3-14.

6. Жибэр A.B., Смирнова Н.Д. Алгебра Ли-Беклунда уравнений трех волн // Интегрируемые системы. Уфа: Башкир, филиал АН СССР, 1982. - С. 23-33.

7. Иибер A.B. Уравнения n-волн и системы нелинейных уравнений Щредингера // Георет. и матем. физика. - 1982. - Т.БЗ, N 3.

- С. 405-413.

8. Жибер A.B., Шабат A.B. Системы уравнений ux = p(u,v), vy -. = q(u,v), обладающее симметриями // Докл. АН СССР. - 1984. -Т.277, Н 1. - 0. 29-33.

9. Кибер A.B. Q полной интегрируемости одной гиперболической систему уравнений // Тевисы докладов XII Всесоюзной конфе-. ренции по теории операторов в функциональных пространствах.

- Т.1. - Тамбов." - 1987. - С.70.

10. Жибер A.B., Ыукминов Ф.Х, Об интегрируемости одной нелинейной динамической системы // Гезисы докладов XIII Всесоюзной конференции по теории операторов в функциональных пространствах. - Куйбышев. - 1988. - С.68-69.

11. Жибер A.B., Цирельман Н.М. Точное решение-задачу стефанов-ского типа для твердого водорода / Депонировано в ВИНИТИ. . - 1987. N6686 - В87. - 10 с.

12. Жибер A.B., Цирельман H.U. Точное решение задачи ствфаиов-ского типа для твердого водорода // Инженерно - физический журнал. - 1983. - Т.64, Н1. - С.144-146.

13. Жибер A.B. Полное интегрирование системы уравнений, и » еи,

= ат + Ьуж + cvy // IV Уральская конференция, функционально - дифференциальные уравнения и их приложения. Теаисн докладов. - Уфа. - 1989. - С.61.

14. Жибер A.B. О полной интегрируемости дифференциальных уравнений второго порядка в алгебре Лиувилля // Тезисы докладов IV международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям. - Руссе, - 1989. -С.42.

15. Кибер A.B., Цирвльман Н.М. Точные решения задачи динамики адсорбции .- десорбции с нелинейной изотермой сорбции // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1989. -.N5. -С. 107-112.

16. Кибер A.B., Мукмиюв Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотика их решений. - Уфа: Ин-т математики с ВЦ УрО АН СССР, 1991. - С.14-32.

17. Кибер A.B. Уравнения типа Лиувилля // Международный семинар по современному групповому анализу. Тезисы докладов. - Уфа. -1991. - С.17.

18. Кибер A.B. Диффренциальные подстановки в задачах со свободными границами /V Асимптотические методы решений дифференциальных уравнений. - Уфа: Ин-т математики с ВЦ УрО РАН, 1992.

- С.27-45.

1.9. Кибор A.B. Интегралы и группы Ли-Беклунда гиперболических систем уравнений // XI Российский коллоквиум по современному групповому анализу и задачам математического моделирования. Гезисы докладов. - Самара. - 1993. -С.Б1.

20. Кибер A.B. Линейные уравнения и интегрируемые экспоненциальные системы // Точные решения дифференциальных уравнений и их асимптотики. - Уфа: Ин-т математики с ВЦ УВД РАН, 1993.

- С.31-46.

21. Кибер A.B. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и процессов управления. - Уфа: Ин-т механики РАН, 1993. N1. - С.55-64.

Подписано в печать П/У-94 г.

Зак.109. Тирад 100 экз. Ротапринт Башкирского ун-та'