Автоморфизмы контактных и почти контактных структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В.

Тяпин Никита Александрович

АВТОМОРФИЗМЫ КОНТАКТНЫХ И ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ СТРУКТУР

01.01.04. - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005010743

Москва - 2011

005010743

Работа выполнена на кафедре геометрии Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Евтушик Леонид Евгеньевич /

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Кушнер Алексей Гурьевич •

доктор физико-математических наук,

Юмагужин Валерий Афтахович

Ведущая организация: Тверской государственный университет

Защита состоится 17 февраля 2012 года в 16 ч. 45 мин. на заседаний диссертг ционного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имс ни М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1 Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математически факультет, аудитория 14-08. '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математическог факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 17 января 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501;001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Ивано

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе изучаются вопросы контактной геометрии.

Интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях началось примерно с конца 50-х годов прошлого века, когда появились статьи Грея1, а также Бутби и Ванга2, посвященные контактным структурам. Первых исследователей контактных многообразий интересовали преимущественно топологические вопросы. Так, например, Бутби и Ванг2 особое внимание уделяют компактному многообразию М с регулярной контактной формой ту. Они изучают однородные контактные многообразия и устанавливают, в каких случаях эти многообразия гомеоморфны пучку единичных касательных, векторов некоторого многообразия. Грей1 также изучает глобальные свойства контактных многообразий. Он приводит пример нечетномерного многообразия, не допускающего контактной структуры, а также изучает деформации контактных структур. Им же введено понятие почти контактного многообразия.

Чжень3 показал, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {е} х U(п). Многообразия, допускающие такую G-структуру, Грей назвал почти контактными многообразиями1. Сасаки заметил, что такая G-структура порождает тройку тензорных полей (г], £, Ф), обладающую свойствами ?](£) = 1 и Ф2 = -id 4- г] ® £, где 77 - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, £ - характеристическое векторное поле, Ф - структурной эндоморфизм. Кроме того, исходя из произвольной ;римановой метрики на таком многообразии он построил риманову метрику д, дополняющую тройку (77, Ф) до почти контактной метрической структуры4.

Многими авторами изучались различные преобразования контактных и почти контактных многообразий. Контактные, изометрические, конфор.мные и проективные преобразования нормальных контактных метрических многообразий и

‘Gray J. W., Some global properties of contact structures// Ann. Math. — 1959. — 69. — X> 2. — P. 421-450,

2Boothby W., Wang H. C-, On contact manifolds// Ann. Math. — 1958. — 68. — № 3. — P. 721-734.

3Chern C.C., Pseudo-groupes continus infinis// Colloque de Geometrie Differentielle. — Strasbourg, 1953 —

P. 119-136. .

4Sasaki Shigeo, On differentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures// Tohoku Math. 2. — 1960. — 12. — № 3. — P. 459-476.

if-контактных многообразий рассматривали Либерман5, Хатакеяма6,'0кумура7, Мидзусава8, Танно9.

Многочисленные исследования по геометрии почти контактных метрических структур принадлежат В. Ф. Кириченко и его ученикам10,11. В частности, в одной из работ12 вводятся контактно-геодезические преобразования почти контактной метрической структуры. Получен ряд инвариантов таких преобразований. Доказано, что такие преобразования сохраняют свойство нормальности почти контактной метрической структуры. Доказано, что косимплектические и сасакие-вы многообразия, а также многообразия Кенмоцу не допускает нетривиальных контактно-геодезических преобразований.

Контактные структуры и контактные преобразования естественным образом появляются при изучении дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка как замкнутых подмножеств в расслоениях 1-струй функций над гладкими многообразиями. Контактные структуры и их преобразования с точки зрения геометрической теории дифференциальных уравнений изучали В. В. Лы-чагин13,14, А. Г. Кушнер15,16 и В. Н. Рубцов17.

5Libermann Paulette, Sur les automorphismes infinitesimaux des structures symplectiques et des structures de contact// Collog. geometrie different, globale. Bruxelles, 1958. — Paris - Louvain, 1959 —P. 37-59,

eHatakeyama Y., Some notes on the group of automorphisms of contact and symplectic structures// Tohoku Math. J. -1966. -18. -№ 3. — P. 338-347. ; ' ' ■■■*'■

7Okumura Masafumi, Certain infinitesimal transformation of normal contact metric manifold// Kodai Math. Semin. Repts. -1966. - 18. - № 2. - P. 116-119. . .

8Mizusawa Hideo, On certain infinitesimal conformal transformations of contact metric spaces// Sci. Repts. Nigata Univ. — 1965. — Ser. A. — № 2. — P. 33-39.

9Tanno Sh., Note on infinitesimal transformations over contact manifolds// Tohoku Math. J. —1962. — 14. — № 4. -P. 416-430.

10Кириченко В. Ф., Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии// Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1984. — Т. 48. — Л1 4. — С. 711-739. .

11Кириченко В.Ф., Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях.М.: МПГУ, 2003. — 495 с.

Кириченко:В.Ф., Дондукова Н.Н., Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур// Мат. заметки. — 2006. — 80. — № 2. — С. 209-219. .

13Лычагин В. В., Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка// Успехи мат. наук. — 1979.— 34. — 1. — С. 137-165.

14Лычагин В. В., Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка// Успехи мат. наук. — 1975. — январь-февраль, Т. 30. — вып. 1(181)."— С. 101-171.

15Кушнер А. Г., Контактная линеаризация невырожденных уравнений// Изв. вузов. Матем. — 2008. — № 4

- С. 43-58. . ..." '

Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V., Contact geometry and non-linear differential equations.' — Cambridge: Cambridge University Press, 2007. — 518 p.

17Roulstone I., Banos B., Gibbon J. D., Roubtsov V. N., A geometric interpretation of coherent structures in Navier-

В ряде работ18,19 изучаются линейные связности на почти контактных и почти контактных метрических многообразиях, удовлетворяющие некоторым специальным условиям. Например Сасаки20 строит связности, согласованные с почти контактной и почти контактной метрической структурами. Согласованность означает ковариантное постоянство структурных объектов. Связность, согласованную с почти контактной структурой (77, £, Ф), он называет (rj,£, Ф)-связностью. Естественно выделяется класс связностей, согласованных с контактной формой г/. Такие связности необходимо имеют кручение. Многообразие, наделенное контактной формой т? и согласованной с ней линейной связностью V (V77 = 0), называется контактно-аффинным многообразием, а пара (V, tj) - контактно-аффинной структурой.

Один из основных результатов, касающихся автоморфизмов контактных и почти контактных метрических многообразий принадлежит Танно21. Он •нашел наибольшую размерность группы Ли автоморфизмов таких структур, а также указал все контактные и почти контактные метрические многообразия, допускающие группу автоморфизмов максимальной размерности. ' "

Является актуальным решение аналогичной задачи по автоморфизмам контактно-аффинных структур, а именно, установить максимальную размерность группы Ли автоморфизмов контактно-аффинной структуры и исследовать контактно-аффинные многообразия с группами автоморфизмов максимальной размерности. При этом особый интерес представляют проектируемые контактно-аффинные преобразования на расслоении 1-джетов функций, поскольку такие преобразования играют ключевую роль в решении задачи классификации дифференциальных уравнений в частных производных.

Многочисленные публикации по различным преобразованиям контактных и почти контактных структур подтверждают, что данная работа, посвященная ав-

Stokes flows// Proceedings of The Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences..— 2009. — 465.

- 2107. - P. 2015-2021.

18Поляков H. Д., Связности на почти контактном многообразии// В сб. “Дифференц. геометрия многообразий фигур”. - 1976. - Вып. 7. - С. 73-78.

19Уапо Kentaro, On contact conformal connections// Kodai Math. Semin. Repts. — 1976. — 28. — № T. — P. 90-103.

20Sssaki S., Hatakeyama Y., On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II// Tohoku Math. J. — 1961. — 13. — № 2. — P. 281-294.

2lTanno Shukichi, The automorphism groups of almost contact riemannian manifolds// Tohbkii Math. J, — 1969.

- 21. — № 1. — P. 21-38.

томорфизмам контактных и почти контактных метрических структур -и автоморфизмам контактно-аффинных структур является актуальной.

Целью работы является изучение автоморфизмов контактных и почти контактных метрических структур, контактно-аффинных структур и контактно-аффинных структур на расслоении 1-ДЖеТОВ функций. ’

Методы исследования. Основными методами исследования, применяемыми в работе, являются: аппарат тензорного анализа, теория групп Ли и производной Ли. Большая часть вычислений проводится в специальных локальных координат тах, часть результатов записана в бескоординатной форме. Исследования ведутся в классе достаточно гладких функций. .

Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются новыми и заключаются в следующем:

1. Исследованы максимально подвижные контактные и почти контактные метрические структуры, указанные в теореме Танно. В локальных координатах записаны структурные объекты структур первого и третьего класса, а также второго класса размерности три. Найдены операторы алгебры Ли инфини-тезимальных автоморфизмов указанных структур.

2. Установлена максимальная размерность групп Ли контактно-аффинных и

точных контактно-аффинных преобразований. Указан вид тензора кручения связности и тензора кривизны симметрической части связности контактноаффинной структуры, группа преобразований которой имеет наибольшую размерность. Приведен пример контактно-аффинной структуры, допускающей группу контактно-аффинных и точных контактно-аффинных преобразований максимальной размерности. '

3. Найдена максимальная размерность групп Ли проектируемых контактно-аффинных преобразований и проектируемых точных контактно-аффинных преобразований естественной контактно-аффинной структуры на расслоении !-; джетов функций. Приведены примеры контактно-аффинных структур, имеющих группу контактно-аффинных и точных контактно-аффинных преобразований максимальной размерности.

Теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении контактных и почти контактных структур и их групп автоморфизмов, а также в геометрической теории дифференциальных уравнений. .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

• на геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского государственного педагогического университета (2007-2011 гг.);

• на Шестой молодежной научной школе-конференции (Казань, декабрь 2007 г.)

• на XIX международной летней школе-семинаре “Волга-2007” по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.),

• на международной научной конференции “Лаптевские чтения --2009 , посвященной 100-летию, со дня рождения Г. Ф. Лаптева (Москва-Тверь, 25-28 августа 2009 г.);

• на международной конференции “Геометрия в Кисловодске — 2010 (Кисловодск, 13-20 сентября 2010 г.); ■

• на второй Российской школе-конференции с международным участием для молодых ученых (Тверь, 8-12 декабря 2010 г.).

• на международной молодежной школе-конференции “Геометрия, Управление. Экономика.” (Астрахань, 15-26 августа 2011г.).

• На семинаре кафедры математического анализа МГУ “Исследования дифференциально-геометрических структур” (май, 2011 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения^ трех глав основного текста, включающего в себя 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 100 работ. Диссертация изложена на 135 листах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ-

Введение содержит Обзор литературы по теме диссертации, обоснование ак-:

туальности темы и краткое содержание работы.

Глава 1 посвящена изучению максимально подвижных почти контактных метрических структур;

§1 носит реферативный характер. В нем вводятся определения контактной и почти контактной структур, указаны основные свойства и перечислены основные классы этих структур. . ....

Контактной формой на гладком многообразии М, <ИтМ = т =' 2п + 1, называется дифференциальная 1-форма г, на М, для которой выполняется условие г] А ф о, где с!Т) - внешний дифференциал формы т?, А -операция внешнего умножения. Контактная форма определяет распределение £ = кегг/, которое называется контактным распределением или контактной структурой. Многообразие с фиксированной на нем контактной структурой называется контактным многообразием.

Почти контактной структурой на многообразии М называется тройка (77, £, Ф) тензорных полей на этом многообразии, где г) - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, £ - векторное поле, называемое характеристическим, Ф - эндоморфизм модуля векторных полей Т\М на М, называемый структурным эндоморфизмом. При этом ’

1)17(0 = 1; 2)^0 Ф = 0; 3)Ф(0 = 0; 4)Ф2 = ^ п® $

Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура д = таКая, что

<*Х,*У} = (Х,У)-г)(Х)т1{У),

то четверка {г],£,Ф,д) называется почти контактной метрической структурой. Многообразие, на котором фиксирована (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием. . ■

Указаны основные свойства и перечислены некоторые классы этих структур: контактные метрические структуры, А'-контактные структуры, нормальные сгрук-

туры, сасакиевы структуры и приближенно сасакиевы структуры.

Диффеоморфизм ip : М -v М контактного многообразия М называется контактным преобразованием, если он сохраняет контактное распределение, т. е. <р*г] =. вт], для некоторой гладкой функции в £ ТМ.

Если диффеоморфизм ip сохраняет контактную форму: <р*г] =~т], то его называют точным (strict) контактным преобразованием. ' ’

Векторное поле X € Т\М является инфинитезимальным контактным преобразованием, тогда и только тогда, когда ИхЦ = err), для некоторой гладкой функции а 6 где Сх - производная Ли вдоль X.

Векторное поле X является точным инфинитезимальным контактным

преобразованием, если СхЦ = 0.

В §2 сформулирована теорема Танно:

Теорема 2.1. Пусть М - связное почти контактное риманово многообразие размерности 2n + 1. Тогда максимальная размерность его группы Ли автоморфизмов равна (n+ I)2. Максимум будет достигаться если и только если секционная кривизна в направлении двумерных площадок содержащих вектор £ будет постоянной С, и М является одним из следующих пространств:

1) С > 0: однородное Сасакиево многообразие (или его е-деформация) постоянной ^-аналитической кривизны Н _

2) С = 0: 6 глобальных римановых произведений: Т х CPn, Т х СЕ“, Т х CDn,

L х CPn, L х СЕ11, L х CD" .

3) С < 0: прямое произведение L xrt СЕ“ с метрикой вида: = (dt)^ +

e2ctG{x),

где L - числовая прямая, Т - окружность, СРП - комплексное проективное пространство с метрикой Фубини-Штуди, СЕ“ - унитарное пространство, CD” - открытый шар с однородной кэлеровой структурой отрицательной постоянной голоморфной секционной кривизны.

Приведено подробное ее доказательство. Результаты этой теоремы йспользова-ны в следующих трех параграфах.

§3 посвящен изучению группы автоморфизмов первого класса Танно максимально подвижных структур. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.1. Базисные векторные поля алгебры Ли группы Ли автоморфизмов сасакиевой формы постоянной (р-голоморфной секционной кривизны —3 в

да, дт, д$ + хадт, -х9да + Хадр - х^д$ - х°д^ а < /3

^др + х^дъ - хадр — х^да + (хах0 - хах^)дт а< (3, :

где индексы принимают значения а,/3,... = 1... п, кроме того а = п + а.

В теореме 3.2 в локальных координатах выписаны компоненты объектов структуры первого класса теоремы Танно постоянной ^-аналитической кривизны не равной —З, (с точностью до преобразований е-деформации и обобщенной Р-гомотетйи), а также базисные векторные поля алгебры Ли группы Ли автоморфизмов этой структуры.

В §4 изучены группы автоморфизмов второго класса Танно максимально подвижных структур размерности 3. .Доказаны теоремы: .

Теорема 4.1. В пространстве Ь х СР1 существует локальная система координатне которой структурные объекты имеют вид . • •

г, = <1х\ і = дг - д = ф _ ді ® 0 ^

где с - константа. Базисные векторные поля алгебры Ли инфинит€зималъпых автоморфизмов этой структуры в этих координатах можно записать в виде

Х-і = 2х1х2дх + (1 - Xх2 + х22)д2, Х3 = -х2ді + х1^,

Х2 = (1 + хі2- х22)д1 + 2х1х2д2і Х4 = д3. . ... ,

Теорема 4,2. В пространстве Ь х СЕ1 существует локальная система координат, в которой структурные объекты и базисные векторные поля алгебры Ли инфинитезималъных автоморфизмов этой структуры имеют следующее представление ...

ц = сіх\ £ = <93, д = {(їх1)2 + (йх2)2 + (с£с3)2, Ф = дх® сіх2'-4 ® <*с1.

х1^-х2д1+х%, х2 = ди х3 = д2, хА = д3.

Теорема 4.3. В пространстве Ь х СБ1 существует локальная система координат, в которой структурные объекты и базисные векіпорньіе поля алгебры

Ли инфинитезималъных автоморфизмов этой структуры примут вид 77 = <&3, £ = д3, д = + (сЬг8)Я> Ф = д1®с1х2-д2®(Ьс1.

Х\ = -2х1х2ді + (1 + Xі2 - £22)с?2> А'з — -а;2^ + ж1^,

^2 — (1 - х12 + ж22)5і - 2х1х2д2, Хі — дз. ' ’ : .

В §5 изучены группы автоморфизмов третьего класса Танно максимально подвижных структур: г

Теорема 5.1. В некоторой окрестности каждой точки существует система координат, в которой структурные объекты и базисные векторные поля ал- ■ гебры Ли инфинитезималъных автоморфизмов максимально подвижных почти контактных метрических многообразий третьего класса Танно имеют вид

£ = Дп, V — <1хт, д = е2схт6^ёх°(1х^ + йхт2,

. Ф == ® сіх^ — 5рда ® йх^. . '

х0да - хадр + х^дз - хадр, х^да + х5др - х0да ~ хад^

■ хада-хада, дя, схпда-дт, где индексы принимают значения а, Ь,... — 1... 2п. . .

Глава 2 посвящена изучению контактно-аффинных структур и групп Ли контактно-аффинных и точных контактно-аффинных преобразований.

В §6 изучаются контактно-аффинные структуры. .

Пусть на контактном многообразии М задана линейная связность V, согласованная с контактной формой условием Х?Т] = 0. В этом случае будем говорить, что на многообразии М задана структура (г), V), которую называют контактноаффинной структурой. :

Исследуются основные свойства контактно-аффинных структур. Доказано, что связность V необходимо имеет кручение.

Приведены два примера специальных деформаций произвольной симметрической линейной связности V на контактном многообразии, таких, что получакяцаг яся в результате связность V согласована с контактной формой. "

Доказаны следующие теоремы:

Теорема 6.1. Связность V = V + Т, полученная из произвольной симметрической линейной связности V при помощи тензора деформации Т = | (?у®<5— —6 ® rj) + £ ® Vrj будет согласована с контактной формой г]. Тензор кручения связности V имеет вид S = k(r) ® 5 — <5 ® rf) + fi ® где к — const, 5 - тождественный эндоморфизм. ' 7

Если мы имеем контактную метрическую структуру И с помощью

тензора деформации Т получим новую связность V из связности Леви-Чивита V метрики д, тогда справедлива "

Теорема 6.2. Симметрическая часть связности V. будет совпадать со связностью V в том и только в том случае, если контактная метрическая структура является К-контактной.

В §7 изучаются точные контактно-аффинные преобразования. ‘ Диффеоморфизм ip : М —> М называют точным (strict) контакТно-аффинным преобразованием или точным автоморфизмом контактно-аффинной структуры (rj, V), если он сохраняет структурную форму rj и связность V. Доказана теорема: Теорема 7.1. Максимальная размерность группы Ли точных контактноаффинных преобразований равна 2n2 + Зп +1.

Приведен пример контактно-аффинной структуры, допускающей группу точных контактно-аффинных преобразований максимальной размерности, найдены базисные векторные поля этой группы.

В §8 получен вид тензора кручения структурной связности контактно-аффинной структуры, группа точных контактно-аффинных преобразований которой имеет максимальную размерность. Доказана следующая теорема: v

Теорема 8.1. Если размерность группы точных контактно-аффинных преобразований равна 2n2 + Зп + 1, то тензор кручения связности V имеет вид S = к(6 ® rj — rj ® 6) + Г2 ® £, где к = const.

В §9 найден вид тензора кривизны симметрической части структурной связности контактно-аффинной структуры, группа точных контактно-аффинных преобразований которой имеет максимальную размерность. '

Теорема 9.1. Тензор кривизны симметрической части связности контактно-аффинной структуры, допускающей группу точных контактно-аффинных

^ijk ~ 72(2Пу^ + Qik&j + Т3(2Пу% + QikTjj — QjkVi)^!

где T\, 72, тз - некоторые функции. . .

В §10 изучаются контактно-аффинные преобразования. ■

Диффеоморфизм : М —+ М называют контактно-аффинным преобразованием или автоморфизмом контактно-аффинной структуры (г/, V), если он сохраняет контактную структуру и связность V.

Теорема 10.1. Максимальная размерность группы Ли контактно-аффинных преобразований равна 2п2 + Зп + 2.

Приведен пример контактно-аффинной структуры, допускающей группу контактно-аффинных преобразований максимальной размерности, найдены базисные векторные поля этой группы.

Найден вид тензора кручения структурной связности, в случае когда группа контактно-аффинных преобразований имеет максимальную размерность:

Теорема 10.2. Если размерность группы контактно-аффиннъьх преобразований равна 2п2 + Зп -+- 2, то тензор кручения связности V имеет вид S = Л ® £.

Глава 3 посвящена изучению контактно-аффинных структур на расслоении 1-джетов (струй) функций.

В §11 приводятся основные теоретические сведения о расслоениях 1-струй функций на многообразиях. На таких расслоениях естественным образом возникает контактная структура.

Нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка на многообразии М называют замкнутое подмногообразие Е С JXM.

Симметрией уравнения Е с JX(M) называется контактное преобразование <р : JXM —► .AW, сохраняющее Е, т. е. tp(E) = Е.

Если преобразование ip сохраняет расслоение 7Г1 : JXM —у М, то говорят, что оно проектируемо, Такие преобразования играют ключевую роль в решении задачи классификации дифференциальных уравнений в частных- производных.

В §12 изучаются группы Ли проектируемых точных контактно-аффинных преобразований на.расслоении 1-джетов функций.

Диффеоморфизм : .ЯМ —» называют проектируемым точным кон-

тактно-аффинным преобразованием или проектируемым точным автоморфизмом контактно-аффинной структуры (77, V), если он сохраняет естественную проекцию 7Г1: РМ —> М, структурную форму 77 и структурную связность V.

Теорема 12.1. Размерность группы Ли проектируемых точных контактноаффинных преобразований не превышает 3"а+|п+2.

В §13 приведен пример контактно-аффинной структуры на расслоении 1-струй функций, допускающей группу точных проектируемых преобразований размерности Найдены базисные векторные поля этой группы. Следовательно,

справедлива

Теорема 13.1. Максимальная размерность группы Ли проектируемых точных контактно-аффинных преобразований равна Зп-+25п+-.

В §14 изучаются группы Ли проектируемых контактно-аффинных преобразований. .

Диффеоморфизм <р : называют проектируемым Контактно-аф-

финным преобразованием или проектируемым автоморфизмом контактно-аффинной структуры (77, V), если он сохраняет проекцию : РМ —► М, распределение,

определяемое контактной формой г} и структурную связность V.

Теорема 14.1. Размерность группы Ли проектируемых контактно-аффинных преобразований не превышает ■3п-^25-^.

В §15 приведен пример контактно-аффинной структуры на расслоении 1-струй функций, допускающей группу проектируемых преобразований размерности зп1+5р+4 Следовательно, справедлива . -

Теорема 15.1. Максимальная размерность группы Ли проектируемых контактно-аффинных преобразований равна -Зп—25”—.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Л. Б. Евтушику за постановку задачи, многочисленные обсуждения и постоянное внимание к работе. Автор благодарит также весь коллектив кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского за творческую атмосферу, способствовавшую научной работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Тяпин Н. А., Об одном классе максимально подвижных почти контактных метрических многообразий// Ученые записки Казанского Государственного Университета. Серия Физико-математические науки. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2009 — Т. 151. — Книга 4. — С. ,192-196.

[2] Тяпин Н. А., О точных контактно-аффинных преобразованиях// Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Серия Физико-математические и технические науки. — Пенза: Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского, 2010 — № 18(22). — С. 84-95.

[3] Тяпин Н.А., О контактно-аффинных преобразованиях естественной контактной структуры на расслоении 1-джетов функций// Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Серия Физико-математические и технические науки. — Пенза: Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского, 2011

- № 26. - С. 266-273.

[4] Тяпин Н. А., Об инфинитезимальных автоморфизмах почти контактных

метрических структур// Фундаментальная и прикладная математика. — Москва: МГУ, 2010 — Том 1б! - вып. 2. - С. 129-137. .

[5] Тяпин Н.А., Об инфинитезимальных автоморфизмах почти контактной структуры// Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Шестой молодежной научной школы конференции. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2007 — Т. 36. — С. 226-228.

[6] Тяпин Н. А., Об одном классе максимально подвижных почти контактных метрических многообразий// Труды Математического центра имени Н. И. Лобаг чевского: Материалы восьмой молодежной научной школы-конференции “Лобачевские чтения”. — Казань: Казан, матем. об-во, 2009 — Т. 39. — С. 367-369.

[7] Тяпин Н.А., Об инфинитезимальных автоморфизмах почти контактной

структуры// Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009 — Вып. 40. —

с. 133-136. ;

[8] Тяпин Н.А., Об инфинитезимальных автоморфизмах сасакиевых форм//

Proceedings of the international geometry center. — Odessa: dw, 2009 — Vol. 2. — №4. -C. 75-82. .

[9] Тяпин H. А., Автоморфизмы естественной контактно-аффинной структуры

на расслоении 1-джетов функций// Proceedings of the international geometry center.

— Odessa: dw, 2010 — Vol. 3. — № 2. — C. 46-56. _ .

[10] Тяпин H. А., Автоморфизмы естественной контактной структуры на рас-

слоении 1-джетов функций// Математика, информатика, их приложения и роль в образовании; Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. — Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010 — С. 294-299. •

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ЮО экз. Заказ № 2