Функциональные инварианты одной задачи локальной аналитической классификации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГб од

- 8 ОКТ 1996

На правах рукописи

ГРИНЧИЙ Алена Аркадьевна

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

ОДНОЙ ЗАДАЧИ ЛОКАЛЬНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ

01.01.01-математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена.

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук, доцент С.М.Воронин_

кандидат физико-математических наук, профессор |А.И. Поволоцкий,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.Лазуткин кандидат физико-математических наук, доцент В.Г.Гельфрейх

Ведущая организация: Владимирский государственный технический университет

Защита состоится " /¿1"________ 1996г. в .. час.

на заседании специализированного совета К 113.05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук в РГПУ им.А.И.Герцена (191186, г.С-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1, ауд.209).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ им,А.И.Герцена.

Автореферат разослан " ? "__££________ 1996г.

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основы теории нормальных форм были заложены А.Пуанкаре еще в конце прошлого века. Значительный вклад в развитие этой теории внесли Х.Дюлак, Дж.Биркгоф, К.Зигель, АДанжуа, М.Эрман, К.Чень, Ф.Такенс, С.Стернберг,

B.А.Кондратьев, В.С.Самовол, Г.Р.Бедицкий, Г.Селл, В.И.Арнольд, Л.М.Мархашов, А.Д.Брюно, Н.Н.Ладис, К.Камачо, Ж.Пэй-лис, Н.Кейпер, Ю.С.Йльяшенко, А.С.Пяртли и др.

Вопросы существования инвариатного многообразия и нормализации динамических систем на инвариантном многообразии рассматривались в работах В.А.Плисса, М.Хирша, Шопштайшви-ли,К.Пью, М.Шуба, Ю.Н.Бибижова, В.Ф.Лазутина.

Как правило, в задачах аналитической классификации получали результаты двух типов: либо доказывали совпадение аналитической и формальной классификаций, либо находили условия, гарантирующие расходимость нормализующих рядов. Результаты принципиально иного характера были получены за последние 16 лет. В 1980 г. в задаче об аналитической классификации ростков одномерных отображений с тождественной линейной частью были обнаружены функциональные инварианты (Ж.Экалль,

C.М.Воронин). В дальнейшем функциональные инварианты были построены для ростков резонансных одномерных отображений, а также в задаче об орбитальной1 классификации резонансных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости (Ж.Экалль, М.Мальгранж, Ж.Мартине, Ж.Рами, Ю.С.Йльяшенко, С.М.Воронин, П.М.Елизаров, А.А.Щербаков).

'Дшыгаческие систеиы-1. Итоги науки и техник». Ссвреиенные проблемы катехмжи. Фу ¡дал дентальные направления, т.1,- М.:ВИЕИТИ, 1985.

Цели исследования. Цель работы заключается в решении классификационной задачи (как формальной, так и аналитической) для двумерных голоморфных отображений некоторого специального вида - так называемых ¿-сдвигов; а также в построении полной системы инвариантов в задаче об аналитической классификации седловых резонансных особых точек на комплексной плоскости.

Методы исследования. В работе использованы классические методы теории нормальных форм Пуанкаре; реализационные конструкции выполнены с использованием техники почти комплексных структур.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

- получена формальная классификация ¿-сдвигов;

- показано, что в типичных ситуациях аналитическая классификация ¿-сдвигов совпадает с формальной;

- получена аналитическая классификация ¿-сдвигов с формально нелинеаризуемой первой компонентой; эта классификация не совпадает с формальной и имеет функциональные модули; также получено описание формальной и аналитической группы симметрий ¿-сдвигов указанного типа;

- получена аналитическая классификация седловых резонансных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости; эта классификация также не совладает с формальной и имеет функциональные модули;

- получено полное описание аналитической группы симметрий ростков голоморфных седловых резонансных векторных полей на плоскости;

- найдены простые достаточные условия аналитической эквивалентности ростка седлового резонансного векторного поля к его

формальной нормальной формы.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют полностью решить задачу об аналитической классификации седло-вых резонансных особых точек на комплексной плоскости, и, тем самым, в резонансном случае завершают программу локального исследования особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости, предложенную А.Пуанкаре. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории динамических систем в университетах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Совместные заседания семинара им.И.Г.Петровского и Московского Математического общества", на XX итоговой студенческой конференции "Студент и НТП" (Челябинск), на конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара), и на семинарах кафедры математического анализа математического факультета Челябинского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. Результаты, опубликованные в совместных работах с научным руководителем, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования,

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 113 страницах и состой г из введения, четырех глав, списка литературы. Библиография содержит 101 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении к диссертации обосновывается актуальность выбранного направления исследования, дается краткий обзор литературы по теме диссертации, формулируются цели исследования, основные определения и результаты.

1. ¿-сдвиги и их эквивалентность.

Росток голоморфного (формального) обратимого отображения S : (С,0) хС-4 (С,0) х С вида 6 : {y,t) » {A[y),t + а{у)) будем называть t-сдвигом (формальным t-сдвигом) .

Пусть <$: (г/, г) м (А(у), ¿ + а(у))> Д'(0) = А. Тогда ¿-сдвиг 6 будем называть 1) резонансным, если An = 1 для некоторого п 6 N, и нерезонансным в противном случае; 2) t-сдвигом типа Пуанкаре, если |А| f 1, и t-сдвигом типа Зигеля в противном случае. Резонансный ¿-сдвиг типа Зигеля, у которого Д'(0) = exp(2fri/i), ц € R, будем называть диофантовъш, если число ц плохо приближается рациональными числами и лиувиллевым в противном случае.

Будем называть ¿-сдвиги 5 и S аналитически (формально) эквивалентными, если существует ¿-сдвиг (формальный ¿-сдвиг) Л, их сопрягающий: ho6 = 6oh.

Первая глава диссертации посвящена решению задачи формальной и аналитической классификации ¿-сдвигов.

2. Формальная классификация ¿«сдвигов.

Формальная классификация ¿-сдвигов дается следующими теоремами:

Теорема 1. (Теорема о формальной классификации нерезонансных ¿-сдвигов.)

Нерезонансный t-сдеиг формально эквивалентен аффинному t-Тсдвигу

+const) (1)

Аналогичный результат в резонансном случае несколько сложнее. А именно,

Теорема 2. (Теорема о формальной классификации резонансных ^-сдвигов.)

Резонансный 1-сдвиг формально эквивалентен либо аффинному сдвигу, либо исдвигу

^«••(аО^ЙМ + с+У4'), (2)

где А = ехр(-2тгг'р, р, € - взаимно просты, либо

Рсдвигу

* + (3)

г<?е<^ = \д1щп? - сдвиг вдоль векторного поля Ыц^р за единичное время, = 2п?+1(1 т вгвр)"1ЕГ» ® € С; А = ехр(-2ттгр,

- взаимно простые натуральные числа, ш = Е

4=0

К,-.•,О е С7141; ф = га,а,а;,... ,<).

сдвиги вида (1) - (3) будем называть формальными нормальными формами. Теоремы 1 и 2 доказаны в п.1.1 и п.1.2 соответственно.

3. Аналитическая классификация ¿-сдвигов.

Оказывается, что аналитическая классификация ¿-сдвигов с линеаризуемой первой компонентой совпадает ,как правило, с формальной. Этот факт доказан в следующей теореме (п.1.3).

Теорема 3. (Теорема об аналитической классификации ^сдвигов с линеаризуемой первой компонентой.)

Нелиувиллевый подвиг с формальной нормальной формой (1) иль (2) аналитически эквивалентен своей формальной нормальной форме.

Существенно более сложной является задача о классификации ¿-сдвигов с формально нелинеаризуемой первой компонентой.

Пусть Вф - класс формальной эквивалентности ¿-сдвига 6ф, Определим для набора ф так называемый модуль симметрии Л = ¿(ф): пусть <1 есть частное от деления п на число тпф = ЕОД{{к : а*к/ 0, к = 1,ге},п}.

Далее, пусть Мп - пространство всех наборов {<р,ф} таких, что (р = {фза^ Ф = {^Ь'ег,, где функции голоморф-

ны в окрестности нуля, функции ф~ голоморфны в окрестности бесконечности, и ^(0) = ((¿>1")'(0) = ^"(0) = ф]~[оо) = 0,

Будем называть наборы и {ф, г/>} из И^л, ф-жвивалентны-ми, если для некоторых ЬбС*иЖ^и любого ; выполняются следующие равенства

Через Мф обозначим пространство классов ^-эквивалентности наборов из Мп.

Следующая теорема является основным результатом первой главы.

Георема 4. (Теорема об аналитической классификации ¿-сдвигов с формально нелинеаризуемой первой компонентой.)

Каждому Ыдвигу 5 изВф можно поставить в соответствие модуль £ Мф так, что

1°. (Эквивалентность иэквимодальность.) ¡-сдвиги6 иб из Бф аналитически эквивалентны, если и только если совпадают их модули тц и

2°. (Реализация.) Для любого то € Мф найдется ¡-сдвиг 5 из Иф такой, что т = то$.

3°. (Аналитическая зависимость от параметра.) Для любого аналитического семейства t-сдвигов ¿£ некоторые представители модулей т$с аналитически зависят от е.

В п.1.4 - 1.15 приводится подробное описание построения модулей аналитической эквивалентности ¿-сдвигов; проверяется корректность их определения; доказываются утверждения теоремы 4.

4. Классификация седловых резонансных особых точек.

Во второй главе рассматривается задача об аналитической классификации седловых резонансных особых точек.

Два ростка векторных полей с особой точкой 0 называются аналитически (формально) эквивалентными, если существует локальная голоморфная (формальная) замена координат, переводящая один росток в другой.

Два ростка векторных полей с особой точкой 0 будем называть формально орбиталъно эквивалентными, если один росток можно перевести в другой локальной формальной замена координат с последующим умножением на формальный степенной ряд с ненулевым свободным членом.

Следующая теорема, по существу, равносильна известным результатам Л.М.Мархашоваи АД.Брюно (для двумерного случал), но дает более удобную для наших целей формальную нормальную форму седловых резонансных особых точек.

Теорема 5. (Теорема о формальной классификации седловых резонансных особых точек.)

Седловой резонансный росток голоморфного векторного поля с невырожденной особой точкой 0 либо формально орбиталъно эквивалентен линейному ростку, либо формально эквивалентен

некоторому ростку

где ф- (р,д,1г,о,с), р,д - взаимно простые натуральные числа,

п, ,

а 6 С, с = (со, •. •, Сп) € С* х Са, Рс(и) = Е с^гт - многочлен

к=О

степени п от переменной и = г?г/р.

Класс формальной эквивалентности ростка ^ обозначим

В этой же главе рассматривается вопрос об эквивалентности ростков вида (4), называемых формальными нормальными формами (теорема 6), а также проводится предварительная нормализация ростков из Уф аналитическими заменами координат (лемма 10).

Следующая теорема дает аналитическую классификацию сед-ловых резонансных особых точек, неудовлетворяющих условию А Брюно, и тем самым, завершает программу исследования особых точек в резонансном случае.

Теорема 7. (Теорема об аналитической классификации седловых резонансных особых точек.)

Теорема 4 останется верной, если в ее формулировке класс заменить на класс Уф.

5. Теорема о редукции.

Третья глава посвящена доказательству теоремы 7; основным шагом при этом является доказательство формулируемой ниже так называемой теоремы о редукции (теорема 8).

Пусть V - произвольный росток из Уф\ А1, /\2 - собственные значения его линеаризации в нуле, 5* - сепаратриса и, касающася в нуле собственного вектора линейной части ростка и в нуле, соответствующего собственному значению А1. Пусть Г - трансверсаль

к 5 б точке Р0 = ГП5, близкой к 0, и пусть у - локальный параметр на Г, у(Р0) = 0. Пусть произвольная интегральная кривая поля V пересекает трансверсаль Г в некоторый момент времени в точке Р, и пусть уо = у{Р). Пусть та же интегральная кривая вновь пересекает Г в точке Р в некоторый момент времени такой, что 1^1 — ^с)—2тгг| < 1, и пусть у\ = у(Р). Отображение <5„, переводящее точку (уо,^о) в точку (у1,<х) будем называть преобразованием t-мoнoдpoмuu ростка V, соответствующим трансверсали Г.

Показано, что преобразование ¿-монодромии ростка класса Уф корректно определено и является ¿-сдвигом (лемма И).

Теорема 8. (Теорема о редукции.)

Существует биекцш Ф: С* х С" С* х С", такая, что 1°. Пусть ф = (р,<г,п,а,с), с = Ф(с), ф = (р,?,п,а,с). Тогда преобразования Х-монодромии ростков изУ$ являются ¡-сдвигами из

2°. (Эквивалентность и эквимодальность.) Два ростка из Уф аналитически эквивалентны если и только если аналитически эквивалентны их преобразования 1-монодромии,

3е. (Реализация.) Для любого исдвига 6 б существует росток V £Уф такой, что = <5.

4°. (Аналитическая зависимость от параметра.) При подходящем выборе трансверсалей преобразования монодромии ростков из Уф, аналитически зависящих от некоторого параметра, также аналитически зависят от этого параметра.

Утверждения этой теоремы будут доказаны в п.З.б - 3.9 соответственно; при доказательстве третьего утверждения теоремы использовалась теория почти комплексных структур.

6. Простейшие приложения.

В четвертой главе рассматриваются некоторые простейшие приложения теорем 4 и 7, а именно, изучаются группы симметрий i-сдвигов и группы симметрий ростков голоморфных векторных полей с особой точкой 0.

Симметрии ¿-сдвигов.

Аналитической (формальной) группой симметрий t-сдвига 6 назовем группу (Gs)> состоящую из всех ¿-сдвигов (формальных ¿-сдвигов) h, коммутирующих с 6: h°6 = Soh.

Заметим, что группа симметрий произвольного ¿-сдвига 6 содержит подгруппу {6r'}?i6Z и подгруппу Gf, состоящую из всех i-сдвигов вида (у, ¿) (у, \ + const).

Главной частью группы симметрий t-сдвига 6 назовем факторгруппу Gf = Gij (Gg + {6В}) (если она корректно определена).

Группой симметрий инварианта т £ Мф назовем подгруппу С* х состоящую из всех пар чисел (6,fc) € С* х Ъщ таких, что для некоторого представителя {<р, ф] класса эквивалентности тп справедливы равенства

<Pj{bz) = bipj+ki(z), е где d = с1{ф) - модуль симметрии набора ф.

Теорема 9.

1°. Формальная группа симметрий t-сдвига 6 из Бф коммутативна и изоморфна прямому произведению аддитивных групп С х С и группы вычетов Ъщ\ аналитическая группа симметрий t-сдвига 6 из Бф коммутативна.

2°. Главкой часть аналитической группы симметрии t-сдвига 6 из Бф корректно определена и изоморфна группе симметрий его инварианта.

Симметрин седловых резонансных ростков.

Аналитической (формальной) группой симметрий ростка V голоморфного векторного поля с особой точкой 0 назовем группу С?„ ((т„), состоящую из всех голоморфных (формальных) замен координат, сохраняющих V.

Группа симметрий любого ростка V содержит подгруппу С+ = состоящую из всех сдвигов вдоль фазовых кривых

ростка м за фиксированное время.

Фактор-группу (За/С* (если она корректно определена) назовем главной частью группы симметрий ростка V.

Теорема 10.

1°. Формальная группа симметрий ростка V из Уф изоморфна прямому произведению мультипликативной группы С*, аддитивной группы С и группы вычетов Ъщ.

2°. Главная часть аналитической группы симметрий ростка V € Уф корректно определена и изоморфна группе симметрий его инварианта.

Эта теорема дает, в частности, следующие простые достаточные условия аналитической эквивалентности ростка седлового резонансного векторного поля с особой точкой 0 и его формальной нормальной формы.

Следствие 1 Если главная часть аналитической группы симметрий ростка V € Уф не является конечной, то росток V аналитически эквивалентен своей формальной нормальной форме ц.

Замечание. Последнее утверждение является усилением аналогичного результата, полученного ранее Л.М.Мархашовым.

Утверждения теорем 9,10 и следствие 1 доказаны в п.4.1 - 4.2, п.4.3 - 4.4 и 4.5 соответственно.

В заключение автор пользуется возможностью выразить глубокую признательность и огромную благодарность С.М.Воронину и А.И.Поволоцкому за поддержку и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Воронин С.М., Гринчий A.A. Аналитическая орбитальная классификация вырожденных особых точек ростков голоморфных векторных на плоскости// Успехи мат.наук, 1995.- Т.50. ВЫП.4(304). С.77.

2. Воронин С.М., Гринчий A.A. Аналитическая классификация t-сдвигов. Деп. в ВИНИТИ 24.05.96, N 1689 - В96.

3. Гринчий A.A. Аналитическая классификация седловых резонансных особых точек на комплексной плоскости. Деп. в ВИНИТИ 24.05.96, N 1690 - В96.

4. Воронин С.М., Гринчий A.A. Теорема о редукции и аналитическая классификация седловых резонансных векторных полей на плоскости//Тезисы докл. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Самара, 1996.

5. Гринчий A.A. Теорема редукции и аналитическая классификация седловых резонансных векторных полей на плоскости // Тезисы докл. конференции "Студент и научно-технический прогресс", Челябинск, 1996.