Асимптотические методы в задаче большого числа частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ5 ОД

На правах рукописи

Шведов Олег Юрьевич

УДК 517.9, 531.19

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧЕ БОЛЬШОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1996

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

академик РАН В.П.Маслов.

Официальные оппоненты:

член Итальянской академии наук, доктор физико-математических наук, профессор М.И.Вишик.

док--.тор физико-математических наук, профессор Е.М.Воробьев.

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита состоится 25.06.96 в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете).

на заседании диссертационного совета К.063.68.05. Начало защиты в 1^-00 в зале ученого совета института

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослан

Ученый секретарь: кандидат физико-математических наук, ^--—л// ¿и^Й доцент . I П.В.Шнур;

Общая характеристика работы

В диссертации рассматривается проблема построения приближенных решений уравнений для функций, число аргументов которых стремится к бесконечности.

Актуальность темы. Уравнения для функций большого числа аргументов часто встречаются в приложениях. В частности, в квантовой механике состояния системы Л? частиц в фиксированный момент времени описываются волновыми функциями - функциями N аргументов, являющихся координатами частиц. Эти функции удовлетворяют эволюционному уравнению Шредингера.

В квантовой статистике рассматриваются так называемые смешанные состояния, которым можно взаимно однозначно сопоставить матрицы плотности ВлохинцевагВигнерв, также являющиеся функциями большого числа (21/) аргументов. N из этих аргументов являются координатами частиц, ТУ - импульсами. Матрица плотности удовлетворяет миогочастичному уравнению Вигнера.

В классической статистической механике важную роль играют ЛГ-частичные функции плотности распределения вероятности, также являющиеся в фиксированный момент времени функциями 2N аргументов. Эти функции удовлетворяют уравнению Лиувилля.

Поскольку точные решения уравнений Шредингера, Лиувилля и Вигнера найти в общем случае не удается, вопрос о разработке приближенных методов решения этих уравнений является весьма важным.

Цель работы, заключается в построении приближенных решений упомянутых выше уравнений, если число частиц стремится к бесконечности. Окат зывается, что различные уравнения, отвечающие различным физическим задачам, можно рассмотреть с помощью единого метода, который и развивается в диссертации.

Научная новизна. Построены новые асимптотические формулы для решений уравнений Шредингера, Лиувилля и Вигнера. Опровергается известная гипотеза о сохранении хаоса. Строится приближенный спектр Ы-частнчного гамильтониана. Строятся аппроксимация для температурного канонического распределения в классической статистической механике. Теория комплексного ростка Маслова обобщается на бесконечномерный случай.

Ценность результатов. Полученные в диссертации результаты могут бьггь применены в самых резных областях физики и математики, в частности, в классической статистической механике, квантовой статистике, квантовой механике многих частиц. Развитый в диссертации метод применим в любом случае, когда возникает необходимость строить приближенные решения уравнений для функций большого числа аргументов.

Апробация д иссертации. По результатам диссертации был прочитан факультативный спецкурс для студентов 4 курса физического факультета МГУ. За работы по теме диссертации автору присуждена премия Европейской Академии для молодых ученых СНГ 1996 года.

Турки* Ьу Лд^блех

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 статей:

1. В.В.Белов, В.П.Маслов, ОЛО.Швсдов. О квазиклассической асимптотике модельной задачи. Математические заметки, 1993, т.53, вып.5, с.14-20.

2. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Спектр N-частичиого гамильтониана при больших N и сверхтекучесть. Доклады Академии Наук, 1994, там 335, N1, с.42-46.

3. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Квантование в окрестности классических решений в задаче N частиц и сверхтекучесть. Теоретическая и математическая физика, 1994, т.98, N2, с.266-283.

4. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Асимптотика решения N-частичного уравнения Лиувилля при больших N и опровержение гипотезы хаоса для функции плотности. Математические заметки, 1994, том 56, вьш.2,с. 153-155.

'5. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. О проблеме сохранения хаоса в многочастичных системах. Доклады Академии Наук, 1994, том 338, N1, с.15-18.

6. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. О новом асимптотическом методе в задаче многих классических частиц. Доклады Академии Наук, 1994, том 338, N2, с.173-176.

7. V.P.Maslov, O.Yu.Shvedav. An asymptotic formula for the N-particIe density function as N —> oo and a violation of tbe chaos hypothesis. Russian Journal at Mathematical Physics, 1994, vol.2, N2, p.217-234.

8. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Комплексный метод ВКВ в пространстве Фока, Доклады Академии Наук, 1995, том 340, Kl, с.42-47.

9. V.P.Maslov, O.Yu.Shvedov. Asymptotic solutions to the Wigner equation for systems of a large number of particles. Russian Journal of Mathematical Physics, 1995, vol.3,Nl,p.65-80.

10.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Туннельные асимптотики во вторично-кван-товаппых системах. Доклады Академии Наук, 1995, том 341, N1, с.32-36.

П.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Стационарные асимптотические решения задачи многих тел и вывод интегральных уравнений с прыгающей нелипейно-стью. Дифференциальные уравнения, 1995, том 31, N2, с.312-326.

12.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов, О проблеме больших уклонений в задаче многих тел. Математические заметки, 1995, т.57, вьш.1, с.133-137.

13.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. 1. Асимптотики типа волновых пакетов. Теоретическая и математическая физика, 1995, х104, N2, с.310-329.

14.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. 2. Асимптотики, отвечающие конечномерным изотропным многообразиям. Теоретическая и математическая физика, 1995, т.104, N3, с.479-506.

15.V.P.Maslov, O.Yu.Shvedov'. Chaos conservation problem in quantum physics. Russian Journal of Mathematical Physics, 1996, vol.4, N2, p.173-216.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Содержание диссертации

1. Развиваемый в диссертации асимптотический метод мажет быть прима-

нен к уравнениям типа

.-ф'/' = V 1 . 1 V V НМ р= 1 и 1<$&...ф1г<П л,., -Л,

Здесь Ро 6 И, индексы [¡, ^ пробегают значения от 1 до оо, а

^/'Л./лг "Р11 фиксированном < 6 К и ЛР £ N является набором комплексных чисел, который удовлетворяет условию

Е

fi-.hr

и свойству симметрии по II,...,1ц. Величины Яд' являются симме-

тричными отдельно по 1\,и отдельно по I],..., наборами комплексных чисел, причем

1/Ы* _ тг(Р>

Развиваемый в диссертации метод позволяет построить приближенные решения уравнения (1) при ЛУ —► оо. К виду (1) приводятся, в частности, многочастичные уравнения Шредингера, Лиувилля, Вигпера, поэтому приближенные решения этих уравнений также могут быть построепы с помощью развиваемых методов.

Дня упрощения асимптотичеких формул удобно ввести понятие млогоча-стичиого канонического оператора, который является частным случаем канонического оператора Маслова, отвечающего лаграпжевому многообразию с комплексным ростком специального вида.

Обозначим через Р пространство Фока, являющееся прямой суммой Но ® Н\ ® ... ф ф ... пространств "Нп симметричных функций /„ : ГГ1 = N х ... х N —► С, удовлетворяющих условию ¡/п,/,...^!2 < оо. Пусть ч> 6 Р.

Обозначим через Т^ подпространство состоящее из всех векторов / С удовлетворяющих условию:

со .

X) Ч>У,Л...ГР = 0;

здесь ]т — р-я компонента /. Рассмотрим элемент пространства Ни вида

(Я*>,лг/)г..../я = 2_, ттт X, Л-А.И ^/г

р=0 1<и<...<|,<^

Определение 1. Назовем оператор К^н : ^ —» Нц многочастичным каноническим оператором.

Перейдем к построению асимптотической формулы. Пусть <р 6 Р. Обозначим

Обозначим через С^, где у 6 I1, пространство функций Л : N х N —> С, удовлетворяющих свойствам (1) Пи = Пл\ (и) Я/Я?} =-у/

(111) оператор М в пространстве I2 с матрицей Мл вида Ми = 11п-\-1р1Ч>:

является оператором ГильбертагШмидга с нормой меньше единицы.

Обозначим через а* операторы рождения и уничтожения в пространстве Фока вида

(°Г/)*-1,Л ...Л-1 = к

•=1

где Л £ / £ .Я. Введем также обозначения

J

где = и-1- = и — и).

Пусть V® € I2, 1| = 1, Я0 6 ¿„о,«;,«?.".«*.»* 6 Р. Обозначим через V* € '2 решение уравнения типа Хартри

4 = М (2)

совпадающее с при * = 0 (аргумент < у функции у для краткости опущен). Обозначим через Л* е С^ решение задачи Коши для уравнения вида

.сШЬ = дгН ' л ~

зйзЬ*5"+£ 4 (3)

а через 6 I2,« = 1, к - решение задачи Коши для системы

• * * V ( &'Н '* ^ д*Н г \

■А « д*н « , , \ 'л"" ~ ^ дЯмУ")

Обозначим

(5)

с« = ехр(-1 ['.¡тУ-^-Л* ).

2 Л ¿¿^Р^з

Будем предполагать, что оператор в правой части уравнения (1) является самосопряженным на некоторой области определения, а ряды

Е I Е Е

сходятся. В формуле (6) е {1,...,*}, = - Т,к ^к^'к- Рас-

смотрим решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию:

Ф0'»=^ +

и

где Ф'0' - вакуумный вектор пространства Фока, нулевая компонента которого равна единице, а остальные - нулю. Обозначим через Ф1'" элемент пространства вида

ф'-я = с'е^^^^л^Ч + (7)

Теорема 1. Выполнено соотношение

Е №.«•

Таким образом, построена аппроксимация для решения задачи Коти дня уравнения (1), причем невязка мала по норме пространства 1?. Отметим, что сформулированные условия теоремы 1 могут быть проверены в случаях многочастнчных уравнений Шредингера, Лнувилля и Вигнера.

Можно рассмотреть более общие уравнения, чем уравнение (1), в именно, •гак называемые уравнения с онераторпоэначным символом. В этом случае величины Ф1к являются не комплексными числами, а векторами некоторого

гильбертова пространства Н, т.е. Ф*,Л' € ~Н ® Нц, а являются

операторами в И.

Асимптотические формулы в этом случае выражаются через собственные векторы и собственные значения оператора Н(<р", <р):

В{ч>\ч>Шч?.ч>) = Чч>тМШ\ч>)-

Будем предполагать для простоты этот спектр дискретным и невырожденным. Рассмотрим одно из собственных значений Л. Оказывается, что приближенное решение уравнения (1) имеет в данном случае вид

СвФ''*

где Ф'>" имеет вид (7). При этом 5', уз1, и', V- удовлетворяют соотношениям, получаемым из формул (2), (3), (4), (Б) заменой И на А. Формула для с' также приведена в диссертации.

В работе также построены асимптотические решения уравнения (1), аппроксимирующие точные решения с точностью где М - любое натуральное число.

Рассмотрим построение стационарных асимптотических решений многоча-стичпых уравнений. Оказывается, что при определенном выборе начальных условий я асимптотическое решение (7) зависит от времени как

= Ф^ехр(-1^1)

для некоторого Ец- В случае уравнения Шредипгера величина Ец имеет смысл возможного значения энергии системы. Таким образом, развиваемый в диссертации метод позволяет получить приближенный энергетический спектр.

Приведем явный вид стационарных асимптотических решений уравнения (1). Пусть

*>' = = 1, является решением уравнения тина Хартри (2), а

</ = G<i)ei<*-,-n^ = Р^е^-"",; = 1755-решения системы в вариациях (4), удовлетворяющие условиям:

п

матрица <7 обратима, м=\

£ - = О.а,? =

М=1

Оказывается, что

удовлетворяет уравнению Риккати (3). Из теоремы 1 поэтому вытекает, что функции (7) являются стационарными асимптотическими решениями уравнения (1), причем приближенный спектр имеет вид

Е„ = + ^ £ +2>

где ет - целые неотрицательные числа.

Отметим, что полученную с помощью теоремы 1 асимптотику можнб использовать для вычисления средних значений от общих ограниченных равномерно по N наблюдаемых с точностью 0(1/№!2). Если учесть первые М поправок к асимптотической формуле, то точность станет порядка 0(Л~(М+1)/2). Главная асимптотика средних значений, которые являются экспоненциально малыми при N —* сю, не может быть найдена из построенных с помощью теоремы 1 приближенных решений, так как погрешность является степенной функцией по

1Л/ЗР и превышает соответствующее среднее значение. В диссертации строится поэтому также и туннельная асимптотика волновой функции, с помощью которой можно вычислять и экспоненциально малые средние.

2. Рассмотрим теперь применение асимптотического метода к многочастичным уравнениям Шредингера, Лиувилля и Вигяера. Рассмотрим уравнение Шредингера вида

£ 4 Е п*^)

¡=1 4 / " 1<«><ЛГ

где - симметричная функция из х^, ,..хц 6 К3, С/, V - гладкие

функции и : К3 —► К, V : К3 х И3 -* К, ограниченные вместе со всеми своими производными, У(х,у) — У(у,х), Л, т > О, Л; = ЕР]дх] - оператор Лапласа по « - й переменной Х( € К5.

Уравнение (8) отвечает следующей физической задаче. Имеется система N бозонов, находящихся во внешнем поле и взаимодействующих между собой. Внешний потенциал остается конечным при N —* со, а потенциал межчастяч-ного взаимодействия стремится к нулю, причем коэффициент при нем равен Функция является N - частичной волновой функцией, описывающей состояние системы N частиц в момент времени I. Величина т является массой частиц, К - постоянной Планка.

Уравпепие (8) приводится к виду (1). Действительно, пусть хьХг,— - произвольный ортопормированный базис в пространстве ¿г(Я®). Рассмотрим величины вида - . ,

(8)

Оказывается, что уравнение (8) равносильно некоторому уравнению тина (1). Применяя теорему 1, можно построить асимптотическое решение уравнения (8)-

Аналогом уравнения (2) является в данном случае известное в теории многих частиц уравнение Хартри

.. 9 , й2

-—Д + ^МрМ, (9)

где 6 Ь2(К3), а через И^, обозначен самосогласованный потенциал

= Щх) +1 У(х, у)Ыу)\Чу, (10)

Система (4) переходит в систему в вариациях для системы уравнений, состоящей из уравнения Хартри и сопряженного ему уравнения, при этом вариации V и V?* следует брать независимыми.

Уравнение (3) переходит в уравнепие типа Рикхати

у) = У(х, уУ (*У (у)+

+ ! Лу' <р\у)У{у,у')<РиЬ>)ЯХз,У) + / *>'*(*>'(»,*')

+У<^:t'<гг,'л<(=I.x')^г%,y')v(x',yV<*(®,)/•(y')^ (и)

Приведем асимптотическую формулу для решения уравнения (8). Обозначим через пересечение пространств Соболева И^(К3), к = 1, оо. Пусть

1р° : К3 —► С - функция из И'200(К3), удовлетворяющая условию / ¿х\^°(х)}'1 = 1, а функция Д? : К3 х К3 -»■ С удовлетворяет условиям: 0) л° е = я>(у,ху,

(н)г,У>*(у)<гу=-^(х);

(ш) оператор М° в пространстве £2(К3) с ядром

М\Х,У)=И>(Х,у) + <РХХ)Ч>\У)

удовлетворяет свойству ||М°|| < 1.

Рассмотрим элемент пространства £2(КЗЛ) вида

-А"" £ ^ X £ П (12)

где М'(х, у) = R'(x, у) + <р'(х)<р'(у), R' - решение задачи Коши для уравнения (11), ifi* - решение задачи Коши для уравнения Хартри, формулы для S* и с' вытекают из (5) и приведены в диссертации.

Отметим, что существование решений уравнений (11) и (9) может быть доказало с помощью теорем В.П.Маслова.

Рассмотрим решение уравяепия (8), удовлетворяющее начальному условию

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Выполнено соотношение

idxi...dxN\&N(xu...,xN)..,xN)\2 О. (13)

J N—оо

Результат (13) означает, что точную волновую функцию можно заменять на приближениую при вычислении пределов при N —* оо средних значений от общих ограниченных равномерно по N наблюдаемых (которые являются операторами в £2(ЛЗЛГ)). Отметим, что более простая задача о построении аппроксимации для волповой функции, которую можно использовать для вычисления пределов при N —► со средних значений наблюдаемых величин, имеющих ядра специального вида

Р. г

A^(xi1,...,xir;yil,...,yir) Д S(xi-yi), (14)

¡7" "I

может быть решеиа также с помощью метода цепочек Н.Н.Боголюбова (это было сделано В.П.Белавкиным и В.П.Масловым). В отличие от метода цепочек Боголюбова, развиваемый в диссертации подход позволяет строить аппроксимации не только для корреляционных функций конечного порядка к

f dxi+i...dxNii,N{xi.....xt,xt+l,...,XK)WjJ(yi,...,t/it,Xk+i,...,xN), (15)

(число аргументов которых не стремится к бесконечности), но и для N - частичной волновой функции, число аргументов которой стремится к бесконечности.

Используя следствие 1, можно, в частности, исследовать проблему сохранения хаоса в системе многих квантовых частиц. Эта проблема была поставлена М.Кацем в 1956 году для случая классической статистической механики. Квантовый аналог гапотезы о сохранении хаоса имеет следующий вид. Пусть при t = 0 коррелятор (15) факторизуется при к = const, N -+ оо следующим образом:

- <рХХ>)...<РЬЬ>"Ы-<Р"Ы), (16)

Тогда это свойство выполнено и в произвольный момент времени. Эта гипотеза подтверждена в работе Бедавкина и Маслова.

Определение Я. Будем говорить, что свойство хаоса выполнено для наблюдаемой А//, если

Ип» = 0

/V—»оо

где ...,хы) =

Таким образом, для паблюдемых (14) свойство хаоса выполнено. Представляет интерес вопрос, выполняется ли свойство хаоса для всех ограниченных равномерно по N наблюдаемых. Оказывается, что ответ на этот вопрос отрицателен.

Теорема £. Пусть V ф 0 при всех х,у е К3. Тогда для любого интервала [¿1,^] существуют равномерно ограниченные по N наблюдаемые Аы, для которых свойство хаоса не выполняется для некоторого N.

Соответствующие примеры наблюдаемых приведены в диссертации. Рассмотрим теперь проблему хаоса в классической статистической механике. Состояние системы в этом случае задается N - частичным распределением 1---,Рл',?Л')> удовлетворяющим уравнению Лиувилля:

где

" ? 1

а Р1, - импульсы частиц, 51,...,?лг - координаты частиц. Наблюдаемыми в классической статистической механике являются вещественные функции Аы(Р|.9Ь"м1>л.мО> причем ||А«|| = зирАы-

Определение 3. Будем говорить, что свойство хаоса выполнено для классической наблюдаемой если

Л—»00

для некоторой функции .

Оказывается, что для выполнения свойства хаоса для любой ограниченной равномерно по Л' наблюдаемой необходимо и достаточно, чтобы

/

¿Р1 ад,...¿Рх¿ду \рн{Р1, ?1, -,РЯ, Ян) - /*(Р1,91)—/*СРЛГ, ?лг)| ^^ 0 (18)

Таким образом, возникает задача о построении такой аппроксимации решения задачи Коши для уравнения (17), что невязка мала по норме пространства . Однако теорема 1 позволяет строить аппроксимации по норме пространства Ь2. Эта трудность преодолевается следующим образом.

(1) рассматривается N - частичная функция полуплотности, равная квадратному корню из N - частичной функции плотности;

(н) показывается, что невязка для функция полуплотности мала по норме пространства 1? тогда и только тогда, когда невязка для функции плотности мала при N —» оо по норме пространства £';

(ш) с помощью теоремы 1 строится асимптотическая формула дай функции полуплотности, которая тоже удовлетворяет многочастичному уравнению Лиувилля.

В диссертации получен следующий результат.

Теорема 3. При V ф 0 не существует такого интервала [<х, <2!» на котором бы выполнялось свойство (18).

В диссертации приводится также асимптотическая формула Рн'{р\) ?1, —I Ргя, ?лг) для функции плотности, удовлетворяющая свойству:

/ Рна'Ь>1,Я1,---,ры,Яу)\ 0 (19)

J /V—»оо

Эта асимптотика выражается через решение известного в статистической физике уравнения Власова, а также через решете другого уравнепия (типа Рик-кати). Отметим также, что для корреляционных функций

= J <lp|l+ldqi!+i...dpNdqt^piN(p^,qr,■■^,PN,gN) (20)

сохранение хаоса было доказано ранее с помощью метода цепочек Боголюбова.

Отметим, что метод, примененный для опровержения гипотезы хаоса позволяет также строить стационарные асимптотические решение уравнения Лиувилля, которые также приводятся в диссертации.

В диссертации рассматривается также проблема хаоса для квантовой статистики, а также для общего случая абстрактных гамильтоновых алгебр, который объединяет все остальные.

Отметим, что для уравнений с олераторяозначным символом хаос не сохраняется даже для корреляционных функций.

3. Уравнение (1) является частным случаем уравнения более общего вида:

*1Г = (21)

где Ф' 6 Т. Действительно, пусть е пробегает дискретный найор значений £ Р(}, а оператор Я, являющийся полиномом по операторам рождения и уничтожения, содержит только слагаемые с одинаковым количеством операторов рождения и уничтожения. Если начальное условие для Ф' имеет только 1/е-ю компоненту, отличную от нуля, то и решение уравнения (21)

обладает этим свойством. Пря этом уравнение дам этой компоненты совпадает с (1), где N — 1/е.

При других операторах Н уравнение (21) описывает эволюцию системы переменного числа частиц: в этом случае частицы могут рождаться и уничтожаться. Исследование таких уравнений представляет интерес для квантовой химии и квантовой теории поля.

Таким образом, возникает вопрос о разработке метода построения приближенных решений уравнения (21) при е —► 0. Для построения асимптотик можно перейти сначала в "Q- представление" для элементов пространства Фока, которое задается формулой

N . „

ltíK i=x dQl-

где

со

$o[<?i,<?2,...]=exp(-]Tyi/20 t=i

Уравнение (21) в *Q~ представлении" принимает вид

ic3*b n(Q-iP Q+¡PH, . .

~ ' ~7T)4lQ' (22)

где Pf — —iegjjfj- Уравнение (22) является бесконечномерным аналогом кван-товомеханяческого уравнения Шредингера, причем аналогом постоянной Планка h является е. Поэтому при е —► О к уравнению (22) можно применять квазшслассические методы. Метод комплексного ростка Маслова в точке дает решение уравнения (22) типа волнового пакета

/'(9 ~?')e¿(g4-Si PHQ.~Q\)) (23)

y/e

где /* - быстро убывающий на бесконечности функционал. В фоковском представлении функционалу (23) соответствует вектор

(24)

где

V^l^l — с

аУ' = К'(о+)ф'0) - не зависящий от с элемент пространства Фока. Уравнения на у»*, s', Y* приведены в диссертации.

Отметим, что вывод формулы (24), основанный на применении метода комплексного ростка Маслова к уравнению в "Q-представлении", носит эвристический характер, так как теория комплексного ростка ранее была обоснована только для конечномерного случая. Однако асимптотическую формулу (24) можно проверить и непосредственной подстановкой в уравнение (21), докаг зав тем самым соответствующую теорему. Тем самым теория комплексного ростка Маслова обобщается в диссертации на бесконечномерный случай.

Основные результаты диссертации

1. Построены новые приближенные решения уравнений для функций, число аргументов которых стремится к бесконечности. Эти асимптотики аппроксимируют точные решения по норме пространства Ьг. Класс рассматриваемых уравнений является очень широким и включает в себя ^-частичные уравнения Шредингера, Лиувилля и Ввгнера.

2. Показано, что асимптотики при N -* оо решений уравнений Шрединге-ра, Лиувплля и Битера выражаются не только через известные уравнения самосогласованного поля (уравнения Харгри, Власова, Хартри-Вигнера), но и через новые уравнения.

3. Построены асимптотические формулы для мпогочастичных уравнений с операторнозпачным символом; для этого случая получены новые уравнения самосогласованного поля.

4. Построены аппроксимации для решения мпогочастичного уравнения Лиувилля по норме пространства Ь1. Для этой цели введено новое попятие функции полуплотности (квадратный корень из ^-частичного распределения). Показано, что построение аппроксимаций для полу плотности по норме пространства Ь2 равносильно построению аппроксимаций для функции плотности распределения вероятности по норме Ь1. Асимптотическая формула для полуплотности может быть построена с помощью развитого метода.

б.Исследован вопрос о том, можно ли использовать найденные приближенные решения /^-частичных уравнепий вместо точных для вычисления пределов при N —» оо средних значений от общих ограниченных равномерно по N наблюдаемых величин. Этот вопрос исследуется в наиболее общем случае произвольной абстрактной гамильтоповой алгебры наблюдаемых. Введено понятие абстрактной полуплотности, частными случаями которого являются функция полуплотности в классическом случае и квадратный корень из матрицы плотности в квантовом. Показано, что если разность между точной и приближенной полуплотностью стремится к нулю по норме £2, пределы при N —» оо от средних значений ограниченных равномерно по N наблюдаемых могут быть вычислены с использованием приближенной полуплотности вместо точной.

6. Исследована проблема сохранения хаоса в классической и квантовой статистической механике. Показано, что если Л/-частичная, функция плотности (волновая функция) распадается в начальный момент времени на произведение одиочастлчных функций плотности (волновых функций), то в момент 4 ^-частичная функция не может быть, вообще говоря, аппроксимирована произведением одпочастичных при N —> оо.

7. Известно, что для корреляционных функций конечного порядка хаос сохраняется в случае системы N частиц, находящихся во внешнем поле порядка 0(1) и взаимодействующих между собой с интенсивностью 0{\/Ы). Показано, что для операторнозначного случая хаос, вообще говоря, не сохраняется даже для корреляционных функций.

8. Построен приближенный спектр многочастичного оператора Гамильтона в квантовой механике.

9. Построены стационарные асимптотические решения уравнения Лиувил-

ля, показано, что они аппроксимируют известное в статистической физике каноническое распределение Гиббса.

10. Построена туннельная асимптотика решения многочастичаых уравнений, с помощью которой можно вычислять экспоненциально малые средние значения наблюдаемых при N —юо.

11. Построено обобщение теории комплексного ростка Маслова на бесконечномерный случай.