Квантовая задача рассеяния для нескольких частиц и метод кластерной редукции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

■руБ ил 3 - Сг-'Д

и САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЯКОВЛЕВ Сергей Леонидович

КВАНТОВАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТИЦ И МЕТОД КЛАСТЕРНОЙ

РЕДУКЦИИ

специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1998

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор БЕЛЯЕВ В.Б., доктор физико-математических наук, профессор БУСЛАЕВ B.C., доктор физико-математических наук, профессор КОРОТЯЕВ Е.Л.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Научно-исследовательский институт ядерной физики Московского государственного университета.

Ч П

Защита диссертации состоится "^...'Ч.^^^.уМ.. 1998 г. в часов на заседании диссертационного совета Д063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан пЮ..Г.^^Г.... 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.Н. Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации.

Диссертация посвящена одной из важнейших задач квантовой теории рассеяния - разработке корректных и эффективных методов исследования рассеяния в системах нескольких частиц. Использование в теории рассеяния для N тел методов, свободных от модельных предположений, стало возможным после преодоления Л.Д.Фадде-евым [1] основных математических трудностей задачи трех тел и обобщения этих результатов О.А.Якубовским [2] на случай произвольного числа частиц. В диссертации поставлена и решена задача о создании дифференциальной формулировки N частичной теории Фаддеева-Якубовского, сочетающей в себе математическую корректность последней с минимумом предварительной информации, необходимой для формулировки основных уравнений и граничных условий. Одной из составляющих данной задачи является фундаментальная проблема описания координатных асимптотик волновых функций систем нескольких частиц. Характерной особенностью здесь является многоканальность рассеяния, ведущая к существенному усложнению асимптотического поведения волновых функций в конфигурационном пространстве и, как следствие, к практической невозможности прямого решения уравнения Шредингера для N > 2. По этой причине поставленная в диссертации цель описания координатных асимптотик волновых функций и их компонент для системы N тел, доказательство одноканальной природы компонент, построение уравнений для них, эквивалентных уравнению Шредингера, разработка методов редукции этих уравнений и получение эффективных уравнений для функций, описывающих относительное движение кластеров, является актуальной задачей современной квантовой теории рассеяния. Целью работы

является описание координатных асимптотик волновых функций и их компонент для системы N тел, доказательство одноканальной природы компонент, построение уравнений для них, эквивалентных уравнению Шредингера, разработка методов редукции этих уравнений и получение эффективных уравнений для функций, описывающих относительное движение кластеров.

Научная новизна.

В диссертации исследован и решен широкий круг проблем квантовой теории рассеяния для систем нескольких частиц и разработаны новые методы исследования рассеяния в системах нескольких кластеров. Новыми результатами являются:

1. Вывод и обоснование дифференциальных уравнений для компонент волновых функций системы N тел.

2. Исследование координатных асимптотик волновых функций и их компонент в случае бинарных процессов.

3. Исследование координатных асимптотик волновых функций четырехчастичных систем и обнаружение сингулярного вклада в асимптотику волновой функции для N = 4 процессов трехкратных попарных разделенных столкновений частиц.

4. Разработка методов кластерной редукции трехчастичных уравнений Фаддеева, ведущих к корректным эффективным уравнениям для функций, описывающих относительное движение кластеров.

5. Полное описание инвариантных подпространств матричных трехчастичных операторов Фаддеева и их сопряженных и доказательство теоремы полноты собственных функций этих операторов.

6. Разработка метода кластерной редукции для четырехчастичных уравнений Якубовского и получение на ее основе эффективных уравнений, корректно описывающих относительную динамику кластеров.

7. Расчеты длин рассеяния и низкоэнергетического поведения фаз рассеяния в системах N — (1.

8. Расчеты энергий связи четырехнуклонных систем, длин рассеяния и фазовых сдвигов в системах п — 3Н, р — 3Н, п — 3Не, 2Н-2Н.

Положения, выносимые на защиту

1. Формулировка задачи рассеяния на основе дифференциальных уравнений для компонент волновых функций системы N тел.

2. Координатные асимптотики волновых функций и их компонент в случае бинарных процессов.

3. Координатные асимптотики волновых функций четырехчастич-ных систем и обнаружение сингулярного вклада в асимптотику волновой функции для N = 4 процессов трехкратных попарных разделенных столкновений частиц.

4. Метод кластерной редукции трехчастичных уравнений Фад-деева, ведущий к корректным эффективным уравнениям для функций, описывающих относительное движение кластеров.

5. Полное описание инвариантных подпространств матричных трехчастичных операторов Фаддеева и их сопряженных и доказательство теоремы полноты собственных функций этих операторов,

6. Метод кластерной редукции для четырехчастичных уравнений для компонент волновых функций и полученные на его основе эффективные уравнения, корректно описывающие относительную динамику кластеров.

7. Расчеты длин рассеяния и низкоэнергетического поведения фаз рассеяния в системах N — й.

8. Расчеты энергий связи четырехнуклонных систем, длин рассеяния и фазовых сдвигов в системах п — 3Н, р — 3Н, п — 3Не, 2Н—2Н.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность результатов диссертационной работы определяется возможностью использования разработанных методов и алгоритмов для расчета результатов столкновений в системах нескольких кластеров. Разработанная в диссертации дифференциальная формулировка теории рассеяния для N частиц и метод кластерной редукции позволили создать эффективный метод расчета низкоэнергетических характеристик рассеяния в системах нескольких

частиц. Данная формулировка позволяет переформулировать такие широко используемые методы, как метод сильной связи каналов, метод резонирующих групп и др. в рамках математически корректной схемы и на ее основе получать эффективные уравнения для описания взаимодействия составных частиц, свободные от эвристических предположений. Аппробация работы.

Результаты диссертации и ее основные положения докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции по теории систем нескольких частиц с сильным взаимодействием (Ленинград, 1983), на 9-ой Европейской конференции по проблеме нескольких тел в физике (Тбилиси, 1984), на Международном совещании по теории малочастичных и кварк-адронных систем (Дубна, 1987), на Международном рабочем семинаре " Микроскопические методы в теории систем нескольких частиц" (Калинин, 1988), на Международном семинаре "Математические аспекты теории рассеяния и приложения" (Санкт-Петербург, 1991), на Международном семинаре "Мезон-барионные взаимодействия и системы нескольких частиц" (Дубна, 1994), на 14 Международной конференции по проблеме нескольких тел в физике (Williamsburg, USA, 1994), на 14 Европейской конференции по проблеме нескольких тел в физике (Penniscola, Spain, 1995), на 15 Международной конференции по проблеме нескольких тел в физике (Groningen, the Netherlands, 1997), на 16 Европейской конференции по проблеме нескольких тел в физике (Autrans, France, 1998), на семинарах лаборатории теоретической физики (Université de Paris 11, Orsay, France), теоретического отдела института ядерной физики (Université de Paris 11, Orsay, Fance), теоретического отдела института ядерных исследований (ISN, Grenoble, France), института теоретической физики (University of Groningen, the Netherlands), ЛТФ ОИЯИ (Дубна), НИИЯФ МГУ (Москва), кафедры вычислительной физики СПбГУ, отдела математической и вычислительной физики НИИФ СПбГУ и др. Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3]-[21]. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации 197 страниц. Библиография содержит 99 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава состоит из пяти разделов. В первом разделе вводятся основные объекты, такие как оператор энергии N тел в системе цетра масс

Н = -Дх + ViK-J = Но+ Vb»-*>

1>N-1 ilf-l

разбиения а^, представляющие собой некоторый способ распределения N частиц по к группам, цепочки разбиений А'к = {а*, a^+i,..., aj} 1 = Ak), в которых каждое последующее разбиение получается из предыдущего делением одной из подсистем на две группы, что обозначается в дальнейшем как ак+1 С а*. С помощью цепочек разбиений классифицируются различные системы относительных координат и компоненты Т-матриц, резольвент и волновых функций системы N частиц. Во втором разделе вводятся компоненты Г-матриц для N частичных операторов энергии Hai = Hq+ 1, фор-

олг-iCii

мулируются уравнения для компонент Т-матриц [2]

- Е Е' K:+1cu+l(*m*)Mb-hBtw а>

¿кфаь (Ct + i5r£Dfc+1)Cot

и обсуждаются их основные свойства. Здесь же вводятся компоненты резольвент Rai{z) = (Hai — z)_1 и анонсируются уравнения для них

- Е Е' Bk(z), (2)

<ife7iak (Cfc+i^ßk+^Cak

вывод которых откладывается до раздела 1.5. В разделе 1.3 исследуется строение Т-матрицы и резольвенты оператора энергии N частиц. Рассмотрение ведется в импульсном представлении с помощью уравнений (1). Здесь удается описать основные полюсные сингулярности Г-матриц и резольвент и на этой основе определить

волновые функции системы N тел как подходящие пределы ядер резольвенты по энергетической переменной на непрерывном спектре. В следующем разделе 1.4 на основании формул раздела 1.3 исследуется поведение ядер резольвенты, волновых функций и их компонент в конфигурационном пространстве. Используется стандартный метод, основанный на оценках преобразований Фурье соответствующих объектов, определенных в импульсном представлении. Найдены координатные асимптотики функции Грина (ядра резольвенты) и волновых функций для двухкластерных начальных каналов. В последнем разделе 1.5 выводятся уравнения для компонент резольвенты (2), сформулированные в разделе 1.1, исследуются основные соотношения между компонентами Т-матриц и резольвент. В частности показано, что для компонент выполняется свойство

Яо{*)М2кВкМ = Н%кВк(г)Уь„_1г

являющееся обобщением на матричный случай соотношения До(г)Т(г) = Я{г)У для резольвенты = (Я — г)-1 и Т-матрицы Т(г) = V — УЩг)У оператора Я = Но + V. На основании этой информации строятся матричные (дифференциальные в координатном представлении) операторы, резольвенты которых состоят из компонент резольвенты оператора энергии N частиц, введенных в первом разделе данной главы.

ЛГ-1

6лквк- (3)

д.кфак (Ок+1фАк+1)Сак

Исследованные в предыдущих разделах свойства компонент резольвенты позволяют построить собственные функции матричных дифференциальных операторов из (3) с помощью стандартной процедуры перехода к подходящему пределу в ядрах резольвент на вещественной оси энергии. Уравнения для компонент волновых функций системы N частиц

ЛГ-1

(Но + - z)ФX + V*»., £ Е' Фд'-'С,+

£ £' фо* = °> (4)

следующие из (3), являются непосредственным обобщением трехча-стичных дифференциальных уравнений Фаддева на случай произвольного числа частиц и представляют собой главный итог первой главы. Материал первой главы основан на публикациях [3], [4], [5], [б], [9].

Вторая глава посвящена детальному исследованию компонент Т-матрици волновых функций для системы четырех частиц. В разделе 2.1 производится изучение всех полюсных сингулярностей четырех-частичной Т-матрицы, ее компонент и компонент волновых функций системы четырех частиц в импульсном пространстве. Показано, что компоненты четырехчастичных волновых функций содержат ряд слагаемых, выражающихся в терминах компонент волновых функций подсистем разбиений системы четырех частиц на две подсистемы. В случае разбиений 3+1 эти объекты выражаются через компоненты трехчастичной волновой функции, а для разбиений

2 + 2 через компоненты волновой функции двух невзаимодействующих между собой пар. В разделе 2.2 напоминаются результаты работы [22] о структуре координатной асимптотики волновой функции для трех частиц, свободных в начальном состоянии. Основное отличи е от двухчастичного случая заключается в сингулярном вкладе в рассеяние процессов последовательных парных столкновений, который приводит к появлению в асимптотике волновых функций и их компонент слагаемых, порядок которых зависит от направления. Переходные режимы описываются в данном случае интегралами Френеля и имеют много общего с преходными режимами в асимптотике поля в окрестности границы "свет"-"тень" при дифракции электромагнитных волн на клине [23]. В этом же разделе показано, что координатная асимптотика компонент волновых функций для разбиений 2 + 2 описывается теми же формулами, что и в случае

3 + 1 и выражается с помощью интегралов Френеля. В этом случае также показано, что после суммирования компонент волновая

функция для разбиения 2 + 2 уже не содержит слагаемых с интегралами Френеля. В следующем разделе 2.3 обсуждаются граничные задачи для дифференциальных уравнений (4) для компонент волновых функций системы четырех частиц. Показывается, что в классе функций, координатная асимптотика которых совпадает с асимптотикой преобразований Фурье компонент волновых функций в импульсном пространстве, дифференциальные уравнения для компонент имеют единственные решения. При этом соответствующие решения уравнения Шредингера восстанавливаются по компонентам с помощью суммирования. Данное утверждение служит обоснованием нахождения компонент волновых функций с помощью решений дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями в координатном пространстве. Последний раздел 2.4 данной главы посвящен исследованию сингулярного вклада процессов последовательных столкновений кластеров. Наиболее сложный случай связан с процессами трехкратных последовательных попарных столкновений частиц. Вклад в асимптотику компонент волновой функции системы четырех частиц выражен в терминах классического действия, отвечающего асимптотическому движению частиц после процессов трехкратных столкновений. Для коэффициентов перед быстро осциллирующими экспонентами получены представления через специальные функции: стандартный интеграл Френеля и повторный интеграл типа Френеля. Материал данной главы базируется на результатах работ [8], [10] и [11].

В третьей главе разрабатывается метод кластерной редукции уравнений для компонент волновых функций систем трех и четырех частиц в случае бинарных столкновений, когда в начальном и конечных состояниях может присутствовать только два кластера. Данный случай является наиболее важным для приложений, так как в большинстве экспериментов исследуется именно этот тип реакций. Раздел 3.1 посвящен подробному изложению метода для самого простого варианта уравнений для компонент волновых функций системы трех частиц - уравнений Фаддеева. Одноканальный характер асимптотики компонент позволяет разложить каждую из них по собственным функциям соответствующего парного оператора энергии. Однако, непосредственное применение таких разложений не слишком эффективно, так как соответствующий базис собственных функций содержит континуальное количество элементов.

Поэтому исходная задача для дифференциальных уравнений Фад-деева сначала аппроксимируется краевой задачей для этих уравнений с дополнительным нулевым граничным условием при достаточно большом значении модуля внутрикластерной координаты. Последнее возможно благодаря экспоненциальному убыванию каждой из компонент по внутрикластерной координате. Показано, что погрешность такой аппроксимации имеет экспоненциально малый порядок. Аппроксимирующая краевая задача естественным образом решается методом разделения переменных с использованием базиса (автоматически дискретного) собственных функций однородной задачи Дирихле для парного уравнения Шредингера. При этом для дискретного набора коэффициентов разложения, зависящих только от межкластерной координаты, получаются интегро дифференциальные уравнения, представляющие собой конечный результат редукции.

Обобщение данного метода на случай N > 3 частиц требует исследования свойств собственных функций матричных операторов, порождаемых уравнениями для компонент. В разделе 3.2 исследуются спектральные свойства таких операторов в случае трех частиц. Рассматриваемые матричные операторы несимметричны, поэтому наряду с исходными операторами исследуются и их сопряженные. Исследованы свойства инвариантных подпространств этих операторов, построены системы их собственных функций и доказаны их биортогональность и полнота.

Информация о системах собственных функций трехчастичных матричных операторов позволяет практически напрямую реализовать метод решения первого раздела в случае четырех частиц. Результатом редукции вновь является дискретный набор уравнений для функций, зависящих только от межкластерных координат. Методы и результаты, представленные в данной главе, предложены в публикациях [б], [7], [16], [17], [19] и [20].

В последней, четвертой, главе даны приложения метода кластерной редукции к численному решению задачи рассеяния в системах трех и четырех нуклонов. В разделе 4.1 решается задача о рассеянии нуклона на дейтроне при энергиях, не превышающих порог развала системы на три частицы. Для описания NN взаимодействия используется потенциальная модель МТ1-Ш [24]. Здесь получены значения фазовых сдвигов и длин рассеяния для п — <1 и р — с/ рассеяния. Результаты расчетов длин тг — с? и р — <1 рассеяния, представленные в табл. 1,

Табл. 1. Квартетные 4А и дублетные 2 А длины п — в. и р — с? рассеяния.

4А Фм 2 А Фм

п — й 6.44 0.64

р— й 13.8 0.2

хорошо согласуются с результатами расчетов других авторов и экспериментальными данными.

В разделе 4.2 уравнения для компонент волновых функций системы четырех частиц адаптируются для расчетов в случае тождественных частиц. Здесь обсуждается необходимая модификация метода кластерной редукции для тождественных частиц. В разделе 4.3 на основе метода кластерной редукции решаются задачи п — 3Н, п — 3Не, р — 3Н и 2Н—2Н рассеяния, а также задача на связанное состояние 4Не в системе четырех нуклонов. Для описания NN взамо-действия, как и в разделе 4.1 в случае трех нуклонов, используется потенциальная модель МТ1-Ш [24]. Полученные значения для длин рассеяния собраны в табл. 2.

Табл. 2. Синглетные 1А и триплетные 3А длины рассеяния в системе четырех нуклонов.

система ХА Фм 3А Фм

п-3Н 4.0 3.6

-22.6 4.6

п -3Не 7.5-4.21 3.0 + 01

^Н-'-'Н 10.2 - 0.21

Результаты расчетов находятся в хорошем согласии с экспериментом и лучшими расчетами других авторов. Расчеты рассеяния, выполненные для ненулевых значений относительных энергий между кластерами, позволяют получить информацию о надпороговом резонансе 0+ ядра 4Не. Положение Ег, отсчитываемое от порога р —3Н рассеяния, и ширина Г этого резонанса приведены в табл. 3 вместе с энергией связи В основного состояния ядра 4Не (за вычетом энергии кулоновского взаимодействия протонов).

Табл. 3. Энергии связи основного состояния и резонанса 0+ ядра 4Не.

— В МэВ Ег МэВ Г МэВ

30.1 0.15 0.3

Результаты данной главы основаны на работах [6], [7], [12], [14]-[16], [18], [20], [21].

В заключении обсуждаются возможные обобщения разработанных в диссертации методов.

В приложении 1 собраны необходимые формулы связи относительных координат, генерируемых различными цепочками разбиений для систем трех и четырех частиц.

Приложение 2 посвящено исследованию асимптотики специального класса двойных интегралов с быстро осциллируещей экспонен-той и полюсными особенностями внеэкспоненциальной части подынтегральной функции по обеим переменным интегрирования.

Литература

[1] Фаддеев Л.Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц. - Труды Мат. ин-та АН СССР, 1963, т. 69.

[2] Якубовский O.A. Об интегральных уравнениях теории рассеяния для N частиц. - Ядерная физика, 1967, т. 5, с. 1312-1320.

[3] Меркурьев С.П., Яковлев С.Л. Дифференциальная формулировка задачи рассеяния для системы N тел. - Доклады АН СССР, 1982, т. 262, N- 3, с. 591-594.

[4] Меркурьев С.П., Яковлев С.Л. Квантовая теория рассеяния для N тел в конфигурационном пространстве. - Теор. Мат. Физ. 1983, т. 56, N- 1, с. 60-73.

[5] Яковлев С.Л. Дифференциальные уравнения Якубовского для четырех нуклонов. - В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории систем нескольких частиц с сильным взаимодействием. Ленинград, 1983, с. 38-39.

[6] Меркурьев С. П., Яковлев С.Л. О квантовой задаче рассеяния для четырех тождественных частиц, взаимодействующих в s-состоянии. - Ядерная физика, 1984, т. 39, вып. 6, с. 1580-1587.

[7] Merkuriev S.P., Yakovlev S.L., Gignoux С. Four body Yakubovsky equations for identical particles. // Nucl. Phys. 1984. V. A431. P. 125138.

[8] ЯковлевС.Л. О трехкратных столкновениях в квантовой задаче рассеяния для системы четырех частиц. - В кн. Микроскопические расчеты легких ядер. Калинин, 1984, с. 96-110.

[9] Квицинский A.A., Куперин Ю.А., Меркурьев С.П., Мотовилов А.К., Яковлев С.Л. Квантовая задача N тел в конфигурационном пространстве. - Элем. част, и атом. Ядро. 1986, т. 17, N° 2, с. 267-317.

[10] Яковлев С.Л. Координатные асимптотики волновых функций для системы четырех ■частиц. - В кн.: Микроскопические методы в теории систем нескольких частиц. Тезисы докладов международного семинара 15-21 августа 1988 г., Калинин, 1988, с. 70-71.

[11] Яковлев С.Л. Координатная асимптотика волновой функции для системы четырех частиц, свободных в начальном состоянии. - Теор. мат. физ., 1990, т. 82, №■ 2, с. 224-241.

[12] Меркурьев С.П., Филихин И.Н., Яковлев С.Л. Расчет низкоэнергетических характеристик рассеяния в системе трех частиц. - В кн.: Теория квантовых систем с сильным взаимодействием. Тверской гос. ун-т. Тверь. 1990, с. 58-66.

[13] Меркурьев С.П., Мотовилов А.К., Яковлев С.Л. Задача нескольких тел в модели граничных условий и обобщенные потенциалы. - Теор. мат. физ. 1993, т. 94, №• 3, с. 435-447.

[14] Филихин И.Н., Яковлев С.Л. Расчет характеристик низкоэнергетического рассеяния для системы трех заряженных частиц. -Вестник С. Петерб. ун-та. , 1992, сер. 4, вып. 3, с. 24-29.

[15] Яковлев С.Л., Филихин И.Н. Метод сильной связи каналов для уравнений Фаддеева. Низкоэнергетическое нуклон-дейтронное рассеяние. - Ядерная физика, 1993, т. 56, вып. 12, с. 98-106.

[16] Руднев В.А., Яковлев С.Л. О ложных решениях уравнений Фаддеева. - Ядерная физика, 1995, т. 58, 10, с. 1762-1771.

[17] Яковлев С.Л. О спектральных свойствах уравнений Фаддеева. -Теор. мат. физ., 1995, т. 102, №■ 3, с. 323-336.

[18] Яковлев С.Л., Филихин И.Н. Расчет состояний рассеяния в системе п-3Е на основе уравнений для компонент Якубовского в конфигурационном пространстве. - Ядерная физика, 1995, т. 58, № 5, с. 817-828.

[19] Яковлев С.Л. Дифференциальные уравнения Фаддеева как спектральная задача для несимметричного оператора. - Теор. мат. физ., 1996, т. 107, №• 3, с. 513-528.

[20] Yakovlev S.L., Filikhin I.N. Cluster reduction of the four-body Yakubovsky equations in configuration space for bound-state problem and low-energy scattering. - Ядерная физика, 1997, т. 60, N- 11, с. 1962-1970.

[21] Yakovlev S.L., Filikhin I.N. Computations of scattering lengths in nnpp system within cluster reduction method for Yakubovsky equations. - In : Few-body XV conference handbook. XVth international conference on few-body problem in physics. Groningen, the Netherlands 22-26 July 1997 (Ed. by L.P.Kok et at), p. 157.

[22] Меркурьев С.П. Координатная асимптотика волновой функции для системы трех частиц. // Теор. мат. физ. 1971. Т. 8. С. 235250.

[23] Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. // М.: Наука. 1972.

[24] Malfliet R.A., Tjon J.A. // Ann. Phys. (New-York). 1970. V. 61. P. 425

РГЗ од / 6 ИЮП 1998

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л.Д.. ЛАНДАУ

На правах рукописи

ЩУР Лев Николаевич

УДК 515.14:541.64

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЧЕРНОГОЛОВКА - 1998

Работа выполнена в Институте теоретической физики имени Л.Д. Ландау Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Е.И. Каи Член-корреспондент РАН Л.А. Максимов Доктор физико-математических наук С.Л. Мушер

Ведущая организация: Институт спектроскопии Российской Академии Наук

Зашита состоится 1до£ года в^'часов на заседании Спе-

циализированного Совета Д 002.41.01 Института теоретической физики им. Л.Д. Лакдау по адресу: нос. Черноголовка Ногинского района Московской области, Институт физики твердого тела РАН, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан " У Л ^дд^ года

Ученый секретарь Специализированного Совета Доктор физико-математических наук I/ Л.А. Фальковский

Актуальность темы работы. Понимание природы критических явлений получи-- ..." ло значительное развитие в последние 30 лет. Были разработаны такие эффективные методы исследования, как метод ренормгруппы, конформная теория поля и другие. Полученные этими методами результаты в подавляющем большинстве случаев относятся к чистым, идеальным системам.

В реальной жизни чистые системы крайне редки. Чаще мы сталкиваемся с материалами, имеющими примеси, дефекты микроскопического масштаба. Кроме того, они подвергаются влиянию случайных внешних воздействий. В связи с этим возникает вопрос о критическом повелении таких примесных систем и о влиянии внешних случайных полей. Теоретические исследования подобных физических систем крайне затруднены. В настоящее время в центрах теоретической физики всего мира ведется интенсивный поиск способов решения подобного рода задач.

В этой ситуации большое значение приобрели численные методы исследования кри-. , тических явлений. В последнее время разработаны эффективные методы Монте Карло,: -преодолевшие эффект критического замедления. Также используются эффективные ги-стограммные методы обработки результатов численных экспериментов. Кроме того, численный эксперимент может иметь решающее значение при сравнении теоретических предсказаний.

Бурное развитие вычислительной техники в последнее десятилетие привело к тому, что многие центры теоретической физики Европы и Америки считают компьютер таким же необходимым атрибутом теоретической физики, как карандаш и бумага в недавнем прошлом.

Цель, поставленная а данной работе, заключается в исследовании критического поведения простейшей модельной системы статистической физики - двумерной модели Изинга с примесями. Вспомогательной целью являлось решение ряда проблем методологического характера. Они были связаны с необходимостью разработки высокопроизводительной техники, систем управления расчетами, алгоритмов расчетов, методов обработки численных данных, средств хранения информации и т.п.

Научной новизной можно считать определение критических индексов без исполь зования конечномерного анализа; обнаружение скейлинга систематических ошибок 1 критической области; численное определение вероятности одновременного протекани! критических кластеров; разработку аналитических методов тестирования генераторе! случайных чисел.

Научно-методической новизной является применение специализированной вычислительной техники к специализированного сетевого программного обеспечения для выполнения поставленной цели.

На защиту выносятся в качестве основных положений следующие проблемы, обсужденные и решенные в работе:

1. Численно определены критические индексы двумерной модели Изинга с ферромагнитными примесями.

Численное моделирование проводилось на мощном специализированном кластерном процессоре, построенном для решения этой задачи. Существенное значение для решения поставленной задачи имел также большой размер решетки в один миллион спинов, который позволил определить индексы путем исследования зависимостей термодинамических величин непосредственно от приведенной температуры.

2. Численно обнаружено в некотором диапазоне по концентрациям немагнитных примесей наличие двух максимумов теплоемкости двумерной модели Изинга. Один из максимумов связан с критическими флуктуациями, в то время как второй максимум некритический.

3. Обнаружен скейгшнг систематической ошибки, возникающей при численных расчетах однокластерным методом и обусловленной корреляциями в последовательности псевдослучайных чисел.

Развитый метод позволил сделать оценку сверху таких систематически ошибок

для двумерной и трехмерной модели Изинга. ' •"• ' .""-'■1 •

4. Произведено численное определение вероятности сосуществования двух и более.■ критических протекающих кластеров в двумерном случае.

Использование при моделировании самодуальных конечных решеток позволило значительно упростить скенлинг вероятностей в критической точке и, таким образом, получить вероятности с большой точностью. Отношение вероятностей, вычисленных для свободных и периодических граничных условий, оказалось в хорошем совпадении с полученным Карди точным выражением для показателя экспоненты.

5. Предложена модель одномерного направленного случайного блуждания, которая оказалась чувствительным тестом на наличие корреляций в последовательности псевдослучайных чисел.

Этот тест позволил получить точные аналитические частные решения система-'. тических отклонений для конкретных способов генерации случайных чисел.

Практическая ценность работы:

« Численно обнаруженный двойной максимум теплоемкости указывает на необходимость пересмотра анализа численных данных, полученных многими авторами, ■ при большой концентрации немагнитных примесей.

• Разработанный тест по выявлению наличия влияния корреляций в последовательности псевдослучайных чисел может быть использован при оценке качества данных при проведении численного моделирования.

• Разработанный метод аналитического исследования генераторов случайных чисел определенно может найти применение при разработке и тестировании новых генераторов случайных чисел.

• Идеи построения специализированных процессоров могут найти применение при конструировании новых специализированных вычислительных устройств.

• Метод проведения широкомасштабных вычислений с использованием открытых сетевых технологий в архитектуре CORBA может быть использован в научных центрах для проведения широкомасштабных вычислений.

Аппробадия работы. Основные результаты работы докладывались на международном конгрессе по статистической физике STATPHYS-19 (Xiamen,1995), симпозиуме LATTICE-97 (Edinburgh, 1997), на различных международных конференциях по нелинейной физике, вычислительной физике и методам Монте Карло (Киев, 19S3, 1989; Звенигород, 1985; Москва, 1986, 1995, 1997; Jülich, 1988, Düsseldorf, 1989; Marciana Marina, 1990; Bad Honeff, 1995; Triest, 1997); на научных семинарах в Институте теоретической физики РАН (1981-1998), Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (19821984), Ленинградском физико-техническом институте (1982-1983), Новосибирском Академгородке (1982), Университетах Нижнего Новгорода, Рима, Турина, Пизы, Милана, Биллефельда, Марбурга, Мюнхена, Кельна, Гейдельберга, Аахена, Юлиха, Дельфта, Дюссельдорфа, Дальневосточном научном центре.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 29 научных статей, на защиту выносится 21 статья.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на 22 раздела, списка литературы из 145 названий, 12 таблиц, 57 рисунков и содержит 191 страницу.

Содержание работы

Диссертация состоит из трех Глав, логически связанных между собой. Каждая Глава содержит введение в круг рассматриваемых проблем и краткое заключение.

Фактически, центральная задача работы состоит в широкомасштабном численном моделировании методом Монте Карло поведения магнетика на решетке с примесями. Для ее выполнения нам требуется иметь вычислительную технику достаточной мощности, эффективный алгоритм вычисления, надежный генератор случайных чисел и методы обработки численных данных. Содержание трех Глав диссертации посвящено

описанию всех перечисленных аспектов проведения численного эксперимента и решению возникших проблем.

Глава I "Моде/гь Изинга на случайной решетке" посвяшена непосредственно численному исследованию критического поведения примесной модели Изинга. Во введении кратко аргументируется выбор для исследования двумерной модели Изинга с примесями и описана структура Главы I.

Исследуется модель Изинга на двумерной квадратной решетке с линейным размером Ь. В узлах решетки с координатами i помещаются N спинов 5, = ±1. Взаимодействие ограничено ближайшими соседями. Все константы связи между спинами в узлах г и ]' неотрицательны, что соответствует ферромагнетику с гамильтонианом

где к - внешнее магнитное поле. Первое суммирование производится по всем ближайшим соседям.

Основная идея первого разработанного в начале 50-х годов алгоритма численного исследования такого рода систем, алгоритма Метрополиса, состояла во введении температуры через локальную динамику переворота спина. Переворот спина безусловен, если ведет к понижению энергии. Увеличение энергии осуществляется с вероятностью

пропорциональной отношению Больцмановских весов конечного и начального состояний.

Недостаток этого алгоритма состоит в том, что время релаксации системы 7>г; очень быстро растет при критической температуре с увеличением линейного размера Ь системы тгс| сс Ьг со значением 2 ~ 2.14 для двумерной системы иг« 2.03 " Время проведения вычислений растет при использовании метода Метрополиса, как 1сот? ос ¿4Л4 для

"D.P. Landau, S. Tani;, S. Wansleben, J. de Physique (Paris) Colloque C8, 49, 1525-1529 (1988)

N

(1)

W cc e-S!flhsT,

двумерной модели. Такой быстрый рост затрат времени ограничивает размер системы для фактического исследования.

Десять лет назад Свендсеном и Вангом был разработан метод, значение индекса критического замедления которого небольшое ~ 0.3. Метод основан на существовании отображения модели Изинга на модель коррелированной перкопяции. ' Можно ввести дополнительную переменную т^ на связи между спинами 5; и Статистическая сумма обобщенной модели РКЗ\У имеет вид

{г}) = —П [(1 - + х <М{5}) <ЫМ), (2)

где ру = 1 — ехр(—вероятность того, что связь между параллельными спинами .Еч и 5, не оборвана флуктуациями и переменная {т^} = 1 в этом случае и {тч} = 0 во всех остальных случаях. Здесь (1ца некоторая мера. *

Произведя суммирование или по переменным {5,} или по переменным {т^} можно проверить равенство статистических сумм модели Изинга, модели коррелированной перколяции и обобщенной модели И<3\\'.

Практическая реализация алгоритма требует разбиения всех спинов решетки ^ на кластеры скор рели рованных спинов путем построения переменных тч по конфигурации спинов 5;, а затем присвоения спинам произвольных новых значений, одинаковых в пределах каждого кластера.

Вольф значительно упростил алгоритм, отказавшись от разбиения всех спинов решетки на кластеры. Взамен этого он предложил строить один кластер скоррелирован-ных спинов, стартуя с некоторого случайно выбранного узла р-ешетки. А затем поменять знак у всех спинов этого кластера. Алгоритм Вольфа оказался более эффективным и, возможно, с нулевым индексом г критического замедления.

'P.W. Kasteleya, С.М. Fortuin, J. Phys. Soc. Japan Suppl., 26, И (1969) lR.G. Edwards, A.D. Sokal, Phys. Rev. D, 38, 2009-20012 (1988)

Именно этот алгоритм был использован при конструировании и изготовлении специализированного кластерного процессора для моделирования двумерной модели Изинга СПП-2. Этот процессор сконструирован, в основном, А. Талаповым при участии автора работы и построен е-. 1993 году [5,6]. ;

Процессор СПП-2 состоит из нескольких функциональных блоков, работающих параллельно: блока чтения/записи памяти, блока генерации случайных чисел, блока сравнения и принятия решения и блока ввода/вывода. Генератор случайных чисел работает по принципу сдвигового регистра. Линейный размер решетки можно программно выбрать от L = 64 до L = 1024. Процессор достаточно быстрый: время переворота критического кластера с использованием СПП-2 сравнимо со временем переворота кластера с использованием одного процессора суперкомпьютера Cray Y-MP.

Именно использование процессора СПП-2 позволило с высокой точностью исследовать критическую область двумерной модели Изинга с ферромагнитными примесями

и. ;:

Основная идея проведенного анализа такова. Известно что зависимость намагниченности Мц чистой модели Изинга от приведенной температуры г = (Гс —Т)/Тс имеет вид

A/0(r) = 1.22241(r)1/s, (3)

а восприимчивость Хо

, 0.025537-О.ООШЭг', ,._,,„

ХоСО =-f-(О . (4)

где г' = (Тс - Т)/Т.

Построена функция отношения вычисленной намагниченности Л/р„гг к точному значению WQ из (3) для наибольшей возможной для вычислений решетки с линейным размером L = 1024. Из графика этой функции видно, что в достаточно широком интервале

'В.М. McCoy, Т.Т. Wu Phys. Rev. Lett., 21, 549-551 (1968)

температур 0.001 < т < 0.02 кривая параллельна оси ординат. Это означает, что существует интервал температур, в котором большая, но конечная, решетка имеет свойства бесконечной решетки. Левое ограничение обусловлено конечностью решетки, которое влияет при г < 1/1,, когда корреляционная длина £(г) ос т'1 > Ь. Правое ограничение определяется отсутствием учета в (3) и (4) аналитических поправок к скейлингу.

Важно, что существует указанная область температур, в которой не существенны ни конечность решетки, ни поправки к скейлингу. При введении примесей эта область несильно сузилась.

В результате в работе получено, что численные данные намагниченности и восприимчивости хорошо аппроксимируются формулой

М ос (1 + амт)МВз1 , X « (1 + ^ОА^^, (5)

где параметр порядка Л^вь и сингулярная часть восприимчивости х^ь выражаются м*«(г) ос Г1/в , Х53Ь(г) ос " , (6)

как функции корреляционной длины £(т)

<(т) = (1111211^. (7) г

Приведенные выражения (6) и (7) суммируют результат обобщенной теории Доценко и Доценко " и Шалаева, Шанкара и Людвига N.

Аналогичным образом было получено приближение для теплоемкости, которая следует известной дважды логарифмической зависимости, полученной братьями Доценко

СМ а ^^108(1 +0.2951оК ;)■ (8)

"Vik. S. Dotsenko, VI. S. Dotsenko, Advances in Physics, 32, 129-172 (1983) "B.N. Shalaev, Phys. Rep., 237, 129-188 (1994); R. Shankar, Physical Review Letters, 58, 2466-2469 (1987); A.W.W. Ludwig, Nuclear Physics B, 330, 639-680 (1990).

Таким образом, применение специализированного процессора позволило окончатель- . но установить значения критических индексов модели Изянга с ферромагнитными случайными связями.

Упомянутая теория построена именно для такого варианта беспорядка. Мы можем ожидать справедливость теории и для случая немагнитных примесей в пределе их малой концентрации р. При достаточно больших значениях концентрации у нас нет оснований надеяться на применимость результатов теории ДД-ШШЛ.

Отличие от модели случайных ферромагнитных связей состоит в том, что при превышении концентрации немагнитных примесей р над критическим значением рс = 0.40725, на квадратяой решетке перестает существовать бесконечный кластер. Очевидно, что при р > рс фазовый переход невозможен.

Далее в диссертации излагаются результаты исследования модели Изинга на квадратной решетке с немагнитными примесями.

С использованием конечномерного анализа температурного сдвига максимума восприимчивости численно определена критическая температура Тс(р) для ряда значений концентрации примесей р. Полученные значения критической температуры и ее неопределенность проверены также с помощью пересечения кумулянтов Биндера.

Получено, что сдвиг АТ максимума теплоемкости обратно пропорционален размеру системы, как и в случае чистой системы. По крайней мере, для исследованных концентраций вплоть до р = 0.4. Это является дополнительным указанием на неизменность критического индекса корреляционной длины. Численно проверено, что критический индекс восприимчивости также неизменен.

При исследовании теплоемкости обнаружены два максимума. Например, для достаточно больших концентраций примесей р = 0.3 на рисунке 1 приведены данные для теплоемкости для нескольких размеров решетки.

кв"Ш

Рис. 1. Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р = .3 для линейных размеров решетки Ь = 16 (левый треугольник), £ — 32 (треугольник вниз), X, = 64 (квадрат), Ь = 128 (ромб) и Ь = 256 (треугольник вверх), усредненная по числу образцов М = 200,48,15,8 и 4, соответственно. Число шагов Монте-Карло для каждого образца от 106 до Ш7. Статистические ошибки меньше размеров символов.

Критический максимум при температуре Тс(р = 0.3) = 1.084±0.001 скрыт широким некритическим максимумом. Моделирование на решетках большого размера и с достаточно большой статистикой позволило выявить наличие критического максимума.

В настоящее время ведется работа по модернизации алгоритма численного моделирования сильно разбавленных решеток с целью определения критических индексов и амплитуд вблизи точки перколяции решетки.

Далее в разделе V описаны исследования влияния корреляций в последовательности случайных чисел на результаты вычислений [7,12,16,9]

При проведении вышеупомянутых численных исследований в диссертации использовались случайные числа и алгоритм Вольфа. Случайные числа получали с использованием генератора 11250 типа сдвиговый регистр. В 1993 году Ферренберг, Ландау и Вонг обнаружили, что применение генератора Я250 в алгоритме Вольфа приводит к заметной систематической ошибке в вычислении энергии и теплоемкости для двумерной модели Изинга на решетке с линейным размером Ь = 16. "

В диссертации обсуждается предпринятое исследование влияния корреляций з генераторе 11250 на результаты исследования критической области двумерной модели Изинга со случайными ферромагнитными связями, изложенным» выше. Была поставлена цель попытаться получить оценку для возможной систематической ошибки при расчетах с использованием СПП-2.

Первое, было выяснено, что систематическая ошибка зависит от размера системы и максимальна при Ь « 22 [7]. Оказалось, что максимум систематической ошибки зависит от длины сдвигового регистра. Более того, и положение максимума также зависит от длины сдвигового регистра.

В диссертации максимум в отклонении соотносится с равенством в этом случае каких-то характерных размеров нашей задачи. Таких характерных длин в задаче только две: средний размер кластера Вольфа п длина сдвигового регистра. Средний размер кластера Вольфа (с) в критической точке совпадает с восприимчивостью х- Тогда условие максимального отклонения есть

(9)

где у и V критические индексы восприимчивости и корреляционной длины, соответ-

"A.M. Ferrenberg, D.P. Landau, Y. J. Wong, Monte Carlo stimulations: Hidden errors from "good" random number generators, Phys.Rev.Lett., 69 3382-3384 (1993).

ственно.

Используя перенормированное отклонение энергии &Е = рйМ5Е и перенормирован ную длину Ь г р~"° 43<5>£, можно все систематические ошибки энергии &Е сколлапснро вать на одну кривую, как показано на Рис. 2.

Рис. 2. Отмасштабцрованное отклонение энергии <$£ в зависимости от отмасштабироваи-ного размера системы ¿. Результаты получены для нескольких генераторов БЯ (36,11): о; (89,38): +; (127,64): и (250,103): 1. Звездочками обозначены результаты, полученные прореживанием последовательности псевдослучайных чисел.

Фактически в работе получено, что систематические ошибки вычисления энергии, обусловленные свойствами генератора случайных чисел, в критической области подчиняются некоторым скейлннговым соотношениям

5Е сс рТ{р'т Ь), (10)

где у^Е - критический нндекс систематической ошибки для энергии, а уа - критический индекс алгоритма , который одинаков для ошибок энергии, теплоемкости и универсаль-

ного отношения С¡?, как показано в работе. :

Аппроксимация отклонения энергии справа от максимума на Рис. 2 приводит к зависимости

¿¿«¿-"•84(4). (11)

Если полагать, что все данные при Ь > рбудут продолжать следовать линейному закону, как на Рис. 2, то максимально возможное отклонение может быть описано соотношением

¿£<0.3 (12)

Аналогичные результаты получены для отклонения теплоемкости &С

-гс<0.85 1-0'21 р-0'" (13)

и для отклонения безразмерного отношения С? = (т2)2/(т4) от его истинного значения

¿д< 0.244 ¿-"'«р-0-4'. (14)

Далее в диссертации изложены проведенные проверки влияния деталей алгоритма вычислений на систематические ошибки. Было проверено влияние практически каждого шага программы, каждого оператора. Выяснилось, что единственный оператор программы, влияющий на результат, это оператор сравнения случайного числа х с вероятностью р включения соседнего параллельного спина в кластер Вольфа. Два статистически тождественных (при условии использования "правильных" случайных чисел) способа сравнения

х > р от х <1 — р. (15)

приводят к одинаковым по величине, но противоположным по знаку отклонениям всех трех исследованных величии Е, С и С?.

Таким образом, обнаружен простой тест на влияние корреляций в последовательности случайных чисел на результат вычислений.

Далее в диссертации анализируется влияние модификаций генератора, на уровень ошибок. Обнаружено, что увеличение числа членов в производящем правиле приводит к уменьшению ошибки. Каждый новый член уменьшает ошибку примерно на порядок.

Именно такой прием использован в дальнейших вычислениях и в построенном в 1995 году специализированном процессоре для исследования трехмерной модели Изинга.

В диссертации рекомендовано использовать, например, такую комбинацию двух генераторов (9689,471) и (4423,1231). Как результат, с использованием первого из серии процессоров СПП-3, Талаповым и Блоте получены рекордные по точности оценки критического индекса корреляционной длины и температуры перехода трехмерной модели Изннга.

Далее в диссертации изложено получение аналогичных оценок для трехмерной модели Изинга.

Оценка максимального отклонения теплоемкости для трехмерной (30) модели Изинга

5С,а ос ¿-024 р-°-1Э, (16)

оценка максимального отклонения безразмерного отношения

«ЗзосеГГ115/09 (17)

и оценка для систематической ошибки намагниченности М

5М30 ос I-105 р0-05. (18)

Далее в диссертации приведены важные оценки максимально возможной систематической ошибки при проведении вычислений на специализированном процессоре СПП-2. Эти данные приведены в Таблице I

"АХ. Та1ароу, Ь.М. ЭМии, Н.МУ.Л. В1Ые, Письма в ЖЭТФ, 62, 157-164 (1995).

Таблица I. Максимально возможна» ошибка при вычислении энергии 5Е, теплоемкости <5С и безразмерного отношения <5(2 с помощью кластерного двумерного специализированного процессора СПП-2. Оценка произведена по формулам (12,13,14)

1 6Е 5С

64 0.000516 0.035 0.003903

128 0.000288 0.030 0.002858

256 0.000161 0.026 0.002092

512 0.000090 0.023 0.001531

1024 0.000050 0.020 0.001121

Приведенные в таблице оценки максимальных отклонений надо сравнить с ожидаемой статистической ошибкой. Для проведенных в работе расчетов в критической области двумерной модели с ферромагнитными примесями статистические ошибки теплоемкости были порядка 0.03. Данные для решеток, меньших Ь = 256, нельзя быпо считать надежными. Именно поэтому в работе [8] и диссертации приведены для надежности данные лишь для размеров решетки Ь = 512 и Ь = 1024.

Глава II "Кластеры в критической точке" посвящена численному определению вероятности двух и более одновременно протекающих кластеров в критической точке лерколяшш двумерной решетки./с1ЬеКЗ-1,КЗ-2

Во введении к Г.тапе II указано, что только ~ 70% двумерных решеток содержат бесконечный кластер. В остальных случаях решетка разбита на класте.ры с конечным количеством узлов. Понятно, что в этом случае фазовый переход в системе спинов, помешенных в эти узлы ^что и соответствует модели Изинга с немагнитными примесями), невозможем.

Теория гтерколяшш, одной из простейших моделей статистической физики, казалась давно завершенным разделом физики. В последние годы произошло значительное

продвижение в понимании устройства критической точки этой модели. Изложенные в Главе II результаты касаются свойств протекающих кластеров в критической точке перколяшш двумерных решеток.

Лангландсом с соавторами "* была обнаружена конформная инвариантность вероятности 7г^°(п,рс) протекания кластера с левой грани на правую грань прямоугольной области с отношением п = ¿^/¿и вертикальной и горизонтальной сторон ¿л сторон.

Карди построил метод вычисления таких вероятностей, который сводится к вычислению четырехточечного коррелятора операторов конформной теории с нулевой масштабной размерностью.

Совсем недавно Айзенман сделал оценку для числа к независимо протекающих кластеров в прямоугольнике с отношением сторон п

Ае-ак2" < Р1.(Л,п) <е-а'к'", (19)

где а и а' различные константы. Заметим, что на основе инвариантности критической точки, изложенной выше, Р^(к,а) имеет конечный предел при —> оо.

В Главе II изложен метод вычисления этого предела на квадратной п = 1 решетке.

При моделировании использовались решетки с количеством горизонтальных и вертикальных связей в точности равном На Рис. 3 приведен пример решетки с Е = 5.

*"R. Lauglanda, P. Pouliot, V. Saint-Aubin, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 30, 1-61 (1994) "•j.L. Cardy, J. Phys. A, 25, L201-L206 (1992) »•M. Aizenman, Nucl. Pliys. B [FS], 485, 551-582 (1997)

....

...■о... ...

Рис. 3. Пример решетки, используемой при вычислениях, с линейным размером Ь = 5 (сплошные линии) и дуальной к ней (пунктирные линии). Заметим, что число узлов и связей а обоих направлениях и для обеих решеток в точности равно Ь.

Такой выбор решетки приводит к полной эквивалентности вертикального и горизонтального направлении. При этом дуальная решетка полностью совпадает с прямой при любых размерах решетки, а не только в бесконечном пределе. Для любого конечного размера решетки координационное число в точности равно четырем - число связей в точности равно удвоенному числу узлов. Таким образом удалось сохранить некоторые свойства бесконечной решетки и при конечных размерах. Это привело к тому, что зависимость вероятностей на конечных решетках содержит конечномерные члены, пропорциональные только площади системы, т.е. ос 1 /£2.

Результаты вычисления вероятностей протекания на решетках со свободными граничными условиями представлены в таблице II. Усреднение проводилось по 103 образцам для каждого линейного размера Ь. Статистическая ошибка вычислялась разбиением образцов на 100 подпоследовательностей. В нижней части таблицы приведены асимптотические значения вероятностей для бесконечной решетки.

Аналогичный аналнз был проделан для решеток с периодическими граничными условиями в одном направлении (цилиндр). Предельные значения вероятностей в этом

случае равны Р[к > 0) « 0.63665(8), Р(к > 1) « 2.0(4) 10~3 п Р(к > 2) « 1.4(5) 10"7.

Оказалось, что в случае периодических граничных условий вероятности лучше следуют оценке Айзенмана Р{к) ос ехр{—ак2), чем в случае свободных граничных условий.

Позднее Карди ® вычислил показатель экспоненты в предложенном Айзенманом выражении для вероятностей. С использованием идей конформной теории поля им было получено, что

lim \пРс(к,п)~ -Ц-к(к--)п, (20)

ь-*оо 3 2

при тг с» для к для случая открытых граничных условий.

Для периодических граничных условий в одном направлении и к > 2

lim lnP,.(fc,n) ~(к2~\)п, (21)

3 4

а для к — 1

lnPL(l,n) ~ -(5-я/24)п. В случае периодических граничных условий (РВС) вероятности пропорциональны к2, тогда как для свободных граничных условии (FBC) они пропорциональны к2 — к/2. Это и объясняет отмеченную разницу в линейной аппроксимации зависимости. Вероятности для цилиндрической геометрии лучше следуют зависимости от к2.

В диссертации приведено сравнение результатов с формулами Карди. Построены отношения

1оцРрвс{к) = к{к -1одРРВс(к) к2~\ • и получено | = 0.8 для к — 2 и | й 0.857 для к = 3. Численные данные диссертации дают 0.808(10) и 0.851(20), соответственно.

Такое хорошее совпадение результатов расчетов, опубликованных до публикации аналитических результатов, позволяет с уверенностью констатировать в диссертации правильность и численных и аналитических результатов.

§55J.L. Cardy, J.Phys. Л: Math. Gen., 31, L105-U10 (1998)

Вычисления, описанные в Главе II, проводились с использованием объектной распределенной системы управления задачами Топос, разработанный по инициативе автора диссертации [10-21]. Эта система позволяет производить вычисления на большом количестве ЭВМ в сети и автоматически помещать результаты в базу данных. При построении системы использованы современные программные средства в архитектуре ССЖВА.

При обсуждении Главы II в диссертации предлагается следующая формулировка установленных фактов.

В непрерывном пределе двумерной бесконечной системы при критической концентрации примесей вероятность того, что система состоит из двух несвязных бесконечных кластеров, равняется примерно 1.3% .

Вероятность трех несвязных бесконечных кластеров составляет примерно три тысячных процента 0.003% .

Таблица II. Вероятности более чем к пересекающих кластеров при критической перколяции по связям на квадратной решетке с линейным размером L и свободными граничными условиями. Вероятности Р(к > 1) умножены на коэффициент 103 и Р(к > 2) умножены на коэффициент 10е. Для каждого размера L первая строка показывает вероятности протекания по горизоптали и вторая строка - по вертикали.

L к > 0 к > 1 Ю3 к > 2 106

8 0.50005(5) 7.657(8) 3.40(15)

0.50003(4) 7.660(8) 3.98(21)

12 0.50002(5) 7.084(9) 2.57(14)

0.49995(5) 7.070(8) 2.10(13)

16 0.50003(7) 6.855(9) 1.97(17)

0.50002(6) 6.843(8) 1.79(19)

20 0.49990(6) 6.742(8) 1.95(14)

0.50008(5) 6.745(9) 1.72913)

30 0.49999(4) 6.650(8) 1.52(14)

0.49996(5) 6.653(7) 1.52(12)

32 0.49999(5) 0.648(8) 1.73(12)

0.50008(7) 6.642(8) 1.56(11)

64 0.49992(9) 6.597(9) 1.33(13)

0.49999(6) 6.602(8) 1.51(14)

со 0.50002(2) 6.58(3) 1.48(21)

Глава III " Псевдослучайные числа" посвящена изложению разработанной модели одномерного случайного блуждания, которая оказалась чувствительным к корреляциям в последовательности псевдослучайных чисел тестом [11].

Во введении к Главе III сделано короткое описание имеющихся обзоров по проблеме генерации равномерно распределенных на единичном отрезке случайных чисел. Приведена классификация двух типов основных используемых на сегодня генераторов случайных чисел - линейно-конгруэнтного метода (ЛКМ) и сдвигового регистра (SR). Далее подробно описана структура Главы III.

В разделе XIV приведены основные факты о генераторах ЛКМ. В частности, обсуждается решеточная структура, присущая последовательности псевдослучайных чисел, получаемых с помощью ЛКМ генераторов. Точки с координатами, построенными из d последовательно взятых чисел ложатся на параллельные (d- 1)-мерные гиперповерхности, а не заполняют равномерно d-мерный единичный куб, как следовало бы ожидать.

В разделе XV приведены основные факты теории сдвиговых регистров. Отмечено, что в отличие от последовательностей ЛКМ, имеющих период, ограниченный максимальным предсташш в ЭВМ целым числом, сдвиговые регистры при надлежащем выборе параметров производят последовательность с периодом 2Р — 1, где р - длина сдвигового регистра. Для обсуждавшегося в Главе I генератора R250 эта длина равна р = 250 и период ранен примерно 2250.

В следующем разделе XVI определена модель одномерного направленного случайного блуждания. Показано, что она эквивалентна методу Вольфа для одномерной модели Изинга. Сформулированы два Алгоритма реализации случайного блуждания.

Условно реализация процесса случайного блуждания показана на Рис. 4. Процесс стартует с узла номер 1. Из каждого узла с вероятностью ц делается шаг вправо, или с вероятностью и = 1 - р. происходит остановка, и задает вероятность начать новое блуждание. Вероятность, что процесс посетит ровно п узлов задается выражением

Р{п) = цпV. (22)

1-Ц

а

>

1 2 3 ••-к-1 к к+1 г(0) г(1) г(2) • • • r(k-l) г (к)

п

л

Рис. 4. Графическое представление процесса блуждания. Каждый шаг вправо делается с вероятностью р. Случайные числа г(к) используются для принятия решения о шаге из узла к в узел к + 1.

Этот процесс блуждания можно реализовать двумя способами, отличающимися способом принятия решения о шаге блуждания или об остановке, но статистически эквивалентными,

Далее в разделе XVII изложено применение алгоритмов Р и N к конкретному генератору типа сдвигового регистра.

После подробного объяснения возникающего резонанса на конкретных примерах вероятностей ц = 1/2 и р. = 5/8, приведен результат для вероятности остановки при применении алгоритма Р на шаге п, равном длине сдвигового регистра

VP(P) = -,

M

что отличается от ожидаемой вероятности остановки v при применении последовательности идеальных случайных чисел. Для длин i блуждания в интервале

х < 1 - p, Algorithm N.

х > fj. Algorithm P

(23)

(24)

p <i <

p+q if g < f 2p -q if q > f

(25)

получено выражение для остановки на шаге i

v-p{i) = {2n-l)vf,j?.

При применении сдвигового регистра и алгоритма N соответствующие вероятности имеют вид (11|

"н Р =---

и для г из интервала (25)

. . , и 2(2п»-'+1 - - 2п"~1) „„(,) = ---_-

ПЬ = Г1ое2(^2' +1)1 -1.

где через [г] обозначено минимальное целое > х.

В диссертации приведено сравнение полученных аналитических результатов с численным моделированием блуждания. При этом сравнивается относительное отклонение вероятности Р(п) пройти ровно по п узлам и остановится в узле п

1, = П«1 - .(2б)

Для алгоритма Р отклонения имеют вид

¿Р,'(Р) = -№

и для длин г, удовлетворяющих неравенству (25)

На рисунке 5 приведен результат усреднения по 10® блужданиям при использовании сдвигового регистра (р,д) = (89,38), вероятности у. = 31/32 и алгоритма Р. Четко видны резонансные отклонения на линейных комбинациях длин (р, ?). Численно полученное значение отклонения 5Р(р) = 0.0328(7) хорошо согласуется с предсказанным аналитически значением и/р, « 0.0323.

Рис. 5. Отклонения 6Р вероятности блуждания длиной п от некоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм Р, /л = 31/32 и генератор сдвиговый регистр с (р, д) = (89,38). Часть резонансов отмечена линейными комбинациями длин р ид. Отклонение на длине п = 2р равно 5Р{2р) = 0.109(3) и находится за пределами масштаба рисунка.

Далее в диссертации приводятся результаты сравнения численных и аналитических результатов при применении алгоритма N. Также обсуждается влияние прореживания последовательности случайных чисел.

В разделе XVIII метод анализа применяется к генератору Фибоначчи и получены следующие выражения для вероятности остановки

и для г, удовлетворяющих неравенству (25),

"р(0 = (Зд- 1)1//2д2.

Проведенное сравнение с результатами численного моделирования свидетельствует о правомерности полученных аналитических результатов.

В следующем разделе XIX анализируется относительно недавно введенный Марса-льей и Заманом генератор вычитание-с-переносом (SWC)

Гп = (г„_, - гп_р - c„_i) mod Ь

Сп = 0 if rn_, - r„_p > О

(27)

and

Сп = 1 otherwise

Авторы утверждают, что этот генератор обладает лучшими свойствами случайности, чем генераторы Фибоначчи и-сдвигового регистра. Это их утверждение часто-цитируется в научной литературе. В диссертации показано, что вероятности остановки для такого генератора описываются теми же аналитическими выражениями, что и приведенными выше: для генератора Фибоначчи. Приведенные в диссертации численные данные также подтверждают во многом идентичность генераторов Фибоначчи и SWC [17].

В разделе XX обсуждаются модификации алгоритмов генерации случайных чисел: прореживание последовательности, использование большего числа членов в производящем полиноме, использование комбинации однотипных генераторов.

Показано, что применение этих способов ведет к определенному ослаблению корреляций и уменьшению систематической ошибки. Это соответствует приведенным ранее в Главе I результатам отклонений термодинамическизх величин для модели Изинга.

Особое внимание уделено анализу недавно введенного Люшером способа "luxury" -отбрасыванию подпоследовательности р — г чисел и использованию только г из них. На этой идее основан генератор RANLUX, входящий в библиотеку программ CERN Library. Это самый свежий пример генератора случайных чисел в последнем издании книги Кнута 1997 года.

Уровень luxury 0 генератора RANLUX соответствует генератору SWC Марсальи и Замана. В диссертации с использованием одномерного блуждания проанализирована тенденция ослабления корреляций при увеличении параметра р. Автор диссертации не

поддерживает предположение Люшера о том, что ослабление корреляций определяется величиной старшего собственного значения производящего полинома. Отклонения имеют тенденцию убывать с увеличением параметра р (и монотонным увеличением старшего собственного значения), но скачком увеличиваются при значениях разницы р- г, совпадающих с линейными комбинациями параметров генератора (p,q)-

С использованием ранее опробованного [3] метода вычисления матрицы Якоби, в диссертации проанализирован спектр собственных значений матрицы. Обнаружено, что изменение уровня luxury может приводить к резонансам в спектре собственных значений матрицы Якоби. Это является отражением сложной структуры устройства фазового пространства гиперболических систем.

Глава III заключается кратким резюмированием полученных результатов.

Основные результаты к выводы диссертации Численно определены критические индексы двумерной модели Изянга с ферромагнитными примесями. Численное моделирование проводилось на мощном специализированном кластерном процессоре, построенном для решения этой задачи. Существенное значение для решения поставленной задачи имел также большой размер решетки в один миллион спинов, который позволил определить индексы путем исследования зависимостей термодинамических величин непосредственно от приведенной температуры.

Численно обнаружено в некотором диапазоне по концентрациям немагнитных примесей наличие двух максимумов теплоемкости двумерной модели Изинга.. Один из максимумов связан с критическими флуктуациями, в то время как второй максимум некритический.

Обнаружен скейлинг систематической ошибки, возникающей при численных расчетах однокластерным методом и обусловленной корреляциями п последовательности псевдослучайных чисел. Развитый метод позволил сделать оценку сверху таких систематических ошибок для двумерной и трехмерной модели Изинга. Тест оказался применим и для оценки погрешностей специализированного процессора.

Предложен простой тест на наличие систематической ошибки в конкретных вычи-

слеииях. Тест заключается в проведении двух расчетов с одинаковым набором параметров, но с отличным способом сравнения случайного числа с вероятностью принятия элементарного шага. Наличие систематической ошибки приведет к тому, что значения полученных величин не будут совпадать с точностью до нескольких порядков статистической неопределенности вычислений.

Произведено численное определение вероятности сосуществования двух и более критических протекающих кластеров в двумерном случае. Использование при моделировании самодуальньпс конечных решеток позволило значительно упростить скейлинг вероятностей в критической точке и, таким образом, получить вероятности с большой точностью. Отношение вероятностей, вычисленных для свободных и периодических граничных условий, оказалось в хорошем совпадении с полученным Карди точным выражением для показателя экспоненты.

Предложена модель одномерного направленного случайного блуждания, которая оказалась чувствительным тестом на наличие корреляций в последовательности псевдослучайных чисел. Эз:от тест позволяет получить точные аналитические частные решения систематических отклонений для конкретных способов генерации случайных чисел. Нсколько я знаю, это единственный тест, допускающий аналитические решения.

Получены аналитические выражения для систематических ошибок генераторов случайных чисел типа сдвиговый регистр, Фибоначчи и вычитание-с-переносом. На основании этих оценок и численного исследования делается вывод об эквивалентности всех трех перечисленных генераторов, по крайней мере, для задач построения кластеров и случайного блуждания. Этот результат находится в противоречии с распространенными заблуждениями о сравнительном качестве обсуждаемых генераторов.

I. СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[lj Е.С. Николаевский и Л.Н. Щур, Неинтегрируемость классических полей Янга-Миллса, Письма в ЖЭТФ, 36 (19S2) 176-179.

[2] Е.С. Николаевский и Л.Н. Щур, Гомоклипические и гетероклинические траектории уравнений Янга-Миллса, Материалы 2-ой Всесоюзной конференции по избранным проблемам статистической физики, Москва (1982)

[3] Е.С- Николаевский и Л.Н. Щур, Неинтегрируемость классических уравнений Янга-Миллса, ЖЭТФ, 85 (1983) 3-13

(4j E.S. Nikolaevsky, L.N. Shchur, Intersection of Séparatrices of Periodical Trajectories and Nan-lnteqrability of the Classical Yang-MilU Equations, Препринт ИТЭФ, (ITEP-.l, Moscow)(1983)

[5] A.L. Talapov, L.N. Shchur, V.B. Andreichenko and V.S. Dotsenko, Cluster Algorithm Special Purpose. Processor, Mod. Phys. Lett. B6 (1992) 1111-1119

[6] A.L. Talapov, V.B. Andreichenko, V.S. Dotsenko and L.N. Shchur, First Cluster Algorithm Special Purpose Processor, Int. J. Mod. Phys. C4 (1993) 787-804

[7] W. Selke, A.L. Talapov and L.N. Shchur, Cluster-flipping Monte-Carlo algorithm and correlations in "good" random number generators, Письма в ЖЭТФ, 58 (1993) 684-686.

[8] A.L. Talapov and L.N. Shchur, The critical region of the random-bond ¡sing model, J. Phys.: Cond. Matt., 6 (1994) 8295-8308

[9] L.N. Shchur and H. Blote, Finite-Size Scaling of Systematic Deviations in Cluster Monte-Carlo with Shift-Register Random Number Generators, Proceedings of The 19th IUPAP International Conference on Statistical Physics, (1995), Xiamen, China

[10] W. Selke, L.N. Shchur and A.L, Taiapov, Monte Carlo simulations of dilute Ising model, in Annual Reviews of Computational Physics 1, 17-54 (World Scientific Singapore, 1994)

[11] L.N. Shchur, H.W.J. Blöte and J.R. Heringa, Simulation of a directed random-walk model: The effect of pseudo-random-number correlations, Physica A, 241 (1997) 579-592

[12] L.N. Shchur and H. Blöte, Cluster Monte Carlo: Scaling of Systematic Errors in 2D Ising Model, Phys. Rev. E 55 (1997) R4905-4908

[13] L.N. Shchur, S.S. Kosyakov, S.A. Krashakov and E.V. Nifontov, Origin of systematic errors in Swendsen-Wang algorithm (to be published)

[14] L.N. Shchur and ii.S. Kosyakov, Probability of Incipient Spanning Clusters in Critical Square Bond Percolation, Int. J. Mod. Phys. C8, (1997) 473-481

[15] L.N. Shchur and S.S. Kosyakov, Probability of Incipient Spanning Cluster in Critical Two-Dimensional Percolation, Nuclear Physica В (Proc. Suppl.) 63A-C (1998) 664-666

[16] L.N. Shchur and H. Blöte, Scaling of Systematic Errors in 3D Ising Models in preparation

[17] L.N. Shchur and P. Butera, The RANLUX generator: resonances in a random walk test, preprint IFUM-620, April, 1998 (принята к печати a Int. J. Mod. Phys. C)

[18] W. Selke, L.N. Shchur and O.A. Vasilyev, Specific heat of two-dimensional diluted magnets, preprint cond-mafc/9804183, (принята к печати в Physica А).

[19] S.S. Kosyakov, S.A. Krashakov, L.N. Shchur,

Topos - Manager for Distributed Computing Media. Proc. Int Conf. ADBIS-97, St. Petersburg, 1997, http://www.ipi.ac.ru/3igraod/adbi3/index.html

[20] S.S. Kosyakov, S.A. Krashakov, L.N. Shchur,

Distributed Tasks Management System Topos, Proc. Int. Conf. PDPTA'97, Las Vegas, Nevada, USA, June 30 - July 3, 1997, Vol.2, 1170-1173 (Ed. H. R. Arabnia, 1997)

[21] С.С.Косяков, C.A. Крашаков, Л.Н. Щур, Распределенная объектная среда ТОПОСМъ,-

териалы Конф. "Информационные системы в науке - 95", с.58 (Под рец. Ю.И. Журавлева, Л.А. Калиниченко, Ю.Е. Хохлова, Фазис, Москва, 1995)

оЬ // ^

/ - ы

У /

/•• бф /

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

И-1 И

I .•-.: I/. ! I

На правах рукописи

Р

г

ЯКОВЛЕВ Сергей Леонидович

КВАНТОВАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТИЦ И МЕТОД КЛАСТЕРНОЙ РЕДУКЦИИ

01.04.02 — теоретическая физика диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Содержание

Введение 4

1 Интегральные и дифференциальные уравнения для компонент 14

1.1 Оператор энергии системы N частиц, цепочки разбиений, относительные координаты..............................................14

1.2 Компоненты Г-матрицы и резольвенты. Уравнения Якубовского 20

1.3 Строение Г-матрицы и резольвенты в импульсном пространстве и собственные функции непрерывного спектра..............23

1.4 Резольвента и собственные функции непрерывного спектра в конфигурационном пространстве....................................28

1.5 Дифференциальные уравнения для компонент....................32

2 Задача четырех частиц 43

2.1 Сингулярности Т-матрицы и компонент волновых функций системы четырех частиц в импульсном пространстве..............44

2.2 Задачи рассеяния для подсистем....................................53

2.3 Граничные задачи для компонент волновых функций системы четырех частиц..........................................................59

2.4 Трехкратное перерассеяние в системе четырех частиц .... 65

3 Метод кластерной редукции уравнений для компонент волно-

вых функций системы нескольких частиц 76

3.1 Кластерная редукция уравнений Фаддеева для компонент волновых функций системы трех частиц................ 77

3.2 Спектральные свойства уравнений Фаддеева.......... 86

3.3 Кластерная редукция уравнений для компонент волновых функций системы четырех частиц .................... 119

4 Применение метода кластерной редукции для численного решения задачи рассеяния в системах трех и четырех нуклонов 124

4.1 Низкоэнергетическое рассеяние в системах n-d и p-d..... 125

4.2 Система четырех нуклонов. Уравнения для компонент волновых функций тождественных частиц и кластерная редукция . 138

4.3 Связанные состояния и низкоэнергетическое рассеяние в системе четырех нуклонов ....................... 144

Заключение 178

Приложение 1 180

Приложение 2 183

Список литературы 189

Памяти моего учителя, акад. С.П. Меркурьева посвящается

ВВЕДЕНИЕ

Одной из фундаментальных задач квантовой теории рассеяния является описание асимптотического поведения N взаимодействующих частиц при больших временах. Полная классификация всех возможных асимптотик (каналов рассеяния) носит название асимптотической полноты. Для системы двух частиц результат может быть сформулирован следующим образом: система может находиться либо в связанном состоянии, либо частицы могут двигаться асимптотически свободно. В случае N > 3 добавляются дополнительные типы асимптотической при больших временах динамики, соответствующие свободному движению подсистем (кластеров), частицы которых находятся в связанном состоянии. Именно наличие этого многообразия асимптотических каналов, называемое моногоканальностью, определяет главные трудности теории рассеяния для систем N > 3 частиц.

Имеется два существенно различных подхода к доказательству асимптотической полноты для квантовых систем нескольких (АТ > 3) частиц. Первый - стационарный подход, предложенный и реализованный Л .Д. Фад-деевым [1] для системы трех тел, состоите детальном исследовании свойств резольвенты соответствующего оператора энергии на основе интегральных уравнений для, так называемых, компонент Г-матрицы, что позволило изучить свойства волновых функций (ядер волновых операторов) и доказать их полноту. Из ряда обобщений этого подхода на случай N > 3 [2]-[9]

наиболее прямым и последовательным оказался подход, сформулированный в [10], [11]. Программа [1] в случае N > 3 была реализована в работах [11], [12], [13] лишь частично из-за больших математических трудностей. Второй (временной) подход к доказательству асимптотической полноты основан на абстрактных идеях работы [14] и впервые был реализован в общем случае для произвольных N в [15] - [17]. В этих работах асимптотическая полнота для N частиц была доказана с помощью обобщения методов работы [18], где были разработаны основные технические идеи временного подхода в случае N = 3, имеющие непосредственную классическую интерпретацию. Отметим ТсИОКб работы [19], [20], в которых асимптотическая полнота доказывается с помощью построений, обобщающих на случай N тел технику, так называемых условий излучения. В рамках временного подхода удалось доказать асимптотическую полноту для всех интересных с физической точки зрения потенциалов взаимодействия между частицами, включая кулоновский случай. Оба подхода, дополняя друг друга, образуют в настоящее время математически корректную базу для исследования процессов рассеяния в квантовых системах нескольких частиц.

Настоящая диссертация посвящена одной из важнейших с точки зрения приложений задач квантовой теории рассеяния - разработке корректных и эффективных методов исследования рассеяния в системах нескольких частиц. Используется стационарный формализм, берущий начало от фундаментальных работ Л.Д.Фаддеева [1] для N = 3 и О.А.Якубовского [10] в случае произвольного числа частиц. Именно этот формализм наиболее приспособлен для детального изучения координатных асимптотик волновых функций и для разработки эффективных методов решения основных уравнений теории рассеяния. В диссертации поставлена и решена задача о создании дифференциальной формулировки N частичной теории Фаддеева-Якубовского, сочетающей в себе математическую корректность последней

с минимумом предварительной информации, необходимой для формулировки основных уравнений и граничных условий. Одной из составляющих данной задачи является фундаментальная проблема описания координатных асимптотик волновых функций систем нескольких частиц. Характерной особенностью здесь является многоканальность рассеяния, ведущая к существенному усложнению асимптотического поведения волновых функций в конфигурационном пространстве и, как следствие, к практической невозможности прямого решения уравнения Шредингера для N > 2. По этой причине поставленная в диссертации цель описания координатных асимптотик волновых функций и их компонент для системы N тел, доказательство одноканальной природы компонент, построение уравнений для них, эквивалентных уравнению Шредингера, разработка методов редукции этих уравнений и получение эффективных уравнений для функций, описывающих относительное движение кластеров является актуальной задачей современной квантовой теории рассеяния.

Целью работы

является описание координатных асимптотик волновых функций и их компонент для системы N тел, доказательство одноканальной природы компонент, построение уравнений для них, эквивалентных уравнению Шредингера, разработка методов редукции этих уравнений и получение эффективных уравнений для функций, описывающих относительное движение кластеров.

Научная новизна.

В диссертации исследован и решен широкий круг проблем квантовой теории рассеяния для систем нескольких частиц и разработаны новые методы исследования рассеяния в системах нескольких кластеров. Новыми результатами являются:

1. Вывод и обоснование дифференциальных уравнений для компонент волновых функций системы N тел.

2. Исследование координатных асимптотик волновых функций и их компонент в случае бинарных процессов.

3. Исследование координатных асимптотик волновых функций четырех-частичных систем и обнаружение сингулярного вклада в асимптотику волновой функции для N = 4 процессов трехкратных попарных разделенных столкновений частиц.

4. Разработка методов кластерной редукции трехчастичных уравнений Фаддеева, ведущих к корректным эффективным уравнениям для функций, описывающих относительное движение кластеров.

5. Полное описание инвариантных подпространств матричных трехчастичных операторов Фаддеева и их сопряженных и доказательство теоремы полноты собственных функций этих операторов.

6. Разработка метода кластерной редукции для четырехчастичных уравнений Якубовского и получение на ее основе эффективных уравнений, корректно описывающих относительную динамику кластеров.

7. Расчеты длин рассеяния и низкоэнергетического поведения фаз рассеяния в системах п — й, р — й.

8. Расчеты энергий связи четырехнуклонных систем, длин рассеяния и фазовых сдвигов в системах п — 3Н, р — 3Н, п — 3Не, 2Н—2Н.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность результатов диссертационной работы определяется возможностью использования разработанных методов и алгоритмов для

расчета результатов столкновений в системах нескольких кластеров. Разработанная в диссертации дифференциальная формулировка теории рассеяния для N частиц и метод кластерной редукции позволили создать эффективный метод расчета низкоэнергетических характеристик рассеяния в системах нескольких частиц. Данный метод позволяет переформулировать такие широко используемые методы, как метод сильной связи каналов [52], метод резонирующих групп [21] и др. в рамках математически корректной схемы и на ее основе получать эффективные уравнения для описания взаимодействия составных частиц, свободные от эвристических предположений. Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]-[40]. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации 197 страниц. Библиография содержит 99 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава состоит из пяти разделов. В первом разделе вводятся основные объекты, такие как оператор энергии системы N тел, цепочки разбиений, относительные координаты. Во втором разделе вводятся компоненты Т-матрицы для N частичного оператора энергии, формулируются уравнения для компонент Т-матриц [10] и обсуждаются их основные свойства. Здесь же вводятся компоненты резольвент и анонсируются уравнения для них, вывод которых откладывается до раздела 1.5. В разделе 1.3 исследуется строение Т-матрицы и резольвенты оператора энергии N частиц. Рассмотрение ведется в импульсном представлении с помощью уравнений раздела 1.2. Здесь удается описать основные полюсные сингулярности Т-

матриц и резольвент и на этой основе определить волновые функции системы N тел как подходящие пределы ядер резольвенты по энергетической переменной на непрерывном спектре. В следующем разделе 1.4 на основании формул раздела 1.3 исследуется поведение ядер резольвенты, волновых функций и их компонент в конфигурационном пространстве. Используется стандартный метод, основанный на оценках преобразований Фурье соответствующих объектов, определенных в импульсном представлении. Найдены координатные асимптотики функции Грина (ядра резольвенты) и волновых функций для двухкластерных начальных каналов. В последнем разделе 1.5 выводятся уравнения для компонент резольвенты, сформулированные в разделе 1.1, исследуются основные соотношения между компонентами Т-матриц и резольвент. На основании этой информации строятся матричные (дифференциальные в координатном представлении) операторы, резольвенты которых состоят из компонент резольвенты оператора энергии N частиц, введенных в первом разделе данной главы. Последнее позволяет построить собственные функции матричных дифференциальных операторов с помощью стандартной процедуры перехода к подходящему пределу в ядрах резольвент на вещественной оси энергии. Полученные таким образом уравнения для компонент волновых функций системы N частиц являются непосредственным обобщением трехчастичных дифференциальных уравнений Фаддеева на случай произвольного числа частиц и представляют собой главный итог первой главы. Материал первой главы основан на публикациях [22], [23], [24], [25], [28], [32].

Вторая глава посвящена детальному исследованию компонент Г-матриц и волновых функций для системы четырех частиц. В разделе 2.1 производится изучение всех полюсных сингулярностей четырехчастичной Т-матрицы, ее компонент и компонент волновых функций системы четырех частиц в импульсном пространстве. Показано, что компоненты четырехча-

стичных волновых функций содержат ряд слагаемых, выражающихся в терминах компонент волновых функций подсистем разбиений системы четырех частиц на две подсистемы. В случае разбиений 3 + 1 эти объекты выражаются через компоненты трехчастичной волновой функции, а для разбиений 2 + 2 через компоненты волновой функции двух невзаимодействующих между собой пар. В разделе 2.2 напоминаются результаты работы [44] о структуре координатной асимптотики волновой функции для трех частиц, свободных в начальном состоянии. Основное отличие от двухчастичного случая заключается в сингулярном вкладе в рассеяние процессов последовательных парных столкновений, который приводит к появлению в асимптотике волновых функций и их компонент слагаемых, порядок которых зависит от направления. Переходные режимы описываются в данном случае интегралами Френеля и имеют много общего с преходными режимами в асимптотике поля в окрестности границы "свет"-"тень" при дифракции электромагнитных волн на клине [54]. В этом же разделе показано, что координатная асимптотика компонент волновых функций для разбиений 2 + 2 описывается теми же формулами, что и в случае 3 +1 и выражается с помощью интегралов Френеля. В этом случае также показано, что после суммирования компонент волновая функция для разбиения 2 + 2 уже не содержит слагаемых с интегралами Френеля. В следующем разделе 2.3 обсуждаются граничные задачи для дифференциальных уравнений для компонент волновых функций системы четырех частиц. Показывается, что в классе функций, координатная асимптотика которых совпадает с асимптотикой преобразований Фурье компонент волновых функций в импульсном пространстве, дифференциальные уравнения для компонент имеют единственные решения. При этом соответствующие решения уравнения Шрединге-ра восстанавливаются по компонентам с помощью суммирования. Данное утверждение служит обоснованием нахождения компонент волновых функ-

ций с помощью решений дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями в координатном пространстве. Последний раздел 2.4 данной главы посвящен исследованию сингулярного вклада процессов последовательных столкновений кластеров. Наиболее сложный случай связан с процессами трехкратных последовательных попарных столкновений частиц. Вклад в асимптотику компонент волновой функции системы четырех частиц выражен в терминах классического действия, отвечающего асимптотическому движению частиц после процессов трехкратных столкновений. Для коэффициентов перед быстро осциллирующими экспонентами получены представления через специальные функции: стандартный интеграл Френеля и повторный интеграл типа Френеля. Материал данной главы базируется на результатах работ [26], [29] и [30].

В третьей главе разрабатывается метод кластерной редукции уравнений для компонент волновых функций систем трех и четырех частиц в случае бинарных столкновений, когда в начальном и конечных состояниях может присутствовать только два кластера. Данный случай является наиболее важным для приложений, так как в большинстве экспериментов исследуется именно этот тип реакций. Раздел 3.1 посвящен подробному изложению метода для самого простого варианта уравнений для компонет волновых функций системы трех частиц - уравнений Фаддеева. Однока-нальный характер асимптотики компонент позволяет разложить каждую из них по собственным функциям соответствующего парного оператора энергии. Однако, непосредственное применение таких разложений не слишком эффективно, так как соответствующий базис собственных функций содержит континуальное количество элементов. Поэтому исходная задача для дифференциальных уравнений Фаддеева сначала аппроксимируется краевой задачей для этих уравнений с дополнительным нулевым граничным условием при достаточно большом значении модуля внутрикластерной ко-

ординаты. Последнее возможно благодаря экспоненциальному убыванию каждой из компонент по внутрикластерной координате. Показано, что погрешность такой аппроксимации имеет экспоненциально малый порядок. Аппроксимирующая краевая задача естественным образом решается методом разделения переменных с использованием базиса собственных функций однородной задачи Дирихле для парного уравнения Шредингера. При этом для коэффициентов разложения, зависящих только от межкластерной координаты, получаются интегродифференциальные уравнения, представляющие собой конечный результат редукции.

Обобщение данного метода на случай N > 3 частиц требует исследования свойств собственных функций матричных операторов, порождаемых ура