Развитие метода пакетной дискретизации континуума в квантовой теории рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. MB. ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. ДБ. СКОБЕЛЬЦЫНА

На правах рукописи

Рубцова Ольга Андреевна

Развитие метода пакетной дискретизации континуума в квантовой теории рассеяния

Специальность 01.04.16 "физика атомного ядра, и элементарных

частиц"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -2004

Работа выполнена в отделе физики атомного ядра Научно-исследовательского института ядерной физики МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Кукулин В. И. (ОФАЯ НИИЯФ МГУ) Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных

Исследований (г. Дубна).

сов на заседании Диссертационного совета К.501.001.06 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. Адрес: 119992, Москва, Ленинские горы, НИИЯФ МГУ, 19 корпус МГУ, ауд. 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ.

Народецкий И. М. (ИТЭФ), доктор физико-математических наук Орлов Ю. В. (ОЯСМ НИИЯФ МГУ)

Защита состоится и.

2004 г. в 15 ча-

Автореферат разослан

Ученый секретарь

Диссертационного совета К.501.001.06 кандидат физ.-мат. наук

Чуманова О. В.

I. Общая характеристика работы.

Актуальность работы.

В настоящее время основным источником информации о характеристиках ядерных систем и их взаимодействий являются эксперименты по рассеянию. Однако теоретическая интерпретация многих экспериментов в этой области часто отстает от уровня экспериментальных результатов как по времени, так и по достигаемой точности. Тем не менее, благодаря значительному увеличению вычислительных возможностей в последние 20-30 лет, стало доступным прецизионное рассмотрение процессов в системах, состоящих из нескольких частиц в рамках полностью реалистических моделей. Однако численное интегрирование точных уравнений для волновых функций, таких систем является практически невозможным из-за большой размерности фазового пространства. Поэтому весьма важным является развитие эффективных методов приближенного решения квантово-механических задач для систем нескольких тел.

В задачах на связанные состояния наиболее часто используются методы, основанные на разложении волновых функций по базисам квадратично-интегрируемых функции. Главное преимущество такого подхода состоит в сведении интегральных или дифференциальных уравнений квантовой теории к линейным алгебраическим, решать которые в большинстве случаев гораздо проще, чем исходные, особенно при учете нелокальных и тензорных операторов взаимодействия между частицами. В результате методы, развитые для дискретного спектра, позволяют находить связанные состояния легких ядер, состоящих из 5-11 нуклонов. Тем не менее, решение задач рассеяния с реалистическими потенциалами взаимодействия по-прежнему остается весьма проблематичным для систем, состоящих из 3-4 частиц, даже при использовании приближенных методов решения. Такое несоответствие, возникающее при решении двух типов задач квантовой

механики, прежде всего связано со сложным видом граничных условий, которым должны удовлетворять волновые функции рассеяния в конфигурационном пространстве нескольких частиц, в то время как граничные условия для функции связанных состояний тривиальны. Поэтому невозможно прямое обобщение эффективных подходов, развитых для решения задач дискретного спектра, на случай непрерывного.

Различные методы, использующие базисы, развиты и в задачах рассеяния. Однако, несмотря на их многообразие, практически ни один из них не может претендовать на универсальность применительно даже к задачам трех тел. Это следует связать с отсутствием эффективного формализма, позволяющего описывать наблюдаемые характеристики непрерывного спектра в терминах квадратично-интегрируемых функции. Созданию такого формализма и посвящена эта диссертация.

Цель работы.

Целью диссертации является разработка нового эффективного метода приближенного решения задач рассеяния с использованием базисов квадратично--интегрируемых функций — метода пакетной дискретизации континуума, — и его проверка на конкретных примерах рассеяния двух и трех частиц.

Научная новизна результатов.

В диссертации разработаны новый метод пакетной дискретизации континуума и формализм стационарных волновых пакетов, позволяющие определять характеристики состояний непрерывного спектра систем в терминах квадратично-интегрируемых функций. В рамках разработанного формализма впервые аналитически найдены конечномерные аппроксимации основных операторов теории рассеяния в пакетном базисе.

Помимо этого, предложена и обоснована новая трактовка псевдо-

состоянии дискретизованного непрерывного спектра гамильтониана системы, получаемых в некотором базисе конечной размерности. В диссертации показано, что псевдосостояния являются аппроксимациями именно стационарных волновых пакетов (а не точных функций рассеяния, как считалось ранее) и могут быть использованы вместо последних в практических расчетах. Таким образом метод пакетной дискретизации позволяет строить конечномерные аппроксимации операторов теории рассеяния практически в любом базисе квадратично-интегрируемых функций.

В диссертации впервые предложена чисто матричная схема решения задач рассеяния трех тел на основе метода пакетной дискретизации континуума. Использование Хг базисов в этой схеме позволяет провести большинство промежуточных вычислений аналитически, что заметно упрощает и ускоряет процесс решения.

. Научная и практическая значимость результатов.

Разработанный метод пакетной дискретизации континуума может применяться для прецизионного рассмотрения конкретных задач нахождения наблюдаемых характеристик различных ядерных процессов, таких, например, как рассеяние легких слабосвязанных кластеризованных ядер на тяжелых мишенях с учетом кулоновского взаимодействия частиц. Кроме того, данный метод может использоваться для решения задач не только ядерной, но и атомной, и молекулярной физики. Преимуществом разработанного в диссертации метода перед развитыми ранее подходами к решению задач рассеяния в базисах является его широкая универсальность: возможность с одинаковой степенью сложности рассматривать задачи с локальными, нелокальными и комплексными оптическими потенциалами взаимодействия; возможность построения конечномерных аппроксимаций операторов теории рассеяния в произвольном базисе типа; возможность нахождения параметров связанных и резонансных состояний систем.

Кроме того, метод может быть легко обобщен для решения задач с тензорными операторами взаимодействия.

При дальнейшем развитии метод пакетной дискретизации континуума может послужить основой универсального подхода к рассмотрению процессов взаимодействия нескольких частиц в области непрерывного спектра, использующего последовательную дискретизацию этого спектра.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, были доложены на II Всероссийской конференции по физике элементарных частиц и атомного ядра (Москва, МИФИ 2001г.), на XVIII Европейской конференции по малочастичным системам (Блед, Словения, 2002г.), на I Международной конференции по вычислительным проблемам в физике (С.Петербург, 2003), на семинарах ЛТФ ОИЯИ и ОФАЯ НИИЯФ МГУ. Результаты опубликованы в 8 статьях, трудах и тезисах конференций.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Содержит 151 страницу, включая 28 рисунков. В список литературы внесено 84 наименования.

На защиту выносятся:

1. Разработка общего формализма стационарных волновых пакетов в квантовой теории рассеяния. Вывод аналитических конечномерных аппроксимаций основных операторов теории рассеяния в пакетном базисе.

2. Новый метод пакетной дискретизации континуума для решения задач рассеяния двух и трех тел.

3. Новая трактовка псевдосостояний непрерывного спектра гамильтониана системы как аппроксимаций для стационарных волновых пакетов.

4. Тестирование разработанного метода в двухчастичных задачах рассеяния с различными потенциалами взаимодействия: локальным, нелокальным, комплексным, а также при учете кулоновского отталкивания заряженных частиц.

5. Проверка разработанного метода в трехчастичной задаче рассеяния составной частицы на тяжелом ядре.

II. Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели диссертации и приводится краткое содержание работы.

Первая глава посвящена обзору методов, используемых в настоящее время для решения задач рассеяния на основе разложений волновых функций по Ь, базису. Первоначально такой способ решения (с использованием вариационного принципа Ритца) возник в задачах на связанные состояния систем. В этом случае исходная проблема сводится к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы гамильтониана системы в выбранном базисе, т.е. к чисто алгебраической схеме, решать которую значительно проще, особенно в многочастичном случае. Однако подобный метод не обобщается непосредственно для решения задач рассеяния, поскольку волновые функции непрерывного спектра отвечают специальным граничным условиям, не убывают на бесконечности и, соответственно, не могут быть представлены в виде разложения по Ь, базису конечной размерности. Кроме того, подобное представление волновых функций в конечномерном пространстве неизбежно приводит к дискретизации непрерывного спектра исходного гамильтониана. Действительно, если размерность выбранного базиса превышает число связанных состояний в системе, матрица гамильтониана будет иметь дискретный

набор собственных значений, лежащих в области непрерывного спектра этого гамильтониана. Соответствующие им собственные функции называют функциями псевдосостояний непрерывного спектра исходного гамильтониана. Возникают вопросы — имеют ли эти состояния какое-либо отношение к точным функциям рассеяния и можно ли из них непосредственно извлечь наблюдаемые величины. Положительные ответы на эти вопросы получены уже давно. Легко показать, что волновые функции псевдосостояний можно рассматривать как аппроксимации точных функций рассеяния (с точностью до весового множителя) в ограниченном конфигурационном пространстве. Вопрос извлечения наблюдаемых величин решается по разному в рамках развитых к настоящему времени методов приближенного решения задач рассеяния с использованием Ь, базисов.

Эти методы можно условно разделить на две группы согласно двум способам нахождения наблюдаемых в квантовой теории рассеяния: исходя из асимптотических свойств точной волновой функции системы и исходя из поведения этой функции во внутренней области действия потенциала. В первом случае предметом поиска является точная волновая функция системы, во втором — матричные элементы интегральных операторов теории рассеяния.

Во всех методах первого типа полное конфигурационное пространство делится на внутреннюю область — эффективную область действия потенциала, и асимптотическую область, в которой волновая функция удовлетворяет правильным граничным условиям. Разложение по конечномерному базису используется для приближения волновой функции во внутренней области. Для нахождения коэффициентов разложения используется дифференциальное уравнение Шредингера. Наблюдаемые величины находят путем сшивки найденной приближенной волновой функции с точной асимптотической. К этой группе относятся метод .Я-матрицы, методы, основанные на вариационном

принципе Кона, J-матричный метод. Они активно применяются в различных двухчастичных или сводимых к ним задачах, однако возникают проблемы при использовании их уже в трехчастичных системах. Связано это прежде всего с необходимостью явного учета граничных условий. Псевдосостояния и дискретизация непрерывного спектра используется в рамках этих методов лишь косвенно.

Особняком в этой группе стоит метод связанных каналов дискре-тизованного континуума (CDCC), применяемый для решения задач упругого рассеяния и развала составной слабосвязанной частицы в поле тяжелого ядра. В рамках этого метода используется разложение волновой функции системы по полному набору двухчастичных состояний внутреннего гамильтониана налетающей пары. Далее применяется дискретизация непрерывного спектра этого гамильтониана, которая приводит к замене спектрального интеграла конечной суммой. В результате в каждой парциальной волне получают большую систему связанных одномерных дифференциальных уравнений для волновых функций, описывающих движение центра масс составной частицы относительно ядра-мишени. В рамках метода CDCC помимо псевдосостояний также применяют и другой тип дискретизации континуума, связанный с разбиением непрерывного спектра гамильтониана внутреннего движения налетающей пары на узкие полосы, в каждой из которых точная функция рассеяния заменяется некоторым усредненным волновым пакетом. Оба способа дискретизации приводят к схожим результатам. Описанный метод существенно использует дискретизацию непрерывного спектра промежуточных состояний. Однако, будучи привязан к нахождению волновой функции системы лишь в одном выделенном канале и к явному учету граничных условий, метод CDCC до сих пор не обобщен для учета реакций перестройки, включающих несколько асимптотических каналов.

Ко второй группе относятся методы, в которых предметом поиска

являются непосредственно наблюдаемые, выражаемые через матричные элементы операторов теории рассеяния. Здесь используются спектральные свойства собственных состояний полного гамильтониана системы. При этом для аппроксимации непрерывной по энергии функции спектральной плотности состояний континуума используется дискретная спектральная плотность псевдосостояний. Последующее использование метода моментов позволяет строить конечномерные аппроксимации для матричных элементов оператора Грина и находить элементы Т-матрицы, используя волновые функции псевдосостояний. Более универсальным является метод интегральных преобразований позволяющий находить практически любые спектральные плотности, используя интегральные преобразования Лоренца. Базис псевдосостояний в рамках этого метода используется лишь косвенно. К этой же группе относятся методы, основанные на вариационном принципе Швингера. В целом следует отметить, что с точки зрения трактовки псевдосостояний методы второй группы являются более естественными. Возможность избежать явного учета граничных условий является их бесспорным достоинством. Однако возникает проблема построения спектральных представлений резольвентных операторов, в связи с чем методы второй группы, также как и первой, не позволяют продвинуться далее частного круга трехчастичных задач.

Анализируя рассмотренные в первой главе методы, следует отметить, что несмотря на их многообразие и эффективность в двухчастичных задачах, общий подход к решению задач рассеяния нескольких тел с использованием конечномерных базисов до сих пор не развит. Видимая причина этого состоит в том, что даже при использовании методов "интегрального" типа псевдосостояния гамильтониана в Ь2 базисе рассматриваются лишь как вспомогательные функции. В результате, до сих пор не развит эффективный формализм, позволяющий определять наблюдаемые величины задачи рассеяния в терминах

псевдосостоянии.

Вторая глава посвящена разработке нового метода пакетной дискретизации континуума и его применению к решению двухчастичных задач рассеяния. Основу метода составляет формализм стационарных волновых пакетов, позволяющий находить конечномерные аппроксимации основных операторов теории рассеяния. Стационарные волновые пакеты представляют собой интегралы от точных функций непрерывного спектра по узким энергетическим полосам. Первоначальное название таких функций — собственные дифференциалы. Они использовались в квантовой механике еще в 30-е годы прошлого века для обоснования свойств волновых функций непрерывного спектра, поскольку в отличие от последних являются квадратично-интегрируемыми (т.е. принадлежат гильбертову пространству соответствующих операторов).

Первая часть второй главы посвящена исследованию общих свойств стационарных волновых пакетов. Пакетный базис определяется следующим образом. Непрерывный спектр гамильтониана Н (или гамильтониана свободного движения разбивается на интервалы 0 = £о < £х < ... Ел с ширинами {Д^Ц^. На каждом из таких интервалов строятся стационарные волновые пакеты, как интегралы либо от точных функций рассеяния либо от плоских волн

В диссертации показано, что свойства стационарных волновых пакетов аналогичны свойствам волновых функций дискретного спектра. В частности, свободные волновые пакеты образуют ортонорми-

рованный базис, а возмущенные волновые пакеты образуют

ортонормированный базис вместе с функциями связанных состояний гамильтониана Н (если таковые имеются).

Важным свойством пакетных базисов является свойство диагональ-

ности матриц любых операторов, функционально зависящих от соответствующих гамильтонианов. В частности, матрица резольвенты гамильтониана Я является диагональной в базисе возмущенных волновых пакетов (а матрица резольвенты свободного гамильтониана — диагональна в базисе свободных пакетов). Причем, конечномерная аппроксимация полной резольвенты имеет аналитический вид:

<Н+)(Я) = Е ^ + Ь?\В№<Ы (2)

где собственные значения & зависят только от параметров разбиения спектра и определяются следующей формулой:

Конечномерная аппроксимация свободной резольвенты в базисе свободных волновых пакетов имеет аналогичный вид, с тем отличием, что состояния

В основе разработанного метода пакетной дискретизации континуума лежит та идея, что в случае короткодействующего потенциала взаимодействия для нахождения наблюдаемых достаточно знать лишь такие конечномерные аппроксимации резольвент. Используя это допущение, конечномерные аппроксимации других операторов теории рассеяния, таких, например, как оператор перехода Т и 5-оператор, находятся на основе пакетных представлений для резольвент.

Для того, чтобы такие аппроксимации можно было использовать при решении конкретных задач, нужно уметь строить сами волновые пакеты (т.к. обычно точные функции рассеяния не известны). В диссертации показано, что псевдосостояния гамильтониана системы, найденные в некотором конечномерном Ь, базисе, можно рассматривать как аппроксимации именно стационарных волновых пакетов, а не точных функций рассеяния (как считалось ранее). Действительно, если параметры разбиения спектров, порождаемых этими

двумя типами дискретизации континуума, совпадают, то псевдосостояния практически совпадают со стационарными волновыми пакетами (без всяких нормировочных множителей) в некоторой ограниченной области координатного пространства, далее каждая из функций убывает по-своему. Это свойство впервые позволило установить явную связь между функциями, отвечающими двум известным типам дискретизации континуума. В результате, можно сделать вывод, что разработанный формализм стационарных волновых пакетов можно использовать как формализм псевдосостояний.

Таким образом, основу метода пакетной дискретизации континуума составляют два положения:

использование общего пакетного формализма для нахождения наблюдаемых в задаче рассеяния;

новая трактовка псевдосостояний как аппроксимаций для стационарных волновых пакетов.

В целом следует отметить, что разработанный формализм стационарных волновых пакетов является по сути новым "языком", позволяющим определять наблюдаемые величины задачи рассеяния в терминах функций.

Во второй и третьей частях второй главы рассматриваются два способа решения двухчастичной задачи рассеяния на основе разработанного метода пакетной дискретизации. Во второй части приводятся схема и конкретные примеры решения задачи рассеяния в представлении возмущенных волновых пакетов. В этом случае используется определение элементов Т-матрипы через конечномерное представление для полной резольвенты в пакетном базисе. В практических расчетах для построения возмущенных волновых пакетов использовались псевдосостояния матрицы полного гамильтониана системы в двух базисах: базисе собственных функций гармонического осциллятора и неортогональном гауссовом базисе. При этом задача нахождения пар-

циальных фазовых сдвигов для широкого диапазона энергий сводится всего лишь к однократной диагонализации матрицы гамильтониана в выбранном базисе. Отдельно рассмотрены случаи рассеяния на локальном и нелокальном потенциалах взаимодействия. Найденные парциальные фазовые сдвиги, отвечающие рассеянию на локальном потенциале, хорошо согласуются с результатами, полученными путем прямого численного интегрирования уравнения Шредингера.

Описанию решения двухчастичной задачи рассеяния в представлении свободных волновых пакетов посвящена третья часть второй главы. На основе аналитического конечномерного представления для свободной резольвенты легко получить матричное уравнение для оператора перехода, которое соответствует исходному интегральному уравнению. В результате нахождение парциальных фазовых сдвигов сводится снова к однократной диагонализации матрицы свободного гамильтониана в выбранном базисе и последующему матричному обращению при каждом значении энергии. Преимущество такой схемы перед решением в представлении возмущенных волновых пакетов состоит в том, что здесь можно находить парциальные фазовые сдвиги рассеяния на неэрмитовом оптическом потенциале взаимодействия без дополнительного увеличения сложности.

Численная проверка метода была проведена для различных типов потенциалов взаимодействия: локальных, нелокальных, а также для случая комплексного потенциала. В рассмотренных схемах решения двухчастичых задач энергия считалась непрерывной. Однако построенные конечномерные аппроксимации для свободной и полной резольвент системы имеют особенности в граничных точках разбиения спектра. Чтобы исключить влияние этих особенностей, использована дополнительная процедура усреднения для собственных значений свободной резольвенты. В результате энергия системы стала чисто дискретной величиной.

В четвертой части второй главы показано, что пакетный формализм позволяет построить полностью дискретный вариант квантовой теории рассеяния. При этом найдены дискретные аналоги основных операторов теории рассеяния, включая волновые операторы Меллера.

В последней, пятой, части второй главы приводится обобщение метода пакетной дискретизации континуума на случай, когда потенциал взаимодействия является суперпозицией короткодействующего и отталкивающего кулоновского потенциала, что отвечает ядерному взаимодействию одноименно заряженных частиц- Для решения такой задачи введен базис кулоновских волновых пакетов, которые строятся из регулярных кулоновских функций. Резольвента кулоновского гамильтониана представляется диагональной матрицей в таком пакетном базисе. Это конечномерное представление снова можно использовать для нахождения так называемых кулон-ядерных парциальных фазовых сдвигов. Практический расчет проведен в неминимальном гауссовом базисе. Найденные фазы находятся в хорошем согласии с величинами, полученными путем прямого численного интегрирования уравнения Шредингера для кулон-ядерной волновой функции рассеяния.

Третья глава диссертации посвящена обобщению метода пакетной дискретизации для решения задач рассеяния трех тел. В первой части этой главы стационарные волновые пакеты вводятся в трех различных наборах координат Якоби, отвечающих разбиению системы на пару взаимодействующих частиц и третью свободную.

Гамильтониан канала о записывается как сумма двухчастичного гамильтониана описывающего взаимодействие в Ьс подсистеме, и двухчастичного свободного гамильтониана Но, описывающего движение частицы а относительно центра масс пары:

На — Ьо + Льс.

Трехчастичные пакетные базисные функции в канале а определяются как произведения возмущенных волновых пакетов, отвечающих гамильтониану Aj,., и свободных волновых пакетов, отвечающих гамильтониану Ло:

|5а, AM) = | Z^X^AM), Sa = (i, la,j, К). (5)

Здесь Sa — мульти-индекс, состоящий из квантовых чисел двухчастичных пакетов. В подпространстве таких базисных функций матрицы канального гамильтониана и его резольвенты диаго-нальны. Как и в двухчастичном случае, исходя из свойств трехчастич-ных волновых пакетов, построены конечномерные аппроксимации резольвент гамильтонианов каналов в пакетных подпространствах. При этом для диагональных матричных элементов bound-continuum части резольвенты Ga найдены следующие выражения:

i

фх+4- -Е

- Е

Sa ~ {к, А0)

ЧС?а(£)к =

^лГ ЕЕ^ + ^ + е'О

О Ei{£$L i + 4%^ + 4')

(6) (7)

— точки

где — энергии связанных состояний в подсистеме Ьс, Л разбиения непрерывного спектра двухчастичного гамильтониана Ло.

Реальные части матричных элементов сойтшт-соМшиит части резольвенты канала имеют несколько более сложный вид:

При этом мнимые части этих матричных элементов записываются в виде

чадк

В формулах отвечают ширинам разбие-

ний двухчатичных спектров гамильтонианов }ц,с и Ло, а и —

средние точки соответствующих энергетических интервалов.

Далее в первой части приводится общая схема нахождения амплитуд трехчастичного упругого рассеяния и рассеяния с перестройкой на основе пакетной техники. Показано, что для нахождения амплитуд этих процессов нет необходимости знать точную резольвенту полного гамильтониана системы, а достаточно знать лишь ее конечномерные проекции на различные базисные подпространства. Для их определения в работе выводится система матричных уравнений, в "ядрах" которых используются проекции всех трех канальных резольвент, что должно обеспечивать правильное энергетическое поведение искомых проекций полной резольвенты.

Вторая часть третьей главы посвящена рассмотрению задачи рассеяния составной частицы на тяжелой мишени. Если считать массивную частицу неподвижной, такая задача может быть решена при учете граничных условий в двух асимптотических каналах. В этом случае вводятся два набора пакетных базисов. В работе получены явные формулы для различных конечномерных проекций полной резольвенты, а также явные выражения для амплитуд упругого рассеяния и срыва.

При достаточно большой энергии налетающей связанной частицы, а также при учете оптических комплексных потенциалов взаимодей-

ствия каждой из частиц (составляющих падающую пару) с тяжелым ядром-мишенью, можно с хорошей точностью пренебречь вкладом каналов перестройки в амплитуду упругого рассеяния снаряда. В этом случае можно воспользоваться граничными условиями только в одном асимптотическом канале. В рамках пакетного формализма это означает, что для построения полной резольвенты системы можно использовать лишь резольвенту одного упругого канала. Тогда амплитуда упругого рассеяния находится особенно просто — на основе матричного обращения, как и в двухчастичном случае. В качестве численного примера найдены 8-волновые парциальные фазовые сдвиги упругого рассеяния составной частицы на точечной мишени. Результаты согласуются с парциальными фазовыми сдвигами, полученными для такой же системы в рамках ./-матричного подхода.

Также в качестве численной иллюстрации проверена сходимость среднего значения свободной резольвенты в трехчастичной задаче. Для расчетов использовался осцилляторный и неортогональный гауссов базисы.

Таким образом, в третьей главе показано, что возможно решение задач рассеяния трех тел на основе чисто матричного пакетного формализма, практически столь же простого, как и имеющиеся методы решения задач на связанные состояния.

Одним из основных преимуществ метода пакетной дискретизации перед развитыми ранее подходами к решению задач рассеяния в базисах является его широкая универсальность: возможность с одинаковой степенью сложности рассматривать задачи с разными типами потенциалов взаимодействия, а также использовать для расчетов практически любые базисы квадратично-интегрируемых функций.

Некоторым недостатком метода является достаточно медленная сходимость наблюдаемых к точным значениям по сравнению со сходимостью, получаемой в рамках других методов, использующих дис-

кретизацию континуума (таких, как /-матричный и СБСС). Однако точность нахождения парциальных фазовых сдвигов, полученная для исследованных двухчастичных задач (10~3-10-4), является вполне приемлемой для множества практических применений. Кроме того, важным преимуществом метода пакетной дискретизации является возможность использования "улучшенных" методов решения задачи рассеяния в дискретном базисе, позволяющих в дальнейшем достигать более высокой точности вычислений.

В целом можно сказать, что, благодаря возможности построения конечномерных представлений для операторов теории рассеяния в различных базисах типа, разработанный метод может стать основой нового эффективного подхода к рассмотрению задач рассеяния нескольких тел, основанного на последовательной дискретизации континуума.

В Заключении приводятся основные результаты работы:

1. Разработан формализм стационарных волновых пакетов для решения задачи рассеяния двух частиц. Исходя из свойств этих состояний, впервые найдены конечномерные аналитические представления в пакетных подпространствах для полной и свободной резольвент, а также других основных операторов теории рассеяния, таких как оператор перехода, волновые операторы Меллера и др. В рамках пакетного формализма задача нахождения амплитуд рассеяния и других наблюдаемых сведена к решению линейных алгебраических уравнений.

2. Предложена и обоснована новая трактовка псевдосостояний в рамках метода пакетной дискретизации континуума. Показано, что эти состояния следует рассматривать как аппроксимации именно стационарных волновых пакетов, отвечающих тем же параметрам дискретизации непрерывного спектра, а не точных

функции рассеяния (как считалось ранее). Это свойство позволяет строить конечномерные представления основных операторов теории рассеяния практически в любом удобном конечномерном базисе. Разработанный формализм стационарных волновых пакетов вместе с новой трактовкой псевдосостояний составили основу метода пакетной дискретизации континуума.

3. Исследованы разные варианты применения разработанного метода пакетной дискретизации. Показано, что использование представления возмущенных волновых пакетов позволяет построить аппроксимации полной резольвенты системы для широкого диапазона энергий на основе однократной диагонализации матрицы гамильтониана в выбранном Ь2 базисе. В представлении свободных волновых пакетов нахождение наблюдаемых при каждом значении энергии связано с матричным обращением. Хотя этот вариант пакетного метода является несколько более трудоемким, чем формализм возмущенных волновых пакетов, однако он более универсален и обобщается без увеличения сложности на случай комплексного или общего неэрмитова оператора взаимодействия.

4. Проведены численные расчеты парциальных фазовых сдвигов рассеяния на локальном, нелокальном и комплексном потенциалах взаимодействия с использованием осцилляторного и неминимального гауссова базисов. Расчеты показали хорошую точность приближенных фазовых сдвигов уже при малой размерности базиса. Также проведено исследование влияния вклада закрытых "пакетных" каналов в полную амплитуду рассеяния и показано, что в численных расчетах можно учитывать лишь несколько закрытых каналов, близких к физической области, что позволяет уменьшить размерность используемого пакетного базиса и зна-

чительно ускорить процесс вычисления.

5. Метод пакетной дискретизации континуума обобщен для учета кулоновского отталкивания заряженных частиц. Для этого введен базис кулоновских стационарных волновых пакетов. Аналогичный метод может быть развит для нахождения наблюдаемых в случае, когда потенциал взаимодействия представляет собой суперпозицию дальнодействующего и короткодействующего.

6. Метод пакетной дискретизации континуума обобщен для решения задачи рассеяния трех тел. При этом используются базисы трехчастичных волновых пакетов, которые строятся независимо в каждом асимптотическом канале. Эти функции обладают свойствами, аналогичными свойствам двухчастичных волновых пакетов, и являются собственными состояниями проектированных гамильтонианов каналов. Впервые найдены аналитические конечномерные представления для трехчастичных канальных резольвент в пакетных базисах, и подробно расписана схема решения трехчастичной задачи для процессов упругого рассеяния и рассеяния с перестройкой. При этом для полной резольвенты системы вместо многомерных сингулярных интегральных уравнений Фаддеева-Якубовского используются их относительно простые матричные аналоги с явно выделенными и проинтегрированными особенностями по энергии, что значительно упрощает решение задачи. Парциальные фазы упругого рассеяния составной частицы на тяжелом ядре-мишени, найденные на основе метода пакетной дискретизации континуума, согласуются с результатами, найденными в рамках другого развитого ранее метода.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. О.А. Рубцова, В.И. Кукулин, Представление операторов теории

рассеяния в дискретном базисе, Тезис II Всероссийской конференции "ФЭЧАЯ", Сборник научных трудов (М.: МИФИ, 2001), стр.52.

2. О.А.Рубцова, В.И. Кукулин, Новый подход к решению задачи рассеяния составной частицы в поле ядра, ЯФ, 64, 1769 (2001) .

3. О.А.Рубцова, В.И. Кукулин, Функция Грина и матрица рассеяния в дискретном осцилляторном базисе, ЯФ, 64, 1882 (2001).

4. В.И. Кукулин, ОА. Рубцова, Формулировка квантовой теории рассеяния в терминах собственных дифференциалов (стационарных волновых пакетов), ТМФ, 130, 64 (2002).

5. В.И. Кукулин, ОА. Рубцова, Дискретная квантовая теория рассеяния, ТМФ, 134, 459 (2003).

6. В.И. Кукулин, О.А. Рубцова, Конечномерные аппроксимации операторов теории рассеяния в представлении волновых пакетов, ТМФ, 139, 291 (2004).

7. V.I. Kukulin, О.А. Rubtsova, Efficient technique for solving few-body scattering problems by wave-packet continuum discretisation In Proceedings of the XVIIIth European Conference on Few-Body Problems in Physics (Few-body Systems Supplement 14), edt. R. Krivec et al., Springer-Verlag/Wien (2003), P.211.

8. O.A. Rubtsova, V.I. Kukulin, Formulation offew-body scattering problem via wave-packet continuum discretization method, Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Mer-curiev (Book of Abstracts, St. Petersburg, 2003), p. 20.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник*» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 02.11.2004 Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,25

Печать авторефератов 730-47-74, 778-45-60(сотовый)

Р21853

РНБ Русский фонд

2005-4 20662

Введение

1 Методы решения задачи рассеяния в конечномерном базисе

1.1 Различные методы дискретизации континуума в двухчастичной задаче

1.1.1 Вариационные принципы и связанные с ними методы.

1.1.2 Д-матричные методы

1.1.3 Методы построения квадратурных аппроксимаций для функции Грина.

1.1.4 Метод J-матрицы.

1.2 Использование приближенных методов для решения задач рассеяния трех и большего числа тел.

1.2.1 Метод связанных каналов дискретизованного континуума

1.2.2 Обобщения J-матричного подхода для решения задач рассеяния трех тел.

1.2.3 Рассмотрение трехтельных задач на основе вариационного метода Кона.

1.2.4 Обобщения Д-матричного подхода.

1.2.5 Метод интегральных преобразований

1.3 Выводы.

2 Метод пакетной дискретизации континуума в двухчастичной задаче

2.1 Общий формализм метода пакетной дискретизации континуума

2.1.1 Стационарные волновые пакеты и их свойства.

2.1.2 Проекция оператора резольвенты гамильтониана.

2.1.3 Пространственное поведение стационарных волновых пакетов

2.1.4 Разложение единичного оператора.

2.1.5 Связь между волновыми пакетами и псевдосостояниями.

2.1.6 Аппроксимация борновского члена в базисе СВП.

2.2 Решение задачи рассеяния в ВВП представлении.

2.2.1 Вывод поправочных слагаемых для резольвенты.

2.2.2 Более точная оценка величины поправочного слагаемого

2.2.3 Вычисление парциальных фазовых сдвигов рассеяния на локальном потенциале.

2.2.4 Случай нелокального потенциала взаимодействия

2.2.5 Исследование влияния закрытых каналов.

2.3 Представление свободных волновых пакетов.

2.3.1 Резольвента полного гамильтониана в СВП представлении

2.3.2 Конечномерный аналог уравнения Липпмана-Швингера для функции рассеяния

2.3.3 Конечномерная аппроксимация оператора рассеяния.

2.3.4 Случай комплексного потенциала взаимодействия.

2.3.5 Рассеяние на локальном потенциале. Расчеты в средних точках интервалов.

2.3.6 Сравнение точности в СВП и ВВП подходах.

2.3.7 Вычисление парциальных фазовых сдвигов для комплексного потенциала взаимодействия.

2.3.8 Энергетическое поведение фазовых сдвигов.

2.4 Дискретная версия теории рассеяния.

2.4.1 Дискретное представление для свободной резольвенты

2.4.2 Матричная форма волнового оператора.

2.4.3 Резольвента полного гамильтониана и оператор рассеяния в дискретном представлении.

2.4.4 Численные иллюстрации.

2.5 Кулоновские волновые пакеты.

2.6 Обсуждение результатов.

3 Решение задачи рассеяния трех тел

3.1 Общий метод решения задачи рассеяния трех тел.

3.1.1 Трехчастичные волновые пакеты и их свойства.

3.1.2 Проекции резольвент каналов.

3.1.3 Уравнения для проекций полной резольвенты.

3.1.4 Схема решения трехчастичной задачи рассеяния в представлении волновых пакетов.

3.2 Рассеяние составной частицы в поле неподвижного центра.

3.2.1 Вычисление амплитуд упругого рассеяния и срыва.

3.2.2 Решение задачи упругого рассеяния в одном асимптотическом канале.

3.2.3 Вывод эффективного оператора взаимодействия снаряда и мишени на основе проекционного формализма Фешбаха.

3.2.4 Изучение сходимости конечномерного представления для свободной резольвенты.

3.2.5 Вычисление парциальных фазовых сдвигов упругого рассеяния составной частицы в поле ядра.

3.3 Обсуждение результатов.

В настоящее время основным источником информации о характеристиках ядерных систем, таких, например, как параметры нуклон-нуклонного или нуклон-ядерного взаимодействий, являются эксперименты по рассеянию. Причем в большинстве случаев для правильной трактовки экспериментальных данных требуется учет состояний промежуточного континуума нескольких частиц. Точное решение таких задач рассеяния нескольких тел может быть осуществлено либо путем численного решения дифференциального уравнения Шредингера для волновой функции системы со сложными граничными условиями, либо путем решения интегральных уравнений Фаддеева-Якубовского для разных компонент полной резольвенты системы, причем ядра этих уравнений содержат особенности (см. [1-3]). Таким образом, прямое численное решение задач трех и большего числа тел в случае реалистических взаимодействий является весьма трудоемкой процедурой, требующей больших затрат вычислительного времени даже на современных суперкомпьютерах. Не удивительно поэтому, что приближенные методы решения таких задач возникли почти одновременно с возникновением самой теории рассеяния и остаются актуальными до сих пор. Следует упомянуть в этой связи возникший недавно большой интерес к реакциям со слабосвязанными нестабильными ядрами, такими как 9,uLi, 8Не, 12Ве, прецизионное рассмотрение которых требует трактовки континуума нескольких заряженных частиц, практически невозможной в фаддеевском рассмотрении. Аналогичные проблемы существуют также и в атомной и в молекулярной физике.

Широкий класс методов приближенного решения квантово-механических задач основан на разложении волновых функций по базисам квадратично-интегрируемых функций и представлении операторов систем матрицами в соответствующих базисах [4-65]. В результате таких приближений, дифференциальные и интегральные уравнения заменяются линейными алгебраическими уравнениями для коэффициентов разложения, решать которые в большинстве случаев гораздо проще, чем исходные. Такой способ решения был развит первоначально в задачах нахождения связанных состояний, поскольку волновые функции состояний дискретного спектра локализованы в пространстве и следовательно могут быть разложены по Ь? базису конечной размерности. Благодаря вариационному принципу Ритца, такая задача сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы га-мильтонинана системы в выбранном базисе. Этот традиционный метод является весьма эффективным и используется в задачах многих тел.

В отличие от функций связанных состояний, волновые функции рассеяния простираются до бесконечных расстояний в координатном пространстве и формально могут быть разложены только по полному бесконечному набору Ьг функций. Кроме того, функции рассеяния отвечают весьма нетривиальным граничным условиям в многочастичных задачах. Поэтому приближенные методы решения задач непрерывного и дискретного спектра существенно отличаются друг от друга. Однако диагонализация матрицы гамильтониана в конечномерном базисе используется и здесь. Собственные вектора этой матрицы, отвечающие области непрерывного спектра, обычно называют псевдосостояниями. Их волновые функции могут рассматриваться как аппроксимации точных функций рассеяния только в ограниченной области координатного пространства. Конечный набор соответствующих собственных значений представляет собой совокупность дискретных точек. Таким образом, рассмотрение задач рассеяния в конечномерном базисе всегда связано с понятием дискретизации непрерывного спектра исходного гамильтониана системы. Такая дискретизация в настоящей работе будет называться дискретизацией в базисе псевдосостояний. Следует отметить,что помимо описанного, используется также и другой тип дискретизации континуума, называемый " биновым", который связан с прямым разбиением спектра на узкие полосы (бины), внутри каждой из которых волновая функция заменяется некоторой усредненной, в большинстве случаев квадратично-интегрируемой, функцией [4].

Методы решения задач рассеяния в Ь-2 базисе можно условно разделить на две группы. Методы первой группы основаны на приближенном решении дифференциального уравнения Шредингера для волновой функции системы. При этом строятся аппроксимации для волновых функций рассеяния во внутренней области действия потенциала в выбранном базисе. Наблюдаемые извлекаются из построенных решений путем сшивки последних с асимптотическими функциями. К этой группе относятся методы, основанные на вариационном принципе Кона-Хюльтена [5-9], R-матричные методы [17,19-24], часть методов так называемого J-матричного подхода [41-46,51-54], метод связанных каналов в дискретизованном континууме [4,61-65]. Использование таких методов в многочастичном случае является весьма проблематичным из-за сложного вида граничных условий для волновой функции системы. Поэтому наиболее часто примененяется схема так называемой кластерной редукции или метода связанных каналов [61], при которой полная волновая функция многочастичного рассеяния аппроксимируется определенной суперпозицией конфигураций, отвечающих связанным состояниям в подсистемах (кластерам) и относительному движению этих кластеров. При этом вместо очень сложного для трактовки континуума нескольких частиц возникает более простая система связанных двухфрагмент-ных каналов, которая уже допускает прямую численную реализацию в форме одномерных дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений. Известно также обобщение J-матричного метода на случай истинно многочастичного рассеяния [52], когда ни одна подсистема взаимодействующих частиц не образует связанных состояний. При этом используется метод гиперсферических гармоник, в рамках которого задача фактически сводится к одномерной.

Методы другой группы основаны на построении конечномерных аппроксимаций операторов теории рассеяния (чаще всего, для оператора резольвенты) или непосредственном нахождении наблюдаемых без использования волновой функции рассеяния. При этом используется интегральная формулировка теории рассеяния. К этой группе относятся методы основанные на вариационном принципе Швингера [13-15], некоторые варианты J-матричного подхода [47,48], метод моментов для построения конечномерных аппроксимаций резольвенты [31,32,34-38], метод интегральных преобразований [58-60], а также метод спектральной плотности [39, 40]. Большинство методов этой группы основано на использовании спектральных свойств псевдосостояний. Такой "интегральный" способ приближенного решения задач непрерывного спектра с использованием дискретного базиса выглядит на наш взгляд более перспективным, чем методы первого типа, поскольку позволяет избежать явного учета сложных граничных условий.

Каждая группа методов сталкивается с различными проблемами в случае рассеяния нескольких частиц. Для методов первой группы они связаны, как уже упоминалось, со сложным видом граничных условий. Это затруднение исчезает в рамках интегральных методов второй группы, где однако возникают довольно сложные сингулярности в ядрах интегральных операторов. Из-за сложной структуры многочастичного непрерывного спектра проблематичными становятся трактовка псевдосостояний и построение аппроксимаций операторов. В результате, практически ни один из упомянутых здесь методов не может претендовать на универсальность по отношению к решению задач рассеяния нескольких тел: все методы применимы в некоторых частных случаях. Однако из сравнительного анализа этих методов становится ясно, что развитие общего подхода к приближенному решению задач в континууме с использованием дискретных базисов должно быть связано именно с интегральной формулировкой задачи рассеяния.

Попытке создания такого универсального и эффективного подхода для решения задач теории рассеяния и посвящена настоящая работа. В основе предлагаемого метода пакетной дискретизации континуума (ПДК) лежит идея использования базиса стационарных волновых пакетов для построения конечномерных аппроксимаций операторов теории рассеяния. При этом используется биновая дискретизация непрерывного спектра. Стационарные волновые пакеты определяются математически как интегралы от точных функций непрерывного спектра по узким энергетическим интервалам. Первоначальное название таких пакетов — собственные дифференциалы [67, 68]. Они использовались в квантовой механике еще в 30-е годы для обоснования свойств состояний непрерывного спектра, поскольку в отличие от последних являются квадратично-интегрируемыми функциями. Свойства собственных дифференциалов аналогичны свойствам состояний дискретного спектра и псевдосостояний. Матрицы полного гамильтониана Н и любого оператора, коммутирующего с ним, диагональны в базисе стационарных волновых пакетов. Поэтому, исходя лишь из спектральных свойств операторов и определения новых базисных функций в форме собственных дифференциалов, легко получить аналитическую конечномерную аппроксимацию резольвенты гамильтониана, а также аппроксимации основных операторов теории рассеяния. В настоящей диссертации показано, что в рамках двухчастичной задачи рассеяния предложенный автором метод пакетной дискретизации континуума позволяет находить наблюдаемые величины, отвечающие рассеянию на локальных и нелокальных, вещественных и комплексных потенциалах взаимодействия, с одинаковой степенью сложности и практически с одинаковой точностью [71-78].

Наиболее важной является новая трактовка псевдосостояний гамильтониана системы в некотором Ь^ базисе. В диссертации показано, что псевдосостояния являются хорошими аппроксимациями для точных стационарных волновых пакетов, отвечающих тем же параметрам дискретизации непрерывного спектра (т.е. отвечающих той же системе энергетических бинов). Это позволяет находить конечномерные представления основных операторов теории рассеяния практически в любом базисе £>2 функций, что играет особо важную роль в задачах рассеяния нескольких тел. Связано это с тем, что при использовании подобных аппроксимаций матричные элементы перехода между базисными функциями в разных наборах координат Якоби, возникающие при решении задач рассеяния нескольких тел, могут быть найдены в аналитическом виде. Кроме того, этот результат позволяет использовать в рамках метода ПДК множество практических разработок других методов решения задач рассеяния в L-г базисах. Таким образом, новый метод как бы объединяет возможности обеих групп методов, рассмотренных выше.

В диссертации показано, что метод ПДК может быть непосредственно обобщен для решения задачи рассеяния нескольких тел. Так, для трехтельной задачи можно построить трехчастичные пакетные базисы в каждом наборе координат Якоби. Трехчастичные волновые пакеты обладают почти теми же свойствами, что и двухчастичные. В частности, матрицы резольвент канальных гамильтонианов имеют аналитический вид, что позволяет найти проекции полной резольвенты в пакетные представления, а затем и амлитуды разных процессов рассеяния. Кроме того, последовательное рассмотрение состояний промежуточного континуума нескольких тел позволяет строить эффективные потенциалы взаимодействия ядер или атомов, учитывающие связь с каналами перестройки.

Структура диссертации такова. Первая глава является обзорной. В ней рассматриваются основные методы решения задачи рассеяния в базисе квадратично интегрируемых функций: вариационные методы в задаче рассеяния, метод R- и J-матриц, метод связанных каналов дискретизованного континуума, метод моментов для построения квадратурных аппроксимаций функции Грина, метод интегральных преобразований, метод построения спектральной плотности. В главе 2 излагается общий формализм предлагаемого нового метода ПДК и его применение в двухчастичных задачах рассеяния. Анализируются различные варианты использования пакетных базисов и результаты численных расчетов парциальных фазовых сдвигов для случаев рассеяния на локальных и нелокальных, вещественных и комплексных потенциалах взаимодействия. Для расчетов используются базис функций гармонического осциллятора и неминимальный гауссов базис. В главе 3 приводится обобщение метода ПДК для решения задачи рассеяния трех тел, исследован случай рассеяния составной частицы на тяжелом ядре-мишени, а также представлен вывод эффективного оператора взаимодействия, учитывающего вклад неупругих каналов в амплитуду упругого рассеяния снаряда. Основные результаты диссертации приведены в Заключении. В приложении А приводятся формулы для матричных элементов потенциалов в неминимальном гауссовом и осцилляторном базисах, использовавшиеся при расчетах.

Результаты, изложенные в главах 1-3 и в приложении А, были опубликованы в работах [71-78] и докладывались на II Всероссийской конференции по физике элементарных частиц и атомного ядра (Москва, МИФИ, 2001г.), на XVIII Европейской конференции по малочастичным системам (Блед, Словения, 2002г.), на I Международной конференции по вычислительным проблемам в физике (С.-Петербург, 2003г.), а также на семинарах ОФАЯ НИИЯФ МГУ и ЛТФ ОИЯИ.

Заключение

Настоящая диссертация посвящена разработке нового подхода к решению задачи рассеяния в базисе квадратично-интегрируемых функции — метода пакетной дискретизации континуума. Перечислим кратко основные результаты работы:

1. Для решения задачи рассеяния двух частиц развит формализм стационарных волновых пакетов. На основе свойств этих состояний найдены конечномерные аналитические представления для полной и свободной резольвент, а также других основных операторов теории рассеяния, таких как оператор перехода и волновые операторы Меллера. В результате, задача нахождения амплитуд рассеяния и других наблюдаемых сведена к решению линейных алгебраических уравнений.

2. Предложена и обоснована новая трактовка псевдосостояний в методе ПДК. Показано, что эти состояния следует рассматривать как аппроксимации именно стационарных волновых пакетов, отвечающих тем же параметрам дискретизации непрерывного спектра, а не точных функций рассеяния (как считалось ранее). Такая трактовка позволяет построить конечномерные аппроксимации основных операторов теории рассеяния практически в любом адаптированном конечномерном базисе.

3. Исследованы разные варианты применения пакетного формализма. Показано, что использование представления возмущенных волновых пакетов позволяет построить аппроксимации полной резольвенты системы для широкого диапазона энергий на основе однократной диагонализации матрицы гамильтониана в выбранном Z-2 базисе. В представлении свободных волновых пакетов нахождение наблюдаемых при каждом значении энергии связано с матричным обращением. Хотя этот вариант пакетного метода является несколько более трудоемким, чем ВВП формализм, однако он более универсален и обобщается без увеличения сложности на случай комплексного или общего неэрмитова оператора взаимодействия.

4. Для иллюстрации применимости развитого общего метода проведены численные расчеты парциальных фазовых сдвигов рассеяния на локальном, нелокальном и комплексном потенциалах взаимодействия с использованием базисов функций гармонического осциллятора и неминимального гауссова базиса. Расчеты подтвердили хорошую точность приближенных фазовых сдвигов уже при малой размерности базиса N = 10. Также иссследовано влияния вклада закрытых "пакетных" каналов в полную амплитуду рассеяния и показано, что в численных расчетах можно учитывать лишь несколько закрытых каналов близких к физической области, что позволяет уменьшить размерность используемого пакетного базиса и значительно ускорить процесс вычисления.

5. Введения кулоновских стационарных волновых пакетов метод обобщен для наг-хождения кулон-ядерных парциальных фазовых сдвигов в случае рассеяния одноименно заряженных частиц. Абсолютно аналогичный метод пакетной дискретизации континуума может быть применен для нахождения наблюдаемых в случае, когда потенциал взаимодействия представляет собой суперпозицию отталкивающего дальнодействующего и короткодействующего потенциалов.

6. Для решения задачи рассеяния трех тел исследованы трехчастичные волновые пакеты, которые строятся независимо в каждом асимптотическом канале. ТВП обладают свойствами, аналогичными свойствам двухчастичных волновых пакетов, и являются собственными состояниями проектированных гамильтонианов каналов. Впервые найдены аналитические конечномерные представления трехчастичных канальных резольвент в пакетных базисах, и подробно расписана схема решения трехчастичной задачи для процессов упругого рассеяния и рассеяния с перестройкой. В этой схеме для полной резольвенты системы вместо многомерных сингулярных интегральных уравнений Фаддеева-Якубовского используются их относительно простые матричные аналоги с явно выделенными и проинтегрированными особенностями, что значительно упрощает решение задачи. Парциальные фазы упругого рассеяния составной частицы на тяжелом ядре-мишени, найденные на основе метода ПДК согласуются с результатами, найденными в рамках другого ранее развитого метода.

Одним из основных преимуществ метода ПДК перед развитыми ранее подходами к решению задач рассеяния в Ь2 базисах является его широкая универсальность: возможность с одинаковой степенью сложности рассматривать задачи с локальными, нелокальными и комплексными оптическими потенциалами взаимодействия; возможность построения конечномерных аппроксимаций операторов теории рассеяния практически в любом конечномерном базисе; возможность нахождения параметров связанных и резонансных состояний систем. Кроме того, метод может быть обобщен для решения задач с тензорными операторами взаимодействия.

Некоторым недостатком метода является достаточно медленная сходимость наблюдаемых к точным значениям по сравнению со сходимостью получаемой в рамках других методов, использующих дискретизацию континуума (таких, как J-матричный и CDCC). Однако точность нахождения парциальных фазовых сдвигов, полученная для исследованных двухчастичных задач (10~3-10-4) является вполне приемлемой для множества практических целей. Кроме того, важным преимуществом метода ПДК является возможность использования "улучшенных" методов решения задачи рассеяния в дискретном базисе, позволяющих в дальнейшем достигать более высокой точности вычислений.

В целом можно сказать, что, благодаря возможности построения конечномерных представлений операторов теории рассеяния в различных Ь2 базисах, метод ПДК может стать основой нового эффективного подхода к рассмотрению задач рассеяния нескольких тел, основанного на последовательной дискретизации континуума.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.И. Кукулину, а также проф. Л.Д. Блохинцеву, В.Н. Померанцеву и всему коллективу лаборатории теории атомного ядра НИИЯФ МГУ во главе с проф. В.Г. Неудачиным за поддержку и полезные дискуссии. Особую признательность автор выражает В.В. Пупышеву за подробное прочтение рукописи и важные замечания.

1. Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц (пер. с англ. "Мир", Москва, 1969).

2. С. Сунакава, Квантовая теория рассеяния (пер. с япон., "Мир", Москва, 1979).

3. С.П. Меркурьев, Л.Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц ("Наука", Москва,1985).

4. Т. Matsumoto, Т. Kamizato, К. Ogata, Y. Izeri, Е. ffiyama, М. Kamimura and М. Yahiro, Phys. Rev. С 68, 064607 (2003).

5. R.L. Armstead, Phys. Rev. 171, 91 (1967).

6. R.K. Nesbet, Phys. Rev. 175, 134 (1968).

7. E. Harris, Phys. Rev. Letters,19, 173 (1967).

8. A.K. Bhatia, A. Temkin, R,J. Drachman and E. Eiserilce, Phys. Rev. A 3, 1328 (1970).

9. E.A.G. Armour and C.W. Chainberlian, J. Phys. В 35, L489 (2002).

10. W.H. Miller, and B.M.D.D. Jaasen op de Haar, J. Chem. Phys., 86, 2061 (1987).

11. R.R. Luchese, Phys. Rev. A 40, 687 (1989).

12. A. Kievsky, M. Viviani and S. Rosati, Phys. Rev. С 64, 024002 (2001).

13. M. Cizek, J. Horacek and H.-D. Meyer, Сотр. Phys. Commun. 131, 41 (2000).

14. D.Shanks, J.Math.Phys. 34,1 (1955).

15. P.Wynn, Math. Tables Aids Comput. 10, 91 (1956).

16. J. Darai, B. Gyannati, B. Konya and Z. Papp, Phys. Rev. С 63, 057001 (2001).

17. E.P. Wigner and L. Eisenbud, Phys. Rev. 72, 29 (1947).

18. C. Bloch, Nucl. Phys. 4, 503 (1957).

19. T. Teichmann and E.P. Wigner, Phys. Rev. 87, 123 (1952).

20. A.M. Lane and D. Robson, Phys. Rev. 151, 774 (1966).

21. J. Gugnon, Phys. Rev. С 11, 291 (1975).

22. D.Baye, M. Hesse, J.-M. Sparenberg and M. Vincke. J. Phys. В 31, 3439 (1998).

23. M. Hesse, J.-M. Sparenberg, F. Van Raemdonck and D. Baye, Nucl. Phys. A 640, 37 (1998).

24. M. Hesse, J. Roland and D. Baye, Nucl. Phys. A 709, 184 (2002).

25. O.I.Tolstikhin, V.N. Ostrovsky and H. Nakamura, Phys. Rev. A 58,2077 (1998).

26. J.J. Bevelacqua and R.J. Philpott, Nucl. Phys. A 275, 301 (1976).

27. C.W. McCurdy, T.N. Rescigno and B.I. Schneider, Phys. Rev. A 36, 2061 (1987).

28. C.W. McCurdy, T.N. Rescigno, W.A. Isaacs and D.E. Manolopoulos, Phys. Rev. A 57, 3511 (1998).

29. C. Chandler and W. Tobocman, Phys. Rev. С 19, 1160 (1979).

30. L. Schlessinger and C. Schwartz, Phys. Rev. Lett. 16, 1173 (1966); L. Sch-lessinger, Phys. Rev. 171,1523 (1968).

31. W.P. Reinhaidt, D.X. Oxtoby, and T.N. Resigno, Phys. Rev. Lett. 28,401 (1972).

32. E.J. Heller, W.P. Reinhardt and H.A. Yamani, J. Сотр. Phys. 13, 536 (1973).

33. O.A. Рубцова, Разработка метода решения квантовой задачи рассеяния составной частицы в поле силового центра, Дипломная работа (М., МИФИ, 2000).

34. J.R. Winick and W.P. Reinhardt. Phys.Rev.A 18,910 (1978),ibid 18, 925 (1978).

35. C.T. Corcoran, P.W. Langhoff, J.Math.Phys. 18, 651 (1977).

36. P.W. Langhoff, C.T. Corcoran, J.S. Sims, F. Weinhold, and R.M. Glover, Phys. Rev. A 14,1042 (1976).

37. LCacelli, V.Carravetta and A.Rizzo, J.Chem.Phys. 98, 8742 (1993).

38. I. Cacelli, R. Moccia and A. Rizzo, Phys. Rev. A 57, 1895 (1998).

39. A.T. Kruppa, Phys. Lett. В 431, 237 (1998).

40. A.T. Kruppa and K. Arai, Phys. Rev. A 59, 3556(1998).

41. E.J. Heller and H.A. Yamani, Phys. Rev. A 9, 1201 (1974).

42. H.A. Yamani and L. Fishman, J. Math. Phys. 11, 410 (1975).

43. E.J. Heller, Phys. Rev. A 12, 1222 (1975).

44. J.T. Broad and W.P. Reinhardt, Phys. Rev. A 14, 2159 (1976).

45. H.A. Yamani and M.S. Abdelmonem, J. Phys. A 29 6991 (1996).

46. H.A. Yamani and M.S. Abdelmonem, J.Phys. В 30, 1633 (1997).

47. B.Konya, G. Levai, Z. Papp. Phys. Rev. С 61, 034302 (2000).

48. Z. Papp, Phys. Rev. С 55, 1080 (1997).

49. Z. Papp and S.L. Yakovlev, arXiv:nucl-th/9903078 v2.

50. Г.Ф. Филиппов, И.П. Охрименко, ЯФ 32, 332 (1980).

51. Ю.И. Нечаев, Ю.Ф. Смирнов, ЯФ 35, 1385 (1982).

52. А.М. Широков, Ю.Ф. Смирнов, С.А. Зайцев, ТМФ 117, 227 (1998); Yu.A. Lurie and A.M. Shirokov, arXiv:nucl-th/0312028 vl.

53. J.M. Bang, A.I. Mazur, A.M. Shirokov. Yu.F. Smirnov and S.A. Zaytsev, Ann. Phys. 280, 299 (2000).

54. V.S. Vasilevsky, and F. Arickx, arXiv:nncl-th/0005048.

55. В.Я. Кныр, Л.Я. Стотланд, ЯФ 59, 607 (1996).

56. A.M. Shirokov, J.P. Vary, A.I. Mazur, S.A. Zaytsev, and T.A. Weber, arXiv:nucl-th/0407018 vl.

57. A.M. Shirokov, A.I. Mazur and S.A. Zaytsev, J.P. Vary and T.A. Weber, arXiv:nucl-th/0312029 v2.

58. В.Д. Эфрос, ЯФ 41, 1498 (1985).

59. V.D. Efros, W. Leidemann and G. Orlandini, Phys. Lett. В 338, 130 (1994); V.D. Efros, W. Leidemann and G. Orlandini, Phys. Rev. С 58, 582 (1998).

60. A. La Piana and W. Leidemann, Nucl. Phys. A. 677, 423 (2000).

61. N. Austern, C.M. Vincent and J.P. Faxrell, Ann. Phys (N.Y.) 114, 93 (1978).

62. M. Kawai, and M. Kamimura, Prog. Theor. Phys. 59, 674 (1978).

63. N. Austern, and M. Kawai, Prog. Theor. Phys.80, 694 (1988).

64. R. Y. Rasoanaivo, and G. H. Rawitscher, Phys. Rev. С 39,1709 (1989).

65. M. Takashina, S. Takagi, Y. Sakuragi and Y. Iseri, Phys. Rev. С 67, 037601 (2003).

66. T.A. Brody, and M. Moshinsky, Tables of Transformation Brackets (Willey, New York, 1967).

67. А. Мессиа, Квантовая механика (пер. с франц. под ред. Л.Д. Фаддеева, "Наука", Москва, 1978).

68. Б. Вигнер, Теория групп (пер. с англ., ИИЛ, Москва, 1961).

69. Т.Ю. By, Т. Омура Квантовая теория рассеяния (пер. с англ., "Наука", Москва, 1969)

70. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. ("Наука", Москва, 1983).

71. О.А. Рубцова, В.И. Кукулин, Представление операторов теории рассеяния в дискретном базисе, Тезис II Всероссийской конференции "ФЭЧАЯ", Сборник научных трудов (М.: МИФИ, 2001), стр.52.

72. О.А.Рубцова, В.И. Кукулин, ЯФ 64, 1769 (2001) .

73. О.А.Рубцова, В.И. Кукулин, ЯФ 64, 1882 (2001).

74. В.И. Кукулин, О.А. Рубцова, ТМФ 130, 64 (2002).

75. В.И. Кукулин, О.А. Рубцова, ТМФ 134, 459 (2003).

76. В.И. Кукулин, О .А. Рубцова, ТМФ 139, 291 (2004).

77. V.I. Kukulin, О.А. Rubtsova in "Few-Body Problems in Physics'02" (Few-body Systems Supplement 14), edt. R. Krivec et al., Springer-Verlag/Wien (2003), P.211.

78. O.A. Rubtsova, V.I. Kukulin, Formulation of few-body scattering problem via wave-packet continuum discretization method, Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Mercuriev (Book of Abstracts, St. Petersburg, 2003), P.20.

79. A.A. Бурилов, Д.П. Костомаров и В.И. Кукулин, Математическое Моделирование 12(1), 107 (2000).

80. Э. Шмид, X. Цигельман, Проблема трех тел в квантовой механике (перев. с англ., "Наука", Москва, 1979).

81. М. Мошинский, Гармонический осциллятор: от атомов до кварков (перев. с англ., "Мир", Москва, 1972).

82. Н. Feshbach, Ann. Phys. 164, 398 (1985).

83. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, A.M. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике ("Наука", Москва, 1971).

84. Г.Я. Любарский, Теория групп и ее применение в физике (гос. изд-во. физ.-мат. лит-ры., Москва, 1958).