Алгебраический подход в квантовой теории рассеяния двух и трех частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

о „ л 2 7 АВГ 2009

Зайцев Сергей Александрович

Алгебраический подход в квантовой теории рассеяния двух и

трех частиц

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Хабаровск — 2009

003475800

003475800

Работа выполнена в Тихоокеанском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Кныр Виктор Андреевич, Тихоокеанский государственный университет

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гриднев Константин Александрович, Санкт-Петербургский государственный университет

доктор физико-математических наук, профессор Лукьянов Валерий Константинович, Объединённый институт ядерных исследований

доктор физико-математических наук, профессор Резник Борис Львович, Дальневосточный государственный университет

Ведущая организация: научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Защита состоится С*** т<1 /р^ 2009 года в " часов на засе-

дании диссертационного совета Д212.056.08 при Дальневосточном государственном университете по адресу: 690600, г. Владивосток, ул. Суханова, 8. С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале №2 библиотеки Дальневосточного государственного университета, г. Владивосток, ул. Суханова, 8.

Автореферат разослан "_"_2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Соппа И.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Рассеяние в системе нескольких частиц является актуальной и сложной задачей квантовой механики, окончательное решение которой не получено до сих пор. Методы построения волновой функции системы, эффективные при низких энергиях, оказываются несостоятельными с ростом энергии, когда открывается большое число каналов. При этом волновая функция системы трех тел принадлежит непрерывному спектру и задается сложными граничными условиями в конфигурационном пространстве, соответствующими множеству двух- и трехчастичных каналов. Присутствие в системе дальнодействующих сил приводит к существенному усложнению картины асимптотического движения частиц. Несмотря на решение принципиальных вопросов описания системы двух и трех тел с кулоновским и сильным взаимодействием [1], практическое применение методов, основанных на уравнениях Шредингера и Фаддеева-Меркурьева, для расчета наблюдаемых рассеяния составных заряженных частиц остается очень сложным в численной реализации. По этой причине в настоящее время продолжаются активные поиски иных независимых методов учета кулоновского взаимодействия в системе нескольких тел.

В последние десятилетия для анализа процессов столкновений и реакций были развиты алгебраические подходы, основанные на представлении гамильтониана в полном базисе квадратично интегрируемых (Ь2) функций. При описании волновой функции непрерывного спектра системы предпочтение отдается методам, основанным на вариационном принципе Швин-гера, в рамках которого дальнодействующая часть гамильтониана учитывается точно, т. е. асимптотика решения является правильной. Короткодействующий потенциал при этом аппроксимируется в конечном подпространстве базисных функций. Одним из таких дискретных подходов, получивших широкое распространеие в задачах атомной и ядерной физики, является метод 3-матрицы [2], в рамках которого волновая функция состояния непрерывного спектра формально представляется в виде бесконечного разложения по собственным функциям гармонического осциллятора или по лагерровским базисным функциям. В диссертации разработана версия метода ./-матрицы, применимая к построению высокоточного приближе-

ния волновой функции кулоновской системы трех тел, предложен метод описания трехчастичного кулоновского континуума в контексте базисов Ь2 функций.

Дискретные Ь2 методы широко используются для решения так называемой прямой задачи квантовой теории, когда взаимодействие между частицами считается известным. Составным элементом любого такого метода является аппроксимация исходного потенциала V оператором Vй конечного ранга N. Причем значение N должно быть достаточно высоким, чтобы минимизировать погрешность ЦУ —У-^Ц. Вместе с тем интерес представляет получение оператора взаимодействия V1*, исходя из экспериментальных данных по рассеянию. При этом актуальной является минимизация ранга N искомого двухчастичного сепарабельного потенциала, что позволяет существенно упростить расчет многочастичных систем. В диссертации построен формализм метода обратной задачи в рамках алгебраического подхода к проблеме рассеяния, где взаимодействие задается матричным представлением в базисе осцилляторных и лагерровских функций.

Цель работы состояла в разработке алгебраического подхода в квантовой теории рассеяния двух и трех частиц, для чего решены следующие задачи:

• Формулировка метода обратной задачи в рамках алгебраического подхода в теории рассеяния.

• Построение формализма и разработка метода решения проблемы континуума кулоновской системы трех тел в рамках метода ./-матрицы.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

• Разработана 7-матричная версия формализма метода обратной задачи, в рамках которой по фазе рассеяния 5е(Е) при одном значении углового момента £, заданной при всех энергиях Е > 0, и дискретному спектру строится матрица потенциала в заданном базисе Ь2 функций. Метод сформулирован для двух видов базисов: осцилляторного и лагерровского. Последний вариант применим также к рассеянияю одноименно заряженных частиц.

• Разработанный в рамках /-матричного подхода метод обратной задачи обобщен на случай упругого рассеяния с учетом связи парциальных каналов. Этот вариант формализма и его модификации легли в основу метода построения нового класса нелокальных нуклон-нуклонных потенциалов с осцилляторными формфакторами.

• В рамках /-матричной теории рассеяния получены алгебраические аналоги уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана. Показано, что формализм /-матричной версии метода обратной задачи в сочетании с алгебраическими аналогами уравнений Марченко или Гельфанда-Левитана могут служить основой эффективной схемы построения матриц потенциалов. При этом процедура восстановления взаимодействия не содержит нефизических варьируемых параметров.

• Сделано обобщение формализма алгебраической версии обратной задачи на случай неупругого рассеяния с различными порогами в каналах. Главная трудность здесь заключается в том, что для эксперимента доступна лишь подматрица открытых каналов полной ¿'-матрицы. В диссертации найден способ аналитического продолжения ¿¡"-матрицы в область энергий, соответствующей закрытым каналам.

• В рамках /-матричного подхода разработан метод описания кулонов-ской системы трех тел на основе уравнений Фадцеева-Меркурьева. При построении волновой функции системы трех заряженных частиц корректно учтены спектры двухчастичных подсистем. Метод успешно применен для расчета (е, 2е) и (е, Зе) процессов на атоме гелия.

• Известно, что уравнение Шредингера для кулоновсой системы трех тел, записанное в обобщенных параболических координатах, в асимптотической области По, где все частицы сильно удалены друг от друга, разделяется. В диссертации получено представление резольвенты для соответствующего асимптотического кулоновского волнового оператора в виде контурного интеграла-свертки по константам разделения.

Основные положения диссертации выносимые на защиту

• Формализм метода обратной задачи в рамках /-матричной теории рассеяния на короткодействующем потенциале, а также с учетом кулонов-

ского отталкивания.

• Обобщение формализма на случай упругого рассеяния с учетом сильной связи каналов.

• Алгебраические аналоги уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана, полученные в J-матричном подходе к проблеме рассеяния.

• Формализм алгебраической версии обратной задачи для случая неупругого рассеяния. Метод аналитического продолжения ^-матрицы в область энергий, где все каналы закрыты.

• J-матричный формализм описания трехчастичной кулоновской системы с корректным учетом спектра двухчастичных подсистем, основанный на уравнениях Фаддеева-Меркурьева.

• Расчеты в рамках разработанного формализма дифференциальных сечений (е, 2е) и (е, Зе) реакций на атоме гелия. Получено хорошее согласие рассчитанных сечений с экспериментальными данными как по форме, так и по абсолютной величине.

• Представление оператора шестимерной функции Грина, соответствующей асимптотическому трехчастичному кулоновскому волновому оператору, в базисе штурмовских функций от параболических координат.

Научная и практическая значимость результатов

Разработанный в настоящей работе формализм дискретной версии обратной задачи может быть использован для построения по данным рассеяния нелокальных потенциалов, задаваемых в виде матриц в осцилляторном или лагерровском базисах. В частности, построенный формализм составил основу метода построения нового класса NN потенциалов — J-matrix inverse scattering potentials (JISP) [3], с помощью которых с высокой точностью описываются не только данные по NN рассеянию, но также основное и резонансные состояния легких ядер. Построение корректной волновой функции состояния континуума системы трех заряженных частиц является актуальным во многих областях физики. Полученная в диссертации в рамках J-матричного подхода волновая функция кулоновской системы трех тел может быть использована, например, при теоретическом описании

процессов ионизации атомов электронным ударом ((е, 2е) и (е, Зе) реакции) или двойной фотоионизации ((7,2е) реакция). Конкретные расчеты были выполнены для атома гелия и дали очень хорошие результаты. Полученное выражение для оператора шестимерной кулоновской функции Грина может быть использовано в дискретном аналоге уравнения Липпмана-Швингера для волновой функции состояний континуума кулоновской системы трех тел.

Апробация работы

Основные результаты, положенные в основу диссертации, докладывались и обсуждались на международных конференциях и семинарах, в том числе: XIV и XVII Международных совещаниях "High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Москва, 1999; Самара, 2003); Региональных научных конференциях "Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование" (Владивосток, 2003, 2007); Workshop on Computational Physics dedicated to the memory of Stanislav Merkuriev (St. Petersburg, 2003); Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2004); Program on Microscopic Nuclear Structure Theory "INT-04-3" (University of Washington, National Institute for Nuclear Theory, Seattle, 2004); International Conference on Many Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces (Konigstein, 2003, 2007; Rosario, 2005; Rome, 2006; Paris, 2008).

Публикации

По результатам диссертации опубликовано 18 статей. Список приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора

Личный вклад автора в совместных работах заключается в активном участии в постановке задач и интерпретации результатов расчетов. Лично автором детально разработан формализм для расчета всех процессов, написаны программы и выполнены все расчеты, включенные в диссертацию.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух частей (четыре главы в первой части, три главы во второй части), заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации, включая 14 таблиц и 54 рисунка, составляет 242 страниц. Приведенная библиография содержит 276 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из двух частей.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы общие цели и задачи работы, показана ее новизна, научная и практическая значимость полученных результатов, кратко изложено содержание диссертации.

Первая часть состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена описанию метода обратной задачи потенциального рассеяния в рамках ./-матричного подхода.

В первом разделе, являющимся вводным, кратко излагается 3-матричная теория потенциального рассеяния [2], в рамках которой волновая функция формально представляется в виде разложения

оо

= (1) п=0

по полному базису квадратично интегрируемых функций ф1п. Парциальный ¿-волновой оператор кинетической энергии Яо представляется трехдиаго-нальной матрицей в базисе собственных функций гармонического осциллятора. В базисе лагерровских функций трехдиагональной является матрица кулоновского гамильтониана Не. Таким образом, дальнодействующий оператор 3 = Но — к2/2 (3 = Не — к,2/2) представляется в этих базисах бесконечной симметричной трехдиагональной матрицей || Л,п'|| (матрицей Якоби или ./-матрицей). В свою очередь свободное (кулоновское) уравнение Шредингера преобразуется в трехчленное рекуррентное соотношение

(ТРС)

Зп,п-1&п-\ + Л.пбп + 3П,П+1вп+1 = 0, П > 1. (2)

В представлениях осцилляторных и лагерровских базисных функций получены аналитические выражения для "синусоподобного" ¿>п1(к) и "косинусо-подобного" Спе(к) решений ТРС (2).

Оператор короткодействующего потенциала V аппроксимируется в 3-матричной теории рассеяния N х ^-матрицей V. В результате для коэффициентов Сп разложения (1) имеем

{^,N-1 Зм- Сдг, п<ЛГ-1,

Здесь: (&) = Спе{к) ± iSni(k); 7\n' — элементы N х TV-матрицы

P^-IJ + V]-1; (4)

Si — S-матрица, выражение для которой получают из условия сшивки для коэффициентов Сп при п = N - 1, а именно,

С _ CN-li ~ ^N-hN-l JN-1,N

1 ~ М+) V т ^W • 1 J

В заключительной части первого раздела приводится формализм метода J-матрицы для осцилляторных и лагерровских базисных функций [2].

Во втором разделе приводится описание предложенного метода построения по данным рассеяния сепарабельного потенциала

V(r,r')= ^ ^(r)K.n'^(r') (6)

n,n'=0

с осцилляторными формфакторами. Потенциал (6) определяется N х N-матрицей V и значением осцилляторного радиуса р.

Из (3) следует, что информация о потенциале передается волновой функции посредством элементов Vn¡n> N х JV-матрицы Р (4), для которой используется формула

P(e) = [le-h}~1. (7)

Здесь: е = h = Т + V — N х ЛГ-матрица гамильтониана в осцил-ляторном базисе; Т — симметричная трехдиагональная N х ./V-матрица оператора кинетической энергии Я0 с элементами Т' п„ В свою очередь, ¿■-матрица полностью определяется функцией Рн(е) = Рдг_i,jv-i(e). Таким образом, функция Vn{¿) оказывается единственной характеристикой метода, связывающей данные по рассеянию и дискретный спектр системы с информацией об элементах матрицы V потенциала (6).

Показано, что из определения функции Vn{¿) следует фазовая эквивалентность потенциалов (6) ранга N с фиксированным параметром fuj, симметричные матрицы V которых удовлетворяют соотношению

V = QhQ"1 - Т, (8)

где (3 — произвольная ортогональная матрица порядка N вида

/

(9)

Ь — фиксированная симметричная трехдиагональная матрица:

/ ао 61 \

Ь =

Ь\ 01 62

(10)

&ЛГ-1

V ^N-1 О.Ы-1 )

Из определения функции Тн также следует ее представление в виде дроби:

параметры которой удовлетворяют условию

9[ы) < б["-1] < 6™ <

"N-1

'ЛГ

(И)

(12)

Таким образом, для решения обратной задачи достаточно вычислить параметры которые однозначно связаны с ап и Ь„, а, следовательно, определяют (с точностью до фазовоэквивалентного преобразования (8)) матрицу V потенциала (6).

Предлагается следующий метод обращения данных рассеяния. Зафиксировав некоторые значения параметров Ьш и Ы, решим уравнение уравнение (5) относительно и определим функцию Тн{е):

где

V (Л - 1

тО - Ты--7Г-ГГ>

Сп((е) - сое ¿¡(А;) 5пг(&) + 8т&(*:) Спе(к), 10

(13)

¿г(е) — фаза рассеяния. Тогда исходная задача сводится к построению рациональной аппроксимации Тм (11) функции Ри (13) на конечном энергетическом интервале [0, ео], значение ео правой границы которого в общем случае удовлетворяет неравенству «о < в^ (при £ > в^ функция Тц затухает ~ 1/е). В силу этого можно ставить задачу построения потенциала (6), который описывает данные рассеяния лишь на некотором оганиченном интервале энергий. Таким образом, параметры и в^ < е0 функции

Ты совпадают соответственно с нулями и особенностями функции Та на интервале [0, бо]- Остальные неизвестные параметры находятся в результате аппроксимации функции, не имеющей на интервале [0, £о] ни нулей, ни особенностей. При этом дополнительным условием является описание связанных состояний системы.

Основные элементы процедуры восстановления потенциала (6) иллюстрируются примерами.

В третьем разделе дано обобщение метода на случай сепарабельного потенциала

(15)

п, п'=0

—I

формфакторы фп которого представляют собой ортогональные дополнения к лагерровским базисным функциям ф1п. Такое представление короткодействующего потенциала (15) позволяет учесть кулоновское взаимодействие в системе точно. При построении потенциала (6) с осцилляторными форм-факторами в случае рассеяния заряженных частиц пришлось бы делать те же приближения, что и при описании кулоновского взаимодействия в осцилляторном представлении [4].

Во второй главе в рамках ./-матричной теории рассеяния получены алгебраические аналоги уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана. Рассмотрены особенности численной реализации уравнений, связанные с поведением фазы рассеяния на потенциале (6) в высокоэнергетической области.

В первом вводном разделе отмечено сходство метода ./-матрицы и дискретной модели квантовой механики, в рамках которой используется конечно-разностное уравнение Шредингера. С одной стороны, обратная задача рассеяние в рамках ./-матричного подхода предполагает наличие реше-

ния в виде трехдиагональной матрицы гамильтониана. С другой стороны, представление в виде трехдиагональной матрицы и оператора кинетической энергии, и полного гамильтониана является фундаментальным свойством как конечно-разностного аналога уравнений Гельфанда-Левитана, так и дискретной версии уравнений Марченко. В последующих разделах главы это сходство распространено на формализм обратной задачи в ./-матричном подходе. Главным достоинством построенного формализма является отсутствие нефизических варьируемых параметров.

Во втором разделе построен алгебраический аналог метода Марченко. Здесь в качестве исходной информации используется функция рассеяния 5. Потенциал в системе задается сепарабельным разложением (6) с осцил-ляторными формфакторами. При этом искомая матрица гамильтониана в осцилляторном базисе имеет вид (10). Асимптотические коэффициенты Сп (п > N — 1) разложения волновой функции 1р(к,г) состояния рассеяния и нормированных волновых функций ■ф(гк11, г) связанных состояний известны:

сф) = ш ~ г- [ с$(*) - в{к) С$(к) ] , (16)

СпЮ = /пК) = (17)

* Для "внутренних" коэффициентов Сп (п < N — 1) с учетом трехдиагональ-ности матриц гамильтониана и оператора кинетической энергии находим

,п'/п'(*0- (18)

п'—п

Для коэффициентов Кп,п' получен алгебраический аналог уравнения Марченко:

2ЛГ-П-1

Кп,пЯп,т+ Кп>П'С}П1<т = Ъ, т>п, (19)

п'=п+1

где ядра определяются данными рассеяния:

оо

Qntm —

/ Лк ш [/m(fc)], + £ /„ю . (20)

о

Элементы Оп и Ьп искомой матрицы гамильтониана (10) однозначно определяются коэффициентами Кп< „/.

В третьем разделе обсужаются особенности численной реализации метода. Получено асимптотическое выражение для фазы 5f(k) рассеяния на потенциале (6) конечного ранга N, справедливое при высоких энергиях. На основе этого выражения предложен способ модификации в высокоэнергетической области данных рассеяния, используемых при вычислении ядер Qn,m (20) уравнения Марченко (19). Здесь также предложен способ описания в рамках J-матричного формализма обратной задачи связанных состояний. Дополнительные уравнения метода основаны на соотношении

iReaS{k)-{-1)'^ (21)

k=iKv

между вычетом ¿'-матрицы и значением асимптотической нормировочной константы Av.

В четвертом разделе строится трехдиагональная матрица гамильтониана (10) порядка N в ортонормированном лагерровском базисе {Хп}п=0-Функции xi выбираются таким образом, чтобы матрица дальнодейству-гощей части гамильтониана, вычисленная в базисе {xl} =о> была также тридиагональной.

В пятом разделе получен аналог уравнения Гельфанда-Левитана в ос-цилляторном представлении теории рассеяния. Здесь определены полиномы рп(е) = Sn,t{k)/Sot(k), удовлетворяющие ТРС

Ttn-iîWe) + TinPn(e) + Tiin+lPn+1(e) = ерп(с), n = 1,... (22)

и граничным условиям

р0(е) = 1; Т$<0р0(е)+Т*лР1(е) = еР0(е). (23)

Добавление потенциала (6) (с трехдиагональной матрицей V) приводит к преобразованию первых N уравнений (22), (23):

bnPn-i(f) + 0"пРп(е) + bn+iPn+i(e) = ePn(i)i п= 1, 2, ... N- 1, (24) Ро(е) = 1; а0р0(е) + bipi(e) = бр0(е). (25)

Найдено выражение для спектральной плотности сг(б), по отношению к которой ортогональны полиномы рп(е). В свою очередь, для коэффициентов Кпп> разложения

п

Рп(б) = ^ KnmPm(e), (26)

m=0 13

получен аналог уравнения Гельфанда-Левитана:

п

Яп'.т = 0, т<п, (27)

п'=0

где ядра <Э„1П' задаются интегралами

00

<Эп,п' = I Рп(е)рп'{е) Жг(е). (28)

—оо

Элементы ап и Ъп искомой матрицы (10) гамильтониана однозначно связаны с коэффициентами Кпп>.

В третьей главе диссертации приводится обобщение метода обратной задачи в /-матричном подходе на случай сильной связи каналов, где взаимодействие описывается оператором

? = ][>>У(ВЯ08|- (29)

В первом разделе искомые парциальные потенциалы у(0/3) имеют вид разложения ^ ^

о = £ Е Фп(г)уп^,Ф1:,(г') (зо)

п=0 п'=0

с осцилляторными форм факторам ф1°. При этом ставится задача воспроизведения данных рассеяния на конечном энергетическом интервале [0, Ео] и описания связанных состояний. Здесь мы ограничились случаем упругого рассеяния, когда во всех каналах энергия одинакова.

Формулировка метода дана для двухканального случая. В процедуре восстановления взаимодействия центральное место отводится 2x2-матрице ||Рар(е)||, в которую превращается функция Т>ц{б) при переходе к двум взаимодействующим каналам. Функции Рар{е) (а> /5 = 1, 2), определяющие 5-матрицу (^-матрицу), выражаются через собственные значения Аj и компоненты ZNl,j, j = 1, ■ ■ ■, N = N1 + N2 ортогональной матрицы Z собственных векторов N х Л/"-матрицы гамильтониана Ь:

^ = (31)

3=1 ■>'

Неизвестные параметры А;, и находятся способом, аналогичным тому, который был использован в потенциальном рассеянии. На интервале [0, оо) определяются функции путем обращения выражений для элементов ¿"-матрицы относительно ,Р(1/з(б). После этого "внутренние" параметры Лу < ео = Ео/Ьи отождествляются с полюсами функций Т'ар(е), а ^N1,3, %N2,1 находятся из соответствующих вычетов этих функций в полюсах Каждой тройке параметров А,/, ZNul/1 которая ассоциирована со связанным состоянием, задаваемым энергией еи и асимптотическими нормировочными константами Аг, соответствуют уравнения, следующие из соотношения для вычетов элементов ¿-матрицы.

Остающиеся неизвестными "внешние" параметры А^ > ео вместе с ¿^,.7 находят подгонкой под данные рассеяния при выполнении условия ортогональности матрицы Ъ собственных векторов

и удовлетворения уравнениям на связанные состояния.

Полученные в результате собственные значения {А.,} и компоненты {.2^1,Zff2lj} {] = 1,..., М) матрицы собственных векторов определяют N х Я матрицу гамильтониана Ь с точностью до фазовоэквивалентного преобразования: Ь —> QhQ, где ортогональная матрица не действует на М-ю и ЛГ-ю строки матрицы Z собственных векторов матрицы гамильтониана.

Работа метода иллюстрируется на примере обращения данных пр-рассеяния в канале 35: — В качестве входной информации использованы результаты фазового анализа ниймегенской группы [5], отмеченные на Рис. 1 крестиками. Фазы рассеяния, соответствующие параметрам {А3}, Zм2¡j} матрицы гамильтониана, полученным для Ла» = 62 МэВ, N1= N2 = 4, представлены на Рис. 1 сплошной линией.

Во втором примере параметру Ни> = 40 МэВ, который определен в рамках используемой модели оболочек, соответствуют значения = 5 и N2 = 4, позволяющие описать данные по пр-рассеянию на интервале

И1езЗар(к)=1г°+ееАМА%).

к={к.. г*

(32)

(33)

50 100 150 200 250 300 350 Ем . МэВ

50 100 150 200 250 300 350 Епшй. МэВ

Рис. 1. Фазы тгр-рассеяния <5^0 и ¿1,2 и параметр смешивания £1 в канале 35х — соответствующие найденным при Ни = 62 МэВ, N1 = N2 = 4 параметрам матрицы гамильтониана (сплошная линия). Крестиками отмечены результаты фазового анализа [5].

О < Епз£ < 350 МэВ. Энергетическое положении Ед = —2.224575 МэВ связанного состояния NN системы, значения Ду = 0.8845 фм-1''2 асимптотической нормировочной константы и отношения т] = Ар/Ав = 0.0252 [5] также воспроизводятся в рамках метода путем дополнения соотношением (32) условий на искомые параметры.

Во втором разделе приводится обобщение процедуры восстановления взаимодействия (29) на случай парциальных потенциалов, задаваемых разложением

N«-1 N0-1

О = Е Е Й» Кп'Фп'П (34)

п=0 п'—О

в котором формфакторами являются ортогональные дополнения к лагер-ровским базисным функциям. Здесь также дается альтернативный подход

к описанию связанных состояний в раках ./-матричного формализма обратной задачи рассеяния, который позволяет сколь угодно точно воспроизводить поведение волновой функции связанного состояния. Для этого используется фазовоэквивалентное преобразование. Приводятся примеры восстановления рр- и пр-потенциалов в форме (29), (34). В последенем случае на основе дополнительной входной информации в виде волновой функцией дейтрона, соответствующей потенциалу №,)т I (сплошная линия на Рис. 2), построено фазовоэквивалентное преобразование матрицы гамильтониана. Соответствующая результирующему потенциалу (29), (34) для N1 = #2 = 4 волновая функция дейтрона представлена на Рис. 2 (пунктирная линия).

Рис. 2. 5-и Д-компонентз волновой функции дейтрона для Ниймегенского потенциала №]'т I [5] (сплошная линия) и для потенциала (29), (34) для N1 — N2 = 4 (пунктирная линия).

Предложенный формализм обращения данных рассеяния в рамках матричной теории в дальнейшем был положен в основу метода построения сепарабельных NN потенциалов с осцилляторными формфакторами (ЛЭР), с помощью которых удалось описать свойства ядер с массовыми числами вплоть до А = 16 (работы [3, 6] в списке цитируемой литературы).

В четвертой главе диссертации дается обобщение метода обратной задачи в рамках ./-матричной теории на случай неупругого рассеяния. В частности, предлагается способ аналитического продолжения ¿'-матрицы в энергетическую область, которая соответствует закрытым каналам.

В первом разделе ставится задача построения взаимодействия в виде (29), (30); причем связанные каналы имеют различные пороги: А\ = 0,

Д2 = Д > 0, т. е. для волновых чисел ка в каналах имеет место соотношение

к\ = к2 - Д„. (35)

Свойства 5-матрицы на заданном интервале к 6 [0, fco] определяют оптимальную комбинацию параметров N (Na = N, а = 1, 2) и р (осцил-ляторный радиус), которая наилучшим образом отвечает задаче построения потенциала. При этом предполагается, что искомая Я х ЛГ-матрица (Л/* = 2N) Н гамильтониана в базисе {|а) п = 0, ..., N - 1, а = 1, 2} имеет квазитридиагональный вид.

Во втором разделе приводятся общие положения теории неупругого рассеяния и кратко излагается соответствующий J-матричный формализм.

В третьем разделе описывается ./-матричная версия метода обратной задачи рассеяния в случае различных порогов в каналах. Формализм метода, разработанный для упругого рассеяния, когда во всех каналах энергия одинакова, здесь требуется модифицировать в области энергий, где к < VÄ, т. е. когда второй канал закрыт. Чтобы определить функции Vaß для этих энергий требуется выполнить аналитическое продолжение 5-матрицы в область к 6 [О, \/Д]. Насколько нам известно, не существует единого метода получения такого аналитического продолжения. С другой стороны, очевидно, что 5-матрица не может вести себя в этой области произвольно. В общем случае использование неунитарной 5-матрицы может привести к нарушению условий вещественности полюсов Лj функций Vaß (с которыми отождествляются собственные значения Аj матрицы гамильтониана) и положительность вычетов функций Vaa (которые определяют квадраты компонент собственных векторов). Один из способов удовлетворить этим условиям заключается в использовании здесь только (унитарной) подматрицы 5-матрицы, соответствующей открытым каналам. Иными словами, собственые значения Аj < ^-Д (и соответствующие Znuj) находятся в приближении 5i2 = 5г1 = 0 и 5гг = 1- Для вычисления "внешних" параметров Аj > (где поведение 5-матрицы, соответствующей искомому взаимодействию, неизвестно) в диссертации используется J-матричный аналог уравнений Марченко, сформулированный для случая двух взаимодействующих каналов. При этом в качестве начального приближения используем условия:

S(Jfc)=I, к > ко, 521=0, к < А. (36)

Результирующая 5-матрица Я®(к), полученная с использованием этих приближений, не обладает свойствами (36) входной матрицы Я (к). Таким образом, Я'0'(А;) может служить входной информацией для итерационной процедуры, которая позволяет оценить вклад закрытого канала. На каждой итерации (г) в выражения для ядер уравнений Марченко при интегрировании по интервалу [О, \/Д] подставляется соответствующий элемент матрицы полученной на предыдущем шаге. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута сходимость.

В четвертом разделе рассмотрен пример, иллюстрирующий все этапы построения матрицы гамильтониана.

Во второй части диссертации предлагаются методы решения куло-новской проблемы трех тел, основанные на разложении волновой функции системы по базису квадратично интегрируемых функций.

В пятой главе предлагается метод описания кулоновской системы трех тел в рамках ./-матричной теории.

В первом разделе дан обзор подходов, использующих при построении волновой функции системы трех заряженных частиц базисы Ь2 функций.

Во втором разделе на примере реакции #е(е, 2е)Не+ излагается J-матричный метод решения кулоновской проблемы трех тел, основанный на уравнениях Фадцеева-Меркурьева. Здесь кулоновскую трехчастичную систему образуют два электрона и а-частица: (е~ е~ Не++) = (123). Тождественность частиц 1 и 2 позволяет свести систему уравнений Фадцеева-Меркурьева к единственному уравнению, описывающему рассеяние частицы 1 на двухчастичной подсистеме (2,3). Метод псевдосостояний применительно к данной задаче позволяет эффективно учесть трехчастичные каналы, поскольку часть собственных значений подсистемы (2,3) попадает в область непрерывного спектра. Отличие представленного подхода от метода псевдосостояний состоит в том, что здесь корректно учитывается весь спектр подсистемы (2,3), поскольку вместо вычисления суммы по конечному числу псевдосостояний проводится суммирование по связанным состояниям и интегрирование по непрерывному спектру иона Не+.

Конечное состояние системы (е, Не+) в случае рассеяния частицы 1 на связанной паре частиц (2,3), описывается волновой функцией где

квантовые числа (щ ¿о т) задают состояние иона-остатка Не+. Мы исполь-

зуем разложение &1а(от по парциальным волнам, пространственная часть которого у) (х и у — координаты Якоби) представляется в виде

<1 = Е Л,(Я) ЬМ), (37)

А,п, и

= (38) ху

Здесь Фп(х), фЦу) — лагерровские базисные функции. Для искомых коэффициентов СЬЛ1Х) используется выражение

С^ (Е) = У йк Бп1{к) а[\к), (39)

где 5„/(&) — известные коэффициенты разложения собственных функций <рк,е(х) гамильтониана

кх = -Ах + (40)

х

описывающего подсистему (2, 3), по лагерровским базисным функциям ф1п{х). В выражении (39) / йк обозначает суммирование по дискретным состояниям и интегрирование по состояниям непрерывного спектра подсистемы (2, 3), т. е.

00

I йкБ^к) а1и\к) = £а1\щ) + ^| ¿кЗ^к) а[\к). (41) * о

Таким образом, в нашем подходе, в отличие от метода псевдосостояний, спектр двухчастичной подсистемы учитывается корректно.

Предлагаемый формализм позволяет учесть поведение волновой функции системы в пределах двухчастичной области Па, где х « у —> оо и асимптотический гамильтониан представляется в виде суммы

Я(а) = А, + V (42)

Здесь: Ку = —Ау + 2\\\у\ потенциал Яц/у описывает кулоновское взаимодействие частицы 1 с центром масс подсистемы (2, 3). В этом случае уравнение Фаддеева-Меркурьева сводится к уравнению типа Липпмана-Швингера. Коэффициенты Спи^ разложения (37) являются решением дискретного аналога этого уравнения.

В третьем разделе на примере низкоэнергетического рассеяния электрона на атоме водорода исследована стабильность и сходимость результатов расчетов (фазы рассеяния) по отношению к количеству N используемых базисных функций (/V > 19) и числу учитываемых парциальных волн (£ > 3). Демонстрируется стабильность результатов относительно значений параметров хо и уо функции "разделения" — формы характеристической функции двухчастичной области [1], используемой в уравнениях Фадцеева-Меркурьева, уже при использовании волны с £тах = 3.

В четвертом разделе эффективность схемы расчетов, изложенной во втором разделе, демонстрируется на примере реакции однократной ионизации атома гелия электронным ударом, которая сопровождается одновременным возбуждением иона остатка.

В обсуждаемой (е, 2е)-реакции быстрый налетающий электрон с энергией в несколько килоэлектронвольт передает атому относительно малые энергию и импульс, так что в решении соответствующей задачи четырех тел используется первое борновское приближение (РВА) при описании взаимодействия налетающего электрона с атомом. В результате трехкратное дифференциальное сечение (ТОСБ) Не(е, 2е)Яе+-реакции принимает вид

Л3) = ¿3£пп _

ап° ~ ЖйШеЖй ~ ^

=^ е I ехр^ • +ехр(^ •-2 И Г •

где (£*, р*), (Ев, ра) и (Ее, ре) — энергии и импульсы соответственно налетающего и рассеянного быстрых электронов, а также выбитого медленного электрона; = р* — р3 — переданный импульс. ТБСБ рассчитано для двух экспериментальных наборов [7], когда рассеянный электрон обладает энергией Е, = 5500 эВ, ион Не+ остается в состоянии щ — 2, а энергия Ее выбитого электрона и угол вв рассеяния быстрого электрона задаются значениями: а) Ее = 5 эВ и ва = 0.35°; б) Ее — 75 эВ и ва = 1°. Угол ве вылета выбитого электрона при этом меняется в пределах от 0° до 360°. Волновая функция конечного состояния получена методом, описанным во втором разделе. При этом вычисление коэффициентов разложения (37) пространственной части искомой функции Ф^оГ71 предполагает интегрирование по непрерывному спектру двухчастичной подсистемы (а не сум-

мирование по конечному числу псевдосостояний, как это делается, например, в ССС-методе). Важность корректного учета непрерывного спектра демонстрируется на Рис. 3, где наши результаты (сплошная линия) представлены в сравнении с экспериментом [7] и с результатами, полученными в рамках двух других моделей: ССС (штриховая линия) [8] и 5МС (пунктирная линия) [7j. Таким образом, результаты применения нашего подхода

Рис. 3. TDCS реакции ионизации Яе(е, 2е)#е+ (по = 2). Энергия рассеянного бы-трого электрона Es = 5500 эВ. Угол рассеяния быстрого электрона и энергия выбитого медленного электрона: а) в, = 0.35°, £, = 5 эВ; б) в, = 1", Et = 75 эВ. Наша модель — сплошная линия; ССС — штриховая линия; 5МС — пунктирная линия.

к описанию (е, 2е) реакции показали его работоспособность. Достигаемая при этом точность вычисления TDCS демонстрирует преимущества нашего способа учета непрерывного спектра двухчастичнной подсистемы.

В шестой главе разработан J-матричный формализм описания непрерывного спектра трехчастичной кулоновской системы, который применен к теоретическому исследованию (е, Зе) реакции на атоме гелия.

В первом разделе дан краткий обзор методов построения волновой функции непрерывного спектра трех заряженных частиц.

Во втором разделе приведены уравнения относительно волновой функции ф(~)(к1,к2;г1,Г2) конечного состояния системы (е- е" Яе++) = (123). Уравнения получены с использованием ./-матричного формализма, изложенного в пятой главе, модифицированного с учетом присутствия двух электронов в непрерывном спектре. Таким образом, здесь мы сталкиваемся с проблемой трехчастичного кулоновского континуума, удовле-

творительного решения которой до сих пор не получено. Во всех известных подходах, использующих разложение по базису L2 функций, состояние трехчастичного континуума аппроксимируется произведением двух куло-новских волн, соответствующих движению электронов в полях с фиксированными зарядами, т. е. не учитывается корелляция между электронами. В рамках нашего формализма также не учитываются асимптотические свойства кг; ri, г2) в области По, где все частицы сильно удалены друг от друга. Наш подход позволяет описать асимптотическое поведение волновой функции только в двухчастичной области Г2а, где взаимное расстояние ха между частицами /3 и 7 много меньше, чем расстояние уа между их центром масс и частицей а. Вместе с тем, главным достоинством нашего метода по сравнению с другими известными дискретными подходами является корректный способ учета непрерывного спектра двухчастичной подсистемы.

В третьем разделе приводятся результаты расчетов пятикратного дифференциального сечения (5DCS)

_(5) = dbjr _

а ~ dQsdEidnidE2diî2

= ^^ |<*H(ki,k2; n,r2)| exp(iQn) + exp(iQr2) - 2 |Ф0>Г ,

двукратной ионизации атома гелия электронным ударом. Результаты расчета 5DCS представлены на Рис. 4 (тонкая сплошная линия). Для сравнения приведены результаты, полученные в рамках FBA с использованием СЗ-модели [10] (пунктирная линия). Рассчитанные сечения хорошо согласуются с экспериментальными данными как по форме, так и по абсолютной величине. Последнее свойство выгодно отличает наши результаты от полученных другими авторами [9].

В седьмой главе излагается метод решения проблемы трехчастичного кулоновского континуума в контексте базиса параболических штурмов-ских L2 функций. Получено матричное представление резольвенты асимптотического трехчастичного кулоновского волнового оператора.

В первом разделе дано краткое изложение сути сепарабельной аппроксимации уравнения Шредингера, на которой основана так называемая СЗ-модель, а также приводится обзор методов усовершенствования этой приближенной модели [11].

9 =27° 0 =41° л м 9=55' л 0=69° 9=83° ( Л

8=97* г, /Ж 8=111° С / Чу.-/ 8=125° 9=139° \ Л 0=153°

8=20Г А 0=221° Ш } 9 =249° Ю 92=263°

| ^ 93=291° 9=305° 9-319° Э^ззз- '^Гр' V

®2 (фад.)

Рис. 4. Пятикратное дифференциальное сечение 5ВСЭ реакции Яе(е, Зе)Яе++ двукратной ионизации атома гелия быстрым электроном. Энергия рассеянного электрона Ев = 5500 эВ. Энергии выбитых медленных электронов = Е2 10 эВ. Угол рассеяния быстрого электрона 6, — 0.45°. 01 и 02 обозначают углы вылета выбитых электронов относительно направления налетающего быстрого электрона. При этом фиксирован, а угол О2 меняется в пределах от 0° до 360°. Экспериментальные данные взяты из работы [9]. ТЪнкая сплошная линия — наши результаты; пунктирная линия — результаты расчетов с СЗ функцией [10].

Уравнение Шредингера для кулоновской системы трех частиц с массами 7711, 7712, т3 И зарядами ^2)

1 Д 1 А , , . ад

---Ад _ ---I---^ - --

¿V12 ¿/¿3 12 г23 7-13

Ф = £Ф

(45)

путем замены Ф = е1(К1?-+к г)ф приводится к виду

[£>о + А] Ф = 0. (46)

Оператор Д) в обобщенных параболических координатах щ задается

симметричным выражением з

где ] ф I, 5 и I < в, ки — относительный импульс частиц I и я, = ,

Ни = т/+т,- Одномерные операторы К^ и имеют вид к=~2 ' **=~2 ~ гкиг»£) ■(48)

В рамках СЗ-модели волновая функция Ф трехчастичного континуума ап-проксимирутся решением Фсз приближенного уравнения

£>о Фсз = 0. (49)

Фсз удовлетворяет точным граничным условиям трехчастичного континуума на асимптотике в пределе, когда все частицы сильно удалены друг от друга (область По)- Однако, в области, где одна из частиц удалена от остальных двух, а также в области промежуточных расстояний между частицами волновая функция СЗ-модели не способна адекватно передать поведение системы. Известные в литературе предложения по усовершенствованию СЗ-модели содержат различные способы учета недиагональной составляющей Бх оператора кинетической энергии.

Во втором разделе предлагается метод решения уравнения (46) в рамках дискретного подхода, в котором искомая волновая функция Ф представляется в виде разложения

Ф = Е<^|Л0 (50)

м

по базисным шестимерным параболическим штурмовским функциям

з

= (51)

3=1

Фт1) т, (о = Фп/ (&) Фт, Ы, (52)

■фп(х) = ^/2Ье~ЬхЬп(2Ьх). (53)

Эквивалентное (46) уравнение имеет вид

[*, + ?] Ф = О, (54)

где

3 3 3

Ь = П + = £ П + У=П + (55)

3=1 3=1»?У 3-1

Двумерные волновые операторы ^ определены следующим образом:

= ^ + ^ + (56)

С учетом граничных условий Ф —> Фсз (54) преобразуется в уравнение типа Липпмана-Швингера .

Ф = фсз-0у-ф, (57)

где 0 — резольвента оператора 1) (55). Проекция (57) на функции \М) дает систему уравнений относительно коэффициентов разложения

а=д^-®Уа. (58)

Здесь: © и V — матрицы с элементами (Л/"| <5 |Л/"') и (Л/"| V |Л/"'), соответственно; а — вектор с компонентами ау: = (Л/] Фсз)-

В последующих разделах главы излагается способ построения матрицы 0 оператора функции Грина, которая является формально обратной бесконечной матрице I) дальнодействующего оператора I] (55).

В третьем разделе построены матрицы резольвент одномерных и двумерных операторов. Матрица одномерного оператора ^ + 2Ы + /¿С^ в базисе (53) является трехдиагональной. Таким образом, формально обратная ей матрица , ^С) оператора функции Грина может быть построена с использованием двух линейно независимых решений зп, ¿¡^ соответствующего трехчленного рекуррентного соотношения.

Получено матричное представление в резольвенты ¿7 двумерного оператора ^ + + 2Ы + /хС(£ + ?])|. Матрица С, которая формально является обратной к бесконечной матрице двумерного оператора, представляется в виде интеграла свертки от матриц и gтp одномерных операторов

функций Грина по параметру разделения:

^íC) = лJ цС) ® -рС). (59)

В четвертом разделе на основе соотношения полноты собственных функций двумерного оператора ^ + ^ + 2И + + ^ получено представление матрицы 0 шестимерного оператора кулоновской функции Грина в виде контурного интеграла-свертки по параметрам разделения Су.

й = N / / йСкЮъ С^^з; тС1) ® ва^з; щ3С2)

(60)

где О] — матрицы (59) операторов двумерных функций Грина С^.

В заключении приводятся и обсуждаются основные результаты, полученные в диссертации.

Приложение А содержит необходимые элементы ./-матричного формализма кулоновского рассеяния, используемого в пятой главе.

В приложении Б дается вывод выражения для трехкратного дифе-ренциального сечения ТБСЭ (е, 2е) реакции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Сформулирован метод обратной задачи в раках ./-матричного подхода к проблеме рассеяния. В основе формализма лежит аналогия метода ./-матрицы и Я-матричной теории рассеяния. Разработаны версии метода обратной задачи для осцилляторного и лагерровского базисов.

• В рамках ./-матричной теории дана формулировка метода обратной задачи для случая упругого рассеяния с учетом сильной связи каналов. Показано, что метод позволяет строить нелокальные сепарабель-ные Лг]У-взаимодействия, которые хорошо описывают данные нуклон-нуклонного рассеяния и при этом задаются матрицей невысокого порядка, что особенно актуально в многочастичных расчетах.

Установлено соответствие между методом J-матрицы и дискретной моделью квантовой механики, основанной на конечно-разностным уравнении Шредингера. Для дискретных версий уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана получены алгебраические аналоги в рамках J-матичной теории. На основе J-матричного формализма обратной задачи в сочетании с аналогом уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана построена процедура обращения данных рассеяния, свободная от нефизических варьируемых параметров.

В рамках J-матричного подхода развит метод обратной задачи в случае различных порогов в каналах. Предложен способ аналитического продолжения 5-матрицы в область энергий, отвечающей закрытым каналам, который позволяет получить действительную симметричную матрицу гамильтониана в осцилляторном базисе.

Предложен и разработан J-матричный подход к кулоновской проблеме трех тел, основанный на решении уравнений Фаддеева-Меркурьева. Метод позволяет корректно описать асимптотику волновой функции кулоновской системы трех тел в двухчастичной области, где исходное уравнение сводится к интегральному уравнению типа Липпмана-Швингера. При этом полностью учитывается спектр (дискретный и непрерывный) двухчастичной подсистемы.

Численная схема, основанная на J-матричном формализме кулоновской системы трех тел, использована в расчетах дифференциальных сечений (е, 2е) и (е, Зе) реакций на атоме гелия. Результаты хорошо согласуются с экспериментом как по форме, так и по абсолютной величине. Таким образом, выполненные вычисления демонстрируют важность корректного учета спектра двухчастичной системы. Считающийся достаточно точным метод close coupling convergent (ССС), в рамках которого делается замена непрерывного спектра конечным набором состояний с положительной энергией, сталкивается с серьезными трудностями при описании абсолютной величины дифференциального сечения, особенно применительно к случаю (е, Зе) реакции.

Получено представление в штурмовском базисе резольвенты асимптотического трехчастичного волнового оператора, которое может быть

использовано в уравнении Липпмана-Швингера относительно волновой функции состояния континуума системы трех заряженных частиц. Матрица шестимерной функции Грина представлена в виде интеграла-свертки по константам разделения.

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зайцев С. А. Трехдиагональная параметризация взаимодействия в дискретном подходе к проблеме рассеяния // Теоретическая и математическая физика. - 1998. - Т. 115. - С. 263-274.

2. Зайцев С. А. Приближенный метод обратной задачи рассеяния в J-матричном подходе. Случай двух взаимодействующих каналов // Теоретическая и математическая физика. - 1999. - Т. 121. - С. 424-435.

3. Zaitsev S. A., Kramar Е. I. NN potentials from inverse scattering in the J-matrix approach // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. - 2001. - V. 27. -P. 2037-2049.

4. Zaytsev S. A. Multi-channel inverse scattering problem in the J-matrix approach // Proceedings of XVIII International Workshop "High Energy Physics and Quantum Field Theory (QFTHEP'2003)", September 4-11,

2003, Samara—Saratov. - Moscow: D. V. Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Moscow State University, 2004. - P. 458-464.

5. Зайцев С. А. Структура S-матрицы и метод обратной задачи в J-матричном подходе // Теоретическая и математическая физика. -

2004. - Т. 140. - С. 29-43.

6. Shirokov А. М., Mazur A. I., Zaytsev S. A., Vary J. P., Weber Т. A. Nucleon-nucleon interaction in the J-matrix inverse scattering approach and few-nucleon systems // Phys. Rev. C. - 2004. - V. 70. - P. 044005-1044005-24.

7. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Описание реакции (е,3е) на атоме гелия на основе решения уравнения Фадцеева-Меркурьева в J-матричном подходе // Вестник ТОГУ. - 2005. - № 1 (1). - С. 43-50.

8. Zaytsev S. A. A discrete version of the inverse scattering problem and the J-matrix method // Inverse Problems. - 2005. - V. 21. - P. 1061-1074.

9. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Решение уравнений Фадцеева-Меркурьева в J-матричном подходе: применение к кулоновским задачам // Ядерная физика. - 2006. - Т. 69. - С. 276-283.

10. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Yu. V., Lahmam-Bennani A. Application of the J-matrix method to Faddeev-Merkuriev equations for (e,2e) reactions: Beyond pseudostates // Phys. Rev. A. - 2007. - V. 75. -P. 022718-1-022718-11.

11. Zaytsev S. A. J-matrix inverse-scattering approach for coupling channels with different thresholds // Phys. Rev. A. - 2007. - V. 76. - P. 062706-1062706-8.

12. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Описание непрерывного спектра трехчастичной кулоновской системы в J-матричном подходе // Ядерная физика. - 2007. - Т. 70. - С. 706-713.

13. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В., Ламам-Беннани А. Проблема трех заряженных тел в J-матричном подходе // Вестник ТОГУ. - 2007. - № 4 (7). - С. 73-80.

14. Knyr V. A., Zaytsev S. A., Popov Yu. V., Lahmam-Bennani A. The J-Matrix Method: A Universal Approach to Description of Ionization of Atoms // The J-Matrix Method. Developments and Applications. - Edited by Alhaidari A. D., Heller E., Yamani H. A., Abdelmonem M. S. - Springer Science+Business Media B.V., 2008. - P. 137-143.

15. Shirokov A. M., Mazur A. I., Zaytsev S. A., Vary J. P., Weber T. A. Nucleon-Nucleon Interaction in the J-Matrix Inverse Scattering Approach and Few-Nucleon Systems // The J-Matrix Method. Developments and Applications. - Edited by Alhaidari A. D., Heller E., Yamani H. A., Abdelmonem M. S. - Springer Science+Business Media B.V., 2008. -P. 219-268.

16. Zaytsev S. A. One- and two-dimensional Coulomb Green's function matrices in parabolic Sturmian basis // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008.

- V. 41. - P. 265204-1-265204-12.

17. Knyr V. A., Zaytsev S. A., Popov Yu. V. and Lahmam-Bennani A. A new theoretical approach to (e,2e) and (e,3e) processes //J. Phys.: Conf. Ser. - 2008. - V. 141 - P. 012008-1-012008-6.

18. Zaytsev S. A. The parabolic Sturmian-function basis representation of the six-dimensional Coulomb Green's function //J. Phys. A: Math. Theor. -2009. - V. 42. - P. 015202-1-015202-16.

Список цитируемой литературы

1. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц // Москва: Наука, 1985. - 400 с.

2. Heller Е. J., Yamani Н.А. New approach to quantum scattering: Theory // Phys. Rev. A. -1974. - V. 9. - P. 1201-1208.; Yamani H.A., Fishman L. J-matrix method: extension to arbitrary angular momentum and to Coulomb sacttering // J. Math. Phys. - 1975. - V. 16. - P. 410-420.

3. Shirokov A. M, Vary J. P., Mazur A. I., Weber T. A. Realistic nuclear Hamiltonian: Ab exitu approach // Phys. Lett. B. - 2007. - V. 644. - P. 33-37.

4. Bang J. M., Mazur A. I., Shirokov A. M., Smirnov Yu. F., Zaytsev S. A. P-matrix and J-matrix Approaches: Coulomb Asymptotics in the Harmonic Oscillator Representation of Scattering Theory // Ann. Phys. - 2000. - V. 280. - P. 299-335.

5. Stoks V. G. J., Klomp R. A. M., Terheggen C. P. F., and de Swart J. J. Construction of high-quality NN potential models // Phys. Rev. C. - 1994. - V. 49. - P. 2950-2962.

6. Shirokov A. M., Vary J. P., Mazur A. I., Zaytsev S. A., and Weber T. A. NN potentials from the ^-matrix inverse scattering approach // J. Phys. G. - 2005. - V. 31. - P. S1283-S1289; Shirokov A. M., Vary J. P., Mazur A. I., Zaytsev S. A., Weber T. A. Novel NN interaction and spectroscopy of light nuclei // Phys. Lett. B. - 2005. - V. 621. - P. 96-101; Мазур А. И., Широков A. M., Вэри Дж. П., Вебер Т. А., Зайцев С. А., Мазур Е. А. Нелокальное нуклон-нуклонное взаимодействие JISP // Известия РАН, Серия физическая. - 2007. - Т. 71. -С. 781-790.

7. Dupré С., Lahmam-Bennani A., Duguet A., Mota-Furtado F, O'Mahony Р F. and Dal Cap-pello С. (e,2e) triple differential cross sections for the simultaneous ionization and excitation of helium // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 1992. - V. 25. - P. 259-276.

8. A. S. Kheifets, Igor Bray, I. E. McCarthy, Bo Shang Theoretical triple differential cross section of the helium atom ionization with excitation to the n=2 ion state // Phys. Rev. A. - 1994. -V. 50. - P. 4700-4706.

9. Kheifets A., Bray I., Lahmam-Bennani A., Duguet A. and Taouil I. A comparative experimental and theoretical investigation of the electron-impact double ionization of He in the keV regime // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 1999. - V. 32. - P. 5047-5065.

10. Jones S., Madison D. H. Role of the Graund State in Electron-Atom Double Ionization // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V. 91. - P. 073201-1-073201-4.

11. Brauner M., Briggs J. S. and Klar H. lYiply-differential cross section for ionization of hydrogen atoms by electrons and positrons // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 1989. - V. 22. - P. 22652287.

Зайцев Сергей Александрович

Алгебраический подход в квантовой теории рассеяния двух и

трех частиц

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 15.05.2009

Формат 60 х 84^. Усл. печ. л. 1.86

Заказ 149 Тираж 100 экз.

Издательство Тихоокеанского государственного университета 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136

Введение б

ЧАСТЬ I. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Глава I. Обратная задача потенциального рассеяния в J-матричном подходе

1.1. Потенциальное рассеяние в J-матричном подходе

1.2. Осцилляторный базис

1.2.1. Элементы J-матричного формализма

1.2.2. Фазовоэквивалентные потенциалы

1.2.3. Обратная задача

1.2.3.1. Отсутствие связанных состояний

1.2.3.2. Изолированные состояния

1.2.3.3. Связанные состояния

1.2.3.4. Примеры

1.3. Лагерровский базис

1.3.1. Элементы J-матричного формализма

1.3.2. Обращение данных рассеяния 45 1.3.2.1. Дополнительные уравнения

1.3.3. Пример

Глава II. J-матричный аналог уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана

2.1. Введение

2.2. Осцилляторный базис 60 2.2.1. Алгебраическая версия уравнения Марченко

2.2.2. Особенности численной реализации метода

2.3. Лагерровский базис 68 2.3.1. Дискретный аналог уравнения Марченко

2.4. Алгебраическая версия уравнения Гельфанда-Левитана

2.4.1. Спектральная функция

2.4.2. Дискретный аналог процедуры Гельфанда-Левитана

5.2. Рассеяние частицы на двухчастичной системе в J-матричном подходе 139

5.3. Пример: упругое рассеяние электрона на атоме водорода 150

5.4. Трехкратное дифференциальное сечение (е, 2е)-реакции на атоме гелия 156

Глава VI. Описание двукратной ионизации атома гелия электронным ударом в J-матричном подходе

6.1. Введение 166

6.2. Волновая функция конечного состояния

6.3. Результаты расчетов

167

168

Глава VII. Представление шестимерной кулоновской функции Грина в базисе штурмовских функций от параболических координат

7.1. Сепарабельная аппроксимация уравнения Шредингера 181

7.2. Дискретный аналог уравнения Липпмана-Швингера 186

7.3. Матрицы одномерной и двумерной кулоновских функций Грина 188

7.3.1. Одномерные функции Грина 189

7.3.2. Ортогональные полиномы рп и матрица двумерной функции Грина 192

7.4. Матрица шестимерной кулоновской функции Грина 194

7.4.1. Соотношения полноты 195

7.4.1.1. Непрерывный спектр 195

7.4.1.2. Дискретный спектр 196

7.4.1.3. Одномерные соотношения полноты 197

7.4.1.4. Двумерное соотношение полноты 199

7.4.2. Контурные интегралы 203

7.4.3. Шестимерная функция Грина 206

Заключение и благодарности 209

Приложение А 212

Приложение Б 214

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 217

Введение

Рассеяние в системе нескольких частиц является актуальной и сложной задачей квантовой механики, окончательное решение которой не получено до сих пор. Методы построения волновой функции системы, эффективные при низких энергиях, оказываются несостоятельными с ростом энергии, когда открывается большое число каналов. При этом волновая функция системы трех тел принадлежит непрерывному спектру и задается сложными граничными условиями в конфигурационном пространстве, соответствующими множеству двух- и трехчастичных каналов. Присутствие в системе дальнодействугощих сил приводит к существенному усложнению картины асимптотического движения частиц. Несмотря на решение принципиальных вопросов описания системы двух и трех тел с кулоновским и сильным взаимодействием [134-136], практическое применение методов, основанных на уравнениях Шредингера и Фаддеева-Меркурьева, для расчета наблюдаемых рассеяния составных заряженных частиц остается очень сложным в численной реализации и не может обойтись без использования приближений, последствия которых с трудом поддаются оценке. По этой причине в настоящее время продолжаются активные поиски иных независимых методов учета кулоновского взаимодействия в системе нескольких тел. При этом аналитическое решение удается найти лишь в немногих специальных случаях. В работах [135, 137] получено асимптотическое решение для волновой функции системы трех тел в области, где расстояние между всеми частицами намного превышает характерный размер системы. Предельный случай, рассмотренный в работах [138-141], соответствует конфигурации, когда одна из координат Якоби много больше другой. Исследование состояния низкоэнергетической фрагментации атомной системы в работах [142, 143] также может служить примером аппроксимации решения уравнения Шредингера для трехчастичного континуума. Альтернативный подход к описанию рассеяния в системе трех заряженных частиц предложен в работах [144, 145]. В данном подходе к трехчастичному гамильтониану применяется унитарное так называемое кулоновское Фурье-преобразование, в результате которого из гамильтонинана исключается кулоновское взаимодействие. Метод теоретического исследования реакций без использования волновых функций непрерывного спектра предложен в работе [146].

Появление быстродействующих компьютеров привело к развитию методов исследования процессов рассеяния с участием трех заряженных частиц на основе прямого численного решения уравнения Шредингера. Среди прочих, можно выделить прямой метод конечных разностей "direct finite-difference method" (FDM) [147, 148], метод "exterior complex scaling" (ECS) [149-151], метод сильной связи со сходимостью "convergent close coupling" (CCC) [55, 152-155], метод Д-матрицы [156-158], метод сильной связи каналов с псевдосостояниями [159-162], метод гиперсферических гармоник [163, 164]. Во всех этих подходах в качестве граничных условий используется информация о поведении волновой функции в асимптотических областях конфигурационного пространства. При энергиях ниже порога трехча-стичного развала, когда открыты только бинарные каналы, как правило, не возникает трудностей с применением этих методов в комбинации с дополнительными приближенными схемами. При превышении порога развала ситуация в корне меняется. Здесь требуется решение, которое удовлетворяет граничным условиям в области, где все частицы сильно удалены друг от друга. Ограниченность вышеперечисленных методов можно проиллюстрировать на примере процесса ионизации электронным ударом водородопо-добного иона. Во всех подходах обеспечивается корректное поведение волновой функции во "внутренней" области конфигурационного пространства, а информация об амплитуде ионизации извлекается из условия сшивки решения с граничными условиями в асимптотической области, отвечающими процессу ионизации. При этом в каждом из методов используется свое приближение граничных условий. Например, в ССС-методе граничные условия определяются способом дискретизации состояний континуума мишени. Амплитуда ионизации строится путем прернормировки квадратично интегрируемых псевдосостояний мишени в соответствии с состояниями истинного континуума [153]. Вместе с тем состояния трехчастпчного континуума во всех этих подходах аппроксимируются произведением двух кулоновских волн, соответствующих движению электронов в полях с фиксированными зарядами, т. е. не учитывается корелляция между электронами. Это, в частности, приводит к расходимости фазы амплитуды ионизации как функции радиуса сшивки. Для преодоления этих ограничений и устранения неоднозначности в определении фазы амплитуды ионизации в работах [165 -168] предложена теория ионизации атомов электронным ударом.

В данной диссертации разработана версия метода J-матрицы, применимая к построению высокоточного приближения волновой функции кулоновской системы трех тел, а также предложен метод описания трехчастич-ного кулоновского континуума в контексте базисов L2 функций.

В последние десятилетия для анализа процессов столкновений и реакций были развиты алгебраические подходы, основанные на представлении гамильтониана в полном базисе квадратично интегрируемых (L2) функций. Представление гамильтониана в конечном базисе квадратично интегрируемых функций, давно и широко используется в атомной и ядерной физике для расчета структуры квантовой системы. Вместе с тем наибольший интерес при описании процессов рассеяния и реакций представляет L2 дискретизация континуума. Описание непрерывного спектра гамильтониана в контексте полных L2 базисов является актуальным, поскольку позволяет использовать в этих задачах алгебраические методы вместо решения систем дифференциальных уравнений.

Существуют различные способы получения информации о рассеянии из матричного представления гамильтониана в конечном L2 базисе. Например, метод псевдосостояний и техники эквивалентных квадратур [28-32] (см., также работу [33] и цитируемую в ней литературу) используют дискретизацию непосредственно как способ интерполяции функции спектральной плотности. Иная концепция реализована в так называемом методе дискретных базисов (discrete basis set method) [34-39], основанном на вариационном принципе Швингера [40, 41], в рамках которого дальнодействующая часть гамильтониана учитывается точно, т. е. асимптотика решения является правильной. В этом подходе представление дальнодействующей части Н0 гамильтониана Н = Hq + V в полном базисе комбинируется с аппроксимацией короткодействующего потенциала V в конечном подпространстве базисных функций, в качестве которых используются гауссоиды. В результате исходное уравнение Липпмана-Швингера сводится к системе алгебраических уравнений относительно элементов Т-матрицы (i^-матрицы).

К этой второй группе методов дискретизации континуума можно отнести и один из наиболее эффективных дискретных подходов, известных в атомной физике, — метод J-матрицы [42, 43],— в рамках которого волновая функция состояния непрерывного спектра формально представляется в виде бесконечного разложения по собственным функциям гармонического осциллятора или по лагерровским базисным функциям. Представление дальнодействующей части Hq гамильтониана Н в этих базисах имеет вид матрицы Якоби. Таким образом, соответствующее Hq уравнение Шредин-гера преобразуется в трехчленное рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения волновой функции. Тем самым устанавливается связь метода с теорией ортогональных полиномов и открывается возможность использования этого мощного математического аппарата в теории рассеяния. С точки зрения формализма и численной реализации метод J-матрицы аналогичен Д-матричной теории рассеяния (см., например, [44, 45]). В рамках J-матричного подхода язык конфигурационного пространства, на котором сформулирована теория Д-матрицы, переведен на язык пространства базисных функций. Кроме того в работе [46] показано, что, если определить оператор проектирования на подпространство первых N базисных функций (которым ограничивается область действия потенциала Vм) , то точное решение проблемы рассеяния на модельном потенциале Vм может быть также получено с использованием формализма Фешбаха [47]. Тем самым доказана эквивалентность теории Фешбаха и метода J-матрицы, в рамках которого л А А А л пространство L функций с помощью проекторов Рдг и Qn — J — -P/v также разделяется на "внутреннюю" и "внешнюю'" области. В работе [48] проведено сопоставление метода J-матрицы с другими методами L2 дискретизации континуума. В частности, предложена J-матричная интерпретация положительных собственных значений обрезанной матрицы гамильтониана. В работах [49-51] дано теоретико-групповое обоснование метода J-матрицы.

В частности показано, что динамической симметрией для гамильтонианов, совместимых с J-матричным формализмом, является 50(2, 1). Обобщение J-матричной теории на случай многоканального рассеяния в формализме сильной связи с конечным числом дискретных псевдосостояний мишени было также выполнено в работах [42, 43, 52, 53] и с успехом применено к описанию фоторасщепления Н~ [54]. В этих расчетах сечение рассеяния обнаруживает аномальное поведение при энергиях, лежащих в окрестности энергий псевдосостояний. В работе [55] показано, что проблема ложных ре-зонансов может быть решена путем увеличения порядка матрицы гамильтониана (что приводит к возрастанию числа псевдосостояний). В работах [56-59] продемонстрировано, что комплексный скейлинг в сочетании с формализмом метода J-матрицы позволяют получить эффективную процедуру поиска резонансных полюсов ^-матрицы. Показано, что точный учет здесь оператора кинетической энергии позволяет существенно повысить скорость сходимости результатов по сравнению со стандартным методом комплексного скейлинга, в котором используется конечный L2 базис. Применение процедуры к расчету структуры двухатомных молекул и системы, взаимодействие в которой задано в виде сингулярного потенциала Юкавы, рассмотрено в работах [60, 61] и [62], соответственно. Метод вычисления полюсов ^-матрицы в случае атомных систем также обсуждается в работе [63]. Матричные представления операторов свободной и кулоновской функций Грина в осцилляторном и лагерровском базисах получены в работах [64, 65]. Обобщение этих результатов на случай сильной связи каналов приводится в работе [66], где также получено решение дискретного аналога многоканального уравнения Липпмана-Швингера. Авторы работы [67] попытались распространить формализм метода J-матрицы на произвольный базис L2 функций. Возможности J-матричного подхода в описании непрерывного спектра могут быть использованы в сочетании с различными методами исследования атомной структуры. Так, например, комбинация спектрального метода (spectral method) [68] и метода J-матрицы была применена к расчету сечений многофотонной однократной и двукратной ионизации Не и Н~ [69].

В ядерной физике аналогичный подход был разработан независимо как осцилляторное представление теории рассеяния [70-73]. Для описания рассеяния ядерных составных частиц была также предложена алгебраическая версия метода резонирующих групп (см., например, [74-76]). В рамках осцилляторного представления были рассмотрены эффекты А и нейтронного каналов распада в реакциях с образованием гиперядер [77, 78]. Данный дискретный подход был обобщен на случай истинно многочастичного рассеяния [79] и использован в исследовании монопольных возбуждений ядер в За кластерной модели [80, 81], а также для изучения слабосвязанных ядер в рамках трехчастичной кластерной модели [82, 83]. Алгебраическая версия метода резонирующих групп широко используется в исследовании резонансной структуры легких ядер (см., например, [84-87]).

Дальнейшее развитие метода J-матрицы связано с решением ряда новых нерелятивистских и релятивистских задач [88-99]. Таким образом был существенно расширен класс одномерных и трехмерных потенциалов и специальных базисов L2 функций, представления соответствующих волновых операторов в которых имеет вид матриц Якоби. Так релятивистское обобщение метода J-матрицы было получено в работах [88-91]. Кроме того, в работе [92] сформулировано обобщение метода комплексного скейлинга на релятивистский случай. В работе [93] разработан релятивистский метод J-матрицы в случае рассеяния частиц со спином \ и пространственно распределенной массой. В работе [94] получено решение уравнения Дирака со степенными потенциалами. При этом коэффициенты разложения волновой функции по специальному базису квадратично интегрируемых функций, в котором дираковский оператор трехдиагонален, выражаются через известные ортогональные полиномы. В работах [97, 98] получено аналитическое решение уравнения Шредингера в двумерном случае для движения заряженной частицы в поле электрического квадруполя. Здесь решение представляется в виде разложения по базису двумерных L2 функций, в котором матрицы угловой и радиальной компонент волнового оператора трехдиаго-нальны. В работе [99] к точно решаемым в рамках J-матричного подхода задачам добавлен случай одномерного движения частицы в потенциале бесконечного радиуса с синусоидальным дном.

В J-матричной теории рассеяния линейно независимым решениям дискретного аналога свободного уравнения Шредингера в конфигурационном пространстве соответствуют функции, которые (подобно базисным функциям) регулярны в начале координат. Такого поведения косинусоподобного решения добиваются в результате регуляризации путем соответствующей добавки в правую часть свободного уравнения Шредингера [43]. В работах [100-102] (см. также [ЮЗ]) предложены альтернативные процедуры регуляризации, которые позволяют минимизировать размерность модельного пространства и тем самым существенно увеличить скорость сходимости результатов. ,

Примерно в этот же период времени был предложен и развит так называемый метод сепарабельного разложения потенциала (PSE) [104-111], подобный по концепции, но несколько отличающийся технически от J-матричного подхода к проблеме рассеяния. В рамках PSE-метода также используется представление оператора потенциальной энергии в конечном подпространстве L2 базисных функций. В результате исходное уравнение Липпмана-Швингера преобразуется в систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения волновой функции системы по базисным функциям. При удачном выборе базиса функций матричные элементы оператора функции Грина, которые присутствуют в этом дискретном аналоге уравнения Липпмана-Швингера, вычисляются аналитически. Были разработаны два варианта метода. В работах [104-111] используются собственные функции гармонического осциллятора, для которых получено аналитическое представление оператора свободной функции Грина. Таким образом, этот вариант PSE-метода применим к задачам рассеяния со свободной асимптотикой. В свою очередь, в работах [112-117] применяется так называемый кулоновско-штурмовский базис, что позволяет включить дальнодействующий кулоновский потенциал в оператор функции Грина и тем самым точно учесть кулоновскую асимптотику. Этот вариант PSE-метода — так называемый "Coulomb-Sturmian separable expansion method" (CSSE), — был обобщен на случай кулоновской проблемы трех тел, которая решается на основе уравнений Фаддеева. К настоящему моменту применение CSSE-метода позволило достичь хороших результатов в описании связанных [118] и резонансных [120-122] состояний кулонов-ской трехчастичной системы, а также получить решение проблемы рассеяния при энергии ниже порога трехчастичного развала для случаев сил кулоновского отталкивания [119] и притяжения [123]. Кроме того, в работе [124] показано, что метод также применим к проблеме трех кварков. PSE-метод, очевидно, эквивалентен методу J-матрицы в той же степени, в какой уравнение Липпмана-Швингера эквивалентно уравнению Шредингера. Аппроксимация потенциала V его проекцией VN на подпространство первых N базисных функций, которая применяется в J-матричном подходе, является одним из способов сепарабельного разложения потенциала. В свою очередь, при вычислении матричных элементов оператора функции Грина в рамках CSSE-метода [125, 126] используются трехчленные рекуррентные соотношения, следующие из J-матричной структуры асимптотического гамильтониана. PSE-метод применяется к решению интегральных уравнений; при этом происходит автоматический учет граничных условий. Это свойство интегральных уравнений особенно удобно в случае, когда граничные условия недостаточно хорошо известны, например, при решении кулонов-ской проблемы трех тел.

Метод J-матрицы, его обобщения и модификации широко используются для решения так называемой прямой задачи квантовой теории, когда взаимодействие между частицами считается известным. Составным элементом подобного подхода является процедура аппроксимации исходного потенциала V оператором VN конечного ранга N. Причем значение N должно быть

Л. , достаточно высоким, чтобы минимизировать погрешность ||V — V ||. Вместе с тем интерес представляет получение оператора взаимодействия VN, исходя из экспериментальных данных по рассеянию. При этом актуальной является минимизация ранга N искомого двухчастичного сепарабельного потенциала, что позволяет существенно упростить расчет лшогочастичных систем. В диссертации дается формулировка в рамках алгебраического подхода метода обратной задачи (см., например, [127-132], а также книгу [133] и цитируемую в ней литературу), который позволяет по данным рассеяния получить матричное представление взаимодействия в базисе осциллятор-ных и лагерровских функций.

Цель работы состояла в разработке алгебраического подхода в квантовой теории рассеяния двух и трех частиц, для чего решены следующие задачи:

• Формулировка метода обратной задачи в рамках алгебраического подхода в теории рассеяния.

• Построение формализма и разработка метода решения проблемы континуума кулоновской системы трех тел в рамках метода J-матрицы.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

• Разработана J-матричная версия формализма метода обратной задачи, в рамках которой по фазе рассеяния Se(E) при одном значении углового момента £, заданной при всех энергиях Е > 0, и дискретному спектру строится матрица потенциала в заданном базисе L2 функций. Метод сформулирован для двух видов базисов: осцилляторного и лагерровского. Последний вариант применим также к рассеянияю одноименно заряженных частиц.

• Разработанный в рамках J-матричного подхода метод обратной задачи обобщен на случай упругого рассеяния с учетом связи парциальных каналов. Этот вариант формализма и его модификации легли в основу метода построения нового класса нелокальных нуклон-нуклонных потенциалов с осцилляторными формфакторами.

• В рамках J-матричной теории рассеяния получены алгебраические аналоги уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана. Показано, что формализм J-матричной версии метода обратной задачи в сочетании с алгебраическими аналогами уравнений Марченко или Гельфанда-Левитана могут служить основой эффективной схемы построения матриц потенциалов. При этом процедура восстановления взаимодействия не содержит нефизических варьируемых параметров.

• Сделано обобщение формализма алгебраической версии обратной задачи на случай пеупругого рассеяния с различными порогами в каналах. Главная трудность здесь заключается в том, что для эксперимента доступна лишь подматрица открытых каналов полной 5-матрицы. В диссертации найден способ аналитического продолжения 5"-матрицы в область энергий, соответствующей закрытым каналам.

• В рамках J-матричного подхода разработан метод описания кулонов-ской системы трех тел на основе уравнений Фаддеева-Меркурьева. При построении волновой функции системы трех заряженных частиц корректно учтены спектры двухчастичных подсистем. Метод успешно применен для расчета (е, 2е) и (е, Зе) процессов на атоме гелия.

• Известно, что уравнение Шредингера для кулоновсой системы трех тел, записанное в обобщенных параболических координатах, в асимптотической области O.Q, где все частицы сильно удалены друг от друга, разделяется. В диссертации получено представление резольвенты для соответствующего асимптотического кулоновского волнового оператора в виде контурного интеграла-свертки по константам разделения.

Научная и практическая значимость результатов

Разработанный в настоящей работе формализм дискретной версии обратной задачи может быть использован для построения по данным рассеяния нелокальных потенциалов, задаваемых в виде матриц в осцилляторном или лагерровском базисах. В частности, построенный формализм составил основу метода получения нового класса NN потенциалов — J-matrix inverse scattering potentials (JISP) [209], с помощью которых с высокой точностью описываются не только данные по NN рассеянию, но также основное и резонансные состояния легких ядер. Построение корректной волновой функции состояния континуума системы трех заряженных частиц является актуальным во многих областях физики. Полученная в диссертации в рамках J-матричного подхода волновая функция кулоновской системы трех тел может быть использована, например, при теоретическом описании процессов ионизации атомов электронным ударом ( (е, 2е) и (е, Зе) реакции) или двойной фотоионизации ((7,2е) реакция). Конкретные расчеты были выполнены для атома гелия и дали очень хорошие результаты. Полученное выражение для оператора шестимерной кулоновской функции Грина может быть использовано в дискретном аналоге уравнения Липпмана-Швингера для волновой функции состояний континуума кулоновской системы трех тел.

Первая глава посвящена описанию метода обратной задачи потенциального рассеяния в рамках J-матричного подхода, предложенного в работах [1, 5]. Кратко излагается J-матричная теория рассеяния [28, 42], в рамках которой волновая функция формально представляется в виде разложения по собственным функциям гармонического осциллятора и лагер-ровским базисным функциям. Приводится формулировка метода [1, 5] обращения данных рассеяния в контексте J-матричной теории. При этом потенциал ищется в виде сепарабельного разложения конечного ранга с осцилля-торными и лагерровскими формфакторами. Матрица искомого потенциала определена с точностью до фазовоэквивалентного преобразования.

Во второй главе в рамках J-матричной теории рассеяния получены алгебраические аналоги [7] уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана. Рассмотрены особенности численной реализации уравнений, связанные с поведение фазы рассеяния на сепарабельном потенциале с оцилляторными и лагерровскими форм факторами конечного ранга в высокоэнергетической области. На основе этого выражения предложен способ модификации при высоких энергиях данных рассеяния, используемых при вычислении ядер уравнений. Достоинством процедур обращения данных рассеяния, основанных на алгебраических аналогах уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана, является отсутствие нефизических варьируемых параметров.

В третьей главе диссертации приводится обобщение [2-4, б, 15] метода [1, 5] обратной задачи в J-матричном подходе на случай сильной связи каналов. Искомые парциальные потенциалы имеют вид сепарабельного разложения с осцилляторными и лагерровскими формфакторами. Здесь мы обсуждаем упругое рассеяние, когда во всех каналах энергия одинакова. Формулировка метода дана для двухканального случая. Процедура обращения данных рассеяния построена на основе формальной аналогии метода J-матрицы и -R-матрнчной теории рассеяния. Работа метода иллюстрируется на примере обращения данных гф-рассеяния в канале 3S\ — 3Di для парциальных потенциалов с осцилляторными формфакторами. Кроме того, приводятся примеры восстановления рр- и np-потенциалов с лагер-ровскими формфакторами. В последенем случае на основе дополнительной входной информации в виде волновой функции дейтрона, соответствующей потенциалу Nijm I [210], построено фазовоэквивалентное преобразование матрицы гамильтониана.

В четвертой главе диссертации дается обобщение [10] метода [24] обратной задачи в рамках /-матричной теории на случай неупругого рассеяния с различными порогами в каналах. Предлагается способ аналитического продолжения б'-матрпцы в энергетическую область, которая соответствует закрытым каналам. В процессе восстановления потенциала с осцилляторными формфакторами используется алгебраический аналог [7] уравнений Марченко, сформулированный в контексте J-теории многоканального рассеяния. Предложена итерационная процедура, которая позволяет оценить вклад закрытых каналов.

В пятой главе диссертации излагается J-матричный метод [8, 9, 12] решения кулоновской проблемы трех тел, основанный на уравнениях Фаддеева-Меркурьева. Волновая функция ищется в виде разложения по базису лагерровских функций. В отличие от метода псевдосостояний в нашем подходе корректно учитывается спектр двухчастичных подсистем. Предлагаемый формализм позволяет учесть поведение волновой функции системы в пределах двухчастичной области, где уравнение Фаддеева-Меркурьева сводится к уравнению типа Лигшмана-Щвингера. Коэффициенты разложения волновой функции удовлетворяют дискретному аналогу этого уравнения. Эффективность предлагаемой схемы расчетов демонстрируется в на примере реакции однократной ионизации атома гелия электронным ударом.

В шестой главе диссертации приводится J-матричный формализм [11, 13, 14, 17] описания непрерывного спектра трехчастичной кулоновской системы, который применен к теоретическому исследованию (е, Зе) реакции на атоме гелия. Рассчитанные сечения реакции хорошо согласуются с экспериментальными данными как по форме, так и по абсолютной величине.

В седьмой главе диссертации излагается метод [16, 18] решения проблемы трехчастичного кулоновского континуума в контексте базиса параболических штурмовских L2 функций. Найдено матричное представление резольвенты сепарабельного приближения трехчастичного кулоновского волнового оператора. Предлагается использовать полученную матрицу оператора шестимерной функции Грина в уравнении Липпмана-Швингера относительно волновой функции континуума трехчастичной кулоновской системы.

По теме диссертации опубликованы работы [1-18].

ЧАСТЬ I

МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

В заключение сформулируем основные результаты и выводы данной работы:

• Сформулирован метод обратной задачи в раках J-матричного подхода к проблеме рассеяния. В основе формализма лежит аналогия метода J-матрицы и Д-матричной теории рассеяния. Разработаны версии метода обратной задачи для осцилляторного и лагерровского базисов.

• В рамках J-матичной теории дана формулировка метода обратной задачи для случая упругого рассеяния с учетом сильной связи каналов. Показано, что метод позволяет строить нелокальные сепарабель-ные iVTV-взаимодействия, которые хорошо описывают данные нуклон-нуклонного рассеяния и при этом задаются матрицей невысокого порядка, что особенно актуально в многочастичных расчетах.

• Установлено соответствие между методом J-матрицы и дискретной моделью квантовой механики, основанной на конечно-разностным уравнении Шредингера. Для дискретных версий уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана получены алгебраические аналоги в рамках J-матичной теории. На основе J-матричного формализма обратной задачи в сочетании с аналогом уравнений Марченко и Гельфанда-Левитана построена процедура обращения данных рассеяния, свободная от нефизических варьируемых параметров.

• В рамках J-матричного подхода развит метод обратной задачи в случае различных порогов в каналах. Предложен способ аналитического продолжения б'-матрицы в область энергий, отвечающей закрытым каналам, который позволяет получить действительную симметричную матрицу гамильтониана.

• Предложен и разработан J-матричный подход к кулоновской проблеме трех тел, основанный на решении уравнений Фаддеева-Меркурьева. Метод позволяет корректно описать асимптотику волновой функции кулоновской системы трех тел в двухчастичной области, где исходное уравнение сводится к интегральному уравнению типа Липпмана-Швингера. При этом полностью учитывается спектр двухчастичной подсистемы.

• Численная схема, основанная на J-матричном формализме кулоновской системы трех тел, использована в расчетах дифференциальных сечений (е, 2е) и (е, Зе) реакций на атоме гелия. Результаты хорошо согласуются с экспериментом, как по форме, так и по абсолютной величине. Таким образом, выполненные вычисления демонстрируют важность корректного учета спектра двухчастичной системы. Считающийся достаточно точным метод close coupling convergent (ССС), в рамках которого делается замена непрерывного спектра конечным набором состояний с положительной энергией, сталкивается с серьезными трудностями при описании абсолютной величины дифференциального сечения особенно применительно к случаю (е, Зе) реакции.

• Получено представление в штурмовском базисе резольвенты асимптотического трехчастичного волнового оператора, которое может быть использовано в уравнении Липпмана-Швингера относительно волновой функции состояния континуума системы трех заряженных частиц. Матрица шестимерной функции Грина представлена в виде интеграла-свертки по константам разделения. Подынтегральное выражение представляет собой прямое произведение матриц трех функций Грина, соответствующих двумерным операторам, на которые разделяется полный шестимерный волновой оператор на асимптотике. Получено соотношение полноты собственных решений этих двумерных операторов. С его помощью определены контуры интегрирования.

Благодарности

Автор глубоко признателен д.ф.-м.н., профессору В. А. Кныру и к.ф-м.н., профессору Ю. В. Попову за неоценимую помощь в выполнении настоящего исследования.

1. Зайцев С. А. Трехдиагональная параметризация взаимодействия в дискретном подходе к проблеме рассеяния // ТМФ 1998. - Т. 115. - С. 263-274.

2. Зайцев С. А. Приближенный метод обратной задачи рассеяния в J-матричном подходе. Случай двух взаимодействующих каналов // ТМФ 1999. - Т. 121. - С. 424-435.

3. Zaitsev S. A., Kramar Е. I. NN potentials from inverse scattering in the J-matrix approach // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2001. - V. 27. -P. 2037-2049.

4. Зайцев С. А. Структура S-матрицы и метод обратной задачи в J-матричном подходе // ТМФ 2004. - Т. 140. - С. 29-43.

5. Shirokov А. М., Mazur A. I., Zaytsev S. A., Vary J. P., Weber Т. A. Nucleon-nucleon interaction in the J-matrix inverse scattering approach and few-nucleon systems // Phys. Rev. C. 2004. - V. 70. - P. 044005-1-044005-24.

6. Zaytsev S. A. A discrete version of the inverse scattering problem and the J-matrix method // Inverse Problems. 2005. - V. 21. - P. 1061-1074.

7. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Описание реакции (е, Зе) на атоме гелия на основе решения уравнения Фаддеева-Меркурьева в J-матричном подходе // Вестник ТОГУ. 2005. - № 1 (1). - С. 43-50.

8. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Решение уравнений Фаддеева-Меркурьева в J-матричном подходе: применение к кулоновским задачам // Ядерная физика. 2006. - Т. 69. - С. 276-283.

9. Zaytsev S. A. J-matrix inverse-scattering approach for coupling channels with different thresholds // Phys. Rev. A. 2007. - V. 76. - P. 062706-1062706-8.

10. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Описание непрерывного спектра трехчастичной кулоновской системы в J-матричном подходе // Ядерная физика. 2007. - Т. 70. - С. 706-713.

11. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Yu. V., Lahmam-Bennani A. Application of the J-matrix method to Faddeev-Merkuriev equations for (e,2e) reactions: Beyond pseudostates // Phys. Rev. A. 2007. - V. 76. - P. 022718-1022718-11.

12. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В., Ламам-Беннани А. Проблема трех заряженных тел в J-матричном подходе // Вестник ТОГУ. 2007.- № 4 (7). С. 73-80.

13. Zaytsev S. A. One- and two-dimensional Coulomb Green's function matrices in parabolic Sturmian basis // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - V. 41. -P. 265204-1-265204-12.

14. Knyr V. A., Zaytsev S. A., Popov Yu. V. and Lahmam-Bennani A. A new theoretical approach to (e,2e) and (e,3e) processes // J. Phys.: Conf. Ser.2008. V. 141 - P. 012008-1-012008-6.

15. Zaytsev S. A. The parabolic Sturmian-function basis representation of the six-dimensional Coulomb Green's function // J. Phys. A: Math. Theor.2009. V. 42. - P. 015202-1-015202-16.

16. Широков A. M., Смирнов Ю. Ф., Зайцев С. А. Некоторые особенности рассеяния в системах с нелокальным взаимодействием // Известия РАН, Серия физическая. 1992. - Т. 56, С. 80-88.

17. Shirokov A. M., Smirnov Yu. F., Zaytsev S. A. Isolated states // Rev. Мех. Fis. Suppl. 1994. - V. 40. - R 74-81.

18. Широков A. M., Смирнов Ю. Ф., Зайцев С. А. Истинно многочастичное рассеяние в осцилляторном представлении // ТМФ. 1998 - Т. 117. -С. 227-248.

19. Shirokov A. M., Vary J. P., Mazur A. I., Zaytsev S. A., and Weber T. A. NN potentials from the J-matrix inverse scattering approach // J. Phys. G. 2005. - V. 31. - P. S1283-S1289.

20. Shirokov A. M., Vary J. P., Mazur A. I., Zaytsev S. A., Weber T. A. Novel NN interaction and spectroscopy of light nuclei // Phys. Lett. B. 2005.- V. 621. P. 96-101.

21. Bang J. M., Mazur A. I., Shirokov A. M., Smirnov Yu. F., Zaytsev S. A. P-matrix and J-matrix Approaches: Coulomb Asymptotics in the Harmonic Oscillator Representation of Scattering Theory // Ann. Phys. 2000. -V. 280. - P. 299-335.

22. Мазур А. И., Широков A. M., Вэри Дж. П., Вебер Т. А., Зайцев С. А., Мазур Е. А. Нелокальное нуклон-нуклонное взаимодействие JISP j j Известия РАН, Серия физическая. 2007. - Т. 71. - С. 781-790.

23. Shirokov А. М. and Zaytsev S. A. The J-Matrix and Isolated States // The J-Matrix Method. Developments and Applications. Edited by Alhaidari A. D., Heller E., Yamani H. A., Abdelmonem M. S. - Springer Science+Business Media B.V., 2008. - P. 103-115.

24. Yamani H. A. and Reinhardt W. P. L2 discretization of the continuum: Radial kinetic energy and Coulomb Hamiltonian // Phys. Rev. A. 1975.- V. 11. P. 1144-1156.

25. Broad J. T. Gauss quadrature generated by diagonalization of H in finite1. bases // Phys. Rev. A. 1978. - V. 18. - P. 1012-1027.

26. Reinhardt W. P. L2 discretization of atomic and molecular electronic continua: moment, quadrature and J-matrix techniques // Сотр. Phys. Comm. 1979. - V. 17. - P. 1-21.

27. Broad J. T. Weyl's theory in an L2-basis Gauss quadrature of the spectral density // Phys. Rev. A. 1982. - V. 26 - P. 3078-3092.

28. Kaufmann K., Baumeister W. and Jungen M. Universal Gaussian basis sets for an optimum representation of Rydberg and continuum wavefunctions // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1989. - V. 22. - P. 2223-2240.

29. Hermann M. R., Langhoff P. W. Explicit Hilbert space representations of Schrodinger states: Definitions and properties of Stieltjes-Tchebycheff orbitals // J. Math. Phys. 1983. - V. 24 - P. 541-547.

30. Rescigno T. N., McCurdy C. W. and McKoy V. Discrete basis set approach to nonspherical scattering // Chem. Phys. Lett. 1974. - V. 27. - P. 401404.

31. Rescigno T. N., McCurdy C. "VV. and McKoy V. Discrete basis set approach to nonspherical scattering. II // Phys. Rev. A. 1974. - V. 10. - P. 22402245.

32. Rescigno T. N., McCurdy C. W. and McKoy V. Low-energy e~ — H2 elastic cross sections using discrete basis functions // Phys. Rev. A. 1975. -V. 11. - P. 825-829.

33. Fliflet A. W. and McKoy V. Discrete-basis-set method for electron-molecule continuum wave functions // Phys. Rev. A. 1978. - V. 18. - P. 2107-2114.

34. Watson D. K., Lucchese R. R., McKoy V., and Rescigno T. N. Schwinger variational principle for electron-molecule scattering: Application to electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1980. - V. 21. - P. 738744.

35. McCurdy C. W. and Rescigno T. N. Complex-basis-function calculations of resolvent matrix elements: Molecular photoionization // Phys. Rev. A. -1980. V. 21. - P. 1499-1505.

36. Зубарев A. JI. Вариационный принцип Швингера // ЭЧАЯ. 1978. -Т. 9. - С. 453-489.

37. Зубарев A. JI. Вариационный принцип Швингера в квантовой механике // М.: Энергоатомиздат. 1981. - 145 стр.

38. Heller Е. J. and Yamani Н. A. New I? approach to quantum scattering: Theory // Phys. Rev. A. 1974. - V. 9. - P. 1201-1208.

39. Yamani H.A., Fishman L. J-matrix method: extension to arbitrary angular momentum and to Coulomb sacttering // J. Math. Phys. 1975. - V. 16.- P. 410-420.

40. Lane A. M. and Thomas A. M. R-Matrix Theory of Nuclear Reactions // Rev. Mod. Phys. 1958. - V. 30. - P. 257- 353.

41. Lane A. M. and Robson D. Optimization of Nuclear Resonance Reaction Calculations // Phys. Rev. 1969. - V. 178. - P. 1715-1724.

42. Yamani H.A. The equivalence of the Feshbah and J-matrix methods // J. Math. Phys. 1982. - V. 23. - P. 83-86.

43. Feshbah H. Unified Theory of Nuclear Reactions // Ann. Phys. 1958. -V. 5. - P. 357-390.

44. Yamani H.A. The J-matrix reproducing kernel: Numerical weights at the Harris energy eigenvalues // J. Math. Phys. 1984. - V. 25. - P. 317-322.

45. Ojha P. C, SO(2,1) Lie algebra and the Jacobi-matrix method for scattering // Phys. Rev. A. 1986. - V. 32. - P. 969-977.

46. Ojha P. C. SO(2, 1) Lie algebra, the Jacobi matrix and the scattering states of the Morse oscillator // J. Phys. A: Math. Gen. 1988. - V. 21. - P. 875883.

47. Alhaidari A. D. Group-thoretical foundation of the J-matrix theory of scattering states of the Morse oscillator // J. Phys. A: Math. Gen. 2000.- V. 33. P. 6721-6737.

48. Heller E. J., Yamani H.A. J-matrix method: Application to S-wave electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1974. - V. 9. - P. 1209-1214.

49. Broad J. T. and Reinhardt W. P. J-matrix method: multichannel scattering and photoionization // J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1976 - V. 9. - P. 14911502.

50. Broad J. T. and Reinhardt W. P. One- and two-electron photoejection from H~: A multichannel J-matrix calculation // Phys. Rev. A. 1976. - V. 14.- P. 2159-2173.

51. Bray I. and Stelbovics A. T. Explicit demonstration of the convergence of the close-coupling method for a Coulomb three-body problem // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 69. - P. 53-.

52. Yamani H. A. and Abdelmonem M. S. A simple method to extract resonance information from the Harris energy eigenvalues and eigenvectors //J. Phys. A: Math. Gen. 1993. - V. 26. - P. L1183-L1187.

53. Yamani H. A. and Abdelmonem M. S. Resonance information from the analytically continued S-matrix // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - V. 27.- P. 5345-5355.

54. Yamani H. A. and Abdelmonem M.S. Characterization of resonances using an exact model S-matrix //J. Phys. A: Math. Gen. 1995. - V. 28. -P. 2709-2715.

55. Yamani H. A. and Abdelmonem M.S. The complex-scaling method using a complete L2-basis // J. Phys. A: Math. Gen. 1996. -V. 29. - P. 6991-6998.

56. Nasser I., Abdelmonem M. S., Bahlouli H., and Alhaidari A D. The rotating Morse potential model for diatomic molecules in the tridiagonal J-matrix representation: I. Bound states // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys 2007.- V. 40. P. 4245-4257.

57. Nasser I., Abdelmonem M. S., Bahlouli H., and Alhaidari A D. The rotating Morse potential model for diatomic molecules in the J-matrix representation: II. The /S-matrix approach //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2008. - V. 41. - P. 215001-1-215001-6.

58. Alhaidari A D., Bahlouli H., and Abdelmonem M. S. Taming the Yukawa potential singularity: improved evaluation of bound states and resonance energies // Phys. A: Math. Theor. 2008. - V. 41. - P. 032001-1-032001-9.

59. Стотланд JI. Я., Смирнов Ю. Ф., Широков А. М. Полюса S-матрицы в дискретном представлении теории рассеяния // Известия АН СССР, Серия физическая. 1990. - Т. 54, С. 897-906.

60. Heller Е. J. Theory of J-matrix Green's functions with applications to atomic polarizability and phase-shift error bounds // Phys. Rev. A. 1975.- V. 12. P. 1222-1231.

61. Silvestre-Brac В., Ginoux С., Ayant Y. Free Green's function in a harmonic oscillator basis // J. Phys. A: Math. Gen. 1989. - V. 22. - P. 2288-2290.

62. Yamani H. A. and Abdelmonem M. S. Multi-channel Green's functions in complete L2 bases // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1997. - V. 30. -P. 1633-1650.

63. Yamani H. A., Alhaidari A. D., and Abdelmonem M. S. J-matrix method of scattering in any L2 basis // Phys. Rev. A. 2001. - V. 64. - P. 0427031-042703-9.

64. Laulan S., Bachau H. One- and two-photon double ionization of beryllium with ultrashort ultraviolet laser fields // Phys. Rev. A. 2004. - V. 69. -P. 033408-1-033408-7.

65. Foumouo E., Kanita G. L., Edah G., and Piraux B. Theory of multiphoton single and double ionization of two-electron atomic systems driven by short-wavelength electric fields: An ab initio treatment // Phys. Rev. A. 2006.- V. 74. P. 063409-1063409-22.

66. Филиппов Г. Ф., Охрименко И. П. О возможности использования осцил-ляторного базиса для решения задач непрерывного спектра // Ядерная физика. 1980. - Т. 32. - С. 932-939.

67. Филиппов Г. Ф. Об учете правильной асимптотики в разложениях по осцилляторному базису // Ядерная физика. 1981. - Т. 33. - С. 928-931.

68. Smirnov Yu. F., Nechaev Yu. I. The elements of scattering theory in the harmonic oscillator representation // Kinam. 1982. - V. 4. - P. 445-458.

69. Смирнов Ю. Ф., Нечаев Ю. И. О решении задачи рассеяния в осцил-ляторном представлении // Ядерная физика. 1982. - Т. 35. - С. 13851391.

70. Филиппов Г. Ф., Василевский В. С., Чоповский JI. JI. Обобщенные когерентные состояния в задачах ядерной физики // ЭЧАЯ. 1984. - Т. 15.- С. 1338-1385.

71. Филиппов Г. Ф., Василевский В. С., Чоповский JI. JI. Решение задач микроскопической теории ядра на основе техники когерентных состоянии // ЭЧАЯ. 1985. - Т. 16. - С. 349-406.

72. Filippov G. F. Microscopic Theory of Collective Resonances of Light Nuclei

73. Rivista. Nuovo. Cimento. 1989. - V. 12. - P. 1-38.

74. Кныр В. А., Мазур А. И., Смирнов Ю. Ф. Расчет сечения реакции 160(К~, 7Г~)д60 в осцилляторном представлении теории рассеяния // Ядерная физика. 1990. - Т. 52. - С. 754-765.

75. Кныр В. А., Мазур А. И., Смирнов Ю. Ф. Сечения реакции образования гиперядра \Li с учетом влияния непрерывного спектра // Ядерная физика. 1991. - Т. 54. - С. 1518-1524.

76. Смирнов Ю. Ф., Широков А. М. Теория истинно многочастичного рассеяния в осцилляторном представлении // Препринт ITF-88-47R, Киев.- 1988.

77. Михелашвили Т. Я., Смирнов Ю. Ф., Широков А. М. Влияние непрерывного спектра на монопольные возбуждения ядра 12С как системы а-частиц // Ядерная физика. 1988. - Т. 48. - С. 969-878.

78. Mikhelashvili Т. Ya., Shirokov А. М., Smirhov Yu. F. Monopole excitations of the 12C nucleus in the cluster model // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. -2001. V. 16. - P. 1241-1251.

79. Лурье Ю. A., A. M. Широков A. M. 6He в трехчастичной кластерной модели с нерерывным спектром // Известия РАН, Серия физическая.- 1997. Т. 61. - С. 2121-2131.

80. Lurie Yu. A. and Shirokov А. М. Loosely bound three-body nuclear systems in the J-matrix approach // Ann. Phys. 2004. - V. 312. - P. 284-318.

81. Filippov G. F., Lashko Y. A., Korennov S. V., and Kato К. 6He +6 He clustering of 12Be in a microscopic algebraic approach // Few-Body Systems. 2004. - V. 34. - P. 209-235.

82. Sytcheva A., Broeckhove J., Arickx F., and Vasilevsky V. S. Monopole and quadrupole polarization effects on the a-particle description of 8-Be // Phys. Rev. C. 2005. - V. 71. - P. 044322-1-044322-1.

83. Sytcheva A., Broeckhove J., Arickx F., and Vasilevsky V. S. Influence of monopole and quadrupole channels on the cluster continuum of the lightest p-shell nuclei // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2006. - V. 32. - P. 21372155.

84. Broeckhove J., Arickx F., Hellinckx P., Vasilevsky V. S., and Nesterov A. V.

85. The 5H resonance structure studied with a three-cluster J-matrix model // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2007. - V. 34. - P. 1955-1970.

86. Horodecki P. Relativistic J-matrix method // Phys. Rev. A. 2000. - V. 62.- P. 052716-1-052716-8.

87. Alhaidari A. D., Yamani H. A. and Abdelmonem M. S. Relativistic J-matrix theory of scattering // Phys. Rev. A. 2001. - V. 63. - P. 062708-1-06270812.

88. Alhaidari A. D. Scattering phase shift for relativistic exponential-type separable potentials // J. Phys. A.: Math. Gen. 2001. - V. 34. - P. 1127311286.

89. Alhaidari A. D. The relativistic J-matrix theory of scattering: An analytic solution // J. Math. Phys. 2002. - V. 43 - P. 1129-1135.

90. Alhaidari A. D. Relativistic extension of the complex scaling method // Phys. Rev. A. 2007. - V. 75. - P. 042707-1-062711-11.

91. Alhaidari A. D., Bahlouli H., Al-Hasan A., and Abdelmonem M. S. Relativistic scattering with a spatially dependent effective mass in the Dirac equation // Phys. Rev. A. 2007. - V. 75. - P. 062711-1-062711-14.

92. Alhaidari A D. Exact L2 series solution of the Dirac-Coulomb problem for all energies // Ann. Phys. 2004. - P. 312. - P. 144-160.

93. Alhaidari A D. An extended class of L2-series solutions of the wave equation // Ann. Phys. 2005. - V. 317. - P. 152-174.

94. Alhaidari A D. Representation reduction and solution space contraction in quasi-exactly solvable systems// J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - V. 40.- P. 6305-6328.

95. Alhaidari A D. Charged particle in the field of an electric quadrupole in two dimensions// J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - V. 40. - P. 14843-14855.

96. Alhaidari A. D., Bahlouli H. Electron in the Field of a Molecule with an Electric Dipole Moment // Phys. Rev. Lett. 2008. - V. 100. - P. 1104011-110401-4.

97. Alhaidari A. D. and Bahlouli H. Extending the class of solvable potentials. I. The infinite potential well with a sinusoidal bottom // J. Math. Phys. -2008. V. 49 - P. 082102-1-082102-13.

98. Vasilevsky V. S. and Arickx F. Algebraic model for quantum scattering: Reformulation, analysis, and numerical strategies // Phys. Rev. A. 1997.- V. 55. P. 265-286.

99. Vanroose W., Broeckhove J., and Arickx F. Modified J-Matrix Method for Scattering // Phys. Rev. Lett. 2002. - V. 88. - P. 010404-1-010404-4.

100. Broeckhove J., Arickx F., Vanroose W., and Vasilevsky V. S. The modified J-matrix method for short range potentials // J. Phys. A: Math. Gen. -2004. V. 37. - P. 7769-7781.

101. Alhaidari A. D., Bahlouli H., Abdelmonem M. S., Al-Ameen F., and Al-Abdulaal T. Regularization in the J-matrix method of scattering revisited // Phys. Lett. A. 2007. - V. 364. - P. 372-377.

102. Gareev F. A., Gizzatkulov M. Ch., Revai J. A new method for solving the two-center problem with realistic potentials // Nucl. Phys. A. 1977. -V. 286. - P. 512-522.

103. Truhlik E. Lippmann-Schwinger equation in the harmonic-oscillator basis for the trinucleon bound-state problem // Nucl. Phys. A. 1978. - V. 296.- P. 134-140.

104. Gareev F. A., Ershov S. N., Revai J., Bang J. and Nilsson B. S. A New Method for Calculation of Eigenstates for a System of a Core and Two Valence Nucleons // Phys. Scripta. 1979. - V. 19. - P. 509-515.

105. Gyarmati В., Kruppa A. T. and Revai J. A rigorous foundation of an easy-to-apply approximation method for bound state problems // Nucl. Phys. A. 1979. - V. 326. - P. 119-128.

106. Gyarmati В., Kruppa А. Т., Papp Z. and Wolf G. Single-particle resonant states in deformed potentials // Nucl. Phys. A. 1984. - V. 417. - P. 393404.

107. Kruppa A. T. and Papp Z. Resonant or bound state solution of the Schrodinger equation in deformed or spherical potential /•/ Сотр. Phys. Comm. 1985. - V. 36. - P. 59-78.

108. Revai J., Sotona M., Zofka J. Note on the use of harmonic-oscillator wavefunctions in scattering calculations// J. Phys. G: Nucl. Part. Phys.- 1985. V. 11. - P. 745-749.

109. Pal К. F. Orthogonality condition model for bound and resonant states with a separable expansion of the potential // J. Phys. A: Math. Gen. -1985. V. 18. - P. 1665-1674.

110. Papp. Z. Bound and resonant states in Coulomb-like potentials // J. Phys. A: Math. Gen. 1987. - V. 20. - P. 153-162.

111. Papp. Z. Potential separable expansion approach to scattering on Coulomblike potentials // Phys. Rev. C. 1988. - V. 38. - P. 2457-2460.

112. Papp. Z. Use of Coulomb-Sturmian functions in calculating scattering quantities in Coulomb-like potentials// Phys. Rev. A. 1992. - V. 46.- P. 4437-4439.

113. Papp Z. Calculating bound and resonant states in local and nonlocal Coulomb-like potentials // Сотр. Phys. Comm. 1992. - V. 70. - P. 426434.

114. Papp Z. Calculating scattering states in local and nonlocal Coulomb-like potentials // Сотр. Phys. Comm. 1992. V. 70. - P. 435-439.

115. Darai J., Gyarmati В., Konya В., Papp Z. Variational separable expansion scheme for two-body Coulomb-scattering problems // Phys. Rev. C. 2001.- V. 63. P. 057001-1-057001-3.

116. Papp. Z. and Plessas W. Coulomb-Sturmian separable expansion approach: Three-body Faddeev calculations for Coulomb-like interactions // Phys. Rev. C. 1996. - V. 54. - P. 50-56.

117. Papp. Z. Three-potential formalism for the three-body Coulomb scattering problem // Phys. Rev. C. 1997. - V. 55. - P. 1080-1087.

118. Papp Z., Darai J., Ни C. Y., Hlousek Z. Т., Konya В., and Yakovlev S. L. Resonant-state solution of the Faddeev-Merkuriev integral equations for three-body systems with Coulomb potentials // Phys. Rev. A. - 2002. -V. 65. - P. 032725-1-032725-5.

119. Papp Z., Darai J., Mezei J. Zs., Hlousek Z. Т., and Ни C. Y. Accumulation of Three-Body Resonances above Two-Body Thresholds // Phys. Rev. Lett.- 2005. V. 94. - P. 143201-1-143201-4.

120. Papp Z., Mezei J. Zs. Efimov resonances in atomic three-body systems // Phys. Rev. A. 2006. - V. 73. - P. 030701(R)-1- 030701(R)-3.

121. Papp Z., Ни С-. Y., Hlousek Z. Т., Кбпуа В., and Yakovlev S. L. Three-potential formalism for the three-body scattering problem with attractive Coulomb interactions // Phys. Rev. A. 2001. - V. 63. - P. 062721-1062721-11.

122. Papp Z., Krassnigg A., and Plessas W. Faddeev approach to confined three-quark problems // Phys. Rev. C. 2000. - V. 62. - P. 044004-1-044004-6.

123. B. Konya, G. Levai, Z. Papp, Continued fraction representation of the Coulomb Green's operator and unified description of bound, resonant and scattering states // Phys. Rev. C. 2000. - V. 61. - P. 034302-1-034302-7.

124. Demir F., Hlousek Z. Т., and Papp Z. Coulomb-Sturmian matrix elements of the Coulomb Green's operator // Phys. Rev. A. 2006. - V. 74. -P. 014701-1-014701-4.

125. Агранович 3. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния // Харьков: изд. ХГУ. 1960. - 268 стр.

126. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения // М.: Физматгиз. 1962. - 323 стр.

127. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц // М.: Мир. 1969. -607 стр.

128. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова Думка. 1977. - 330 стр.

129. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния // М.: Мир. 1980. - 408 стр.

130. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля // М.: Наука. -1984. 240 стр.

131. Захарьев Б. Н., Сузько А. А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи // М.: Энергоатомиздат. 1985. - 224 стр.

132. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц // М.: Наука. 1985. - 400 стр.

133. Merkuriev S. P. On the three-body Coulomb scattering problem // Ann. Phys. 1980. - V. 130. - P. 395-426.

134. Noble J. V. Three-body Problem with Carged Particles // Phys. Rev. -1967. V. 161. - P. 945-955.

135. Brauner M., Briggs J. S., and Klar H. Triply-differential cross sections for ionization of hydrogen atoms by electrons and positrons // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1989. - V. 22. - P. 2265-2287.

136. Alt E. 0. and Mukhamedzhanov A. M. Asymptotic solution of the Schrodinger equation for three charged particles // Phys. Rev. A. 1993.- V. 47. P. 2004-2022.

137. Mukhamedzhanov A. M. and Lieber M. Asymptotic wave function for three charged particles in the continuum // Phys. Rev. A. 1996. - V. 54. -P. 3078 - 3085.

138. Mukhamedzhanov A. M., Kadyrov A. S., and Pirlepesov F. Leading asymptotic terms of the three-body Coulomb scattering wave function // Phys. Rev. A. 2006. - V. 73. - P. 0127013-1-0127013-11.

139. Kim Y. E. and Zubarev A. L. Asymptotic continuum wave function for three charged particles // Phys. Rev. A. 1997. - V. 56. - P. 521-526.

140. Macek J. H. and Ovchinnikov S. Yu. Hyperspherical theory of three-particle fragmentation and Wannier's threshold law // Phys. Rev. A. 1996. -V. 54.- P. 544-560.

141. Kuchiev M. Yu. and Ostrovsky V. N. Threshold laws for the breakup of atomic particles into several charged fragments // Phys. Rev. A. 1998. -V. 58. - P. 321-335 .

142. Belyaev V. В., Levin S. В., Yakovlev S. L. Three charged particles in the continuum: astrophysical examples // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. -2004. V. 37. - P. 1369-1380.

143. Alt E. 0., Levin S. В., Yakovlev S. L. Coulomb Fourier transformation: A novel approach to three-body scattering with charged particles // Phys. Rev. C. 2004. - V. 69. - P. 034002-1-034002-11.

144. Эфрос В. Д. Вычисление инклюзивных спектров переходов и сечений реакций без волновых функций // Ядерная физика. 1985. - Т. 41. -С. 1498-1507.

145. Wang Y. D. and Callaway J. Direct numerical approach to electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1993. - V. 48. - P. 2058-2069.

146. Jones S. and Stelbovics A. T. Complete Numerical Solution of Electron

147. Hydrogen Model Collision Problem above the Ionization Threshold // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. - P. 1878-1881.

148. Baertschy M., Rescigno T. N., Isaacs W. A., and McCurdy C. W. Benchmark single-differential ionization cross section results for the s-wave model of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1999. - V. 60. -P. R13-R16.

149. Baertschy M., Rescigno T. N., Isaacs W. A., Li X., and McCurdy C. W. Electron-impact ionization of atomic hydrogen // Phys. Rev. A. 2001. -V. 63. - P. 022712-1-022712-19.

150. Baertschy M., Rescigno T. N., and McCurdy C. W. Accurate amplitudes for electron-impact ionization // Phys. Rev. A. 2001. - V. 64. - P. 0227091-022709-11.

151. Bray I. and Stelbovics A. T. Convergent close-coupling calculations of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1992. - V. 46. - P. 69957011.

152. Bray Land Fursa D. V. Calculation of ionization within the close-coupling formalism // Phys. Rev. A. 1996. - V. 54. - P. 2991-3004.

153. Bray I. Close-Coupling Approach to Coulomb Three-Body Problems // Phys. Rev. Lett. 2002. - V. 89. - P. 273201-1-273201-4.

154. Bray I., Fursa D. V., Kheifets A. S. and Stelbovics A. T. Electrons and photons colliding with atoms: development and application of the convergent close-coupling method // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. -2002. V. 35. - P. R117-R146.

155. Burke P. G., Noble C. J. and Scott P. R-Matrix Theory of Electron Scattering at Intermediate Energies // Proc. R. Soc. London, Ser. A -1987. V. 410. P. 289-310.

156. Meyer K. W., Greene С. H., and Bray I. Simplified model of electron scattering using R-matrix methods // Phys. Rev. A. 1995. - V. 52. -P. 1334-1343.

157. Bartschafc K. and Bray I. S-wave model for electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1996. -V. 54. - P. R1002-R1005.

158. Massey H. S. W. Theory of the Scattering of Slow Electrons // Rev. Mod.

159. Phys. 1956. - V. 28. - P. 199-213.

160. Burke P. G., Gallaher D. F. and Geltman S. Electron scattering by atomic hydrogen using a pseudo-state expansion I. Elastic scattering // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1969. - V. 2. - P. 1142-1154.

161. Callaway J. and Oza D.H. Total and ionization cross sections in a simplified model of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1984. - V. 29. -P. 2416-2420.

162. Konovalov D. A. and McCarthy I. E. Convergent J-matrix calculation of the Poet-Temkin model of electron-hydrogen scattering // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1994. - V. 27. - P. L407-L412.

163. Smith F. T. Generalized Angular Momentum in Many-Body Collisions // Phys.Rev. 1960. - V. 120. - P. 1058-1069.

164. Watanabe S., Hosoda Y., and Kato D. Hyperspherical close-coupling method extended to the two-electron continuum region: test, on the s-wave model for e-H scattering // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1993. - V. 26. - P. L495-L501.

165. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., and Steblovics A. T. Asymptotic form of the electron-hydrogen scattered wave // Phys. Rev. A. 2003. -V. 67. - P. 024702-1-024702-4.

166. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Steblovics А. Т., Bray I., and Pirlepesov F. Asymptotic behavior of the Coulomb three-body scattering wave К Phys. Rev. A. 2003. - V. 68. - P. 022703-1-022703-10.

167. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Steblovics А. Т., and Bray I. Integral Representation for Electron-Atom Ionization Amplitude which is Free of Ambiguity and Divergence Problems // Phys. Rev. Lett. 2003. -V. 91. - P. 253202-1-253202-4.

168. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Steblovics А. Т., and Bray I. Theory of electron-impact ionization of atoms // Phys. Rev. A. 2004. -V. 70. - P. 062703-1-062703-21.

169. Schwartz C. Variational calculations of scattering // Ann. Phys. 1961. -V. 16. - P. 36-50.

170. Уилкинсон Дж. X., Райнш С. Справочник алгоритмов на языке AJI

171. ГОЛ. Линейная алгебра // М.: Машиностроение. 1976. - 392 стр.

172. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения // М.: Мир. 1985 - 414 стр.

173. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы // М.: Мир. 1983. - 384 стр.

174. Скоробогатько В. А. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. // М.: Наука. 1983. - 311 стр.

175. Бейкер Дж. мл., Грейвс-Моррис П. // Аппроксимация Паде М.: Мир.- 1986. 502 стр.

176. Neudatchin V. G., Obukhovsky I. Т. , Kukulin V. I., and Golovanova N. F. Attractive potential with forbidden states for N — N interaction // Phys. Rev. C. 1975. - V. 11 - P. 128.

177. Glozman L. Ya., Neudatchin V. G., and Obukhovsky I. T. Exclusive process 2H(e,ep)N* as a tool for investigation of the quark structure of the deuteron j j Phys. Rev. C. 1993. - V. 48. - P. 389-401.

178. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике // М.: Мир. 1974. Т. 1 -341 стр.

179. Ghanbari К. m-functions and inverse generalized eigenvalue problem // Inverse Problems. 2001. - V. 17. - P. 211-217.

180. Gladwell G. M. L., Willms N. B. A discrete Gel'fand-Levitan method for band-matrix inverse eigenvalue problems // Inverse Problems. 1989. -V. 5. - P. 165-179.

181. Chabanov V. M. Inverse eigenvalue problem for the discrete three-diagonal Sturm-Liouville operator and the continuum limit // J. Phys. A: Math. Gen.- 2004. V. 37 - P. 9139-9155.

182. Case К. M. Orthogonal polynomials from the viewpoint of scattering theory // J. Math. Phys. 1974. - V. 15. - P. 2166-2174.

183. Case К. M. Orthogonal polynomials. II // J. Math. Phys. 1975. - V. 16.- P. 1435-1440.

184. Case К. M. On discrete inverse scattering problems. II // J. Math. Phys.- 1973. V. 14. - P. 916-920.

185. Case К. M. and Kac M. A discrete version of the inverse scattering problem

186. J. Math. Phys. 1973. - V. 14. - P. 594-603.

187. Case К. M. and Cliiu S. C. The discrete version of the Marchenko equations in the inverse scattering problem // J. Math. Phys. 1973. - V. 14. -P. 1643-1647.

188. Case К. M. The discrete inverse scattering problem in one dimension // J. Math. Phys. 1974. - V. 15. - P. 143-146.

189. Case К. M. Scattering theory, orthogonal polynomials, and the transport equation // J. Math. Phys. 1974. - V. 15. - P. 974-983.

190. Date E., Tanaka T. Analogueof inverse scattering theory for the discrete Hill's equation and exact solutions for the periodic Toda lattice // Progr. Theoret. Phys. 1976. - V. 55. - P. 457-465.

191. Fu L. and Hochstadt H. Inverse theorems for Jacobi matrices // J. Math. Anal. Appl. 1974. - V. 47. - P. 162-168.

192. Гусейнов Г. Ш. Определение бесконечной матрицы Якоби по данным рассеяния // Доклады АН СССР. 1976. - Т. 227. - С. 1289-1292.

193. Geronimo J. S. and Case К. M. Scattering theory and polynomials orthogonal on the unit circle // J. Math. Phys. 1979. - V. 20. - P. 299-310.

194. Gesztesy F. and Teschl G. Commutation methods for Jacobi operators // J. Diff. Eqs. 1996. - V. 128. - P. 252-299.

195. Teschl G. Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices // Series: Mathemtical surveys and monographs. American Mathematical Society. - 1999. - V. 72. - 355 pp.

196. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике // М.: Наука. 1971. - 544 стр.

197. Rakityansky S. A., Sofianos S. A., Elander N. Pade approximation of the 5-matrix as a way of locating quantum resonances and bound states // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - V. 40. - P. 14857-14869.

198. J. T. Broad Calculation of two-photon processes in hydrogen with an L2 basis // Phys. Rev. A. 1985 - V. 31. - P. 1494-1514.

199. Аткинсои Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи // М.: Мир. 1968. - 749 стр.

200. Yamaguchi Y. Two-Nucleon Problem When the Potential Is Nonlocal but Separable. I // Phys. Rev. 1954. - V. 95. - P. 1628-1634.

201. Yamaguchi Y., Yamaguchi Y. Two-Nucleon Problem When the Potential Is Nonlocal but Separable. II // Phys. Rev. 1954. - V. 95. - P. 1635-1643.

202. Fuda M. G. Off-Shell T Matrix and the Jost Function // Phys. Rev. C. -1970. V. 1. - P. 1910-1924.

203. Haidenbauer J. and Plessas W. Separable representation of the Paris nucleon-nucleon potential // Phys. Rev. C. 1984. - V. 30. - P. 1822-1839.

204. Baldo M., Bombaci I., Giansiracusa G., Lombardo U., Mahaux C., and Sartor R. Nuclear matter properties from a separable representation of the Paris interaction // Phys. Rev. C. 1990. - V. 41. - P. 1748-1761.

205. Kwong N. H., Kohler H. S. Separable NN potentials from inverse scattering for nuclear matter studies // Phys. Rev. C. 1997. - V. 55. - P. 1650-1664.

206. Zheng D. C., Vary J. P., and Barrett B. R. Large-space shell-model calculations for light nuclei // Phys.Rev. C. 1994. - V. 50. - P. 28412849.

207. Zheng D. C. and Barrett B. R. Large-basis shell model studies of light nuclei with a multivalued G-matrix effective interaction // Phys.Rev. C.1995. V. 52. - P. 2488-2498.

208. Navr&til P., Vary J. P., and Barrett B. R. Properties of 12C in the Ab Initio Nuclear Shell Model // Phys.Rev. Lett. 2000. - V. 84. - P. 5728-5731.

209. Navratil P., Barrett B. R. No-core shell-model calculations with starting-energy-independent multivalued effective interactions // Phys.Rev. C.1996. V. 54. - P. 2986-2995.

210. Navr&til P., Vary J. P., and Barrett B. R. Large-basis ab initio no-core shell model and its application to 12C // Phys.Rev. C. 2000. - V. 62. -P. 054311-1-054311-14.

211. Shirokov A. M, Vary J. P., Mazur A. I., Weber T. A. Realistic nuclear Hamiltonian: Ab exitu approach // Phys. Lett. B. 2007. - V. 644. -P. 33-37.

212. Stoks V. G. J., Klomp R. A. M., Terheggen C. P. F., and de Swart J. J. Construction of high-quality NN potential models // Phys. Rev. C. 1994.- V. 49. P. 2950-2962.

213. Wiringa R. B. Accurate nucleon-nucleon potential with charge-independence breaking // Phys. Rev. C. 1995. - V. 51. - P. 38-51.

214. Machleidt R. High-precision, charge-dependent Bonn nucleon-nucleon potential // Phys.Rev. C. 2001. - V. 63. - P. 024001-1-024001-32.

215. Блохинцев JI. Д., Борбей И., Долинский Э. И. Ядерные вершинные константы // ЭЧАЯ. 1977. - Т. 8. - С. 1189-1245.

216. Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике // М.: Наука. 1976. - 288 стр.

217. Захарьев Б. Н., Мельников В. Н., Рудяк Б. В., Сузько А. А. Обратная задача рассеяния (конечно-разностный подход) // ЭЧАЯ. 1977. - Т. .8.- С. 290-329.

218. Сох J. R. Many-Channel Bargmann Potentials // J. Math. Phys. 1964.- V. 5. P. 1065-1069.

219. Cox J. R. On the Determination of the Many-Channel Potential Matrix and S Matrix from a Single Function // J. Math. Phys. 1967. - V. 8. -P. 2327-2331.

220. Cox J. R., Garsia H. R. Construction of a meromorphic many-channel p-wave S matrix // J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - P. 1402-1409.

221. Cox J. R. On angular momentum and channel coupling for a meromorphic many-channel S matrix // J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - P. 1410-1415.

222. Ernst D. J., Joohnson M. B. Pion-nucleon form factor in Chew-Low theory // Phys. Rev. C. 1978. - V. 17. - P. 247-258.

223. Мотовилов A. K. Analytic continuation ofs matrix in multichannel problems // ТМФ. 1993. - T. 95. - C. 427-438.

224. Samsonov B. F., Sparenberg J.-M. and Baye D. Supersymmetric transformations for coupled channels with threshold differences // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - V. 40. - P. 4225-4240.

225. Кныр В. А., Стотланд JI. Я. Проблема трех тел и метод J-матрицы // Ядерная физика. 1992. - Т. 55. - С. 2908-2914.

226. Кныр В. А., Стотланд JI. Я. О возможности решения задачи трех тел методом J-матрицы // Ядерная физика. 1996. - Т. 59. - С. 607-615.

227. Kvitsinsky A. A., Wu A., and Ни C.- Y. Scattering of electrons and positrons on hydrogen using the Faddeev equations //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys, 1995. - V. 28. - P. 275-285.

228. Hostler L. Coulomb Green's function and Furry approximation //J. Math. Phys. 1964. - V. 5. - P. 591-611.

229. Зон Б. А., Манаков H. JI., Рапапорт Л. П. Двухфотонные связанные переходы в кулоновском поле // ЖЭТФ. 1968. - Т. 55. - С. 924-930.

230. Hill R. N., Huxtable В. D. A generating integral for matrix elements of the Coulomb Green's functions //J. Math. Phys. 1982. - V. 23. - P. 23652370.

231. Maleki N., Macek J. Schwinger variational principle for electron-ion scattering // Phys. Rev. A. 1980. - V. 21. - P. 1403-1411.

232. Shakeshaft R. Integral representation of the Coulomb Green function derived from the Sturmian expansion // Phys. Rev. A. 2004. - V. 70.- P. 042704-1-042704-9.

233. Papp Z., Ни C. -Y., Electron-hydrogen scattering in the Faddeev-Merkuriev integral-equation approach // Phys. Rev. A. 2002. - V. 66.- P. 052714-1-052714-8.

234. Schwartz C. Electron Scattering from Hydrogen // Phys. Rev. 1961. -V. 124. - P. 1468-1471.

235. Kvitsinsky A. A., Carbonell J., Gignoux C. Faddeev calculation of e-Ps scattering lengths // Phys. Rev. A. 1992. - V. 46 - P. 1310-1315.

236. Ehrhardt H., Jung K., Knoth G. and Schlemmer P. Differential cross sections of direct single electron impact ionization // Z. Phys. D. 1986. -V. 1. - P. 3-32.

237. Dupr6 C., Lahmam-Bennani A., Duguet A., Mota-Furtado F,

238. O'Mahony P F. and Dal Cappello C. (e,2e) triple differential cross sections for the simultaneous ionization and excitation of helium // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1992. - V. 25. - P. 259-276.

239. A. S. Kheifets, Igor Bray, I. E. McCarthy, Bo Shang Theoretical triple differential cross section of the helium atom ionization with excitation to the n=2 ion state // Phys. Rev. A. 1994. - V. 50. - P. 4700-4706.

240. Lahmam-Bennani A., Taouil I., Duguet A., Lecas M., Avaldi L., and Berakdar J. Origin of dips and peaks in the absolute fully resolved cross sections for the electron-impact double ionization of He // Phys. Rev. A. 1999. V. 59. - P. 3548-3555.

241. Berakdar J. Incremental Approach to Strongly Correlated Many-Body Finite Systems // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 85. - P. 4036-4039.

242. Кныр В. А., Насыров В. В., Попов Ю. В. Метод J-матрицы в применении к описанию (е, Зе)-реакции на атоме гелия // ЖЭТФ. 2001. -Т. 119. - С. 906-912.

243. Belkic Dz. A quantum theory of ionisation in fast collisions between ions and atomic systems // J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1978. - V. 11. - P. 35293552.

244. Garibotti C. R., Miraglia J. E. Ionization and electron capture to the continuum in the iJ+-hydrogen-atom collision // Phys. Rev. A. 1980. - V. 21. - P. 572-580.

245. Teng Zhong-jian and Shakeshaft R. Double ionization of helium by a single high-energy photon // Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - P. R3487-R3490.

246. Kornberg M. A. and Miraglia J. E. Double photionization of helium: Use of a correlated two-electron continuum wave function // Phys. Rev. A. -1993. V. 48. - P. 3714-3719.

247. Jones S., Madison D. H. Role of the Graund State in Electron-Atom Double Ionization // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 91. - P. 073201-1-073201-4.

248. Ancarani L. U., Montagnese Т., and Dal Cappello C. Role of the helium ground state in (e, 3e) processes // Phys. Rev. A. 2004. - V. 70. -P. 012711-1-012711-10.

249. Chuluunbaatar O., Puzynin I. V., Vinitsky P. S., Popov Yu. V., Kouzakov K. A., and Dal Cappello C. Role of the cusp conditions in electron-helium double ionization // Phys. Rev. A. 2006. - V. 74. -P. 014703-1-014703-4.

250. Ancarani L. U., Gasaneo G. Double-bound equivalent of the three-body Coulomb double-continuum wave function // Phys. Rev. A. 2007. - V. 75. - P. 032706-1-032706-13.

251. Gasaneo G., Ancarani L. U. Use of double-bound three-body Coulomb distorted-wave-like basis set for two-electron wave function // Phys. Rev. A. 2008. - V. 77. - P. 012705-1-012705-13.

252. Ancarani L. U., Gasaneo G., Colavecchia F. D., and Dal Capello C. Interplay of initial and final states for (e, 3e) and (j, 2e) processes on helium // Phys. Rev. A. 2008. - V. 77. - P. 062712-1-062712-12.

253. Klar H. Asymptotic separability of three-body continuum wave functions for Coulomb systems // Z. Phys. D: At., Mol. Clusters. 1990. - V. 16. -P. 231-236.

254. Crothers D. S. F. and McCann J. F. Ionization of atoms by ion impact // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1983. - V. 16. - P. 3229-3242.

255. Berakdar J., Lahmam-Bennani A., and Dal Capello C. The electron-impact double ionization of atoms: an insight into the four-body Coulomb scattering dynamics // Phys. Rep. 2003. - V. 374. - P. 91-164.

256. Jetzke S. Zeremba J., and Faisal F. H. M. Electron impact ionization of atomic hydrogen // Z. Phys. D: At., Mol. Clusters. 1989. - V. 11. -P. 63-69.

257. Jetzke S. and Faisal F. H. M. Coulomb correlations in electron and positron impact ionization of hydrogen at intermediate and higher energies // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1992. - V. 25. - P. 1543-1558 .

258. Berakdar J., Briggs J. S. Three-Body Coulomb Continuum Problem // Phys. Rev. Lett. 1994. - V. 72. - P. 3799-3802.

259. Berakdar J., Briggs J. S. Interference effects in (e,2e)-differential cross sections in doubly symmetric geometry // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.- 1994. V. 27. - P. 4271-4280.

260. Berakdar J. Approximate analytic solution of the quantum-mechanical three-body Coulomb continuum problem // Phys. Rev. A. 1996. - V. 53.- P. 2314-2326.

261. Berakdar J. Energy-Exchange Effects in Few-Particle Coulomb Scattering // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - P. 2712-2715.

262. Berakdar J. Analytical approaches to the fragmentation of few-body Coulomb systems // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 1999. -V. 154.- P. 25-31.

263. Colavecchia F. D., Gasaneo G. and Garibotti C. R. Separable wave equation for three Coulomb interacting particles // Phys. Rev. A. 1998.- V. 57. P. 1018-1024.

264. Gasaneo G., Colavecchia F. D., Garibotti C. R., Miraglia J. E., and Macri P. Correlated continuum wave functions for three particles with Coulomb interactions // Phys. Rev. A. 1997. - V. 55. - P. 2809-2820.

265. Gasaneo G., Colavecchia F. D., Garibotti C. R., Miraglia J. E., and Macri P. Multivariable hypergeometric solutions for three charged particles // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1997. - V. 30. - P. L265-L271.

266. Macri P., Miraglia J. E., Garibotti C. R., Colavecchia F. D., and Gasaneo G. Approximate analytical solution for two electrons in the continuum // Phys. Rev. A. 1997. - V. 55. - P. 3518-3525.

267. Gasaneo G., Colavecchia F. D., Garibotti C. R. Multivariable hypergeometric functions for ion-atom collisions // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 1999. - V. 154. - P. 32-40.

268. A. D. Alhaidari, E. J. Heller, H. A. Yamani, and M. S. Abdelmonem (eds.), The J-Matrix Method. Developments and Applications (Springer Science+Business Media B.V.), 2008.

269. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции // М.: Наука. 1973. - Т. 1. - 296 стр.

270. Rosenberg L. Variational Methods in Charged-Particle Collision Theory

271. Phys. Rev. D. 1973. - V. 8. - P. 1833-1843.

272. Ojha P. C. The Jacobi-matrix method in parabolic coordinates: Expansion of Coulomb functions in parabolic Sturmians // J. Math. Phys. — 1987. -V. 28. P. 392-396 .

273. Справочник по специальным функциям. Под редакцией Абрамовича М. и Стиган И. // М.: Наука. 1979. - 832 стр.

274. Simon В. Resonances in One Dimension and Fredholm Determinants // J. Funct. Anal. 2000. - V. 178. - P. 396-420.

275. Gasaneo G. and Colavecchia F. D. Two-body Coulomb wavefunctions as kernel for alternative integral transformations // J. Phys. A: Math. Gen. -2003. V. 36. - P. 8443-8462.

276. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория) // М.: Наука. 1989. - 768 стр.

277. Michel N. Direct demonstration of the completeness of the eigenstates of the Schrodinger equation with local and nonlocal potentials bearing a Coulomb tail // J. Math. Phys. 2008. - V. 49. - P. 022109-1-022109-28.