Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений

Волков, Михаил Валериевич

Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Волков, Михаил Валериевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений»

Автореферат диссертации на тему "Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений"

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

Волков Михаил Валериевич

Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

484865b

2 ИЮН 2011

Санкт-Петербург - 2011

4848656

Работа выполнена на кафедре квантовой механики Санкт-Петербургского государственного университета

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор,

Демков Юрий Николаевич

доктор физико-математических наук,

профессор,

Яковлев Сергей Леонидович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

начальник сектора, ОИЯИ, г. Дубна Мотовилов Александр Константинович кандидат физико-математических наук, доцент, СПбГАСУ, г. Санкт-Петербург Филинский Андрей Валентинович Ведущая организация: НИИЯФ им. Д.В. Скобельцына МГУ им.

М.В. Ломоносова

Защита состоится 16 июня 2011 г. в 18.00 часов в ауд. 205 на заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан « лсаЛ 20И г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Щекин А.К.

Общая характеристика работы

Актуальность работы Исследование квантовых систем, состоящих из нескольких частиц, имеет большое значение в физике. Понимание процессов в таких системах может дать качественную, а во многих случаях и количественную, информацию для решения задач, связанных с гораздо большим числом взаимодействующих частиц. Исследование процессов рассеяния в малочастичных квантовых системах позволяет описать различные реакции, происходящие при столкновениях атомов и молекул. В диссертации основное внимание уделено квантовой задаче рассеяния в системах, состоящих из двух или трех частиц. Теория потенциального рассеяния, к которому сводится рассеяние в системе двух частиц, была развита в 50-х годах прошлого века в работах Липпманна и Швингера [1], Гелл-Манна и Голдбергера [2], и других [3-5]. При описании рассеяния в системе трех частиц возникли существенные трудности. Эти трудности были преодолены в работах Л. Д. Фаддеева [6, 7]. Рассеяние в системе трех заряженных частиц представляет собой намного более ТРУДЧУЮ задачу, чем рассеяние нейтральных частиц, из-за медленного убывания кулоновского потенциала. Обобщение уравнений Фаддеева, предложенное С. П. Меркурьевым [8, 9], позволило теоретически описать квантовую задачу рассеяния в системе трех заряженных частиц. При решение этой задачи возникают трудности не только теоретического, но и вычислительного характера, обусловленные теми же причинами. Для того чтобы обойти трудности, возникающие при вычислениях, в ряде работ американских физиков Наттала, Коэна [10], Ресиньо, МакКерди и других [11] был предложен подход, основанный на применении метода комплексных вращений к уравнению Шредингера. Метод комплексных вращений был успешно применен к задаче рассеяния трех нейтральных частиц. Однако оставался открытым вопрос о применении этого метода к рассеянию заряженных частиц. В данной дис-

сертации приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния двух и трех заряженных частиц. Для трехчастичной задачи используются парциальные уравнения в представлении полного углового момента. В эти уравнения входят только три переменные, их можно решить численно. Для вычислений может быть использована программа FAMCES [12, 13]. В эту программу были внесены изменения для того, чтобы с помощью ее можно было находить решение задачи рассеяния.

Цель диссертационной работы

1. Произвести полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния в системе двух заряженных частиц.

2. Произвести полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния в системе трех заряженных частиц.

3. Показать, каким образом полученный метод может быть применен для практических вычислений.

Научная новизна В диссертации впервые решены следующие задачи:

1. Развит метод расщепления потенциалов для решения кулоновской задачи рассеяния в системе двух и трех частиц. Получено неоднородное уравнение, идеально подходящее для применения метода внешнего комплексного вращения.

2. Получены интегральное и локальное представления для амплитуды рассеяния.

Научная и практическая значимость В диссертации приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к

задаче рассеяния трех заряженных частиц. Представлен алгоритм практического применения метода для расчетов. Компьютерная программа, основанная на этом алгоритме, позволит вычислять сечения рассеяния для различных систем из трех заряженных частиц и получать точные результаты, которые до этого было возможно получить лишь в том или ином приближении.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Произведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к парциальной задаче рассеяния в системе двух заряженных частиц.

2. Показано, что решение трехмерной задачи рассеяния для внешней части потенциала пропорционально плоской волне с точностью до действия оператором, зависящим только от угловых переменных. Доказано, что в пределе, когда радиус расщепления стремится к бесконечности, действие такого оператора сводится к умножению на константу, для которой получено аналитическое выражение.

3. Произведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к многоканальной задаче рассеяния в системе двух заряженных частиц.

4. Приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния в системе трех заряженных частиц. Для этого был снова использован метод расщепления потенциалов на внешнюю и внутреннюю части. Показано, что для построения метода необходимы результаты, полученные для трехмерной задачи рассеяния в системе двух частиц.

Апробация работы Результаты работы докладывались на семинарах кафедры Квантовой механики и кафедры Вычислительной физики Физического факультета СПбГУ, на семинарах отделения молекулярной физики Стокгольмского университета и на шести международных конференциях: в Дании ("Annual Nordforsk Network Meeting - 2005"и "Third International Workshop on Electrostatic Storage Devices - 2009"), в Санкт-Петербурге ("Annual Nordforsk Network Meeting - 2006"), в Швеции ("Correspondence between Concepts in Chemistry and Quantum Chemistry - 2008"), Италии ("The fifth workshop dedicated to the Critical Stability of Few Body Quantum Systems - 2008") и в Германии ("19th International IUPAP Conference on Few-Body Problems in Physics - 2009").

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах [Al, А2, A3, А4, А5] в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем личный вклад диссертанта был определяющим и составлял в среднем не менее 60%.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, 1 приложения и библиографии. Общий объем диссертации 103 страницы, из них 94 страницы текста, включая 13 рисунков. Библиография включает 52 наименования на 6 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе рассматривается задача рассеяния в системе двух частиц. Для волновой функции используется парциальное разложение, которое приводит к системе независимых уравнений, зависящих от одной переменной. Показано, что в случае рассеяния заряженных частиц метод комплексных вращений должен применяться вместе с методом расщепления потенциала. Радиальная волновая функция фе(г) удовлетворяет граничной задаче

Mr) = о,

Фе{0) = 0, ~ em,Fi(77, кг) + Afa^r), кг), при г -»• оо, где С(г) = 2кт]/г - это кулоновский потенциал, F((rj,kr) и и^{т],кг) - куло-новские функции, а 77 - параметр Зоммерфельда. Потенциал V(r) убывает быстрее, чем г-2 на бесконечности. Полная парциальная амплитуда рассеяния At складывается из амплитуды А\ и кулоновской амплитуды Af. Полный потенциал взаимодействия расщепляется на сумму

С(г) + V(r) = CR{r) + VR(r) + CR(r) + VR(r)

финитной внутренней части {Сц(г) + Уд (г)} и дальнодействующего хвоста потенциала {Сл(г) + VR(r)}. Парциальная волновая функция фе(г) представляется в виде

Mr) = Xi(r) + Ф?(г). (2)

Функция ipt(r) строится как решение граничной задачи, в которой полный потенциал заменен на {Сл(г) 4-

1>?(г) = О,

d2 , W + 1) , /~iR/ \ , ,/Л/ ч _ j.2

-Т2 + + С'W + V М ~ к'

arz г^

(0) = 0, (г) ~ eia'Fe(r), кг) + А?и}(т), кг), при

(3)

г оо.

Решение этой задачи, в областях (г < R) и (г > R) можно записать в аналитическом виде, если Vя = 0. Сшивка двух решений в точке г — R позволяет вычислить все необходимые константы.

Как только функция tjjf построена, можно подставить представление (2) в граничную задачу (1) и получить неоднородную граничную задачу для функции хе{г)

Хе{г) =

(4)

■l + ^cn + vn-*

~ [Сд(г) +

Хе(0) = 0, xt(r) ~ (Л| - Л?) <(г?, кг), при г -> оо,

с параметром af зависящим от В и т). После применения внешнего комплексного вращения к (4) получается задача с нулевыми граничными условиями:

(Ht - к2) Ыг) = ~ [Cr(t) + Ун(г)] je{kr)af, Ы0) = 0, х/(оо) = О,

где Не = CS^fffCSQa - это парциальный оператор Гамильтона после преобразования внешнего комплексного вращения с углом вращения а и внешним радиусом Q.

Для парциальной амплитуды рассеяния получены интегральное R

At = АС + Л? - £ | Нкг) [С (г') + V(r')} (й(г') + afUkr'j) dr> (6) о

и локальное

Ае = А?+ А? + ЫЯ)Ы(ч,кЯ) (7)

представления, в которые входит решение задачи с нулевыми граничными условиями (5).

В конце главы представлены результаты вычислений, подтверждающие полученную теорию. Показано, что выбирая подходящее значение радиуса расщепления R, можно вычислить амплитуду рассеяния с желаемой точностью. Результаты первой главы опубликованы в работах [А1] и [А2].

Во второй главе рассматривается задача рассеяния для обрезанных ку-лоновских потенциалов CR и Cr. Решение находится для полной трехмерной задачи суммированием полного парциального ряда по £. Все полученные результаты должны рассматриваться с точки зрения теории обобщенных функций.

Решение задачи рассеяния для обрезанного кулоновского потенциала Сд в области (г < R) получается в виде

1 00

Фл(г) = ^ и + l)ieamF^ kr)Pe{cos в). (8)

е=о

где F((r}, кг) - это регулярная парциальная кулоновская функция, а параметр ащ зависит от R, £ и г). Решение в силу симметрии зависит только от радиуса г и полярного угла 9 и не зависит от азимутального угла ip. Набор полиномов Лежандра Pf (cos О) образует базис в пространстве С = L2(—1,1) квадратично интегрируемых на интервале ( — 1,1) функций. Тогда уравнение (8) можно записать как

1 °°

1ф*(г)> = Тт £{2£ + (9)

е=о

где |Фл(г)) € С представляет Фд(г) как функцию cos0. Эта функция может быть получена действием оператора

® 2/4-1

= (10)

ыъ z

на кулоновскую функцию, которая в С имеет вид

1 00

|Фс(г, к)) = - £(2А + l)ixeiaxF\(rj, кт)\Рх). (11)

А=0

Таким образом, при г < R решение уравнение Шредингера для обрезанного потенциала Сц(г) связано с кулоновской функцией Фс(г,к) следующим образом

|Фл(г)) = ал|Фс(г,*)). (12)

Теорема 1. Для любого е > 0 существует R такое, что выполняется равенство

ад — e~")los2fcfii -)- 0(e), (13)

Здесь норма оператора 0(e), действующего па любой вектор в С, имеет порядок е, I обозначает единичный оператор в С. При 1—> оо функция Фд(г) ведет себя как

Фл(г)~е^'г) + Дд(0К*7г. (14)

Во второй главе показано, что в пределе R -+ оо амплитуда Ar(0) имеет следующую асимптотику

Ar{9) ~ e~2ir,lo&2kRAc{e) ~ т e~ir,l°e2kRsin(r]\og2kR) (5(1 - cos8). (15)

Функция Фл(г), которая является решением задачи рассеяния с потенциалом CR{r) строится аналогично функции Фд(г). В области (г < R) вектор |Фл(г)} пространства С может быть выражен через вектор |Фо(г)), который представляет собой плоскую волну Фо(г) = е!'к,г\ как

|Фл(г)) = аЛ|Ф0(г)>. (16)

Оператор ал записывается в виде ряда

& = |. (17)

г=о

Асимптотика этого оператора в пределе R -> оо имеет вид

аЛ ~ eivlog2kR^

Это выражение в дальнейшем используется при построении теории для системы из трех заряженных частиц. Амплитуда рассеяния на потенциале CR

в пределе R —> оо ведет себя как

Лс(в) + Лн(в) ~ \ е^2кп sinolog 2/сЯ) 5(1 - созв). (19)

гС

Результаты второй главы опубликованы в работе [А4].

В третьей главе представлены результаты, полученные для многоканального рассеяния в системе двух заряженных частиц. В этом случае взаимодействие задается матричным потенциалом. Для расчетов удобно использовать матричные обозначения (матрицы обозначаются жирным шрифтом). Полный потенциал взаимодействия расщепляется на сумму

С(г) + V(r) = С л(г) + Уд (г) + CR(r) + VR(r) (20)

финитной внутренней части {Сд(г) + Уд(г)} и дальнодействующего хвоста потенциала {СR(r) + Ул(г)}. Функция Фп(г) строится аналогично функции Ф({г) для одноканального рассеяния. Однако теперь построение требует двух этапов. На первом этапе вспомогательная функция ipR(r) вводится как решение многоканальной задачи рассеяния на потенциале Сл(г)

[Но + L(r) + CR(r) — k2] ipR(r) = 0. (21)

Эта система распадается на одномерные независимые уравнения, так как все матрицы в уравнении диагональны. Поэтому при построении могут быть использованы результаты полученные для одноканального случая. Кроме решения ipR(r) для потенциала CR строится также функция Грина gл(г,г'). На втором этапе сама функция Фл(г) вводится как решение задачи рассеяния с потенциалом Ся(г) + Ул(г)

[Н0 + L(r) + CR(r) + VR(r) - к2] Ф*(г) = 0, Фй(0) = 0, Фя(г) ~ F(r) + и(г)Ал, г —у оо .

Чтобы построить решение, граничная задача (22) переписывается в виде интегрального уравнения Липпманна-Швингера

Ф л(г) = ipR(r)-

dr'gR{r, г')Уд(г')Фя(г').

(23)

Как и в одноканальном случае для функции Фл(г) получаются различные аналитические выражения в областях (г < R) и (г > R). Функция Грина для задачи (22) удовлетворяет интегральному уравнению Липпманна-Швингера

GE(r,r')=g«(r,r')

dr" gfi(r, r")V(r")Gfi(r", г')

и имеет при г —> оо и г' < R асимптотическое поведение

GR(r,r') ~ k-Xr^V)-Волновая функция представляется в виде

Ф(г) = Ф*(г) + Фй(г). Функция Ф^(г) удовлетворяет неоднородному уравнению (Н - к2)Фл"(г) = - [Сд(г) + Уд(г)] Фл(г),

(24)

(25)

(26)

(27)

а на бесконечности ведет себя как чисто расходящаяся волна. После применения внешнего комплексного вращения к граничной задаче для функции Фdr(r) получается задача с нулевыми граничными условиями

(Й - к2) Ф*(г) = - (Сл(г) + Ул(г)] Фл(г) , Ф^О) = 0 , Ф*(оо) = о .

Для амплитуды рассеяния получены интегральное R

(28)

А = Ас + Ал - к"1

1/>лТ(г')(С(г') + V (г'))(Фа(г') + VdT{r'))dr'. (29) 12

и локальное

A = Ac + Ar + и-1(Л)ФЛ'(Д) •

(30)

представления. В конце главы представлены результаты вычислений. В качестве примера использована модельная двухканальная задача. Результаты третьей главы опубликованы в работе [А5].

В четвертой главе рассматривается задача рассеяния в системе трех заряженных частиц. В координатах Якоби уравнение Шредингера имеет вид

з \

Ф(х,у) = 0. (31)

^М/3,7 lVa,8l j

Искаженная падающая волна вводится как решение уравнения Шредингера

Ф*(х„,Уа)=0, (32) Здесь используется ступенчатая функция

Яо + Va(Xe) + xR(ya) ЪМ - Е

ХлО/а) = 1(0), при уа < R(ya> R),

и дополняющая ее ступенчатая функция хН(Уа) = 1 — Xr(Ус,)- Для разности Ха = Ф - Ф^ получается неоднородное уравнение

tfo + X>(X/3)-£;j Ха{х,у) =

-XRiVajVKlix-a) ехр [и/л-г, log2pKoR] exp

Функция описывает связанное состояние двух частиц до столкнове-

ния. Параметр Зоммерфельда г]Ко описывает асимптотическое кулоковское взаимодействие между связанной парой и налетающей третьей частицей.

Функция Ха(к, у) по построению ведет себя, как суперпозиция расходящихся волн во всех асимптотических областях. Выполнены все условия необходимые для применения комплексного вращения. После применения этого

преобразования получается задача с нулевыми граничными условиями. Для численного решения этой задачи функция Ха(х,у) разлагается в ряд оо L L

г=±11=0 L' = -LL;=0

Функции F£,'tl являются линейными комбинациями /^-функций Вигнера. Компоненты 1г(ха,уа^а) удовлетворяют системе связанных уравнений:

Н2

211а,01 h2

2 Ц0П

д2 ^ 2 д

+ ■

.2[icfifVl ' h2

ФмЛх<*,Уа,ва) Фт(ха, Уа, ®а) + [^(Za, Уа, ва) ~ Е}ф^{ха, уа, ва)

Ъ1} (щ+соЬваА, - ^к*2) ^(«..«..о

У'1'

-A +(L, s)y/l+stfl + (1 + s) cot ea A_(L, s) y/1 + <5Sii - {s - 1) cot 6a

= -Хд(Уа) [

т/ = ±1, J = 0,..., oo, M = -J,...,J, S = (1-T?)/2,...,J,

v/2 + 2I

(35)

где

^о.М^тЗ/аА) = exp [iT?Kolog2pKS^]

x EiAjA(PKoj/Q)(2A + l)Qf3A0C^A0 (36)

A=0

и A±(J,s) = y/J{J + 1) — s(s ± 1). Система уравнений (35) после преобразования комплексного вращения может быть решена численно используя компьютерную программу FAMCES, созданную в последние годы совместной

группой Стокгольмского и Санкт-Петербургского университетов. Предварительные результаты четвертой главы опубликованы в работе [A3].

Список публикаций

Al. Volkov М. V., Elander N., Yakovlev S. L., Yarevsky E. Solving the Coulomb scattering problem using the complex scaling method // Euro Phys. Lett. 2009. Vol. 85. P. 30001.

A2. Волков M. В., Эландер H., Яревский Е., Яковлев С. J1. Задача рассеяния заряженных частиц и метод комплексного вращения координат // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2009. Т. 4, № 4. С. 275-284.

A3. Elander N., Volkov М. V., Larson A. et al. Quantum scattering with the driven Schrodinger approach and complex scaling // Few Body Systems. 2009. Vol. 45. P. 197.

A4. Yakovlev S. L., Volkov M. V., Yarevsky E., Elander N. The impact of sharp screening on the Coulomb scattering problem in three dimensions // J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. P. 245302.

A5. Volkov M. V., Yakovlev S. L., Yarevsky E., Elander N. Potential splitting approach to multichannel Coulomb scattering: the driven Schrodinger equation formulation // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 83. P. 032722.

Цитированная литература

1. Lippmann В. A., Schwinget J. // Phys. Rev. 1950. Vol. 79. P. 469.

2. Gell-Mann M., Goldberger M. L. // Phys. Rev. 1953. Vol. 91. P. 398.

3. Hack M. N. // Phys. Rev. 1954. Vol. 96. P. 196.

4. Moses H. E. // Nuovo Cimento. 1955. Vol. 1. P. 103.

5. Ekstein H. // Phys. Rev. 1956. Vol. 101. P. 880.

6. Фаддеев JT. Д. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1960. Т. 39. С. 1459-1467.

7. Фаддеев JI. Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц // Труды математического института им. В.А. Стек-лова. 1963. Т. 69. С. 1-122.

8. Merkuriev S. Р. // Ann. Phys. 1980. Vol. 130. P. 395.

9. Меркурьев С. П., Фаддеев JI. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. Наука, М., 1985.

10. Nuttall J., Cohen Н. L. // Phys. Rev. 1969. Vol. 188. P. 1542.

11. Rescigno T. N., Baertschy M., Byrum D., McCurdy C. W. // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. P. 4253.

12. Elander N., Levin S. В., Yarevsky E. // Phys. Rev. A. 2001. Vol.64. P. 012505.

13. Elander N., Levin S. В., Yarevsky E. // Int. J. Quant. Chem. 2009. Vol. 109. P. 459.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 11.05.11 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ JVf 1179. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Волков, Михаил Валериевич

Введение

Глава 1. Применение метода комплексных вращений для решения задачи потенциального рассеяния.

1.1. Постановка задачи рассеяния в системе двух частиц.

1.2. Парциальное разложение. Одномерная задача рассеяния

1.3. Применение метода комплексных вращений к задаче рассеяния

1.4. Рассеяние в системе двух заряженных частиц.

1.5. Применение метода расщепления потенциала к решению задачи рассеяния в системе двух заряженных частиц.

1.6. Численная проверка результатов.

Глава 2. Решение трехмерной задачи рассеяния для обрезанных кулоновских потенциалов С# и Ск.

2.1. Задача рассеяния для потенциала Сд.

2.2. Задача рассеяния для потенциала Ск.

2.3. Неоднородное уравнение.

Глава 3. Многоканальная задача рассеяния.

3.1. Постановка задачи для многоканального рассеяния в системе двух частиц.

3.2. Применение метода расщепления потенциала к решению многоканальной задачи рассеяния.

3.3. Результаты расчетов

Глава 4. Решение задачи рассеяния в системе трех заряженных частиц.

4.1. Задача рассеяния в системе трех частиц. Координаты Якоби.

4.2. Применение метода расщепления потенциала к решению задачи рассеяния в системе трех заряженных частиц.

4.3. Отделение вращательных координат. Решение задачи в представлении полного углового момента.

Введение диссертация по физике, на тему "Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений"

Актуальность работы Исследование квантовых систем, состоящих из нескольких частиц, имеет большое значение в физике. Понимание процессов в таких системах может дать качественную, а во многих случаях и количественную, информацию для решения задач; связанных с гораздо большим числом взаимодействующих частиц. Исследование процессов рассеяния в малочастичных квантовых системах позволяет описать различные реакции, происходящие при столкновениях атомов и молекул. В диссертации основное внимание уделено квантовой задаче рассеяния в системах, состоящих из двух или трех частиц. Теория потенциального рассеяния, к которому сводится рассеяние в системе двух частиц, была развита в 50-х годах прошлого века в работах Липпманна и Швингера [1], Гелл-Манна и Голдбергера [2], и других [3-5]. При описании рассеяния в системе трех частиц возникли существенные трудности. Эти трудности были преодолены в работах Л. Д. Фаддеева [6, 7]. Рассеяние в системе трех заряженных частиц представляет собой намного более трудную задачу, чем рассеяние нейтральных частиц, из-за медленного убывания кулоновского потенциала. Обобщение уравнений Фаддеева, предложенное С. П. Меркурьевым [8, 9], позволило теоретически описать квантовую задачу рассеяния в системе трех заряженных частиц. При решение этой задачи возникают трудности не только теоретического, но и вычислительного характера, обусловленные теми же причинами. Для того чтобы обойти трудности, возникающие при вычислениях, в ряде работ американских физиков Наттала, Коэна [10], Ресиньо, МакКерди и других [11] был предложен подход, основанный на применении метода комплексных вращений к уравнению Шрсдингера. Метод комплексных вращений был успешно применен к задаче рассеяния трех нейтральных частиц. Однако оставался открытым вопрос о применении этого метода к рассеянию заряженных частиц. В данной диссертации приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния двух и трех заряженных частиц. Для трехчастичной задачи используются парциальные уравнения в представлении полного углового момента. В эти уравнения входят только три переменные, их можно решить численно. Для вычислений может быть использована программа ЕАМСЕБ [12, 13]. В эту программу были внесены изменения для того, чтобы с помощью ее можно было находить решение задачи рассеяния.

Цель диссертационной работы

3. Показать, каким образом полученный метод может быть применен для практических вычислений.

Научная новизна В диссертации впервые решены следующие задачи:

2. Получены интегральное и локальное представления для амплитуды рассеяния.

Научная и практическая значимость В диссертации приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния трех заряженных частиц. Представлен алгоритм практического применения метода для расчетов. Компьютерная программа, основанная на этом алгоритме, позволит вычислять сечения рассеяния для различных систем из трех заряженных частиц и получать точные результаты, которые до этого было возможно получить лишь в том или ином приближении.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах [14-18] в журналах из перечня ВАК.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Волков, Михаил Валериевич, Санкт-Петербург

1. Lippmann В. A., Schwinger J. // Phys. Rev. 1950. Vol. 79. P. 469.

2. Gell-Mann M., Goldberger M. L. // Phys. Rev. 1953. Vol. 91. P. 398.

3. Hack M. N. // Phys. Rev. 1954. Vol. 96. P. 196.

4. Moses H. E. // Nuovo Cimento. 1955. Vol. 1. P. 103.

5. Ekstein H. // Phys. Rev. 1956. Vol. 101. P. 880.

6. Фаддеев JI. Д. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1960. Т. 39. С. 1459-1467.

7. Фаддеев J1. Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц // Труды математического института им. В.А. Стек-лова. 1963. Т. 69. С. 1-122.

8. Merkuriev S. Р. // Ann. Phys. 1980. Vol. 130. P. 395.

9. Меркурьев С. П., Фаддеев JI. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М. Наука, 1985.

10. Nuttall J., Cohen H. L. // Phys. Rev. 1969. Vol. 188. P. 1542.

11. Rescigno T. N., Baertschy M., Byrum D., McCurdy C. W. // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. P. 4253.

12. Elander N., Levin S. В., Yarevsky E. // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64. P. 012505.

13. Elander N., Levin S. В., Yarevsky E. // Int. J. Quant. Chem. 2009. Vol. 109. P. 459.

14. Volkov M. V., Elander N., Yakovlev S. L., Yarevsky E. Solving the Coulomb scattering problem using the complex scaling method // Euro Phys. Lett. 2009. Vol. 85. P. 30001.

15. Волков M. В., Эландер H., Яревский Е., Яковлев С. J1. Задача рассеяния заряженных частиц и метод комплексного вращения координат // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2009. Т. 4, № 4. С. 275-284.

16. Elander N., Volkov М. V., Larson A. et al. Quantum scattering with the driven Schrodinger approach and complex scaling // Few Body Systems. 2009. Vol. 45. P. 197.

17. Yakovlev S. L., Volkov M. V., Yarevsky E., Elander N. The impact of sharp screening on the Coulomb scattering problem in three dimensions //J. Phys.A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. P. 245302.t

18. Volkov M. V., Yakovlev S. L., Yarevsky E., Elander N. Potential splitting approach to multichannel Coulomb scattering: the driven Schrodinger equation formulation // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 83. P. 032722.

19. Мотт H., Месси Г. Теория атомных столкновений. М. ИЛ, 1951.

20. Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М. Мир, 1966.

21. Ныотон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М. Мир, 1969.

22. Goldberger М. L., Watson К. М. Collision theory. Wiley, New York, 1964.

23. Taylor J. R. Collision theory. Dover, New York, 2006.

24. Gordon W. // Z. Phys. 1928. Vol. 48. P. 180.

25. Balslev E., Combes J. M. // Comm. Math. Phys. 1971. Vol. 22. P. 280.

26. Меркурьев С. П., Яковлев С. Л. // Доклады АН СССР. 1982. Т. 262, № 3. С. 591-594.

27. Меркурьев С. П., Яковлев С. Л. // Теор. Мат. Физ. 1983. Т. 56, № 1. С. 60-73.

28. Меркурьев С. П., Яковлев С. Л. // Ядерн. Физ. 1984. Т. 39, № 6. С. 1580-1587.

29. Merkuriev S. P., Yakovlev S. L., Gignoux С. // Nucí. Phys. А. 1984. Vol. 431. Pp. 125-138.

30. Яковлев С. Л. В кн.: Микроскопические расчеты легких ядер. Калинин, 1984.

31. Квицинский А. А., Куперин Ю. А., Меркурьев С. П. и др. // ЭЧАЯ. 1986. Т. 17, № 2. С. 267-317.

32. Merkuriev S. P., Motovilov А. К. // Lett. Math. Phys. 1983. Vol. 7. P. 497.

33. Kostrykin V. V., Kvitsinsky A. A., Merkuriev S. P. // Few Body Systems. 1989. Vol. 6. P. 97.

34. Motovilov A. K., Sofianos S. A., Kolganova E. A. // Chem. Phys. Lett. 1997. Vol. 275. P. 168.

35. Kolganova E. A., Motovilov A. K., Sofianos S. A. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1998. Vol. 31. P. 1279.

36. Sandhas W., Kolganova E. A., Ho Y. K., Motovilov A. K. // Few Body Systems. 2003. Vol. 34. P. 137.

37. Kolganova E. A., Motovilov A. K., Sandhas W. // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. P. 052711.

38. Zaytsev S. A, Knyr V. A., Popov Y. V. // Phys. At. Nucl. 2006. Vol. 69. P. 255.

39. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Y. V. // Phys. At. Nucl. 2007. Vol. 70. P. 676.

40. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Y. V., Lahmam-Bennani A. // Phys. Rev. A. 2007. Vol. 75. P. 022718.

41. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: Т. 1 Механика. 5-е изд. М. ФМЛ, 2002.

42. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: Т. 3 Квантовая механика. 5-е изд. М. ФМЛ, 2002.

43. Hislop P. D., Sigal I. М. Introduction to Spectral Theory: With Applications to Schrddinger Operators. Springer-Verlag New York Inc., 1996.

44. Simon B. // Phys. Lett. A. 1979. Vol. 71. P. 211.

45. McCurdy C. W., Martin F. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2004. Vol. 37. P. 917.

46. Kruppa А. Т., Suzuki R., Kato K. // Phys. Rev. C. 2007. Vol. 75. P. 044602.

47. Rescigno T. N., McCurdy C. W. // Phys. Rev. A. 2000. Vol. 62. P. 032706.

48. Noro Т., Taylor H. S. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1980. Vol. 13. P. L377.

49. Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М. Наука, 1979.

50. Temple G. // Proc. R. Soc. A. 1928. Vol. 121. P. 673.

51. Ford W. F. // Phys. Rev. 1964. Vol. 133. P. B1616.

52. Ford W. F. // J. Math. Phys. 1966. Vol. 7. P. 626.

53. Taylor J. R. // Nuovo Cimento В. 1974. Vol. 23. P. 313.

54. Semon M. D., Taylor J. R. // Nuovo Cimento A. 1975. Vol. 26. P. 48.

55. Горшков В. Г. // Журнал экспериментальной и теоретической физики.1961. Т. 40. С. 977-984.

56. Горшков В. Г. // Журнал экспериментальной и теоретической физики.1962. Т. 43. С. 1714-1726.

57. Alt Е. О., Sandhas W., Ziegelmann Н. // Phys. Rev. С. 1978. Vol. 17. P. 1981.

58. Deltuva A., Fonseca A. C., Sauer P. U. // Phys. Rev. C. 2005. Vol. 71. P. 054005.

59. Glöckle A., Golak J., Skibiñski R., Witala H. // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 044003.

60. Kouzakov K. A., Popov Y. V., Shablov V. L. // Phys. Rev. C. 2010. Vol. 81. P. 019801.

61. Deltuva A., Fonseca A. C., Sauer P. U. // Phys. Rev. C. 2010. Vol. 81. P. 019802.

62. Rittby M., Elander N., Brandas E., Bárány A. // J.Phys.B: At. Mol. Phys. 1984. Vol. 17. P. L677.

63. Bárány A., Brandas E., Elander N., Rittby M. // Phys. Scr. 1983. Vol. T3. P. 233.

64. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М. Физматгиз, 1963.

65. Shilyaeva К., Yarevsky Е., Elander N. // J. Phys. В: At. Mol. Opt. Phys. 2009. Vol. 42. P. 044011.

66. Iwai Т. // J. Math. Phys. 1987. Vol. 28. P. 1315.

67. Curtiss C. F., Hirschfelder J. О., Adler F. Т. // J. Chem. Phys. 1950. Vol. 18. P. 1638.

68. Curtiss C. F., Adler F. Т. // J. Chem. Phys. 1952. Vol. 20. P. 249.

69. Curtiss C. F. // J. Chem. Phys. 1953. Vol. 21. P. 1199.

70. Pack R. Т., Hirschfelder J. О. // J. Chem. Phys. 1968. Vol. 49. P. 4009.

71. Варшалович Д. А., Москалев A. H., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. М. Наука, 1975.

72. Мессиа А. Квантовая механика. М. Наука, 1978.