Точно решаемые модели квантовой теории рассеяния и оптики неоднородных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Т6 ОД

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи 4-93-158

СУЗЬКО Аллина Алексеевна

УДК 530.145

ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ И ОПТИКИ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1993

Работа выполнена в Лаборатории теоретической фиоики Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Александр Андреевич Андрианов

доктор физико-математических наук, профессор

Игорь Викторович Пуоынин

доктор физико-математических наук, профессор

Скифф Николаевич Соколов

Ведущее научно-исследовательское учреждение: Институт Физики Академии Наук Республики Беларусь, Минск

Защита, диссертации состоится на заседании специализированного Совета Д.047.01.01 в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований " О 6> 1993 г. по адресу: г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ. Автореферат разослал " ¿24. " 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

кандидат физ.-мат. наук В.И. Журавлев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основные припцппы решения квантовой обратной задачи сформулированы в работах советских математиков И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, В.А. Марченко, М.Г. Крейна, Л.Д. Фаддеева. Дальнейшее развитие теории с учетом физических приложений в сильной степени продвинуто в работах Р.Г. Ньютона, П. Сабатье, К. Шадана. Два подхода, данные Гельфандом - Левитаном и Марченко, стали классическими и являются моделью для постановки других вариантов обратных задач (03). Это касается формулировок одномерной задачи на всей оси, многомерной и многоканальной обратной задачи, 03 в Л - матричной теории рассеяния, дискретных конечно - разностных аналогов 03. Спектр применения методов 03 весьма широк: от теории вихрей до интерпретации экспериментов с распространением волн в световодах, от линейных мало-, многочастичных задач ядерной, молекулярной физики, многомерных задач оптики неоднородных сред, геофизики, акустики до нелинейных задач, моделирующих ряд физических явлений в гидродинамике, нелинейной оптике, плазме, кристаллических телах... .

К основным достоинствам метода следует отнести возможность существенного расширения перечня моделей квантовой механики и нелинейной теории волн, допускающих решения в замкнутом аналитическом виде. Поэтому весьма актуальна разработка методов получения точно решаемых моделей обратной задачи и примыкающих к ним обобщенных преобразований Баргмана и Дарбу, в особенности для исследования сложных многомерных, мало- и многочастичных объектов как с постоянными, так и с изменяющимися физическими характеристиками.

Перспективны в этой связи разработки адиабатического подхода, в котором естественным образом учитываются различные свойства и взаимное влпяние медленной и быстрой квантовых подсистем. Один из интересных аспектов адиабатического представления связан с возникновением калибровочных полей в нерелятивистских мало- и многочастичных квантовых системах в особенности в связи с открытием Берри геометрической адиабатической фазы. Дальнейшие этапы развития теории существенным образом определены работами Вильчека и Зи, Ааронова и Анандана. Виль-чек и Зи показали, что ыеабелевы эффективные калибровочные поля возникают в адиабатической трактовке молекулярных систем с вырожденными электронными состояниями. Ааронов и Анандан обобщили подход введением неадиабатических неабелевых геометрических фаз. Одно из следствий подхода - возможность предсказания и объяснения возникающих в молекулярных системах эффектов, эквивалентных эффектам Ааронова - Бома

и Холла, сверхпроводимости, нелинейных явлений. Условия для возникновения эффектов, подобных квантовому эффекту Холла и нестандартной статистики, туннелирования, нелинейных явлений, появляются при наличии суперсимметрии для систем многомерных калибровочных уравнений; при этом основное состояние - состояние вакуума - вырождено. Возникают важные вопросы, можно ли сохранить суперсимметрию в более общем случае с дополнительной матрицей скалярных потенциалов, сохранятся ли при этом условия для топологических эффектов, геометрических фаз. Необходимо также учитывать возникновение неадиабатических геометрических фаз вследствие пересечения термов. Супер симметричная квантовая механика к тому же позволяет находить точные решения для широкого класса задач, включая многие из моделей, получаемых методами обратной задачи рассеяния и преобразований Дарбу.

Как известно, непосредственное решение многомерной 03 встречается с определенными трудностями. Представляет интерес поиск и разработка конструктивных способов решения 03, посредством сведения их к задачам меньшей размерности. Важное значение в современной физике придается изучению трехчастичных систем, где необходимо учитывать такие разнородные процессы как перераспределение фрагментов и полный развал. После создания Фаддеевым строгой теории рассеяния в системе трех частиц в ядерной и молекулярной физике начался интенсивный процесс ее применения. Возникла насущная потребность в развитии методов практического решения трехчастичных задач рассеяния. Для изучения процессов взаимодействия в системе трех частиц М. Борном было предложено использовать метод адиабатического разложения. Решения двухцентровых задач могут служить адиабатическим 'базисом, по которому разлагаются решения более сложных задач при описании быстрого движения легкой частицы в поле двух тяжелых. Сюда же относятся задачи о столкновении атомов и мезоатомов. Последние можно рассматривать как практически важные случаи более общей постайовки трехчастичной задачи в глобальном адиабатическом подходе. В ядерной физике существует класс задач о квантово-механическом рассеянии в произвольном аксиально-симметричном поле, для которого уравнение Шредингера допускает разделение переменных в сфероидальных координатах. Все это делает привлекательной возможность использования различных типов адиабатических базисов при решении прямой и обратной трехчастичных или многомерных задач рассеяния и построении соответствующих точно решаемых моделей. Можно ожидать, что благодаря достоинствам адиабатического подхода развитие его в прямой, постановка и разработка в обратной трехчастичных и многомерных задачах позволят достичь успеха в этих сложных и бурно развивающихся областях.

Применение методов обратной задачи наряду с алгебр ame схимп преобразованиями Баргмана, Дарбу позволяет занять активную позицию при разработке и прогнозировании свойств физических систем с требуемыми характеристиками рассеяния. Например, в квантовой теории рассеяния -это разработка моделей с прозрачными (безотражательными) потенциалами; со связанными состояниями, погруженными в непрерывный спектр п дающими в отличие от прозрачных полное надбарьерное отражение; запирающими потенциалами, вообще не имеющими спектра излучения; потенциалами ограниченного радиуса действиями на основе Jí-матричной теории обратной-оадачи; спектрально- пли фазово-эквивалентными потенциалами. В оптике неоднородных сред при синтезе направляющих устройств (световодов, ответвителей ... ) с заданными сиетральпыми характеристиками пропускания - это установление закона распределения электродинаических характеристик и оптимизация режимов процессов их изготовления. При этом необходимо согласованное решение двух обратных задач: электродинамики и тепло- и массообмена.

Все указанные выше обстоятельства предопределили цель настоящей диссертации, которая состоит в формулировке обратной задачи рассеяния в адиабатическом подходе, разработке па этой оспове точно решаемых моделей квантовой теории рассеяния, конструировании обобщенных алгебраических преобразований Баргмана, Дарбу применительно к сложным многомерным и трехчастичным квантовым системам, а также волноведущим структурам в оптике неоднородных сред; исследовании проблем суперсимметрии систем калибровочных уравнений, связанных с введением скалярных потенциалов и неадпабатическими геометрическими фазами.

Научная новизна: Сформулирована многомерная обратная задача рассеяния в адиабатическом подходе на основе согласованной формулировки двух взаимосвязанных нестандартных обратных задач: параметрической для гамильтониана быстрого движения с характеристиками рассеяния, зависящими от медленной координатной переменной, и многоканальной для систем уравнений калибровочного типа, описывающей медленную динамику. В этом методе исследованы прямая и обратная трехчастичные задачи рассеяния с учетом процессов с перераспределением п развалом на основе адиабатического гиперсферического представления для уравнений Фаддеева и Шредингера.

Предложен п разработан метод построения многопараметрических многомерных и трехчастичных точно решаемых моделей посредством обобщения техники баргмановских потенциалов на параметрическое семейство обратных задач и для систем уравнений с ковариантной производной. Этот

метод применен также к задачам рассеяния на аксиально - симметричном двухдентровом потенциале, в котором расстояние между двумя взаимодействующими частицами, помещенными в центрах сфероида, имеет смысл адиабатической переменной.

Разработаны алгебраические методы конструирования точно решаемых моделей с переменными значениями энергии и орбитального момента, обобщающие преобразования Баргмана и Дарбу. Предложенные алгебраические преобразования используются для построения многоканальных потенциальных матриц баргмановского типа и соответствующих им решений без применения интегральных уравнений обратной задачи, а также для конструирования аксиально-симметричных аналитических потенциалов.

На основе обобщенного метода Марченко дан простой способ построения семейств фазово-эквивалентных потенциалов в том числе с параметрической зависимостью в данных рассеяния от внешней динамической переменной.

В замкнутом аналитическом виде конструируются потенциалы ограниченного радиуса действия и соответствующие им решения в одноканальной и многоканальной Д-матричной 03; Получены некоторые экзотические модели со связанными состояниями в непрерывном спектре.

Предложены способы реализации спектральных методов 03 в технологии изготовления оптических вопноведущих устройств, работающих в заданном Лг-модовом режиме.

Практическая ценность. Разрабатываемые точно решаемые модели обратной задачи дают единую концепцию решения ряда практически важных вопросов, касающихся выбора класса потенциалов, получения тестовых вариантов и приближений в реальных малочастичных и многочастичных задачах ядерной физики, в задачах синтеза оптических устройств и элементов интегральной оптики, которые сводятся к многомерным и параметрическим задачам рассеяния в средах с изменяющимися свойствами. Представленная формулировка прямой и обратной трехчастичных и многомерных задач рассеяния в адиабатическом подходе дает конструктивный метод решения широкого круга практически важных задач ядерной, атомной, молекулярной физики и оптики неоднородных сред. Обратная задача рассеяния в адиабатическом подходе расширяет область применимости метода в теории нелинейных волновых уравнений, моделирующих ряд физических процессов в различных областях физики. Предложенные алгебраические методы, обобщающие преобразования Баргмана и Дарбу, легко адаптируются для расчетов на ЭВМ и позволяют избежать трудоемких-расчетов интегральных уравнений обратных задач рассеяния. Основные результаты диссер-

тацпп представляют практический интерес и могут быть использованы в институтах, занимающихся развитием таких актуальных направлений как физика взаимодействия нескольких частиц, дифференциально - геометрические методы в физике, теория нелинейных эволюционных уравнений, в частности, в ОИЯИ, ЛГУ, МГУ, ИФВЭ, ИФ АН Б, Флоико-Технпческий Институт АН Б, ИТМО АН Б, ИРФХП АН Республики Беларусь.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации доложены на семинарах ЛТФ и ЛВТА ОИЯИ, Института тепло - и массообмена АН БССР, Института Физики АН БССР, Института ядерной энергетики АН БССР, теоретического отдела ИФВЭ, представлены на международных конференциях "Few Body system, Тбилпсси, 1984, Япония, 1986, Van - Couver, 1989, Ужгород, 1990, Международном симпозиуме по электромагнитной теории, Будапешт 1986, на Международных семинарах "Микроскопические методы в теории систем нескольких частиц", Калинин, 1988, "Schrodinger operators, standard and nonstandard", Duhna, 1988, "Topological Phases in Quantum Theory", Dubna, 1988.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-36].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Каждая глава содержит введение, основную часть и заключение. Общий объем диссертации - 250 страниц машинописного текста. Список литературы состоит из 221 наименований.

Содержание работы

Введение содержит постановку и актуальность задач, рассмотренных в диссертации, а также краткое содержание и результаты.

В первой главе в адиабатическом подходе сформулирована многомерная обратная задача рассеяния, которая с необходимостью сводится к согласованной формулировке двух взаимосвязанных нестандартных задач: параметрической для гамильтониана быстрого движения h} и задачи для Многоканальных систем связанных уравнений калибровочного типа, описывающей медленную динамику. Предложен метод генерирования широкого класса точно решаемых многомерных моделей на основе развитой в диссертации техники баргмановекпх потенциалов для параметрического семейства обратных задач и многоканальных систем связанных уравнений с ковариан-гной производной. Формулировка обоих типов 03 дана в обобщенных методах Гельфанда - Левитана и Марченко.

В параграфе 1.2 дана постановка многомерной задачи рассеяния в ади-

абатическом подходе, используя его геометрические п спектральные свойства. На простом примере продемонстрировано возникновение геометрической фазы в N - мерном пространстве.

Решение сложных многомерных задач часто основано на процедуре размерной редукции пространства М = В х М посредством использования разложения волновой функции исходного гамильтониана по полному набору известных базисных функций. Адиабатическое представление, где для гамильтониана Н вводят разбиение

II — /г® ® / + /г-^, (1)

соответствует введению расслоенных гильбертовых пространств Н = 1в®Тх<1ц{Х), где В есть база, ц(Х) - положительная мера на ней и слои Тх образуют семейства гильбертовых пространств, параметризованных точками X е В. Здесь оператор Л8®/ действует как /г" по переменным X и как единичный оператор по остальным координатным переменным. Нефиксированные спои Тх образованы из собственных функций Ф„(Х; •) е Тх самосопряженных операторов №(X).

к^Х)Ъп{Х--)=£п{Х)ЩХ-,-). (2)

Полная волновая функция системы в таком подходе представляется в виде разложения

Ф(Х) = £/Фп№ •)*,(*)■ (3)

п ^

по собственным состояниям {Ф„(А';-)} самосопряженного гамильтониана быстрого движения М(Х) при каждых фиксированных значениях медленных переменных X. Подстановка разложения ( 3) в исходное уравнение Шредингера и проецирование на какое-то одно из состояний ФП(Х; ■) в слое Тх с учетом их ортогональности < п\гп >= 6пт приводит к многоканальной задаче рассеяния для коэффициентов

[-(V ® / - ¿А(Х))2 + У(Х) - Р2]Х{Х) = 0. (4)

Здесь А(Х) и У(Х) - эрмитовы матрицы эффективных векторного и скалярного потенциалов, индуцируемых функциями базиса

А,т(Х) =< Ф„|г'У|Фт >; (5)

Упт(Х) =< Ф„(Х,-)\У{Х) + -)|Фт(Х, .)| >= £п(Х)6пт + У'т(Х). (б)

Матрица У(Х) состоит из диагональной потенциальной матрицы У1(Х), элементы которой совпадают с энергетическими уровнями £т(Х) мгновенного гамильтониана У (X) ( 2) и некоторой дополнительной потенциальной

матрицы Уп8т(Х), содержащейся только в системе уравнений ( 4), зависящей от медленных переменных.

Таким образом, исходная задача сведена к двум нестандартным меньшей размерности: параметрической в слое Тх Для гамильтониана быстрого движения ( 2) и задаче для систем уравнений калибровочного типа ( 4). Особенность параметрической обратной задачи заключается в том, что данные рассеяния зависят от адиабатической координатной переменной. Отличие полученной в адиабатическом подходе многоканальной системы связанных уравнений с коварпантной производной О(Х) — Чх® / - гА(Х) от обычной состоит в том, что связь между каналами при У*т(Х) = 0 осуществляется не матричными элементами потенциальной энергии, а матричными элементами оператора связности Апт, генерируемых функциями базиса |ФП > ( 5) и имеющими смысл эффективного калибровочного поля.

В разделе 1.3 обратная задача рассеяния для спстем уравнений калибровочного типа сведена к определению парциальной инвариантной 5 - матрицы по известным многомерным амплитудам /(Р,Х) и последующему восстановлению эффективных векторной А(Х) и потенциальной У(Х) = \Г$(Х) + У^ (X) матриц, а также матричных решений х(Х). Принципиально она решена благодаря использованию унитарного преобразования калибровочного типа и*(Х)=и~1(Х), и{Х,Х°) ее и{Х)

х

и(Х)=Рехр{1 А(ХУХ', ■ (7)

осуществляющего переход к фиксированному базису |е(-) >= |Ф(Х°; •) >

|Ф(Х;.) >= \е{.)>и{Х,Х% и(Х,Х°) =< е(.)|Ф(Х, •) >

и приводящего систему с удлиненной производной ( 4) к системе обыкновенных уравнений с зацеплением за счет эффективной потенциальной матрицы

{--¿ + У'(Х)-Р2)}х'(Х,Р) = 0, (8)

для новых коэффициентов связанных со старыми \ соотношением

х'(Х,Р)=и(Х)х(Х,Р). (9)

В результате калибровочного преобразования ( 7) эффективные скалярные и векторные потенциальные матрицы в ( 4) принимают вид

V' =и(£ + У)и~\ А'^иАи^-ШдМ'1.

Как хорошо известно из векторного анализа, с помощью калибровочного преобразовавания можно добиться уничтожения векторного потенциала в

случаях, когда rotA = 0. Для неабелевых калибровочных полей, с которыми мы имеем дело в адиабатическом представлении, этому условию соответствует обращение в нуль матричного тензора

= д^А" - диА» - г[А", А^] = 0 (10)

( на геометрическом языке - кривизна). Нетривиальные топологические эффекты (например, эффект Холла) имеют место именно тогда, когда Рру 0 (см. гл.4). В данной главе предполагалась выполнимость условия = 0 и отсутствие сингулярностей А-матрицы, возникающих, в частности, при пересечении потенциальных кривых.

Однако задача решена не полностью, если заранее не известен исходный многомерный потенциал V!(X), описывающий быструю динамику. Его нельзя определить, как в обычной многоканальной теории рассеяния, даже после того, как по заданной 5- матрице найдены потенциальные матричные элементы VI(X). Трудность состоит в том, что базисные функции |Ф(Х; ) > определяются тем же пока неизвестным потенциалом У/(Х) при решении "быстрого" параметрического уравнения ( 2). Восстановить потенциал VI (X) и найти функции движущегося репера |Ф > можно с помощью формализма 03 для уравнения ( 2) при параметрической зависимости данных рассеяния {3(Х;К),£„(Х),уп(X)} от адиабатических переменных, определяемых, в свою очередь, после решения "медленной" системы связанных уравнений ( 4). В этом состоит одно из проявлений взаимной зависимости двух задач: матричные элементы оператора связности, индуцированные состояниями базиса |Ф > "быстрого" параметрического гамильтониана, генерируют унитарный билокальный оператор И(Х, Х°) параллельного переноса репера из одной точки базы X" е В в другую X е В.

Параграф 4 посвящен исследованию и конструированию точно решаемых моделей для многоканальных систем уравнений калибровочного типа. Используя процедуру факторизации по индексам каналов помимо координат в ядрах интегральных уравнений обратной задачи €}{Х,Х') и К(Х, X'), в замкнутом аналитическом виде получены простые и ясные выражения для потенциальных матриц и соответствующих им решений. Продемонстрировано, как из факторизации по индексам каналов нормировочных матриц следует факторизация ядер С} и К, существенно упрощающая алгебраические соотношения 03 и их вывод. Полученные формулы используются для восстановления в замкнутом аналитическом виде матриц взаимодействия "медленного" У3(Х) и "быстрого" VI(X) движения и отвечающих им матриц решений

В разделе 1.5 приведены основные соотношения параметрической 03 в обобщенных подходах Гельфанда - Левитана, Марченко, Л -матричной те-

орпп. Задавая функциональную зависимость в данных рассеяния от адиабатической переменной, параметрическую 03 удобно использовать для моделирования эффективных потенциалов в координатном пространстве с размерностью N > 2. Формулировка параметрической 03 дана на примере восстановления двумерного потенциала VI(X, У) и соответствующих ему решений; Введены функции Йоста /±(к,Х),3(к,Х) - матрицы, нормировки М(Х) с параметрической зависимостью от внешней координатной переменной X, установлены соотношения связи этих характеристик с данными задачи рассеяния для фиксированного базиса |е(У) >= |Ф(Л'°, У) >. Эти соотношения реализуются с помощью того же билокального оператора и(Х,Х°), посредством которого осуществлялось калибровочное преобразование "медленной" системы связанных уравнений.

Параметрическая постановка обратной задачи рассеяния позволяет получить новый класс точно решаемых задач (раздел 1.6), связанных с данными рассеяния, зависящими от динамического параметра. Для этого введена дробно-рациационная функция Поста с параметрической зависимостью от динамических переменных А" через зависимость от них спектральных параметров

№*)=/(*)П (и)

Параметрическая функция Поста ( 11), имеет N простых полюсов при к = {^(Х) и N простых нулей при к = iaj(X). Причем в а(Л') содержатся не только нули на мнимой полуоси к, отвечающие связанным состояниям Яек^Х) = 0, Гтк,](Х) > 0, но и нули в нижней полуплоскости с /ттшДX) < 0 (число простых полюсов равно числу значений к} и V} вместе взятых). Построен соответствующий класс потенциалов барг-мановского типа и отвечающих им решений в подходах Гельфанда - Левитана, Марченко, Я - матричном. Например, безотражательные (прозрачные) потенциалы по быстрой переменной Уст связанными состояниями £;(А) = -к?(Х)~ термами - и соответствующие им решения приобретают следующий аналитический вид

К(А;У)=-2^1пс1еЧ|Р(Х;Г)||, (12)

/±(Х-,к,У) = схр(±гкУ) +

, ^ 72п(Х) ехр[-МА-)У]Р-' № У) ехР[(-^(А) * + ^ : Т^Х^Тк — * (13)

Для решений Йоста при к = 1кп{Х) получаем

т

/акп(Х),¥) = ^ехр{-к^Х)¥}Р^(Х-,У) (14)

]

с матрицей коэффициентов Р^п(Х] У), параметрически (через спектральные параметры) зависящей от X

В случае одного связанного состояния получаем потенциал типа Эккарта

угу.-П- о 2к(Х)ТЗДехр[-2/фУ)У] П ' 1 + (у2(Х)/2к(Х))ехр(-2к(Х)¥)' ^

который преобразуется к более простому виду, известному в теории солп-тонов, при использовании подстановки ехр[2к(Х)К] — ^2(Х)/2к(Х)

У(Х;У) - уо(х)] • (1?)

Решения Поста, ему отвечающие, на траектории изменяющегося связанного состояния -к2(Х), а также при произвольных значениях к запишутся в явном виде, соответственно

= (18)

Отметим, что использование техники адиабатического представления позволяет увеличить размерность пространства, для которого возможна формулировка 03 и конструирование точно решаемых моделей. Формулировка двух нестандартных взаимосвязанных обратных задач на которые разбивается исходная: параметрической в слое для гамильтониана быстрого движения и многоканальной задачи для систем связанных уравнений с ковари-антной производной, помимо решения поставленной общей проблемы имеет и самостоятельный интерес, поскольку открывает богатые возможности для моделирования потенциалов в сложных многомерных, трехчастичных и многочастичных системах и расширяет область применимости метода 03 при исследовании нелинейных уравнений.

Во второй главе для класса быстроубывающих потенциалов формулируется адиабатический подход к трехчастичной задаче рассеяния на основе

гиперсферического адиабатического представления для модифицированных уравнений Фаддеева н Шредингера. Использование геометрического подхода, универсального базиса, позволяющего учитывать все возможные каналы трехчастичной системы, включая процессы с перераспределением ее фрагментов и полным развалом, и спектральной теории позволило предложить глобальный адиабатический подход для решения прямой и обратной трехчастнчных задач рассеяния, последовательно сводя их к многоканальной радиальной с ковариантной производной и параметрической квазиугловой в слое Тх-

В разделе 2.2 дана постановка и геометрическая интерпретация трехчастичной задачи рассеяния в "глобальном" адиабатическом подходе. Установлены общие соотношения связи между адиабатическим представлением для фаддеевских компонент и шредингеровских трехчастнчных волновых функций в гиперсферической параметризации X = {Х;Х} бМ = Ы+ х М конфигурационного пространства относительного движения трех частиц X = х„ +уа, причем X — + у\ - гиперрадиус, универсальный для всех фаддеевских компонент Ра{Х). В результате построен гиперсферический адиабатический-базис {Ф,(Х;Х} е Тх ид локальных базисных компонент

Фаддеева = 1,2,3) - решений модифицированных уравнений Фадде-

~ 5

ева на "сфере" М = ¡3Л-(Х) при фиксированных значениях инвариантной медленной переменной X г В. Адиабатическое представление трехчастичной волновой функции Ф,(Х, Р) Р)

■ ?

Ф.-(Х,Р) = Е ФАХ&Х^хц^Р); (20)

Р: 1 .

задает гильбертово расслоение К с универсальной базой В — э X, типовым слоем Тх =■ Ь2(М,<£М), образованным из собственных функций Ф быстрого гамильтониана Н^(Х;Х), и связностью А : А^ = г < > .

Последняя обеспечивает связь между различными состояниями быстрой подсистемы и вместе с функциями базиса согласование асимптотических решений системы радиальных уравнений калибровочного типа с физическими граничными условиями задачи трех тел.

В параграфах 2.3 - 2.5 общая постановка детально разрабатывается для случая быстроубывающпх потенциалов внутричастичных взаимодействии. Параграф 2.3 посвящен изучению свойств универсального адиабатического базиса {Ф,}. Вводится разбиение полного набора состояний адиабатического базиса {Ф} = Ф++Ф^ в соответствии с различным асимптотическим поведением собственных значений самосопряженного быстрого гамильто-аиана Н? : £+(Х -» оо) > 0 и £~{Х -> оо) < 0, которые воспроизводят все пороговые особенности трехчастичной системы, включая развал и кластер-

ные состояния, соответственно. С физической точки зрения существование универсального базиса {Ф} является следствием того факта, что все статические парные взаимодействия Va различных фрагментов, образующие трехчастичную систему и определяющие особенности ее поведения, полностью содержатся в быстром гамильтониане

= + £Va(X,Xa), (21)

-Л-о а

который действует в слое Тх и зависит от точки А' базы В как от параметра.

В разделе 2.2а исследуется многоканальная система радиальных уравнений калибровочного типа, полученная с помощью вышеописанного единого адиабатического базиса. В пунктах 2 (а,г,д) решения медленной системы анализируются с использованием свойств операторов связности А(Х) и параллельного переноса U(X,X°) и их асимптотик, причем последнее существенно для сшивки асимптотик физической трехчастичной волновой функции и фаддеевских компонент.

В разделе 2.4 приведены и исследуются матричные решения Иоста, регулярные и физические решения, а также матрицы Иоста для медленной системы радиальных уравнений с ковариантной производной [dx - iA(X)], которая проявляется как наличие потенциалов, зависящих от скорости.

В 2.5 получены соотношения связи между инвариантной парциальной S-матрицей, матричными амплитудами в глобальном адиабатическом базисе и реалистическими амплитудами переходов для описания процессов рассеяния 2 2,2 3,3 2,3 3.

В 2.6 на основе разрабатываемого подхода сформулирована трехчастич-ная обратная задача и предложен метод конструирования точно решаемых трехчастичных моделей. В плане приложений параметрическая формулировка обратной задачи позволяет решать вопрос о выборе того или иного класса парных потенциалов, применяемых в расчетах различных ядерных систем, а также восстанавливать эффективные потенциалы, состоящие из суммы парных. При известных парных потенциалах решение обратной задачи для системы радиальных уравнений дает возможность восстановить потенциалы трехчастичного взаимодействия.

В Главе 3 разрабатываются алгебраические методы генерирования точно решаемых моделей с переменными значениями энергии Е и орбитального момента Z, обобщающими преобразования Баргмана и Дарбу. В частном случае I = const они переходят в обычные выражения для решений и потенциалов баргмановского типа в подходах Гельфанда - Левитана или Марченко с вырожденным ядром оператора обобщенного сдвига и в преобразования

такого же типа при Е = const. Предложенные алгебраические преобразования используются для построения многоканальных потенциальных матриц, а также двухцентровых аксиально симметричных потенциалов и соответствующих им решений в замкнутом аналитическом виде.

В 3.2 преобразования Дарбу, Крама - Крейна обобщены для получения широкого класса потенциалов и соответствующих им решений

ПО (Г) - 2^1-[^¿Ь Ъ (г)] - jjJ^, (22)

ф(г,Е,\)=. ; \У{у(г),Ф(г,Е,\)} (23)

У (г) Л + ат1

в замкнутом аналитическом виде для переменных параметров I и Е, изменяющихся, однако, не независимо, а вдоль лучей, определенных в (Л2,£) -плоскости (А = I + 1/2, а = (Е' - Е)/(А2 - Л'2), что соответствует аЕ -f ЬХ2 =

о

а = const, а = Ь/а. Выражение ( 23) преобразует решения ф (г,Е,\) уравнения Шредингера с известным потенциалом V (»') в решения ф(г,Е,Х) уравнения Шредингера

- d4{rd^X) + У(т)ф[г, Е, Л) + - Е) ф(г, Е, А) = 0, (24)

с потенциалом V(r), определяемым формулой ( 22), при условии, что у (г) Ф О II (1 + от2) Ф 0 на интервале а < г < Ь. Когда лучи параллельны Е или Л -осям, получаем преобразования Крама - Крейна с I = const пли Е = const, как частные случаи предложенного общего подхода. Обобщенные преобразования, как и обычные, можно применять повторно к уже полученным. Многократное пх использование дает дополнительно новые точно решаемые модели.

В 3.3 преобразования Баргмана обобщены на случай переменных значений энергии и орбитального момента. С помощью таких преобразований толучен новый класс потенциалов

V(r) -V w - (25)

¡опускающий аналитические решения уравнения Шредингера вдоль лучей, 'пределенных в (Л2, Е) - плоскости

ф{г,Е, X) =4 (г, Е,\)}-£ уМШУ (г, ^W(г, I, Л)} f (2б)

где функции уДг) = у (г, удовлетворяют уравнению ( 24) и совпадают

с точностью до некоторой константы с общим решением ( 26) при А .= \ll,E = Eli, т.е. уй(г) = С11ф(г,Ер,

о

Используя соотношение ( 26) и соотношение связи у^(г) с ф (г, запишем у^{г) в виде

м о

Ум(0 = Е Си ф (г, А,)Р-1(г), ' (27)

V

где .

р (r)4g | (г, Jgf«, Л - Д), ^ (rt Jgy, Л-»/)} ^ ^

Ер Ev

Таким образом, оператор

М 1

К(г, г') .= £ уДг)(1 + ¿j) ф (г', Е^Х,,),

о

определяемый соотношением ( 26), преобразует решения ф (г,Е,Х) радиального уравнения Шредингера ( 24) с известным потенциалом К (г) в решения ф(г,Е, А) ( 26) уравнения ( 24) с потенциалом V(r) ( 25).

Частными случаями являются соотношения для потенциалов и решений, полученных в подходах Гельфанда - Левитана, Марченко при I = const с вырожденным ядром К(г,г') оператора обобщенного сдвига, и Ньютона -Сабатье при Е = const. Установлена связь между обобщенными преобразованиями Баргмана и Дарбу для переменных значений энергии и орбитального момента: обобщенные преобразования Баргмана представимы как суперпозиция преобразований Дарбу.

В 3.4 метод алгебраических преобразований обобщен для уравнений вида

- <Рф{7, r)/dr2 + У{В.)ф(7, г) = 72%Ж7, г), (29)

находящих применение в различных разделах физики,в частности атомной (Гя 4), теории распространения электромагнитных волн, акустике, геофизике и т.д. При определенном выборе h(r) преобразования Баргмана и Дарбу как для фиксированных значений Е и /, так и для переменных получаются как частные случаи этих обобщенных преобразований.

В 3.5 без использования интегральных уравнений обратной задачи в замкнутом аналитическом виде конструируются матрицы решений и потенциалов как для постоянных, так и для переменных значений энергии и орбитального момента, что является обобщением соответствующего однока-нального подхода, развитого в 3.2 и 3.3. Установлены аналитические соотношения связи между различными потенциальными матрицами и соответствующими этим матрицам решениями. Полученные преобразования прг

I = const переходят в обычные выражения для матриц решений и потенциалов, полученных методом 03 при вырожденном ядре оператора обобщенного сдвига.

В главе 4 исследованы проблемы суперсимметрии систем калибровочных уравнений и неабелевых геометрических фаз Ааронова - Анандана, возникающих вследствие спнгулярностей недиагональных элементов наведенного оператора связности. Предложено обобщение виттеновской конструкции одномерной суперсимметричной квантовой механики на системы калибровочных уравнений в двумерном пространстве. Вводятся неадпабатпче-ские геометрические фазы Ааронова - Анандана, возникающие вследствие спнгулярностей недиагональных элементов наведенного оператора связности в точках пересечения термов. Разрабатываются обобщенные алгебраические преобразования Баргмана, Дарбу для двухцентровых потенциалов.

Параграф 4.2 посвящен изучению проблем суперспмметрпи для систем калибровочных уравнений и геометрических фаз, возникающих вследствие спнгулярностей наведенного оператора связности, в частпости, в точках пересечения потенциальных кривых. В 4.2.1 конструируется суперспмметрич-ный гамильтониан в двумерном пространстве на основе введения обобщенных виттеновских суперзарядов. Исследуются две возможности построения супергамильтонпана. В отличие от Глав 1 и 2 здесь существенно используется то, что в ряде случаев матричный тензор Ftn/ ^ 0 ( 10), отождествляемый с магнитным полем, не обращается в нуль. Показано, что дополнительная скалярная потенциальная матрица W(x,y) может быть добавлена с сохранением суперсимметрии и эффекта вырождения основного состояния, установленного Аароновым и Кашером при интерпретации движения электрона в перпендикулярном магнитном поле.

В рассматриваемом случае индуцированных в адиабатическом представлении калибровочных полей число нулевых мод определяется теоремой Атья-Сингера об индексе

XOj =(x + ia3yyexp{-a3jjBxy(x,y)dxdy}, (j = 1,...,N~ 1) (30)

Причем кратность вырождения нулевых мод для частицы, движущейся во внешнем калибровочном поле Вху(х,у),

Вху = дх(Ау - dxW) - ду(Ах + dyW) - i[(Ax + dyW), (Ay - dtW)\ (31)

связана с топологическим числом N, определяемым как поверхностный интеграл от матричного тензора Вху(х,у)

j jBxy(x,y)dxdy = 2n(N + e) , 0 < е < 1. (32)

. Здесь е, по сути дела, - геометрическая фаза, Если с = О, поток, определяемый как разница потока //Рху(х, у)Лх <1у и добавочного скалярного потенциала IV(х,у), квантован, и можно говорить о квантовом эффекте Холла и нестандартной статистике в двухатомных системах.

Теперь тривиально увидеть из ( 32) и ( 31), что присутствие скалярного потенциала может приводить к увеличению и наоборот к уменьшению или даже сокращению положительного индекса Лг; т.е. влияет на топологические эффекты.

В разделе 4.2.2 показано, что геометрические неадиабатические фазы возникают вследствие пересечения термов даже в одномерном случае. В параграфе 4.3 на основе адиабатического подхода исследуются точно решаемые трехчастичные модели с двухцентровыми потенциалами, в частности, для систем уравнений с ковариантной производной.

В разделе 4.4 на основе развитой в предыдущих параграфах техники обобщенных преобразований Баргмана - Дарбу конструируется класс двух-центровых потенциалов, допускающих решения в замкнутом аналитическом виде.

Глава 5 посвящена разработке и исследованию точно решаемых моделей квантовой механики с заданными спектральными характеристиками. Конструируются модели со связанными состояниями в непрерывном спектре, фазово-эквивапентные потенциалы, потенциалы ограниченного радиуса действия в Л - матричном формализме обратной задачи.

В параграфе 5.2 изложен способ получения фазово-эквивалентных потенциалов в обобщенном подходе Марченко. Конструируются семейства фазово-эквивалентных потенциалов с параметрической зависимостью от внешней динамической переменной.

В 5.3 на основе Л - матричной 03 рассеяния рассмотрено построение в замкнутом аналитическом виде потенциалов ограниченного радиуса действия и соответствующих им решений в одноканальном и многоканальном случаях. Конструируются потенциалы с совпадающими уровнями ( аналоги фазово-эквивалентных потенциалов ). Исследуются задачи со сдвигом и добавлением I? -матричных уровней. Разработанная техника используется для восстановления формы бесконечно глубоких потенциальных ям.

В 5.4 в многоканальном случае исследованы баргмановские модели со связанными состояниями, погруженными в непрерывный спектр. Приведены выражения для волновых функций и потенциалов, отвечающих таким связанным состояниям.

Глава 6 посвящена использованию методов обратной задачи рассеяния для решения проблем синтеза волоконно-оптических устройств с заранее

заданными спектральными характеристиками, например, такими, как частоты мод пропускания и их нормировки. Последовательно рассмотрены две обратные задачи: электродинамики и тепло- и массообмена.

В параграфе 6.2 с помощью квантовой обратной задачи рассеяния восстанавливается профиль диэлектрической проницаемости регулярного световода.

В параграфе 6.3 для нестационарного уравнения диффузии, описывающего измените концентрации примеси, моделируется технологический процесс создания неоднородного распределения диэлектрической проницаемости, полученный из решения первой задачи.

Основпые результаты:

1. Сформулирована многомерная обратная задача рассеяния в адиабатическом подходе на основе согласованной формулировки двух взаимосвязанных задач:

а) параметрической обратной задачи для гамильтониана быстрого движения с характеристиками рассеяния, зависящими от адиабатической координатной переменной ;

б) многоканальной 03 для систем уравнений калибровочного типа.

2. Предложен метод построения широкого класса точно решаемых многомерных моделей посредством обобщения техники баргмановскнх потенциалов на параметрическое семейство обратных задач и для систем уравнении : ковариантной производной.

3. Для класса быстроубывающих потенциалов в рамках универсального 'гиперсферического) адиабатического базиса сформулированы прямая и обратная трехчастичные задачи рассеяния с учетом процессов с перераспределением и развалом на основе адиабатического представления для уравне-шй Фаддесва и Шрсдпнгера. В системе трех частиц предложен метод кон-:труирования потенциалов баргмановского типа.

4. Разработаны алгебраические методы генерирования точно решаемых .годелей с переменными значениями энергии и орбитального момента, обоб-цающне преобразования Баргмана и Дарбу. Техника алгебраических преобразований обобщена на уравнения ( 29) более общего вида, чем уравнения Предингера. Алгебраические преобразования разрабатываются также для юстроения многоканальных потенциальных матриц баргмановского типа, , также для конструирования двухцентровых сфероидальных потенциалов г соответствующих им решений в замкнутом аналитическом виде.

5. Исследованы проблемы суперспммстрпп систем калибровочных ура-нений, связанные с введением скалярных потепцналов и геометрическими

фазами, возникающими вследствие сингулярностей недиагональных элементов наведенного оператора связности в точках пересечения термов.

6. На основе обобщения метода Марченко дан способ конструирования семейств фазово-эквивалентных потенциалов в том числе с параметрической зависимостью от динамической переменной.

7. В замкнутом аналитическом виде конструируются потенциалы и потенциальные матрицы ограниченного радиуса, действия и соответствующие им решения в Д-матричной теории рассеяния. Получены некоторые экзотические модели со связанными состояниями в непрерывном спектре.

8. Предложены способы реализации спектральных методов обратной задачи в технологии изготовления оптических устройств и элементов интегральной оптики.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Захарьев Б.Н. Сузько A.A. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи.- М.: Энергоатомиздат,- 1985. 224 е.; 2-ое издание: Springer-Verlag, 1990.-224 р.225.

2. Захарьев Б.Н., Пивоварчик В.Н., Плеханов Е.Б., Сузько A.A., Точно решаемые квантовые модели (потенциалы баргмановского типа) ЭЧАЯ, 1982. т.13, вып.6, с.1284-1335.

3. Винпцкий С.И., Сузько A.A. Точно решаемые многомерные и трех-частичные задачи рассеяния в адиабатическом представлении // ЯФ. 1990. т.52. с.686-703.

4. Пивоварчик В.Н., Сузько A.A. Обобщение метода Марченко в обратной задаче квантовой теории рассеяния// Эволюционные задачи энергопереноса в неоднородных средах: Сб. научн. трудов.-ИТМО. Минск Изд. ИТМО АН БССР, 1982, с.168-177.

5. Сузько A.A. Точно решаемые трехчастпчные модели с двухцентровымг потенциалами // ЯФ. 1992. т.55. с.2161-2172.

6. Vinitsky S.I., Dubovik V.M., Kadomtsev M.B., Markovski B.L., Suzko A.A. Adiabatic representation of scattering problem for three-bod] quantum system// Proceedings International Few-Body Workshop, "Mi croscopic Methods in the Theory of Few-Body Systems" .Kalinin, Augus 1988, V.l, p.4-10.

7. Vinitsky S.I., Suzko A.A., Markovski B.L., Kadomtsev M.B., Dubovik V.M. Adiabatic representation for three-body Faddeev equations/

Proceedings of International Seminar " Topological Phases in Quantum Theory". Dubna, 2-4 September 1988. B.L.Markovski and S.I.Vinitsky Ed. Singapore: World Scientific, 1989, p.173-203.

8. Dubovik V.M., Markovski B.L., Suzko A.A., Vinitsky S.I. Scattering problem for Faddeev equations in adiabatic representation// Phys.Lett. 1989. V.A142. p.133-138.

9. Виницкнй С.И., Марковский Б.JI., Сузько A.A. Адиабатическое представление задачи рассеяния в системе трех частиц с короткодействующими потенциалами//ЯФ. 1992. т.55. No.3, с.669-687.

10. Suzko A.A., Vinitsky S.I. Inverse problem for three-body potentials. Exact solutions// Intern. Conf. on Few-Body Systems, Van-Couver, 1989.

11. Suzko A.A., Vinitsky S.I. Three-body inverse scattering problem ill the aidiabatic representation// Intern. Conf. on Few-Body Systems, Uzhgorod, Ed. V.I.Lengyel and M.I.Havsak, 1990, p.184-190.

12. Markovski B.L., Suzko A.A., Vinitsky S.I. New adiabatic representation for three-body scattering problem// Препринт ОПЯН E4-91-379, Dubna, 1991, 40p.

13. Dubovik V.M., Kadomtsev M.B., Markovski B.L., Suzko A.A., Vinitsky S.I. Inverse scattering problem for Faddeev equations in adiabatic representation// Proceedings Internat. Workshop "Schroedingcr Operators: Standard and Non-Standard", Dubna, September 6-10, 1988, Singapore: World Scientific, p.375-379.

14. Plekhanov E.B., Suzko A.A., Zakharicv B.N. Multichannel and multidimensional Bargmann potentials// Annalen der Phys. 1982T V.39, No,5, p.313-319.

15. Rudyak B.V., Suzko A.A., Zakharicv B.N. Exactly solvable models (Crum - Krein transformations in the (Л2, E) - plane)// Physica Scripta, 1984. V.29, p.515-517.

16. Сузько A.A. Точно решаемые модели в (А2,Е)- плоскости с эквивалентными спектрами. //Сб. трудов 9-ой Европейской конференции по проблеме нескольких тел в физике, Тбилиси, 1984, с.56-57.

17. Suzko A.A. Exactly solvable models in the (A2, E)~ plane// Physica Scripta, 1985. V.31, p.447-449. '

18. Suzko A.A. Multichannel exactly solvable models// Physica Scripta, 1986, V.34, p.5-7.

19. Suzko A.A. Exact solutions for three-dimensional axial symmetrical potentials// Intern.Conf. on Atomic Physics and Few-Body Systems (ICAP-X and Few-Body XI) Japan: 1986.

20. Suzko A.A. Supersymmetry of gauge equations and geometric nonadiabatk phases// Hadronic Journ., 1992, V.15, p.363-374, Препринт ОИЯИ E4-282, Dubha, 1992, lip.

21. Сузько A.A. Суперсимметрия, геометрические неадиабатические фазы аналитические решения в двухатомных системах// Препринт ОИЯ1: Р4-92-367, Dubha, 1992, 23 е.; ЯФ, 1993, т.56, No.5, с.202-214.

22. Захарьев Б.Н., Пивоварчик В.Н., Сузько A.A. Современное состоянии ядерной обратной задачи// Изв. АН СССР, сер. физ., 1985, т.49, с.2227 2234.

23. Захарьев Б.Н., Пивоварчик В.Н., Сузько A.A. Связанные состояния погруженные в континуум (Новые точно решаемые модели)// Сб. тру дов Калининского государственного университета " Теория квантовьп систем с сильным взаимодействием", 1985, с.69-81.

24. Pivovarchik V.N., Suzko A.A., Zakhariev B.N. New exactly solved model; with bound state above the scattering threshold// Physica Scripta, 1986 V.34, p.101-105.

25. Захарьев Б.Н., Плеханов Е.,Б., Сузько A.A. Новые аналитические ре шения в Я-матричной теории рассеяния// Изв. АН СССР, сер. физ. 1980, т.44, с.949-953.

26. Захарьев Б.Н., Плеханов Е.,Б., Сузько A.A. Многоканальные потенци алы баргмановского типа// Препринт ОИЯИ Р2-80-588, Dubna, 1980, 6с. .

27. Колпащиков B.JL, Сузько A.A. Спектральные обратные задачи, пс пользуемые для синтеза диффузионных световодов// ИФЖ, 1986, т.5( No.2, с.316-324.

28. Kolhashcikov V.L., Suzko A.A. Spectral inverse problems for optical waveg uide and couplers// Intern, symp. on electromagnetic theory. Budapest 1986, p.327-330.

!9. Колпащиков B.JI., Сузько А.А. Использование метода обратной задачи в оптике неоднородных сред// Минск, Препринт ИТМО АН БССР, No.10, 1981, 14с.

10. Колпащиков B.JI. Сузько А.А. Использование методов обратной задачи в технологии изготовления диффузионных световодов// Сб. "Гидродинамика и теплообмен в неоднородных средах", Минск: изд. ИТМО АН БССР, 1983, с. 59-65.

1. Pivovarchik V.N., Poplavsky I.B., Suzko А.А. Complété set of radial Schroedinger équations solutions with a linear Л - dépendent potential// Phys.Lett., 1984, V.101A, p.72-74.

2. Захарьев Б.Н., Мельников В.H., Сузько А.А. Современное состояние теории обратной задачи// Лекции в школе физиков. Варна. 1979, с.191-216.

3. Захарьев Б.Н., Сузько А.А. Фазово-эквивалентные операторы// Сб. трудов Калининского государственного университета. "Теория квантовых систем с сильным взаимодействием" .1988, с.20-30.

4. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н., Рудяк Б.В., Сузько А.А. Обратная задача рассеяния (конечно-разностный подход )// ЭЧАЯ, 1977, т.8, вып.2, с.290-329.

5. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н., Сузько А.А. Уравнение Шредингера -Штермера в прямой и обратной задачах рассеяния// Изв. АН СССР, сер. физ.,1979, т.43, No.10, с.2206-2211.

6. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н., Сузько А.А. Обратная задача в квантовой механике и ее практическое решение// Препринт ИТМО АН БССР, No.l, Минск, 1981, 30с.

Рукопись поступила в издательский отдел 6 маа 1993 года.

Макет Н.А.Киселевой

Подписано в печать 06.05.93 Формат 60x90/16. Офсетная печать. Уч.-изд. листов 1,74 Тираж 100. Заказ 46354

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований Дубна Московской области