Расчет электронного обмена между атомной частицей и системами пониженной размерности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ГАЙНУЛЛИН ИВАН КАМИЛЕВИЧ

Расчет электронного обмена между атомной частицей и системами пониженной размерности

Специальность 01.04.04 - физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -2005

Работа выполнена на физическом факультете Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук,

профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник доктор физико-математических наук, профессор

Уразгильдин Ильдар Фоатович

Мартыненко Ю.В. Вятчанин СП.

Ведущая организация: Московский Инженерно-физический Институт (Государственный Университет)

Защита состоится 24 марта 2005г, в 15й2 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.66 в МГУ по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, физический факультет, аудитория 5-19

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан № февраля 2005 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Л л Г)

кандидат физико-математических наук^-—Ершов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

В последние годы наблюдается большой интерес к исследованию процессов, происходящих при взаимодействии атомных и молекулярных частиц с поверхностью твердого тела. Данный интерес объясняется широким применением упомянутых процессов в различных областях науки и техники. Зарядовое состояние рассеянных или распыленных с поверхности частиц содержит информацию как о составе и структуре, так и об электронных свойствах поверхности. Кроме юго, процесс электронного обмена является определяющим для многих явлений, происходящих на поверхности при вторичной ионной эмиссии, рассеянии, десорбции, катализе, модификации поверхности. Благодаря этому исследование процесса формирования зарядового состояния частицы у поверхности твердого тела имеет помимо чисто научной ценности большое прикладное значение.

При взаимодействии атомной частицы с металлической поверхностью важную роль играет резонансное туннелирование. Если энергетические ограничения отсутствуют, то именно этот процесс доминирует в обмене зарядом, т. к. его вероятность велика по сравнению с нерезонансными переходами и Оже-процессами.

Для описания одноэлектронных процессов электронного обмена часто используется нестационарная модель Андерсона-Ньюнса. Задача определения зарядового состояния атомной частицы может быть решена аналитически в приближении широкой зоны, предполагающем, что плотность электронных состояний р(е) и матричные элементы V в гамильтониане Андерсона-Ньюнса не зависят от энергии в пределах валентной зоны. Непосредственное вычисление заселенности атомного уровня с использованием аналитической формулы затруднительно ввиду наличия уравнений, не интегрируемых в квадратурах Данный факт обуславливает развитие численных методов решения задачи. В настоящее время в литературе описано несколько методов определения положения

и ширины уровня (ширина уровня определяет эффективность электронного перехода). Исторически первым был предложен метод, использующий теорию возмущений. Он применим, если возмущения, создаваемые в атоме из-за присутствия поверхности твердого тела, малы по сравнению с потенциалом ионизации атома Однако приближение не оправдано при малых расстояниях между атомом и поверхностью металла. Впоследствии были развиты методы, не использующие теорию возмущений. Один из них - метод дискретизации континуума Метод основан на решении уравнений для зависящих от времени коэффициентов разложения волновых функций по состояниям невозмущенного агома и невозмущенного континуума

На текущий момент хорошо изучен обмен зарядом между атомной частицей и полубесконечным металлом Туннелируя вдоль нормали к поверхности (именно это направление энергетически выгодно) электрон агома неограниченно распространяется в глубину металла При этом возможность обратною перехода электрона на атом практически отсутствует. Если ограничить движение электрона перпендикулярное поверхности, то характер электронного перехода существенно изменится Примером поверхностей с ограниченным движением электрона являются системы пониженной размерности - тонкие металлические пленки, островковые пленки на поверхности, нанотрубки и кластеры атомов. Электронный обмен атомных частиц с системами пониженной размерности демонстрирует квантово-размерный эффект, который можно наблюдать, когда линейные размеры системы становятся сравнимыми с длиной волны Де-Бройля Квангово-размерный эффект проявляется в сильном немонотонном влиянии размеров и конфигурации системы на процесс электронного обмена.

Большой интерес представляет изучение перезарядки атомных частиц на тонкой металлической пленке. Благодаря своим особенностям, тонкие пленки широко используются в микро- и нано-электронике. Важной особенностью теории зарядового обмена атомной частицы с поверхностью твердого тела является перезарядка при скользящем рассеянии. Суть проблемы состоит в том, что в этом случае, вследствие наличия параллельной поверхности составляющей скорости атомной частицы изменяется электронная структура твердого тела в системе координат, связанной с частицей Эффект параллельной скорости проявился в

экспериментах по нейтрализации щелочных ионов, а также по формированию ионов Н при их скользящем рассеянии на поверхности металла. Влияние у|| при рассеянии на тонких пленках отличается от случая массивного образца и заведомо представляет интерес для исследований.

Цель работы состояла в изучении особенностей электронного обмена при взаимодействии атомной частицы с системами пониженной размерности, и в выяснение условий, необходимых для проявления квантово-размерных эффектов.

На защиту выносятся следующие основные положения, определяющие научную новизну полученных в диссертации результатов. В работе впервые получены следующие научные резулыаты:

• Рассмотрен обмен зарядом между атомной частицей и системой, состоящей из двух параллельно расположенных тонких пленок. Показано, чго резонансное гуннелирование является доминирующим механизмом электронного перехода. Переход электрона на дальнюю пленку подавляется при увеличении потенциального барьера между пленками, либо при нарушении резонансных условий Получена и проанализирована зависимость вероятности формирования

ионов Н~ при скользящем рассеянии протонов на тонкой пленке А1 от величины параллельной поверхности составляющей скорости Вид рассчитанной зависимости отвечает экспериментальным данным для массивного образца, но интенсивность выхода отрицательных ионов значительно выше.

Продемонстрировано проявление квантово-размерного эффекта для электронного перехода между ионом и тонким диском, выражающаяся в немонотонном поведении эффективности электронного перехода, при изменении радиуса диска.

Показано, что в динамическом случае, в зависимости от скорости налетающей частицы, при электронном обмене с атомной частицей диск может вести себя как массивный образец, тонкая пленка или наноструктура с квантованной энергией по двум координатам.

Научная и практическая ценность

Показано, что метод дискретизации континуума позволяет эффективно рассчитывать процессы электронного обмена между атомной частицей и металлической поверхностью Следует отметить, что в рамках предложенной методики адекватно описывается поверхность металла с произвольной зоной электронных состояний

Изучение зарядового взаимодействия атомной частицы с системами пониженной размерности является актуальным в связи с бурным развитием микро-и нано-электроники Получены зависимости основных интегральных параметров, описывающих процесс перезарядки, от конфигурации и размеров системы Выявлены условия появления квантово-размерного эффекта Также обнаружен и исследован эффект параллельной скорости при скользящем рассеянии ионов водорода на тонкой алюминиевой пленке Приведенные результаты существенно расширяют представление о механизме электронного обмена с системами пониженной размерности

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата Результаты исследований, вошедших в диссертационную работу были доложены на XV Международной конференции по неупругому взаимодействию ионов с поверхностью (Нагойя, Япония 2004), на XXI Международной конференции по атомным столкновениям в твердых телах (Генуя, Италия 2004), на XIV, XV, XVI Международных конференциях по взаимодействию ионов с поверхностью (Звенигород 1999, 2001, 2003) и на 9-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Красноярск 2003)

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения Работа содержит 108 страниц текста, включая 43 рисунка, и список литературы из 101 наименования

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы. Обоснована актуальность темы; сформулирована цель и определены задачи исследования; кратко изложена научная новизна и практическая ценность работы; описана структура диссертации.

Первая глава представляет собой обзор литературы, использованной в диссертации. В первой части главы описаны основные процессы зарядового обмена между атомной частицей и поверхностью твердого тела. Дается описание нестационарной модели Андерсона-Ньюнса, часто используемой при рассмотрении одноэлектронных процессов. Описывается способ задания матричных элементов и приводится аналитическое решение в приближении широкой зоны. При скользящем рассеянии атомной частицы на поверхности металла рассматривается влияние параллельной поверхности компоненты скорости частицы на процесс перезарядки.

Во второй части главы рассматриваются численные методы решения задачи зарядового обмена. Приводятся методы расчета основных характеристик процесса, особенностей резонансного электронного обмена, описывается метод распространения волновых пакетов WPP (Wave Packet Propagation).

В третьей части приводятся модельные потенциалы, используемые в работе. Рассматриваются модели электронной структуры металла, отрицательного иона водорода, тонкой металлической пленки и других систем пониженной размерности.

Во второй главе рассматривается задача численного расчета перезарядки атомной частицы с поверхностью металла в приближении широкой зоны. Зона проводимости металла представляется в виде конечного набора дискретных уровней. Метод основан на решении уравнений для зависящих от времени коэффициентов разложения волновых функций по состояниям невозмущенного атома и невозмущенного континуума. В рамках модели Андерсона-Ньюнса использовалась дискретизация уровней по методу А.К.Казанского.

Был рассмотрен случай неподвижно закрепленной частицы, электронный уровень которой имеет энергию, соответствующую середине зоны. Матричные элементы Ve и плотность электронных состояний р{е) были заданы постоянными (прямоугольная зона). Ширина уровня определяется формулой

В зависимости от ширины атомного уровня, наблюдаются две основные тенденции в поведении функции заселенности атомного уровня.

• Когда ширина уровня много меньше ширины зоны проводимости, происходит экспоненциальный распад

• Если ширина зоны проводимости сравнима с шириной атомного уровня, в решении присутствуют осцилляции (рис. 1).

^ ат. ед.

Рис. 1 Зависимость заселенности атомного уровня от времени. Ширина зоны проводимости 1 эВ, ширина атомного уровня 0.75 эВ.

Применяя преобразование Фурье к функции заселенности уровня, можно получить плотность состояний, спроектированную на атомное состояние. В случае экспоненциального распада плотность состояний представляет собой функцию Лоренца. По мере увеличения ширины атомного уровня в решении появляются

осцилляции. На краях зоны появляются особенности, которые можно трактовать как отщепленные уровни. Когда ширина уровня достигает значений близких к ширине зоны проводимости, то в решении преобладают осцилляции. Щирина лоренциана, описывающего экспоненциальный распад, уменьшается. Вес отщепленных уровней в обменных процессах увеличивается.

Рис. 2 Плотность электронных состояний атомного уровня для разных значений ширины атомного уровня. Ширина зоны проводимости 1 эВ.

Метод дискретизации континуума является весьма мощным инструментом при расчетах процессов электронного обмена для широкого класса систем. Использование числа дискретных уровней, не превышающих 50, позволяет получить относительную сходимость меньше на временах порядка 1000

атомных единиц. Высокая эффективность метода позволяет за короткое время рассчитывать поведение как статических, так и динамических систем.

Третья глава посвящена изучению процесса резонансного электронного перехода между отрицательным ионом и тонкими металлическими

пленками с использованием метода распространения волновых пакетов. Метод WPP позволяет получить эволюцию волновой функции электрона, которая является решением нестационарного уравнения Шредингера:

;ач>{T,t)

8t

■ = [Т + Ve_H (г) + Ve

-Film

(1)

где Ve^f{ - потенциал взаимодействия электрона с атомным остовом, а Ve_piim - потенциал взаимодействия электрона с пленкой; Т - кинетическая энергия электрона. Начальная электронная волновая функция (í/(r,0) берется равной - собственной функции потенциала атомного остова. Эволюция

волновой функции внешнего электрона иона Н~ , находящегося на фиксированном расстоянии 12 ат. ед. от поверхности пленки, показана на рис.Рис. 3 (атомная

система единиц me = е = r| = 1; 1 ai. ед. расстояния = 5 292 ■ Ю-11 м, 1 ат. ед. времени = 2.419 -Ю-17 с, 1 ат. ед. скорости =2.188 106 м/с).

Пленка

Рис. 3 Квадрат модуля волновой функции внешнего электрона иона Н в последовательные моменты времени 30, 100, 500 и 1000 ат. ед. Темные области соответствуют большей электронной плотности. Ион находится на расстоянии 12 ат. ед. от поверхности пленки толщиной три монослоя.

Через время 30 ат. ед. после начала распространения происходит туннелирование электрона через потенциальный барьер, разделяющий атом и пленку, но квантования не наблюдается, т.к. электрон еще не успевает проделать путь до дальнего края пленки и обратно, чтобы «почувствовать» конечные размеры

системы. После 50 ат. ед. по времени отчетливо видно 6 максимумов волновой функции внутри пленки, что говорит о том, что распад иона происходит в основном на 6-ой уровень пленки, который является ближайшим снизу по энергии к уровню иона на этом расстоянии. Дальше наблюдается распространение волновой функции электрона вдоль поверхности пленки.

Во шорой части главы рассмотрен процесс туннелирования электрона на поверхность, представляющую собой две близко расположенные алюминиевые пленки. На рисунке представлен потенциал изучаемой системы, состоящей из пленок толщиной 3 и 4 монослоя. Для каждой пленки обозначен набор дискретных уровней энергии электрона внутри пленки.

г, ат. ед.

Рис. 4 Потенциал системы, состоящей из двух пленок толщиной 3 и 4 монослоя. Расстояние между ближними краями пленок 10 ат. ед. Сплошная кривая соответствует потенциалу двух пленок. Для каждой пленки показаны дискретные уровни электрона. Также на рисунке отображен энергетический уровень иона водорода.

Эффективность перехода во вторую (дальнюю от иона) пленку зависит от двух параметров: расстояния между пленками и толщины пленок. Расстояние

между ближними границами пленок (Л) определяет величину потенциального барьера, разделяющего две пленки. Толщина каждой из пленок задает набор дискретных уровней электрона внутри пленки. Для пленок разной толщины (дискретные уровни, энергии которых не совпадают) не реализуется резонансное туннелирование электрона во вторую пленку.

Расчеты для двух параллельно расположенных пленок толщиной 3 монослоя каждая показали, что при небольших расстояниях между пленками Д—10-15 ат. ед. осуществляется интенсивный переход электрона во вторую пленку. По прошествии длительного времени (более 1000 ат. ед.) вероятность нахождения электрона на каждой из пленок одинакова. По мере увеличения потенциального барьера интенсивность перехода электрона во вторую пленку уменьшается (рис. 5).

г, ат. ед

Рис. 5 Удельная плотность распределения электрона по координате г на момент времени 1000 ат. ед. для системы, состоящей из двух пленок толщиной 3 монослоя (расстояние между ближними границами пленок 25 ат. ед.) и отрицательного иона водорода расположенного на расстоянии 12 ат. ед. от поверхности ближней пленки.

Если толщина пленок различается, то дискретные уровни внутри каждой из пленок смещены друг относительно друга. Следовательно, нарушаются условия резонансного туннелирования и переход электрона в дальнюю пленку становится

гораздо менее эффективным. При значениях Д больше 20 ат. ед. электрон

фактически не проникает во вторую пленку.

Также исследовалось влияние параллельной поверхности составляющей

скорости иона V, на его перезарядку с тонкой пленкой металла. Были вычислены

вероятности заселения различных состояний тонкой пленки при медленном

подлете к ней иона с использованием метода распространения волновых

пакетов. Далее была получена зависимость вероягности формирования ионов Н~

от величины параллельной поверхности составляющей скорости иона V, (рис. 6). С «) 1

увеличением ул вероятность формирования Н~ растет. Это можно объяснить тем, « что при смещении "сферы" Ферми, вследствие относительного движения,

появляются возможности резонансного захвата электрона с уровней, которые не являются резонансными в стационарном состоянии. При больших скоростях

фракция уменьшается, что связано с уменьшением числа резонансов.

Рассчитанная для случая тонкой пленки зависимость вероятности формирования по форме совпадает с экспериментальной для массивного образца.

Однако расчет приводит к существенно большим значениям фракции Н и наблюдается смещение максимума в сторону меньших скоростей что объясняется тем, что энергия Ферми у пленки меньше, чем у полубесконечного металла.

4

0.06 1

0.

I

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

0

0.5

1

Рис. 6 Зависимость вероятности формирования ионов Н" от Уц при скользящем рассеянии Сплошная кривая - расчет для пленки толщиной 3 монослоя, точки - экспериментальные данные (х20) массивного образца А1.

В четвертой главе при помощи метода распространения волновых пакетов исследуются процессы электронного обмена между атомной частицей и тонким металлическим диском. Особенности, вносимые в процесс электронного обмена за счет ограничения радиуса диска могут быть выявлены при сравнении перезарядки на гонком диске с перезарядкой на тонкой металлической пленке такой же толщины. Энергия электрона в диске квантуется по двум координатам -нормальной и полярной. Знание величины дискретных уровней энергии необходимо для анализа задачи.

Процесс перехода электрона на диск условно можно разбить по времени на три этапа. В течение первого этапа (0-30 ат. ед.) электрон распространяется перпендикулярно поверхности. Картина распределения волновой функции совпадает для диска, пленки и массивного образца. Во время второго этапа (50-500 аг. ед.) электрон распространяется преимущественно параллельно поверхности,

при этом проявляется дискретная структура энергии диска/пленки вдоль нормали к поверхности, но распределение волновой функции для диска и пленки по-прежнему практически идентично. На третьем этапе (от 500 ат. ед.) проявляется дискретность энергии по полярной координате. Волновая функция электрона приобретает максимумы по обеим координатам z,p. Распределение электронной плотности по каждой из координат соответствует квадрату модуля волновой функции самого верхнего из доступных энергетических уровней диска.

Толщина диска

Ион

PW

Радиус диска

Рис. 7 Квадрат модуля волновой функции внешнего электрона иона Я в последовательные моменты времени 30, 100, 500 и 1000 ат. ед. Темные области соответствуют большей электронной плотности. Ион находится на расстоянии 12 ат. ед. от поверхности пленки толщиной 15 ат. ед. и радиусом 50 ат. ед.

Были рассмотрены статический и динамический случаи. В статическом случае получены положение и ширина уровня иона в зависимости от

расстояния до поверхности тонкого металлического диска, показано расщепление „ уровня иона в окрестности дискретных уровней энергии диска.

Также было изучено влияние размеров системы на процесс электронного обмена. Следующий рисунок (рис. 8) демонстрирует зависимость ширины уровня (т.е. эффективности электронного перехода) от радиуса диска, ион находится на фиксированном расстоянии 12 ат. ед. от поверхности диска. Мы видим, что указанная зависимость имеет немонотонный характер.

Рис. 8 Ширина уровня отрицательного иона водорода как функция радиуса диска. Расстояние до поверхности диска 12 ат. ед., толщина диска 15 ат. ед.

Качественное объяснение немонотонной зависимости ширины уровня от радиуса диска можно построить, опираясь на дискретность энергетических уровней электрона внутри диска. В рассматриваемой задаче, как основной механизм электронного перехода доминирует резонансное туннелирование. Электрон переходит с уровня иона на ближайший дискретный уровень внутри диска, энергия которого не превышает энергию атомного уровня. Причем эффективность туннелирования определяется разностью энергий этих уровней. Что и объясняет немонотонную зависимость ширины уровня иона от радиуса диска. Максимумы »

ширины уровня наблюдаются для тех значений радиуса диска, при которых появляется новый доступный уровень энергии внутри диска. В этот момент разность энергий между уровнем иона и ближайшим к нему уровнем диска минимальна, т.е. наблюдается резонанс. Следовательно, электронный переход осуществляется наиболее эффективно. Полученная зависимость (рис. 8) явно демонстрирует квантово-размерный эффект при электронном обмене атомной частицы с тонким диском (системой пониженной размерности).

В динамическом случае было исследовано влияние скорости налетающей частицы на электронный обмен и проявление квантово-размерного эффекта. На рис. 9 представлена вероятность выживания иона Н" при его приближении к диску как функция расстояния до поверхности Z для различных скоростей соударения от 0.003 ат. ед. и 0.1 ат. ед. Расчеты производились при помощи метода WPP и классического кинетического уравнения с использованием статической ширины уровня иона.

1,00,80,60,40,20,0-

\Л/РРдиск

1- — v = 0.003 ат. ед.

2- — v = 0.006 ат. ед.

3- —v = 0.0125 ат. ед.

4- —v = 0.025 ат. ед.

5- — v = 0.05 ат. ед.

6- —v = 0.1 ат. ед.

v=0.1 металл, RE

• v = 0.0125 диск, RE

А v = 0.025 пленка, WPP

-1— 10

—I—

15

20

25

z, ат. ед.

Рис. 9 Вероятность выживания иона Н" при его приближении к диску как функция расстояния до поверхности диска. Толщина диска 15 ат. ед., радиус диска 50 ат. ед. Сплошные кривые для диска получены при помощи метода WPP. Квадратные и круглые маркеры обозначают решение кинетического уравнения с использованием статической ширины диска и массивного образца. Треугольные маркеры соответствуют результатам WPP для пленки толщиной 15 ат. ед. (3 монослоя).

Из рисунка видно, что скорость налетающей частицы существенно влияет на характер электронного обмена. Так при больших скоростях налетающей частицы происходит экспоненциальный распад атомного состояния, а при малых

вероятность выживания иона испытывает осцилляции, т.е. кратковременный захват электрона движущимся водородом.

Поведение динамической системы качественно отличается для различных диапазонов скоростей столкновения: характерные черты диска, обуславливающие проявление квантово-размерного эффекта, проявляются при малых скоростях столкновения; при средних скоростях столкновения диск ведет себя подобно пленке такой же толщины; а при больших скоростях перезарядка на тонком диске соответствует взаимодействию с поверхностью полубесконечного металла.

В заключении представлены выводы из диссертационной работы.

Продемонстрировано, что дискретизация континуума представляет собой эффективный метод численного решения системы уравнений, описывающих процессы электронного обмена между атомной частицей и поверхностью металла с произвольной зоной электронных состояний. Показано, что особенности зонного спектра (конечность зоны) приводят к неэкспоненциальному характеру распада состояния атомной частицы. Показано, что при взаимодействии отрицательного иона с системой, состоящей из двух параллельно расположенных тонких пленок, электрон атома (иона) может переходить на обе пленки. При этом резонансное туннелирование доминирует над нерезонансным механизмом перехода. Переход электрона на дальнюю пленку подавляется при увеличении потенциального барьера между пленками, либо при нарушении резонансных условий.

Получена и проанализирована зависимость вероятности формирования отрицательных ионов водорода от величины при скользящем рассеянии на тонкой пленке. Характер рассчитанной зависимости соответствует экспериментальным данным для массивного образца, но эффективность формирования ионов Н~ выше более чем на порядок.

Показано что, переход электрона с отрицательно1 о иона водорода на диск в статическом случае характеризуется формированием дискретного распределения плотности волновой функции, содержащего максимумы по координатам (р I), что является следствием интерференции волновых пакетов Продемонстрировано проявление квантово-размерного эффекта для электронного перехода между ионом и тонким диском при изменении радиуса диска

■ Установлено, что при электронном обмене атомной частицы с диском, в зависимости от скорости налетающей частицы диск может вести себя как массивный образец, тонкая пленка или наноструктура с квантованной энергией по двум координатам

Список публикаций по теме диссертации

1 И К Гайнуллин, Д Г Горюнов, Е Ю Усман, И Ф Уразгильдин // Квантово-размерный эффект при резонансном электронном обмене между ионом и тонкими пленками Изв РАН Сер Физ , 2002 т 66 с 1022

2 К Gamullm, E Yu Usman, Y W Song, I F Urazgil'din // Electron-exchange processes between hydrogen negative ion and thin aluminum films Vacuum, 2004, v 72, p 263

3 И К Гайнуллин, F Ю Усман, Е В Сонг, И Ф Уразгильдин // Резонансная перезарядка при взаимодействии иона Н с тонкой металлической пленкой Известия РАН сер физ , 2004, т 68, №3, 351

4 ЕЮ Усман, И К Гайнуллин, И Ф Уразгильдин // Особенности электронного обмена при скользящем рассеянии ионов водорода Н на тонкой пленке А1 Вестник МГУ, 2005, № 2, с 165

5 И К Гайнуллин, К К Сатарин, Ь Ю Усман, И Ф Уразгильдин // Особенности электронного обмена между ионом и тонким металлическим диском Наблюдение квангово-размерного эффекта Поверхность Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2005, № 1, с 39

6 Е Ю Усман, И К Гайнуллин, И Ф Уразгильдин // Расчет динамики электронной температуры в каскаде столкновений в твердом теле Материалы 14-ой международной конференции "Взаимодействие ионов с поверхностью' ВИП - 1999, 30 августа- 3 сентября 1999, Звенигород Т 1, с 323

7 И К Гайнуллин, Д Г Горюнов, Е Ю Усман, И Ф Уразгичьдии // Квантово-размерный эффект при резонансном электронном обмене между ионом и тонкими металлическими пленками Материалы 15-й Международной конференции 'Взаимодействие ионов с поверхностью" ВИП-2001,27-31 августа 2001, Звенигород Т 1 ,с 512

8 И К 1 айнуллин, Е Ю Усман, И Ф Уразгильдин // Квантово-размерный эффект при резонансном электронном обмене между ионом и тонкими металлическими пленками Материалы 9-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-9, 28 марта - 3 апреля, 2003, Красноярск Т 2, с 583

9 Е Ю Усман, И К Гайнуллин, И Ф Уразгильдин // Влияние параллельной составляющей скорости на электронный обмен при скользящем рассеянии ионов водорода Н- на тонкой пленке А1 Магериалы 16-ой международной конференции "Взаимодействие ионов с поверхностью" ВИП - 2003, 25 - 29 августа 2003, Звенигород Т 1, с 220

10 К Gainulhn, E Yu Usman, D G Goryunov, I Г Urazgi'din // 1 lectron-exchange processes between an atomic particle and low dimension systems Abstracts of the 15th International Workshop on Inelastic Ion Surface Collisions October 17-22,2004, Ise-Shima, Mie, Japan p 135

11 E Yu Usman, ГК Gainulhn, I F Urazgildin // Characteristics of Tlectron Exchange Under Grazing Scattenng of Hydrogen Ions H- on Thin Aluminum Film Abstracts of the 21th International conference on Atomic Collisions in Solids July 4 - 9, 2004, Genova, Italy p 323

12 ГК Gainulhn, E Yu Usman, I Г Urazgildin // Quantum-size effect during interaction of hydrogen negative ion with thin metal disk Abstracts of the 21th International conference on Atomic Collisions in Solids July 4 - 9, 2004, Genova, Italy p 190

ООП Фиэ.ф-та МГУ. Заказ 33-100-05

otw

i,

*í

ч""'5' 153

2? IMP 7005

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА ПЕРВАЯ Литературный обзор.

1.1 Процессы зарядового обмена между атомной частицей и поверхностью металла.

1.1.1 Постановка задачи и ее теоретическое решение.

1.1.2 Основные процессы перезарядки.

Резонансные переходы.

Нерезонансные переходы.

Оже - нейтрализация и Оже - девозбуждение.

1.1.3 Модель Андерсона-Ньюнса.

1.1.4 Способ задания матричных элементов.

1.1.5 Решение уравнения для заселенности атомного уровня.

1.1.6 Приближение широкой зоны.

1.1.7 Влияние параллельной поверхности составляющей скорости атомной частицы на процесс перезарядки.

1.2 Применение численных методов для решения задачи зарядового обмена

1.2.1 Coupled Angular Mode (САМ).

Модель.

Метод решения.

1.2.2 Complex Scaling.

1.2.3 Метод распространения волновых пакетов (WPP).

1.3 Модельные потенциалы.

1.3.1 Модель свободных электронов в металле.

1.3.2 Потенциал пленки.

1.3.3 Потенциал иона водорода Н".

ГЛАВА ВТОРАЯ Метод эффективного расчета электронного обмена атомной частицы с поверхностью металла и его применение для некоторых систем.

2.1 Модель.

2.1.1 Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом Андерсона-Ньюнса

2.1.2 Изменение контура интегрирования.

2.2 Результаты и обсуждение.

2.2.1 Статическая задача.

Широкая зона проводимости.

Широкий атомный уровень.

2.2.2 Динамическая задача.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ Особенности электронного обмена между ионом водорода Н" и тонкими металлическими пленками.

3.1 Перезарядка иона Н' на тонкой алюминиевой пленке при фиксированном расстоянии до поверхности.

3.1.1 Применение метода WPP.

3.1.2 Качественное рассмотрение электронного перехода на пленку.

3.2 Электронный переход между атомной частицей и квантовой структурой, состоящей из двух тонких пленок.

3.2.1 Моделирование потенциала двух рядом расположенных пленок.

3.2.2 Параметры системы, влияющие на процесс зарядового обмена.

Пленки одинаковой толщины. Резонансное туннелирование.

Пленки различной толщины. Нерезонансное туннелирование.

3.2.3 Поведение энергии и ширины уровня иона.

3.3 Влияние параллельной составляющей скорости на электронный обмен при скользящем рассеянии ионов водорода Н" на тонкой пленке А1.

3.3.1 Заселенность состояний тонкой пленки.

3.3.2 Учет влияния параллельной поверхности составляющей скорости атома на формирование ионов Н'.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ Электронный обмен между ионом и тонким металлическим диском. Проявление квантово-размерного эффекта.

4.1 Электронный обмен в статическом случае.

4.1.1 Структура дискретных уровней энергии внутри диска.

4.1.2 Сравнение перезарядки на тонком диске и на тонкой пленке.

4.1.3 Квантово-размерный эффект.

4.2 Изучение электронного обмена иона Н' с диском в динамическом случае

4.2.1 Вероятность выживания иона Н" при его столкновении с поверхностью.

4.2.2 Эффективная ширина уровня иона.

ВЫВОДЫ.

Актуальность проблемы

В последние годы наблюдается большой интерес к исследованию процессов, происходящих при взаимодействии атомных и молекулярных частиц с поверхностью твердого тела. Данный интерес объясняется широким применением упомянутых процессов в различных областях науки и техники. Зарядовое состояние рассеянных или распыленных с поверхности частиц содержит информацию как о составе и структуре, так и об электронных свойствах поверхности. Кроме того, процесс электронного обмена является определяющим для многих явлений, происходящих на поверхности при вторичной ионной эмиссии, рассеянии, десорбции, катализе, модификации поверхности. Благодаря этому исследование процесса формирования зарядового состояния частицы у поверхности твердого тела имеет помимо чисто научной ценности большое прикладное значение.

При взаимодействии атомной частицы с металлической поверхностью важную роль играет резонансное туннелирование. Если энергетические ограничения отсутствуют, то именно этот процесс доминирует в обмене зарядом, т. к. его вероятность велика по сравнению с нерезонансными переходами и Оже-процессами.

Для описания одноэлектронных процессов электронного обмена часто используется нестационарная модель Андерсона-Ньюнса. Задача определения зарядового состояния атомной частицы может быть решена аналитически в приближении широкой зоны, предполагающем, что плотность электронных состояний р(ё) и матричные элементы Vk в гамильтониане Андерсона-Ньюнса не зависят от энергии в пределах валентной зоны. Непосредственное вычисление заселенности атомного уровня с использованием аналитической формулы затруднительно ввиду наличия уравнений, не интегрируемых в квадратурах. Данный факт обуславливает развитие численных методов решения задачи. В настоящее время в литературе описано несколько методов определения положения и ширины уровня (ширина уровня определяет эффективность электронного перехода). Исторически первым был предложен метод, использующий теорию возмущений. Он применим, если возмущения, создаваемые в атоме из-за присутствия поверхности твердого тела, малы по сравнению с потенциалом ионизации атома. Однако приближение не оправдано при малых расстояниях между атомом и поверхностью металла. Впоследствии были развиты методы, не использующие теорию возмущений. Один из них - метод дискретизации континуума. Метод основан на решении уравнений для зависящих от времени коэффициентов разложения волновых функций по состояниям невозмущенного атома и невозмущенного континуума.

На текущий момент хорошо изучен обмен зарядом между атомной частицей и полубесконечным металлом. Туннелируя вдоль нормали к поверхности (именно это направление энергетически выгодно) электрон атома неограниченно распространяется в глубину металла. При этом возможность обратного перехода электрона на атом практически отсутствует. Если ограничить движение электрона перпендикулярное поверхности, то характер электронного перехода существенно изменится. Примером поверхностей с ограниченным движением электрона являются системы пониженной размерности - тонкие металлические пленки, островковые пленки на поверхности, нанотрубки и кластеры атомов. Электронный обмен атомных частиц с системами пониженной размерности демонстрирует квантово-размерный эффект, который можно наблюдать, когда линейные размеры системы становятся сравнимыми с длиной волны Де-Бройля. Квантово-размерный эффект проявляется в сильном немонотонном влиянии размеров и конфигурации системы на процесс электронного обмена.

Большой интерес представляет изучение перезарядки атомных частиц на тонкой металлической пленке. Благодаря своим особенностям, тонкие пленки широко используются в микро- и нано-электронике. Важной особенностью теории зарядового обмена атомной частицы с поверхностью твердого тела является перезарядка при скользящем рассеянии. Суть проблемы состоит в том, что в этом случае, вследствие наличия параллельной поверхности составляющей скорости атомной частицы v. изменяется электронная структура твердого тела в системе координат, связанной с частицей. Эффект параллельной скорости проявился в экспериментах по нейтрализации щелочных ионов, а также по формированию ионов Н" при их скользящем рассеянии на поверхности металла. Влияние vB при рассеянии на тонких пленках отличается от случая массивного образца и заведомо представляет интерес для исследований.

Цель работы состояла в изучении особенностей электронного обмена при взаимодействии атомной частицы с системами пониженной размерности, и в выяснение условий, необходимых для проявления квантово-размерных эффектов.

На защиту выносятся следующие основные положения, определяющие научную новизну полученных в диссертации результатов. В работе впервые получены следующие научные результаты:

• Рассмотрен обмен зарядом между атомной частицей и системой, состоящей из двух параллельно расположенных тонких пленок. Показано, что резонансное туннелирование является доминирующим механизмом электронного перехода. Переход электрона на дальнюю пленку подавляется при увеличении потенциального барьера между пленками, либо при нарушении резонансных условий.

• Получена и проанализирована зависимость вероятности формирования ионов Н" при скользящем рассеянии протонов на тонкой пленке А1 от величины параллельной поверхности составляющей скорости vB. Вид рассчитанной зависимости отвечает экспериментальным данным для массивного образца, но интенсивность выхода отрицательных ионов значительно выше.

• Продемонстрировано проявление квантово-размерного эффекта для электронного перехода между ионом и тонким диском, выражающееся в немонотонном поведении эффективности электронного перехода, при изменении радиуса диска.

• Показано, что в динамическом случае, в зависимости от скорости налетающей частицы, при электронном обмене с атомной частицей диск может вести себя как массивный образец, тонкая пленка или наноструктура с квантованной энергией по двум координатам.

Научная и практическая ценность

Показано, что метод дискретизации континуума позволяет эффективно рассчитывать процессы электронного обмена между атомной частицей и металлической поверхностью. Следует отметить, что в рамках предложенной методики адекватно описывается поверхность металла с произвольной зоной электронных состояний.

Изучение зарядового взаимодействия атомной частицы с системами пониженной размерности является актуальным в связи с бурным развитием микро-и нано-электроники. Получены зависимости основных интегральных параметров, описывающих процесс перезарядки, от конфигурации и размеров системы. Выявлены условия появления квантово-размерного эффекта. Также обнаружен и исследован эффект параллельной скорости при скользящем рассеянии ионов водорода на тонкой алюминиевой пленке. Приведенные результаты существенно расширяют представление о механизме электронного обмена с системами пониженной размерности.

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, список которых приведен в конце раздела. Результаты исследований, вошедших в диссертационную работу были доложены на XV Международной конференции по неупругому взаимодействию ионов с поверхностью (Нагойя, Япония 2004), на XXI Международной конференции по атомным столкновениям в твердых телах (Генуя, Италия 2004), на XIV, XV, XVI Международных конференциях по взаимодействию ионов с поверхностью (Звенигород 1999, 2001, 2003) и на 9-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Красноярск 2003).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 108 страниц текста, включая 43 рисунка, и список литературы из 101 наименования.

выводы

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1. Продемонстрировано, что дискретизация континуума представляет собой эффективный метод численного решения системы уравнений, описывающих процессы электронного обмена между атомной частицей и поверхностью металла с произвольной зоной электронных состояний. Показано, что особенности зонного спектра (конечность зоны) приводят к неэкспоненциальному характеру распада состояния атомной частицы.

2. Показано, что при взаимодействии отрицательного иона с системой, состоящей из двух параллельно расположенных тонких пленок, электрон атома (иона) может переходить на обе пленки. При этом резонансное туннелирование доминирует над нерезонансным механизмом перехода. Переход электрона на дальнюю пленку подавляется при увеличении потенциального барьера между пленками, либо при нарушении резонансных условий.

3. Получена и проанализирована зависимость вероятности формирования отрицательных ионов водорода от величины уц при скользящем рассеянии на тонкой пленке. Характер рассчитанной зависимости соответствует экспериментальным данным для массивного образца, но эффективность формирования ионов Н~ выше более чем на порядок.

4. Показано что, переход электрона с отрицательного иона водорода на диск в статическом случае характеризуется формированием дискретного распределения плотности волновой функции, содержащего максимумы по координатам (р, z), что является следствием интерференции волновых пакетов. Продемонстрировано проявление квантово-размерного эффекта для электронного перехода между ионом и тонким диском при изменении радиуса диска.

5. Установлено, что при электронном обмене атомной частицы с диском, в зависимости от скорости налетающей частицы диск может вести себя как массивный образец, тонкая пленка или наноструктура с квантованной энергией по двум координатам.

В заключение, хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю Ильдару Фоатовичу Уразгильдину за неоценимую поддержку в работе и многочисленные полезные обсуждения.

Кроме того, я благодарен заведующему кафедрой физической электроники, профессору А.Ф. Александрову за оказанное внимание к моей работе и полезные советы. И, наконец, спасибо всему веселому и дружному коллективу лаборатории Ц-60 за создание хорошего рабочего настроения.

1. P.W. Anderson, Phys. Rev. 124,41 (1961)

2. D.M. Newns, Phys. Rev. 178, 1123 (1969)

3. A. Yoshimori and K. Makoshi, Prog, in Surf.Sci. 21, 251 (1986)

4. J. Los and J.J.C. Geerlings, Phys. Rep. 190, 133 (1990)

5. A. Blandin, A. Nourtier, and D.W. Hone, J. Physique 37, 369 (1976)

6. R. Brako and D.M. Newns, Rep. Prog. Phys. 52, 655 (1989)

7. M.L. Yu and N.D. Lang, Phys. Rev. Lett. 50, 127 (1983)

8. M.L. Yu, in "Sputtering by Particle Bombardment III". Edited by R. Behrish, K. Wittmaack, Springer Series in Topics in Applied Physics 64, 91 (Springer, Berlin, Heidelberg, 1991)

9. A. Henriet and F. Mashou-Seeuws, Chem. Phys. Lett. 101, 535 (1983)

10. J. Burgorfer, in Review of Fundamental Processes and Applications ofAtoms and Ions, edited by C. D. Lin, p. 517 (World Scientific, Singapore, 1993)

11. И.Ф. Уразгильдин, Изв. РАН, сер. физ. 60, 744 (1996)

12. I.F. Urazgil'din, Phys. Rev. 47,4139 (1993)

13. Т.A. Green, Proc. Phys. Soc. London 86, 1017 (1965)

14. R. Zimny, H. Nienhaus, H. Winter, Rad. Eff. Def. Solids 109, 9 (1989)

15. Y.L. Wang, Phys. Rev. 38, 8633 (1988)

16. J. J. C. Geerling, J. Los, Phys. Rep. 190, 133 (1990)

17. C.B. Weare and J.A. Yarmoff, Surf. Sci. 348, 359 (1996)

18. G.A. Kimmel, B.H. Cooper, Phys. Rev. В 48, 12164 (1993)

19. F. Wyputta, P. Zimny, H. Winter, Nucl. Instr. Meth. В 58, 379 (1991)

20. A.G. Borisov, D. Teillet-Billy, J.P. Gauyacq, Surf. Sci. 278, 99 (1992)

21. A. Wucher and H. Oechsner, Surf. Sci. 199, 567 (1988)

22. T.R. Lundquist, J. Vac. Sci. Technol. 15, 684 (1978)

23. D. Teillet-Billy, J. P. Gauyacq, Surf. Sci. 239, 343 (1990)

24. M. W. Thompson, Cambridge, University press 5 (1969)

25. W.S. Fann, R. Storz, H.V.K. Tom, and J. Borok, Phys. Rev. Lett. 68, 2834 (1992)

26. H. Shao, D. С. Langreth, P. Nordlander, in Low Energy Ion-Surface Interactions, edited by J. V. Rabalais, p. 118 (Wiley, New-York, 1994)

27. A. Lindgren, L. Wallden, Phys. Rev. Lett. 59, 3003 (1987)

28. A. Nourtier, J. Phys. (France) 50, 311 (1989)

29. J. J. C. Geerling, J. Los, J. P. Gauyacq, N. M. Temme, Surf. Sci. 172,257 (1986)

30. P. Nordlander, D. C. Langreth, Phys. Rev. В 43, 2541 (1991)

31. X.Y. Wang, D.M. Riffe, Y.S. Lee, and M.C. Downer, Phys. Rev. В 50, 8016 (1994)

32. J.W. Gadzuk, Surf. Sci. 6, 133 (1967)

33. A. G. Borisov, D. Teillet-Billy, and J. P. Gauyacq, Surf. Sci. 284, 337 (1993)

34. D. Teillet-Billy and J.P.Gauyacq, Surf.Sci. 269/270, 425 (1992)

35. P. Nordlander and J.C.Tully, Phys.Rev.Let. 61, 99038 (1988)

36. P. Nordlander and N.D.Lang, Phys.Rev.B 44, 13681 (1991)

37. W. Bloss, D. Hone, Surf. Sci. 72, 277 (1978)

38. P. Sigmund, Phys. Rev. 184, 383 (1969)

39. R. Brako, D. M. Newns, Surf. Sci. 108, 253 (1981) 40 Z. Sroubek, J. Fine, Phys. Rev. В 51, 5635 (1995)

40. Z. Sroubek and J. Fine, Nucl. Instr. Meth. В 100, 253 (1995)

41. V. A. Ermoshin, A. K. Kazansky, Phys. Lett. A 218, 99 (1996)

42. J. Merino, N. Lorente, P. Pou, F. Flores, Phys. Rev. В 54, 10959 (1996)

43. R. Kosloff, J. Phys. Chem. 92,2087 (1988)

44. J. P. Gauyacq, J. Phys. В 13, 4417 (1980)

45. F. Aguillon, M. Sizun, V. Sidis, G. Billing, N. Markovic, J. Chem. Phys. 104, 4530 (1990)

46. D. Lemoine, J. Chem. Phys. 101, 10526 (1994)

47. D. Lemoine, and G.C. Corey, J. Chem. Phys. 92, 6175 (1990)

48. A. K. Kazansky, K. Taulbjerg, J. Phys. В 29, 4465 (1996)

49. D. Lemoine, G.C. Corey, J. Chem. Phys. 94, 767 (1991)

50. M Maazouz, R. Baragiola, A. Borisov, V.A. Esaulov, S. Lacombe, J.P. Gauyacq, L. Guillemot and D. Teillet-Billy, Surface Science 364, L568 (1996)

51. D. Teillet-Billy, J.P. Gauyacq, and M. Persson, Phys. Rev. В 62, R13306 (2000) 53. A.G. Borisov, A.K. Kazansky, J.P. Gauyacq, Phys. Rev. В 59, 10935 (1999)

52. D.R. Bates, M. McCaroll, Proc. R. Soc. London, ser. A 245, 175 (1958)

53. F. Martin, M. F. Politis, Surf. Sci. 356, 247 (1969)

54. S.A. Deutscher, X. Yang, J. Burgdorfer, Phys. Rev. A 55, 466 (1997)

55. Z. Sroubek, G. Falcone, Surf. Sci. 197, 528 (1988) 58 G. Falcone, Z. Sroubek, Rad. Eff. 109,253 (1989) 59. K. Wittmaack, Phys. Scr. 6, 71 (1983)

56. G. Falcone, Z. Sroubek, Phys. Rev. В 38,4989 (1988)

57. P. Kurpick, U. Thumm, U. Wille, Nucl. Instr. Meth. Phys. B. 125, 273 (1997)

58. G. Falcone, A. Oliva, and Z. Sroubek, Surf. Sci. 177,221 (1986)

59. Z. Sroubek, Phys. Rev. B. 25, 6046 (1982)

60. M.C. Desjonqueries, D. Spanjaard, Concepts in Surface Physics. Springer Ser. in Surf. Sci. 30, (Berlin, Heidelberg, New York 1993)

61. A.G. Borisov, D. Teillet-Billy, J.P. Gauyacq, H. Winter, G. Dierkes, Phys. Rev. В 54, 17166(1996)

62. A.G. Borisov, D. Teillet-Billy, J.P. Gauyacq, Phys. Rev. Lett. 68, 2842 (1992) 67 H. Winter, Nucl. Instrum. and Methods B78, 38(1993)

63. M. Maazous, A.G. Borisov, V.A. Esaulov, J.P. Gauyacq, L. Guillemot, S. Lacombe, D. Teillet-Billy, Phys. Rev. В 55, 13869 (1997)

64. С. Auth, H. Winter, A. G. Borisov, B. Bahrim, D. Teillet-Billy, J. P. Gauyacq, Phys. Rev. В 57, 12579 (1998)

65. P J. Jennings, P.O. Jones, M. Weinert, Phys. Rev. В 37, 3113 (1988)

66. E.Yu. Usman, I.F. Urazgildin, A.G. Borisov, J.P. Gauyacq, Phys. Rev. В 64, 205405 (2001)

67. S. Cohen and G. Fiorentini, Phys. Rev. A 33, 1590 (1986)

68. See, e. G., in Time Dependent Methods for Quantum Dynamics, edited by K. S. Kulander (North-Holland, Amsterdam, 1991)

69. J.N. Bardsley, Case Studies in Atomic Physics, V. 4, 299 (1974)

70. M. D. Fleit, J. A. Fleck, J. Chem. Phys. 78, 301 (1982)

71. A.K. Kazansky, J. Phys. В 29,4709 (1996).

72. I.F. Urazgil'din and A.G. Borisov, Vacuum 40 no. 5, 461 (1996)

73. H.Kaji, K. Makoshi, and A. Yoshimori, Surf.Sci. 227, 138 (1990)

74. J.C. Tully, Phys. Rev. В 16, 4324 (1977)

75. D.R. Bates, Proc. Roy. Soc. (London) A 274, 294 (1958)

76. C. Leforestier, R. H. Bisseling, C. Cerjan, M. D. Feit, R. Frirsner, A. Gulberg, A. Hammerich, G. Jolicard, W. Karrlein, H. D. Meyer, N. Lipkin, O. Roncero, R. Kosloff, J. Comput, Phys. 94, 59 (1991)

77. A.L. Krauss and D.M. Gruen, Surf. Sci. 92, 14 (1980)

78. J. Burgdorfer, P. Lerner, and F. W. Meyer, Phys. Rev. A 44, 5647 (1991)

79. J. R. Tailor, Scattering Theory: The Quantum Theory ofNonrealistic Collisions (Krieger, Malabar, FL, 1983)

80. A.G. Borisov and H.Winter, Zeitschrift Phys. D 37, 253 (1996)

81. A.G. Borisov and H.Winter, Nucl. Instr. Meth. В 115, 142 (1996) 87 U. Thumm, Comments At. Mol. Phys. 34, 119 (1999)

82. B. Bahrim, P. Kurpick, U. Thumm and U. Wille, Nucl. Inst. Meth. В 164, 614 (2000)

83. J.J. Ducree, F. Casali, and U. Thumm, Phys. Rev. A 57, 338 (1998)

84. U. Thumm, P. Kurpick and U. Wille, Phys. Rev. В 61, 3067 (2000)

85. H. Winter, J. Phys. Condensed Matter 8, 10149 (1996)

86. D.R. Bates and G.W. Griffing, Proc. Phys. Soc. A 66, 961 (1953) 93 D.R. Bates and G.W. Griffing, Proc. Phys. Soc. A 67, 1069 (1954)

87. B. Bahrim and U. Thumm, Surf. Sci. 451, (2000)

88. A.G. Borisov, G.E. Makhmetov, D. Teillet-Billy and J.P. Gauyack, Surf. Sci. 350, 5582(1996)

89. P. Kurpick, and U. Thumm, Phys. Rev. A 58, 2174 (1998)

90. B. Walch, U. Thumm, M. Stockli, C.L. Cocke, and S. Klawikowski, Phys. Rev. A 58, 1261 (1998)

91. C. Auth, A. G. Borisov, and H. Winter, Phys. Rev. Lett. 75, 2292 (1995)

92. T. Hecht, H. Winter, A.G. Borisov, J.P. Gauyacq, A.K. Kazansky, Phys. Rev. Lett. 84, 112517(2000)

93. С.И. Анисимов, Б.Л. Капелович, Т.Д. Перельман, ЖЭТФ 66, 776 (1974)

94. J.J.C. Geerlings, J. Los, J.P. Gauyack and N.M. Temme, Surf. Sci. 172, 257 (1986)