Кластерная редукция задач рассеяния в системах трех и четырех нуклонов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

р ^ оаш^-детербургскии государственный университет

на правах рукописи

оилихин

Игорь Николаевич

кластерная редукция задач рассшш • в системах трех и четырех нуклонов

(Ох.04.02 - теоретическая физике)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена в отделе математической и вычислительной физики НИИ физики Санкт-Петербургского государственного-университета. _ ,

Научный.руководитель: академик РАН|Меркурьев С.П.]

Официальные оппоненты: доктор фигийо-ыатематиче ских наук, • вед.науч.сотр. Купэрин Ю.А.;

доктор физико-математических наук, * вед.науч.сотр. ВюшцкиЯ С.И.

Ведущая организация: Каунасский университет.

Защита состоится 1993 г.

в 17^ часов на заседании специализированного . . совета по присуждению ученой степени кандидата наук к 063.57.Г7 в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу 199034, С.-Петербург; Университетская наб.

С диссертацией можно ознакомится В научной библиотеке Санкт-Петербургского ■ государственного университета.'

Автореферат разослан ъЯР*1993 г.

Ученый секретарь • Специализированного совета К 063.57.17

Манидн С.Н.

Обаая характеристика работы

Актуальность темы.Теория рассеяния . при низких энергиях в квантовых системах нескольких частиц играет ключевую роль во многих разделах современной физики. В ядерной физика,в частности,остается актуальной проблема определения точках характеристик ядерного взаимодействия. Уравнения Фаддеева для систем трех нуклонов и уравнения Якубовского для систем четырех нуклонов являются той математической основой, которая дает возможность детального сравнения теории и эксперимента. Прямые методы решения этих уравнений для реальных физических систем,• однако, леяат на грани возможностей современной вычислительной ■ техники.Значительные усилия предпринимаются для разработки новых методов решения указанных уравнений.

Цель работа.'На основе предложенного в работе катода кластерной редукции уравнений Оаддеева и уравнений, дл~ компонент Якубовского в конфигурационном пространстве провести расчета характеристик низкоэнергетического рассеяния в системах трех №-а.)и четырех (п--ь) нуклонов. При. этом, трехчастичные задачи рассматриваются как тестовые.

Научная новизна. В работе проведена редукция дифференциальных уравнений Фаддеева для системы И-й и даЗфервнцш-.шных уравнений для компонент Якубовского для система рассматриваемых при энергиях ниже порога развала связанного кластера. Суть ее в том, что решения исходных уравнений представляются в виде разложения по базису собственных функций граничных задач, порождаемых гамильтонианами.;связанных подсистем. Такое разложение возможно в. саду асимптотических граничных/условий налагаемых на эти решения в указанном.диапазоне энергии относительного движения кластеров. В результате - получены одномерные интегро-диСфе'решиальные уравнения для функций относительного движения. В отличие , от стандартных ■ методов такой редукции,основанных на уравнениях Щредингера, предложенный метод базируется на уравнениях для компонент волновой фдации, что позволяет с самого начала . преодолеть трудности, связанные с • хорошо . известной, проблемой

неортогональности каналов реакции -при многочастичном рассеянии. Эффективность метода для проведения вычислений характеристик низкоэнергетического рассеяния тестируется задачей S-волпового lid рассеяния. На основе метода кластерной редукции, впервые проведено численное решение дифференциальных • уравнений для компонент Якубовского задачи рассеяния в системе nt. Получены длины синглетного и триплетного рассеяния, а' также s-волновые фазовые сдвига при энергиях ниже порога развала тритона. В качестве ш-взаимодействия использовался локальный потенциал типа йсавы ЫТ-1-III. Теоретическая и практическая ценность.

Предложенный в работе метод ыокет быть применен для анализа рассеяния в четырехнуклокных системах с кулоновскш взаимодействием ( d-d, n- Не, р- Н и Т.Д.).

Апробация работа. Результата диссертации докладывались на XII Европейской конференции по проблеме нескольких тел ( Ужгород , IS90), на научных семчнарах отдела математической и вычислительной физики НИИ физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. Результата диссертации опубликована в трех научных статьях Ш-[3). .

Объем работы. Диссертация отстоит из введения, двух глав,четырех приложений й списка литературы, всего 135 страниц (28 рисунков, 10 таблиц). Библиография содержит Бб наименований.

Содержание работы

Во введении сформулированы основные задачи и результаты диссертации, ;описана структура работы, а также дан обзор литературных источников по теие диссертации.

Глава 1 посвящена рассмотрению низкоэнерге тиче ского рассеяния в система № и соотоит из пят параграфов, В первом параграфе дается юстановка задачя ' рассеяния в системе трех

товдественных частиц ira основе дифференциальных уравнений Фаддеева. Выписываются уравнения Фаддеева в конЗигурационном пространстве и рассматриваются асимптотические граничные условия, отвечающие процессам рассеяния и перестройки для двухкластерного начального состояния.

В параграфе 2 на основе S-волновых. vpaBHeHS® Фаддеева для систем nd и pd формулируются граничные задачи упругого рассеяния при энергиях относительного движения в системе ниже порога развала дейтрона. Для сокращения громозкости записи уравнений применяется матричная форма записи. Рассматриваются два возможных спиновых состояния системы: квартетное (Б=3/2) и дублетное (s=I/2).

В параграфе 3 производится кластерная редукция S-волиовых уравнений Фаддеева. Дается краткое обоснование корректности предлагаемой процедуры редукции (согласно работе Ш>, которое заключается в том, что, в силу асимптотически граничных условий, решение уравнений Фаддеева является квадратично интегрируемой функцией по внутренней координате связанного кластера, поэтому, оно может Сыть разложена в сходящийся ряд Оурье. Наиболее подходящим базисом является базис образованный собственными. функциями задач Штурма - Лиувилля порождаемых гамильтонианом подсистемы. При этом, решение S - волновых уравнений Фаддеева представляется в виде:

SU,у)- ' 2 (у). . Ш

где *>. <х)- собственные функции граничных задач вида: ' г

+V(z)-4r.)*>1<xbO , (2)

clx. 11

*>,<о)= *>,<ах)« о ,

пронумерованные в порядке возрастания так, что при Rx ■* » r>t (x) *>d(x), где *>d(x)- волновая функция дейтрона. В работе [I) показано, что разложение (I) дает точное решение уравнений Фаддеева в пределе Ях - w. Далее, используется стандартная процедура проектирования, которая приводит к системе одномерных

йнтегрр-дифференциальш« уравнений для функций относительного

движения 1Сд(у) с асимптотическим граничным условиям на г 1 (у) при

у ю . С целью численного решения полученных уравнений

з

разложение (I) обрывается на некотором значении 1= Приведем вти уравнения для наиболее простого случая квартетного пй рассеяния:

к

шах

( * Е1 )11(у)=;|1<в|ЛИу) + в1(у)» (3)

где через В..( ) обозначены интегральные операторы вида

где х' =/(х/2)г+уг-хуи ,у • =/(Зх/4)г+ (у/2)г+Зхуи/4, неоднородный член уравнения (3) порождается функцией начального

СОСТОЯНИЯ Хр (у)=в!п(ру)/р

б1(у) - 2% ф^х^Сх^йиСху/Сх'У ))ф1 (хМХрСУ).

здесь Б^ р2 +4/3(е1- еЛ) , р - .относительный импульс в системе центра масс, фх(х) ,1=1,2,... собственные функции и отвечающие им собственные.значения е1 задач Штурма-Лиувилля (2), ^тах чяая0 членов удерживаемых в разложении (I) (х)-триплетный ядерный потенциал.

Система уравнений (3) дополняется нулевыми граничными условиями в начале координат

^(0)- О . 1=1,2,. .'.,й1Мцс и асимптотическими граничными условиями при у -та

(у) " а оов(ру) ,

г, (У) ■«• о ,1-2.3.....н^ .

где а- -^8(е)/р , в - фаза рассеяния.Интегральные члены из (3) подробно рассматриваются в Приложении I.

В параграфе 4 описан численный метод решения системы

интегро-дифференциальных уравнений для функций относительного движения и вычисления амплитуда рассеяния. Дискретизацией на равномерной по у сетке Д: у^ 1, Ьу=йж/лу задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений видаг

(с! + И) * = а й + g , где с! - трехдиагональная матрица поровдпемая дифференциальным оператором, Б - матрица интегральных членов возникающая после интерполяции искомых решений функциями с ограниченными носителвки и являющимися по сути сплайнами первого порядка, в - вектор порождаемый функцией начального состояния, а -неизвестная амплитуда. В векторе а отличен от нуля элемент о№

. у

вд = оов(рум). У У

В пятом параграфа представлены результаты численных расчетов на основе полученных в §.2 уравнений. Вычислялись функции

Зр(р) и Эк(р), где ^(р)—Р'оо1;(30п£р))-,

3К(р)=р(Зв (р) ) ■ о* (7})+|п(7))=-1п (7}}+(|>(1 +1Т)>,

г г

ф(и)-дигамма функция, т)=2п/3р, п«гое /Ь ,т-масса нуклона 9 3

е-заряд протона, где О^р)) и.вр<1(р))-фазы пй и рй рассеяния

соответсвенао.а также характеристики их низкоэнергетического поведения в приближении эффективного радиуса,

1 1 1/2 2 "¡Г/* + 'Р .

з/г . . з/г г 1/г ап<1 ;. »<»)■ " ¡з/г 5 ^ 'Р ' *<Р>» -'

з г

где гпЛ- эффективный радиус взаимодействия. пй,р0-энергая

виртульного уровня тритона, .

1 1/а 2

~ ТТ/г Г 'р э/г Л . . . э/г г 1/г • ар4

К(р)а - + \ V -р . ' К(р)а —-——

а1л 1 + Рг/Р

"р<1 ' ■ * --о

а г

где г эффективный радиуо взаимодействия р<1, р - энергия

ра з а а

виртуального уровня ядра Не, 8 ш1, ар4 длины пй и ра. рассеяния . В качестве ин-взяиюдейсгаия использовалась потенциальная модель ВД1-1-Ш. На рис.1. и рис.2, приводятся графики |/г 1/г

функций р(р) и К(р) соответственно ( дублетное спиновое оостояниа системы). Дано обсуждение вопросов сходимости раз лощений типа (I) в расчетах, так для сетки с параметрами й=40

1/г х

^¿40 Рт в разложениях (I) необходимо учитывать 20

слагаемых, в дублетом случае и Кюах=6 слагаема - в квартетном случае, для сетки с параметрами К,=25 Рт - , й =20 Рт

1/г * э/г у

учитываются соответственно нтах12 и Нта14 слагаемых.

Пре варьировании параметра ну сходимость результатов расчета

наступает при Ну= 40 Рп, 1^=40 ?т , «х=3000, ку=55.

Результаты вычислений сравниваются с результатами прямого численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве, полученными другими авторами с потенциалом ИТ-1-Ш.

В таблице I приводятся результаты расчетов для ра. рассеяния. Следует отметить, что параметры потенциала в [4] несколько отли-

■tf.* r^Pm „'/г -m™ "pa lFm г,/г,Гш P^.Mev

данная работа 13.8 2.08 0.2 -490 гмо3 29

[41 13.8 2.1* 0.17 -450* I4-I03* 25

[БЗ 11.96 - 1.03 - -

Табд. I. Дублетная и квартетная длины pd рассояния и параметры разложения аффективного радиуса. Здесь

1/2 S 2 I

«2*4 K(p)/d(p )| г moi "в «p «0

i/г i/г . a

rp4 » r + 2/Значения,отмечвЕНЫв звездочкой, подучены расчетом по данным работы [ 4 ).

чаются от параметров используемых в данной работе.

Для иллюстрации выполненных вычислений, в параграфе б такие представлены графики в-волновых координатных частей компонент Саддеева и координатных частей полной волновой функции рл рассеяния при энергии относительного движения в системе Е Мег.

Рис. I. Функции р„»-р оо^О^р)) дублетного п<1 " . 1/2 рассеяния для различных значений №*Н1вах.

I - И-1 , 3 - N-4, 3 - N-10, 4 - М=20, б - результат непосредственного решения дифференциальных уравнений} Фаддеева [ 6 ].

Глава 2 посвящается низкоэнергетическому рассеянию в системе »1;. В параграфе I дается формулировка задачи рассеяния в системе четырех тождественных частиц на основе дифференциальных уравнений для компонент'Якубовского. Известно, что для четырех тождественных частиц эти уравнения сводятся к двум "зацепленным" уравнениям для компонент, отвечающим двум возможным способам

7 у/г

Рио.2.функции к(р)дублетного рй рассеяния1 для. различных значений 11«лт

V I - к«з , 2 - В=5 ,3 К=9, • 4 - N»12. б - N=20.

разделения системы (деревьям Якоби). Эти компоненты обозначайся, как компоненты типа 3+1 и 2+2. В . параграфа 2 строятся спин-изоспиновне базисы для системы штр (более подробно спин-изоспи-новые базисы рассматриваются в Приложении й.), производится спин-изоспиновый анализ дифференциальных уравнений для компонент Якубовского (вычисление, необходимых для этого, представлений операторов перестановки частиц рассмотрено в Приложении 3.). Затем формулируются граничные задачи 6-волнового пХ рассеяния при энергиях нияэ порога развала тритона, рассматривались два спиновых состояния : синглетное (5=0) и триплетное (В=Х). Выписываются окончательные з-волновые дифференциальные уравнения для компонент Якубовского и асимптотические граничные условия. (Преобразования координат Якоби, используемые при атом, получены-в Приложении 4.)

В параграфе 3 производится редукция Б-валновых дифференциальных уравнений для компонент Якубовского на основе разложения решеш!й исходных уравнений по базису собственных функций граничных задач порождаемых уравнениями типа Фаддеева для связанных подсистем. Такое разложение возможно, в силу квадратичной интегрируемости решений по внутренним координатам связанных подсистем, что следует из асимптотических граничных условий. Корректность такой процедуры может быть показана методом, • использованным для трехчастичной задачи в работе [I]. Подобные разложения в матричной форме имеют вид аналогичный (I). Стандартная процедура проектирования, однако, применяется к первоначально преобразованным дифференциальным уравнениям для компонент Якубовского. Суть атого преобразования . состоит в образовании сумм из компонент Якубовского подобных сумме компонент Фаддеева в трехчастичной задаче при образовании полной волновой функции. Выделенные таким образом, волновые функции связаной подсистемы ортогональна, что позволяет применять стандартную процедуру проектирования. В результате получается система одномерных кнтегро-дифференциальных уравнений для функций относительного движения. Асимптотические граничные условия на функции ^(а) получаются аналогичным проектированием.

В параграфе 4 представлены результаты численного решения

аффективных уравнений для nt рассеивая при энергиях, ниже порога

развала тритона для двух возможных спиновых состояний системы

сенглетного (s=0) и тришютного (s=I). Численный метод тот se,

что используется при решении эффективных трехчастичных уравнения

(см.глЛ.п.4). Многомерные интегралы, возникающие в интегральных

членах уравнений, вычисляются с использованием квадратурной

формулы Коробова. В качестве нн-взаимодействиа выбирается

потенциальная модель МГ-1 -III. Получены значения танглетной и

s

триоде твой длин nt рассеяния, а также фазоаве сдвиги б(р) (S*0,I) при анергиях ниже порога. В Табл.2 представлены результаты расчетов длин nt рассеяния. На Рис.3. приводятся фазы

Ао.йа Дг.Уи

данная работа 4.0 3.6

17 1 4.09 3.61

Е а 1 4.23 3.46

Г э | 3.905 3.597

Табл. 2. Результата расчетов синглетнойи тритиютной длин ^-рассеяния.

В 18} расчет на основе интегральных уравнений Якубовского. В работе {7) иотожь-

"ован локальный кк-потенвдал тшэ Юхав», в'работе ¡8) - севарабельвый потенциал взда )=-7к8(к)ви»>,«(к>=в1п<р.к)/<р.к>. В [Э] использованы интегральные уравнения с сапарабельным потенциалом.

синглетного в триплетного тЛ рассеяния. Оказалось» что в раэлоаениях типа ( I ) достаточно у .есть только первое слагаемое, что подтверждает хорошую кластеризацию и* система, отмечаемую и в других работах. Влияние уравнений для компонент типа 2+2 на вычисляемые значения амплитуд но превышает Ь%-ч% в сикглетном и тршлетном случаях, соответственно, сходимость

результатов вычислений при варьировании параметров сетки то координате с наступает при значениях ка» 18 г®, н «30. Дается сравнение с результатами расчетов, выполненных51 на основа интегральных уравнений Якубовского с локальным и сзпарабельшм потенциалами. Расчеты иллюстрируются . графиками З-волювых координатных составлявших компонент Якубовского типа 3+1.

йнг.З, з-волновые фазовые сдвиги синглетного а) и триплетного 0) рассеяния при энергиях относительного движения в системе(с.ц.м;) ниже порога развала пригона. — - результат данной работы, • - результат работы 17], « - результат работы (93.

В заключения сформулированы'основные результаты .работы:

1. Произведена кластерная редукция s-волновшс уравнений Фадцеава в конфигурационном пространстве, для ма рассеяния к одномерным пвтэгро-даффёренцаальшм уравнениям для функций относительного движения при энергиях шие. двухчастичного порога.

2. Проведена численные расчета характеристик низкоэнергети-. ческого Nd расеяния на основе полученных эффективных уравнений. Использована потенциальная модель CT-I-II. Сравнение с результатами прямого рэшевдя диСйерейшальЕых уравдекй «адаеева друпа. авторов показывает.э£Фектавность метода.

3. Проведен сшн-изоспиновнй аналда дифференциальных уравнений для компонент Якубовского.системы гшпр. В s-волне эти уравнения используются для формулировки грангшп задач nt рассеяния при энергиях гота порога развала тритона.

4. Произведена кластерная редукция, полученных s-волновых дифференциальных уравнения для компонент Якубовского к системе одномерных интегро-дайФеранцкальных уравнений для функций относительного движения.

5. Проведена расчета сингдетной и трголатной длин nt рассеяния л s-волнозюс фазовых сдвигов при энергиях ниш порога развала, тритона с локальным, га-потенциалом мт-1-Ш.

Основные результаты работы опубликованы в статьях:

1. Yatovlev S.b., Kerlcuriev S.P., Filikin : I.N. About the° .

• ' l07i energy scattering In three, .partióle systems/Preprint IMHE 90/51, Paris, 1990, 23p.

2. Меркурьев С.П., Сшпши И.Н., Яковлев С.Л. Расчет .

. низкоэнергетичэсках характеристик рассеяния е системе трех частиц/Теория квантовых систем с сялыы взаимодействием.,. Тверь'.Тверской. государствешшй университет, 1990, с.53-66.

3. Филихин И.Н., Яковлав С.Л. ;,Расчет характеристик низкоэнергетического рассеяния в системе трех заряженных 'частиц//. Вестник СПбГУ, 1992, сэр.4, бып.З, с.24-29.

Цитируемая литература;

4. Chen О.R.,Payne Q,L.,Sriar J.L.,01bBOn В.У. Low-energy nuoleon-deuteron eoatteriri^/Phya.Rev. ,1989.vol.390, p.1264-1260. •

5. Квицинский А.А. Длина рассеяния в системе трех заряжэнных частиц//Письма в H3T®,I982;t.3S,C.376-377.

6. Benayon J.J.,Qlgnous (K.Chauvin J. Heutron-deutron eoattering at aero energy with .realiatio nuoleon-nuoleon interaotions// Phys.Rev.,1901.vol.¿30.p.4854-1663.

T. Tjon J.A. Low energy nuoleon-trlnuoleon aoattering in the', integral equation approaoh//PhyB.. Lett.,1976,vol.63B,

\ p.391-395. '

9. Левашов В.д. Кизкоенвргетическиэ параметры и корреляции в системе n+ Н// Яд.физ.,1983,т.38,вщ1.3(Э),с.Б66-5?6.

3, Копзеоа А.С. Contribution or p-wave (3)+1 eubamplitude to Не. binding energy and soattering observablee below four-body

■ breakup threshold// Few-Body Systems, 1S86,vol.1,p.69-31.

Подписано к печати *0.0949Э Заказ 258 Тира* Ш. Обгеч 0,75 п<я. ПИЛ СПГУ ' :

1990Э4, Санкт-Петербург, наб. Макарова,6.