Асимптотические методы и ультравторичное квантование Маслова в некоторых задачах квантовой статистики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА

Асимптотические методы и ультравторичное квантование Маслова в некоторых задачах квантовой статистики

Специальность 01 04 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Голиков Дмитрий Сергеевич

00344942Б

Москва 2008

003449425

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, академик Маслов Виктор Павлович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Молотков Иван Анатольевич

кандидат физико-математических наук, доцент Стояновский Александр Васильевич

Ведущая организация

Томский государственный университет

Защита состоится «9» октября 2008 г в 'Э часов на заседании диссертационного совета Д 501 002 10 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119991, Москва, Ленинские горы, дом1, стр 2, Физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им М В Ломоносова

Автореферат разослан «_» сентября 2008 г

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501 002 10 доктор физико-математических наук, профессор

ЮВ Грац

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Подавляющее большинство проблем теории многих тел, представляющих физический интерес, достаточно сложны и, как правило, не имеют точного решения Поэтому существенный интерес приобретают модельные системы, допускающие их математическое рассмотрение Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств модельных систем большого числа взаимодействующих частиц

Выбор гамильтонианов для конкретных систем взаимодействующих частиц представляет для статистической механики важную проблему При рассмотрении конкретных реальных систем с большим (в пределе — бесконечным) числом степеней свободы невозможно принять во внимание все без исключения свойства такой системы Основная задача состоит в том, чтобы учесть лишь наиболее важные с точки зрения изучаемого явления черты этой системы, сознательно пренебрегая остальными Подобное упрощение задачи представляет собой модельный подход, а соответствующие гамильтонианы носят название модельных Необходимо отметить, что формулировка модельных задач представляет собой весьма сложную физическую и математическую проблему

В конкретных задачах теории многих частиц адекватного соответствия реальной системы и ее математической модели обычно не бывает и приходится довольствоваться моделью, свойства которой существенно отличаются от свойств реальной системы Для решения таких задач приходится пользоваться приближенными методами Тем не менее, в настоящее время этот подход для большинства задач теории многих тел является почти единственным Так обстоит дело и для квантовых, и для чисто классических систем

С другой стороны, строгое исследование задачи как правило сталкивается со сложными математическими проблемами Поэтому точные решения модельных задач достаточно редки и оказывают большое воздействие на развитие статистической механики в целом Одной из важнейших проблем статистической физики является рассмотрение точно решаемых случаев Такое рассмотрение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач квантовой статистики и, в частности, для обоснования используемых приближенных методов

В связи с этим представляет существенный интерес изучение тех

немногих моделей, которые имеют некоторое сходство с реальными физическими системами, но допускают точное решение При этом могут быть установлены основные особенности систем многих тел

В качестве примеров таких систем, которые могут быть решены точно, следует привести системы невзаимодействующих частиц Несмотря на тривиальность такой модели, она используется в качестве исходной в большинстве задач теории многих тел Кроме того, существует ряд точно решаемых неидеальных моделей результаты Н Н Боголюбова в модельных задачах теории сверхтекучести и сверхпроводимости, Онса-гера в плоской модели Изинга, Бакстера в восьмивершинной модели

Модельные гамильтонианы широко применяются при изучении различных задач теоретической физики По этой причине их исследование представляет особый интерес — решением задачи одного гамильтониана решается целый ряд соответствующих физических моделей Например, в работах В П Маслова подробно рассмотрен вопрос о построении приближенных решений уравнения

ге^- = Н уДГ{х)) Ф(*), (1)

где Ф(£) — вектор состояния в пространстве Фока, ф±(х) — операторы рождения и уничтожения в этом пространстве Метод комплексного ростка Маслова в пространстве Фока позволяет построить приближенные стационарные решения уравнения (1), в частности, многочастичных уравнений Шредингера, Лиувилля, а также уравнений квантовой теории поля

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является исследование свойств модельных систем большого числа взаимодействующих частиц на основе асимптотических методов, метода ультравторичного квантования и концепции истинного символа Рассматриваются задачи построения собственных значений и векторов уравнения Шредингера и уравнения для матрицы плотности

Методы исследования

В диссертации используются строгие методы математической физики Научная новизна работы

В рамках данной диссертации получен ряд новых результатов В частности, вычислено значение экспоненциально малого расщепления энергии вихревых решений уравнения Шредингера для системы на решетке Построены асимптотические решения уравнения Шредингера для ряда модельных систем тождественных частиц с парным взаимодействием

Наряду с известными асимптотическими методами в работе используется современный метод ультравторичного квантования, введенный академиком В П Масловым, а также концепция истинного символа, позволяющие получить более общие результаты, в сравнении с достигнутыми ранее

Впервые получены точные решения уравнений, описывающих модельные системы взаимодействующих частиц, найдены спектры коллективных колебаний квазичастиц В ряде случаев для системы уравнений Гамильтона получена «ЬА-пара», позволяющая записать уравнения движения в виде операторного уравнения При исследовании уравнения для матрицы плотности в представлении ультравторичного квантования по парам впервые найдена соответствующая пара Лакса

Теоретическая и практическая ценность работы

В диссертационной работе содержатся результаты, обладающие несомненной научной новизной и имеющие существенное значение для понимания физики систем большого числа частиц Представленные в работе теоретические результаты могут быть использованы специалистами в области квантовой статистики, теории систем многих частиц, а также теории сверхтекучести и сверхпроводимости

Личный вклад соискателя

Автором самостоятельно проведены исследования ряда модельных систем большого числа тождественных частиц Получены решения соот-

ветствующих уравнений движения, а также спектры коллективных колебаний квазичастиц Впервые найдено представление уравнений движения в виде пары Лакса при ультравторичном квантовании по парам уравнения для матрицы плотности

Положения, выносимые на защиту

1 Построена туннельная асимптотика волновой функции основного и первого возбужденного состояний в модели большого числа частиц на решетке Получен аналог условия возникновения сверхтекучести в системе бозонов с бинарным взаимодействием Вычислено экспоненциально малое расщепление энергетических уровней

2 Показано, что для гамильтониана с парным взаимодействием на произвольном конечном числе точек решетки имеет место пространственно однородное решение Получен энергетический спектр системы

3 Для модельного гамильтониана системы взаимодействующих бозонов построена асимптотика собственных значений уравнения Шре-дингера

4 В модели сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера из системы уравнений в вариациях, соответствующей истинному символу для уравнения Шредингера, получен спектр коллективных колебаний

5 Исходя из концепции истинного символа, для модельных квантовых систем тождественных частиц — бозонов и фермионов — вычислены главные члены асимптотики собственных значений серий, соответствующих решениям гамильтоновых систем, а также получены новые спектры коллективных колебаний квазичастиц

6 Общее решение системы уравнений, соответствующей математической модели для //-частичного уравнения Шредингера в случае фермионов, впервые представлено через произвольную нечетную функцию Для частного решения уравнений движения точно вычислен спектр системы уравнений в вариациях

7 Произведено ультравторичное квантование уравнения для матрицы плотности Доказано тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, позволяющее определить истинный символ уравнения для матрицы плотности В случае квантования по парам показано, что система обладает спектром, полученным в работе В П Маслова «О зависимости критерия сверхтекучести от радиуса капилляра» Впервые получена пара Лакса для символа, соответствующего уравнению для матрицы плотности при ультравторичном квантовании по парам

Апробация диссертации

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ, а также представлялись в научных докладах на следующих конференциях

• Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносов 2003» Москва, 2003

• Всероссийская конференция по фундаментальным наукам «Молодежь в науке» Саров, 2003

• Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2004» Москва, 2004

• Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2005» Москва, 2005

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 11 опубликованных работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований Объем диссертации составляет 152 страницы

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные цели, научная новизна и практическая ценность, перечислены защищаемые положения и кратко изложено содержание всех глав диссертации

Глава 1 Системы большого числа частиц на решетке

В первом разделе исследована модель большого числа частиц на решетке Решена задача нахождения асимптотики решений уравнения Шре-дингера вблизи вакуумного состояния при N —> оо (И — число частиц в системе) для гамильтониана

2 2 н = +

Построена туннельная асимптотика волновой функции основного и первого возбужденного состояний и выяснены условия существования решения [1] Параметром квазиклассического разложения является е = Рассмотрена функция действия вида

£(х) = К(х) + гтгкх,

где г — мнимая единица, к — произвольное целое число (к £ 2), х = п/Ы — относительное число заполнения Гладкая функция К{х) представляет собой действительную часть функции 5(х)

В зависимости от значения параметра к имеют место две ветви решений уравнения Шредингера решения, отвечающие четным значениям к, и решения, отвечающие нечетным к

Рассматриваемая модель допускает достаточно тесную аналогию с теорией сверхтекучести, которая была предложена Н Н Боголюбовым в

1947 году Именно, получен аналог условия возникновения сверхтекучести в исследуемой модели большого числа частиц на решетке При различных соотношениях на параметры, аналогичных условию Боголюбова в теории сверхтекучести, реализуются два возможных случая В первом из них основное состояние, обладающее энергией

где а = ± (VI — Уг) /?2 < 2, п = 0,1,2, , пространственно однородно и является аналогом сверхтекучего состояния Здесь и ниже верхний знак отвечает четным значениям к, нижний — нечетным

Во втором случае, который реализуется при а > 2, существуют два разных асимптотически близких состояния с энергией

между которыми имеется симметрия Последние два состояния можно интерпретировать как аналог вихревых решений в теории сверхтекучести Средние числа частиц в этом случае зависят только от величины а = ± (V-! — /Тг, представляющей собой комбинацию параметров, входящих в гамильтониан

Вычислено значение экспоненциально малого расщепления энергии вихревых решений [1] В ряде случаев классический гамильтониан, соответствующий рассматриваемой необычной квазиклассической системе, имеет два вырожденных минимума Волновые функции

■ф3(х) = , 0 = 1,2,

сосредоточенные в окрестностях минимумов, могут туннелировать друг в друга, что приводит к экспоненциально малому расщеплению энергетических уровней

Следуя решению уравнения Шредингера, полученные асимптотически близкие инстантонные решения туннелируют друг в друга Разность энергий симметричного и антисимметричного состояний вычислена с помощью квазиклассических методов В П Маслова и представляет собой экспоненциально малое расщепление энергетических уровней

Е+-Е_ = (-1 (1 + 0(1)) ,

где срх(ж) — предэкспоненциальная функция, х = 1/2, К\{х) < О

Во втором разделе первой главы проведено рассмотрение гамильтониана

м м

н = Е + \ Е

на произвольном конечном числе М точек Получены асимптотические уравнения для собственных значений и векторов гамильтониана [4]

Пространственно однородное решение обладает энергетическим спектром квазиклассического вида

т1 = 0,1,2, , и существует при выполнении условия на параметры гамильтониана

У!-Уа М^ Т2 < 2

Полученное соотношение для энергии, неравенство, обеспечивающее условие существования пространственно однородного решения, совпадают в частном случае М = 2 с результатами первого раздела

В третьем разделе исследован модельный гамильтониан вида ОС с? с? с

г=1 ;=1 1=1 7=1 1=1

где ¡л - химический потенциал С использованием асимптотических методов В П Маслова найдены энергетические уровни системы [3] Построено асимптотическое решение уравнения Шредингера

С другой стороны, с помощью вариационного принципа Н Н Боголюбова получена оценка для собственных значений гамильтониана [2] Найдены значения аргументов вектора состояния, реализующие минимум энергии, а также соотношения на параметры гамильтониана, обеспечивающие существование этих решений Показана эквивалентность результатов

Глава 2 Ультравторичное квантование уравнения Шредингера

В первом разделе методы ультравторичного квантования и концепция истинного символа применены для модели Бардина-Купера-Шриффера [5] Рассмотрены соответствующая система уравнений Гамильтона и система уравнений в вариациях, решения которых определяют спектр возбуждений фермионной системы

Показано, что спектр возбуждений, полученный с помощью метода ультравторичного квантования, совпадает со спектром коллективных колебаний Н Н Боголюбова Для уравнений самосогласованного поля БКШ-Боголюбова приведена пара Лакса

Следующие два раздела отведены исследованию модельных систем взаимодействующих тождественных квантовых частиц — бозонов и фер-мионов Рассмотрен истинный символ

П [Ф+(), Ф()] = || dxdy Ф+(х,у) (-¿(А, + А,)) $(*,!,) +

+2N mi dxdydx'dy' V {х, у) Ф+(х, у)Ф+(х', у')Ф(х, х')Ф{у', у)

ультравторично квантованной задачи, определенный для пары симметричных в случае бозонов и антисимметричных в случае фермионов относительно перестановок аргументов функций Ф+(х,у), Ф(х,у), заданных на Ь2{Т2) Решены соответствующие системы уравнений Гамильтона для каждой из статистик Получены главные члены асимптотики собственных значений серий, соответствующих решениям гамильтоновых систем

Р ДГ |) V2k2 ± VQ

Ек= N { 2т + где к\, ¡¿2 — волновые векторы вида

пь п2, пз — целые числа, v¡ — образ Фурье потенциала

Представлено решение системы уравнений в вариациях

+ и21 (е1(-Ь-к1)х+1(-Ъ+2к*+1)у ± ¿{-Ь-кгЪМ-Ь+зь+Ц^

(е^

(к1-кг)у+1(к1+2к2+1)х ег{к1~к2)х+г(к1+2к2+1)у^ +к2+1-1')х+1{к1+1')у __ 1(к1+к2+1-1

+

+ £ ^.(е*^

1'ф1,1+2к2

>)у+г(к1+1')х^ ^

где волновой вектор I ^ —к2

Задача на собственные значения системы уравнений в вариациях сведена к нахождению собственных значений уравнения

Здесь

X — вектор-столбец вида

\Х = МХ

И2 ш

/ Щ,1 \ У-2,1 щ ,1 \ ,1 /

М — матрица

М =

( Вх V V в2 о

Мх ^ -В}

\ Г М2 -V

о \

-V -Вг )

с элементами

Вг = ВЫ 4-

V

У1+к2 ± ь2к2

В2 = Вк2,1+2к2 +

Ч+Ъ к2

VI = -У2 = -

Ч+к2 ± У1-к2 2

Ч+к2 ± У1+Зк2

Мх = 2(у[-к2 ± Уо)ч>к2,и М2 = 2(г>о ± У1+гк2)ч>к2>1+1к2, ^ = (у2к2 ± У1+к2) {фк2,1 ± Рк2,1+2к2),

11

где числа -B¿2i¡, tfik2,i имеют вид

Вк2,1 = - к\) + {v¡-kl ± х>i+k2)<Pk2,i - V2k'

2 '

<Л2,г

~(l2~k¡)-(v2k2±v о)

2 2 V "< " Vl_h ± Vl+k2

а к\, ¿2, I — трехмерные векторы вида (3) Коэффициенты a¡ в случае бозонов тождественно совпадают с единицей, а в случае фермионов обладают свойствами cr_¡ = — <т/, |cr¡| = 1

Получены соответствующие собственные значения системы уравнений в вариациях

h2

Ai= —h{k2 + l)± \

■т, \

ti2

- 4%2,г

2

l - sjtlj - 4%2,í

ь&ы = —h{k2 + l)±\

т \

где коэффициенты определяются равенствами

+ (ll (Vl+3k2 - v2k2) + l2 (Vl-k2 - V2k2) - k¡ (Vi-k2 + Vi+3kl - 2v2k2)) ~

- (w2k2 ± vi+k2)(vi+3k2 + v¡-k2 - 2v2k2)/2,

=Ш (2 Ш{k¡ -k¡ {i¡+i2)+ф2) -{i¡+i2~2ki) ± v¡+i (2 (k\-k2{l\ + l2)+l\l2) +

+ (j^J {ll (2vl~h ± vl+h ~ V2k2) + l2 ± Vi+k2 - V2k2) ~

- 2k\ (v¡+3k2 + Vi-k2 ± vi+k2 - V2k2)) +

+ 2[yi+Zk2 - v2k2){v¡-k2 - V2l2) + {v2k2 ± Vl+l2)(vi+3k2 + Vi-k2 - 2v2kS)¡A, h = l + 2k2

В приведенных соотношениях верхний знак соответствует статистике Бозе-Эйнштейна, а нижний — Ферми-Дирака (кроме переменного знака при СГ;)

Отметим, что для бозонов собственное значение Ах,кик2,1 в предельном случае при к? —,► 0 соответствует знаменитому спектру сверхтекучести Н Н Боголюбова

К2 \(НЧ2 \

Приведена эквивалентная форма уравнений Гамильтона, которая позволяет определить «ЬЛ-пару» и представить стационарные уравнения в виде равенства нулю коммутатора

[А,Т)- = О

Матрицы А и Ь имеют вид

А= , Ь =

С?, Я, В. — операторы с ядрами С(х,у), Я(х,у), Я(х,у), которые выражаются через функции Ф(х,у), Ф+(а:,у), С? — транспонированный оператор, а ядра операторов матрицы Ь задаются следующим образом

К2 О

Т(х, у) = -—-у)--¿(х- у),

В(х,у) = У{х,у)Я(х,у), В(х,у) = У(х,уЩх,у),

где 5() — дельта-функция Дирака, — действительное число Верхний знак относится к случаю бозе-частиц, нижний — к случаю ферми-частиц

В четвертом разделе рассмотрена система взаимодействующих фермионов на трехмерном торе Т со сторонами Ь\, ¿2 и 1*2 Значение интеграла от потенциала взаимодействия частиц между собой / У(г)с1г показывает, какой тип взаимодействия в системе превалирует — притяжения или отталкивания

В работе академика Н Н Боголюбова была рассмотрена система, обладающая свойством сверхтекучести, в которой в среднем превалирует отталкивание / У(г)с1г > О

При сближении частиц в Не3 и в Не4 происходит отталкивание, а при их отдалении друг от друга — притяжение Исследован антисимметрический случай, соответствующий Не3, когда

J V(r)dv = О,

то есть в среднем притяжение компенсирует отталкивание

Следуя соображениям термодинамического предела в качестве такого потенциала взаимодействия можно получить выражение

V(x,y) = V0Ax6(x-y),

где х,у € Т — координаты частиц, 5(х — у) — дельта-функция Дирака, Ах — оператор Лапласа, действующий по аргументу х

Система уравнений Гамильтона представлена в виде равенства нулю коммутатора двух матриц

[Ai,L{\_ = О

Показано, что решение этого уравнения относительно А\ определяется произвольной нечетной функцией /() и параметрами, связанными несколькими условиями

Соответствующая система уравнений в вариациях имеет следующие собственные значения

h4{l-2k) h2k2 _ V0l2

Aixi =-о--1---52 _ ТТ2>

Iт т bi±j2

П21(1 + 2к) П2к2 _ V0l2

M,k,i ~--о----h + ~ГТ2>

2т т L/\Li2

где 1,к — волновые векторы, Q — действительное число При Г2 = h2k2/m спектр соответствует результату предыдущего раздела для частного случая рассмотренного здесь потенциала

Глава 3 Ультравторичное квантование уравнения для матрицы плотности

В первом разделе уравнение для матрицы плотности записано в ультрав-торично квантованном виде Получено тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, позволяющее определить истинный символ уравнения для матрицы плотности

Рассмотрены соответствующая истинному символу система уравнений Гамильтона и система уравнений в вариациях [6] Показано, что система уравнений в вариациях позволяет получить спектр возбуждений Н Н Боголюбова

Во втором разделе произведено ультравторичное квантование по парам аргументов уравнения для матрицы плотности Доказано тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, позволяющее определить истинный символ уравнения для матрицы плотности при ультравторичном квантовании по парам

Исследование системы уравнений Гамильтона, соответствующей истинному символу, показало, что система обладает спектром, полученным в работе В П Маслова «О зависимости критерия сверхтекучести от радиуса капилляра», который был обобщен в предыдущей главе Установлен важный математический результат возможности записи гамиль-тоновой системы в виде уравнения эволюции некоторого оператора — получена пара Лакса для символа, соответствующего уравнению для матрицы плотности в случае квантования по парам

В заключении перечислены полученные результаты и кратко сформулированы основные выводы диссертационной работы

1 Проведено исследование модели большого числа частиц на решетке Построена туннельная асимптотика волновой функции основного и первого возбужденного состояний системы бозонов с бинарным взаимодействием Получен аналог условия возникновения сверхтекучести При различных соотношениях на параметры, аналогичных условию Боголюбова в теории сверхтекучести, реализуются два возможных случая В первом из них основное состояние пространственно однородно и является аналогом сверхтекучего состояния Во втором случае существуют два разных асимптотически близких состояния, между которыми имеется симметрия Последние два состояния можно интерпретировать как аналог вихревых решений в теории сверхтекучести Соответствующие волновые

Основные результаты и выводы

функции могут туннелировать друг в друга, что приводит к экспоненциальному расщеплению энергетических уровней Вычислена разность энергий симметричного и антисимметричного возбужденных состояний, представляющая собой экспоненциально малое расщепление энергетических уровней

2 Рассмотрен гамильтониан общего вида на произвольном конечном числе М точек Получены асимптотические уравнения для собственных значений и векторов гамильтониана Показано, что состояние с одинаковыми числами заполнения, обратно пропорциональными числу точек разбиения М, существует при выполнении определенного условия на параметры гамильтониана Для этого пространственно однородного решения получен энергетический спектр системы

3 Исследован модельный гамильтониан взаимодействующих бозонов С помощью асимптотических методов В П Маслова найдены энергетические уровни системы Проведено построение асимптотики собственных значений соответствующего уравнения Шредингера

4 Методы ультравторичного квантования применены к уравнению Шредингера для модели сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера Из системы уравнений в вариациях, соответствующей истинному символу для уравнения Шредингера, получен спектр коллективных колебаний, совпадающий со спектром коллективных колебаний Н Н Боголюбова Приведена пара Лакса для уравнений самосогласованного поля модели БКШ

5. Рассмотрены модельные квантовые системы тождественных частиц — бозонов и фермионов Исходя из концепции истинного символа, получены решения соответствующих уравнений Гамильтона Предъявлены главные члены асимптотики собственных значений серий, соответствующих решениям гамильтоновых систем Исследована система уравнений в вариациях, получены точные спектры коллективных колебаний квазичастиц Рассмотрена эквивалентная форма уравнений Гамильтона, допускающая представление в виде пары Лакса

6. Исследована математическая модель для антисимметрических решений Л^-частичного уравнения Шредингера Общее решение соответствующей системы уравнений представлено через произвольную нечетную

функцию Получены уравнения для определения спектра Для одного из частных решений уравнений движения точно вычислен спектр, соответствующий системе уравнений в вариациях

7 Методы ультравторичного квантования впервые применены к уравнению для матрицы плотности Доказано тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, которое позволяет определить истинный символ уравнения для матрицы плотности Рассмотрены соответствующая истинному символу система уравнений Гамильтона и система уравнений в вариациях В частности, система уравнений в вариациях позволяет получить спектр сверхтекучести Н Н Боголюбова

8 Произведено ультравторичное квантование по парам аргументов уравнения для матрицы плотности Определен истинный символ уравнения для матрицы плотности при ультравторичном квантовании по парам Показано, что система обладает спектром, полученным в работе В П Маслова «О зависимости критерия сверхтекучести от радиуса капилляра» Впервые получена пара Лакса для символа, соответствующего уравнению для матрицы плотности

Список публикаций

Голиков Д С Об инстантонах в системе N частиц на решетке // Вестник МГУ Серия 3 Физика Астрономия 2003 №4 С 12-15

Голиков Д С Некоторые состояния модельной системы бозонов // Вестник МГУ Серия 3 Физика Астрономия 2005 №3 С 17-18

Голиков Д С Об асимптотике собственных значений модельного гамильтониана взаимодействующих бозонов // Вестник МГУ Серия 3 Физика Астрономия 2006 №1 С 27-30

Голиков Д С Квантовая система произвольного числа уровней на решетке // Вестник МГУ Серия 3 Физика Астрономия 2006 №3 С 7-10

Голиков Д С, Коваль Г В Ультравторичное квантование Маслова в случае модели Бардина-Купера-Шриффера // ДАН 2006 408 №6 С 1-3

Голиков Д С, Коваль Г В Символ Маслова для матрицы плотности //ДАН 2007 412 №3 С 1-4

Голиков Д С, Маслов В П О точном решении четырехрядной матрицы, отвечающей уравнениям в вариациях для ультравторично квантованных задач // Мат заметки 2008 83 №2 С 305-309

Голиков Д С Об инстантонах в системе N частиц на решетке // Тезисы международной конференции по фундаментальным наукам «Ломоносов 2003» Секция «Физика» Москва 2003 С 165-166

Голиков Д С О системах нескольких уровней // Всероссийская конференция по фундаментальным наукам «Молодежь в науке» Секция «теоретическая физика» Саров 2003

[10] Голиков Д С Некоторые состояния модельной системы бозонов // Тезисы международной конференции по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2004» Секция «Физика» Москва 2004 С 112-114

[11] Голиков Д С Об асимптотике собственных значений модельного гамильтониана взаимодействующих бозонов // Тезисы международной конференции по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2005» Секция «Физика» Москва 2005 С 81-84

Подписано к печати /. 0$ (9Я Тираж -/И Заказ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

1 Системы большого числа частиц на решётке

Решёточная аппроксимация гамильтониана.

Условие туннельности гамильтониана.

1.1 Туннельная асимптотика решений уравнения Шредннгера для двухуровневой системы.

1.1.1 Гамильтониан

1.1.2 Уравнение Щредингера.

1.1.3 Уравнения туннельной асимптотики при N —» оо.

1.1.4 Спектр туннельной асимптотики

1.1.5 Разрешимость уравнения для 6" (х).

1.1.6 Собственные векторы уравнения Шредингера.

1.1.7 Экспоненциальное расщепление энергетических уровней.

1.1.8 Средние числа частиц.

1.2 Система произвольного числа уровней.

1.2.1 Туннельная асимптотика.

1.3 Исследование модельного гамильтониана взаимодействующих бозонов

1.3.1 Применение вариационного принципа Боголюбова.

1.3.2 Асимптотика собственных значений при G —)■ оо

Подавляющее большинство проблем теории многих тел, представляющих физический интерес, достаточно сложны и как правило не имеют точного решения. Поэтому существенный интерес приобретают модельные системы, допускающие их математическое рассмотрение. Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств модельных систем большого числа взаимодействующих частиц.

Выбор гамильтонианов для конкретных систем взаимодействующих частиц представляет для статистической механики важную проблему. При рассмотрении конкретных реальных систем с большим (в пределе — бесконечным) числом степеней свободы невозможно принять во внимание все без исключения свойства такой системы. Основная задача состоит в том, чтобы учесть лишь наиболее важные с точки зрения изучаемого явления черты этой системы, сознательно пренебрегая остальными. Подобное упрощение задачи носит название модельного подхода, а соответствующие гамильтонианы — модельных. Необходимо отметить, что формулировка модельных задач представляет собой весьма сложную физическую и математическую проблему.

В конкретных задачах теории многих частиц адекватного соответствия реальной системы и её математической модели обычно не бывает и приходится довольствоваться моделью, свойства которой существенно отличаются от свойств реальной системы. Для решения таких задач приходится пользоваться приближёнными методами. Тем не менее, в настоящее время этот подход для большинства задач теории многих тел является почти единственным. Так обстоит дело и для квантовых, и для чисто классических систем.

С другой стороны, строгое исследование задачи как правило сталкивается со сложными математическими проблемами [1]. Поэтому точные решения модельных задач достаточно редки и оказывают большое воздействие па развитие статистической механики в целом [2]. Одной из важнейших проблем статистической физики является рассмотрение точно решаемых случаев. Такое рассмотрение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач квантовой статистики и, в частности, для обоснования используемых приближённых методов.

В связи с этим представляет существенный интерес изучение тех немногих моделей, которые имеют некоторое сходство с реальными физическими системами, но допускают точное решение. При этом могут быть установлены основные особенности систем многих тел.

В качестве примеров таких систем, которые могут быть решены точно, следует привести системы невзаимодействующих частиц. Несмотря на тривиальность такой модели, она используется в качестве исходной в большинстве задач теории многих тел. Кроме того, существует ряд точно решаемых неидеальных моделей: результаты Н.Н. Боголюбова в модельных задачах теории сверхтекучести [3] й сверхпроводимости [4, 5], Онсагера в плоской модели Изинга [6], Бакстера в восьмивершинной модели [7].

Изучение модельных гамильтонианов представляет собой несомненный интерес по нескольким причинам. Во-первых, исследуется применение асимптотических и вариационных методов, которые продолжают находить своё применение всё в более широком классе задач [8]. Во-вторых, представляется возможным сравнение результатов, полученных разными методами. И, наконец, в-третьих, полученные решения и энергетические спектры рано или поздно дадут плодотворный результат в предсказании качественного поведения соответствующих физических систем.

Модельные гамильтонианы широко применяются при изучении различных задач теоретической физики. По этой причине их исследование представляет особый интерес — решением задачи одного гамильтониана решается целый ряд соответствующих физических моделей. Например, в работе [9] подробно рассмотрен вопрос о построении приближённых решений уравнения я (*, у/Ц-{х)) Ф(*), (1) где Ф (t) - вектор состояния в пространстве Фока, ^(х) - операторы рождения и уничтожения в этом пространстве. Метод комплексного ростка Маслова в пространстве Фока позволяет построить приближённые стационарные решения уравнения (1), в частности, многочастичных уравнений Шредингера, Лиувилля, а также уравнений квантовой теории поля.

Обычно в задачах квантовой механики гамильтониан системы одинаковых частиц состоит из аддитивной суммы индивидуальных энергий частиц и бинарной симметричной суммы энергий взаимодействия различных пар частиц: н= £ Е % l<i<iV 1 <i<j<N

Заметим, что в гамильтониан вообще можно было бы ввести ещё тройные, четверные и более высокого порядка взаимодействия. Но этого обычно не делают, так как учёт одних бинарных взаимодействий приводит к исключительно трудным задачам, которые лишь иногда удаётся решить с помощью различных приближённых методов.

Соответствующий гамильтониану iV-частичный оператор, действующий в пространстве волновых функций ф{х 1,. ,хм) £ L2(T-'v), Т - трёхмерный тор, можно записать в виде [10] й= Е я + Е % l<i<N 1 <i<j<N где Т и V - операторы с ядрами Т(х, у) и V(x, у, z, w) такие, что [11]

Ттр(х) — J dzT(x, z)i[>(z), Vip(x, у) = J dzdwV(x,y, z,w)ip(z,w).

Поскольку в представлении вторичного квантования динамическая величина s-кратного типа [12] задаётся оператором s = i / . *♦(*.№,,., X., О ад ■ • ■ SM) ^. ^. где Ь+(х), Ь(х) - операторы рождения и уничтожения, х € Т, то исходный гамильтониан в представлении вторичного квантования примет вид

H = l dxdxlb+(x)T(x,x')b(x') + ^ J dxdx'dydy'b+{x)b+(x')V(x,x',y',y)b(y')b(y), (2) где заданные обобщённые функции Т(х,х'), V(x,y,y',х'), являющиеся интегральными ядрами одночастичного и парного оператора соответственно, удовлетворяют условиям

Т(х,х') = Т*(х?,х),

V(x, у, у', х') = V(y, х, х', у') = V*(x', у', у, х).

Решеточная аппроксимация гамильтониана (2) на конечном числе точек, отвечающая системе G уровней, приводит к выражению

G . G

H=y£Tijbfbj + - Y1 У^ЛЦкь. (з) i,j-1 i,j,к,l-l

Целью диссертационной работы является исследование свойств модельных систем большого числа взаимодействующих частиц на основе асимптотических методов, метода ультравторичного квантования и концепции истинного символа. Рассматриваются задачи построения собственных значений и векторов уравнения Шредингера и уравнения для матрицы плотности.

Научная новизна работы. Наряду с известными асимптотическими методами в работе используется современный метод ультравторичного квантования, введённый академиком В.П. Масловым, а также концепция истинного символа, позволяющие получить более общие результаты, в сравнении с достигнутыми ранее. Приводятся точные решения уравнений, описывающих модельные системы взаимодействующих частиц, спектры коллективных колебаний квазичастиц. В ряде случаев для системы уравнений Гамильтона представлена «LA-пара», позволяющая записать уравнения движения в виде операторного уравнения. Впервые рассматривается уравнение для матрицы плотности в представлении ультравторичного квантования.

Теоретическая и практическая ценность работы. Представленные в работе теоретические результаты могут быть использованы специалистами в области теории систем многих частиц, квантовой статистики, а также теории сверхтекучести и сверхпроводимости.

В первой главе будет изложена модель большого числа частиц на решётке. Соответствующий этой модели гамильтониан представляет собой частный случай гамильтониана общего вида (3) при

Vijki = eSuSjkVij, где е - параметр при взаимодействии.

Как указано в [13], «наиболее интересной задачей является задача нахождения приближённых решений вблизи вакуумного состояния». Поэтом}'' главной темой будет построение туннельной асимптотики основного и первого возбуждённого состояний и выяснение условий для их существования и устойчивости. В монографии [14] отмечено: «Для широкого круга задач теории вероятностей был получен первый член логарифмической асимптотики семейства вероятностей, зависящего от малого параметра. Оказывается, аналогичная асимптотика имеет место и в некоторых других задачах математической физики, представляющих исключительный интерес. Это, прежде всего, задачи квантовой механики, связанные с туннельным эффектом, асимптотика уравнений магнитной гидродинамики и теории плазмы при малой вязкости и теплопроводности далеко впереди ударной волны. Подобная асимптотика возникает в современной квантовой теории поля и тесно связана с теорией инстантонов. Уравнения, описывающие перечисленные выше задачи, содержатся в классе уравнений туннельного типа».

Рассматриваемая модель допускает достаточно тесную аналогию с теорией сверхтекучести, которая была предложена Н.Н. Боголюбовым в 1947 году [3, 15]. Именно, получен аналог условия возникновения сверхтекучести в исследуемой модели большого числа частиц на решётке. При различных соотношениях на параметры, аналогичных условию Боголюбова в теории сверхтекучести, реализуются два возможных случая.

В первом из них основное состояние пространственно однородно и является аналогом сверхтекучего состояния.

Во втором случае существуют два разных асимптотически близких состояния, между которыми имеется симметрия следующего свойства: функция действия одного состояния получается отражением функции действия другого состояния относительно центра отрезка допустимых значений аргумента. Последние два состояния можно интерпретировать как аналог вихревых решений в теории сверхтекучести. Оказывается, что средние числа частиц в этом случае зависят только от одной определённой комбинации параметров, входящих в гамильтониан.

Инстантонные решения классических уравнений движения в мнимом времени, соединяющие минимумы потенциала, играют важную роль в квантовой механике [16, 17] и квантовой теории поля [18, 19] при изучении туннельных процессов. Аналогичные методы применимы и к задачам статистической механики.

Как показано в работах [20, 21], при определенных соотношениях на параметры при стремлении числа частиц к бесконечности могут быть применимы квазиклассические методы: теория комплексного ростка Маслова в точке [13], методы туннельной квазиклассики и туннельного канонического оператора Маслова [14]. При этом параметром квазиклассического разложения (аналогом постоянной Планка) является 1/N.

В ряде случаев классический гамильтониан, соответствующий рассматриваемой необычной квазиклассической системе, имеет два вырожденных минимума. Волновые функции, сосредоточенные в окрестностях минимумов, могут туннелировать друг в друга, что приводит к экспоненциально малому расщеплению энергетических уровней [22]. Разность энергий симметричного и антисимметричного состояний представляет собой экспоненциально малое расщепление энергетических уровней. С помощью квазиклассических методов В.П. Маслова вычислено значение расщепления энергии возбужденных состояний.

В итоге построена туннельная асимптотика волновой функции основного и первого возбуждённого состояний системы бозонов с бинарным взаимодействием [23].

Далее проведено рассмотрение гамильтониана общего вида на произвольном конечном числе М точек. Получены асимптотические уравнения для собственных значений и векторов гамильтониана. Оказалось, что состояние с одинаковыми числами заполнения (которые обратно пропорциональны числу точек разбиения М) существует при выполнении определённого условия на параметры гамильтониана [24]. Для этого решения представлен энергетический спектр системы.

В заключение первой части исследован гамильтониан, являющийся бозонным аналогом гамильтониана с четырёхфермионным взаимодействием [25]. Матрицы в (3) выбираются обратно пропорциональными числу точек разбиения,

Т J

Tij = -Qi Vijkl = Q SijSkl.

Такой выбор сделан для того, чтобы малым параметром разложения было отношение 1/(7. В окончательных формулах вместе с параметром G число частиц также необходимо устремить к бесконечности, так что их отношение остаётся постоянным: lira. G/N — const. Фактически такой предельный переход является аналогом статист оо стического предельного перехода, или термодинамического предела [26] для систем на решётке.

С использованием асимптотических методов В.П. Маслова найдены энергетические уровни системы [27]. С другой стороны, с помощью вариационного метода Н.Н. Боголюбова получена оценка для собственных значений гамильтониана [28]. Рассмотрен вектор состояния системы в виде двухчастичной экспоненты, зависящей от двух аргументов. Найдены значения этих аргументов, реализующие минимум энергии, а также соотношения на параметры гамильтониана, обеспечивающие существование этих решений.

Таким образом, проведено построение асимптотики собственных значений гамильтониана системы взаимодействующих бозонов.

Вторая и третья главы полностью основаны на использовании метода ультравторичного квантования и концепции истинного символа, предложенного академиком В.П. Масловым. В ряде случаев получаются уравнения, допускающие дополнительные решения помимо найденных ранее, что позволяет более точно описывать коллективные явления в системах большого числа частиц.

Во второй главе методы ультравторичного квантования применены к уравнению Шредингера.

Первый раздел второй главы отведён исследованию модели сверхпроводимости

Бардина-Купера-Шриффера [29, 30] на основе представления ультравторичного квантования. Посредством истинного символа для уравнения Шредингера получен спектр коллективных колебаний [31], совпадающий со спектром коллективных колебаний Н.Н. Боголюбова. Приведена пара Лакса для уравнений самосогласованного поля модели БКЩ.

Во втором и третьем разделах рассмотрены модельные квантовые системы тождественных частиц — бозонов и фермионов. Исходя из концепции истинного символа, получены решения соответствующих уравнений Гамильтона. Предъявлены главные члены асимптотики собственных значений серий, соответствующих решениям га-мильтоновых систем. Исследована система уравнений в вариациях, приведены точные спектры коллективных колебаний квазичастиц [32]. Рассмотрена эквивалентная форма уравнений Гамильтона, допускающая представление в виде пары Лакса.

Математическая модель для антисимметрических решений iV-частичного уравнения Шредингера исследована в четвёртом разделе. Общее решение соответствующей системы уравнений представлено через произвольную нечётную функцию. Приведены уравнения для определения спектра. Одно из частных решений уравнений движения позволило точно вычислить спектр, соответствующий системе уравнений в вариациях. Показана взаимосвязь с результатами предыдущего раздела.

В третьей главе методы ультравторичного квантования применены к уравнению для матрицы плотности [33]. Доказано тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, которое позволяет определить истинный символ уравнения для матрицы плотности. Рассмотрены соответствующая истинному символу система уравнений Гамильтона и система уравнений в вариациях. В частности, система уравнений в вариациях позволяет получить известный в теории сверхтекучести спектр возбуждений Н.Н. Боголюбова.

Во втором разделе произведено ультравторичное квантование по парам аргументов уравнения для матрицы плотности. Также получено тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, позволяющее определить истинный символ уравнения для матрицы плотности при ультравторичном квантовании по парам. Исследование соответствующей истинному символу системы уравнений Гамильтона и системы уравнений в вариациях показало, что система обладает спектром, полученным в модели сверхтекучести В.П. Маслова. Приведена пара Лакса для символа, соответствующего уравнению для матрицы плотности.

Основные результаты, представленные в данной работе, отражены в публикациях

23], [24], [28], [27], [31], [32], [33]. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ, а также представлялись в научных докладах на следующих конференциях:

• Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносов 2003». Москва, 2003 г.

• Всероссийская конференции по фундаментальным наукам «Молодёжь в науке». Саров, 2003 г.

• Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2004». Москва, 2004 г.

• Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2005». Москва, 2005 г.

Автор выражает глубокую благодарность академику В. П. Маслову, профессору Б. И. Садовникову, доценту Г. В. Ковалю и всему коллективу кафедры Квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ за помощь и поддержку в написании данной работы.

Основные выводы и результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

1. Проведено исследование системы большого числа частиц на решётке. Решена задача нахождения приближённых решений уравнения Шредингера вблизи вакуумного состояния при N -> оо для гамильтониана

2 2 н = Е ъМЬ +1Е УаЧЩк. i,j=1 i,j=1

А именно, произведено построение туннельной асимптотики волновой функции основного и первого возбуждённого состояний и выяснение условий существования решения.

К подобной квантовой системе на решётке при стремлении числа частиц к бесконечности могут быть применимы квазиклассические методы: теория комплексного ростка Маслова в точке [13], методы туннельной квазиклассики и туннельного канонического оператора Маслова [14]. При этом параметром квазиклассического разложения (аналогом постоянной Планка) является г = 1/N. Рассмотрена функция действия вида

S(x) — К(х) + ткх, где к - произвольное целое число (к £ Z), г - мнимая единица. Гладкая функция К{х) представляет собой действительную часть функции S(x).

При различных соотношениях на параметры модельного гамильтониана, отвечающему бинарному взаимодействию, получаются различные решения уравнения Шредингера. В зависимости от значения параметра к имеют место две ветви решений: решения, отвечающие чётным значениям к, и решения, отвечающие нечётным к.

Изученная модель допускает тесную аналогию с теорией сверхтекучести Н.Н. Боголюбова [3, 15]: получен аналог условия возникновения сверхтекучести в квантовой системе большого числа частиц на решётке. Найдено условие на параметры, аналогичное условию Боголюбова существования сверхтекучести [12, 44]. Как следует из этого условия, при различных соотношениях на параметры реализуются два возможных случая.

В первом из них основное состояние пространственно однородно и является аналогом сверхтекучего состояния. Число частиц распределяется между состояниями поровну.

Во втором случае существуют два различных асимптотически близких состояния, между которыми имеется симметрия. Последние два состояния являются аналогом вихревых решений в теории сверхтекучести. Средние числа частиц в этом случае зависят только от параметра а = ± (Vi — V2) /Т2, представляющего комбинацию параметров гамильтониана.

Вычислено значение экспоненциально малого расщепления энергии вихревых решений. Классический гамильтониан, соответствующий рассматриваемой необычной квазиклассической системе, имеет два вырожденных минимума. Волновые функции, сосредоточенные в окрестностях минимумов, туннелируют друг в друга, что приводит к экспоненциально малому расщеплению энергетических уровней [22].

Следуя решению уравнения Шредингера, полученные асимптотически близкие инстантонные решения туннелируют друг в друга. Разность энергий симметричного и антисимметричного состояний

Е+-Е = (-1 )k^T2]j sh К[(х) (l + oQ) вычисленная с помощью квазиклассических методов В.П. Маслова, представляет собой экспоненциально малое расщепление энергетических уровней [22].

3. Проведено рассмотрение гамильтониана общего вида м м

Н = £ TiMh +1 £ Viibfbfbfh i,j-1 i,j=1 на произвольном конечном числе М точек. Получены асимптотические уравнения для собственных значений и векторов гамильтониана.

При построении туннельной асимптотики была выбрана функция действия S(x) вида м-1

S(x) = К(х) + m niX[, i=i где Гц - произвольные целые коэффициенты, I = 1,., М — 1, г - мнимая единица, а функция К(х) представляет собой действительную часть функции S(x).

Пространственно однородное решение — состояние с одинаковыми числами заполнения (которые обратно пропорциональны числу точек разбиения М) — обладает энергетическим спектром квазиклассического вида

E = N

М(М - 1)

2 V 2 Г2

1 /М2 VI - V2

L)

NJ ' rrii = 0,1,2,., и существует при выполнении условия на параметры гамильтониана:

4. Исследован гамильтониан, являющийся бозонным аналогом гамильтониана с четы-рёхфермионньш взаимодействием [25].

С использованием асимптотических методов В.П. Маслова найдены энергетические уровни системы. Построено асимптотическое решение уравнения Шредингера.

С другой стороны, с помощью вариационного принципа Н.Н. Боголюбова получена оценка для собственных значений гамильтониана. Найдены значения аргументов вектора состояния, реализующие минимум энергии, а также соотношения на параметры гамильтониана, обеспечивающие существование этих решений. Показана эквивалентность результатов.

5. Методы ультравторичного квантования и концепция истинного символа применены для модели Бардина-Куиера-Шриффера [31]. Рассмотрены соответствующая система уравнений Гамильтона и система уравнений в вариациях, решения которых определяют спектр возбуждений фермионной системы.

Показано, что спектр возбуждений, полученный с помощью метода ультравторичного квантования, совпадает со спектром коллективных колебаний Н.Н. Боголюбова. Для уравнений самосогласованного поля БКШ-Боголюбова приведена пара Лакса.

6. Исследованы модельные системы взаимодействующих тождественных квантовых частиц — бозонов и фермионов. Рассмотрен истинный символ ультравторично квантованной задачи, определенный для пары симметричных в случае бозонов и антисимметричных в случае фермионов относительно перестановок аргументов функций Ф +(х,у), Ф(х,у), заданных на Ь2(Т2). Решены соответствующие системы ц - v2 м2

Т2 < 2 '

Ч[ Ф+(-),Ф(-)] - jj dxdy<$+{x,у) + +

2N dxdydx'dy' V (ж, у) Ф+(ж, у)Ф+(а/, у')Ф{х, х')Ф(у', у) уравнений Гамильтона для каждой из статистик. Предъявлены главные члены асимптотики собственных значений серий, соответствующих решениям гамильгоновых систем

Mfh2(kl + k2) v2k2±v0\ где ki, к2 — волновые векторы вида щ п2 п3 \ п 1, п2, п3 — целые числа, vt — образ Фурье потенциала. Как следует из вида решений гамильтоновой системы, величина Hki/т равна скорости течения системы.

Представлено решение системы уравнений в вариациях. Приведены соответствующие собственные значения системы уравнений в вариациях: h2 i,kik2,i =--h(k2 + l) ± \

ТТЬ i

Ы jt + yJ$2,i~4Vk2,i h2

A2,fci,*2,i =--ki{k2 + /) ± \

ТП i где коэффициенты i]k2ii определяются соотношениями

2 то. l Ы+Зк2 - V2кя) + 12 Ы-ка - v2k2) - k\ (vi^k2 + Vi+3k2 - 2v2k2))

- (v2k2 ± vi+k2)(vi+3fc2 + Vi--k2 - 2v2ki)/2, fh2 Vk"1 = 1 (2 "kl ^ + /2) + lll2)"+12"2kl) ± Vl+k>])' (y^J (ll i2vl-k2 ± Vl+k2 - V2k2) + I2 (2V|+3fc2 ± vl+k2 - v2k2) ~ - 2kl (vl+3k2 + Vi^k2 ± vl+k2 - v2k2) ) + 2(vl+3k2 - v2k2)(vi-k2 - v2k2) + (V2ka ± Vi+k2)(vl+3k2 + Vl-k2 - 2^2fc2))/4, x = / + 2k2.

В соотношениях для Eklik2, и туk2,i верхний знак соответствует статистике Бозе-Эйнштейна, а нижний — Ферми-Дирака.

Отметим, что для бозонов собственное значение Ai,fcbfc2,z в предельном случае при к2 —У 0 соответствует знаменитому спектру сверхтекучести Н.Н. Боголюбова [3]:

Kkul = + \l[ '-7T- + VI ) -vf. h2P 2m

Приведена эквивалентная форма уравнений Гамильтона, которая позволяет определить «LA-пару» и представить стационарные уравнения в виде равенства нулю коммутатора:

А, £] = 0.

Матрицы А и L имеют вид:

L

G, R, R - операторы с ядрами G(x,y), R(x,y), R(x,y), GT - транспонированный one-ратор с ядром G(y, х), а ядра операторов матрицы L задаются следующим образом: h2 Q

Т(х, у) = -—А Х5(х -y)-^S(x-y),

В(х,у) = V{x,y)R(x,y), В(х,у) = V(x,y)R(x,y), где 5(-) - дельта-функция Дирака. Верхний знак относится к случаю бозе-частиц, нижний — к случаю ферми-частиц.

7. Рассмотрена система взаимодействующих фермионов на трехмерном торе Т со сторонами Li, L2 и L2- Значение интеграла от потенциала взаимодействия частиц между собой

V(r)dr показывает, какой тип взаимодействия в системе превалирует — притяжения или отталкивания.

В работе академика Н.Н. Боголюбова [3] была рассмотрена система, обладающая свойством сверхтекучести, в которой в среднем превалирует отталкивание

V(r)dr > 0.

При сближении частиц в Не3 и в Не4 происходит отталкивание, а при их отдалении друг от друга — притяжение. Исследован антисимметрический случай, соответствующий Не3, когда

J V(r)dr = О, то есть в среднем притяжение компенсирует отталкивание.

Следуя соображениям термодинамического предела, аналогично изложенному в [77], в качестве такого потенциала взаимодействия можно получить выражение

V(x,y) = V0As6(x-y), где х, у G Т - координаты частиц, д(х — у) - дельта-функция Дирака, Ах - оператор Лапласа, действующий по аргументу х.

Система уравнений Гамильтона представлена в виде равенства нулю коммутатора двух матриц

Л,,£,] = 0.

Показано, что решение этого уравнения относительно А[ определяется произвольной нечётной функцией /(•) и параметрами, связанными несколькими условиями.

Соответствующая система уравнений в вариациях даёт следующие спектры коллективных колебаний квазичастиц:

ПЧ{1 - 2к) h2k2 V0l2

M,k,l = -^--1---" — г f о ,

2т т L1L2 h2l(l + 2k) Гг2к2 V0l2

Л2,k,l —--X----Ь " + Т г2,

2m т где I, к - волновые векторы, О, - действительное число. При Q = h2k2/m спектр соот-ветствз'ет результату предыдущего раздела для частного случая рассмотренного здесь потенциала.

8. Уравнение для матрицы плотности записано в ультравторично квантованном виде. Получено тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, позволяющее определить истинный символ уравнения для матрицы плотности.

Рассмотрены соответствующая истинному символу система уравнений Гамильтона и система уравнений в вариациях [33]. Показано, что в частном случае система уравнений в вариациях позволяет получить известный в теории сверхтекучести спектр возбуждений Н.Н. Боголюбова [3] у \ 2т J

9. Произведено ультравторичное квантование по парам уравнения для матрицы плотности. Доказано тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, позволяющее определить истинный символ уравнения для матрицы плотности при ультравторичном квантовании по парам.

Исследование соответствующей истинному символу системы уравнений Гамильтона показало, что система обладает спектром, полученным в модели сверхтекучести В.П. Маслова. Установлен важный математический результат возможности записи га-мильтоновой системы в виде уравнения эволюции некоторого оператора — представлена пара Лакса для символа, соответствующего уравнению для матрицы плотности.

Заключение

1. Хинчин А.Я. Математические основания статистической механики. М.: Гостехиз-дат. 1943.

2. Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И., Шумовский А.С. Математические методы статистической механики модельных систем. М.: Наука. 1989.

3. Боголюбов Н.Н. К теории сверхтекучести // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1947. 11. №1. С. 77-90. // J. of Phys. 1947. 9. P. 23.

4. Боголюбов Н.Н., Зубарев Д.Н., Церковников Ю.А. К теории фазового перехода // ДАН СССР. 1957. 117. С. 788.

5. Боголюбов Н.Н. К вопросу о модельном гамильтониане в теории сверхпроводимости // ОИЯИ, Р-511. Дубна. 1960. // Избр. труды. Киев: Наукова думка. 1971. Т.З. С. 110.

6. Onsager L. Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition // Phys. Rev. 1944. 65. P. 117-149.

7. Бэкстер P. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир. 1985.

8. Маслов В.П. Эконофизика и квантовая статистика // Матем. заметки. 2002. 72. №6. С. 883-891.

9. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. I. Асимптотики типа волновых пакетов // ТМФ. 1995. 104. №2. С. 310-329.

10. Маслов В.П. Об одном методе осреднения для квантовой задачи многих тел // Функц. анализ и его прил. 1999. 33. Вып. 4. С. 50-64.

11. Маслов В.П., Рууге А.Э. Пара Лакса для уравнений характеристик осредненных многочастичных операторов // Матем. заметки. 1999. 66. №5. С. 792-796.

12. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Введение в квантовую статистическую механику. М.: Наука. 1984.13