Статистические свойства квантовых систем, интегрируемых в классическом пределе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА., ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛВДЩ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ . УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА.

^Механико-математический факультет

На правах рукописи ' УЖ 517.984

КОСЫГИН ДЕНИС ВЛАДИМИРОВИЧ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ, ИНТЕГРИРУЕШХ В КЛАССИЧЕСКОМ ПРЕДЕЛЕ

01.01.05 - теория вероятностей и ттематическая статистика

РГБ

АВТОРЕФЕРАТ • диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва .1994

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В.Ломоносова.

Научный руководитель - академик РАН Я.Г. Синай

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Еедуший научный сотрудник Б.М.Гуревич

доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник А.М.Вершик

Ведущая организация - Институт проблем передачи информации РАН

'ЛЬ

Зашита диссертации состоится " 17 " ! '¿СС^ш/Щ' 1994 г

— (

в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного Совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы,.МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ /14 зтаж/.

-/У- тшЩи?

Автореферат разослан "¿7 " СШСШ^^ 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРШ1РИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. Изучение статистически свойств собственных функций и собственных значений юантовнх систем состав- .. ляет предмет теории квантового хаоса. В последнее время эта теория интенсивно развивается как в физических, так и в математических работах. Так Берри и Тейбором в 111 на физическом уровне строгости изучалась статистика расстояний мезду ближайшими собственными значениями оператора Шредингера на гладком многобразии. Для операторов Лапласа-Бельтрами, отвечающих метрикам с интегрируемым геодезическим потоком / интегрируемым метрикам/, распределение этих расстояний есть хорошо известное в теории вероятностей распределение Пуассона, -.возникающее при определенных условиях как предельное распределение для сумм независимых случайных величин. Математический подход к указанной проблеме в случае поверхностей вращения развивался в работах Синая [2^,13^ и Майора L

'1. Ьегг^ M.V.,Ta?x>r М; Ltfil duvkri-g & ^ Ге8и&'г ^реЫ-глл^ Ц ц0 Soc.. Lo„<U. ScsA. Mllj

л. ibG, , J,. 3,^5"-2ДН.

2. S.LmlNa.G. MoiVUvwo.-U'ca^ iwk «{^«йлАчл*, cbo-oi II ¿.VM , J. <46B , p. ^p^^r - Vtrb.^ >. RorL, ^uJ^ork-

3. SUai Rcisvev, ¿¿bVnl-^,Cvv ц. F^^-va /I См ^^ lei.

AWS*. Pre^itv-u -JiLsle. Is.6i.hi

bM^Qusr pOAwVi. in a. ro^^o^ cortik // Pro&ai.

cui M_oi. fCtUA.lasa J", за, п. ч,р. Mii-N&v.. -1 - '

К этой задаче тесно примыкает вопрос о поведении остаточного члена в формуле Вейля для считающей функции спектра. Общие свойства остаточного члена изучались в ['53,161 " Хермавдером, Дейстермаатом и Гийемином. В настоящее время •

общепринята точка зрения, согласно которой поведение остаточ-

\

ного члена в формуле Вейля неуниверсально и существенно зависит от эргодических свойств геодезического потока I 23 , . Так, для поверхностей отрицательной кривизны / геодезический шток эргодичен/ ожидается / что остаточный член допус-

кает логарифмическую опенку, в то время как для интегрируемых метрик предполагается степенной характер поведения /[ /. Наличие ярко выраженных статистических свойств у квантовой системы обычно связывалось со стохастическим поведением ее классического аналога. Б работе £8"^ Шнирельман показал, что собственные функции для задач с вргодической на подмногообразии -постоянной энергии динамической., системой в определенном смысле "равномерно размазаны" пэ соответствующему собственному значению энергетической гиперповерхности.

5. ИоГч^а^Аьг Ти си, ¿¿¿(.укс с^Л^^Ас-кК*.-«,. , р. 4Ы-1<8.

6. ЬиХ^^ V. БреоЙ-^

8. Шнирельшн А. И. Статистические свойства собственных функций //"Материалы Всес. мат. школы в Дилижане". Ереван, 1974. С. 267-278. .

1ной подход к получению информации о статистических свойствах :пектра квантовой системы состоит в изучении следов всевоз-южных функшгй от соответствующего оператора Щредингера /I >твет.для поверхностей постоянной отрицательной кривизны двет-:я формулой Сельберга [ 101 , а для многообразий , замкнутые •еодезические которых изолированы и невырождены, - аналогичной формулой,пелученной Коленом де Вердье в [111 • Случай шогооб-)азия с интегрируемой метрикой является в некотором смысле цэотивоположным двум предыдущим, , поскольку периодические геодезические интегрируешь метрик не могут быть изолированными / /, В этом случае замкнутые геодезические группируются в классы, отвечающие инвариантным торам в фазовом пространстве геодезического потока.

В основе математического подхода к задачам теории квантового хаоса для интегрируемых систем лежит общая идея о том, что в этом случае квазиклассический анализ собственных значений и собственных функпий позволяет, свести основные, проблемы Э. СтДг^сА^сг G-. Ck<Wb in c-iaAUcai (^«л« -Wt», ^p- vMaq : a/cJ" "(лЛ , ^ao.

10. H«iW b.A. TU trace. fr

//Ым , ^^ vJ.SMS . LA/M. -fan, vJ. 1001

11. CaCxv, ^ Vex^^L 4. SfH.1^ ck kp&c^ e4 ^utrs

fML^o^^v/iA II CoW, p. A/aJA . / 9 ,

12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

к проблемам теории чисел. Истоки этой вдеи можно найти уже в раьоте Эйнштейна £13~\ , в которой была предложена общая . форма правил квантования Бора-Зоммерфельда. Дальнейшее, развитие этого направления связано с работами Келлера, Рубинова, Маслова. Соответствующие результаты получили название метод канонического оператора Маслова. Их подробное описание, а также обширная библиография приведены в обзоре [14^

Цель работы. Получить математически обоснованные правила квантования на поверхности Лиувилля. Свести задачу об остаточном члене формулы Вайля для оператора Лапласа-Бельтрами к задаче теории чисел и исследовать последний методами теории вероятностей и эргодической теории. Описать поведение спектра при малых возмущениях с помощью теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми:

1. Решена задача асимптотического описания спектра*оператора Лапласа-Бельтраш на поверхности Лиувилля и впервые получены уточненные цравшш квантования Бора-Зоммерфельда-Келлера-Маслова вблизи сепаратрисных множеств.

2. Изучены статистические свойства считающей функции спектра оператора Лапласа-Бельтрами.

3. Изучены статистические свойства теоретико-числовой задачи о количестве точек двумерной решетки в семействе гомогетич-

13. EUiAtin А. QuÄ«ViA,sci4\ vom u„A Ер^кх'и tfVtA', ЬЬсД. P^s. W i3/7, &J.iä , S. 34-Я.

14. Лазуткин В.Ф. Квазиклассическая асимптотика собственных функций.// Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики, .фундаментальные направления. Т. 34. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1989.

-ч-

ных областей.

4. Предложен ренорк-грутшовой метод построения гнвариантных торов многомерной теории KAM минимальной .гладкости.

5. Получены формулы следа для поверхностей Лиувилля с оценкой их точности.

Методы исследования. В работе используются обше методы теории псвццодифференшальных операторов, теории вероятностей, эргодической теории, гиперболической теории динамических систем, теории чисел, а также метод квазиклассических приближений и метод тригонометрических сумм Ван-дер-Корпута. Кроме того, в работе применяются метода асимптотического анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью специальных функций и метод стационарной фазы.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в теории квантового хаоса, теории чисел и теории KAM.

Апробация .диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах механико-математического факультета МГУ: Я.Г Синая по эргодической теория, Р.Л.Добру-шина, Р.А.Минлоса, Я.Г.Синая по статистической механике, Е.И.Динабурга по спектральной теории операторов Щредингера, а также на семинаре по математической физике университета (Iowa. ~<м- l/a-gOL-Vo. , семинаре по проблемам матема-

тической физики в Тегеранском институте теоретической физики и математики, семинаре по общим проблемам математики Аугсбург-ского университета, семинаре по математической физике Берлинского университета, г" на конференции по квантовому хаосу в Об ер вольфах е и- на семинаре по эргодич.ской теории Принстон-ского университета.-

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, две из которых в соавторстве. Список публикаций приведен в конпе автореферата.

Структура диссертации. Двссьрташя состоит из введения, 4 глав, разделенных на 18 параграфов и 5 приложений. В тексте диссертации находится 8 рисунков. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 170 наименований. Общий объем диссертации 125 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обсуждаются постановки задач теории квантового хаоса, дается краткий обзор результатов этой теории и приводятся необходимые.ссылки. Кроме того, во введении дано определение метрики Лиувиляя и введено пространство поверхностей Диувихля, являыцееся основным объектом изучения в диссертации. Общая структура диссертации описана в конце введения.

Глава 1 посвящена описании геодезических потоков на поверх ностях Лиувишш и асимптотической структуры собственных функций и собственных значений операторов Лапласа-Бель трами. Дадим необходимые определения и обозначения.

Пусть Ф - замкнутое хоыпактное двумерное римано-во многообразие, гоыеоморфное тору, и реализованное в виде единичного квадрата с попарно отондетсыенными сторонами и координатами ■ Метрикой Лиувилля называется метрика

вида г

сЦ». ~ - ^чоУ V + Ачй ; • ОП

гг

где Цс^^и^^перЕодаческие функлии класса ^ > периода 1, удовлетворяющие условию - ^-¡.^О > ^ "

авдая из -функций имеет ровно две критические точке,

бе критических точки невырожденн. Мы называем поверхность- р

метрикой Лиувияля V 0 , удовлетворяющей приведеннш ыше условиям поверхностью Лиувшшя и через ^ обознача-м шояество поверхностей Лиувилля класса . Оператор

адласа-Бельтрами на поверхности Лиувилля имеет вид:

-М-__ц)

2го спектр дискретен, каждое собственное значение имеет конеч-¡ую кратность, а его считающая функция спектра

шеет следующую асимптотику /формула Вейля£:

А/(Ю Й2- ;

где -?> О ЦРИ (I ~> «о

В параграфе 1 главы 1 показано, что геодезический поток аа поверхности Лиувшшя обладает дополнительным первым интегралом л Г \

и является интегрируемой по Зиувшиш-Арнольду гамильтоновой системой. При этом расслоение фазового пространства геодезического потока на инвариантные торы имеет ряд особенностей, находящихся во взяимно-однозвачном соответствии с критическими точками функций V) ^ 1 VI^ . Структура этих особенностей подробно описана, дан подробный анализ поведения функций угол-действие вблизи сепаратрисных множеств и изолированных замкнутых траекторий. Приведена классификация всех вояможннх типов геодезических и соотвтетсмугадах им проекций инвариантных торов на конфигурационную поверхность

В параграфе 2 главы 1 приводится дифференциальный оператор второго порядка

(ч)

коммутирующей с оператором Лапласа-Бельтрами и дается описание структуры «г совместных собственник функций. Теорема 2.1. В пространстве 1Н(}, (^-^¿^^существует полный ортонормирований базис из собственных функций операторов

• Все собственные функции ^уу, и пары собственных значений (Е^Ск,) операторов -А © находятся во взаимно-однозначном соотвтествии с парами неотрицательных целых чисел. Для каждой парк собственная функция У*, раскладывается в произведение

Зункши ^чЦО,являются периодическими решениями системы двух одномерных уравнений второго порядка:

V" С<Ы + ( с - Е ^«ыУу1^ ' 0 ^

при этом число нулей У 4) равно [ ¿(^.с+^З ,

а число нулей равно [ .

Доказательство теоремы 2.1 проводится с помщ^з разделения переменных методами теории общего уравнения Шредингера с периодическим потенциалом.

Параграф 3 главы 1 посвящен описанию общих результатов Колена де Вердье об асимптотической структуре спектра квантовых интегрируемых систем и кх связь с правиланн квантования Бора-Зоклерфелъда-Каплера-Маслова. Из-за наличия особенностей расслоения фазового цространства геодезического потока на инвариантные торы, описанных в §1, результаты Колен де Вердье

неприменимы к поверхностям Лиувилля, так как приводят к оперировании псевдодифференпиальными операторами, символы которых разрывны. При этом правила квантования также нуждаются в модификации.

Уточненные правила квантования приведены в §4 главы 1. Тамяве определяется обощенный жвдекс Маслова, с помощью которого проводятся квазиклассические разложения вблизи сепаратрис-ных множеств. Введем обозначения

е^ , с = . ЬУ

Rcc^ - i ÍlM-h-с'сН F4(O. J lM\OTJt ;

- ib) Г,«:)^ FaLc^-F^o ГдЛо - P4ccb) - Fio . (io)

Зункшга F ^ Ft есть модифицированные функции действия геодезичнского потока.

Георема 4.3. Для всех достаточно больших пара (б^.Сц,)

определяется формулой C-Í-) с помощью единственного корня уравнения: . М^о, РАсп) + (f±lbr<Lo) , w))

= iTr (tii^^ü-C^KH)!) ,

Индекс + у функции ^МД^т^ берется при четном у^ • , а индекс - при нечетном wj ^ С- ЦО. . Вектср-функшся ^¡} играет роль поправочного члена и удовлетворяет опенке

^ ^^-v ц а (а)

равномерно по всей области изменения параметра С Функции ^иаушляются вещественно-аналитическими

функциями аргумента и удовлетворяют условиям:

í ¿TT

^t^ ^ + с,«

Параграф 5 главк 1 посвящен геометрической интерпретации считающей фушшшз спектра Д1|х) и сведению задачи о ее асимптотике к задаче теории чисел о числе точек двумерной решетки в семействе гомотетичных областей. Обозначим через В область, -отсекаемую от первого координатного квадранта кривой Г параметрическое задание которой имеет вид: IР<(С,

Критические значения параметра с- 1: с. опреде-

ляют на плоскости два луча, разрезающих область Ъ на области Ц , занумерованные против часовой стрелки. Положим

*Оз,) лию- 1 л/4и>) + V № +2 ^ ш ^

Теореш 5.1. Пусть CQ °Ь \ > *

Тогда функция ~ ^ является почти-

периодической функцией Безиковича из пространства

ю,

эквивалентной нулю, т.е.

+ [ 161*>\ & О кр » ->«*>• Сушественной особенностью полученной теоретико-числовой задачи является наличие критических направлений, отвечающих точкам кривой Г , где ее кривизна обращается в бесконечность. Наличие подобных особенностей у хрявой Г обусловлено наглад-костью функций действия на сепаратрисннх множествах,фазового . пространства геодезического потока, на поверхности Лиувзшш. Характер касания кривой Г и ее касательной в таких точках описывается функцией X . .

НО-

В параграфе 6 главы 1 приведены асимптотические формулы для собственных функций у при наличии двух

коалеспируидих точек поворота в системе ( . Нашим

основным инструментом были функции Бебера и соответствующая асимптотическая теория одномерного уравнения Шредингера, развитая Олвером.

В параграфе 7 главы 1 дана краткая схема вывода правил квантования на поверхностях Лиувшия с помощью асимптотических разложений по функциям Вебера.

Глава 2 посвящена анализу статистических свойств числа целых точек двумерной решетки в семействе гомотетичных областей. В параграфе 8 главы 2 излагается история" вапроса, перечисляются современное сосотояне проблем и даются необходимые ссылки на литературу. Пусть О - звездчатая компактная область в Щ1" , содержащая начало •координат. Положим

(а)

В §Э главы 1 рассматривается семейство областей с заданным на них распределением вероятностей. Доказано, что если семейство областей гладко и невырожденно зависит от по меньшей мере четырех случайных параметров, то случайная величина имеет моменты, удовлетворяющие следующим оценкам:

$ сем*-, ^ [и Е. «¿се ^ Сс^и.

Ш не приводим здесь точных формулировок ввиду их громоздкости. В качестве примера можно взять семейство областей, границы которых задаются в полярных координатах тригонометрическими полиномами степени не меньше 3 со случайными независимыми

коэффициентами, плотности распределений котарых имеют компактные носители.

В параграфе 10 главы 2 сформулирован основной результат этсй главк. Мы не приводим точных формулировок условий теорем ' б: . виду их громоздкости. Если кривая Г является

гладкой кривой общего положения, т.е. состоит из конечного числа вогнутых и выпуклых дуг, причем все нули ее нривизны-простые, а также если все точки нулевой кривизны границы области удовлетворяют некоторым условиям невырожденности, выражаемым в терминах приближения соответствующих направлений целочисленными векторами, то условия теорем §10 заведомо выполнены. Кроме того, мы можем предполагать, что на кривой может существовать конечное число точек, в которых кривизна обращается в бесконечность, и характер ее особенности тотгже, что и у кривой, порожденной в §5 поверхностью Лиувилля; и, кроме того, во всех этих точках также выполнены условия несоизмеримости. Тогда для любого о. ^ функция Ос является почти-периодической функцией Безиковича из класса Ее ряд Фурье имеет ввд

©¿О); (П)

*<аг\о ¿=1 и

где Г) ~~ числа, выражавшиеся черен геомет-

рические характеристики кривой Г . Существует вероятностная мера на прямой , такая, что для любой непрерывной функции и плотности распределения вероятностей ¿(А1) , сосредеточенной на С«Э) 'П , существует предел:

тХ- т = (,3)

Если числа рационально независимы в сово-

купности, то для всякого о. £ Цг мера ^¡^ имеет плотность , не зависящую от сс , которая является целой функгшей своего аргумента, и имеет на вещественной оси следующую асимптотику: ,

Ц р^ - - с± »у4 т* а *00 • уа)

Здесь параметры С ^ также выражаются через геометрические характеристики кривой I

. Эвристическое доказательство утверждений §10 приведено в параграфе 11 главы 2, а схема строгих доказательств дана в §12. Основоным здесь для нас является метод тригонометрических суш Ван-дер-Корпута, вариант которого для кривых с особенностями разаработан в настоящей диссертации. Ключевым моментом доказательства является анализ полученных тригонометрических сумм методами эргоджчесхой теории.

Параграф' 13 главы 2 носвящен обсуждению аналитических свойств плотности . При этом мы пользуемся методом

перевалами специальными функциями, • связанными "с ядром интегрирования порядка 3/2.

В главе 3 обсуждается метод канонического оператора Маслова и его приложения к анализу квантовых систем, интегрируемых в классическом пределе, а также их малых возыулт°ний. Возникающие при приложении общей теории а поверхностям Лиувипдя трудности обсужцаются в §14. В §15 главы 3 сформулирован результат конечногладкой теории КАМ в многомерном случае. Схема его доказательства на примере гагдшьтоновой системы с 3 степенями свободы методом ренрм-грушш изложена в § 16. При этом анализ преобразования ренорм-грушш проводится методами гиперболической теории динамических систем в банаховом пространстве.

Б главе 4 все полученные в диссертации результаты комбинируются в приложении к-поверхностям Лиувияля. Для формулировки соотвтетсствующих теорем-введем-обозначения: Обозначим через О множество классов замкнутых геодезических. Две замкнутых геодезических эквивалентны, если оншюяучеяы с помощью проекдий фазовых траекторий, лежащих на одном инвариантном торе. Через 0о обозначим подмножество классов эквивалентности примитивных геодезических . Обозначим I ^) длину геодезических из класса с^ <Е О . Тогда, если поверхность Лиувилля и геодезический поток на ней удовлетворяют некоторым естественным условиям невырожденности и несоизмеримости, аналогичных упомянутым вше условиям для кривых в задаче теории чисел, то функпия А) является почти-периодической

функцией Безиковгоа из класса •+с«)) . Её ряд Фурье

шеет вид:

Здесь ^ есть индекс Ыаслова класса геодезических

а коэффициенты ^о^ выражаются через геометрические

характеристики поверхности Лиувшия и еао геодезического потока. Если, к тому же, множество длин примитивных геодезических

. состоит из несоизмеримых в совокупности

чисел, то предельное распределение функции 9 имеет

плотность, которая является целой функцией своего аргумента и на вещественной оси удовлетворяет асимптотическим соотношениям (1$) . При этом константа С+ могут быть явно внражениы через параметры геодезического потока. Положим:

V •аЛ^**4иг*.

в §18 приводятся аналоги формулы Сельйерга для поверхностей Лиувшшя. Рассмотрим распределения

ц-2 -

гс К

Теорема 18.1. Если функция ^ <5 С2, удовлетворяет

опенке

то

А | \ <Ь<р\Ш ^>"0 _

Т О 'ГС Т о ^

Б конпе диссертации помещены пять приложений. Первое приложение содержит описание свойств функций Вебера, служащих основным инструментом для асимптотического анализа в главе 1. В приложении 2 приведено определение классов почти-периодических функций Безиковича и их свойств, использующихся в диссертации. Б третьем приложении излагается теория полярных множеств плоских кривых, используемая в главе 2. Четвертое приложение посвящено описанию аналитических свойств ядра дробного интегрирования порядка 3/2 и связанных с ним функций, возникающих при вычислении асимптотики плотности предельного распределения функции . В пятом приложении изложены теоретико-множественные, арифметические и метрические свойства алгоритма Якобк-Перрона, применяемого в главе 3 для построения иолмогоровских торов теории КАМ.

Автор благодарен своему научноцу руководителю, академику Я.Г.Синаю за постановки задач, постоянное внимание и поддержку в этом исследовании. Я благодарен также П.М.Блехеру, А.А.Минасову и К.М.Ханину за плодотворное сотрудничество на разных этапах данной работы. Я признателен Б.Р.Вайнбергу, С.М.Воронину, Д.И.Долгопяту, Р.Зайлеру, А.Е.Мазелю, Д.Майору и Е.Стейну за полезные замечания при обсуждении результатов диссертации. Я также выражаю благодарность фонду Ргота-1е^о.41.са за поддержку этого исследования.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО Т£МЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Д.Б.Косыгин, А.А.Минасов, Я.Г.Синай. Статистические свойства спектров операторов Лалласа-Бельтрэда на поверхностях Лиувшиш// Успехи кат. наук. 1993. Т.48. М. С. 3-130.

Результаты Д.В.Косывина - теоремы 2.1, 6,1,6.2, а также все результаты §9 и части 3 этой статьи.

г. av-Kov^.V0-^;. 0« tu 4

wvii. a r^Jo^ Ao^aiw // Fr0rn fUt io ckaoSi / t Saj.JiLri f kond^r y -

Warii Sd. С«. , ЛГЗ ,

Результаты Д.В.Косыгина - теорема в §1 и лешш 2.1,2.2, 2.3,3.1 этой статьи.

3. Ь.у. kos^. Mu 1ккще»ысиа£ KAM-iUwr^ -fro«, tW |rouf vTi-eJ^cwH-t

// A(L3ou,<UA ¿v, Ma4Ut»wa4vc4 /Ya. G. SCv^x -e.4.,

S.l , p. . A MS •. (WC<b.*c* , ftbck Jc&vJ/93^

-ft-