Нормальные формы вблизи изотропных торов и асимптотические собственные значения и собственные функции некоторых многомерных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Потеряхин Михаил Андреевич

Нормальные формы вблизи изотропных торов и

асимптотические собственные значения и собственные функции некоторых многомерных дифференциальных операторов

Специальность 01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена в лаборатории математических методов механики Института проблем механики Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Доброхотов Сергей Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Данилов Владимир Григорьевич кандидат физико-математических наук, Денисова Наталья Викторовна Санкт-Петербургское отделение математического института им. Стеклова Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится «3.<~ ь ЦК>НЯ 2004 г. в_±£_

часов в ауд. ^ _на заседании диссертационного совета К 212.133.01

в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: Москва 109028, Б. Трехсвятительский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.133.01 к.ф.-м.н, доцент

Е. Р. Хакимуллин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Квазиклассическое приближение является мощным инструментом для исследования многомерных спектральных задач квантовой механики. В частности, оно позволяет устанавливать соответствие между инвариантными объектами классических гамильтоновых систем, отвечающих квантовым гамильтонианам, и подпоследовательностями асимптотических собственных значений и собственных функций операторов квантовой механики. Такого же рода соответствие было недавно установлено и для операторов с малой диффузией в некоторых задачах теории вероятности. Важную роль в этих исследованиях играют геометрические объекты — лагранжевы многообразия и изотропные торы. В классической механике для описания динамики системы в окрестности изотропных торов часто используется теория нормальных форм. Полученные в этой теории последние результаты позволяют в принципе предъявить явные формулы для нормальных форм в окрестности маломерных изотропных торов. Вопрос о применении таких нормальных форм в спектральных задачах для операторов с малой диффузией и при построении квазиклассических асимптотик оператора Шредингера является малоизученным.

Целью работы является редукция спектральных задач для операторов с малой диффузией и операторов Шредингера к задачам теории нормальных форм, и получение на ее основе явных аналитических формул, позволяющих строить аналитические и численные решения асимптотических спектральных задач.

Общая методика исследования основана на сочетании квазиклассического приближения и теории нормальных форм для динамических систем при исследования некоторых асимптотических решений спектральных задач для операторов с малой диффузией и квантовой механики.

Научная новизна определяется следующими основными результатами:

• построены асимптотические спектральные серии для оператора с малой диффузией, соответствующие инвариантным торам, в окрестности которых динамическая система имеет нерегулярное движение;

• установлено соответствие между асимптотическими спектральными сериями для оператора с малой диффузией и нормальной формой в окрестности изотропного тора для соответствующего гамильтониана;

• построена нормальная форма четвертого порядка в окрестности двумерного инвариантного тора для многомерного ангармонического осциллятора в резонансном случае, позволяющая выявить "классическую" часть расщепления спектра;

• на основе варианта формулы интегрирования по углу аналитической функции на плоскости построена процедура усреднения для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой, справедливая для случая малых амплитуд.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В тоже время все полученные результаты содержат явные формулы, с помощью которых можно проводить непосредственные аналитические и численные вычисления.

3

Г'ОС НЛЦ:;0;!ЛЛЫ!АЧ

Некоторые из представленных результатов демонстрируют принципы и подходы к применению теории нормальных форм при решении конкретных задач квантовой механики и для операторов с малой диффузией, в частности в задачах с резонанса-ми.

Личное участие автора. Результаты диссертации, касающиеся алгоритма построения нормальной формы для многомерного ангармонического осциллятора, ре-шепия спектральной задачи для оператора с малой диффузией в окрестности изотропных торов и построения модификации процедуры усреднения Нейштадта получены совместно с научным руководителем профессором Доброхотовым, профессором Брюнингом (Гумбольдтовский университет, Берлин), профессором Альбеверио (Боннский университет). Вклад автора заключается в осуществлении выкладок и проведении численных вычислений на основе полученных формул. Задача о соответствии асимптотических спектральных серий оператора с малой диффузией и нормальной формой классического гамильтониана выполнена автором самостоятельно.

Результаты, выносимые на защиту :

1. Построены асимптотические спектральные серии оператора с малой диффузией, соответствующие инвариантным торам, в окрестности которых динамическая система имеет нерегулярное движение с нерегулярной окрестностью.

2. Установлено соответствие между асимптотическими спектральными сериями оператора с малой диффузией и нормальной формой гамильтониана в окрестности маломерного изотропного тора.

3. Разработан алгоритм построения нормальной формы четвертого порядка в окрестности двумерного инвариантного резонансного тора, которая позволяет выявлять "классическую" часть расщепления спектра.

4. Построена процедура усреднения для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой в случае малых амплитуд.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на семинаре профессора Альбеверио в Институте прикладной математики Боннского Университета в 2000, 2001 годах; на семинарах в Институте проблем механики Российской Академии Наук; на Международных Семинарах "Дни Дифракции" в 2001, 2002 и 2003 годах; на Международном Семинаре "Spectral problems for Schrodinger-type operators" в Триесте (Италия) в 2003 году. Основное содержание работы отражено в 4 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Материал диссертации изложен на 99 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 98 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования и формулируются основные результаты работы.

Квазиклассическое приближение или метод В КБ давно и успешно применяется в многомерных спектральных задачах квантовой механики. В его идейной основе лежит так называемый принцип соответствия, возникший в работах Вора, Зоммер-фельда, Эйнштейна, Бриллюэна в эпоху зарождения квантовой механики и утверждающий, что некоторым инвариантным множествам классических динамических систем с "хорошими свойствами" могут быть сопоставлены подпоследовательности асимптотических собственных функций и значений (квазимод) соответствующих операторов квантовой механики. Глобальный подход к математическим конструкциям квазимод и выявлению их связи с геометрией и топологией предложен в основополагающей монографии В.П. Маслова [15]. В ней, в частности, принцип соответствия реализован для лиувиллевых торов интегрируемых гамильтоновых систем. Развитию этого подхода, в частности, для систем близких к интегрируемым (в классической механике), и его реализации в конкретных задачах посвящено огромное количество работ. Размерность лиувиллевых торов (в более общем случае - лагранжевых многообразий) равна п, где п - размерность соответствующего конфигурационного пространства, и существование семейств таких торов, требуемых в квазиклассическом приближении, по-существу эквивалентна интегрируемости классической системы, что накладывает на нее весьма жесткие условия.

В то же время неинтегрируемые системы классической механики часто допускают инвариантные множества размерности к < п. Например такими множествами могут быть точки покоя (к = 0) или замкнутые траектории (к = 1), предполагающие существенно более слабые условия на классическую динамическую систему. Квазиклассическое приближение для точек покоя совпадает с осцилляторным приближением и давно применяется в теоретической и математической физике. Фундаментальный вклад в изучение возможности сопоставления замкнутым траекториям спектральных серий принадлежит В.М.Бабичу |1), который получил формулы квазимод для случая замкнутой геодезической на римановом многообразии. В более общих случаях аналогичные задачи изучались в дальнейшем. Промежуточный случай между к=1 и к = п в классической механике представляется так называемыми А:-мерными изотропными (маломерными) торами (многообразиями). Конструкции квазиклассического приближения в этом случае базируются на идеях [16, 17] и предложены в работах [2, 3]. Ответ дается в виде комплексного канонического оператора Маслова. По-существу это — алгоритм, реализация которого в конкретных задачах может потребовать некоторых дополнительных рассуждений и вычислений. Тем не менее, отметим, что в теории (см., например [2, 3]) остается еще много открытых вопросов, аппелирующих к теории динамических систем, в частности, проблема резонансов.

Существенную роль в квазиклассическом приближении с комплексными фазами — теории комплексного ростка Маслова — играют как гамильтоновы системы, так и соответствующие им системы уравнений в вариациях. В случае точек покоя и замкнутых траекторий коэффициенты последних либо константы, либо периодические функции, и к ним, следовательно, применима теория Флоке. В случае к-мерных торов 1 < к < п коэффициенты у системы в вариациях, вообще говоря, почти периодические функции, а законченной общей теории, аналогичной теории Флоке, пока не существует.

Маломерные изотропные торы появляются, например, в следующих ситуациях. В

теории гамильтоновых систем и в дифференциальной геометрии активно развивается идея "частичной интегрируемости". Это означает, что иногда исходная гамильтоиова система может быть сужена на некоторое инвариантное подпространство фазового пространства, на котором "суженная" система будет вполне интегрируемой гамильто-новой системой (с меньшим числом переменных). Лиувиллевы торы этой новой системы, разумеется будут инвариантными изотропными торами исходной гамильтоновой системы, но размерности меньшей размерности конфигурационного пространства. В результате образуются k-мерные семейства k-мерных изотропных торов. Важно отметить, что как сужение гамильтоновых систем на "интегрируемые подпространства", так и "квазиклассическое квантование" изотропных торов часто оказываются отдельными сложными задачами, процедуры решения которых все еще содержат достаточно много не решенных вопросов. Поэтому вполне естественно сначала разобраться с вопросами квазиклассического квантования маломерных изотропных торов в случаях, когда процедура построения "интегрируемых подпространств" для исходной гамильтоновой системы является наиболее простой. В работах [10, 11, 12, 13] показано, что отбор торов в классической задаче производится на основе требований, порожденных квантовой задачей. Однако, оказалось, что эти требования могут быть выведены на основе теории нормальных форм для динамических систем.

Известно, что в классической механике для описания динамики в окрестности изотропных торов эффективно используется теория нормальных форм, причем гамильтонианы неинтегрируемых систем рассматриваются как возмущения гамильтонианов некоторых вполне интегрируемых систем. Наиболее распространенной является ситуация, когда исходный гамильтониан уже записан в переменных действие-угол малый параметр, гамильтониан инте-

грируемой гамильтоновой системы, Н - ее "возмущение". Цель процедуры нормализации в этом случае - построение таких инфинитезимальных канонических преобразований (ч>,1) что в новых переменных гамильтониан не будет зависеть от углов до членов порядка а в некоторых случаях и до

соответственно). Наиболее хорошо разработаны процедуры построения таких преобразований в теории усреднения и в КАМ-теории (см., например, [18]).

Другой вид нормальных форм основан на разложении неинтегрируемого гамильтониана по отклонениям переменной действия I от некоторого значения 1° в окрестности инвариантного тора, задаваемого значением 1°. Тогда в качестве параметра возмущения выступает малое отклонение AI = I — Iй. Такое разложение может иметь место как в окрестности полномерных торов (А; = п), так и вырожденных (маломерных) (fc < п). При этом разложение по "направлениям вырождения" удобно проводить по переменным типа гармонического осциллятора. Переменные разбиваются на две группы, где действия р отвечают за "направления вырождения" и равенство р = О задает маломерный тор. Также удобно разбить вектор частот, задающих движение в окрестности тора: (wо,Р). Шо ~ частоты движения на инвариантном торе, а /? - показатели Флоке, соответствующие переменным р. Тогда возмущенный гамильтониан имеет вид

Hi = Яо(/°)+ < и>, А/ > + < /3,р >. Нормализация состоит в построении такого канонического преобразования что гамильтониан Н

примет вид Я = Нк(1°,Л^р) + в\ 1°, ДУ,р), где Нц =

при Д,/ —» 0, р —> О равномерно по (ф,(?). Частными случаями таких нормальных форм являются нормальные формы Бирхгофа в окрестности точки покоя (содержащие только переменные р ), и Вильямсона для замкнутых траекторий (содержащие одну переменную Д/ и п — 1 переменных р).

В резонансных случаях, как правило, происходит асимптотическое вырождение спектра. Предположим, что это вырождение снимается в некотором степенном по параметру Н приближении. Вычисление расщепления с помощью рядов Рэлея-Шредингера но собственным функциям в исходных переменных практически неосуществимо в реальных примерах. В то же время, если построить нормальные формы нужного порядка, то квазиклассическое квантование обобщенных переменных типа действие-угол в окрестности торов может быть проведено глобально, что дает возможность, по крайней мере в принципе, преодолеть указанные трудности. Для этого на первом этапе необходимо найти соответствующий инвариантный тор и построить нормальные формы классического гамильтониана в его окрестности.

В спектральных задачах для оператора с малой диффузией также можно сопоставлять асимптотические спектральные серии и инвариантные множества классических динамических систем (см., например [9]). С одной стороны, получаемые асимптотические решения локализованы в окрестности этих множеств и поэтому являются менее общими по сравнению с решениями для операторов с диффузией в случае больших уклонений (логарифмические пределы), построенными в [19, 20). С другой стороны, последние не позволяют определять поправки к амплитуде и найти расщепление спектра, в то время как применяемые в диссертации подходы, основанные на модификации методов из (2, 16, 17], позволяют это проделать. Важно отметить, что возникающие инвариантные множества в задачах для оператора с малой диффузией являются асимптотически неустойчивыми по импульсам, то есть гиперболического типа. Вопрос о построении нормальных форм в окрестности таких множеств также является малоизученным.

Основным направлением научного исследования в диссертации является исследование проблем, связанных с редукцией некоторых асимптотических спектральных задач для операторов с малой диффузией и квантовой механики к задачам теории нормальных форм: построение инвариантных торов и нормальных форм гамильтонианов в их окрестности. В Главах 1-4 приводятся основные результаты. Особое внимание уделяется получению явных формул, пригодных для аналитических и численных вычислений в конкретных задачах.

Асимптотические спектральные серии оператора с малой диффузией

Главы 1 и 2 посвящены решению спектральной задачи для стационарного уравнения диффузии

с гладким в векторным полем К(х). Предполагается, что поле У{х) имеет к-мерный инвариантный тор движение на котором определяется уравнени-

ем х = где Х((р) —п—мернаявекгор-функция, ы = (011,...,Ы/,) - частоты,

а <р = (^1,узь) € [0,21г]* - углы. Кроме этого, предполагается, что выполнено условие сильной нерезонансности частот : > С\т\~г, С > 0, г > 0, т< € 2, порождает систему уравнений в вариациях

¿= Ух(Х(1р0+иг))г, (2)

1УХ = ' ••• 1 ¡Ц^;) ~пхп матрица. В результате тривиальной процедуры поднятия порождается изотропный тор Л={(х,р)|х = ЛЗД,Р = 0}.

Напомним, что система (2) называется приводимой, если существует линейное преобразование г = Ф(у° + £ С К", задаваемое невырожденной пхп матрицей Ф, гладко зависящей от <р и 2тг-периодической но каждому углу, и приводящее систему (2) к виду £ = где Л/ — п х п постоянная матрица (вообще говоря, не диагональная). Если такого преобразования не существует, то систему называют неприводимой.

Однако, для дальнейших вычислений нам удобнее приводить систему (2) к специальному виду. Очевидно, что вектор-функции Х^ц)0 + ] = 1...Д; являются решениями системы (2). _Впаыя-.м л .ъсаштхве двушых к леето^ьстолбцов матрицы преобразования Ф вектора ] = 1,..., А:: Ф = (Х^,,О). Здесь О — такая глад-

кая п х (п — к) матричная функция на торе Л, что ^(^(¡^('(^(УхС! — Ф) = М, где М является (п — к) х (п — к) постоянной матрицей с собственными значениями • < Выберем матрицу так, что будут выполнены следующие условия :

*ХЛ = ^ 0. Тогда ттпе.обг>язовяние. зяяянное. мятпичной гЬл/нкттиеЙ Ф, при__/0 \ г

водит систему (2) к виду некоторая,

необязательно постоянная, матрица размера кх(п — к). Отделим в вектор^тослед-ние п — к компонент и составим из них вектор, который обозначим Он, очевидно, удовлетворяет уравнению

В Главе 1 мы строим последовательности функций и„(х, е) и комплексных чисел А„ со следующими свойствами :

1и„ = А„и„ + О (е1/2) , (4)

где supp и„ —> Л* при е —» 0, Ци^Цс = 0(1), для случая, когда система уравнений в вариациях (2) асимптотически устойчива, но не приводима.

Асимптотические решения задачи (4) строятся на основе решения задачи Коши {) = ¿Ф(х,£), для оператора Ь, где начальные данные подбираются таким образом, что решение будет иметь вид Ф(х, = е~х"*и„(х). Асимптотическое решение (Ао, «о) задачи для основного состояния находится с помощью модификации процедур метода ВКБ (см. 12, 16,17]) в виде и0 = ехр{—3{х)/£)А(х,е).

В приводимом случае асимптотическая устойчивость при решения

(3) в окрестности инвариантного тора определяется собственными значениями

постоянной матрицы М. В неприводимом случае матрица Л/ зависит от t и потребовалось ввести специальное определение асимптотической устойчивости, которое обеспечивает необходимые оценки поведения решения при t —» оо.

Определение. Система (3) называется асимптотически устойчивой с в линейном приближении споказателем "i, если матрица Коши ее решения обладает следующим свойством : ||£/(y>,í)|| < Kftl + t)"1, 7 > О, К —некотораяконстанта, t € [0, оо) и К, 7 не зависит от <р.

Мы предполагаем, что система (3) асимптотически устойчива с показателем 7 >

1.

Собственное значение основного состояния имеет вид Ао = -limr^ijfdivVWv)0 + w9))d8 = ~ (¿pr Xvt div V(X(<p))dtp, A0 > 0. Отметим, что в приводимом случае наличие асимптотической устойчивости (3) означает, что А0 > 0, в то время как в неприводимом случае Ао может равняться нулю без потери свойства асимптотической устойчивости с показателем 7 решений системы (3). На основе решений системы (3) была построена (п — k) X (п — к) матрица

ñ(v>) = CQQ)"1 (2 jf° [% - ив, б)Г(у> - ufl)'(% - шв, 6)dej CQQ)"1, (5)

где Г(у>) = ('<9(v)Q(¥j))_') V £ [0,27т], U(¡p,t) - матрица Коши системы (3).

Лемма. Пусть система (3) асимптотически устойчива с показателем 7 > 1. Тогда интеграл (5) сходится, a R(if>) является гладкой положительно определенной матричной функцией на торе A: R(ifi + 2nsj) = R(<p), Sj € Z, j = 1 ...к, и det R > 0.

Тогда в окрестности U(A) тора Л, в которой система (х — X((p),Xv¡(ip)} = 0, j = 1... к имеет единственное гладкое решение <р(х), построим функцию Uo(x) :

где 5(х) = (lQ(x - X(¥>)), R(ipYQ(x - X(ifi))) ¡Ъе],^^. Вне этой окрестности и0продолжена нулем.

Теорема. Функция щ и число Ао удовлетворяют (4).

Мы построили "основное состояние" (Ао, tío). В работе (9) для построения асимптотических собственных значений и собственных функций возбужденных состояний в приводимом случае были введены подходящие операторы рождения. В неприводимом случае мы сводим задачу построения возмущенных состояний задачи (4) к эквивалентной спектральной задаче для некоторого динамического потока, порожденного системой уравнений в вариациях (2). Рассмотрим комплексное нормальное расслоение р" тора JI. Базой расслоения в R" является тор Л = (х = Х(<р)), а слои (п — А)-мерные плоскости, на которых вектор-столбцы матри-

цы Q равны нулю. Система (2) порождает следующий динамический поток gt на этом расслоении : gt : (v?°>$°j —* (¡P° +wt,£)> гДе £ — решение системы (3) с начальными данными í|t=0 = fo- Динамический поток gt порождает преобразование

9Î • 9i(x(Vo,Îo)) s х(<Р>0> гДе (v,0 = 5i(Vo,io)- Функция хи называется собственной функцией динамического потока с собственным значением ц, если выполнено следующее соотношение :

60) = = (7)

Введем следующий векторный оператор рождения

а+ = ("hii- • ■ I ап) I a+ = v/i(9j(y(x)),V),

где qj — j-ый вектор-столбец матрицы Q. Этот оператор действует на пространстве D функций / таких, что f{y,y,e) = e'^r^fa(у(х,е),р(х),е), где у{х,е) = а /о(у,<р,е) является полиномиальной функцией от у и гладкой функцией у; для всех е > 0. Тогда справедлива следующая теорема, определяющая асимптотические спектральные серии (А„, ид) для возбужденных состояний.

Теорема. Пусть x^iVt О ~~ собственная функция динамического потока gt с собственным значением fi, то есть удовлетворяет (7). Тогда

Xv^iY^Uji/j + Xo + fi, их = exp Y^ Wjj X* (W), "о, (8)

удовлетворяют (4).

Замечание. Построенные формулы (8) справедливы и в приводимом случае.

Таким образом, в Главе 1 было дано описание асимптотических собственных значений и собственных функций в неприводимом случае (для более простого приводимого случая такие построения были сделаны в J9]). В Главе 2 приводится другой подход к проблеме построения описания асимптотических спектральных серий для операторов с малой диффузией в окрестности маломерных инвариантных изотропных торов: на основе теории нормальных форм устанавливается соответствие между асимптотическими собственными значениями и собственными функциями и

нормальной формой [7, 8] гамильтониана

Я=<К(1),р)+р2. (9)

Гамильтониан (9) возникает в случае, когда и„ ищется в виде затухающей экспоненты и„(г,е) = exp{-Sj£]A[x, е), а не в виде традиционного для квантовой механики и комплексного метода ВКБ (см. |17]) "быстроосциллирующего" решения и„(х,е) ~ exp(iS/e)A(x,£), которое породило бы комплексный гамильтониан Я = {V(x),p)—ip2.

Система (2) предполагается приводимой и асимптотически устойчивой, а матрица M — диагональной. Рассмотрим полную систему уравнений в вариациях для гамильтониана (9) в окрестности U(A):

z=Vxz + 2w, w = -lVxw. (10)

Пусть (,t; € Rn~* — решения £ = MÇ и г/ = —'A/rj соответственно. Введем (п — k) х (п — к) гладкую 2л--периодическую функцию на торе Л: Z°(<p) = 2 e~TM('Q(ip + ut)Q(V + ыт)У1е-г'м<1т.

Лемма. Вектор-фуикции '(г.ги) = '(Й+О = '£'(<5>0) и '(г,ги) = ((с"»?) = являются решениями (10).

Рассмотрим следующую замену переменных 'г = 1 (я, р) -»'У = ' (р, /, 77)

г = + У'Шъ С. I, Г)) + + (И)

где К0 = '(X, 0) и У' = '(0, Х^СХ,^)-1) — 2п х к матрицы, и векгор-функция у является решением системы уравнений —д3 + (д, *У^ + (^д, +

+ (т7,»с-лг+€) + ¡(ъ'о-Уо^п) = -/„ ; = 1.....7 =

( О Ё\ д

I ~ 0 ) — ч х п единичная матрица.

Теорема. В окрестности и тора Л замена переменных (И) является канонической и приводит гамильтониан (9) к нормальной форме Н = Но(1, £,*?) + И1(»». Л€.ч). где Но = и1 + (ч, А/*), Пг н 0(|/|2 + + »?|3).

Очевидно, что решение второго уравнения из (10) является асимптотически неустойчивым. Поэтому наш тор является гиперболическим и по "направлениям вырождения" мы имеем не классические переменные типа гармонического осциллятора (£,|), а гиперболические ({,?}). Поэтому при "квантовании" операторы рождения-уничтожения а = '(аь+1,... ,2„), а+ = ... ,а+) имеют вид:

+ ^ + (12)

В результате подстановки —+ д/д<р}, (£,»?) —» (а,а+) в Но, мы получаем оператор Но — + (2+,Мо) + Показано, что набор чисел А„ = гол''1' +

£?=*++ !)• и Функций = е"д,)^(а+)-(2)й)(!/), где ф0(у) = ехр(- (у,»)/2е)

(основное состояние), ы — (1Д1', I/'1' = I/*2) = (ц+1.....1/„) -

мультинндексы, дает набор собственных значений и функций спектральной задачи Нци? = \„и„.

Теперь выразим переменные у через х. Рассмотрим каноническое преобразование У = С^Г1 ('£)(* - ХШ = С + V, Р = '<3? = V, V = V. / = Тогда фаза «(») = (У.У) /2 переходит в 5(х) = («<?(* - Х(<р)), Я(<р)(10(х - *(*>)))> /2 + 0((х -ВД)')и»С>. ВДе = - (п - *) х (г» - к) матричная

функция на торе Л.

После подстановки выражения для у в формулы для (а,а+) и для й„, формулы для операторов а = '(<?*+ь •.. ,2„) и а* = ... ,2+), принимают вид а = (10<2)-Ч'<2){х - Х(ч>))/у/ё + у/£{г°^))д/дх, 2+ = ^Д{'0)д/дх, а для собственной функции : = е,",,)*(2+)"{,>1/,о(1)и„(*)1 где фа{х) = у/ШЩ

Следующее утверждение устанавливает связь между нормальной формой Но и асимптотическими собственными значениями и функциями оператора Ь.

Теорема. Полученный набор значений (А„, и„) в окрестности и(Л) тора Л удовлетворяет (4).

И

Замечание. Набор (Л^, и„) обобщает формулы, полученные в [9]. В неприводимом случае формулы для (Ао, «о) с незначительными изменениями по-прежнему будут справедливы, а для построения возбужденных состояний необходимо применить результаты, приведенные в Главе 1.

Нормальные формы в окрестности двумерных резонансных торов для многомерного ангармонического осциллятора

Как правило в работах, посвященных проблемам квантования инвариантных изотропных торов, рассматривают торы с несоизмеримыми частотами, то есть в отсутствие резонансов. Это обусловлено тем, что нерезонансный случай — это случай общего положения и получаемые формулы применимы, как правило, для всех нерезонансных задач. В свою очередь, резонансные случаи являются гораздо менее изученными: резонансы бывают разных типов и для каждого из них существуют свои специфические подходы при решении конкретных задач (см., например [2, 3, 4,12, 13|). Тем не менее, резонансные задачи часто встречаются во многих реальных физических приложениях и вполне естественной представляется идея рассмотреть наиболее простой пример, дающий, однако, качественное представление о свойствах и поведении решений в резонансных случаях.

В Главе 3 описан алгоритм построения такой нормальной формы четвертого порядка в окрестности резонансных двумерных торов для классических неинтегри-руемых гамильтоновых систем, соответствующих квантовым задачам, которая позволяет находить "классическую" часть расщепления спектра (вырождение которого обусловлено наличием резонансов). В качестве модельного примера мы рассмотрим квантовый (п + 2)-мерный ангармонический осциллятор. Положим, что его классический гамильтониан имеет вид:

где Г — 2п х 2п матрица с элементами, гладко зависящими от £?1, фг- О означает скалярное произведение, а левый верхний индекс ' — транспонирование. Частоты являются постоянными и соизмеримыми.

Соответствующая (13) гамильтонова система, как правило, является неинтегри-руемой, однако допускает инвариантное многообразие, задаваемое условием г = 0. Динамика на этом многообразии задается гамильтонианом двумерного гармонического осциллятора и хорошо изучена

Новс —

"22'

(14)

Для гармонического осциллятора вводятся переменные действие-угол В случае соизмеримых частот все траектории двумерного гармонического осциллятора (14) являются замкнутыми кривыми — хорошо известными фигурами Лиссажу, а в подходящих переменных действие-угол гамильтониан зависит только от одной переменной — действия

(считаем, что от Ij) : Ho,c = Uoh> wb = /"ii = wj/m2, а переменные <pi,Ii будут играть роль параметров, задающих конкретную траекторию.

В резонансном случае фазовое пространство полной системы может быть расслоено на двумерные торы, которые остаются инвариантными относительно фазового потока дг„, порожденного гамильтонианом (13) полной системы. В резонансном случае выбор таких торов не однозначен, так как инвариантные многообразия, движение на которых задается гамильтонианом Ною являются не двумерными торами, а неким набором одномерных замкнутых траекторий, задаваемых значениями (^г, Л,/2). Это значит, что можно получать различные двумерные торы, задавая при фиксированном значении = /¡> различные способы "склейки" наборов таких траекторий.

Для задания тора в Главе 3 применяется один из возможных способов — построение функции F в RqP, находящейся в инволюции с гамильтонианом Нгж. В переменных (ip, I) такая функция, очевидно, не зависит от ф, и тогда соответствующие двумерные торы задаются равенствами F[<f>2,Ii, 1^) = const, Jj = = const, при условии, что последние равенства задают компактные множества. Указанная функция F может зависеть и от других параметров. На построенных торах можно ввести новые переменные действие-угол В этих переменных функция

F будет зависеть только от (Ji,^)-

Основной результат данной Главы состоит в том, что для резонансного случая, приводится алгоритм построения функции в инволюции F, с помощью которой задается инвариантный тор, в окрестности которого каноническая замена переменных задаваемая комбинацией явных формул, приводит гамильтониан (13) к следующей нормальной форме

Замечание. Приведенная форма имеет неполиномиальную зависимость от переменных типа действия Pj, j — 1... п, что является нетрадиционным фактом для теории нормальных форм.

Кроме этого, на основе полученных формул была разработана программа для численного построения резонансного двумерного инвариантного тора и вычисления коэффициентов нормальной формы. На приведенных в конце Главы 3 рисунках представлены проекции этих торов на конфигурационное пространство двумерного гармонического осциллятора.

Об усреднении для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой и малыми амплитудами.

Нормальные формы, примененные в спектральной задаче для операторов с малой диффузией (Глава 2) и для многомерного ангармонического осциллятора (Глава 3), построены на основе разложения исходного гамильтониапа в окрестности инвариантных торов по малым отклонениям переменных типа действия. Однако, в квантовых

задачах могут возникать случаи, требующие построения нормальных форм на основе разложения по фиксированному малому параметру.

В работе [б] изучается асимптотика нижней части спектра для двумерного магнитного оператора Шредингера с периодическим потенциалом в сильном однородном магнитном поле:

Я Ф

3 (з + *2)Ч +Х2)) ф>

где функция V предполагается вещественно-аналитической в И2 и периодической на двумерной решетке. Соответствующий классический гамильтониан имеет вид :

Н(х,р,е) = -{р1+х2)'г

+ 2^2 + €у(х1,хг).

В силу приведенных в работе (6) соображений, возникла необходимость построения канонической замены переменных с помощью которой гамиль-

тониан Н приводится к нормальной форме

Я = Щ1и ух, 2/2, е) + Р, уиу2, е),

Л-

<Э3 + Р2

(15)

Традиционная процедура Нейштадта усреднения систем с одной быстрой фазой • (18] из-за неаналитичности в нуле Н в данном случае применима только в области Л ^ ^о > 0- В тоже время, именно случай 1\ —► 0 представляет особый интерес при решении исходной квантовой задачи: ему соответствуют так называемые нижние зоны Ландау.

В Главе 4 приведена модификация процедуры усреднения Нейштадта для малых амплитуд, обеспечивающая равномерный переход 1\ —» 0 и дающая аналогичную невязку 0(ехр(—С/е)). Основная трудность состояла в построении аналитического решения уравнения типа

а/ а/ д/ , .

(16)

допускающего оценки в некоторой норме.

Справедлива следующая теорема об интегрировании по углу аналитической функции на плоскости.

Теорема. Пусть д(х,у) — аналитическая функция по обеим переменным на плоскостиК2, (р,р) — полярные координаты : х — рсаыр, у = рБту>. Тогдаурав-нение (16) имеет решение /(х,у), аналитическое по всем переменным тогда и только тогда, когда среднее значение функции д по переменной <р равно нулю :

/о* * в(Р соя Ч>! Р Ч>)А<Р = 0, и каждое такое решение имеет вид

IV V \

/(*.!/)=! Ыд(рсоаф,р8тф),(Ь1> + ^д(рсоз11>,рвттр),(1ф 1 + ^(р2),

: Р — произвольная аналитическая функция.

Именно формула (17) обеспечивает возможность построения приведенной в Главе 4 цепочки индуктивных оценок, аналогичных оценкам Нейштадта, которые и дают требуемую невязку mod 0{ci ехр(—Cj/e)) для процедуры усреднения в области 0 < /i < /о-

Список публикаций

Основное содержание работы отражено в 4 публикациях.

1. Брюнинг, Й.; Доброхотов, С.Ю.; Потеряхин, М.Л. Об усреднении для гамиль-тоновых систем с одной быстрой фазой и малыми амплитудами. Матем. Зам., 2001, 70 (5), 660-669.

2. Брюнинг, Й.; Доброхотов, С.Ю.; Потеряхин, МА Интегральная формула для аналитического решепия уравнения yfx — xf'y = д(х,у). Матем. Зам., 2002, 72(4), 633-635. .

3. Pankrashkin, K.V.; Poteryakhin, МА Short-wavelength asymptotics for the low Landau zones of the two-dimensional magnetic Schrodinger operator, Proceedings of DD'2001, 202-210.

4. Albeverio, S.; Dobrokhotov, S.Yu.; Poteryakhin, MA On quasimodes of small diffusion operators, corresponding to stable invariant tori with nonregular neighborhoods; SFB 611 (no. 51), Universitat Bonn: Bonn, 2003.

Список литературы

[1] Бабич, В.М. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической, Зап. научных семинаров ЛОМИ Р, Ленинград, 1968.

[2] Белов В.В.; Доброхотов СЮ. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами; Теорет. и мат. физика; 1992, 92 (2), 215-254.

[3] Белов В.В.; Доброхотов СЮ. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложение к спектральным задачам, Докл. АН СССР, 1988, 298 (5), 1037-1042.

[4J Белов В.В.; Доброхотов О.С., Доброхотов С.Ю., Изотропные торы, комплексный росток и индекс Маслова, нормальные формы и квазимоды в многомерных спектральных задачах, Матем. заметки, 2001, 69 (4), 483-514.

[5) Белов В.В.; Доброхотов С.Ю., Максимов ВА, Явные формулы для обобщенных переменных действие-угол в окрестности изотропного тора и их применение, Теор. и матем. физика, 2003, 135 (3), 378-408.

[6j Bruning.J.; Dobrokhotov, S.Yu. ; Pankrashkin, K.V.; The Spectral Asymptotics of the Two-Dimensional Schrodinger Operator with a Strong Magnetic Field. Russian Journal of Mathematical Physics, 2002,1: 9 (1), 14-49; II: 0(4), 400-416;

*1?t ot

tions irirarrAUeYofU

(7) Broer H.W., Huitema G.B., Sevryuk M.B., Quasi-Periodic Motions in Dynamical Systems (Lecture Note in Mathematics 1645), Springer: Berlin, 1996.

[8] Брюно А.Д., Ограниченная задача трех тел : плоские периодические орбиты; Наука: Москва; 1990.

[9J Dobrokhotov, S.Yu; Kolokoltsov, V.N.; Olive, V. Martinez; Asymptotically stable invariant tori of the vector field V(x) and quasimodes of the diffusion operator. Math.Notes 1995 , 58 (2), 880-884.

[10J Доброхотов, С.Ю.; Оливэ, В.М. Замкнутые траектории и двумерные торы в квантовой проблеме для трехмерного ангармонического осциллятора; Труды Моск. Мат. Общества, 1997, 51, 3-87.

[11] Dobrokhotov, S.Yu; Shafarevich, A.I Quantum selection- of isotropic partially integrable Hamiltonian systems in quasiclassical approximation, Russian J. Math. Phys.; 1998, 5 (2), 267-272.

[12] Карасев, М. В. Квантовая редукция на орбиты алгебр симметрии и задача Эренфеста; Препринт ИТФ-87-157Р; Ин-т теор. физ. АНУССР; 1988.

[13] Карасев, М.В. Лагранжевы кольца. Многомасштабная асимптотика спектра вблизи резонанса; Фун. анализ и прилож., 1987, 21 (1), 78-79.

[14].Karasev, M.V.; Vorobjev, Yu. M. Integral representations over isotropic submanifolds and equations of zero curvature; Adv. in Math.; 1998, 1S5 (2), 220286.

[15] Маслов, В.П. Теория возмущений и асимптотические методы; МГУ: Москва, 1965.

[16] Маслов, В.П. Операторные методы; Наука: Москва, 1973.

[17] Маслов, В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях; Наука: Москва, 1977.

[18] Нейштадт, А. И.; О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. Прикл. Мат. и Мех. 1984, 48 (2), 197 -205.

[19] Piatnitski, A.L. Asymptotic Behavior of the Ground State of Singularly Perturbed Elliptic Equations. Commun. Math. Phys. 1998, 197 (3), 527-551.

[20] Khasminsky, R.Z. Ergodic Properties of Recurrent Diffusion Processes and Stabilization of the Solution to the Cauchy Problem For Parabolic Equations. Theory Probab. Appl. 1960, 5 (2), 196-214.

Подписано к печати * 11 " 05 2004 г. Отпечатано в типографии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, 12 Заказ № 99 . Объем п.л. Тираж &0 экз.

Введение

1 Асимптотические спектральные серии для оператора с малой диффузией, соответствующие устойчивым инвариантным торам с нерегулярными окрестностями

1.1 Постаноика задачи.

1.2 Основной результат.

1.2.1 Почти периодическое движение и примеры

1.2.2 Свойство асимптотической устойчивости.

1.2.3 Операторы рождения и возбужденные состояния

1.3 Асимптотические решения параболического уравнения, сосредоточенные в окрестностях торов.

1.3.1 Общий вид решения.

1.3.2 Редукция системы уравнений в вариациях.

1.3.3 Свойства системы уравнений в вариациях.

1.3.4 Матрицы В и С для стационарных решений.

1.3.5 Амплитуда А.

1.3.G Решения параболического уравнения доя основных состояний.

1.4 Операторы рождения.

2 Нормальные формы вблизи инвариантного тора и асимптотические собственные значения и собственные функции оператора с малой диффузией

2.1 Основные результаты.

2.2 Доказательства утверждений.

3 Нормальная форма четвертого порядка в окрестности двумерных резонансных торов для многомерного ангармонического осциллятора

3.2 "Почти" нормальная форма четвертого порядка .69

3.3 Усреднение по углу.71

3.4 Четырехмерный ангармонический осциллятор.73

3.5 Вычисление коэффициентов нормальной формы четвертого порядка.76

4 Усреднение для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой в случае малых амплитуд 79

4.1 Введение.79

4.2 Постановка задачи и основные результаты.80

4.3 Аналитическое решение гомологического уравнения в окрестности особой точки.81

4.4 Доказательство основной теоремы об экспоненциально малой поправке.85

4.4.1 Процедура последовательно определяемых замен переменных.85

4.4.2 Индуктивные оценки.87

4.5 Дополнение.90

Список литературы 91 А

Введение

Квазиклассическое приближение. Нормальные формы.

Квазиклассичсское приближение или метод ВКБ давно и успешно применяется и многомерных спектральных задачах квантовой механики, акустики, гидромеханики и т.д. В его идейной основе лежит так называемый принцип соответствия, возникший в работах Бора, Зоммерфельда, Эйнштейна, Бриллюэна в эпоху зарождения квантовой механики и утверждающий, что некоторым инвариантным множествам с "хорошими свойствами" классических динамических систем могут быть сопоставлены подпоследовательности асимптотических собственных функций и значений (квазимод) соответствующих операторов квантовой механики. Глобальный подход к математическим конструкциям квазимод и выявлению их связи с геометрией и топологией предложен в основополагающей монографии В.П. Маслова [83]. В ней, в частности, принцип соответствия реализован для лиувиллевых торов интегрируемых гамильтоновых систем. Развитию этого и близких подходов, в частности, для систем близких к интегрируемым (в классической механике), и его реализации в конкретных задачах посвящено огромное количество работ. В частности, в монографиях и обзорных работах [14, 32, 41, 70, 72, 7G, 77, 79, 84, 85] можно найти достаточно полную библиографию. Размерность лиувиллевых торов (в более общем случае - лагранжевых многообразий) равна п, где п — размерность соответствующего конфигурационного пространства, и существование семейств таких торов, требуемых в квазиклассическом приближении, по-существу эквивалентна интегрируемости классической системы, что накладывает на нее весьма жесткие условия.

В то же время иеиитегрируемые задачи классической механики часто допускают инвариантные множества размерности к < п. Например такими множествами могут быть точки покоя (к = 0) или замкнутые траектории (к = 1), существование которых, предполагает существенно более слабые условия на классическую динамическую систему. Квазиклассическое приближение для точек покоя совпадает с осцилляторным приближением и давно применяется и теоретической и математической физике. Фундаментальный вклад в изучение возможности сопоставления замкнутым траекториям спектральных серий принадлежит В.М.Бабичу [13, 14], который получил формулы кназимод для случая замкнутой геодезической на римановом многообразии. В более общих случаях аналогичные задачи изучались затем в [14, 15, 16, 39, 50, 51, 57, 80, 90] и др. Промежуточный случай между А;=1иА; = ггв классической механике представляется так называемыми А>мерными изотропными (маломерные) торами (многообразиями). Общие конструкции квазиклассического приближения, базирующиеся на идеях [80, 82], в этом случае предложены в работах [15, 16] (см. также [5G]). Ответ дается в виде комплексного канонического оператора Маслова. Формулы, основанные на интегральных представлениях для квазимод, предложены в [Gl, G2, 64]. По-существу это - алгоритм, реализация которого в конкретных задачах может потребовать некоторых дополнительных рассуждений и вычислений. Кроме того, в теории [15,16] остается еще много открытых вопросов, аппелирующих к теории динамических систем.

Существенную роль в к ваз и класс и чес ком приближении с комплексными фазами — теории комплексного ростка Маслова — играют как гамильтоновы системы, так и соответствующие им системы уравнений в вариациях. В случае точек покоя и замкнутых траекторий коэффициенты последних либо константы, либо периодические функции, и к ним, следовательно, применима теория Флоке (см., например [98]). В случае /с-мерных торов 1 < к < п коэффициенты у системы в вариациях, вообще говоря, почти периодические функции, а законченной общей теории, аналогичной теории Флоке, несмотря на имеющиеся здесь очень интересные результаты (см. [19, 23, 46, 44, 45, 58, 75, 93]), пока не существует. В имеющихся примерах [16, 36, 37, 74] по-существу имеется "почти" разделение переменных и они не сильно проясняют ситуацию.

Маломерные изотропные торы появляются, например, в следующих ситуациях. В теории гамильтоиовых систем и в дифференциальной геометрии активно развивается идея "частичной интегрируемости" (см., например, [94]). Это означает, что иногда исходная гамильтонова система может быть сужена на некоторое инвариантное подпространство фазового пространства, на котором "суженная" система будет вполне интегрируемой гамильтоновой системой (с меньшим числом переменных). Ли-увиллевы торы этой новой системы, разумеется будут инвариантными изотропными торами исходной гамильтоновой системы, но размерности меньшей размерности конфигурационного пространства (см. [88, 94]). В результате образуются /с-мерные семейства А>мерных изотропных торой. Важно отметить, что как сужение гамильтоновых систем на "интегрируемые подпространства" (см. [38, 61]), так и "квазиклассическое квантование" изотропных торов часто оказываются отдельными сложными задачами, процедуры решения которых все еще содержат достаточно много не решенных вопросов. Поэтому вполне естественно сначала разобраться с вопросами квазиклассического квантования маломерных изотропных торов в случаях, когда процедура построения "интегрируемых подпространств" для исходной гамильтоновой системы является наиболее простой. В работах [53, 55, GO, G2, GG] показано, что отбор торов в классической задаче производится на основе требований, порожденных квантовой задачей. Однако, оказалось, что эти требования могут быть получены на основе теории нормальных форм для динамических систем.

В классической механике для описания динамики в окрестности изотропных торов часто и эффективно используется теория нормальных форм ([10, 11, 18, 22, 27, 31, 43, 91]), причем гамильтонианы неинте-грируемых систем рассматриваются как возмущения гамильтонианов некоторых вполне интегрируемых систем. Наиболее распространенной является ситуация, когда исходный гамильтониан уже записан в переменных действие-угол (<р,1) '■ Н = Ho(I) + sHi((p, /), е - малый параметр, Но - гамильтониан интегрируемой гамильтоновой системы, Н\ -се "возмущение". Целью процедуры нормализации в этом случае является построение таких канонических иифинитезимальных преобразований (</?, I) —> (ф, J), что в новых переменных гамильтониан по будет зависеть от углов до членов порядка 0(eN), а в некоторых случаях и до 0(е-1/£): Я = nN(J,e) + eHN(il>, J), где 7iN = 0(eN) (или 0(e~^e) соответственно). Наиболее хорошо разработаны процедуры построения таких преобразований в теории усреднения и в КАМ-теории (см., например, [10, 11, 22, 43, 87)).

Другой вариант состоит в разложении неинтегрируемого гамильтониана по отклонениям неременной действия I от некоторого значения 1° и окрестности инвариантного тора, задаваемого значением Тогда в качестве параметра возмущения выступает малое отклонение Д/ = / — 1°. Такое разложение может иметь место как в окрестности полномерных торов (к = п), так и вырожденных (маломерных) (к < п). При этом разложение по "направлениям вырождения" удобно проводить по переменным типа гармонического осциллятора. Переменные разбиваются на две группы, где действия р отвечают за "направления вырождения" и равенство р = 0 задает маломерный тор. Также удобно разбить вектор частот, задающих движение в окрестности тора: (о;0, /?)- - частоты движения на инвариантном торе, а (3 - показатели Флокс, соответствующие переменным р. Тогда возмущенный гамильтониан имеет вид Я = Н1{1°,А1,р) + Н1{Ч>,в,1°,А1,р), III = Яо(/°)+ < ш0,Ы > + < (3,р >. Нормализация состоит в построении такого канонического преобразования (ip,d,AI,p) —► (ф, в', AJ, р), что гамильтониан Я примет вид Я = nN(I°,AJ,p) + nN^,e\l°,AJ,p), где HN = 0((AJ)N+\ (p')N+1/2) при AJ -» 0, р О равномерно по (ф,0 ). Частными случаями таких нормальных форм являются нормальные формы Бирхгофа в окрестности точки покоя (содержащие только переменные р ), и Вильямсона для замкнутых траекторий (содержащие одну переменную AI и п — 1 переменных р).

Как правило, методы построения нормальных форм опираются на тот факт, что для исходной задачи уже построены канонические переменные тина действие-угол. Существование таких переменных в окрестности изотропного тора — чисто геометрический факт, который следует из теоремы Дарбу-Вейнстейна [12]; ясно также, что они могут быть введены различными способами. Однако вопрос о построении явных формул для них часто оказывается нетривиальным и в конкретных задачах решается по-разному. В данной работе в соответствующих случаях используются явные универсальные формулы, полученные в недавней работе [18], справедливые в окрестности индивидуальных изотропных торов.

В резонансных случаях, как правило, происходит асимптотическое вырождение спектра. Предположим, что это вырождение снимается в некотором степенном но параметру h приближении. Вычисление расщепления с помощью рядов Рэлея-Шредипгера по собственным функциям в исходных переменных практически неосуществимо в реальных примерах. В то же время, если построить нормальные формы нужного порядка, то квантование в квазиклассическом приближении обобщенных переменных типа действие-угол в окрестности торов может быть проведено глобально, что дает возможность, но крайней мере в принципе, преодолеть указанные трудности. Для этого на первом этапе необходимо найти соответствующий инвариантный тор и построить нормальные формы классического гамильтониана в его окрестности.

В спектральных задачах для оператора с малой диффузией также можно сопоставлять асимптотические спектральные серии и инвариан-тые множества классических динамических систем (см., например [49]). С одной стороны, получаемые асимптотические решения локализованы в окрестности этих множеств и поэтому являются менее общими но сравнению с решениями для операторов с диффузией в случае больших уклонений (логарифмические пределы), построенными в [34, G8, 89, 95]. С другой стороны, последние не позволяют определять поправки к амплитуде и найти расщепление спектра, в то время как применяемые в диссертации подходы, основанные на модификации методов из [15, 82, 80], позволяют это проделать. Важно отметить, что возникающие инвариантные множества в задачах для оператора с малой диффузией являются неустойчивыми по импульсам, или гиперболическими. Вопрос о построении нормальных форм в окрестности таких множеств является малоизученным.

Значительный прогресс вычислительной техники открывает совершенно новые возможности для исследования неинтегрируемых систем и соответствующих им квантовых задач. Однако, необходимо подчеркнуть одну важную особенность, которая накладывает значительный отпечаток на всю процедуру исследования: компьютеры оперируют с рациональными числами. Эго значит, что в рассматриваемых динамических системах частоты будут соизмеримыми, то есть задачи будут резонансными (хотя порядок резонансов может быть велик). Поэтому при исследовании следует применять методы, разработанные для резонансных ситуаций, которые в литературе рассматриваются намного реже, чем нерезонансные.

Основным направлением научного исследования в диссертации является исследование проблем, связанных с редукцией некоторых асимптотических спектральных задач для операторов с малой диффузией и квантовой механики к задачам теории нормальных форм: построение инвариантных торов и нормальных форм гамильтонианов в их окрестности. В Главах 1-4 приводятся основные результаты. Особое внимание уделяется получению явных формул, пригодных для аналитических и численных вычислений в конкретных задачах.

Основные результаты

Асимптотические спектральные серии оператора с малой диффузией

Главы 1 и 2 посвящены решению спектральной задачи для стационарного уравнения диффузии

Lu = Xu, L=(V,V)-eA, е > 0, (1) с гладким в векторным нолем V(x). Предполагается, что иоле V{x) имеет /с-мерный инвариантный тор Afc (к < п), движение на котором определяется уравнением х = Х(<р0 + ut), где Х(ср) — n-мерная вектор-функция, и = (ui,., Uk) - частоты, а (р = (<pi,., <fik) £ [0,2-к)к - углы. Кроме этого, предполагается, что выполнено условие сильной нерезо-иапсности частот : Yl*i=i щтщ > C\m\~r, С > 0, г > 0, m* € Z, г = 1,., к. Тор Ак порождает систему уравнений в вариациях z = Vx(X{(p0 + ut))z, (2) lVx = 1 ., — п х п матрица. В результате тривиальной процедуры поднятия (х = Х(<р),р — 0) тора Ак порождается изотропный тор [15, 17, 80] в R%p : Л = {(х,р)\х = Х(ср),р = 0}.

Напомним, что система (2) называется приводимой, если существует линейное преобразование г = Ф(<р° + £ Е Мп, задаваемое невырожденной п х п матрицей Ф, гладко зависящей от <р и 27г-периодической но каждому углу, и приводящее систему (2) к виду £ = Л/£, где М — пх п постоянная матрица (вообще говоря, не диагональная). Если такого преобразования не существует, то систему называют неприводимой.

Однако, для дальнейших вычислений нам удобнее приводить систему (2) к специальному виду. Очевидно, что вектор-функции Х^((р° + cut), j — 1. к являются решениями системы (2). Возьмем в качестве первых к вектор-столбцов матрицы преобразования Ф вектора , j = 1, • • • ,к: Ф = (XV,Q). Здесь Q — такая гладкая п х (п — к) матричная функция на торе Л, что {tQQ)~'l(tQ)(VxQ — Q) = Л/, где А/ является (п-к)х (п — к) постоянной матрицей с собственными значениями — /х^+ь., — Цп- Выберем матрицу Q так, что будут выполнены слсдоющие условия : lX^Q = lQXv = 0. Тогда преобразование, заданное матричной функцией Ф, приводит систему (2) к виду £ = Л/£ с матрицей М = ^ гдс некоторая, необязательно постоянная, матрица размера к х (п — к). Отделим в векторе £ последние п — к компонент и составим из них вектор, который обозначим Он, очевидно, удовлетворяет уравнению = £ G Rn~k. (3)

В Главе 1 мы строим последовательности функций и^(х,е) и комплексных чисел А„ со следующими свойствами :

Luv = Кии + О [ех>2), (4) где slippy —> Ак при е —> 0, ||«1/||с = 0(1), Для случая, когда система уравнений в вариациях (2) асимптотически устойчива, но не приводима.

Асимптотические решения задачи (4) строятся на основе решения задачи Коши t) = Lty(x,t), для оператора L, где начальные данные подбираются таким образом, что решение будет иметь вид Ф(х, t) = e~Xvtuu(x). Асимптотическое решение (Ао,«о) задачи для основного состояния находится с помощью модификации процедур метода ВКБ (см. [15, 82, 80]) в виде и0 = exp(~S(x)/e)A(x, е).

В приводимом случае асимптотическая устойчивость при t —> оо решения (3) в окрестности инвариантного тора определяется собственными значениями Цк+i, постоянной матрицы М. В неприводимом случае матрица Л/ зависит от t и потребовалось ввести специальное определение асимптотической устойчивости, которое обеспечивает необходимые оценки поведения решения при t —> оо.

Определение. Система (3) называется асимптотически устойчивой с в линейном приближении с показателем 7, если матрица Коши се решения обладает следующим свойством : ||?/(</М)11 — + 7 > О, К — некоторая константа, t G [0, оо) и К, 7 не зависит от </?.

Мы предполагаем, что система (3) асимптотически устойчива с показателем 7 > 1.

Собственное значение основного состояния имеет вид Л0 = — linvr-.oo j, /0Г div V{X{<p° + u0))d0 = JAk div V{X{<p))d<p, A0 > 0. Отмстим, что в приводимом случае наличие асимптотической устойчивости (3) означает, что Л0 > 0, в то время как в неприводимом случае Л0 может равняться нулю без потери свойства асимптотической устойчивости с показателем 7 решений системы (3). На основе решений системы (3) была построена (n — k) х (п — к) матрица

ВД = (lQQ)~l (2 J™ U(<p - ив, в)Г(if - ив) lU(ip - ив, в)(1в^ {lQQ)~\

5) где Г(</э) = (lQ{<p)Q(<p)) \ <р G [0,2л-], U(<p,t) - матрица Коши системы (3).

Лемма. Пусть система (3) асимптотически устойчива с показателем 7 > 1. Тогда интеграл (5) сходится, a R{}p) является гладкой поло-оюителъно определенной матричной функцией на торе A: R((p+2TTSj) = R(ip), sj е Z, j = 1. k, udctR> 0.

Тогда в окрестности U(A) тора А, в которой система (х — X(ip),XVj((p)) = 0, j = 1 .к имеет единственное гладкое решение (f(x), построим функцию и0(х) : и0(х) = е-^1 \/ dct , (б) где S(x) = (lQ(x - X(ip)), R(<pYQ(x - X(v>))) /2eL =v?(*)- Вне этои окрестности щ продолжена нулем.

Теорема. Функция и0 и число Ао удовлетворяют (4).

Мы построили "основное состояние" (\0,щ). В работе [49] для построения асимптотических собственных значений и собственных функций возбужденных состояний в приводимом случае были введены подходящие операторы рождения. В неприводимом случае мы сводим задачу построения возмущенных состояний задачи (4) к эквивалентной спектральной задаче для некоторого динамического потока, порожденного системой уравнений в вариациях (2). Рассмотрим комплексное нормальное расслоение рп тора А. Базой расслоения в R" является тор Л = (х = X (</?)), а слои — (п — /с)-мерные плоскости, на которых вектор-столбцы qk+\,. ,qn матрицы Q равны пулю. Система (2) порождает следующий динамический ноток gt па этом расслоении : 9i '• (VAO —* (v^ + ^iO) где £ — решение системы (3) с начальными данными £|f=0 = £о- Динамический поток gt порождает преобразование 9*t : fft(x(<Po,{o)) = X(V.0. где (<р,£) = gt(if0,Go)- Функция хм называется собственной функцией динамического потока с собственным значением fi, если выполнено следующее соотношение : cW,*0)- (7)

Введем следующий векторный оператор рождения а+ = iak+v • ••»<£). at = ^Mv(aO), v>. где Qj — j'-ый вектор-столбец матрицы Q. Этот оператор действует на пространстве D функций / таких, что f(y,(p,e) = e-Si^fo(y(x,£),(p(x),£), где у(х,е) = Х~ХЬЦ*)) ? а /0(у,<р,е) является полиномиальной функцией от у и гладкой функцией ip для всех е > 0. Тогда справедлива следующая теорема, определяющая асимптотические спектральные серии (A„,ua) для возбужденных состояний.

Теорема. Пусть х'Чу^О — собственная функция динамического потока gt с собственным значением ц, то есть удовлетворяет (7). Тогда

А„ = i^jxijUj + Ао + /х, мЛ =ехр wo, (8) удовлетворяют (4).

Замечание. Построенные формулы (8) справедливы и в приводимом случае.

Таким образом, в Главе 1 было дано описание асимптотических собственных значений и собственных функций в неприводимом случае (для более простого приводимого случая такие построения были сделаны в [49]). В Главе 2 приводится другой подход к проблеме построения описания асимптотических спектральных серий для операторов с малой диффузией в окрестности маломерных инвариантных изотропных торов : на основе теории нормальных форм устанавливается соответствие между асимптотическими собственными значениями и собственными функциями (Лv,uu), и нормальной формой [27, 31] гамильтониана

H={V{x),p)+p\ (9)

Гамильтониан (9) возникает в случае, когда uv ищется в виде затухающей экспоненты ии{х,е) = ехр(—S/e)A(x, е), а не в виде традиционного для квантовой механики и комплексного метода ВКБ (см. [80]) "быстро-осциллирующего" решения ии(х,е) = exp(iS/e)A(x,£), которое породило бы комплексный гамильтониан Н = {V(x),p) — ip2.

Система (2) предполагается приводимой и асимптотически устойчивой, а матрица М — диагональной. Рассмотрим полную систему уравнений в вариациях для гамильтониана (9) в окрестности U(A): i = Vxz + 2w, w = -lVxw. (10)

Пусть G Rn-fc — решения £ = Mf и j) = —1Мт) соответственно. Введем (n — k) x (n — к) гладкую 27Г-периодическую функцию на торе Л: = 2 е"гЛ' (lQ(<p + u>r)Q(<p + dr.

Лемма. Вектор-функции l(z,w) = l(G+£) = , 0) и l(z,w) =

1(С~г)) = tT}t(QZ0,Q(tQQ)~1) являются решениями (10).

Рассмотрим следующую замену переменных 1г = 1(х,р) lY = г = Y°((p) + Y'O^M^, I, rj) + G+(v)fi + G-Ми, (11) где У0 = '(X,0) и Y1 = f(0,Arv,(tXv,A'v,)-1) -2nxk матрицы, и вектор-функция g является решением системы уравнений —gj + (^g, + g, WJG'.n) + i (e, JG+ e) + (rj, lG-JG+(;) + I (rj, lG~JG~pij = г • 1 7 7 ( 0 ? lj, j = 1,k, J = \ ~ I, Ь — n x n единичная матрица.

-E 0 J

Теорема. В окрестности U тора Л замена переменных (11) является канонической и приводит гамильтониан (9) к нормальной форме Н = Ho(I, z, V) + Hi (<Л /, <£, V), где Но = ul + fa, МО, Нх = 0(\1\2 + + '/I3)

Очевидно, что решение второго уравнения из (10) является асимптотически неустойчивым. Поэтому наш тор является гиперболическим и но "направлениям вырождения" мы имеем не классические переменные типа гармонического осциллятора (£,£), а гиперболические (£,ri). Поэтому при "квантовании" операторы рождения-уничтожения а = 1(йк+ъ • • • > «п), а+ = j,., а£) имеют вид: а^ = у/е—, I = к+ 1,.,п, (12) dyi

В результате подстановки Ij —> d/dtpj, —> (а, й+) в Но, мы получаем оператор Но = ]CjLi + + 12j=k+i flr Показано, что набор чисел А„ = iW(1) + E?=it+i/ii(I/f) + 1). и Функций u„ = е^(а+у(2)ф0(у), где фо(у) = схр(— (у, у) /2е) (основное состояние), и = (и^,^), = (ui,. ,Uk), и^ = (yk+\, • • • i wn) ~ мультииндексы, дает набор собственных значений и функций спектральной задачи Н0ии — A„u„.

Теперь выразим переменные у через х. Рассмотрим каноническое преобразование у = (tQQ)-1(<Q)(x — ^'(v)) = £ + Р = lQP = Vi (р = ср, I = I. Тогда фаза s(y) = (у, у)/2 переходит в S(x) = CQ(x - X(<p))t RmiQ(x - X(<p)))) /2+0((x-X(<p)y)\v=vix), где R{<p) = СQQ) 4Z°) 4'QQ) 1 — (n — k) x (n — k) матричная функция на торе A.

После подстановки выражении для у в формулы для (а,а+) и для uv, формулы для операторов а = '(ofc+i,., ап) и а+ = . ,я+), принимают вид а = - X(ip))/y/e + y/£{Z°{tQ))d/dx, а+ — y/e(lQ)d/dx, а для собственной функции : и„(х) = е^(а+утфо{х%=^х), где ф0(х) = v^et R(<p) c~sW%=ip(x).

Следующее утверждение устанавливает связь между нормальной формой Hq и асимптотическими собственными значениями и функциями оператора L.

Теорема. Полученный набор значений (Хи, uv) в окрестности U(A) тора А удовлетворяет (4).

Замечание. Набор (\и,ии) обобщает формулы, полученные в Ц0]. В неприводимом случае формулы для (Хо,щ) с незначительными изменениями по-прежнему будут справедливы, а для построения возбуэюден-ных состояний необходимо применить результаты, приведенные в Главе 1.

Ц = —= + \fe у/ё

Нормальные формы в окрестности двумерных резонансных торов для многомерного ангармонического осциллятора

Как правило в работах, посвященных проблемам квантования инвариантных изотропных торов, рассматривают торы с несоизмеримыми частотами, то есть в отсутствие резонансов. Это обусловлено тем, что нерезонансный случай — это случай общего положения и получаемые формулы применимы, как правило, для всех нерезонанспых задач. В свою очередь, резонансные случаи являются гораздо менее изученными: ре-зонансы бывают разных типов и для каждого из них существуют свои специфические подходы при решении конкретных задач (см., например [15, 16, 17, GO, G2]). Тем не менее, резонансные задачи часто встречаются во многих реальных физических приложениях и вполне естественной представляется идея рассмотреть наиболее простой пример, дающий, однако, качественное представление о свойствах и поведении решений в резонансных случаях.

В Главе 3 описан алгоритм построения такой нормальной формы четвертого порядка в окрестности резонансных двумерных торов для классических неинтегрируемых гамильтоновых систем, соответствующих квантовым задачам, которая позволяет находить "классическую" часть расщепления спектра (вырождение которого обусловлено наличием резонансов). В качестве модельного примера мы рассмотрим квантовый (п + 2)-мерный ангармонический осциллятор. Положим, что его классический гамильтониан имеет вид: н = Р^+оад + Pi+uioi +1 (Г) r(Qb Qi)r) 5 r = t{q p) € Rjt

13) где Г — 2п х 2п матрица с элементами, гладко зависящими от Q\, Q2- (,) означает скалярное произведение, а левый верхний индекс 1 — транспонирование. Частоты (ui,uj2) являются постоянными и соизмеримыми.

Соответствующая (13) гамильтонова система, как правило, является неиитегрируемой, однако допускает инвариантное многообразие, задаваемое условием г = 0. Динамика на этом многообразии задается гамильтонианом двумерного гармонического осциллятора и хорошо изучена

Г? + Pj + ulQl Hose =-2--1--2-'

Для гармонического осциллятора вводятся переменные действие-угол (<^1, <р2, hi h)- В случае соизмеримых частот и и2 : u>i/и>2 = тп\/т2, mi, Шг G Z все траектории двумерного гармонического осциллятора (14) являются замкнутыми кривыми — хорошо известными фигурами Лис-сажу, а в подходящих переменных действие-угол гамильтониан Hosc зависит только от одной переменной — действия (считаем, что от 1\) : Hose = Uq = ш\/т\ = U2/m2, а переменные if2, h будут играть роль параметров, задающих конкретную траекторию.

В резонансном случае фазовое пространство полной системы может быть расслоено на двумерные торы, которые остаются инвариантными относительно фазового потока д1и, порожденного гамильтонианом (13) полной системы. В резонансном случае выбор таких торов не однозначен, так как инвариантные многообразия, движение на которых задается гамильтонианом Hosc, являются не двумерными торами, а неким набором одномерных замкнутых траекторий, задаваемых значениями Это значит, что можно получать различные двумерные торы, задавая при фиксированном значении 1\ = различные способы "склейки" наборов таких траекторий.

Для задания тора в Главе 3 применяется один из возможных способов — построение функции F в Мдр, находящейся в инволюции с гамильтонианом Нояс. В переменных (<р, I) такая функция, очевидно, не зависит от ipi и тогда соответствующие двумерные торы задаются равенствами F(<f2, h) = const, I\ — /j = const, при условии, что последние равенства задают компактные множества. Указанная функция F может зависеть и от других параметров. На построенных торах можно ввести новые переменные действие-угол (т/'ь В этих переменных функция F будет зависеть только от (Т\,Х2)

Основной результат данной Главы состоит в том, что для резонансного случая приводится алгоритм построения функции в инволюции F, с помощью которой задается инвариантный тор, в окрестности которого каноническая замена переменных (Q,P,q,p) —* (ф,0,2,р), задаваемая комбинацией явных формул, приводит гамильтониан (13) к следующей нормальной форме

Н = и0Тг + <*М + от - IT + и5/2)), i=1 где И = \Jp\ + ---Р1, а = (аи ., ап), at = pi/\p\.

Замечание. Приведенная форма имеет неполииомиальпую зависимость от переменных типа действия pj, j = 1 .п, что является нетрадиционным фактом для теории нормальных форм.

Кроме этого, на основе полученных формул была разработана программа для численного построения резонансного двумерного инвариантного тора и вычисления коэффициентов нормальной формы. На приведенных в конце Главы 3 рисунках представлены проекции этих торов на конфигурационное пространство двумерного гармонического осциллятора.

Об усреднении для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой и малыми амплитудами.

Нормальные формы, примененные в спектральной задаче для операторов с малой диффузией (Глава 2) и для многомерного ангармонического осциллятора (Глава 3), построены на основе разложения исходного гамильтониана в окрестности инвариантных торов по малым отклонениям переменных типа действия. Однако, в квантовых задачах могут возникать случаи, требующие построения нормальных форм на основе разложения но фиксированному малому параметру.

В работе [29] изучается асимптотика нижней части спектра для двумерного магнитного оператора Шредингера с периодическим потенциалом в сильном однородном магнитном иоле: s (s +l2)2+5 {-*"£;)*+ev{x'-x>)) где функции v предполагается вещественно-аналитической в R2 и периодической на двумерной решетке. Соответствующий классический гамильтониан имеет вид :

Н(х,р,е) = ^(pi+x2)2+ ^PI + £V(xuX2).

В силу приведенных в работе [29] соображений, возникла необходимость построения канонической замены неременных (х,р) —> (Q,yi,P, 1J2), с помощью которой гамильтониан Я приводится к нормальной форме

H = H(Il,y1,y2,e) + c-c'eg(Q,P,yuy2te)t h = Я1±£1, (15)

Традиционная процедура Нсйштадта усреднения систем с одной быстрой фазой [87] из-за неаналитичности в нуле Н в данном случае применима только в области 1\ > /0 > 0. В тоже время, именно случай 1\ —> 0 представляет особый интерес при решении исходной квантовой задачи: ему соответствуют так называемые нижние зоны Ландау.

В Главе 4 приведена модификация процедуры усреднения Нейштад-та для малых амплитуд, обеспечивающая равномерный переход 7г —>• О и дающая аналогичную невязку 0(ехр(—С/е)). Основная трудность состояла в построении «аналитического решения уравнения типа

9/ д/ <9/ , .

1G) допускающего оценки в некоторой норме.

Справедлива следующая теорема об интегрировании по углу аналитической функции на плоскости.

Теорема. Пусть д(х, у) — аналитическая функция по обеим переменным па плоскости R2, (р, ф) — полярные координаты : х = pcostp, у = psin<£. Тогда уравнение (16) имеет решение f{x,y), аналитическое по всем переменным тогда и только тогда, когда среднее значение функции g по переменной ip равно нулю : g (р cos <р,р sine/?) dtp = 0, и каждое такое решение имеет вид v v \

J g(pcosф, рsinф), (1ф + J g(pcosф,рsin ф),(1ф J + F{p2),

17) где F — произвольная аналитическая функция.

Именно формула (17) обеспечивает возможность построения приведенной в Главе 4 цепочки индуктивных оценок, аналогичных оценкам Нейштадта, которые и дают требуемую невязку mod 0{с\ ехр(—с-^/е)) для процедуры усреднения в области 0 < 1\ < /о

Доклады и публикации

Основные результаты работы докладывались на семинаре профессора Альбеверио в Институте прикладной математики Боннского Университета в 2000, 2001 годах, па Международных Семинарах "Дни Диффрак-ции" в 2001, 2002 и 2003 годах, на Международном Семинаре "Spectral problems for Schroedinger-type operators" в Триесте (Италия) в 2003 году, а также отражены в 4 публикациях: [1, 2, 3, 4].

Благодарности

Результаты, описанные в Главах 2 и 3, были получены в рамках проекта INTAS 00-257.

Результаты, описанные в Главе 1, были получены в рамках проекта DFG-RAS 436 RUS113/572 совместно с профессором С. Альбеверио из Института прикладной математики Боннского Университета (Германия).

Результаты, описанные в Главе 4, были получены в рамках проекта DFG-RAS 436 RUS113/572 совместно с профессором И. Брюнингом из Гумбольдтовского Университета (Берлин, Германия).

Автор диссертации выражает им свою благодарность.

В ходе работы над диссертацией автор имел чрезвычайно полезные дискуссии с В.А. Гейлером, К.В. Панкрашкиным, А.И. Нейштадтом, J1.B. Богачевым и А.И. Шафаревичем, которым автор также выражает свою признательность.

Особую благодарность автор хочет выразить своему научному руководителю и наставнику Сергею Юрьевичу Доброхотову за неоценимую помощь и поддержку в научной работе.

1. Albeverio, S.; Dobrokhotov, S.Yu.; Poteryakhin, M.A. On quasimodes of small diffusion operators, corresponding to stable invariant tori with nonregular neighborhoods; SFB 611 (no. 51), Universitat Bonn: Bonn, 2003.

2. Брюнинг, И.; Доброхотов, С.Ю.; Потеряхин, М.А. Об усреднении для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой и малыми амплитудами. Матсм. Зам., 2001, 70 (5), 660-669.

3. Брюнинг, II.; Доброхотов, С.Ю.; Потеряхин, М.А. Интегральная формула для аналитического решения уравнения yfx — xfy = д(х,у). Матсм. Зам., 2002, 72(4), 633-635.

4. Pankrashkin, K.V.; Poteryakhin, М.А. Short-wavelength asyinptotics for the low Landau zones of the two-dimensional magnetic Schrodinger operator, Proceedings of DD'2001, 202-210.

5. Albeverio, S.; Blanchard, Ph.; H0cgh-Krohn, R. Feyninan integrals and the trace formula for Schrodinger operators. Commun. Math. Phys. 1982, 83, 49-76.

6. Arnold, V.I. Modes and Quasimodes. Functional Anal. Appl. 1972, 6 (2), 94-101.

7. Арнольд, В. Л.; Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике; Успехи Мат. Наук 1963, 18 (6), 91-192.

8. Арнольд, В. А. Математические методы классической механики, §52; Наука: Москва, 1974.

9. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений; Наука: Москва; 1978.

10. Арнольд, В.И.; Гивенталь, А.Б. Симплектическая геометрия, Ижевск: РХД, 2000.

11. Бабич, В.М. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической, Зап. научных семинаров ЛОМИ 9, Ленинград, 1968.

12. Бабич, В.М.; Булдырсв, B.C. Асимптотические методы в задачах дгифракции коротких волн; Наука: Москва, 1972.

13. Белов В.В.; Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Ма-слова с комплексными фазами; Теорет. и мат. физика; 1992, 92 (2), 215-254.

14. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложение к спектральным задачам, Докл. АН СССР, 1988, 298 (5), 10371012.

15. Белов В.В., Доброхотов О.С., Доброхотов С.Ю., Изотропные торы, комплексный росток и индекс Маслова, нормальные формы и квазимоды в многомерных спектральных задачах, Матем. заметки, 2001, 69 (4), 483-514.

16. Белов В.В., Доброхотов С.Ю., Максимов В.А., Явные формулы для обобщенных переменных действие-угол в окрестности изотропного тора и их применение, Теор. и матем. физика, 2003, 135 (3), 378-408.

17. Белоколос, Е. Д. Квантовая частица в одномерной деформированной решетке, Теор. мат. физика, I: 1975, 25(3), 314-357; II: 1976, 26(1), 35-41.

18. Березин, Ф.А.; Шубин, М.А. Уравнение Шредингера, МГУ: Москва, 1983.

19. Berry, M. V. Semiclassical mechanics of regular and irregular motion, Chaotic behavior of deterministic systems, Les Ilouches, Session 36, 1981; North-Holland Publishing Co. 1983; 171 271.

20. Боголюбов, H. H.; Митропольский, Ю. А.; Асимптотические методы в теории колебаний. Наука: Москва, 1974.

21. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике; Наукова Думка: Киев, 1969.

22. Болсинов, А.В; Фоменко, А.Т. Введение в топологию интегрируемых гамилътоповых систем. ; Наука: Москва; 1997.

23. Borovkov, A.A. Boundary-value problems for random walks and large deviations in functional spaces. Theory Probab.Appl. 1967, 12 (4), 635654.

24. Boutet de Monvel-Berthier, A.M.; Dobrokhotov, S.Yu. Random Perturbations of Invariant Lagrangian Tori of Hamiltonian Vector Fields, Math. Notes 1988, 64 (5), 674-679.

25. Broer H.W., Huitema G.B., Sevryuk M.B., Quasi-Periodic Motions in Families of Dynamical Systems (Lecture Note in Mathematics 1646), Springer: Berlin, 1996.

26. Брюнинг, Й.; Доброхотов, С.Ю.; Глобальное квазиклассическое описание спектра двумерного магнитного оператора Шредипгера с периодическим электрическим и сильным магнитным нолями. Доклады РАН 2001, 4.

27. Briining,J.; Dobrokhotov, S.Yu. ; Pankrashkin, K.V.; The Spectral Asymptotics of the Two-Dimensional Schrodinger Operator with a Strong Magnetic Field. Russian Journal of Mathematical Physics, 2002, I: 9 (1), 14-49; II: 9(4), 400-416;

28. Брюшшг, И.; Доброхотов, С.Ю.; Панкрашкин, К.В.; Асимптотика нижних зон Ландау в сильном магнитном поле. ТМФ, 2002, 131 (2), 304-331.

29. Брюно А.Д., Ограниченная задача трех тел : плоские периодические орбиты; Наука: Москва; 1990.

30. Вайиберг Б.Р. Асимптотические методы в задачах математической физики; МГУ: Москва; 1982.

31. Varadhan, S.R.S. Asymptotic probabilities and differential equations. Comm. Pure App. Math. 1966, 19 (261).

32. Wcntzel, A.D.; Freidlin, M.I. Random Perturbations of Dynamical Systems-, Springer-Verlag: New York—Berlin, 1984;

33. Vorobyev, Yu.M. Maslov complex germs created by linear connectivity. Math. Notes 1990, 48 (4), 29-37.

34. Воробьев, 10. M., Доброхотов, С. Ю. Квазиклассические асимптотики для дискретных моделей электрои-фононного взаимодействия; Теор. и мат. физика, 1983, 57(1), 63-74.

35. Воробьев, Ю.М., Доброхотов, С. Ю., Маслов, В. П. Квазикласси-ческос приближение для моделей спин-спинового взаимодействия на одномерной решетке; Записки научных семинаров ЛОМИ, 1984, 133, 63-76.

36. Voros, A. The WKB-Maslov method for inseparable systems. Ann. Inst. II. Poincarc 1977, 38 (1).

37. Gelfreich, V.; Lerman, L.; Almost invariant elliptic manifolds in a singularly perturbed Hainiltonian system. Mathematical Physics Preprint Archive, 2001, 01-134.

38. Gutzwiller, M. C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics; Springcr-Verlag: New York; 1992.

39. Davis, I.; Truman A. Laplace expansions on conditional Wiener integrals and applications to quantum physics. Stochastic processes in quantum theory and statistical physics; Lee. Notes in Physics; Springer: Berlin-New York; 1998; 194, 40-55.

40. Джакалья, Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем1.; Наука: Москва, 1979.

41. Johnson, R., Mozer, J. The rotation number for almost periodic potentials; Coinmun. Math. Phys, 1982, 84, 403-438.

42. Johnson, R.A.; Sell, G.R. Smoothness of spectral subbundles and reducibility of quasiperiodic linear differential systems. J. DifT. Eq. 1981, 41, 262-288.

43. Дииабург E.H., Сипай Я.Г. Об одномерном уравнении Шрсдингера с квазикомплексиым потенциалом; Функциональный анализ и его приложения, 1975, 9(4), 8-21.

44. Dobrokhotov, S.Yn.; Kolokoltsov, V.N.; Maslov, V.P. Quantization of the Bellman equation, exponential asymptotics and tunneling. Advances in the Soviet Math. 1992, 13, 1-46.

45. Dobrokhotov, S.Yu.; Kolokoltsov, V.N.; Olive, V. Martinez; Quasiinodes of the diffusion operator — еД+г;(:г)- V, corresponding to asymptotically stable limit cycles of the field v(x). Sobretiro de Sociedad Matematica Mexicana 1994, 11, 81-89.

46. Dobrokhotov, S.Yu.; Kolokoltsov, V.N.; Olive, V. Martinez; Asymptotically stable invariant tori of the vector field V(x) and quasimodes of the diffusion operator. Math.Notes 1995, 58 (2), 880-884.

47. Доброхотов, С. IO., Маслов, В. П. Некоторые приложения теории комплексного ростка к уравнениям с малым параметром, Совр. пробл. математики, ВИНИТИ: Москва, 1975; 5, 141-207.

48. Доброхотов, С. Ю., Маслов, В. П. Многомерные ряды Дирихле в многомерной задаче об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов, Совр. пробл. математики, ВИНИТИ: Москва; 1983; 23, 137-220.

49. Dobrokhotov, S.Yu.; Olive, V. Martinez; Localized asymptotic solutions of the magneto dynamo equation in ABC-fields. Math.Notes 1993, 54 (4), 1010-1025.

50. Доброхотов, С.Ю.; Оливэ, B.M. Замкнутые траектории и двумерные торы в квантовой проблеме для трехмерного ангармонического осциллятора; Труды Моск. Мат. Общества, 1997, 51, 3-87.

51. Jlepe, Ж. Лагранэюев анализ и квантовая механика; Мир: Москва, 1981.

52. Маслов, В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях; Наука: Москва, 1977.

53. Маслов, В.П. Асимптотические методы и теория возмущений; Наука: Москва, 1988.

54. Маслов, В. П. Операторные методы; Наука: Москва, 1973.

55. Маслов, В.П. Теория возмущений и асимптотические методы; МГУ: Москва, 1965.

56. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодиффсрен-цгшльных уравнений , Наука: Москва, 1987.

57. Маслов, В. П., Федорюк, М. В. Квазиклассическое приблиэ/сение для уравнений квантовой механики, Наука: Москва; 1976.

58. Molchanov, A.S. Diffusion processes and Riemann geometry. Russian Math. Surveys 1975, 30 (1), 1-63.

59. Неиштадт, А. П.; О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. Прикл. Мат. и Мех. 1984, 48 (2), 197 -205.

60. Нехорошей, Н. Н. Переменные действия угол и их обобщение; Труды ММО, 1972, 26, 181-198.

61. Piatnitski, A.L. Asymptotic Behavior of the Ground State of Singularly Perturbed Elliptic Equations. Coinmun. Math. Phys. 1998, 197 (3), 527-551.

62. Ralston, J.V. On the construction of quasiinodes associated with stable periodic orbits. Commun. Math. Phys. 1976, 51, 219-242.

63. Fink, A.M. Almost Periodic Differential Equations; Lecture Notes in Mathematics; Springer-Verlag: Berlin, 1974; Vol. 377.

64. Фоменко, А. Т. Симплектическая геометрия, МГУ: Москва, 1988.

65. Khasminsky, R.Z. Ergodic Properties of Recurrent Diffusion Processes and Stabilization of the Solution to the Cauchy Problem For Parabolic Equations. Theory Probab. Appl. 1960, 5 (2), 196-214.

66. Helffer, В.; Sjostrand, J. Multiple Wells in the Semiclassical Limit. Coinmun. Partial. Diff. Equat. 1984, 9, 337-408.

67. Jorba A., Llave R. de la and Zou M., Linstedt series for lower dimensional tori of hamiltonian systems with three or more degrees of freedom (NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C, Math. Phys. Sci. S Agaro, Spain, June 1995) ed. C. Simo

68. Якубович B.A-, Старжинский B.M., Линейные дифферепциалгтые уравнения с периодическими коэффициентами, Наука: Москва, 1972.