Некоторые свойства квантовых периодических систем в магнитном поле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

Часть 1. Асимптотика спектра двумерного оператора Шредингера с периодическим потенциалом и сильным однородным магнитным полем

Глава 1. Классическая заряженная частица в однородном магнитном поле

1.1. Некоторые понятия классической механики

1.2. Методы осреднения

1.3. Инвариантные многообразия осредненного гамильтониана

1.4. Примеры

Глава 2. Сведения из теории канонического оператора

2.1. Принцип соответствия

2.2. Метод вещественного канонического оператора

2.3. Метод осцилляторного приближения

2.4. Квазимоды, соответствующие инвариантным замкнутым кривым

Глава 3. Квазиклассические спектральные серии для магнитного оператора

Шредингера

3.1. Спектральные серии, отвечающие точкам покоя

3.2. Спектральные серии, отвечающие замкнутым кривым. Левая граница (нижние уровни)

3.3. Спектральные серии, отвечающие замкнутым кривым. Внешние границы

3.4. Спектральные серии, отвечающие инвариантным торам

3.5. Спектральные серии, отвечающие инвариантным цилиндрам

3.6. Спектральные серии, отвечающие незамкнутым кривым

3.7. Высшие приближения

3.8. Общая структура спектра

3.9. Уравнения типа Харпера

Глава 4. Асимптотика зонного спектра

4.1. Магнитно-блоховские условия

4.2. Магнитно-блоховские квазимоды в режимах финитного движения

4.3. Магнитно-блоховские квазимоды в режимах инфинитного движения

4.4. Разделение зон

Часть 2. Локальные магнитные операторы Шредингера с периодическими точечными возмущениями

Глава 5. Локальность в смысле квадратичных форм для периодических точечных взаимодействий

5.1. Предварительные сведения

5.2. Построение квадратичной формы для точечного возмущения

5.3. Доказательство локальности квадратичной формы

5.4. Связь с граничными условиями

В настоящей работе исследуются некоторые свойства операторов Шредингера с периодическим магнитным и электрическим полем. Такие операторы имеют вид ол) где А — векторный потенциал магнитного поля, V — потенциал электрического поля, a h, т, е и с — известные физические константы. Периодичность магнитного и электрического поля означает, что форма В = d(A\dx) и потенциал У периодичны относительно некоторой решетки Г. В двумерной ситуации форму В удобно отождествлять с функцией В{х) = diA2 — д2А\, а в трехмерной — с вектор-функцией В(х) = V х А(х).

Интерес к операторам такого вида неуклонно растет в последние годы. Этот интерес связан прежде всего с тем, что операторы подобного вида являются квантовыми гамильтонианами зараженной частицы в различного рода периодических квантовых системах, например, в кристаллах, периодических массивах квантовых точек и антиточек [3], и исследование спектральных свойств таких операторов связано с теоретическим объяснением ряда важных эффектов, в частности, квантового эффект Холла, эффектов Шубникова-де Гааза, и де Гааза-ван Алфвена, осцилляций Ааронова-Бома. Структура спектра оператора Я достаточно сложна и до сих пор полностью не исследована. Известно, что спектральные свойства оператора Н существенно зависят от чисел

1 6 В ^ 27Г he г„ где Ти — двумерные грани элементарной ячейки решетки Г.

В случае, когда все числа rjv (имеющие смысл квантов потока магнитного поля через грани элементарной ячейки решетки периодов) равны нулю (это означает, что функцию А можно выбрать также периодичной относительно той же решетки Г), исследование спектра оператора Н может быть проведено с помощью стандартной блоховской теории, поскольку оператор Н коммутирует с операторами сдвигов вдоль векторов решетки. Как известно, при некоторых требованиях регулярности А и V спектр в данном случае имеет зонную структуру и абсолютно непрерывен [14,85,86].

Если 7/„ Ф 0, то оператор уже не коммутирует с операторами сдвигов, но коммутирует с магнитными трансляциями вдоль векторов решетки [93,94]. Структура группы магнитных трансляций достаточно сложна и существенно зависит от арифметических свойств чисел rju [12,81]. Если все числа r}v целые, то группа магнитных трансляций коммутативна, и потому к исследованию оператора Я опять применима блоховская теория; спектр в таком случае также имеет зонную структуру, причем сингулярная составляющая спектра отсутствует, однако спектр может содержать собственные значения [46]. Если все числа г}и рациональны, то укрупнением элементарной ячейки задача сводится к случаю целого потока. Если среди чисел r)v есть иррациональные, то некоторую информацию о спектре можно получить с использованием некоммутативной блоховской теории, однако общая структура спектра для этого случая неясна. Теоретическое изучение спектра в зависимости от магнитного поля дает фрактальную картину [75]; такая картина используется для объяснения ряда эффектов в недавних физических работах [67,69,77,88,90]. Строгое обоснование наличия фрактальных участков в спектре получено в [1,72-74].

Поскольку получение явных формул для спектральных характеристик в сколько-нибудь общей ситуации представляется практически невозможной, особое значение получают асимптотические методы и методы теории возмущений, которые применимы, как правило, в ситуации сильных или слабых полей.

Рассмотрим двумерную ситуацию и однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости, т.е. А(Х) = (—ВХ2,0). Удобно считать, что один из базисных векторов решетки направлен вдоль оси Обозначим его длину через L. Вводя безразмерные координаты х = 2-irX/L и величины где

W = max У, и>с — (циклотронная частота), lM = \ —— (магнитная длина), cm V тшс

0.2) запишем оператор Н в виде й (еВЬ0)2 ~ . 1 ev(xi,x2), (0.3) так что функция v периодична относительно сдвигов на векторы а1 = (27г,0) и а2 = (а21, а22). При е = 0 спектр оператора Hh,e состоит из бесконечно вырожденных собственных чисел (уровней Ландау [35])

Л) = /JGZ, ,0 0.

Появление потенциала v приводит к «размыванию» этих чисел в некоторые множества, называемые зонами Ландау. В случае, когда параметр h фиксирован, а е достаточно мало, для исследования спектра применима теория возмущений первого порядка [37]. Возможна также ситуация, когда векторы базиса решетки периодов пропорциональны 1/h, тогда в случае малого h можно применять так называемое приближение Бора-Оппенгеймера [48]. В настоящей работе мы будем изучать спектральную задачу в предположениях малости параметров hue. Малость h дает возможность применения к решению данной задачи методов квазиклассического приближения [38]. Согласно идеям квазиклассического приближения, асимптотические свойства оператора Hh,e могут описаны в терминах классического движения, описываемого соответствующим классическим гамильтонианом, который в данном случае имеет вид

Н{р, = \ ev(xi,x2).

Pi+22)2+P2

Более точно, в рамках метода канонического оператора можно описать асимптотику спектра ЯЛ)£ зная инвариантные многообразия Н. Однако в применении данного метода к рассматриваемой задаче возникают трудности, связанные с неинтегрируемостью гамильтониана Н. Эти трудности, однако, преодолеваются с использованием малости е, которая позволяет применить методы осреднения и приближенно свести задачу к задаче с интегрируемым гамильтонианом. Гамильтонова система для осред-ненного гамильтониана сводится к одномерной гамильтоновой системе на торе, и для классификации траекторий удобно использовать методы топологической классификации гамильтоновых систем [17]. Возвращаясь в исходные переменные, получаем «почти-инвариантные» многообразия для Я, пригодные для построения квазиклассических спектральных серий. Строгому описанию данной процедуры посвящена первая часть диссертации.

Отдельный интерес представляют также операторы вида (0.1) в случае, когда возмущение V сосредоточено на некотором периодическом дискретном множестве. Операторы такого вида широко используются, в частности, для построения решаемых моделей наноструктур различного типа [2,28]. Корректное определение оператора Я в этом случае дается средствами теории самосопряженных расширений [2,25,50]. Однако в данной ситуации возникает ряд проблем. Дело в том, что возникающее при таком подходе семейство операторов достаточно обширно, и включает в себя операторы с рядом экзотических свойств. В частности, даже в случае, когда Н — —А, существуют его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса, приводящие к фрактальной структуре спектра [58]. Поскольку точечные возмущения обычно используются для приближения операторов с регулярными потенциалами, существенно сосредоточенными вблизи некоторого множества изолированных точек, а операторы с регулярными потенциалами в данной ситуации имеют зонный спектр, возникает задача о выделении из всего множества точечных возмущений тех, которые сохраняли бы желаемые свойства. В диссертации предлагается такая классификация на основе свойства локальности квадратичной формы. Одним из обычных условий, которому подчиняется оператор Шредингера, является условие локальности (напомним, что оператор В, действующий в пространстве L2(X,diJ,), называется локальным, если для любой функции / из его области определения выполнено включение supp Bf С supp /). Однако такое понятие оказывается малосодержательным по отношению к точечным возмущениям, поскольку все точечные возмущения локального оператора также локальны, даже те из них, которые отвечают нелокальным граничным условиям. В связи с этим более полезным оказывается понятие локальности в смысле квадратичных форм. Более точно, квадратичная форма q в некотором пространстве L2(X,dp) называется локальной, если для любых функций / и д из ее области определения, таких что supp/Г) supp д = 0, выполнено равенство q(f,g) = О (это понятие впервые введено в [57]). Оператор называется локальным в смысле форм (или форм-локальным), если он имеет локальную квадратичную форму. В [68] было замечено, что упомянутой выше ситуации с наличием фрактального спектра в случае рационального потока можно избежать, ограничившись лишь рассмотрением форм-локальных точечных возмущений. Заметим, что в некоторых ситуациях класс форм-локальных точечных взаимодействий совпадает с классом точечных возмущений, представимым в виде предела операторов с регулярными потенциалами. Во второй части диссертации доказывается критерий локальности квадратичной формы для точечных возмущений.

Опишем кратко содержание и структуру работы. В первой части (главы 1-4) изучается асимптотическое поведение спектра оператора (0.1) в случае сильного магнитного поля. Исследование проводится методами классического осреднения и методами квазиклассического приближения. В главе 1 обсуждаются изучается классический аналог рассматриваемой задачи. В разделе 1.1 напоминаются используемые в диссертации понятия и факты классической механики. В разделе 1.2 проводится осреднение классического гамильтониана. В случае, когда е = 0, гамильтонова система для Н интегрируема, и ее траектории на плоскости (xi,x2) представляют собой циклотронные орбиты. Обозначим координаты их центров через (у^уг), тогда положение точки удобно задавать радиусом орбиты у^Л и углом cpi, либо отвечающим

Рис.

0.1. Циклотронные Рис 0 2. Бегущий центр орбиты им прямоугольным координатам (P,Q,) (рис. 0.1), т. е.

Р1 = -У2, P2 = -Q, xi = Q + yi, Х2 = Р + У2, Р =y/2hcosipx, Q = \/2I\sm tpi, при этом гамильтониан Н принимает вид

Н = 1г -f £v(\/2lism <pi + уъ cos <pi + г/2).

При малых (но ненулевых) е центры этих орбит начинают дрейфовать. Идея осреднения состоит в разделении «быстрого» циклотронного движения, описываемого переменными P,Q и «медленного» движения центра, описываемого координатами у\,у2 (рис. 0.2).

Теорема 1.13. Пусть v аналитична в некоторой комплексной 8-окрестности Е2 С С2. Для любого к > О найдется £о(к) > 0 такое что при 0 < е < е0 существует каноническое преобразование вида

P = ? + eU1 (?, Q, Уь У2, е), Q = Q + eU2(?, Q, Vi, Уъ e),

Уг = Уг + £W1 (?, Q, Уи у2,е), у2 = У2 + eW2(V, Q,Уг,У2,e), такое что

H(P, Q, yuy2, s) = ВД, Уь у2> e) + е~с'е3{?, Q, Уи У2,e).

Здесь a^C^ + Q2),

С — некоторое положительное число, не зависящее от е, U\i2, Wli2 и S — вещественно-аналитические функции "Р, Q и ylj2; "К — вещественно-аналитическая функция ?! и Уг>2; |9| + |VyS| ^ G для некоторого числа G, не а) б) (в) (а) (б) (в)

Рис. 0.3. Примеры построения графа Риба: (а) линии уровня функции на плоскости; (б) реализация функции в виде функции высоты деформированного тора: (1) стягиваемые траектории, (2) нестягиваемые траектории, (3) сепаратрисы; (в) соответствующий граф Риба зависящего от е. Все функции-, "К, S, и Wli2, периодичны по у1>2 с решеткой периодов (а1, а2). Гамильтониан % может быть оценен как

КМиМ = Н(ЗиУ1,Ъ,е) + 0(е2), Н = ^ + sV(3u Уг, У2) где

2тг v{^/23~lSmp + Уи v^cos^ + У2) dip = Ъ), и Jo — функция Бесселя нулевого порядка. В разделе 1.3 изучается гамильтонова система для осредненного гамильтониана и классифицируются его инвариантные многообразия. Гамильтонова система для "К принимает вид

Ji = const ^ О, У\ = д'К

У2 = дК дУ2' дУг

Последние два уравнения в этой системе представляют собой одномерную га-мильтонову систему, зависящую от Jj как от параметра. В частности, каждая траектория такой системы лежит на некотором множестве уровня функции К. Для наглядного описания пространства траекторий удобно использовать понятие графа Риба. Для этого рассмотрим функцию К при каждом фиксированном как функцию на торе К2/(а1,а2). Определим отношение эквивалентности 6(!Ji) на торе следующим условием: (х,у) 6 Q(?i) [жиг/ лежат в связной компоненте линии уровня К]. Граф Риба G("Ji) определяется теперь как фактор-пространство T2/6(3i). Построение графа становится более наглядным, если реализовать функцию К как функцию высоты деформированного тора, см. рис. 0.3.

Поскольку К аналитична, эта гамильтонова система для К на торе может иметь лишь следующие типы траекторий: (а) гладкие кривые, гомотопные точке, (б) гладкие кривые, негомотопные точке, (в) критические точки гамильтониана и (г) сепаратрисы (см. предложение 1.14).

Каждая траектория У на торе покрывается семейством траекторий "9 на плоскости. Более подробно, каждой критической точке на торе отвечает периодическое семейство критических точек на плоскости, сепаратрисы на торе отвечают семействам сепаратрис на плоскости, стягиваемые траектории на торе соответствуют замкнутым траекториям на плоскости, нестягиваемые траектории на торе соответствуют незамкнутым траекториям на плоскости.

Соответственно, для каждой несепаратрисной траектории на плоскости найдется двумерный вектор d = (di,d2) £ со взаимно простыми компонентами такой, что

У(£ + Т) = У(*) + da, d ■ а := dia1 + d2a2, где T — период соответствующей траектории на торе. Этот вектор называется вектором дрейфа классического движения. Отношение dx : d2 есть не что иное как число вращения траектории на торе. Заметим, что каждому значению ^ могут отвечать самое большее два ненулевых вектора дрейфа, имеющих противоположное направление. Понятно, что d ф 0 лишь для незамкнутых траекторий на плоскости, причем вектор дрейфа неизменен для траекторий, отвечающих одному и тому же ребру графа Риба.

Точки графа Риба удобно параметризовать переменной действия 32, определяемой следующим образом. Пусть У — некоторая траектория на торе, отличная от седловой точки и сепаратрисы, имеющая период Г, и пусть У — некоторая отвечающая ей траектория на плоскости. Положим т+Т

2тг

Mr)dMr) - ^У2(т)(сг • a)i - ~(d ■ a)i(d • a)2.

7Г 47Г

Заметим, что введенное определение отличается от обычного определения переменной действия, но будет удобно в последующем применении к построению квазиклассической спектральной асимптотики.

Легко видеть, что на каждом ребре J2 непрерывно и монотонно зависит от энергии соответствующей траектории. Обращая полученную монотонную зависимость 32 от "К, получаем, что на каждом ребре графа Риба гамильтониан Л зависит только от h

Теперь можно перейти к классификации инвариантных многообразий осреднен-ного гамильтониана Л. Для проведения такой классификации удобно представить граф Риба <2(Ji) погруженным в трехмерное пространство. При пробегании свой области определения изменяющийся граф заметает некоторую поверхность (поверхность Риба), так что сечение этой поверхности плоскостью Ji = const дает в точности соответствующий граф Риба. Полученная поверхность имеет довольно сложную

Критические точки

Рис. 0.4. Пример поверхности Риба структуру. Непрерывно изменяющиеся ребра графов Риба заметают некоторые плоские поверхности, которые мы будем называть листами Риба или режимами классического движения. Границами листов Риба являются линии образованные точками ветвления и концевыми точками графов Риба. Удобно различать режимы финитного движения (т.е. образованные ребрами, отвечающими стягиваемым траекториям на торе) и режимы инфинитного движения (отвечающие нестягиваемым траекториям на торе).

Проиллюстрируем построение поверхности Риба на примере потенциала v(xi,x2) = Acosxi + Вcosf3x2, А, В, /? > 0, /3 Ф 1. Ограничимся сначала построением осредненного гамильтониана Н (см. теорему 1.13), тогда

НМъУъе) = 3i+e(Alo(V^i) cos^ + BWy/Щ cos/3^.)

Поверхность Риба для данного примера приведена на рис. 0.4. Вычисление осредненного гамильтониана с более высокой степенью точности может привести к появлению новых режимов размера 0(е2) вблизи точек ветвления графов Риба.

Такая реализация графов Риба дает наглядное представление о классическом движении, описываемом гамильтонианом !К. Каждая точка поверхности Риба определяется значением переменной номером г соответствующего режима и значением переменной J2. Осредненный гамильтониан также же можно записать как функцию тех же переменных, СК = Jir(JbJ2, е). Важно отметить, что точкам одного и того режима отвечает один и тот же вектор дрейфа. Аналитическое выражение для осредненного гамильтониана также является инвариантом для точек одного режима, но меняется при переходе в другой режим.

Каждой точке (Ji,J2,r) отвечает семейство инвариантных изотропных многообразий осредненного гамильтониана; обозначим одно из этих многообразий через

Рис. 0.5. Соответствие между точками поверхности Риба и инвариантными многообразиями осредненного гамильтониана

2> £)у тогда все остальные многообразия того же семейства получаются сдвигами на векторы ( — (га-а)2, 0,т-а), т 6 Z2. Многообразия, отвечающие точкам режимов финитного движения, являются (а) точками, если Jj = 32 = 0, (б) замкнутыми кривыми, если Ji = 0 или 32 = 0, (в) двумерными многообразиями, диффеоморфными двумерному тору в противном случае. Многообразия, отвечающие точкам режимов инфинитного движения, могут быть (д) незамкнутыми кривыми, если 3i = 0, (е) двумерными некомпактными многообразиями, диффеоморфными двумерному цилиндру. Пример соответствия между поверхностью Риба и инвариантными многообразиями показан на рис. 0.5

Удобно ввести нумерацию в семействе инвариантных многообразий, отвечающих одной и той же точке поверхности Риба, следующим способом. Пусть многообразие Ar(JbJ2,<s) отвечает точке (!Ji, ?")• Если это многообразие компактно (т.е. мы находимся в режиме финитного движения), то присвоим ему мультииндекс (0,0) и обозначим через h, е), тогда соответствующее многообразие А^ гз)(?ьс индексом I = (li,h) £ Z2 задается как сдвиг , на вектор (—(Z-a)2,0,1-а).

Если же Ar(JbJ2,£) некомпактно (режим инфинитного движения), то присвоим ему индекс 0 и обозначим через AJpi, тогда соответствующее многообразие с индексом к е Z будет определяться как сдвиг Aq(Ji, J2,е) на вектор ((kJf ■ а)2,0, — kJf • а), где f = (/1, /2) £ Z2 — вектор, двойственный к d, т.е. dih + d2h = 1.

В разделе 1.4 рассматриваются примеры построения поверхностей Риба для некоторых конкретных потенциалов.

В главе 2 излагаются в необходимой форме некоторые идеи квазиклассического приближения, а именно: принцип соответствия (раздел 2.1) построение вещественного канонического оператора (раздел 2.2), осцилляторное приближение (раздел 2.3), построение квазимод, отвечающих замкнутой траектории классического гамильтониана (раздел 2.3). Данная глава носит по существу вспомогательный характер.

Глава 3 посвящена построению спектральной асимптотики магнитного оператора Шредингера методами, изложенными в предыдущей главе. Построение такой асимптотики связано с проведенной в главе 1 классификацией инвариантных многообразий осредненного гамильтониана, т.к. инвариантные многообразия каждого типа требуют отдельного рассмотрения. Для каждого режима классического движения Мг обозначим через 2)(МГ) область изменения переменных и J2- Обозначим также

1<?)(h) = h(n+^), neZ, к = 172.

Рассмотрения главы подытожены в следующих двух утверждениях.

Теорема 3.19 (Квазимоды для режимов финитного движения) Для каждого режима финитного движения М7" и любых (га^тг) £ Z+ х Z, таких что (?Smi)(/i),^m2)(/i)) € Ф(МГ), найдется число и набор функций определяемых с помощью канонического оператора и удовлетворяющих следующим условиям:

• (^mfm2 iuh(x> ^шьтгС1'£)) ~ квазимода оператора Hht£ с точностью 0(h^ + e'K) в Ь2{Ж2),

• функции i2 удовлетворяют условиям

• каждая из функций V'mf т2 h h имеет компактный носитель и асимптотически локализована вблизи проекции z^A^ l2(j[mi\h),j2m2\h),e) при hО, и dist (ЯЩДЛ, е)МИъ)) = 0{hL + ек).

Теорема 3.20 (Квазимоды для режимов инфинитного движения) Для каждого режима инфинитного движения Жг и любых (т,32) 6 х 1, таких что 6 2)(МГ), найдется число

Elf>L(32, h, е) = W p<m> (h), 32, е) + О{02) и набор функций определяемых с помощью канонического оператора и удовлетворяющих следующим условиям:

• (^m^fcC®' е)> h, е)) — квазимода оператора Hh}£ в Ь2(Даг) с точностью 0(hL +ек), где nd = jrid- a + r2J2{d- а), п€[0,1], г2бК],

• функции ф^'^ удовлетворяют условиям a'h'£) = ^mKhLk(x>h'£)ex Р (^(27г32 - (d-a)2xi - ^ (d • a): (d ■ а)2)), = + kW) -a,h,e) exp Qa/ic^zi).

• каждая из функций V^f^ W2 асимптотически локализована вблизи проекции тга-ЛЦ^"1^), J2,e) ярм h —> О, и dist = 0(ДХ +

Полученные формулы для асимптотических собственных значений вместе с поверхностью Риба дают наглядное представление об асимптотике спектра оператора Нн/. сначала квантуется переменная действия по правилу = ^"^(/i), затем на каждом ребре графа Риба G(3{™l](h)), отвечающем финитному движению, квантуется переменная J2 по правилу J2 = 32m2\h). Выделение этих точек на поверхности Риба ведет к квантованной поверхности Риба, см. рис. 0.6. Множество значений гамильтониана СК во всех этих точках, а также во всех точках ребер инфинитного движения графов дает некоторое приближение к спектру оператора Hh,e- Таким образом, квантованная поверхность Риба представляет в данном случае «прообраз» спектра с точки зрения квазиклассического приближения. Полученное правило квантования поверхности Риба допускает простую интерпретацию в связи с т.н. уравнениями типа Харпера (раздел 3.9). Известно, что каноническое преобразование в квантовой механике отвечает унитарному преобразованию в квантовой механике. В связи с этим можно ожидать, что спектры операторов ЯЛ;£ и IK = "K{^{—h2d2/dQ2 + Q2), — ihd/d^2, У2,е), где операции упорядочены по правилу

Рис. 0.6. Асимптотическая структура спектра

Вейля, «почти совпадают». Оператор Й коммутирует с гармоническим осциллятором h2d2/dQ2 4- Q2), поэтому его собственные функции Ф можно выбрать в виде У 2) = (2)^(^2), где фп — обобщенные собственные функции гармонического осциллятора, отвечающие собственным значениям а функции ip — собственные функции оператора *Нп = —гНд/дУ2,¥2,е)■ Оценка спектра операторов

КП с помощь квазиклассических методов дает описанную выше структуру спектра Заметим, что такой подход дает возможность ожидать, что спектр оператора является некоторым приближением к истинным зонам Ландау. В главе 4 рассматривается более подробно ситуация с рациональным потоком г) = N/M. В этом случае, как было сказано ранее, оператор Hh>£ имеет зонный спектр. Точки зоны удобно параметризовать квазиимпульсами (gi,^) £ [0,1/ттг.) х [0,1), так что для каждого фиксированного значения (gi,^) найдутся М функций 4>j(x,q), j = 0, М — 1 (магнитно-блоховских функций) и функция E(q) (закон дисперсии) такие, что (а) являются обобщенными собственными функциями Яд)£, отвечающие спектральному значению E(q), (б) выполнены магнитно-блоховские условия j(x + a\q,h,£) = ^J(x:q,h,£)e~2ni(Ql-jT>\ j = 0,M-l,

Ф^(ж + а2,д,/г,е) = Vj+l{x,q,h,e)e~iv(Xl+*a*l\ j = 0, M - 2, Фм-iC® + а2,M) = Фо(®, 9, h, ф-^+^Ь2^, и (в) множество всех значений E(q) образует соответствующую спектральную зону. Как следует из теоремы 3.19 и теоремы 3.20, каждой точке квазиклассического спектра отвечает целое семейство асимптотических собственных функций. Попытаемся сконструировать из этих них асимптотические собственные функции, удовлетворяющие магнитно-блоховским условиям (будем назвать такие функции магнитно-блоховскими квазимодами).

Рассмотрим сначала точки квазиклассического спектра, отвечающие режимам финитного движения. Зафиксируем некоторую точку спектра Е = Е^ит2 и рассмотрим отвечающее ей семейство асимптотических собственных функций ipmum2,h,i2 висимость от h, е, К и L будем опускать). Магнитно-блоховские квазимоды будем искать в виде kh)&2

Принимаю во внимание свойства асимптотических собственных функций, описанные в теореме 3.19, мы можем переписать последнее равенство в виде

Такое представление является естественным обобщением представления Лифшица-Гельфанда-Зака для блоховских функций в чисто периодических задачах. Подставляя (0.4) в магнитно-блоховские условия, приравнивая коэффициенты при Фтит2,о,о(х ~ I ' а) и изУчая полученную систему, приходим к следующему утверждению (теорема 4.1): для каждой точки квантования Е7тьГП2 существует М линейно-независимых наборов магнитно-блоховских квазимод вида (0.4). Эти наборы квазимод могут быть заданы коэффициентами Cfi l2 следующего вида: e-2iri(qih+q2n)+2mVhj-iVa2l/2 при l2 + J - S + пМ = 0, Пв Z, cLh = <

I 0 в противном случае, где s = 0, М — 1 соответствует номеру набора. Тот факт, что для каждой точки квантования существуют ровно М отвечающих ей наборов магнитно-блоховских квазимод, видимо, означает, что в окрестности каждой из этих точек присутствуют М спектральных зон, но эти зоны имеют длину порядка 0(h°°), так что их наличие не может быть обосновано с помощью применяемых методов.

Построение магнитно-блоховских квазимод, отвечающих режимам инфинитного движения, следует в основном той же схеме. Будем искать их в виде fcez

В данном случае, однако, полученная система для коэффициентов зависит от соответствующего вектора дрейфа. Важно заметить также, что одновременно с семейством асимптотических собственных функций, отвечающих вектору дрейфа d, найдется семейство асимптотических собственных функций, отвечающих вектору дрейфа —d (и другому режиму), и их естественно рассматривать вместе. В простейшем

E±(q1,h,e)

Критические tORKH —»

РИС.

0.7. Эвристические законы дисперсии

Рис. 0.8. Ожидаемые истинные законы дисперсии случае, когда d = (±1,0), имеем следующую ситуацию (теорема 4.2): магнитно-блоховские квазимоды вида (0.5), отвечающие вектору дрейфа (±1,0) существуют тогда и только тогда, когда

0.6)

Эти квазимоды определяются коэффициентами С3к следующего вида: е^к2а21/2+2шщ2 если jTk + nM = 0, П = П*N + ИМ, П 6 Z, 0 в противном случае, где N — целое число, такое, что при некотором М ё Z выполнено равенство NN + ММ = 1. Если вектор дрейфа отличен от (±1,0), то все коэффициенты CJk ненулевые, таким образом, в рассмотренном случае носитель каждой блоховской функции минимален и, видимо, этот случай более удобен с точки зрения вычислений. С другой стороны, изменением базиса решетки и блоховских условий ситуацию с любым вектором дрейфа можно свести к только что рассмотренной ситуации.

Заметим, что зависимость (0.6) переменной 32 от квазиимпульса порождает некоторые зависимости E(gi) = Jf(п±><7i,h),e) энергии от квазиимпульса (эвристические дисперсионные соотношения). Часть из них убывает, часть возрастает, поэтому в некоторых «критических» точках их графики пересекаются, см рис. 0.7. Можно ожидать, что в окрестности точек пересечения в действительности присутствуют спектральные лакуны длины 0(h°°) (см рис. 0.8), что подтверждается, в частности, упомянутой выше аналогией с уравнениями типа Харпера (см. раздел 4.4).

Во второй части работы (глава 5) обсуждаются некоторые свойства операторов Шредингера с периодическими точечными взаимодействиями. Такие возмущения обычно формально записываются в виде = # +Х>а<*а, лел где А — решетка периодов, а Я - магнитный оператор Шредингера, периодичный относительно той же решетки. Ограничимся рассмотрением таких операторов в Кп при п = 2,3. Для придания строгого смысла оператору Н' используется теория самосопряженных расширений М. Г. Крейна, при этом возникает соответствующая параметризация с помощью самлпоряженных операторов в некотором вспомогательном гильбертовом пространстве. Задача состоит в выделении из множества всех точечных возмущений только тех, которые обладают свойством локальности квадратичной формы (см. выше).

Все функции из области определения оператора Я непрерывны, поэтому корректно определено сужение S оператора Н на множество T)(S) = {/ е 2)(Я) : /(А) = {0}} (здесь и далее через V(A) обозначает область определения оператора А). Под точечным возмущением оператора Я будем понимать любое самосопряженное расширение Н' оператора S, дизъюкнтое с Я, т.е. такое, что Т>(Н) П Т>(Н') = T)(S). Для описания всех точечных возмущений используется формула М. Г. Крейна. Обозначим через G(x,y;z) функцию Грина оператора Я, т.е. интегральное ядро резольвенты (Я — . Через Q(z) обозначим оператор, матрица которого в стандартном базисе £2(А) задается следующими равенствами:

Qxl

G(x, A; z) — h(x, А)) при A =/t, яа=\ где

G{\,n',z) в противном случае,

--^log|a; - у\ при п = 2, h{x,y)={

-:-г ПрИ П — 3.

47г|ж — у I

Согласно формуле М. Г. Крейна (предложение 5.1), существует взаимно-однозначное соответствие между самосопряженными операторами Т в £2(А) и точечными возмущениями оператора Я. Точечное возмущение Ят, отвечающее оператору Т, может быть описано следующим образом (предложение 5.3): область определения 2)(Яу) состоит из функций /, представимых в виде

А,/х€Л

19 где ф пробегает все множество Т>(Н), причем (HT — z)f = (H — z)ip. Для того, чтобы иметь дело с квадратичными формами, ограничимся рассмотрением полуограниченных снизу точечных взаимодействий. В качестве достаточного условия полуограниченности примем следующее: при некотором ( < inf о{Н) выполнено Т — Q(() > 0. При выполнении этого условия доказан следующий критерий локальности в смысле квадратичных форм (теорема 5.9): оператор Hj* локален в смысле квадратичных тогда и только тогда, когда оператор Т также локален в смысле квадратичных форм. Если оператор Т имеет матрицу в стандартном базисе £2(Л), то локальность квадратичной формы для точечного возмущения эквивалентна диагональности этой матрицы. В этом случае полученное условие локальности квадратичной формы совпадает с условием локальности граничных значений, задающих точечное возмущение.

Основные результаты работы докладывались на международной весенней школе «Уравнения с частными производными» (Потсдамский университет, ФРГ, 2001 г.), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 100-летию И. Г. Петровского (МГУ, 2001 г.), международном семинаре «Дни дифракции в новом тысячелетии» (Санкт-Петербург, 2001 г.), на семинаре проф. М. Клейна по асимптотическим методам (Потсдамский университет, ФРГ, 2001 г.), регулярном семинаре по квантовой механике (рук. проф. П. Экснер) института Доплера при Чешском Техническом университете (Прага, Чешская республика, 2001 г.), семинаре проф. С. Альбеверио (Боннский университет, ФРГ, 2001 г.), а также отражены в публикациях [20,51,60,68,82]

1. Азбель М. Я. Энергетический спектр электрона в магнитном поле// Журн. экс-перим. теорет. физики. 1964, Т. 46, С. 929-938.

2. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в вантовой механике,— М.: Мир, 1991.

3. Андо Т., Фаулер А., Штерн Ф. Электронные свойства двумерных систем,— М.: Мир, 1985.

4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики,— М.: Наука, 1974.

5. Арнольд В. И. Моды и квазимоды// Функц. анализ и прил. 1972, Т. 6, № 2, С. 12-20.

6. Арнольд В. И. О характеристическом классе, входящем в условие квантования// Функц. анализ и прил. 1967, Т. 1, № 1, С. 1-14.

7. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техн., Совр. пробл. матем., Фунд. направл. Т. 3, М.: ВИНИТИ, 1985, С. 5-304.

8. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве,— М.: Мир, 1966.

9. Бабич В. М. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической// Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1968, Т. 9, С. 15-36.

10. Белов В.В., Доброхотов С. Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами I. Общий подход// Теорет. матем. физика. 1992, Т. 92, № 2, С. 215-254.

11. Белов В. В., Доброхотов О. С., Доброхотов С. Ю. Изотропные торы, комплексный росток и индекс Маслова, нормальные формы и квазимоды многомерных спектральных задач// Матем. заметки. 2001, Т. 69, № 4, С. 483-514.

12. Белоколос Е. Д. Неприводимые представления операторов трансляционной симметрии для гамильтониана блоховского электрона в магнитном поле// Теорет. матем. физика. 1971, Т. 7, № 1, С. 61-71.

13. Бирман М. Ш. К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов,— Матем. сборник. 1956, Т. 38, №4, С. 431-450.1.l

14. Доброхотов С. Ю., Мартинес-Оливе В. Замкнутые траектории и двумерные торы в квантовой спектральной задаче для трехмерного ангармонического осциллятора// Труды Москов. матем. общества. 1997, Т. 58, С. 3-87.

15. Доброхотов С. Ю., Шафаревич, А. И. Квазиклассическое квантование инвариантных многообразий гамильтоновых систем// Топологические методы в теории гамильтоновых систем (ред. Болсинов А. В. и др.). М.: Факториал, 1998.

16. Карасев М. В., Маслов В. П. Асимптотическое и геометрическое квантование// Успехи матем. наук. 1984, Т. 39, № б, С. 115-173.

17. Карасев М. В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. — М.: Наука, 1991.

18. Коротков В. Б. Интегральные операторы,— Новосибирск, Наука, 1983.

19. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О дефектных пространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в простанстве Пк// Функц. анализ и прил. 1971, Т. 5, №2, С. 59-71; №3, С. 54-69.

20. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория,— М.: Физматгиз, 1963.

21. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния.— М.: Наука, 1978.

22. Лыскова А. С. Топологические характеристики спектра оператора Шредингера с магнитным полем и слабым потенциалом// Теорет. матем. физика. 1985, Т. 65, № 3, С. 368-378.

23. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы,— М.: Издат. МГУ, 1965.

24. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений,— М.: Наука, 1988.

25. Маслов В. П. Комплксный метод ВКБ в нелинейных уравнениях,— M.: Наука, 1977.

26. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики,— M.: Наука, 1976.

27. Маслов В. П. Операторные методы,— M.: Наука, 1973.

28. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лангранжевы многообразия и метод канонического оператора,— M.: Наука, 1978.

29. Нейман-заде М. И., Шкаликов А. А. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами из пространства мультипликаторов// Матем. заметки. 1999, Т. 66, № 5, С. 723-733.

30. Нейштадт А. И. Разделение движений в системах с быстро вращающейся фазой. Прикл. матем. и механика. 1984, Т. 48, № 2, С. 197-204.

31. Новиков С. П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях/// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 23, М.: ВИНИТИ, 1983, С. 3-23.

32. Новиков С. П. Магнитные блоховские функции и векторные расслоения. Типичные законы дисперсии и их квантовые числа// Доклады АН СССР. 1981, Т. 257, № 3, С. 538-543.

33. Новиков С. П., Мальцев А. Я. Топологические явления в нормальных металлах// Успехи физ. наук. 1998, Т. 168, № 3, С. 249-258.

34. Новожилов Ю. В. Яппа Ю. П. Электродинамика,— М.: Наука, 1978.

35. Павлов Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели// Успехи матем. наук. 1987, Т. 42, №6, С. 99-131.

36. Панкрашкин К. В. Локальность квадратичных форм для точечных возмущений операторов Шредингера// Матем. заметки. 2001, Т. 70, №. 3, С. 425-433.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977;

38. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Матем. заметки. 1999, Т. 66, № б, С. 897-912.

39. Скриганов М. М. Геометрические и арифметические методы в спектральных задачах для многомерных периодических операторов,— Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова, Т. 171. Л.: Наука, 1985.

40. Фок В. А. Основания квантовой механики.— М.: Наука, 1976.

41. Цикон Ф., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии,— М.: Мир, 1990.

42. Шондин Ю. Г. Полуограниченные локальные гамильтонианы для возмущений лапласиана на кривых с угловыми точками в R4// Теорет. матем. физика. 1996, Т. 106, №2, С. 179-199.

43. Albeverio S., Geyler V.A. The band structure of the general periodic Schrdinger operator with point interactions// Commun. Math. Phys. 2000, V. 210, № 1, P. 2948.

44. Alfven H., Falthammar, C.-G. Cosmical electrodynamics: Fundamental principles.— Oxford: At the Clarendon Press, 1963.

45. Bruning J., Dobrokhotov, S. Yu., Pankrashkin, К. V. "The spectral asymptotics of the two-dimensional Schrodinger operator with a strong magnetic field," Russ. J. Math. Phys., 2002, V. 9, № 1, P. 14-49.

46. Dinaburg E. I., Sinai Ya. G., Soshnikov A. B. Splitting of the low Landau Levels into a set of positive Lebesgue measure under small periodic perturbations// Commun. Math. Phys. 1997, V. 189, P. 559-575.

47. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен//Алгебра и анализ. 1997, Т. 9, № 1, С. 32-48.

48. Боголюбов Н. Н., Мигропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний,— М.: Физматгиз, 1958.

49. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н. Методы асиптотического приближения для систем с вращающейся фазой и их приложения к движению заряженных частиц в магнитном поле// Укр. матем. журнал. 1955, Т. 7, № 1, С. 5-17.

50. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Введение в топологию интегрируемых гамиль-тоновых систем,— М.: Наука, 1997.

51. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях,— М.: Эдиториал УРСС, 1999.

52. Брюнинг Й., Доброхотов С. Ю. Глобальное квазиклассическое описание спектра двумерного магнитного оператора Шредингера с периодическим электрическим потенциалом// Доклады Росс. Акад. Наук. 2001, Т. 379, № 2, С. 313-317.

53. Брюнинг Й„ Доброхотов С. Ю., Панкрашкин К. В. Асимптотика нижних зон Ландау в сильном магнитном поле// Теорет. матем. физика. 2002, Т, 131, №. 2, С. 304-331.

54. Брюнинг Й., Доброхотов С. Ю., Потеряхин М. А. Об осреднении для гамильто-новых систем с одной быстрой фазой и малыми амплитудами// Матем. заметки. 2001, Т. 70, № 5, С. 660-669.

55. Буслаев В. С., Федотов А. А. Комплексный метод ВКБ для уравнения Харпе-ра// Алгебра и анализ. 1994, Т. 6, № 3, С. 59-83.

56. Буслаев В. С., Федотов А. А. Блоховские решения для разностных уравнений// Алгебра и анализ. 1995, Т. 7, № 4, С. 74-122.

57. Гейлер В. А. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса// Алгебра и анализ. 1991, Т. 3, С. 1-48.

58. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Чучаев И. И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана// Сиб. матем. журнал. 1995, Т. 36, С. 628-641.

59. Гельфанд И. M. Разложение по собственным функциям уравнений с периодическими коэффициентами// Доклады АН СССР. 1950, Т. 73, № 6, С. 1117-1120.

60. Гельфанд И. М,, Костюченко А. Г. Разложение по собственным функциям дифференциальных и других операторов //Доклады АН СССР. 1955, Т. 103, С. 349-352.

61. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. — Л.: Издат. ЛГУ, 1971.

62. Dobrokhotov S. Yu., Shafarevich A. I. «Momentum» tunneling between tori and the splitting of eigenvalues of the Beltrami-Laplace operator on Liouville surfaces// Math. Phys. Anal. Geom. 1999, V. 2, P. 141-177.

63. Faure F. Approche gomtrique de la limite semi-classique par les etats coherents et mecanique quantique sur le tore, These, Universite Joseph-Fourier, Grenoble, 1993.

64. Faure F. Topological properties of quantum periodic Hamiltonians// J. Phys. A. 2000, V. 33, P. 531-555.

65. Faure F., Parisse B. Semiclassical study of the origin of quantized Hall conductance in periodic potential// J. Math. Phys. 2000, V. 41, № 1, P. 62-75.

66. Gelfreich V., Lerman L. Invariant manifolds of a singularly perturbed Hamiltonian system// Nonlinearity. 2002, V. 15, №. 2, P. 447-457.

67. Gerhardts R. R., Weiss D., Wulf U. Magnetoresistance oscillations in a grid potential: Indication of a Hofstadter-type energy spectrum// Phys. Rev. B. 1991, V. 43, P. 5192-5195.

68. Gudmundsson Y., Gerhardts R. R. Manifestation of the Hofstadter butterfly in far-infrared absorption// Phys. Rev. B. 1996, V. 54, P. 5223-5226.

69. Helffer B. Semi-classical analysis for the Schrodinger operator and applications.— Lect. Notes Math., V. 1336, Berlin: Springer, 1988.

70. Helffer В., Kerdelhue P. On the total bandwidth for the rational Harper's equation// Commun. Math. Phys. 1995, V. 173, № 2, P. 335-356.

71. Helffer В., Sjostrand J. Analyse semi-classique pour l'equation de Harper (avec application a l'quation de Schrodinger avec champ magnetique.— Mem. Soc. Math. Fr., Nouv. Ser., Y. 34, 1988.

72. Helffer В., Sjostrand J. Analyse semi-classique pour l'equation de Harper. II: Comportement semi-classique pres d'un rationnel. — Mem. Soc. Math. Fr., Nouv. Ser., V. 40, 1990.

73. Helffer, В., Sjostrand, J. Semiclassical analysis for the Harper equation. III. Cantor structure of the spectrum.— Mem. Soc. Math. Fr., Nouv. Ser., V. 39, 1989.

74. Hofstadter D. Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields// Phys. Rev. B. 1976, V. 14, P. 2239-2249.

75. Ketzmerick R., Kruse K., Geisel T. Avoided band crossing: Tuning metal-insulator transitions in chaotic systems// Phys. Rev. Lett. 1998, V. 80, № 1, P. 137-141.

76. Kuhl, U., Stockmann, H.-J. Microwave Realization of the Hofstadter Butterfly// Phys. Rev. Lett. 1998, V. 80, P. 323-3235.

77. Langbein D. The tight-binding and the nearly-free-electron approach to lattice electrons in external magnetic fields// Phys. Rev. II. 1969, V. 180, № 3, P. 633-648.

78. Lazutkin V. F. KAM theory and semiclassical approximations to eigenfunctions.— Ergeb. Math. Grenzgeb., V. 24. Berlin: Springer, 1993.

79. Littlejohn R. G. A guiding center Hamiltonian: a new approach// J. Math. Phys. 1979, V. 20, № 12, P. 2445-2458.

80. Opechowski W., Там W. G. Invariance groups of the Schrodinger equation for the case of uniform magnetic field. I// Physica, 1969, V. 42, P. 529-556.

81. Pflaum M. J. Analytic and geometric study of stratified spaces.— Lect. Notes Math., V. 1768, Berlin: Springer, 2001.

82. Simon B. Schrodinger semigroups// Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1982, V. 7, №. 3, P. 447-526.

83. Sobolev A. V. Absolute continuity of the periodic magnetic Schrodinger operator// Invent. Math. 1999, V. 137, № 1, P. 85-112.

84. Thomas L. E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal// Commun. Math. Phys. 1973, V. 33, P. 335-343

85. Thouless D. J. Bandwidths for a quasiperiodic tight-binding model// Phys. Rev. B. 1983, V. 28, № 8, P. 4272-4276.

86. Thouless D. J., Кномото M., Nightingale M. P., den Nijs M. Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential// Phys. Rev. Lett. 1982, V. 49, P. 405-408.

87. Topological classifications of integrable systems.— ed. Fomenko А. Т., Adv. Sov. Math., V. 6. Providence, Rhode Island: AMS, 1991.

88. Weiss D., von Klitzing K., Ploog K. Magnetoresistance oscillations in a two-dimensional electron gas induced by a submicrometer periodic potential// Europhys. Lett. 1989, V. 8, P. 179-184.

89. Wilkinson, M. Tunnelling between tori in phase space// Physica D. 1986, V. 21, P. 341-354.

90. Wilkinson M., Kay R. J. Semiclassical limit of the spectrum of Harper's equation// Phys. Rev. Lett. 1996, V. 76, № 11, P. 1896-1899.115

91. Zak J. Group-theoretical consideration of Landau level broadening in crystals// Phys. Rev. 1964, V. 136, № 3, P. A776-A780.

92. Zak J. Magnetic translation group. I, II// Phys. Rev. 1964, V. 134, P. A1602-A1606, A1607-A1613.

93. Zak J. The fcg-representation in the dynamics of electrons in solids// Solid State Phys., V. 27, Academic Press, 1972, P. 1-62.