Квазиклассическое приближение и когерентные состояния некоторых групп ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Г6 о

) 2 Мдр ^МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЗКТКШКЛ 11 МАТЕМАТИКИ " н Сосударственаий технический университет

На правах рукописи ' УДК 517.38

Козлов Михаил Борисович

КЕАЗИШССИЧЕСКСЕ ЕРИЬДИШЛЕ И КСГЕРЕНШШ . СОСТОЯНИЯ НЕКОТОРЫХ гаш. ли

01.01.03 математическая физика

.АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на солскани? ученой степени щурщата физик&^математически! наук

ВаОота выполнена на кафедре Прикладной Математики Московского института электроники и математики •

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор М.В.Карасев,

• Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профзооор ОЛЧСмодянов,

доктор <1яэико-математических наук профессор Ю.А.Неротнн.

Ведущая организация: .'¿ссковский энергетический институт.

Защита состоится " ^ ^ л-^чД ИЭ4 г. в ^ часов на заседании специализированного Совета К063.68.05 по прйсух-дент ученой степени кандидата наук по специальности ■ 01.Ох,03 - "^Математическая физика" в ¡¿ооновском инотитуте электроники и математики /109026 Москва, Б.Вузовский пер. 2/12, в аудитория „/

. С диссертацией можно ознакомиться в Научно!! бгблиотеке ШЗМ Автореферат рачослан " 1Ь94 г.

УЧ2НШ; СЕШГШ, специализированного Совета •

кандидат физико-математических наук П.ВЛ'нурков

- з -

общая -харашристика работ ,

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Построение явных формул для• точных ре-ионий .многих модальных уравнений в квантовой теории или реальных задач математической физики, как правило, оказывается невозможным. Однако во многих случаях такие уравнения явно, илг после некоторых преобразовании, оказываются зависящими от некоторого малого параметра . £ этой ситуации одним из наиболее ионных средств исследования задачи являются асимптотические методы построения приближенных раиений, удовлетворяющих уравнении с заданной степенью точности по этому параметру.

Постановка широкого класса задач с калым параметром, возникающих в квантовой теории, у} идываатся в сладущую общую схему. Пусть набор самосопряженных операторов 3-, в.гиль -

бертовом пространстве образует неприводимое представление некоторой алгебры 2и с^ с коммутационными соотношениями

и^Л' Зе , , {1)

где - структурные констадты алгебры Ли, а число "к > о -вещественный малый параметр. Произвольной гладкой функции

сопоставим оператор .полу-

чающийся аэйлевской (симметричной) подстановкой операторов X в функции . Требуется исследовать некоторые двой-

ства квантовой системы с гаыильтонианои в квази-'

классической ариблияеаии, когда параметр Ъ в коммутационных соотношениях (I) стремится к нули. Такого сорта задачи с гамильтонианами, заданными как функции от образуют достаточно.

сложных алгебр Ли, появ.-яются в теории электрон-фонного вэаи-иод811ствия, в моделях типа ГойзенберГа и БКШ, в теории Яига -Милса и I.ругой богатый класс прииеров даат теория возиу-чд8ний смогам, обладающих нвкоыкугативнши алгебраил симметрии.

В диссертации развиваются методы построения решений ь ряде задач квазяклассического приближения для гаиильтоиианов в налряводлиых представлениях некоторых полулроетих алгебр Да, когда схарлии вес продставлення стремится к бесконечное!«. В глава I диссертации разобран общий случаи кошшстнои подупрос-той алгебры Ля о^ . В квазиклассйческоы приближении рассматривается задача на собственные значения для оператора HCl4} с произвольным гладким символом И^Ч") . Задача

об есииптогкчаских собственных дикциях - "кваз.шодах" - операторов такого вида является однаи из ъалнцх^йаправлйиий таории квазикдассйчосхого приближения. Для случая алгебры Гойзея-барга - Бейля (s.a. для обичьих псевдода.ЭДоренциальнцх операторов , хе Й ; 0} я ) различные асцакты этой задачи подробно рассматривались в ^ндаиенгальних работах В.П.Uаслова, ЛЛёрыандера, B.U.Бабича, йГиллиана, С.Старн-борга, В.U.Буслаева, А.Веинсте.ша л др., в которых били заложены основы теории кваадааассичоского лризл>и<зния и сформулированы общие принципы построения квазпиод. Дли других алгебр Ли (и далв более общих яуассоновскмх алгебр) задача квазикласси-чоского приближения изучалась в работа/ Ц.В.Карасива и B.il.Uac-лоьа в рамках метода асимптотического квантования обмх сиип-

леидчоскях многообразие В jtc i ояучаз oiuparopu лредставле-

»

иия фактически действует в пространства сечении пучка

ГСО-^ ' ростков ocunju.ipyLA.ix функции над ;>ьзоьии простраист-

вой SI соответствующей классической.лютаыы. Однако, на-сечениях пучка . не удается определить скалярное про- .

иэведениэ, т.е. структуру гильбертова пространства, и, как след^вла, выделить явно неприводимые представления. Отметим также, что все результаты в цитированных выше работах основаны на громоздких склейках локальных ВКБ-асимптотик. В работе*) Дж.Курчана, П.Лзбоофа и М.Сарацено.для случая алгебр %ии) и улН>Л было получено глобальное представление для квазимод в виде интеграла от когерентных состоянии соответствующих групп Ля по всему фазовому пространству Si (сфере и гиперболоиду). Вместе с тем, эти результаты не ¡¿огут быть применены к неаналитическим гамильтонианам и, кроме того, они не используют главный объект квантоваьия - классическую траокторию га-иилыонова потока в или классические лиувиллэвские торы

в многомерной случав или иные классические инвариантные подмногообразия.

В работе**) Ц.В.Карасева (Чла предложена простая интегральная формула для квазимод в случае алгебры 7*5И . Основной анзатц здесь задается интегралом от специальных - "лагранкевых"-- Д-когерентных состояний группы W^ по'классическому ин- . вариантному лаграажввоиу или изотропному подмногообразию Ас '. Ииенно этот подход к построению квазиклассических асимптотик развивается в диссертации для случая компактных полупростых алгебр Ли. Построенная в диссертации система Д -когорэнтных состояний в этом обще« случае лозголяет также по-новому'взглянуть иа проблему квантования орбит ^присоединенного представ-

х) Kurcbovx 3., Le&oeuS Р.,5агйсеио м -Pln^. Rev. А>

1989, ¿0, 6800-6813.

хх) Карасев М.В. - Записки научных семинаров ЛОМИ (Ленинград, 1989, Г72.1 «-54.

л «

ления в сН . В отлична or известных схем геометрического (А.А.Кириллов, Б.Костант, Д,Сурьо) а .асамлтотмчеокого квантования (М.В.Карасдв, В.А.Ыислов) представление алгебры с^ здось удается реализовать не в пространства сечений расслоении или пучка над £i , а в пространство £ункцяй на произвольной квантуемом лагракяавом подмногообразий A с & . Помимо задачи на собственные значения d главе I рассмотрена задача Коли, в частности, ностроона исииатотика фундаментального решения,

В главе П диссертации разобран ряд задач для линейных ы ' квадратичных гашштошшноа над нолулростшм алгебрами Ли:

и V«Ci.f) . в частности, получины простые формулы для квиаиыод квантового волчка Эйлера при больлом моминте количества движения i ~> с точностью . Эта часто лстречаша~ся в физических моделях задача ранзе раооматра-ьалаоь в рвотах Р.А.Брауна, Ц.В.Кирасева л работе Дл.Курчаиа, З.ЛеЗое4& и Н.Саранено преимущественно с точки зрения вопроси оо асимптотика собственных чиоел.

Б диссертации рассматривается гаква задача о релениях Фдоке авиладшшого уравнения ¿ля квантового ьолчка Эйлера, коэффициенты которого периодически зависят от времени. Это задача, возникавшая, как в квана^ьой (А.Ьурдас, А.Б.Ыасалоь), тик и в обычно,i опткке (В.и.БаОич, В.С.Булдыра*, В.Ф.Лазуткда), с-тнс^ится к классу квазаадиасттическ/цс. Для случая алгеОры подход к рехени» таких задач на основа кььвтоаанля налагран-*евых адиабатических торов Оьл сформулирован в работе*} И.В.Кар&сеь£,. В диссертации эта техника переносится на нали-

.В.Каьасев - Зуакц. ьньл.^ ii иго лр.ио еьал. 1У5Ю,

вейаыв фазовые пространства (сферу, гиперболоид). В третьей ; главе диссертации задача о периодической волчке Эйлера рассмотрена, как, составная часть построения асимптотических решений уравнения Гельмгольца, сосредоточенных вблизи устойчивого вырожденного луча.

' Во многих физических ыодйлях квантовый' гамильтониан исходной задачи может быть записан как линейная функция от генераторов нёкоторой алгебры Ли. В этом линейном случае асимптотические формулы для квазимод, решений задачи Коши, фундаментального решения я релений флока,' построенные в диссертации для компактных пояупросФых алгебр Ли, дают точные ответы с'о-■ответствующих задач. , • '

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является развитие методов построения асимптотических решений в задачах квазиклассического приближения с.гамильтонианами в неприводимых представлениях компактных '" '— полупросгых алгебр Ли при помощи систем обобщенных когерент-аых состояний групп Ли и.их применение к решению конкретных физических задач и некоторых проблем теории представлений, в частности, проблемы квангзвания коприсоединенных орбит.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА " •

1. Построены унитарные неприводимые представления компактных полупростах групп Ли в пространстве функций на произвольном квантуемом лагранжазоы подмногообразии,'заданном в копри-соединенной орбите. •

2. Предюкены простые интегра^ные асимптотические формулы для собственных векторов и для решений задачи Коши с произвольным гладким гамильтонианом над компактной полупростой ал1-геброй Ли, когда старший вес представления стремится к бесконечности. В частности, построена асимптотика фундаментального реаения. Аналогичные.задачи решены для случая некомпактной

простой алгебры . Для гамильтонианов линейно зави-

сящих от генераторов представления алгебры Ли рассмотренные задачи рзшены точно.

3. Для квадратичных гамильтонианов над алгеброй Vuul , т.о.'для квантового волчка Эйлера, построены асимптотические собственные функции и вычислены собственные значения при большой ыоыэнте количества движения ж о точностью

U. Рассмотрено кгазиадиабатаческоа эволюционное уравнение для квинтового волчка Эйлера, коэ|>фициеьты которого периодически зависят от времени. Построены его асимптотические решения Флоке и вычислены соответствующие показатели Флоке о точностью (XVг>) в терминах классической динамики на c-J/ape. Для линейных гамильтонианов над алгебрами и

с периодическими от времена ноэ-ЭДщиентами пзлучвни простые точные формулы для полного набора решений Флоке.

5. На основе сяниоьых когерентных сооговнкй двумерного в-фождоиного осциллятора предложены новые конструкции асимптотических решений уравнения Гельигольца, описиваадаго распространение периодической электромагнитной водны вблизи устойчивого вырожденного луча.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ДИССГТАЦЙИ. Работа носит теоретический характер. Развитии в диссертации метод дает возможность эффективно строит! квазиклассическае асимптотика в различных задачах квантовой теории с гамильтонианам«. в неприводимых представлениях яодуяроотых алгабр Ли. Полученные в диссертации результаты могут быть исйользовыш при изучении квантовых систем с ашметриями, в теории представлений и задачах квантования общих сиыллектических шюгообрьзи.!.

Материалы диссертации могут на a ri*, лр.шенении в работах, ведущихся по сходной тематика на иех.-патокатпчискои ¿¿к?..ьто-

18 ИГУ, в Объединенной институте ядерных исследований, Матеиа- . гичвском институте иы.В.А.Стеклова РАН и других научно-исследовательских институтах и вуэох.

А'ЯРОЕАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ« Маториалн диссертации докладывались на научных семинарах кафедры Прикладной математики МИЗМ, на цеядукародноы коллоквиум ии. Ли и Лобачевского "Группа Ли а однородные пространства" (Тарту, .1992), на международной конференции паияти проф. Я.И.Смородинекого "Методы сиииетрий в физике" (Дубна, 1993), на международной конференции "Асишь, тотичоскиэ методы в теории распространения волн" (С.-Петербург, 1593), на международной натематической школе "Геометрические методы в физике" (Кацивели, 1993).

ПУБЛИКАЦИИ Пи ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ. Основное содержание диссертации опубликовано в 3 работах.

ОБЪЕИ Й СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 133 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 91 наименования.

СОДЕРЯАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении диссертации дается краткий исторический • обзор, обосновывается актуальность темы диссертации и приводится аннотация основных результатов, полученных в ней.

В первой глаЕе, состоящей из ¡етырех параграфов,' рассмотрен общий-случай компактной полупростой алгебры Ли . Исходные объекты: компактная полупростая алгебра Ли о^ , • дуальное пространство о^* , соответствующая связная одно -связная группа Ли , орбиты её коприсоедшенного представления Л <= о^* , лаграяяевы подмногообразия Д с. . в

§§ 1,2 построена реализация'унитарных неприводимых представления алгебры в пространстве С^С/Оу функций на А при помощи специальных Д- когерентных состояний ( Л-КС) группы С» .

Пусть ^ ни - фиксированное унитарное неприводимое

представление группы С , характеризуемое невыровденным

старшим весом . Для целого числа 1 обозначим через

И-,, и представление группы й и пространство этого

представления, отвечающее старшему весу . Пусть Н -

нартановскак подгруппа'в и + 21 - соог-

0 ыеь.

ветствующаэ разложение Картана. Тогда существует такой вектор - "вакуум", что и^(Ь)ю> = /о>

для-ЦеИ и )((с>>=о для Хе Т, <%ы ; с* < о

ы < о и ~

< о ../¡да каждой точки однородного пространства С,/И вберем представителя Q, . Набор вектороБ ^и^С^С^Уо'А называется системой когерентных состояний (КС,! типа (и^ , 10>} . Представлению У-ь отвечает в регу -ляриая орбита Сл'сГ , где $ = 8) е - /)* и £ = • Зададим на сшплэктическуо £орму СО^« г"60 где мСх,У)- <£>[Х.Г]> - <{-орт Кириллова. Орбита обладает б - инвариантной аитикэлеровой поляризацией (подалгеброй) . г ( ГГ, 77) < о .Глобально семейство КО 1Г> < о| представляет собоЛ голоморфное сечение некоторого одюродюго расслоения над со слоен Ж% и формой связности I ^ 9,-у < ъ I 1 >.

Рассмотрим теперь лагр-адаиво подоногообразие А с с гладкой керой ¿в и огмгчешюй,точкой ^о^А. Определим ка А локалышз I - :]■ срвд ¡ч - ^ с! Рп ^ , где V = с! ^ „ Уч -

♦

Теорема I. ^ЙИНЙШ-8 * ~ (12£!51Л

где I \ о 1 и** первообразные^^ с^шплекти-

ческо^5 .{юры)! ,. задают Фо^мн связности в Щсолошши

Определение. Параллельное сечениа- Тк(^) ' А УЦ в \ 0 связности (2) , проходящей

точку

называется смтаюй Д. - КС типа ( А, ¿е , %) . Вдесь нормировочная константа. Скажем, что латранкево

подмногообразие Л квантуемо, если выполнено условие цалочис-'лениости

¿г ы

1

для лю<)ой двумерюй ориентлрова/шой пленки 2 е0 границей

с А ' . где целочисленный индекс пленяя (аналог

индекса ¿¡аслова замкнутой кривой ) .

Теорема 2. •: П^сть А - квмт^емо- А - КС

Т^(') яшяется глатил на А .

Всякой гладкой фушпщи СсЯ(с^*')с;р!100таБИМ оператор в

С^ГА^ : И = М|Л - Л (Ми) , Гдеи(и)-

проекиия гамильтопова поля осЦ\Л на Т/Ч вдоль "П , а Бскм75 - дивергенция ноля относительно меры ¿^ч . Для V X е обозначим через ^ х линейную фикцию = -

Теорема 3. Отображение

X - 1(*)

определяет % 5. СС^

Рассмотрим представление алгебри со старим весом ^/ф.

X £ В аи^еи. («)

Определим оператор С.Л(М формулой

- ^Ч^Ч^6 С?)

N

Основной результат §§ 1,2 составляет Теорема 4, I/. С>п]Ц<ато£ сплетаетщ^^тавления .С 5) и (6) , т^э, V К1

V ^

2/. Опе£ато|м э^тпоъы относительно скалярного П£2Н525§~ ния ^ С (А

= 5) ^ ч ™ о <у>

Л л •

3/. ■Щзедставление (5^ нещшЕодаш на (1актор-п^ст^отве /Кег £ эквивалентно ^едотавлешпо £/* .

С помощью интегрального оператора в § 3 построены

л " i с * \ I

НБазк.'.оды вейлевского оператора Н = И ( X ^ ч ■ - , л * ) > т=ситО|,

Теорема 5. Пусть замкнутое лаграижево подмногообразие

символа

обладает гладкой ме£ой , А , щпга-'

^антной стаоситзльно гаапцхьтонова пот015а ^ н . Если А -

•СйНТуСТО, ТО 2ЭКТО£ *.' .

Л

является квазшлодрй оператора Н с сцкуэгн^й к- , У\1Ч « Е<ии ©(Л ,

В § 3 рассмотрена также задача Коши

^ л

Пусть - сеиайотво ^Д -КС типа (%*Л Л*'^. .)» ■ где сдвиг за лремл I вдоль траекторий классической системы Я * • Рассмотрим траекторию •С«, to.il\ и построим ГЧ^рмы £ ^ 1 <3^ ^ | ^ . Определим вектор-пункции

* Ь , о)

I

гда

ГСк\

Теорема 6. № V Т И«иШ - 14 а\ | - , 1 ¿М ,

узачем • /и Го).

Построена асимптотика Фундаментального решения задачи

Коши

СГ-О * н&>х*) °>

График £1а лагранжев в

относительно ми СО^©^^ . Рассмотрим семейство -когеренташс операторов = /^(У1?)^ < Г* С?)/ типа , с/, где с1£ = - мера Лиувилля. Построил оператор

«

-Г 14 -

€*(*) = е $ Ъ

я* .

Теорема 7. Для' V V Ц ад - С^ОЛ || « , I е . С,(о) = Г. : . ' •

В § 4 система Л -КС рассматримваетоя с точки

зрения представления нулевой кривизны над Л '. т»е. X*?* - -~ 5(оператор ^ действует по переменной ^ е Д ) . Показано, как овязаны операторы Д - квантования Н и _ ' операторы геометрического квантования...

Во второй главе разобран ряд задач для линейных и квадратичных гамильтонианов над алгебр"*1* и . В ,

л

§ I рассмотрена задача на собственные значения'! Ии* £1а .

а _г , %

для асимметричного квантового волчка.Эйлера И = С, * СаЗг-* + , ^ , где У^ генераторы неприводимого пред-

ставления группы . со старшим весом 5 : =

=.-I Те / Л' <), * »к)'1 • Поиск собственных

• ^ ' /ч

векторов оператора И в виде С1?*) сводит задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка на квантованной' замкнутой кривой Кс^С^-Ч'&Л^а» ■ в коприсо-адиненной орбите

.^-В) ^СО- , (\о) .

. где Ъ = Ф^) +- ф(*)о(4 + , а Ф и - некото-

рые заданные комплексные функции на А . В раСоте построены регулярные по асимптотические решения уравнения (ю) о точностью

В § 2 б/ построены асимптотические решения Флоне эволюционного. уравнения дпл квантового Еодчка ЭЛлерй о периоди-

- лэ -

ческами коэффициентами С, * т) « с^ (¿)

ЛГ з т ъ - о . ^ГгЬ е'^о). м

Помимо операторов , здесь участвуют опораторь "время" -к и "энергия" с коммутационными соотношениями

{.-¡.^с}^ 13 * * * Состиошениа порядков ^ и Кг в

коммутационных ооотношениях этих двух групп операторов такопо, что стандартный адиабатический подход, где "Оистрими" считаются переменные. , ивпртенш. Эта квазиаднабатичзскал задача решается при1 пог.-овд кЕантовашш пелагранхоного адиабатического торг!.. Определим адиабатический инвариант системы формулой

1^,1) - £ Л ^ , а«.*)

где илекка на .с^ере с границей Э5. с ^

е 1, а 60 - 4орма объема и*. . Рассмотрим в X 1 к « один из двух "адиабатических горал

¡А(1) с= \ I:« сои^ , Р> • о 5 .

Теор мл МШ сшлпл^кти-

чоскоп с}рлл± * - x о* ^ , где <3 а,

при ■ ^ сечение тора ^ « лМ^г-ои*^

лмяотся кьант.Уеной криной на е^ере. Пусть Т ^ 10,? г} - время на траектории адиабатического иш-арланта. Показано, что асимптотика рвд'еика члокс аадпчи . (II) мокет быть построена ( и ;<то сд.-лано .а дясс^тания с точность» а виде

а4.

гдо ^(¿itffc) -некоторая амплитуда 2т- периодическая по t и регулярно зависящая от i , ^i?) - система Л-KG типа СЛ* и (Тункидя задана формулой

. -¿Д HU'J.W - Wlf - > • •

14 о о

Показатель Флоке решения (12") равен Эес =■ ^»-.Ст)^ V где = ? £и fi?R(o,o,i)/v?K(T,o,i) ) .

В пункте а/ § 2 рассмотрена задача Флоке для линейного периодического гамильтониана над

air са) - о ,

с ( £ + 7" ) = с" с ч!г) , и (т) = <2i;e Kfo) ,

Построен полный набор решений йлоке в.виде

; г < ,

= © J FiClr , k= ,

At

где = & /1* , a /ltc % квантуемые .окружности, январи-' антные относительно финального поворота & сферн S> ! .Соот-втетвующие показатели Флоке вычислены в терминах динамического уравнения Эйлера на сфере gj =

В § 3 главы 2 рассмотрен пример некомпактной простой алгебры .Построена система /\ —КС для представлений дискретно:! серии группы 2>U(-M\. Аналогично случаю алгебры разбираются задача на собственные значенич, задача "эши и задача '1локе. В частности получеин простые формулы для КЕазн-ст:;:нг:жфп:?: состоя»;:;/: в задаче о перподаческсм'Гозбуялзнкз ¿"Ьсыгоюго осцг„-.ллторз с переменно": частотсГ;.

В главе о рассматривается задача о распространении электромагнитной вилки вблизи устойчивого вырожденного луга. Пусть УСх^Ц^Л - гладкая функция, периодическая по переменной

с периодом Ц . Предположим, что разложение функции вблизи оси Хи, ш.;еог вид

Здесь (Л - фиксированное число, НиСх") суть однородные полиномы стопснн К + 2 по переменным п Хг о крэ'Мициента-ми, периодически заыгсящш.ш от Къ , ТЗС^ > 1 - гладкая (- -периодическая [уикцил., В диссертации построена 'серия ненулевых асимптотических ри.ений уравнения Гелы.гольца

( + ЬхО о аь)

I ' '

экспоненциально ими;; при К-» О вне окрестности луча Кз и перидическнх по * 1 с периодом ^/Ь ,

Асимптотики решений уравнения ОзЗ при А-1* о строится

в два этапа. На первом шаге /'§!) с помощью квантового метода

* тт

усреденепил ьознуиение 2» Н, унитарным преобразованием ' '

1 л ^ й

приводится к нормальному жду 2. С->^ так, что операторы С,.

8.

у; = ■г.Ъ,. -- коммутируют с главной частью - двумерным вырожденным осциллятором Но - + Символы Операторов С*. вычисляется из реккуренпюй цепочки гомологических уравнений и являются ([.уншшяш от трех независимых интегралов Й-^С.*,^ ^ЛЧЛ классического осциллятора Но0,р0. В частности, оператор представляет собой, квадратичную ¡[ор-иу С = , Н, ) от операторов и Н0 . Квантовые симметрии осциллятора Н3 образуют представление Е.'ылгера алгейры . Сто представление неирпьедто на соб-

I 'л

и и осциллятора На

ственннх подпространствах и* осциллятора Но . Главный член асимптотики строится в виде !

= 1Т<г*р($Ф(Ах»

где функции ф^.,,^) , Ч-С90 и удовлетво-

ряют уравнениям эйконала и,переноса

2 ^Гь сЦ* ^ - ° л

Таким образом, уравнение (/Ъ} в главном редуцируется к эволюционному уравненис^для квантового волчка Эйлорг'.с периодическими коэффициентами. Построение асимптотических периодических •решений этого уравнения по размернооти г> со собственного под пространства осциллятора И« составляет второй шаг в нашей схеме. Здесь используются результаты §2 главы Окончательная асимптотика решений уравнения (7Ь) при ^-> о построена в виде интеграла от Д -когерентных состояний труппы; £НЯ2) в представлении Швингера.

Спиновые Д -когерентные состояния осциллятора На тесно связаны с Мг -когерентными состояниями группы , которые отвечают лагранжевым И0) -инвариантным торам

<=г Й^р .В §2 главы 3 рассмотрена редукция систем лаг-ранженых когерен лшх состояний

по

траектория»1 осциллятора Но и доказана их эквивалентность .

Основный рмудьтаты диосэртацмм опубликованы в следующих работах:

1. U.V.Knrustv, ¡d.B.Kozlov Quantum and eeniolaseloal rep-reeentntione over bngrajujian eubmanlfolda in iuw' ,

^СКм", and %и(л,лУ , J. tiath. Phya., 1993, Ц, p.4966.

2. М.Б.Козлов. асимптотика .решений уравнения Гельмгольца вблизи устойчивого вырожденного луча и волчок Эйлера, Препринт ШУМ, Москва, 1993, AIiath-QJD3-93-01f 22 с.

3. Ы.Б.Ксзлое Геометрический алгоритм вычисления спектра штриц болшбго размера в задаче об уотойчипом волновом пучке, Ср. Аишптотическиэ методы в теории дифференциальных уравнении, Dun. 5, Деп. ЩШТО 15039I Ш35 B9I.

Педаноаяо в печа-т 04.03,94 Загс.24 Ойьвм 1 п.л. Тир.100 ЦПКЗЗ, Ыоскга, И. Шгоаврсиая уз.,12